任意项级数绝对收敛与条件收敛(精选)

第四节条件收敛与绝对收敛对于任意项级数a n ,我们已经给出了其收敛的一些判n 1别方法，本节我们讨论任意项级数的其他性质 一条件收敛 与绝对收敛定义 对于级数 a n ，如果级数 I a n |是收敛的，n 1n 1a n 绝对收敛。

n 1如果|a n |发散，但a n 是收敛的，我们称级数n 1n 1敛。

(1)n 1.n 1 n收敛级数可以看成是有限和的推广，但无限和包含有极 限过程。

并不是有限和的所有性质都为无限和所保持。

大体 说来，绝对收敛的级数保持了有限和的大多数性质，条件收 敛的级数则在某些方面与有限和差异很大。

下面我们讨论条 件收敛与绝对收敛的性质。

定理绝对收敛级数必为收敛级数，反之则不然证明：设级数 a n 收敛，即|a n I 收敛，由Cauchy 收敛准则， n 1n 1对 0,存在N ，当n>N 时，对一切自然数 p,成立着丨 an 1 丨1 an 2 11 an p 1于是：我们称级数a n 条件收n 1条件收敛的级数是存在的，如1 a n 1 a n2 a np丨丨a n 1丨丨a n2丨丨a n p丨再由Cauchy收敛准则知a n收敛。

n 1由级数(1)可看出反之不成立。

n 1 n注：如果正项级数|a n |发散，不能推出级数a n发散。

n 1 n 1但如果使用Cauchy判别法或DAlembert判别法判定出|a n |n 1发散，则级数a n必发散，这是因为利用Cauchy判别法或n 1D'lembert判别法来判定一个正项级数| a n |为发散时，是n 1根据这个级数的一般项| a n|当n 时不趋于0，因此对级数a n而言，它的一般项也不趋于零，所以级数n 1例讨论级数(1)n1^ 1的敛散性，如收敛指明是条件n 1 n 1 s'n p收敛或绝对收敛。

解，当p 0时，由于W需总0,所以级数发散.当p 2时，因为n 2 1n 1 n plim ------- : ---- 1n 1/ .n p而1收敛，所以原级数绝对收敛。

n un n (2n 2)!
lim
1
n (2n绝对收敛
(3) lim un1 lim n x | x |
n un
n n 1
则当| x | 1时，级数收敛；当| x | 1时，级数发散，
而 x 1时，级数是否收敛取决于 为何值.
称为定义n在1 区间 I 上的(函数项)无穷级数.
例如级数 xn 1 x x2 ,
n0
ln x ln2 x lnn x
对于每一个 x0 I ，函数项级数 un ( x0 ) 就是
一个常数项级数
n1
微积分十一 ④
27/34
2.收敛点与收敛域
如果 x0 I，常数项级数 un ( x0 ) 收敛,
0, 级数 (1)n1
n1
1 np
收敛.
证明：
1)
lim
n
vn
lim
n
1 np
0
1
2)vn n p
1 (n 1) p
vn1
由莱布尼兹判别法知：原级数收敛.
微积分十一 ④
8/34
例5.证明
(1)n1
ln n
收敛
n1
n
条件(1),(2)均 不好检验
对导证交函错数vn级 的 数 单lnn使 调n ,令用 性莱 判f (布断x)尼级 茨数lnx判前x 别后由法项x时大lim，小 l可和nxx以 求借 极xli助 限m可 。1x 0
n0
在收敛域：(1,1) 其和函数为：S( x)
1
1 x
注意：级数的收敛域未必等于和函数的定义域
微积分十一 ④
29/34
2.1、定义
⑴ (x-x0) 的幂级数: 形如 an( x x0 )n的级数。

n 1
' u u n 的更序级数 n
n 1


对收敛,且其和相同,
un
un
n 1

n 1
仍为绝
'
证明
' u (i)我们先证明当 n为收敛的正项级数的情形. n 1

考虑更序级数 u ' n 的部分和 S k ' .因为
n 1
u un1 , u2 un2 ,, uk unk ,
n 1


于是得知 wn 亦必为收敛.又由于 un vn wn ,所以
n 1

得知级数
u
n 1

u
n 1
n

n

v
n 1

n
wn
n 1

vn wn 两个级数 和 都发散. n 1 n 1
绝对收敛 ,此与已知条件矛盾,因此证明了
定理2
绝对收敛级数
§9.5
绝对收敛级数和条件收敛 级数的性质
定理1 对于级数 u ,将它的所有正项保留而将
n 1 n

