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2020年全国高中数学联赛试题及详细解析说明：1． 评阅试卷时，请依据本评分标准。
选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。
2． 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A ，B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。
请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。
每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1．使关于x 的不等式36x x k -+-≥有解的实数k 的最大值是（ ） A ．63- B ．3 C ．63+ D ．62．空间四点A 、B 、C 、D 满足,9||,11||,7||,3||====DA CD BC AB 则BD AC ⋅的取值（ ）A ．只有一个B ．有二个C ．有四个D ．有无穷多个6.记集合},4,3,2,1,|7777{},6,5,4,3,2,1,0{4433221=∈+++==i T a a a a a M T i 将M 中的元素按从大到小的顺序排列，则第2020个数是（ ）A ．43273767575+++ B ．43272767575+++ C ．43274707171+++ D ．43273707171+++二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
7.将关于x 的多项式2019321)(x xx x x x f +-+-+-= 表为关于y 的多项式=)(y g,202019192210y a y a y a y a a +++++ 其中.4-=x y 则=+++2010a a a .8.已知)(x f 是定义在),0(+∞上的减函数，若)143()12(22+-<++a a f a a f 成立，则a 的取值范围是 。
2020全国高中数学联赛《初等数论》专题真题汇编1、记集合},4,3,2,1,|7777{},6,5,4,3,2,1,0{4433221=∈+++==i T a a a a a M T i 将M 中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是（ ）A ．43273767575+++ B ．43272767575+++ C ．43274707171+++ D ．43273707171+++ 【答案】C2、数码1232006,,,,a a a a L 中有奇数个9的2007位十进制数12320062a a a a L 的个数为（ ）A ．200620061(108)2+B ．200620061(108)2-C ．20062006108+ D ．20062006108- 【答案】B3、方程组0,0,0x y z xyz z xy yz xz y ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩的有理数解(,,)x y z 的个数为 （ ）。
（A ） 1 （B ） 2 （C ） 3 （D ） 4【答案】B4、设p 是给定的奇质数，正整数k 使得k 2－pk 也是一个正整数，则k=【答案】14(p +1)2 【解析】设k 2－pk=n ，则(k －p 2)2－n 2=p 24，⇒(2k －p +2n )(2k －p －2n )=p 2，⇒k=14(p +1)2．5、如果自然数a 的各位数字之和等于7，那么称a 为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排成一列,,,,321Λa a a 若,2005=n a 则=n a 5 .∵2005是第1+7+28+28+1＝65个“吉祥数”，即.200565=a 从而.3255,65==n n又,210)5(,84)4(61069====C P C P 而∑==51.330)(k k P∴从大到小最后六个五位“吉祥数”依次是：70000，61000,60100,60010,60001,52000.∴第325个“吉祥数”是52000，即.520005=n a6、方程20062420042005(1)(1)2006x x x x x +++++=L 的实数解的个数为 .【答案】17、方程2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解（x ,y ,z ）的个数是 . 【答案】336675从而满足z y x ≤≤的正整数解的个数为33667533567110031=++.8、已知=n a C ())95,,2,1(2162003200Λ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn ，则数列}{n a 中整数项的个数为 ．【答案】159、已知他们中的任意两人至多通电话一次，他们中的任意n －2个人之间通电话的次数相等，都是3 k 次，其中k 是自然数，求n 的所有可能值． 【解析】显然n ≥5. 记n 个人为A 1，A 2， A N ，设A 1通话的次数为m 1, A i 与 A j 之间通话的数为y ij , l ≤n j i ≤, .则m i +m j – y i . j =∑=ns s m 121-k 3= c . （*）其中c 是常数 ，l ≤n j i ≤, . 根据（*）知，=-j i m m )()(s j s i m m m m +-+=sj s i y y ..-≤1 , l ≤n j i ≤, .⇒1≤-j i m m , l ≤n j i ≤,设 m i =max{m s ,1.n s ≤≤} ,m j = min{m s,1≤s ≤n.} , 则 m i +m j ≤1.若 m i +m j =1 ,则对于任意 s ,,j i ≠ 1≤s ≤n ,都有(m i +m s -y I ,s )- (m j +m s -y I ,s )=1-(y I ,s – y j ,s )=0 , 即 y I ,s – y j ,s = 1 故 y I ,s =1 , y j ,s = 0 . s ,,j i ≠ 1≤s ≤n ,因此 m i ≥ n -2 , m j ≥1 . 于是 ，m i +m j ≥n -3≥2 . 出现矛盾 ，故 m i +m j =0 ，即 m s (1≤s ≤n)恒为常数 。
2020 年全国高中数学联赛试题及详细解析说明：1． 评阅试卷时，请依据本评分标准。
选择题只设6 分和 0 分两档，填空题只设9 分和 0 分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。
2． 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分， 5 分为一个档次，不要再增加其他中间档次。
一、选择题（本题满分36 分，每小题 6 分）本题共有 6 小题，每小题均给出 A ， B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。
请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。
每小题选对得 6 分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得 0 分。
1．使关于 x 的不等式 x 36 x k 有解的实数 k 的最大值是（）A ． 63B． 3C． 63D ． 62．空间四点 A 、 B 、 C 、 D 满足 | AB | 3, | BC | 7 , | CD | 11 , | DA | 9 , 则 AC BD 的取值（）A ．只有一个B ．有二个C ．有四个D ．有无穷多个a 1 a 2 a 3a 4| a iT , i 1,2,3,4}, 将 M 中的元素按从大到小的6. 记集合 T { 0,1,2,3,4,5,6}, M {7 27 3747序排列， 第2020 个数是（）A ． 5 5 6 3B ． 55 6 2 7 7273 74 772 73 7 4 C ．11 0 4 D ．11 0 3 7 72737477273 7 4二、填空 （本 分54 分，每小 9 分） 本 共有 6 小 ，要求直接将答案写在横 上。
7. 将关于 x 的多 式 f ( x)1 x x2 x 3x 19x 20 表 关于 y 的多 式 g( y)a 0 a 1 y a 2 y 2 a 19 y 19 a 20 y 20, 其中 y x 4. a 0a 1a20.8. 已知 f (x) 是定 在 ( 0,) 上的减函数， 若 f (2a 2a1) f (3a 24a 1) 成立， a 的取 范是。
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析一、选择题本题共有6小题，每题均给出（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1．设全集是实数，若A ={x|2-x ≤0}，B ={x |2210-x=x 10},则B A I 是 （ ）(A) {2} (B) {-1} (C) {x |x ≤2} (D) ∅2．给定正数p ,q ,a ,b ,c ，其中p ≠q ，若p ,a ,q 是等比数列，p ,b ,c ,q 是等差数列，则一元二次方程bx 2-2ax +c =0 （ ） (A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根 3．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线5435+=x y 的距离中的最小值是 (A)17034 (B) 8534 (C) 201 (D) 301（ ） 4．设5sin5cosππωi +=，则以ω,ω3,ω7,ω9为根的方程是 （ ）(A) x 4+x 3+x 2+x +1=0 (B) x 4-x 3+x 2-x +1=0(C) x 4-x 3-x 2+x +1=0 (D) x 4+x 3+x 2-x -1=0二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
