2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学9-7

1.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为侧面BCC 1B 1的中心．若AE →＝zAA 1→＋xAB →＋yAD →，则x ＋y ＋z 的值为( )A ．1B.32 C ．2D.34[答案] C[解析] ∵AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12AA 1→＋12AD →. ∴x ＋y ＋z ＝1＋12＋12＝2. 2．(2011·银川月考)若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，能使l ∥α的可能是( )A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0)B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1)C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1)D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)[答案] D[解析] 欲使l ∥α，应有n ⊥a ，∴n ·a ＝0，故选D.3．已知二面角α－l －β的大小为120°，点B 、C 在棱l 上，A ∈α，D ∈β，AB ⊥l ，CD ⊥l ，AB ＝2，BC ＝1，CD ＝3，则AD 的长为( ) A.14 B.13C ．2 2D ．2 5[答案] D [解析] 由条件知|AB →|＝2，|BC →|＝1，|CD →|＝3，AB →⊥BC →，BC →⊥CD →，〈AB →，CD →〉＝60°，AD →＝AB →＋BC →＋CD →，∴|AD →|2＝|AB →|2＋|BC →|2＋|CD →|2＋2AB →·BC →＋2BC →·CD →＋2AB →·CD →＝4＋1＋9＋2×2×3×cos60°＝20，∴|AD →|＝2 5.4．(2011·宁德模拟)已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．若|a |＝3，且a 分别与AB →，AC →垂直，则向量a 为( )A ．(1,1,1)B ．(－1，－1，－1)C ．(1,1,1)或(－1，－1，－1)D ．(1，－1,1)或(－1,1，－1)[答案] C[解析] 设a ＝(x ，y ，z )，由条件知AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)，∵a ⊥AB →，a ⊥AC →，|a |＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －y ＋3z ＝0x －3y ＋2z ＝0x 2＋y 2＋z 2＝3，将选项代入检验知选C.5．平面α经过三点A (－1,0,1)、B (1,1,2)，C (2，－1,0)，则下列向量中与平面α的法向量不垂直的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，－1 B ．(6，－2，－2)C ．(4,2,2)D ．(－1,1,4) [答案] D[解析] 设平面α的法向量为n ，则n ⊥AB →，n ⊥AC →，n ⊥BC →，所有与AB →(或AC →、BC →)平行的向量或可用AB →与AC →线性表示的向量都与n 垂直，故选D.6．将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，若点P 满足BP →＝12BA →－12BC →＋BD →，则|BP →|2的值为( )A.32B ．2 C.10－24D.94[答案] D[解析] 由题意，翻折后AC ＝AB ＝BC ，∴∠ABC ＝60°，∴|BP →|2＝|12BA →－12BC →＋BD →|2 ＝14|BA →|2＋14|BC →|2＋|BD →|2－12BA →·BC →－BC →·BD →＋BA →·BD →＝14＋14＋2－12×1×1×cos60°－1×2cos45°＋1×2×cos45°＝94. 7．如下图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．[答案] 1[解析] 以D 1为原点，直线D 1A 1、D 1C 1、D 1D 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A (1,0,1)，B (1,1,1)，B 1(1,1,0)，设DF ＝t ，CE ＝k ，则D 1F ＝1－t ，∴F (0,0,1－t )，E (k,1,1)，要使B 1E ⊥平面ABF ，易知AB ⊥B 1E ，故只要B 1E ⊥AF 即可，∵AF →＝(－1,0，－t )，B 1E →＝(k －1,0,1)，∴AF →·B 1E →＝1－k －t ＝0，∴k ＋t ＝1，即CE ＋DF ＝1.8．(2011·绍兴月考)已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，用向量方法求证：(1)E 、F 、G 、H 四点共面；(2)BD ∥平面EFGH .[证明](1)如图，EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →) ＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →，由共面向量定理知：E 、F 、G 、H 四点共面．(2)∵EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →， 且E 、H 、B 、D 四点不共线，∴EH ∥BD .又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ，∴BD ∥平面EFGH .1.二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( )A ．150°B ．45°C ．60°D ．120°[答案] C[解析] 由条件知，CA →·AB →＝0，AB →·BD →＝0，CD →＝CA →＋AB →＋ BD →.∴|CD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝62＋42＋82＋2×6×8cos 〈CA →，BD →〉＝116＋96cos 〈CA →，BD →〉＝(217)2，∴cos 〈CA →，BD →〉＝－12， ∴〈CA →，BD →〉＝120°，所以二面角的大小为60°.2.直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D 、E 分别为AB 、BB ′的中点．求证：CE ⊥A ′D .