负项换为0,组成一个级数记为 vn .将它的所以负项 n 1 变号(乘上因子-1)而将正项换为0,也组成一个正项级 数记为
亦即
un , un 0 un un vn { 0, un 0 2 un , un 0 un un wn { 0, un 0 2
1 1 q q q q 1 q
2 3 n
绝对收敛，将其自乘得到什么结果
The Class is over. Goodbye!
' n 1 n 1 n 1

小结
三、小结
正 项 级 数
1. 若 Sn S , 则级数收敛;
任意项级数
审 敛 法
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2. 当 n , un 0, 则级数发散 ; 3.按基本性质;
4.充要条件 5.比较法 6.比值法 7.根值法
4.绝对收敛
5.交错级数 (莱布尼茨定理)
作业
四.
作业
习题9.5
1, 2（除（4）之外）, 3, 4
a n收敛.
n 1

定理5.1的逆命题不一定成立.
例1
例1.判断下列级数是条件收敛还是绝对收敛.
sin n! （ 1 ） ，（ 2 ） ( 1)n1 ln( 1 1 ) n n1 n2 n1
sin n! | 1 ， 由于 a | 解：(1) n n2 n2
原级数绝对收敛.
§9.5
绝对收敛与条件收敛
定义与研究问题
定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. 任意项级数的各项取绝对值
任意项级数
正项级数
问题: 如何研究任意项级数的敛散性问题？
绝对收敛和条件收敛
一、绝对收敛
定义5.1 若 an 收敛，则 an是绝对收敛; 设 an收敛, 但 an 发散，则称 an是条件收敛.
n1 n1 n1 n1 n1
定理5.1 若 an 收敛, 则 an也收敛.
0, N ,当n N时， 证法1： an 收敛，
n1
n1
n1
a
n1
a
n p
a , 对p N *成立.
k n1 k n p
k n1 k
n p

n
lim u n 0
n 1 ( 1 ) un 收敛 则交错级数 n 1

15
思考题
设正项级数
un 收敛 , 能否推得
n 1


n 1
2 un
收敛 ?
反之是否成立 ? 若是任意项级数呢 ?
16
un lim un 0 ， 解答 设 un 是正项级数， lim n u n n n1
若 x 1 , 级数绝对收敛； 若 x 1 ,级数发散；
若 x 1 , 该级数的通项不趋于 0， 级数发散；
13
内容小结
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数收敛法
必要条件 lim u n 0
n
满足
不满足
发 散
un 1 比值判别法 lim u r n n
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
1 1) ; n 1 n
发散

1 2) ; n 1 n !
收敛

n 3) n . n 1 10
收敛
5

定义：正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
定义 若

| u
n 1

n
| 收敛,则称 un 绝对收敛；
n1
n

若
un 收敛,但 | u
u1 .
1
(1)
n 1

n 1
un (其中un 0)
定理(莱布尼茨定理) 如果交错级数满足条件
（1） un un1 ,即 {un } 单调递减；
（ 2 ） lim un 0 ,
n
则交错级数

也得一个新的正项级数，记为 n .