5．arcsin(sin2000︒)=__________. 6．设a n 是(3-n x )的展开式中x 项的系数(n =2,3,4,…)，则nn n a a a 333(lim 3322+++∞→Λ)=________. 7．等比数列a +log 23,a +log 43,a +log 83的公比是____________.8． 在椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞0)中，记左焦点为F ，右顶点为A ，短轴上方的端点为B .若该椭圆的离心率是215-，则∠ABF =_________.【加试】（10月15日上午10∶00-12∶00）一．（本题满分50分）如图，在锐角三角形ABC 的BC 边上有两点E 、F ，满足∠BAE =∠CAF ，作FM ⊥AB ，FN ⊥AC （M 、N 是垂足），延长AE 交三角形ABC 的外接圆于D ．证明：四边形AMDN 与三角形ABC 的面积相等．二．（本题满分50分） 设数列{a n }和{b n }满足，且Λ,2,1,0 47836711=⎩⎨⎧-+=-+=++n b a b b a a n n n n n n证明a n （n=0，1，2，…）是完全平方数．A B C DE F M N三．（本题满分50分）有n 个人，已知他们中的任意两人至多通电话一次，他们中的任意n －2个人之间通电话的次数相等，都是3 k次，其中k 是自然数，求n 的所有可能值．2000年全国高中数学联合竞赛试题答案1.【答案】D【解析】由22≤-x 得x=2，故A={2}；由x x 101022=-得022=--x x ，故B={-1，2}.所以B A I =φ.3．【答案】C【解析】如图所示，设BD=t ，则OD=3t-1，从而B （3t-1，t ）满足方程122=-y x ，可以得到t=3,所以等边三角形，ΔABC 的面积是33.4．【答案】 A【解析】由题意知pq=a2，2b=p+c,2c=q+b⇒32qp b +=，32q p c +=⇒bc=32q p +32q p +≥3232pq q p ⋅=pq=a 2 .因为p ≠q ，故bc> a 2，方程的判别式Δ= 4a 2-4bc<0，因此，方程无实数根.5．【答案】B【解析】设整点坐标(m,n)，则它到直线25x-15y+12=0的距离为22)15(25121525-++-=n m d 34512)35(5+-=n m由于m,n ∈Z ，故5(5m-3n)是5的倍数，只有当m=n=-1，时5(5m-3n)=-10 与12的和的绝对值最小，其值为2，从而所求的最小值为8534.二、填空题（满分54分，每小题9分） 7．【答案】-20°【解析】sin2000°=sin(5×360°+200°)=sin200°=-sin20°故a rcsin(sin2000°)= a rcsin(-sin20°)= -a rcsin(sin20°)= -20° 8．【答案】18 【解析】由二项式定理知，223-⋅=n nn C a ，因此⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-⋅=n n n n a n n 11118)1(2332⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→n n n a a a 3333322lim Λ=⎪⎭⎫⎝⎛-∞→n n 1118lim =18.11．【答案】3242a12．【答案】28【解析】abcd 中恰有2个不中数字时，能组成C 24= 6个不中数字abcd 中恰有3个不中数字时，能组成C 1312C 12C +12C 12C =12+4=16个不中数字abcd 中恰有4个不中数字时，能组成P 33=6个不中数字所以，符合要求的数字共有6+16+6=28个14．【答案】所求区间为[1,3]或[-2-17413]. 【解析】 化三种情况讨论区间[a,b].(1) 若0≤a<b, 则f (x)在[ a, b ] 上单调递减，故f(a) =2b, f(b)=2a 于是有⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=21321221321222b a a b ，解之得[ a, b ] = [ 1, 3 ], (2)若a <0 <b, f (x)在[ a, b ] 上单调递增，在[0,b] 上单调递减，,因此f (x)在x=0处取最大值2b 在x=a 或x=b 处取最小值2a.故2b=213,b=413.由于a<0, 又f(b)=-21(413)2 + 213=03239>故 f(x)在x=a 处取最小值2a,即 2a=221a +213,解得a=-2-17;于是得 [a,b]=[-2-17,413].(2) 当a<b ≤0时，f(x)在[a,b] 上单调递增，故f(a)=2a, f(b)=2b,即2a=-221a +213,2b=-221a +213.由于方程21x 2+2x-213=0的两根异号，故满足a πb π0的区间不存在.综上所述，所求区间为[1,3]或[-2-17413].15．【答案】所求条件为21a +21b=1.又在Rt △POQ 中，设点O 到PQ 的距离为h ，则h 1=21OP +21OQ=1,故得h=1 同理，点O 到QR ，RS ，SP 的距离也为1，故菱形PQRS 与C 0外切.充分性得证. [注]对于给出2222b a b a =+ ，22ba ab +=1等条件者，应同样给分.2000年全国高中数学联合竞赛试卷答案加试二．【解析】[证法一]：由假设得a 1=4, b 1=4且当n ≥1时（2a n+1-1）+13+n b =(14a n +12b n -7)+3(8a n +7b n -4) =[(2a n -1)+n b 3](7+43)依次类推可得（2a n -1）+n b 3= (7+1)34-n (2a 1 -1+13b )=(7+4n )3同理（2a n -1+ ）-n b 3=(7+4n)3从而 a n =41(7+4n )3+41(7+4n)3+21 .由于 7±43=（2±2)3 ，所以 a n =[21(2+n )3+21(2-3)2]n由二项式展开得 c n =21(2+n )3+21(2-3)n =∑≤≤nk k n C 202 k 3 k n 22- , 显然C n 为整数，于是a n 为完全平方数.[证法二]：由已知得a n+1=7a n +6b n -3=7a n +6(8a n-1+7b n-1-4)-3=7a n +48a n-1+42b n-1-27 , 由 a n =7a n-1+6b n-1-3 ,得 42b n-1=7a n -49a n-1+21 ,从而 a n+1=7a n +48a n-1+7a n -49a n-1+21-27=14a n -a n-1-6 . 也就是 a n+1=14a n -a n-1-6 .设(a n+1-ka n +t)=p(a n -ka n-1+t) ……①②③④则有⎪⎩⎪⎨⎧=-==+6)1(114p t pk k p解得()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=-=+=+=323323473234722t p k 或()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+=-=-=323323473234722t p k三．【解析】显然n ≥5. 记n 个人为A 1，A 2， A N ，设A 1通话的次数为m 1, A i 与 A j 之间通话的数为y ij , l ≤n j i ≤, .则m i +m j – y i . j =∑=ns s m 121-k 3= c . （*）其中c 是常数 ，l ≤n j i ≤, .根据（*）知，=-j i m m )()(s j s i m m m m +-+=s j s i y y ..-≤1 , l ≤n j i ≤, .⇒1≤-j i m m , l ≤n j i ≤,设 m i =max{m s ,1.n s ≤≤} ,m j = min{m s,1≤s ≤n.} , 则 m i +m j ≤1.若 m i +m j =1 ,则对于任意 s ,,j i ≠ 1≤s ≤n ,都有(m i +m s -y I ,s )- (m j +m s -y I ,s )=1-(y I ,s – y j ,s )=0 , 即 y I ,s – y j ,s = 1 故 y I ,s =1 , y j ,s = 0 . s ,,j i ≠ 1≤s ≤n ,因此 m i ≥ n -2 , m j ≥1 . 于是 ，m i +m j ≥n -3≥2 . 出现矛盾 ，故 m i +m j =0 ，即 m s (1≤s ≤n)恒为常数 。
