无穷大量

f x 1. 若 lim 0， 则称 x x0 时 f x 是关于 g x x x0 g x
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设当 x x0 时，f x , g x 均是无穷小量 .
的高阶无穷小量，记作 或者g(x)是f(x)的低阶无穷小
f ( x ) o( g( x )) ( x x0 ) .
f ( x) f ( x) g( x ) lim lim lim 1 . x x0 h( x ) x x0 g ( x ) x x0 h( x )
前面讨论了无穷小量阶的比较, 值得注意的是, 并 不是任何两个无穷小量都可作阶的比较. 例如
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sin x 1 与 2 均为 x 时的无穷小量, 却不能 x x
应当注意, 下面运算的写法是错误的：
1 1 lim x sin lim x lim sin 0 . x 0 x x 0 x 0 x
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1 从几何上看，曲线 y x sin 在 x 0 近旁发生无 x
限密集的振动，其振幅被两条直线 y x 所限制.
y
0.1
§5 无穷大量与无穷小量
由于
x x0
lim f ( x ) 等同于 A
x x0
因 lim[ f ( x ) A] 0,
此函数极限的性质与无穷小量的性质在本质上是
相同的. 所以有人把 “数学分析” 也称为 “无穷小 分析”.
一、无穷小量 二、无穷小量阶的比较 三、无穷大量 四、渐近线
f ( x) 注 ： 阶 穷 不 意 同 无 小 一 定 lim 要 存 在 x x0 g ( x ) 2 sin x 1 如f ( x ) , g ( x) , x x f ( x ), g ( x )是x 时 无 小 但 的 穷 ， f ( x) lim 不 在 存 ， x x0 g ( x ) f ( x) 但 1 2 sin x 3. g ( x) 所 f 和 g是 x 时 同 无 小 以 的 阶 穷 量 . 前页 后页 返回

02
在进行无穷大量的运算时，需 要注意运算的合法性和结果的 准确性。
03
无穷大量与有界量进行运算时 ，结果通常仍然是无穷大量， 除非有界量趋于零的速度快于 无穷大量趋于无穷大的速度。
重要无穷大量举例
当x→0时，1/x是无穷大量，因 为当x越来越接近于0时，1/x的
绝对值无限增大。
当x→∞时，x是无穷大量，因为 当x越来越大时，x的绝对值无限
求$lim_{x to infty} frac{1}{x}$时， 由于$x$趋近于无穷大，因此 $frac{1}{x}$趋近于0，即无穷小 量。
求$lim_{x to 0^+} ln x$时，由 于$x$趋近于0但大于0，因此$ln x$趋近于负无穷大，即无穷大量 出现在极限中。
06 结论与展望
本文工作总结
02
如果两个无穷大量在自变量的同一变化过程中，它们的比值 趋于一个非零的常数，则称这两个无穷大量是同阶的。
03
如果两个无穷大量的比值趋于无穷大或零，则称它们是不同 阶的。其中，趋于无穷大的称为高阶无穷大，趋于零的称为 低阶无穷大。
无穷大量运算规则
01
无穷大量在四则运算中满足一 些基本的运算规则，如加法、 减法、乘法和除法等。
极限概念是微积分学的基础，对于理解导数、积分等概念具有关键作用。
无穷小量在极限过程中作用
01
02
03
无穷小量是极限过程中的一个重 要概念，表示一个趋近于0的量。
在求极限时，无穷小量可以帮助 我们简化计算，量的性质对于理解极限的 运算法则、连续性等概念也具有 重要意义。
无穷小量和无穷大量都是基于极限理论的概念，用于描述函数或数列在特定点的变化趋势。
相互转化关系

故 x
0
0
1 x 时 y , y e , y arc cot x x
都是无穷小量.
注 2）
(1) 无穷小量是变量；任何非零常数（无论其绝 对值多么小）都不是无穷小. (2) 无穷小量与极限过程有关，不能孤立的说一 个变量是无穷小. (3) 0是唯一的无穷小常数，但无穷小不是0.
铅直渐近线 x 1
1 y x 1
1 1 1 . 当0 x 1 时, 就有 M . lim x 1 x 1 M x 1
定义 : 如果 lim f ( x ) , 则直线x x0是函数y f ( x )
x x0
的图形的铅直渐近线.
定理6 在自变量的某一变化过程中，如 1 果 f x 为无穷大量，则 f x 为无穷小量；反之， 如果 f x 为无穷小量，且 f x 0 ，则 1 为无 f x 穷大量.
无穷小一般用希腊字母 等表示.
例子
(1) lim x 2 0, x 0 时, x 2 是一个无穷小量 .
x 0
(2) lim sin x 0, x 0 时, sin x 是一个无穷小量 .
x0
1 1 (3) lim 0, x 时, 是一个无穷小量 . x x x
2.3 无穷小量与无穷大量
一、无穷小量
二、无穷大量
1
一、无穷小量
定义: 在自变量的某一变化过中，以零为极限的 函数，称为无穷小量（或简称为无穷小）. 注1） 这里所说的自变量的变化过程包括
x x0 , x x , x x , x , x .
1 x lim 0 , lim e 0, lim arc cot x 0 如， x x x x

证明
时的有界量， 由于 g ( x ) 是 x → X 时的有界量，
0 ≤ f ( x ) g( x ) ≤ M f ( x ) (x → X )
则存在常数 M > 0, 使得 g ( x ) ≤ M ( x → X )
从而
由于 f ( x ) = o(1) ( x → X )， 从而 lim M f ( x ) = M lim f ( x ) = 0,
记为α ~ β ( x → X )
(二) Def2.７: 二 ７
α和β为数列时同样定义. → 变化趋势下的两个无穷大量， 设 α 和 β 均是 x→ X 变化趋势下的两个无穷大量， α 且lim = A， x→X β 的低阶的无穷大量. (1)如果 = 0 则称 α 是 β 的低阶的无穷大量 A ， 的高阶的无穷大量. 或称 β 是 α 的高阶的无穷大量 记为 = o(β )(x → X) α 是同阶的无穷大量. (2)如果 ≠ 0 则称 α 与 β 是同阶的无穷大量 A ，
x →0
lim x = 0 +
lim ln x = 0
x →1
x = o ( 1 ) ( x → 0+ );
ln x = o ( 1 ) ( x → 1 );
e x = o ( 1 ) ( x → ∞ );
x → ∞
lim e x = 0
定义2.5 若 lim f ( x ) = ∞ , 则称 f ( x )是 x → X 时无穷大量 . 定义 x→ X
1 2 1 cos x ~ x , 2
x ~ ln(1 + x) ~ e 1,
x
当 x → 1 时,
ln x ~ x 1.
a x 1 ~ x ln a (a > 0, a ≠ 1) (1 + x )a 1 ~ ax (a ≠ 0 是常数 )