关于级数的绝对收敛

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔ ｏｆ ａｂｓｏｌｕｔｅ ｃｏｎｖｅ唱ｅｎｃｅ ｉｓ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ．Ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ ｄｕａｌ ｐａｉｒ（Ｘ，ｘ’），Ｔｈｅｒｅ ｅｘｉｓｔｓ ａｎ ａｄｍｉｓｓｉｂｌｅ ｔｏｐｏｌｏｇｙ丁ｏｎ ｘ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ，ｉｎ（Ｘ，丁），ｂｏｕｎｄｅｄ ｍｕｌｔｉｐｌｉｅｒ ｃｏｎｖｅ唱ｅｎｔ ｓｅｒｉｅｓ ａｒｅ ａｂｓｏｌｕｔｅｌｙ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ ｂｕｔ ｉｎ（Ｘ，ｒ’），ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ａｄｍｉｓｓｉｂｌｅ ｔｏｐｏｌｏｇｙ ｒ’ｉｓ ｓｔｒｉｃｔｌｙ ｓｔｒｏｎｇｅｒ ｔｈａｎ ｒ，ｔｈｅｒｅ ｅｘｉｓｔ ｂｏｕｎｄｅｄ ｍｕｌｔｉｐｌｉｅｒ ｃｏｎ． Ｖｅ唱ｅｎｔ ｓｅｒｉｅｓ ｗｈｉｃｈ ａｒｅ ｎｏｔ ａｂｓｏＩｕｔｅｌｙ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ．Ｔｈｉｓ ｒｅｓｕｈ ｉｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ Ｕｎｉｆｏ珊Ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ Ｌｌｅｍｍａ… ｏｆ Ｕ Ｒｏｎｇ．１ｕ ａｎｄ Ａｎｔｏｓｉｋ．Ｍｉｋｕｓｉｎｓｋｉ Ｂａｓｉｃ Ｍａｔｒｉｘ Ｔｈｅｏｒｅｍ［引． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ： ａｂｓｏｌｕｔｅ ｃｏｎＶｅＥｇｅｎｃｅ； ｂｏｕｎｄｅｄ ｍｕｌｔｉｐｌｉｅｒ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ； ｅｑｕｉｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ； ａｄｍｉｓｓｉｂｌｅ ｔｏｐｏｌｏｇｙ； Ａｎｔｏｓｉｋ．Ｍｉｋｕｓｉｎｓｋｉ Ｍａ喇ｘ Ｔｈｅｏｒｅｍ
０．从而，
∑Ｉ竹（勺）Ｉ＝∑厶（ｙｉ）＜＋∞．
由引理２知∑勺在（ｘ，下）上绝对收敛．
定理４ 对任意对偶系统（ｘ，ｘ’），存在一个 ｘ上的可容许拓扑ｒ，使得