１2020年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛暨2020年福建省高中数学竞赛试卷（考试时间：2020年6月27日上午9：00－11：30）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分. 请直接将答案写在答题卷相应位置上）1．已知复数z 满足1z z i -=-，若61z z z ---为正实数，则z = ★★★ . 2．已知()3cos()f x x ωϕ=+（0ω>，ϕπ<），若5()08f π=，11()38f π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则ϕ= ★★★ .3．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，集合{}260A x x x =--<，[]{}22350B x x x =--=，则A B = ★★★ .4．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意实数x ，都有(1)(1)f x f x +=-成立，当12x ≤≤时，()ln f x x =. 若关于x 的方程()10f x ax +-=在[]35x ∈，上有两个不相等的实数根，则a 的取值范围为 ★★★ .5．设1F 、2F 为双曲线C ：22221x y a b-= (0a >，0b >) 的左、右焦点，过2F 的直线l 交双曲线C 的右支于A 、B 两点，且120AF AF ⋅=，2220F B F A +=，则双曲线C 的离心率为 ★★ . 6．在以凸十八边形的顶点为顶点构成的三角形中，任取一个三角形，则所取的三角形与该十八边形无公共边的概率为 ★★★ .7．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 、G 分别在棱1AA 、11A D 、11D C 上，E 为1AA 中点，11111113D F D G D A D C ==. 记平面EFG 与平面11A B CD 的交线为m ，则直线m 与平面ABCD 所成角的正切值为 ★★★ .8．已知a 、b 、c 、d 为正数，且20202a b c d +=+=，则11a bcd+的最小值为 ★★★ . 9．已知实数m 满足：当关于x 的实系数一元二次方程20ax bx c ++=有实根时，2222()()()a b b c c a ma -+-+-≥总成立，则m 的最大值为 ★★★ .10．设正整数n 为合数，()f n 为n 的最小的三个正约数之和，()g n 为n 的最大的两个正约数之和. 若3()()g n f n =，则n 的所有可能值为 ★★★ .（第7题图）２ 二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分.要求写出解题过程，写在答题卷相应位置上）11．已知数列{}n a 满足11a =，25a =，2143n n n a a a ++=-（*n N ∈）.(1) 求数列{}n a 的通项公式；(2) 设13n n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项的和，求证：34n T <.12．已知椭圆C ：22221x y a b+= (0a b >>) 的离心率为12，右焦点F 到直线20x y -+=的距离为22，1A 、2A 分别为椭圆C 的左、右顶点.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 过点F 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点 (点A 在x 轴上方)，T 为直线1A A 、2A B 的交点. 当点T 的纵坐标为63时，求直线l 的方程.13．如图，在ABC △中，AB AC <，ABC △的内切圆I 与边BC 、CA 分别切于点D 、E ，连AI 并延长交ABC △的外接圆O 于点N ，连ND 、NO 并延长分别交O 于点G 、M ，连GE 并延长交O 于点F .(1) 求证：NIG NDI △∽△；(2) 求证：MF AC ∥.14．已知2()(1)1x f x x a x e ⎡⎤=+-+⎣⎦，若2()0f x e +≥恒成立，求实数a 的取值范围.15．将一个20202020⨯方格表的每个小方格染黑、白两种颜色之一，满足以下条件：方格表中的任意一个小方格A ，它所在的行与列的所有小方格中，与A 异色的小方格多于与A 同色的小方格. 证明：染色后，方格表中每行、每列两种颜色的小方格一样多.（第13题图）。
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析一、选择题(每小题6分，共36分)1．(2020年全国高中数学联赛)删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2020项是(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 20492．设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么直线ax －y +b=0和曲线bx 2+ay 2=ab 的图形是yxO Ox yO xyyx O A.B. C.D.3．过抛物线y 2=8(x +2)的焦点F 作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于点P ，则线段PF 的长等于(A ) 163 (B) 83 (C) 1633 (D) 8 34．若x ∈[－5π12 ，－π3 ]，则y=tan(x +2π3 )－tan(x +π6 )+cos(x +π6 )的最大值是(A) 125 2 (B) 116 2 (C) 116 3 (D) 1253二．填空题(每小题9分，共54分)7．不等式|x |3－2x 2－4|x |+3<0的解集是 ．8．设F 1、F 2是椭圆x 29+y 24=1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且|PF 1|∶|PF 2|=2∶1，则△PF 1F 2的面积等于 ．9．已知A={x |x 2－4x +3<0，x ∈R }，B={x |21－x +a ≤0，x 2－2(a +7)x +5≤0，x ∈R}若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是 ．10．已知a ，b ，c ，d 均为正整数，且log a b=32，log c d=54，若a －c=9，则b －d= ．11．将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于 ．12． 设M n ={(十进制)n 位纯小数0.－a 1a 2…a n |a i 只取0或1(i=1，2，…，n －1)，a n =1}，T n 是M n 中元素的个数，S n 是M n 中所有元素的和，则lim n →∞S nT n= ．五、(本题满分20分)15．一张纸上画有一个半径为R 的圆O 和圆内一个定点A ，且OA=a ，折叠纸片，使圆周上某一点A '刚好与点A 重合．这样的每一种折法，都留下一条折痕．当A '取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．加试题(10月12日上午10:00-12:00)一、（本题50分）过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A 、B ，所作割线交圆于C 、D 两点，C 在P 、D 之间．在弦CD 上取一点Q ，使∠DAQ=∠PBC ． 求证：∠DBQ=∠PAC ．二、（本题50分）设三角形的三边长分别是正整数l ，m ，n ．且l >m >n >0．已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫3l104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n104，其中{x }=x －[x ]，而[x ]表示不超过x 的最大整数．求这种三角形周长的最小值．三、（本题50分）由n 个点和这些点之间的l 条连线段组成一个空间图形，其中n=q 2+q +1，l ≥12q (q +1)2+1，q ≥2，q ∈N ．已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q +2条连线段．证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点A 、B 、C 、D 和四条连线段AB 、BC 、CD 、DA 组成的图形)．2020年全国高中数学联赛解答第一试一、选择题(每小题6分，共36分)1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2020项是(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049 【答案】C【解析】452=2025，462=2116．在1至2025之间有完全平方数45个，而2026至2115之间没有完全平方数．故1至2025中共有新数列中的2025－45=1980项．还缺2020－1980=23项．由2025+23=2048．知选C ．3．过抛物线y 2=8(x +2)的焦点F 作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于点P ，则线段PF 的长等于(A) 163 (B) 83 (C) 1633 (D) 8 3【答案】A【解析】抛物线的焦点为原点(0，0)，弦AB 所在直线方程为y=3x ，弦的中点在y=p k =43上，即AB 中点为(43，43)，中垂线方程为y=－33(x －43)+43，令y=0，得点P 的坐标为163．∴ PF=163．选A ．4．