un un 即 n 2
{
un，当un 0时 0, 当un 0时
n 1
.
2
2015年8月30日星期日
§9.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质
则这样的级数与原来级数的收敛性有如下结论:
(1).若级数 un绝对收敛,
则级数 vn和 n都收敛;
n 1
证毕
19
2015年8月30日星期日
§9.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质
梅尔腾斯（Mertens）定理：
若级数 un与 vn中仅有一个绝对收敛， 其和为A，
另一个是条件收敛，其和为B， 则它们的柯西乘积所组成的级数仍收敛，其和为AB.
n 1 n 1
定理2和定理3指出，绝对收敛级数具有和 普通有限项和数相仿的两个运算性质---交换律 和分配律成立.
（）先证 1 证明： un为收敛的正项级数（必绝对收敛）情形.
n1


n 1

n 1
n 1
n 1
的部分和Sk ， 考虑它的更序级数 un

un1 , u2 un2 ,, uk unk , 由u1
所以取n大于所有下标 n1 , n2 ,nk 后, 应有
由于级数 un和 vn都绝对收敛，所以 U*，V*都有界.
n 1 n 1


* 另外 S n u n1 vm1 u n2 vm2 u nn vmn
（u1 u2 u ）（v1 v2 v ）
U* V*，
* 即Sn 有界，这证明了级数 n绝对收敛. n 1
n 1
n 1 n 1

(2).若级数 un条件收敛,

n1
n1
证明
令
pn
1 2
(|
un
|
un )
un 0,
,
un 0 ， un 0
qn
1 2
(|
un
|
un
)
un 0,
,
un 0， un 0
则级数 pn和 qn分别是由原级数中正项和负项组成.
n1
n1
6
例如若原级数是交错级数,则
un (1)n1vn v1 v2 v3 v4 v2n1 v2n
非绝对收敛.
16
(1)n1 sin
n1
n2 1 n
设 f ( x) sin
,
x2 1 x
f ( x) cos
•
,
x2 1 x x2 1( x2 1 x)
所以
f ( x) 0, ( x 1).
lim
n
un
lim sin
n
0 n2 1 n
原级数条件收敛.
17
(6)
(
令 f ( x) x ln x ( x 0) , 则 f ( x) 1 1 0 ( x 1) ,
x
f ( x)在 (1,) 上单增,
由莱布尼茨定理, 此交错级数收敛. 原级数条件收敛．
13
(1)n1 n
(4)
,
n1 n 1
(课堂练习)
解 易见级数非绝对收敛.下面用莱布尼茨判别法.
un 0， un 0
则级数 pn和 qn分别是由原级数中正项和负项组成.
n1
n1
pn和 qn都是正项级数, 且满足
n1
n1
pn | un |, qn | un |

（ u u u ）（ v v v ） 1 2 1 2
U* V*，
* 即 S 有界，这证明了级数 绝对收敛 . n n n 1
2019/2/12
17
再 应 用 定 理 2 , 也 的 更 序 级 数 绝 对 收 敛 , 且 它 们 和 相 同 ,
引
言
对于任意项级数，我们给出绝对收敛 与条件收敛的概念，无论是绝对收敛级数 还是条件收敛级数,都具有本章第二节所 给出的1-4个性质,除此而外,对于这两种 不同的收敛级数,还具有各自不同的重要 性质.本节分别进行简单介绍和讨论.
2019/2/12
1
一.绝对收敛和条件收敛级数的性质
n 1

定理1: 若对级数 un， 将 它 所 有 正 项 保 留 而 负 项 换 为 0 ， 此 定 理 揭 示 的 规 律 ？
由 定 理知 1 ，
这 两 个 级 数 都 收 敛 .
设 它 们 的 和 分 别 为 V 和 W , 则 有
2019/2/12
8
u V W. 由 ( 1 ) 知 u 的更序级数 u 有 u V W , 绝对收敛 即更序级数 u .
n 1 n
u

V W ,
18
以下再证明这个和数恰 为UV.
考虑由正方形法排列所 构成的级数，并加括号 如下
a u v （ u v u v u v ）
n 1 n 11 12 22 21