１）在（ｘ，丁）上，有界乘数收敛级数都是绝对 收敛的；
２）若ｒ ７是ｘ上的可容许拓扑且ｒ菩ｆ’，那么
必存在级数∑％在（ｘ，ｒ’）上有界乘数收敛但不
∑三。４（ｑ）收敛，但∑量。Ｉ｝４｜Ｊ＝＋∞Ｈ’５ ３．
前面已经指出，在（ｘ，盯（Ｘ，ｘ’））中，有界乘 数收敛蕴含绝对收敛．下面要证明对任意无穷维 对偶系统（Ｘ，ｘ７）来说，存在强于弱拓扑盯（Ｘ，ｘ’） 的拓扑ｒ使得在（石，ｒ）中，有界乘数收敛蕴含绝 对收敛．
对△＝｛Ｊ．，止，…｝∈Ｎ，歹。＜－『２＜…，命
ｌ＝ｌ ＪＥ△ｌＪ＞蜘
Ｊ ２蜘＋ｌ
ｌ＝Ｉ ＪＥｄ‘Ｊ＞＾０
从而证明了∑量，，，；＝∑二。ｑ。
类似地，若ｕ墨，△ｉ＝｛，，也，…｝事Ｎ，＾＜ Ｊ２＜…，则
∑∑％＝∑‰．
江１』Ｅ△ｉ
＾；ｌ
另外，∑二。），ｉ子级数收敛由于△咄ｎ△‘＝∥（而≠
，）． 在对偶系统（ｘ，ｘ’）中，令丁是ｘ中在每个
｛以｝∈／彩＝｛｛六｝∈ｘ’：ｊ（ｏ。）∈Ｚ１使得
［２］ＡＮＴ０ｓＩＫ Ｐ，ｓｗＡＩ订１ｚ ｃ．Ｍ砒ｒｉｘ ｍｅｔｈｏｄｓ ｉｎ ａｎａｌｙｓｉｓ
［Ｊ］．Ｌｅｃｔｕｒｅ Ｎｏｔｅｓ ｉｎ Ｍａｔｈ ｓｐｒｉｎｇｅｒ—Ｖｅｄａｇ，１９８５，
［３］ｗＩＬＡＮｓＫＹ Ａ．Ｍｏｄｅｍ Ｍｅｔｈｏቤተ መጻሕፍቲ ባይዱｓ ｉｎ Ｔｂｐｏｌｏ西ｃａｌ Ｖｅｃｔｏｒ ｓｐａｃｅｓ［Ｍ］．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：ＭｃＧｒａｗ—Ｈｉｌｌ，１９７８．
圣嚣Ｐ Ｉ八勺）Ｉ＋１≤；Ｉ ｚ（勺）ｌ＋２·
从而证明了∑巧是绝对收敛的． 称ｘ中的级数∑％是有界乘数ｃａｕｃｈｙ（有界
乘数收敛的）若对任意｛ｏ｝∈ｚ。，｛∑羔。ｏ吩ｔ。 ｃａｕｃｈｙ（∑二，诵收敛）．由推论１容易验证，局
部凸空间中的绝对收敛级数一定有界乘数
Ｃａｕｃｈｙ．
反之，每个无穷维Ｂａｎａｃｈ空间都存在级数有 界乘数收敛而不绝对收敛．然而，有如下结论：
［４］ＲＯＬＥｗＩｃｚ ｓ． ０ｎ ｕｎｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｌ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｌｉｎｅａｒ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ［Ｊ］．Ｄｅｍｏｎｓｔｍｔｉｏ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ，１９８８，２１：
［５］ＴＨＯＲＰ Ｂ Ｌ Ｄ．ｓｅｑｕｅｎｔｉａｌ—ｅｖ８１ｕａｔｉｏｎ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ［Ｊ］． Ｊ Ｌ０ｎｄｏｎ Ｍａｔｈ Ｓｏｃ，１９６９，４４：２０１—２０９．