若x ∈[－5π12 ，－π3]，则y=tan(x +2π3)－tan(x +π6)+cos(x +π6)的最大值是(A) 125 2 (B) 116 2 (C) 116 3 (D) 1253【答案】C【解析】令x +π6=u ，则x +2π3=u +π2，当x ∈[－5π12，－π3]时，u ∈[－π4，－π6]，y=－(cot u +tan u )+cos u=－2sin2u +cos u ．在u ∈[－π4，－π6]时，sin2u 与cos u 都单调递增，从而y 单调递增．于是u=－π6时，y 取得最大值1163，故选C ．二．填空题(每小题9分，共54分)7．不等式|x |3－2x 2－4|x |+3<0的解集是 ．【答案】(－3，－5－12)∪(5－12，3)． 【解析】即|x |3－2|x |2－4|x |+3<0，⇒(|x |－3)(|x |－5－12)(|x |+5+12)<0．⇒|x |<－5+12，或5－12<|x |<3． ∴ 解为(－3，－5－12)∪(5－12，3)．9．已知A={x |x 2－4x +3<0，x ∈R }，B={x |21－x +a ≤0，x 2－2(a +7)x +5≤0，x ∈R}若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是 ．【答案】－4≤a ≤－1．【解析】A=(1，3)；又，a ≤－21－x∈(－1，－14)，当x ∈(1，3)时，a ≥x 2+52x－7∈(5－7，－4)．∴ －4≤a ≤－1．10．已知a ，b ，c ，d 均为正整数，且log a b=32，log c d=54，若a －c=9，则b －d= ．【答案】93【解析】a 3=b 2，c 5=d 4，设a=x 2，b=x 3；c=y 4，d=y 5，x 2－y 4=9．(x +y 2)(x －y 2)=9．∴ x +y 2=9，x －y 2=1，x=5，y 2=4．b －d=53－25=125－32=93．11．将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于 ．【答案】2+48【解析】如图，ABCD 是下层四个球的球心，EFGH 是上层的四个球心．每个球心与其相切的球的球心距离=2．EFGH 在平面ABCD 上的射影是一个正方形．是把正方形ABCD 绕其中心旋转45︒而得．设E 的射影为N ，则MN=2－1．EM=3，故EN 2=3－(2－1)2=22．∴ EN=48．所求圆柱的高=2+48．12． 设M n ={(十进制)n 位纯小数0.－a 1a 2…a n |a i 只取0或1(i=1，2，…，n －1)，a n =1}，N MHGFEDCBAT n 是M n 中元素的个数，S n 是M n 中所有元素的和，则lim n →∞S nT n= ．【答案】118【解析】由于a 1，a 2，…，a n －1中的每一个都可以取0与1两个数，T n =2n －1．在每一位(从第一位到第n －1位)小数上，数字0与1各出现2n －2次．第n 位则1出现2n －1次．∴ S n =2n －2⨯0.11…1+2n －2⨯10－n．∴ lim n →∞S n T n =12⨯19=118．四、(本题满分20分)14．设A 、B 、C 分别是复数Z 0=a i ，Z 1=12+b i ，Z 2=1+c i(其中a ，b ，c 都是实数)对应的不共线的三点．证明：曲线Z=Z 0cos 4t +2Z 1cos 2t sin 2t +Z 2sin 4t (t ∈R)与△ABC 中平行于AC 的中位线只有一个公共点，并求出此点．【解析】曲线方程为：Z=a icos 4t +(1+2b i)cos 2t sin 2t +(1+c i)sin 4t=(cos 2t sin 2t +sin 4t )+i(a cos 4t +2b cos 2t sin 2t +c s in 4t )∴ x=cos 2t sin 2t +sin 4t=sin 2t (cos 2t +sin 2t )=sin 2t ．(0≤x ≤1) y=a cos 4t +2b cos 2t sin 2t +c sin 4t=a (1－x )2+2b (1－x )x +cx 2即 y=(a －2b +c )x 2+2(b －a )x +a (0≤x ≤1)． ①若a －2b +c=0，则Z 0、Z 1、Z 2三点共线，与已知矛盾，故a －2b +c ≠0．于是此曲线为轴与x 轴垂直的抛物线．AB 中点M ：14+12(a +b )i ，BC 中点N ：34+12(b +c )i ．与AC 平行的中位线经过M (14，12(a +b ))及N (34，12(b +c ))两点，其方程为4(a －c )x +4y －3a －2b +c=0．(14≤x ≤34)． ②令 4(a －2b +c )x 2+8(b －a )x +4a=4(c －a )x +3a +2b －c ．即4(a －2b +c )x 2+4(2b －a －c )x +a －2b +c=0．由a －2b +c 0，得4x 2+4x +1=0， 此方程在[14，34]内有惟一解： x=12．以x=12代入②得， y=14(a +2b +c )．∴ 所求公共点坐标为(12，14(a +2b +c ))．加试题(10月12日上午10:00-12:00)一、（本题50分）过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A 、B ，所作割线交圆于C 、D 两点，C 在P 、D 之间．在弦CD 上取一点Q ，使∠DAQ=∠PBC ． 求证：∠DBQ=∠PAC ．分析：由∠PBC=∠CDB ，若∠DBQ=∠PAC=∠ADQ ，则∆BDQ ∽∆DAQ ．反之，若∆BDQ ∽∆DAQ ．则本题成立．而要证∆BDQ ∽∆DAQ ，只要证BD AD =DQAQ即可．二、（本题50分）设三角形的三边长分别是正整数l ，m ，n ．且l >m >n >0．已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫3l104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n104，其中{x }=x －[x ]，而[x ]表示不超过x 的最大整数．求这种三角形周长的最小值．【解析】当3l、3m、3n的末四位数字相同时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫3l104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n104．即求满足3l ≡3m ≡3n ( mod 104)的l 、m 、n ．∴ 3n (3l －n －1)≡0 (mod 104)．(l －n >0)但 (3n ，104)=1，故必有3l －n ≡1(mod 104)；同理3m －n ≡1(mod 104)．下面先求满足3x ≡1(mod 104)的最小正整数x ．∵ ϕ(104)=104⨯12⨯45=4000．故x |4000．用4000的约数试验：∵ x=1，2，时3x ≡∕1(mod 10)，而34≡1(mod 10)，∴ x 必须是4的倍数；∵ x=4，8，12，16时3x ≡∕1(mod 102)，而320≡1(mod 102)，∴ x 必须是20的倍数；∵ x=20，40，60，80时3x ≡∕1(mod 103)，而3100≡1(mod 103)，∴ x 必须是100的倍数；∵ x=100，200，300，400时3x ≡∕1(mod 104)，而3500≡1(mod 104)．即，使3x ≡1(mod 104)成立的最小正整数x=500，从而l －n 、m －n 都是500的倍数， 设l －n=500k ，m －n=500h ，(k ，h ∈N*，k >h )．由m +n >l ，即n +500h +n >n +500k ，⇒n >500(k －h )≥500，故n ≥501．取n=501，m=1001，l=1501，即为满足题意的最小三个值． ∴ 所求周长的最小值=3003．三、（本题50分）由n 个点和这些点之间的l 条连线段组成一个空间图形，其中n=q 2+q +1，l ≥12q (q +1)2+1，q ≥2，q ∈N ．已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q +2条连线段．证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点A 、B 、C 、D 和四条连线段AB 、BC 、CD 、DA 组成的图形)．现设任一点连的线数≤n －2．且设b 0＝q +2≤n －2．且设图中没有四边形．于是当i ≠j 时，B i 与B j 没有公共的点对，即|B i ∩B j |≤1(0≤i ，j ≤n －1)．记B 0－＝V \B 0，则由|B i ∩B 0|≤1，得|B i ∩B 0－|≥b i －1(i ＝1，2，…，n －1)，且当1≤i ，j ≤n －1且i ≠j 时，B i ∩B 0－与B j ∩B 0－无公共点对．从而B 0－中点对个数≥i ＝1n －1∑(B i ∩B 0－中点对个数)．即C 2 n －b 0≥i ＝1n －1∑C 2 |B i ∩B 0－|≥i ＝1n －1∑C 2 b i －1＝12i ＝1n －1∑ (b 2i －3b i +2)≥12[1n －1(i ＝1n －1∑b i )2－3i ＝1n －1∑b i +2(n －1)](由平均不等式)＝12[1n －1(2l －b 0)2－3(2l －b 0)+2(n －1)]＝12(n －1)[(2l －b 0)2－3(n －1)(2l －b 0)+2(n －1)2]＝12(n －1)(2l －b 0－n +1)(2l －b 0－2n +2)(2l ≥q (q +1)2+2＝(n －1)(q +1)+2)≥12(n －1)[(n －1)(q +1)+2－b 0－n +1][(n －1)(q +1)+2－b 0－2n +2]＝12(n －1)[(n －1)q +2－b 0][(n －1)(q －1)+2－b 0]．(两边同乘以2(n －1)即 (n －1)(n －b 0)(n －b 0－1)≥(nq －q +2－b 0)(nq －q －n +3－b 0)．(n －1≥q (q +1)代入) 得 q (q +1)(n －b 0)(n －b 0－1)≥(nq －q +2－b 0)(nq －q －n +3－b 0)．(各取一部分因数比较) ①但(nq －q －n +3－b 0)－q (n －b 0－1)＝(q －1)b 0－n +3(b 0≥q +2)≥(q －1)(q +2)－n +3＝q 2+q +1－n ＝0．②(nq －q +2－b 0)－(q +1)(n －b 0)＝qb 0－q －n +2≥q (q +1)－n +2＝1＞0． ③由假设，不存在处在不同行的2个红点对，使此四点两两同列，所以，有(由于去掉了q ＋2列，故还余q 2－1列，不同的列对数为C 2 q 2－1)i ＝1n －1∑C 2 m i ≤C 2 q 2－1． 所以q 2·q (q －1)＋q (q －1)(q －2)≤(q 2－1)(q 2－2)．⇒ q (q －1)(q 2＋q －2)≤(q －1)(q ＋1)(q 2－2)⇒q 3＋q 2－2q ≤q 3＋q 2－2q －2．矛盾．故证．。
