7.4Fourier级数

) (f2 , ϕn )ϕn = lim
N →∞
f = lim
N →∞
(f1 , ϕn )ϕn + i
2N ∑
(f, ϕn )ϕn = lim SN f ，
N →∞
n=0
n=0
此级数（或部分和 SN f ）在 L2 (−π, π ) 中收敛到 f 。 由于
ϕ2n−1 = cos(nx) =
einx + e−inx , 2
∀ g ∈ span(ϕ0 , ϕ1 , · · · , ϕ2N ) 。
练习 4.1： 假设 f 是以 2π 为周期的函数，试推导 ∫ π 1 sin[(N + 1/2)t] SN f (x) = f ( x + t) d t， 2 π −π sin(t/2) ) ∫ π( 1 sin[(N + 1)t/2] 2 AN f (x) = f (x + t) dt。 2(N + 1)π −π sin(t/2)
1 2(N +1)π
(1.6) (1.7)
被 称 为 Fejér 核 函 数。 如 图 3.1 所 示，FN (t) ≥ 0 且 函 数 FN (t) = ∫π −π FN (t) dt = 1，并且当 N → ∞ 时函数 FN (t) 趋于 δ 函数。
(
sin[(N +1)t/2] sin(t/2)
N →∞ x∈[−π,π ]
|AN f (x) − f (x)| = 0 。
由 ∥AN f − f ∥L2 ≤ 推论 4.1
√
2π
sup
x∈[−π,π ]
由于 ∥AN f − f ∥L2
|AN f (x) − f (x)|，我们进一步得到 lim ∥AN f − f ∥L2 ＝0。 N →∞ √ ≤ 2π ∥AN f − f ∥C , 从以上定理我们看出如果 f ∈ Cper [−π, π ] 则

函数的fourier级数展开Fourier级数展开是应用数学中一种非常重要的展开形式，它可以将任意周期函数表示为由正弦和余弦函数组成的无穷级数的和。

其基本的数学原理是利用Fourier定理，将一个周期函数展开成正弦函数和余弦函数的线性组合，这样就可以将任意复杂的函数表示为一个简单的函数的和。

（1）Fourier级数展开的概念Fourier级数展开是在函数分析领域中非常有用的一种展开技术，它可以将一个周期函数表示为无穷多正弦函数和余弦函数的线性组合。

其基本原理就是根据Fourier定理，将一个周期函数分解成一系列正弦和余弦函数的和。

由Fourier定理可以推出正弦函数和余弦函数构成级数的系数，并且当正弦函数和余弦函数的频率越高时，其系数越小，因此任意复杂的函数可以利用Fourier级数展开的方法表示成一个由简单函数构成的无穷级数的和。

（2）Fourier级数展开的用途Fourier级数展开的用途很广泛，几乎在所有研究中都有用到。

其中最常用到的是数学分析，特别是在解决各类偏微分方程时，通常都会用到Fourier级数展开。

此外，Fourier级数展开也经常用在信号处理的研究中，例如图像压缩、声音和音乐的处理等，都会用到这种技术。

Fourier级数展开也广泛应用于工程科学中，对于对于复杂的物理系统的理解和数值模拟也都需要利用Fourier级数展开技术来进行研究。

（3）Fourier级数展开的特性Fourier级数展开有很多优越的特点，首先它具有良好的精度。

在计算上，由于Fourier级数展开可以将复杂的函数简化成由简单函数构成的线性组合，因此Fourier级数展开对高精度的计算是非常有用的。

其次，Fourier级数展开可以最大程度地增加函数信息的传递效率。

可以说，Fourier级数展开最主要地优势在于复杂函数的快速精确展开。

（4）Fourier级数展开的方法Fourier级数展开的方法非常的多，大致可以分为几种类型。

由 f ( x ) 的 Fourier 系数建立的三角级数 a0 ∞ + ∑ ( an cos nx + bn sin nx ) 2 n =1 称为 f ( x ) 的 Fourier 级数 , 记为
公式 :
1 an = π
∫−π f ( x)cosnxdx
π
a0 ∞ f ( x) ~ + ∑ ( ancos nx + bnsin nx ) 2 n =1
取 x = 0, 则
4π + 4 1 = 2π 2 ∑ n2 3 n =1
4 ∑ 12 = 2π 3 n n =1
∞ 2
2
∞
?
收敛定理 !
1 =π2 ⇒∑ 2 6 n n=1
∞
16
1 1 1 π2 1+ 2 + 2 + 2 + L = L 8 3 5 7
1 =π2 ∑ n2 6 n=1
∞
1 1 1 1 π2 ⇒ 2 + 2 + 2 + 2 +L = L . 24 2 4 6 8
a0 ∞ f ( x − 0) + f ( x + 0) + ∑ (an cos nx + bn sin nx ) = 2 n =1 6 2 (证明 ) 略
函数 f ( x ) 展开成 (收敛的) Fourier 级数所要求条件不高 (与幂级数相比) , 收敛性容易得到满足 .
将 f ( x ) 展开成 Fourier 级数常用直接方法 .
x2
− 2x
sin nx
1 − n cos nx − 12 sin nx n 1 cos nx n3
14
2 0
a0 = 8 π 2 , 3

于是得到 f 的正弦级数
f ( x ) ~ 2
sin 2 x sin 3x (1) n 1 sin nx (1) n 1 sin nx 2sin x 。 n 2 3 n n 1

它的几何意义是由一系列的正弦波迭加出来的三角波（图 9.3.3(a)） ，其逼近情况见图 9.3.3(b)。与例 9.3.1 类似，它在 x 时的值是 0，与 f ( x ) 不相等。 注意， 这两种级数的表达形式虽然大相径庭， 但在下一段就会知道， 若限制在 [0, ) 上，它们表示的确是同一个函数。
n a0 S n ( x) (a k cos kx bk sin kx) 2 k 1
大概应该收敛于 f ( x) ，而在跳跃间断点处，Fourier 级数似乎收敛于 f 在该点左右极 限的中点。 为了判断 Fourier 级数的收敛性， 我们先引入分段单调和分段可导的概念。
定义 9.3.1 设函数 f 在 [a, b] 上有定义。如果在 [a, b] 上存在有限个点
y 1

0

x
(a) (b)
图 9.3.1
函数 f 的图形在电工学中称为方波（图 9.3.1(a)） ，上式表明它可以由一系列正弦 波迭加得到。但显然，当 x 0 和 时，右端级数的和为 ，不等于 f ( x ) 。 图 9.3.1(b)给出了在 [ , ] 上， f 的 Fourier 级数的部分和函数 S m 的逼近情况。 正弦级数和余弦级数 由定积分的性质，若 f 是奇函数，那么显然有 an 0 ，而
1 bn T

于是得到 f 的 Fourier 级数
f ( x) ~
1 (1) n 1 (1) n 1 1 2 (1) n 2 2 cos nx 2 3 2 sin nx 。 6 n 1 n n 1 n n