（ u v u v u v u v u v ） ， 1 3 2 3 3 3 3 2 3 1

* V v v v ， 即的 v 分 和 . 1 2 n 部 n 1

∞ n2 n2 故 ∑ ( 1 ) n n 收敛, 因此 ∑ ( 1 ) n n 绝对收敛. e e n=1 n =1
∞
x 例3-1 判定 ∑ ( 1 ) sin ( x > 0 ) 的敛散性 . n n =1 x x x n 解 因 un = ( 1 ) sin = sin ~ (n → ∞ ) n n n ∞ x ∞ 而 ∑ 发散,由比较法知 ∑ un 发散, n =1 n n =1
∑
∞
1
p
( p > 1) 收敛 ,
故
n =1
∑
∞
cos nx n
p
收敛, 从而
n =1
∑
∞
cos nx
n
p
绝对收敛 .
例2-2 证明 ∑
∞
sin nα n
4
n=1
绝对收敛 .
1 ∑ n 4 收敛 , n=1
∞
证 (1) 因 sin n α ≤ 1 , 而 n4 n4
故
n=1
∑
∞
sin n α n
∞
( 1 )n 1
问题:
n =1
∑ un与 ∑ un 敛散性的关系?
n =1
∞
∞
二,绝对收敛与条件收敛
1. 定义
()∑ un 绝对收敛: ∑ un 收 1 若 n =1 n =1 敛; (2 ∑ un 条件收敛: 若 ∑ un 收敛,但 ∑ un 发散. )
n =1 n =1 n =1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
n→ ∞
lim S2 n = S ≤ u 1
2 再证 lim S2n1 = S
n→∞
又 lim S2 n + 1 = lim ( S2 n + u2 n + 1 ) = lim S2 n = S

第四节条件收敛与绝对收敛对于任意项级数J■ an ,我们已经给出了其收敛的一些判n =1别方法，本节我们讨论任意项级数的其他性质一条件收敛与绝对收敛。

定义10.5对于级数a n，如果级数'Ta n l是收敛的，我们称n =1n =1级数v a n绝对收敛。

n d如果-|a n |发散，但7 a n是收敛的，我们称级数7 a n条件收n =1 n =1n =1敛。

n 1条件收敛的级数是存在的，如、口n=1 n收敛级数可以看成是有限和的推广，但无限和包含有极限过程。

并不是有限和的所有性质都为无限和所保持。

大体说来，绝对收敛的级数保持了有限和的大多数性质，条件收敛的级数则在某些方面与有限和差异很大。

下面我们讨论条件收敛与绝对收敛的性质。

定理10.17绝对收敛级数必为收敛级数，反之则不然Q Q Q Q证明：设级数v a n收敛，即v |a n |收敛，由Cauchy收敛准n =1 n=1则，对_ ;0,存在N，当n>N时，对一切自然数p,成立着|a n 1 | |a n 2 I |a n p I —于是：|a ni a n.2 a n p 卩la nd L |a n 2 I Wn p 卜；Q Q再由Cauchy 收敛准则知a n 收敛。

n 丄n 1由级数-可看出反之不成立。

n=i n注：如果正项级数|a n |发散，不能推出级数】a n 发散。

n =1n=1但如果使用 Cauchy 判别法或 D 'Alembert 判别法判定出OQQ Q；'|a n |发散，则级数「a n 必发散，这是因为利用Cauchy 判 n =1n =1Q Q别法或D 'Alembert 判别法来判定一个正项级数、ja n |为发散 心时，是根据这个级数的一般项|a n |当n 》=时不趋于0，因此 Q QQ Q对级数J an 而言，它的一般项也不趋于零， 所以级数J an 发n =1n =1散。