全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷（考试时间：2020年6月27日9：00－11：30，满分150分）一、填空题（共10小题，每小题7分，满分70分。
请直接将答案写在题中的横线上） 1、已知复数z 满足-3z z i =-，则z = . 2、设,x y 均为正数，则433x yM x y x=++的最小值为 . 3、设集合{}(,)log log 0a a A x y x y =+>，{}(,)B x y x y a =+<，若A B =∅，则a 的取值范围是 .4、已知等边ABC ∆的边长为1，1()3AP AB AC =+，12AQ AP BC =+，则APQ ∆的面积是 . 5、已知-2,,,aa a a eb ac a 则a ，b ，c 的大小关系是 .6、从1,2,,10中任取3个不同的数，则这3个数构成等差数列的概率是 .7、若关于x 的方程26xkx x =+有四个不同的实数解，则实数k 的取值范围为__________. 8、设数列}{n a 满足1a ＝14，且2*1()n n n a a a n N +=+∈，记2020122020111111T a a a ++++++=，若2020T 的值在区间(,1)k k +内，则整数k 值为．9、已知半径为4的球面上有两点,A B ，AB =，球心为O . 若球面上的动点C 满足二面角C AB O --的大小为060，则四面体OABC 外接球的半径是 .10、已知椭圆2214y x +=，P 为椭圆上的任意一点，过点 P 分别作与1:2l y x =和2:2l y x =-平行的直线交直线21,l l 于,M N 两点，则MN 的最大值是 ． 二、解答题（共6小题，满分80分。
要求写出解题过程）11、（13分）已知ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等比数列，2cos()2cos 1A C B --=，延长BC 至D ，使 5.BD = （1）求B ∠的大小； （2）求AC CD ⋅的取值范围．12、（13分）某校高二男生体育课上做投篮球游戏，两人一组，每轮游戏中，每小组两人每人投篮两次，投篮投进的次数之和不少于3次称为“优秀小组”．小明和小强同一小组，小明、小强投篮投进的概率分别为1P ，2P ．（1）若134P =，223P =，求在第一轮游戏中他们获得“优秀小组”的概率； （2）若1243P P +=，且游戏中小明、小强小组要获得“优秀小组”次数为16次，则理论上上至少要进行多少轮游戏才行？并求此时1P 、2P 的值．13、（13分）已知数列}{n a 中，125a a ==，且116(2,)n n n a a a n n N *+-=+≥∈．（1）证明：数列{}13n n a a --是等比数列，并求数列}{n a 通项公式； （2）证明：1211112n a a a +++<．14、（13分）如图1，在直角梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点.将△ABE 沿BE 折起到△A 1BE 的位置，如图2. (1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)若平面A 1BE ⊥平面BCDE ，求二面角1B AC D --的正弦值.15、（13分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>，其短轴长为1e ，双曲线221x y m n-=（0m >，0n >）的渐近线为y =，离心率为2e ，且121e e ⋅=. （1）求椭圆E 的方程；（2）若A 为椭圆E 的右顶点，3(1,)2P -，直线AP 与y 轴交于点H ，过点H 的另一直线与椭圆E 交于M ，N 两点，设HMA ∆的面积为1S ，PHN ∆的面积为2S ，且126S S =，求直线MN 的方程.16、（15分）已知函数()sin ()f x a x a R =∈，().xg x e =（1）若01a <≤，判断()(1)ln F x f x x =-+在(0,1)的单调性； （2）证明：22221111sinsin sin sinln 2().234(1)n N n *+++<∈+ （3）设2()()2(1)G x g x mx x k =--++，其中k 为整数. 对0,0x m ∀><，有()0G x >恒成立，求k 的最小值；2020年全国高中数学联赛重庆赛区预赛试题参考答案一、填空题1. 已知向量b a ，满足3=-b a ,62=+b a ,9222-=-⋅+b b a a , 则=b . 答案：7解析：由条件，知()()92222-=+⋅-=-⋅+b a b a b b a a ，所以()()b a b a b --+=23()()[]22b a b a --+=()()()()b a b a b a b a -⋅+--++=222227363==，所以=b 7.2. 设()4321，，，=i a i 均为实数，若集合},,,{4321a a a a 的所有非空真子集的元素之和为28，则=+++4321a a a a .答案：4解析：含有元素()4321，，，=i a i 的非空真子集有7个，所以},,,{I 4321a a a a =的所有非空真子集的元素之和为()2874321=+++a a a a ，从而=+++4321a a a a 4.3. 若二次实系数方程20ax bx c ++=有2个虚根12,x x ，且31x R ∈，则2acb= . 答案：1解析：注意21x x =，由()3333311112x R x x x x ∈⇒===()()221211220x x x x x x ⇒-++=()222112212120x x x x x x x x ⇒++=⇒+=2221b c ac b ac a a b ⎛⎫⇒-=⇒=⇒= ⎪⎝⎭.4. 设圆22:5O x y +=与抛物线()2:20C y px p =>交于点()0,2A x ，AB 为圆O 的直径，过B 的直线与C 交于两不同点,DE ，则直线AD 与AE 的斜率之积为 .答案：2解析：可求得点()()1,2,1,2A B --，设()()1122,,,D x y E x y ，则由,,B D E 三点共线可得()12121212222411y y y y y y x x ++=⇒++=++ ()12121212221621124AD AE y y k k x x y y y y --⇒⋅=⋅==--+++. 5. 若实数,x y 满足()322412log 13120x x y y ++=-++=，则x y += . 答案：2-解析：令2s x =-，则241202x sx s ++=⇔=--；令1t y =-，则()32lo g 13120y y -++=⇔2l o g 5t t =--.注意函数2x y =与2log y x =的图像关于直线y x =对称，且函数5y x =--的图像也关于直线y x =对称，而y x =与5y x =--的交点横坐标为52-，所以5s t +=-，从而32x y s t +=++=-.6. 若,x y 为实数，则2,,1x y x y y +-+这三个数中的最大数的最小值是 .答案：12解析：{}()()()()111max 2,,122312231662x y x y y x y x y y x y x y y +-+≥++⋅-+⋅+≥⋅+---+=，当且仅当10,2x y ==-时取到最小值． 7. 四面体ABCD 中，,,2AB BC CD BCBC ⊥⊥=，且异面直线AB 与CD 所成的角为60. 若四面体ABCD ABCD 的体积的最大值为 .答案：解析：考察直三棱柱11ABD ACD -，其中12,60BC ABD =∠=，则四面体ABCD 为满足题设条件的四面体，且四面体ABCD 的外接球与三棱柱11ABD ACD -的外接球相同. 设三棱柱底面三角形1ABD ∆的外接圆半径为r ，则22522BC r r ⎛⎫+=⇒= ⎪⎝⎭. 1ABD ∆中，由正弦定理，1112sin AD r AD ABD =⇒=∠由余弦定理，22211112cos AD AB BD AB BD ABD =+-⋅⋅∠⇒221112AB BD AB BD +-⋅=，从而由均值不等式可得112AB BD ⋅≤，所以1111111sin 332ABCD ABD A CD V V AB BD ABD BC -==⋅⋅⋅∠⋅≤，当三棱柱11ABD ACD -为正三棱柱时可取等，故四面体ABCD 的体积的最大值为8. 