全国高中数学联赛试题及答案教程文件

历年全国高中数学联赛试题及答案76套题（一）2019年全国高中数学联赛试题及答案1. 小川野升平想在一个边长为6米的正方形的地块上建造一个有一堵墙的房子，墙要用沙发垫、玻璃门中的一种建造，沙发垫墙每平方米需要50元，玻璃门墙每平方米需要80元。

为了满足小川野升平的预算，需要选择合适的方案，可以使花费尽可能少。

请求出该房子沙发垫墙和玻璃门墙各多少平方米，以及花费的最小值。

解：由题意得，房子在四周建墙，所以共4个墙面。

墙面中有一个为门，另外3个可以被沙发垫或玻璃门所替代。

因为墙长宽相等，所以选择沙发垫或玻璃门所用的面积是相等的，即我们只需要考虑使用沙发垫或玻璃门的墙面数量即可。

用$x$表示使用沙发垫的墙面数量，则使用玻璃门的墙面数量为$3-x$，进而可列出花费的表达式：$$f(x)=50x+80(3-x)=80x+240$$为获得花费的最小值，我们需要求出$f(x)$的最小值，即求出$f(x)$的极小值。

因为$f(x)$是$x$的一次函数，所以可求出其导函数$f'(x)=80-30x$。

当$f'(x)=0$时，即$x=\frac83$，此时$f(x)$有极小值$f(\frac83)=400$。

当$x<\frac83$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增；当$x>\frac83$时，$f'(x)<0$，$f(x)$单调递减。

所以我们选择使用3个沙发垫的构建方案，所需面积为$3\times6=18m^2$，花费为$50\times18=900$元。

因此，该房子沙发垫墙面积为18平方米，玻璃门墙面积为0平方米，花费最小值为900元。

2. 对于正整数$n$，记$S_n$为$\sqrt{n^2+1}$的小数部分，$T_n$表示$S_1,S_2,\cdots,S_n$的平均值，则$s_n=10T_n-5$。