[证明] 设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ，根据题意，|a |＝|b |＝|c |，且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝CD →－CA ′→ ＝12(CA →＋CB →)－(CA →＋CC ′→) ＝－12CA →＋12CB →－CC ′→ ＝－c ＋12b －12a . ∴CE →·A ′D →＝－12c 2＋12b 2＝0. ∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .3．在棱长为1的正方体AC 1中，O 1为B 1D 1的中点．求证：BO 1∥平面ACD 1.[证明] 建立如下图所示的空间直角坐标系，O 为AC 的中点，由于正方体的棱长为1，则B (1,0,0)，O 1(12，12，1)，D 1(0,1,1)，O (12，12，0)． ∴BO 1→＝(－12，12，1)，OD 1→＝(－12，12，1)， ∴BO 1→＝OD 1→，∴BO 1∥OD 1，又BO 1⊄平面ACD 1，OD 1⊂平面ACD 1，∴BO 1∥平面ACD 1.4.在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2BC ，E 、F 、E 1分别是棱AA 1，BB 1，A 1B 1的中点．求证：平面C 1E 1F ⊥平面CEF .[证明] 以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设BC ＝1，则C (0,1,0)，E (1,0,1)，C 1(0,1,2)，F (1,1,1)，E 1(1，12，2)．设平面C 1E 1F 的法向量n ＝(x ，y ，z )．∵C 1E 1→＝(1，－12，0)，FC 1→＝(－1,0,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ n ·C 1E 1→＝0n ·FC 1→＝0，即⎩⎨⎧ x －12y ＝0－x ＋z ＝0，令x ＝1，则y ＝2，z ＝1，∴n ＝(1,2,1)．设平面EFC 的法向量为m ＝(a ，b ，c )，由EF →＝(0,1,0)，FC →＝(－1,0，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ·EF →＝0m ·FC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0－a －c ＝0. 令a ＝－1，则m ＝(－1,0,1)．∵m ·n ＝1×(－1)＋2×0＋1×1＝0，∴平面C 1E 1F ⊥平面CEF .5.如下图，平面PAC ⊥平面ABC ，△ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，E 、F 、O 分别为PA ，PB ，AC 的中点，AC ＝16，PA ＝PC ＝10.(1)设G 是OC 的中点，证明FG ∥平面BOE ；(2)证明在△ABO 内存在一点M ，使FM ⊥平面BOE .[解析] (1)证明：如上图，连结OP ，以点O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O －xyz ，由条件知，OA ＝OC ＝8，PO ＝6，OB ＝8，则O (0,0,0)，A (0，－8,0)，B (8,0,0)，C (0,8,0)，P (0,0,6)，E (0，－4,3)，F (4,0,3)，G (0,4,0)．因为OB →＝(8,0,0)，OE →＝(0，－4,3)，所以平面BOE 的法向量n ＝(0,3,4)，由FG →＝(－4,4，－3)，得n ·FG →＝0.又直线FG 不在平面BOE 内，所以FG ∥平面BOE .(2)解：设点M 的坐标为(x 0，y 0,0)，则FM →＝(x 0－4，y 0，－3)．因为FM ⊥平面BOE ，所以FM →∥n ，因此x 0＝4，y 0＝－94， 即点M 的坐标是(4，－94，0)． 在平面直角坐标系xOy 中，△AOB 的内部区域可表示为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，y <0，x －y <8.经检验，点M 的坐标满足上述不等式组，所以在△AOB 内存在一点M ，使FM ⊥平面BOE .6．(2011·海口调研)在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，△PAD 是等边三角形，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，E 是AD 的中点，F 是PC 的中点．(1)求证：BE ⊥平面PAD ；(2)求证：EF ∥平面PAB ；(3)求直线EF 与平面PBE 所成角的余弦值．[解析] 解法一：(1)∵E 是AD 中点，连接PE ，∴AB ＝2，AE ＝1.BE 2＝AB 2＋AE 2－2AB ·AE ·cos ∠BAD＝4＋1－2×2×1×cos60°＝3.∴AE 2＋BE 2＝1＋3＝4＝AB 2，∴BE ⊥AE .又平面PAD ⊥平面ABCD ，交线为AD ，∴BE ⊥平面PAD .(2)取PB 中点为H ，连接FH ，AH ，∵AE 綊12BC ，又∵HF 是△PBC 的中位线， ∴HF 綊12BC ，∴AE 綊HF ， ∴AHFE 是平行四边形，∴EF ∥AH ，又EF ⊄平面PAB ，AH ⊂平面PAB ，∴EF ∥平面PAB .(3)由(1)知，BC ⊥BE ，PE ⊥BC ，又PE ，BE 是平面PBE 内两相交直线，∴BC ⊥平面PBE ，又由(2)知，HF ∥BC ，∴HF ⊥平面PBE ，∴∠FEH 是直线EF 与平面PBE 所成的角，易知BE ＝PE ＝3，在Rt △PEB 中，EH ＝62，∴tan ∠FEH ＝162＝63， ∴cos ∠FEH ＝155. 故直线EF 与平面PBE 所成角的余弦值为155. 解法二：容易证明EP ，EA ，EB两两垂直，建立空间直角坐标系E －xyz 如图．易求BE ＝PE ＝3，则E (0,0,0)，A (1,0,0)，B (0，3，0)，C (－2，3，0)，D (－1,0,0)，P (0,0，3)，因为F 是PC 的中点，则F (－1，32，32)． (1)∵EB →·EA →＝0·1＋3·0＝0·0＝0，∴EB →⊥EA →，即EB ⊥EA ，∵EB →·EP →＝0·0＋3·0＋0·3＝0，∴EB →⊥EP →，即EB ⊥EP ，∵EA ，EP 是平面PAD 内的两相交直线，∴EB ⊥平面PAD .(2)取PB中点为H，连接FH，AH，则H(0，32，32)，∵EF→＝(－1，32，32)，AH→＝(0，32，32)－(1,0,0)＝(－1，32，32)，∴EF→∥AH→，∵又EF⊄平面PAB，AH⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB.(3)∵y轴⊂平面PBE，z轴⊂平面PBE，∴平面PBE的法向量为n＝(1,0,0)，∵EF→＝(－1，32，32)，设直线EF与平面PBE所成角为θ，∴sinθ＝|EF→·n||EF→||n|＝105，∴cosθ＝155，故直线EF与平面PBE所成角的余弦值为155.。