有长为()20,1,,1009nn =的线段各三条，则由这3030条线段能构成不全等的三角形的个数为 . （用数字作答） 答案：510555解析：（1）若01009i j k ≤<<≤，则1222222i j j j j k ++<+=≤，那么2,2,2i j k 一定不构成三角形； （2）若01009i j ≤<≤，则12222i i i j ++=≤，那么2,2,2i i j 一定不构成三角形；（3）若01009i j ≤<≤，则222,222i j j j j i +>+>，那么2,2,2i j j 一定构成三角形； （4）若01009k ≤≤，则2,2,2k k k 一定构成等边三角形．综合(1),(2),(3),(4)知，构成三角形的只能是()2,2,2i j j i j <或等边三角形，共有210101010510555C +=个．二、解答题9. 设实数[]0,t π∈，若关于x 的方程()cos 1cos x t x +=-有解，求t 的取值范围. 解：原方程等价于1cos cos 222t t x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，……………………4分 当t π=时，方程左边等于0，显然无解；当[)0,t π∈时，方程进一步等价于1cos 22cos 2t x t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，注意[]cos 1,12t x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，且cos 02t >， 故方程有解当且仅当1012cos2t <≤……………………12分即1cos 122t ≤≤，解得203t π≤≤ .综上，20,3t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.……………………16分10. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>与直线x =有且只有一个交点，点P 为椭圆C 上任一点，()()121,0,1,0P P -，且12PP PP ⋅的最小值为2a. （1）求椭圆C 的方程； （2）设直线:l ykx m =+与椭圆C 交于不同两点,A B ，点O 为坐标原点，且()12OM OA OB =+，当A O B ∆的面积S 最大时，求22112T MP MP =-的取值范围.解：（1）设点(),P x y，由题意知a =，222:2C x y a +=，则22221211PP PP x y y a ⋅=+-=-+-，当y b =±时，12PP PP ⋅取得最小值，即2212aa b --=，212,22a a a b ⇒-=⇒==C 的22142x y +=；……………………5分（2）设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，则由2224x y y kx m⎧+=⎨=+⎩得()222214240k x mkx m +++-= 2121222424,2121mk m x x x x k k -⇒+=-=++，点O 到直线l的距离d =，1122S d AB =⋅⋅=()222242221m k m k ++-=≤=+S 22242m k m =+-即2221m k =+，① ……………10分此时21200022221,221x x mk k k x y kx m m k m m m+==-=-=+=-+=+，即00001,22x mm k x y y ==-=-代入①式整理得()22000102x y y +=≠， 即点M 的轨迹为椭圆()221:102x C y y +=≠且点12,P P 为椭圆1C的左、右焦点，即12MP MP +=分 记1t MP =，则)1t ∈+从而()22221111222T MP t t t t MP =-=-=+-322T t '=-， 令0T '≥可得1t ≥，即在T 在)1,1-单调递减，在()1单调递增，且()))131115T TT=-=>=-故T 的取值范围为)3⎡-⎣……………20分11. 已知数列{}n a 满足12211,3,3n n n a a a a a ++===-．（1）求证：()*21n n a a n ++∈N是完全平方数；（2）记2211n n n n n a a b a a ++⎡⎤⎧⎫=⋅⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，求证：20202k k b =∏是整数．（其中[]x 表示不超过x 的最大整数，{}[]x x x =-.） 解：（1）易知38a =，且n a 为整数. 用归纳法证明2211n n n a a a +++=： 奠基：当1n =时，213211189a a a +=+⨯==，成立；假设n k =时，2211k k k a a a +++=，则当1n k =+时，()21312112111313k k k k k k k k a a a a a a a a +++++++++=+-=+-()212221233k k k k k k k k a a a a a a a a ++++++=-=-=，那么1n k =+也成立；由归纳原理，知2211n n n a a a +++=成立，故21n n a a ++是完全平方数．……………10分（2）由（1）知2121n n n na a a a ++=+，所以()22k k k ab k a +=≥，于是2020202120222021202222324k k a a a a b a a ===∏．……………15分由213n n n a a a ++=-知()2mod 3n n a a +≡-，及()20mod3a ≡，所以20223a ；又12211,3,3n n n a a a a a ++===-，记n b 为n a 除以8的余数，则n b 前六项为1,3,0,5,7,0，由数学归纳法易知n b 为周期数列，所以20228a ；故2021202224a a 是整数，即证．……………20分2020年全国高中数学联赛（福建赛区）预赛暨2020年福建省高中数学竞赛试卷参考答案（考试时间：2020年6月27日上午9：00－11：30，满分160分）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分.请直接将答案写在题中的横线上）1．已知复数z 满足1z z i -=-，若61z z z ---为正实数，则z =.【答案】22i+【解答】由1z z i -=-知，z 的实部与虚部相等，设z x xi =+，x R ∈.则[]225(1)65511(1)111(1)x xi z z z x xi x xi z z x xi x x ----=-+=+-+=-++--+--+，22225(1)5(1)(1)(1)x xx x i x x x x ⎡⎤-=-++-⎢⎥-+-+⎣⎦由61z z z ---为正实数，知225(1)(1)0(1)x x x x --+>-+，且2250(1)xx x x -=-+，解得2x =.所以，22z i =+.2．已知()3cos()f x x ωϕ=+（0ω>，ϕπ<），若5()08f π=，11()38f π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则ϕ=.【答案】1112π-【解答】由5()08f π=，11(38f π=，得582k ππωϕπ+=+，1128m πωϕπ+=（k ,m Z ∈）.两式相减，得3242m k ππωππ=--，41(2)32m k ω=--，m ，k Z ∈.另由()f x 的最小正周期大于2π，得22ππω>，01ω<<.于是，410(2)132m k <--<，15224m k <-<.由m ，k Z ∈，得21m k -=.因此，23ω=.将23ω=代入1128m πωϕπ+=（m Z ∈），得11212m πϕπ=-（m Z ∈）.结合ϕπ<，得1112πϕ=-.3．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，集合{}260A x x x =--<，[]{}22350B x x x =--=，则A B =I .【答案】12⎧⎫⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，【解答】易知(23)A =-，，若x A ∈，则[]21012x =--，，，，.当[]2x =-时，若x B ∈，则22650x +-=，x 不存在.当[]1x =-时，若x B ∈，则22350x +-=，1x =±.1x =不符合要求，1x =-符合要求.当[]0x =时，若x B ∈，则22050x --=，2x =±，均不符合要求.当[]1x =时，若x B ∈，则22350x --=，2x =±，均不符合要求.当[]2x =时，若x B ∈，则22650x --=，222x =±.222x =符合要求，222x =-不符合要求.所以，12A B ⎧⎫⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，I .4．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意实数x ，都有(1)(1)f x f x +=-成立，当12x ≤≤时，()ln f x x =.若关于x 的方程()10f x ax +-=在[]35x ∈，上有两个不相等的实数根，则a 的取值范围为.