绝对收敛． 事实上，ｒ＝ｓｕｐ｛ｒ’：丁’是Ｘ上的可容许拓
扑；在（ｘ，丁’）上有界乘数收敛蕴含绝对收敛｝．
参考文献：
Ｌ，ＢｕＱＹ．ｋａｌｌｙ ［１］ｕ Ｒ
ｃｏｎｖｅｘ ｓｐａｃｅｓ ｃｏｎｔａｉｎｉｎｇ ｎｏ ｃｏｐｙ
ｏｆ ｃ０［Ｊ］．Ｊ Ｍａｔｈ Ａｎａｌ Ａｐｐｌ，１９９３，１７２（１）：２０５—２１１．
个等度连续子集，则曰＝｛矿：Ｉ ｔ Ｉ≤ｌ／∈Ａ｝也
等度连续．因此，对任意｛乃｝∈Ａ，∑二，Ｉ‘７；（％）Ｉ 收敛．从而，据引理１有∑三，Ｉ ｚ（巧）Ｉ关于｛ｚ｝
∈Ａ一致收敛． 若Ａ∈ｘ’等度连续，命 ０髫｜Ｉ＾＝ｓｕｐ｛Ｉ．厂（菇）ｌ：厂∈Ａ｝，菇Ｅ ｘ，
哈尔滨工业大学学报
第３７卷
则ＩＩ·忆是ｘ上的连续半范且ｘ上的局部凸拓 扑恰好就是由…·¨：Ａ∈缪｝所生成，其中猡 是ｘ’上的等度连续子集全体．
ｏ巧，Ｖ歹Ｅ Ｎ，则由引理ｌ知，∑三，馋关于｛‘｝∈
｛ｏ，１｝Ｎ一致收敛，所以存在南。∈Ｎ使得
∑勺∈ｙ，当ｍｉｎ△≥．｜｝。时．
取如∈Ｎ使得｛１，２，…，‰｝∈ｕ整。△；．那么对
后＞ｉｏ，有
∞
七
ｂ
∞
Ｉ
∑巧一∑），；＝∑勺＋∑勺一∑∑。誓一
Ｊ＝Ｉ
ｌ ２ｌ
ｌ＝Ｊ
Ｊ。铀＋Ｉ
Ｉ ２ｌ ＪＥｄｆＪ每蜘
＾
∞
＾
∑∑勺＝∑气一∑∑，巧∈ｙ＋ｙ∈ｕ
但对所有的ｎ∈Ｎ，都有（ｎ２菇。，髫。）＝１，从而
ｎ２戈。二ｏ．
定理３ 设丁是对偶（ｘ，ｘ’）中在每个｛工｝∈ｔ名
：｛｛＾｝￡ｘ，：ｊ（口。）∈ｚ，使得ｌｉｍ。厶！导存在，
Ｖ髫∈ｘ｝上一致收敛的拓扑．若∑勺在（ｘ，下）
上有界乘数收敛，则∑吩在（ｘ，下）上绝对收敛．
证明 设｛妒，｝∈｛以：凡∈Ｎ｝．不失一般性， 不妨假设当ｎ≠ｍ时＾≠厶．若｛９，｝仅包含有限 多个不同的工，那么由定理２即可证明
Ｊｏｌ
Ｊ ２ｌ
Ｉ２Ｊ
∑∑Ｊ Ｚ（巧）Ｊ＜＋∞．
１ ２ Ｊ Ｊ。Ｊ
由 万于 方Ｘ数’据Ｅ的有限子集族恰好是生成Ｘ匕弱拓扑
的集族，据引理２，∑勺在（ｘ，盯（ｘ，ｘ’））上绝对
收敛．
总的来说，即使∑吩有界乘数收敛，∑巧也
不一定绝对收敛．例如，当ｘ，ｙ是Ｂａｎａｃｈ空间， ｄｉｍｙ＝＋∞时，则必存在一列从ｘ到ｌ，的连续线 性算子｛Ａｉ｝，使得对任意有界｛髫０∈ｘ，
第３７卷第８期 ２ Ｏ Ｏ ５年８月
哈尔滨工业大学学报
ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＨＡＲＢＩＮ ＩＮＳＴ【ＴＵＴＥ ＯＦ’ｒＥＣＨＮＯＬＯＧＹ
Ｖ０１．３７ Ｎｏ．８ Ａｕｇ．２００５
关于级数的绝对收敛
杨云燕
（哈尔滨工业大学数学系，黑龙江哈尔滨１５０００ｌ，Ｅ哪ａｉｌ：ｙｙｙ蚰＠ｈｉｔ．ｅｄｕ．叻）
摘要：拓展了级数绝对收敛的概念．设（ｘ，ｘ’）是任意对偶系统，在ｚ上找到了一个可容许拓扑ｒ，使得在