∑ an 是发散的，则级数 ∑ an 也是发散的。理由是，在上述判别法的证明
n =1 n =1
∞
∞
过程中，我们得到了 an 不趋向于零，因而我们知道 an 也不趋向于零。由此，我们有下列定 理：
定理 2：设 ∑ an 是任意项级数，
n =1
∞
1) 若 lim
n →∞
∞ an +1 < 1 ，则 ∑ an 绝对收敛； an n =1
证明：设级数
∑a
n =1
∞
n
绝对收敛，即：
∑a
n =1
∞
n
收敛，由收敛级数的 Cauchy 准则，
∀ε > 0 ，∃ N ∈N ，n > N 时，∀ p ∈N ， 有： an +1 + an + 2 + " + an + p < ε ，
因此： an +1 + an + 2 + " + an + p ≤ an +1 + an + 2 + " + an + p < ε ， 即级数
高等微积分讲义
第4讲
任意项级数
上一节讨论了正项级数收敛的条件。对于负项级数，利用级数的基本性质（数乘），只 需对其每一项同乘以 −1 即化为正项级数，因而我们可以认为对于定号级数的问题已经基本 讨论清楚了。另外，对于只有有限项为负的（或有限项为正的）级数，其级数的收敛性与定 号级数没有区别，这里也不做讨论了。这一节我们来讨论最一般的数项级数的性质。一般说 来，它可以同时有无穷多项为正，无穷多项为负。
下面对一类比较特殊的任意项级数进行讨论。 我们考虑正负项交替出现的级数， 即交错 级数的收敛性。记级数为：

பைடு நூலகம்
思考题1解答
由 级 数 收 敛 ， 可 以 推 得 收 敛 , |u | u n n
n 1 n 1
反之不成立. 例如：
n1 ( 1) 收敛, n n 1
1 发散. n1 n

思考题2
判断级数

是否收敛？ n n2 n （ 1 ） 若收敛是条件收敛还是 绝对收敛？
又 lim u n 0
n
故级数收敛.
(1)n n 例 2 判别级数 的收敛性. n 1 n2
解

x ( 1 x ) ( ) 0( x 2 ) 2 x 1 2x ( x 1 )
x u u , 故函数 单调递减 , n n 1 x 1 n . 又 lim u lim 0 原级数收敛. n n n n 1
注意 1.莱布尼茨判别法是判定级数收敛的充分而非 必要条件；
n1 u n 2.判定 u 的方法
un1 1 ) u u 0 ； 2） 1； n 1 n un 3）相应函数的单调性.
二、绝对收敛与条件收敛
定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. 任意项级数的各项取绝对值 任意项级数 正项级数
x ( x ) 则 此 级 数 对 一 切 绝 对 收 敛
u (2 n )! n 1 (2 )lim lim | x|2 n u n (2 n2 )! n 1 lim | x|20 n (2 n2 )(2 n1 )
x ( x ) 则 此 级 数 对 一 切 绝 对 收 敛
般常数项级数的绝对收敛性时, 我们可以借助正项 级数的判别法来讨论.
例 3判 别 级 数

1 1) ∑ ; n=1 n
发散
∞
1 2) ∑ ; n=1 n!
收敛
∞
n 3) ∑ n . n=110
收敛
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∞
二、绝对收敛与条件收敛
定义: 定义 对任意项级数 若 收敛 ,
则称原级 数Leabharlann 绝对收敛 ；机动目录
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定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 .反之未必成立 证: 设 收敛 , 令
xn (1 ∑ ; ) n=0 n! (3)
∞
xn (2) ∑ . n=0 n .
∞
∑nx
n= n=0
∞
n−1
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3. 任意项级数审敛法 概念: 概念 为收敛级数 绝对收敛
条件收敛 Leibniz判别法 判别法: 判别法
un ≥ un+1 > 0
n→∞
lim un = 0
则交错级数 ∑(−1)nun收敛
比值法
是
莱布尼兹判别法
比较法
是
n→∞
lim Sn存在否？ 存在否？
其它方法
1. C (A) 发散 ; (C) 条件收敛 ; 分析: 分析 又 (B) 绝对收敛 绝对收敛;
则级数
(D) 收敛性根据条件不能确定 收敛性根据条件不能确定. ∴ (B) 错 ;
机动
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(2) 令
(1) ∑
∞
sinnα n
4
n=1
;