【答案】105⎛⎤⎥⎝⎦，【解答】如图，分别作出函数()y f x =与1y ax =-+的图像，其中(01)P ，，1(0)G a，.由图像可知，当15G x a=≥，即105a <≤时，两函数图像在[]35x ∈，上有两个不同的交点.所以，a 的取值范围为105⎛⎤⎥⎝⎦，.（第4题答题图）5．设1F 、2F 为双曲线C ：22221x y a b -=(0a >，0b >)的左、右焦点，过2F 的直线l 交双曲线C 的右支于A 、B 两点，且120AF AF ⋅=uuu r uuur ，2220F B F A +=uuu r uuu r，则双曲线C 的离心率为.【答案】173【解答】如图，设2AF t =，则依题意有22BF t =，3AB t =，12AF a t =+，122BF a t =+.由120AF AF ⋅=uuu r uuur，知12AF AF ⊥.所以，222121222211AF AF F F AF ABF B⎧+=⎪⎨+=⎪⎩即222222(2)(2)(2)(3)(22)a t t c a t t a t ⎧++=⎪⎨++=+⎪⎩.解得，23t a =，3c a =.因此，离心率3e =.6．在以凸十八边形的顶点为顶点构成的三角形中，任取一个三角形，则所取的三角形与该十八边形无公共边的概率为.【答案】91136【解答】以凸十八边形的顶点为顶点的三角形个数为318C .对于凸十八边形的任意一个顶点A ，要作为与凸边十八形无公共边的三角形的一个顶点，则三角形的另外两个顶点B 、C 不能为顶点A 在凸十八边形中的两条边的另外两个顶点，只能是其它15个顶点中的不相邻的两个顶点，共有21514C -种不同的选取方法.所以，与原凸十八边形无公共边的三角形的个数为215118(14)3C ⨯⨯-.因此，所求的概率为215318118(14)913136C C ⨯⨯-=.（第5题答题图）7．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 、G 分别在棱1AA 、11A D 、11D C 上，E 为1AA 中点，11111113D F D G D A D C ==.记平面EFG 与平面11A B CD 的交线为m ，则直线m 与平面ABCD 所成角的正切值为.【答案】58【解答】如图，设1A D 、EF 的交点为P .延长GF 、11B A 交于点Q ，则PQ 为平面EFG 与平面11A B CD 的交线为m .不妨设正方体棱长为3，则由11111113D F D G D A D C ==知，112A Q A F ==.作11PH A D ⊥于H ，则1111PH A B C D ⊥平面，连结QH ，则PQH ∠就是直线PQ 与1111A B C D 平面所成的角.设PH x =，则1A H x =，由11PH FH EA FA =，得2322x x -=，67x =.于是，222221162(7QH QA A H =+=+，7QH =.所以，tan 58PH PQH QH ∠==.由1111ABCD A B C D 平面∥平面知，直线PQ 与1111A B C D 平面、ABCD 平面所成角相等.所以，直线m 与平面ABCD 所成角的正切值为35858.8．已知a 、b 、c 、d 为正数，且20202a b c d +=+=，则11a bcd+的最小值为.【答案】4412【解答】由条件知，211201020()2020220c d cd c d +<=⋅⋅≤=.所以，111201120120201441(20)(401)(4012222b a a b a bcd a b a b a b +≥+=++=+≥+=.当且仅当20c d =且2020b a a b =，即221a b ==，1c =，120d =时等号成立.所以，11a bcd +的最小值为4412.（第7题答题图）（第7题图）9．已知实数m 满足：当关于x 的实系数一元二次方程20ax bx c ++=有实根时，2222()()()a b b c c a ma -+-+-≥总成立，则m 的最大值为.【答案】98【解答】设2222()()()a b b c c a a μ-+-+-=，其中a 、b 、c 为实数，0a ≠.当方程20ax bx c ++=有实根时，设其两根为1x 、2x .由韦达定理知，12b x x a +=-，12c x x a=，于是，222222222212121212221122()()()(1()(1)(1)()(1)2(1)(1)3392.448a b b c c a b b c ca a a a a x x x x x x x x x x x x μ-+-+-==-+-+=+++---+-=++++≥⨯⨯=当且仅当1212x x ==-，即40abc ==≠时等号成立.因此μ的最小值为98.所以，m 的最大值为98.10．设正整数n 为合数，()f n 为n 的最小的三个正约数之和，()g n 为n 的最大的两个正约数之和.若3()()g n f n =，则n 的所有可能值为.【答案】144【解答】解法一：设正整数n 满足条件.显然n 的最小、最大的正约数分别为1，n .设p 是n 的最小素因子，则n 的第二小、第二大的正约数分别为p 、n p.对于n 的第三小的正约数，有以下两类情形：(1)若第三小的正约数为2p ，则2p n ，2()1f n p p =++，()n g n n p=+.由2p n ，知()ng n n p=+为p 的倍数，()0(mod )g n p ≡.又2()11(mod )f n p p p =++≡，3()1(mod )f n p ≡.于是，3()()g n f n ≠，与条件不符.(2)若第三小的正约数是某一素数q (q p >)，则()11(mod )f n p q p q =++≡+，33()(1)(mod )f n p q ≡+.由pq n ，知()ng n n p=+为q 的倍数，()0(mod )g n q ≡.于是，3(1)0(mod )p q +≡.由q 为素数知，1q p +.于是，1p q p <≤+，符合条件的素数p 、q 只有2p =，3q =.又2p =，3q =时，()6f n =，3()2n g n =，由3()()g n f n =，得3362n=，144n =.经验证144n =符合要求.所以，n 的所有可能值为144n =.解法二：若n 是奇数，则n 的正约数都是奇数，由()f n 与()g n 的定义知3()f n 为奇数，()g n 为偶数，故n 不满足条件.因此只需考虑n 是偶数的情况，此时12 、是n 的最小的两个正约数，2nn 、是n 的最大的两个正约数.设d 是n 的第三小的正约数，则()123f n d d =++=+，()322n ng n n =+=×，所以，33(3)2nd ×=+，从而，33(3)30(mod3)2n d d =.于是，3|d ，这样n 的第三小的正约数只能是3.此时()6f n =，故3362n ×=，即144n =.因此，n 的所有可能值为144n =.二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分.要求写出解题过程）11．已知数列{}n a 满足11a =，25a =，2143n n n a a a ++=-（*n N ∈）.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设13n n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项的和，求证：34n T <.【解答】(1)由2143n n n a a a ++=-，得2113()n n n n a a a a +++-=-.又2140a a -=≠，因此，数列{}1n n a a +-为等比数列.所以，1143n n n a a -+-=⨯.………………………………………………5分所以，2n ≥时，112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+L 12314(13)434341123113n n n n -----=⨯+⨯+++=+=⨯--L .又1n =时，112311n a -⨯-==.所以，对一切正整数n ，1231n n a -=⨯-.………………………………………10分(2)由(1)知，11133311()(231)(231)4231231n n n n n n n n n b a a --+===-⨯-⨯-⨯-⨯-.……………………………………………15分所以，1221311311311()()()4123142312314231231n n n n T b b b -=+++=-+-++-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-L L 313(1)42314n =-<⨯- (20)分12．已知椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)的离心率为12，右焦点F 到直线20x y -+=的距离为，1A 、2A 分别为椭圆C 的左、右顶点.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点(点A 在x 轴上方)，T 为直线1A A 、2A B 的交点.当点T的纵坐标为时，求直线l 的方程.【解答】(1)由右焦点(0)F c ，到直线20x y -+=的距离为，知=.结合0c >，得2c =.又椭圆的离心率为12，因此，24a c ==，b =所以，椭圆C 的方程为2211612x y +=.……………5分(2)解法一：如图，易知直线l 斜率不为0，设l 方程为2x my =+.