中图分类号：０１７３
文献标识码：Ａ
文章编号：０３６７—６２３４（２００５）０８—１１１３—０３
ｏｎ ａｂｓｏｌｕｔｅｌｙ ｃｏｎＶｅｒｇｅｎｔ ｓｅｒｉｅｓ
ＹＡＮＧ Ｙｕｎ－ｙａｎ
（Ｄｅｐｔ．ｏｆ Ｍａｔｈｅｍ砒ｉｃｓ，Ｈａｒｂｉｎ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｈａｒｂｉｎ １５０００１，Ｃｈｉｎａ，Ｅ－ｍａｊｌ：ｙｙｙａｎ＠ｈｉｔ．ｅｄｕ．ｃｎ）
Ｎ，有
ｌｎｉｍｍ—丛—盟：＝』慨Ｈ．
Ｌ．
汕。
”
Ⅱ毗
令自然数中序列｜ｊ｝。＜＿ｊ｝：＜…．由于∑￡巧在
（ｘ，ｆ）上子级数收敛，据引理３，∑，，。，在（ｘ，ｒ）
上收敛．从而存在眠∈Ｃ使得
ｙ＊型＝ｌｉｍ垡圣趣！：眠． ｂ１ｉ∞ｍ －ｒ２１
汕∞
。
则由Ａｎｔ。ｓｉｋ—口毗Ｍｉｋｕｓｉｎｓｋｉ矩阵定口ｎ￡理‘２，６１，型＿
推论１ ｘ上级数∑勺绝对收敛当且仅当
对任意等度连续集Ａ∈ｘ’，∑三，ｌＩ勺忆＜＋∞．
引理２ 设彩是ｘ’的子集族，使得ｘ上的拓扑 恰好是在名中集上一致收敛的拓扑若｛巧｝ｃｘ，Ａ
∈彳且对任意｛ｚ｝￡Ａ有∑三，Ｉ Ｚ（吩）ｌ＜＋。。，则
∑吩是绝对收敛的．
证明 设Ｅ是ｘ’上的等度连续子集，则存在 Ａ∈名使得Ｅ∈Ａ”，其中Ａ”恰好是Ａ的平衡凸 盯（Ｘ’，Ｘ）一闭包‘３｜．
（ｘ，ｒ）上有界乘数收敛级数都是绝对收敛的，但是，当可容许拓扑下７严格强于ｒ时，在（ｘ，ｒ’）中，一定存在有
界乘数收敛级数不是绝对收敛的．这个结果的建立主要借助予李容录的一致收敛引理…和Ａｎｔｏｓｉｋ—Ｍｉｋｕｓ－
ｉｎｓｋｉ矩阵定理‘２１．
关键词：绝对收敛；有界乘数收敛；等度连续；可容许拓扑；Ａｎｔｏｓｉｋ—Ｍｉｋｕｓｉｎｓｋｉ矩阵定理
２Ｎ及自然数中序列ｎ。＜ｎ２＜…使得ＵＪ△ｉ＝Ｎ且 对所有＿『∈△。，妒ｆ＝＾ｉ，ｉ＝１，２，３，…．
命ｙｊ＝∑岛吩，ｉ＝ｌ，２，３…．则有＾。（ｙｉ）＝
厶（∑铂）＝薯职。（勺）＝善岛仍（勺）＝
，Ｅ△ｉ
ＪＥ△ｉ
Ｊ∈△‘
∑Ｉ竹（勺）Ｉ，ｉ＝ｌ，２，３，…．
考察矩阵ｆ型１ ．由于对任意戈∈ｘ，
ｌｉｍ。巡存在，则存在｛峨｝∈ｃ使得对每个Ｉ｜｝∈
定理２ 局部凸空间ｘ中级数∑巧在（ｘ， 矿（ｘ，ｘ ７））中绝对收敛当且仅当∑誓在（ｘ，
盯（ｘ，ｘ’））中有界乘数Ｃａｕｃｈｙ． 证明 假设∑并ｆ在（ｘ，盯（ｘ，ｘ’））中有界乘
数ｃａｕｃｈｙ，则有∑三，Ｉ以巧）ｌ＜＋∞，Ｖ厂∈ｘ’．
所以，若｛妒Ｊ｝ｃ｛■乒，…Ｚ｝ｃ ｘ’，那么
∑Ｉ仍（巧）Ｉ≤∑∑Ｉ Ｚ（巧）Ｉ＝
定义１ 称ｘ中的级数∑勺是绝对收敛的， 若对任意等度连续序列｛Ｚ｝￡ｘ’有∑王，ｚ（勺）
收敛．
若ｘ是赋范空间，｛骛｝∈ｘ，则∑三，ＩＩ巧ｏ＜ ＋∞当且仅当对任意等度连续序列｛彳｝∈ｘ’，∑二。