由22211612x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)12360m y my ++-=.………①方程①的判别式0>△，①有两个不相等的实根.设11()A x y ，，22()B x y ，，则1221234m y y m -+=+，1223634y y m -=+.设(T t .由1A 、A 、T共线得，110044y t x -=++，即11163(4)64)x t m y y ++==+，由2A 、B 、T共线得，220044y t x --=--，即2224)24)x t m y y --==-.………………………………………………10分于是，1212126612(4)3(4)326)26036y y mt t m m m m y y y y +-+--=+-+=-+⋅=-+⋅=-由此可得，8t =.……………………………………………15分所以，(8T ，直线1AT方程为(4)2y x =+，与椭圆C 的方程2211612x y +=联立得(0A .所以，直线AF 方程即直线l方程为y =+0y +-= (20)分（第12题答题图）解法二：如图，易知直线l 斜率不为0，设l 方程为2x my =+.由22211612x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)12360m y my ++-=.……………………………①方程①的判别式0>△，①有两个不相等的实根.设11()A x y ，，22()B x y ，，则1221234m y y m -+=+，1223634y y m -=+.设(T t .由1A 、A 、T共线得，110044y t x --=++，即1114)64x t m y y ++==+.由2A 、B 、T 共线得，22063044y t x --=--，即2224)24x t m y y --==-.联立两式消t，得12628)y y =+，1231y y +=.………………10分所以，1221212()231y y y y y y y +++==，222123623434m y m m --+=++.于是，22634m y m -=+，121834m y m -+=+，………………………………15分代入1223634y y m -=+，得2224(323)(923)36(34)34m m m m ----=++，解得33m =-.所以，直线l方程为23x y =-+，即0y +-=.…………………20分（第12题答题图）解法三：如图，若l x ⊥轴，则(23)A ，，(23)B -，，易得点T 的纵坐标为6，不符合题意.若l 斜率存在，设l 方程为(2)y k x =-，0k ≠.由22(2)11612y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(34)1616480k x k x k +-+-=.………………①①的判别式2576(1)0k =+>△，①有两个不相等的实根.设11()A x y ，，22()B x y ，，则21221634k x x k +=+，2122164834k x x k -=+.设(T t .由1A 、A 、T共线得110044y t x -=++，即114)4(2)x t k x ++=-.由2A 、B 、T共线得220044y t x --=--，即224)4(2)x t k x --=-.………………………………………………10分于是，121212121244210()32(4)3(4)(322(2)(2)x x x x x x t t k x x k x x +--++-+--=-⋅=⋅----由22121222164816210()322103203434k k x x x x k k--++-=-⨯+⨯-=++，得(4)3(4)0t t +--=.由此可得，8t =.……………………………………………15分所以，(8T ，直线1AT 方程为3(4)2y x =+，与椭圆C 的方程2211612x y +=联立得(0A .所以，直线AF 方程即直线l方程为y =+0y +-=.………20分（第12题答题图）13．如图，在ABC △中，AB AC <，ABC △的内切圆I 与边BC 、CA 分别切于点D 、E ，连AI 并延长交ABC △的外接圆O 于点N ，连ND 、NO 并延长分别交O e 于点G 、M ，连GE 并延长交O e 于点F .(1)求证：NIG NDI △∽△；(2)求证：MF AC ∥.【证明】(1)如图，连结BN ，BI ，BG .由I 为ABC △的内心知，NBI NBC CBI NAC CBI BAI ABI BIN ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠.所以，NB NI =.………………………………5分又NGB NAB NAC NBD ∠=∠=∠=∠，BNG DNB ∠=∠，所以，NBG NDB △∽△，NB NDNG NB=.因此，NI NDNG NI=.又ING DNI ∠=∠，所以，NIG NDI △∽△.………………………10分(2)连结GA 、GM .由（1）NIG NDI △∽△，得NGI NID ∠=∠.由I 为ABC △的内心，知N 为»BC的中点，MN BC ⊥.又ID BC ⊥，因此ID MN ∥，NID ANM AGM ∠=∠=∠.所以，NGI AGM ∠=∠.于是，90AGI AGM MGI NGI MGI MGN ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒.…………………15分又90AEI ∠=︒.所以，A 、G 、I 、E 四点共圆.所以，909090AEG AIG GAI GAN GMN MNG MFG ∠=∠=︒-∠=︒-∠=︒-∠=∠=∠.所以，MF AC ∥.…………………………………………20分（第13题图）（第13题答题图）14．已知2()(1)1xf x x a x e ⎡⎤=+-+⎣⎦，若2()0f x e +≥恒成立，求实数a 的取值范围.【解答】2()(21)(1)1(1)()x x xf x x a e x a x e x x a e '⎡⎤=+-++-+=++⎣⎦.设2()(1)1g x x a x =+-+.①当13a -≤≤时，方程2(1)10x a x +-+=的判别式2(1)40a =--≤△，此时()0g x ≥恒成立，222()()0x f x e g x e e e +=⋅+≥>恒成立.………………………………………………5分②当3a >时，x a <-或1x >-时，()0f x '>；1a x -<<-时，()0f x '<.()f x 在区间(]a -∞-，，[)1-+∞，上为增函数；在[]1a --，上为减函数.当x a ≤-时，2()(1)1()10g x x a x x x a x =+-+=++->，2()0f x e +>成立.当x a >-时，()f x 的最小值为1(1)(3)f a e --=-.由2()0f x e +≥恒成立知，12(3)0a e e --+≥，33a e ≤+.因此，333a e <≤+.………………………………………10分③当1a <-时，1x <-或x a >-时，()0f x '>；1x a -<<-时，()0f x '<.()f x 在区间(]1-∞-，，[)a -+∞，上为增函数；在[]1a --，上为减函数.当1x ≤-时，2()(1)1(1)0g x x a x a x =+-+>->，2()0f x e +>成立.当1x >-时，()f x 的最小值为()f a -.由2()0f x e +≥恒成立知，22()(1)0a f a e a e e --+=++≥.………………15分设2()(1)x h x x e e -=++，则()x h x xe -'=-，1x <-时，()0h x '>.所以，()h x 在(1)-∞-，上为增函数.又(2)0h -=，于是()0h x ≥在(1)-∞-，上的解集为[)21--，.因此，1a <-时，22()(1)0a f a e a e e --+=++≥，的解集为[)21--，.综合①、②、③得323a e -≤≤+.所以，a 的取值范围为323e ⎡⎤-+⎣⎦，.…………………………………20分1315．将一个20202020⨯方格表的每个小方格染黑、白两种颜色之一，满足以下条件：方格表中的任意一个小方格A ，它所在的行与列的所有小方格中，与A 异色的小方格多于与A 同色的小方格.证明：染色后，方格表中每行、每列两种颜色的小方格一样多.【证明】对黑格与白格分别标记1-和1.对任意i 、j (1i ≤、2020j ≤)，设第i 行各数之和为i s ，第j 列各数之和为j t ，第i 行与第j 列交叉格中的数为ij a ，则位于第i 行或第j 列上的全部数之和为i j ij s t a +-.由条件知，i j ij s t a +-与ij a 异号.……………………………5分所以，()1ij i j ij a s t a +-≤-.又21ij a =，因此()0ij i j a s t +≤，2020202011()0ij i j i j a s t ==+≤∑∑.…………………10分另一方面，202020202020202020202020202020202211111111()0ij i j i ij j ij i j i j i j j i i j a s t s a t a s t ========+=+=+≥∑∑∑∑∑∑∑∑.………15分所以，2020202020202020221111()0ij i j i j i j i j a s t s t ====+=+=∑∑∑∑.因此，对任意的i 、j ，均有0i s =，0j t =.所以，每行、每列中的两种颜色的小方格一样多.……………………………20分。