求$\sum_{k=1}^{2019}s_k$的个位数。

20XX 年全国高中数学联合竞赛 试题参考答案及评分标准说 明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准. 选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次.一、选择题(本题满分36分，每小题6分)1．已知△ABC ，若对任意t ∈R ，||→BA －t →BC ≥||→AC ，则△ABC 一定为A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．答案不确定 答C ．解：令∠ABC ＝α，过A 作AD ⊥BC 于D ，由||→BA －t →BC ≥||→AC ，推出||→BA 2－2t →BA · →BC ＋t 2||→BC 2≥||→AC 2,令t ＝→BA · →BC ||→BC2，代入上式，得||→BA 2－2||→BA 2cos 2α＋||→BA 2cos 2α≥||→AC 2，即 ||→BA 2sin 2α≥||→AC 2,也即||→BA sin α≥||→AC ．从而有||→AD ≥||→AC ．由此可得∠ACB ＝π2．2．设log x (2x 2＋x －1)＞log x 2－1，则x 的取值范围为A ．12＜x ＜1B ．x ＞12且x ≠1 C ． x ＞1 D ． 0＜x ＜1答B ．解：因为⎩⎨⎧x ＞0，x ≠12x 2＋x －1＞0，解得x ＞12且x ≠1．由log x (2x 2＋x －1)＞log x 2－1，⇒ log x (2x 3＋x 2－x )＞log x 2⇒ ⎩⎨⎧0＜x ＜1，2x 3＋x 2－x ＜2或⎩⎨⎧x ＞1，2x 3＋x 2－x ＞2．解得0＜x ＜1或x ＞1．所以x 的取值范围为x ＞12且x ≠1．3．已知集合A ＝{x |5x －a ≤0}，B ＝{x |6x －b ＞0}，a ，b ∈N ，且A ∩B ∩N ＝{2，3，4}，则整数对(a ，b )的个数为A ．20B ．25C ．30D ．42 答C ．解：5x －a ≤0⇒x ≤a 5；6x －b ＞0⇒x ＞b6．要使A ∩B ∩N ＝{2，3，4}，则⎩⎨⎧1≤b6＜2，4≤a 5＜5，即⎩⎨⎧6≤b ＜12，20≤a ＜25．所以数对(a ，b )共有C 61C 51＝30个． 4．在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，∠BAC ＝π2，AB ＝AC ＝AA 1＝1．已知G 与E 分别为A 1B 1和CC 1的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点(不包括端点)．若GD ⊥EF ，则线段DF 的长度的取值范围为A ．[15，1)B ．[15，2)C ．[1，2)D ．[15，2)答A ．解：建立直角坐标系，以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，则F (t 1，0，0)(0＜t 1＜1)，E (0，1，12)，G (12，0，1)，D (0，t 2，0)(0＜t 2＜1)．所以→EF ＝(t 1，－1，－12)，→GD ＝(－12，t 2，－1)．因为GD ⊥EF ，所以t 1＋2t 2＝1，由此推出0＜t 2＜12．又→DF ＝(t 1，－t 2，0)，||→DF ＝t 12＋t 22＝5t 22－4t 2＋1＝5(t 2－25)2＋15，从而有15≤||→DF ＜1．5．设f (x )＝x 3＋log 2(x ＋x 2＋1)，则对任意实数a ，b ，a ＋b ≥0是f (a )＋f (b )≥0的A . 充分必要条件B . 充分而不必要条件C . 必要而不充分条件D . 既不充分也不必要条件 答A ．解：显然f (x )＝x 3＋log 2(x ＋x 2＋1)为奇函数，且单调递增．于是若a ＋b ≥0，则a ≥－b ，有f (a )≥f (－b )，即f (a )≥－f (b )，从而有f (a )＋f (b )≥0． 反之，若f (a )＋f (b )≥0，则f (a )≥－f (b )＝f (－b ),推出a ≥－b ，即a ＋b ≥0． 6．数码a 1，a 2，a 3，…，a 2006中有奇数个9的2007位十进制数－2a 1a 2…a 2006的个数为A ．12(102006＋82006)B ．12(102006－82006) C ．102006＋82006 D ．102006－82006答B ．解：出现奇数个9的十进制数个数有A ＝C 20061 92005＋C 20063 92003＋…＋C 200620059．又由于(9＋1)2006＝k ＝0Σ2006C 2006k 92006－k 以及(9－1)2006＝k ＝0Σ2006C 2006k (－1)k 92006－k从而得A ＝C 20061 92005＋C 20063 92003＋…＋C 200620059＝12(102006－82006)． 二、填空题(本题满分54分，每小题9分)7. 设f (x )＝sin 4x －sin x cos x ＋cos 4x ，则f (x )的值域是 ．填[0，98]．解：f (x )＝sin 4x －sin x cos x ＋cos 4x ＝1－12sin2x －12sin 22x ．令t ＝sin2x ，则f (x )＝g (t )＝1－12t －12t 2＝98－12(t ＋12)2．因此－1≤t ≤1min g (t )＝g (1)＝0，－1≤t ≤1max g (t )＝g (－12)＝98． 故，f (x )∈[0，98]．8. 若对一切θ∈R ，复数z ＝(a ＋cos θ)＋(2a －sin θ)i 的模不超过2，则实数a 的取值范围为 ．填[－55，55]．解：依题意，得|z |≤2⇔(a ＋cos θ)2＋(2a －sin θ)2≤4⇔2a (cos θ－2sin θ)≤3－5a 2．⇔－25a sin(θ－φ)≤3－5a 2(φ＝arcsin 55)对任意实数θ成立． ⇔25|a |≤3－5a 2⇒|a |≤55，故 a 的取值范围为[－55，55]． 9．已知椭圆x 216＋y 24＝1的左右焦点分别为F 1与F 2，点P 在直线l ：x －3y ＋8＋23＝0上. 当∠F 1PF 2取最大值时，比|PF 1||PF 2|的值为 ．填3－1．.解：由平面几何知，要使∠F 1PF 2最大，则过F 1，F 2，P 三点的圆必定和直线l 相切于点P ．直线l 交x 轴于A (－8－23，0)，则∠APF 1＝∠AF 2P ，即∆APF 1∽∆AF 2P ，即|PF 1||PF 2|＝|AP ||AF 2|⑴ 又由圆幂定理，|AP |2＝|AF 1|·|AF 2| ⑵而F 1(－23，0)，F 2(23，0)，A (－8－23，0)，从而有|AF 1|＝8，|AF 2|＝8＋43．代入⑴，⑵得，|PF 1||PF 2|＝|AF 1||AF 2|＝88＋43＝4－23＝3－1．10．底面半径为1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为12cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水 cm 3． 填(13＋22)π． 解：设四个实心铁球的球心为O 1，O 2，O 3，O 4，其中O 1，O 2为下层两球的球心，A ，B ，C ，D 分别为四个球心在底面的射影．则ABCD 是一个边长为22的正方形。

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联合竞赛一试试题(A )一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1.若实数m >1满足98m log log =2024，则32m log log 的值为.2.设无穷等比数列{a n }的公比q 满足0<q <1.若{a n }的各项和等于{a n }各项的平方和，则a 2的取值范围是.3.设实数a ，b 满足：集合A ={x ∈R |x 2-10x +a ≤0}与B ={x ∈R |bx ≤b 3}的交集为4,9 ，则a +b 的值为.4.在三棱锥P -ABC 中，若PA ⏊底面ABC ，且棱AB ，BP ，BC ，CP 的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为.5.一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列.独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为a ,b ．若事件a +b =7发生的概率为17，则事件“a =b ”发生的概率为.6.设f (x )是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数g (x )=f (2x )在区间0,5 上的零点个数为25，则g (x )在区间［1,4）上的零点个数为.7.设F 1,F 2为椭圆Ω的焦点，在Ω上取一点P （异于长轴端点），记O 为△PF 1F 2的外心，若PO ∙F 1F 2 =2PF 1 ∙PF 2 ，则Ω的离心率的最小值为.8.若三个正整数a ,b ,c 的位数之和为8，且组成a ，b ，c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(a ,b ,c )为“幸运数组”，例如（9,8,202400）是一个幸运数组.满足10<a <b <c 的幸运数组（a ，b ，c ）的个数为.二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.（本题满分16分）在ΔABC 中，已知cos C =sinA +cosA 2=B sin +cosB 2,求cos C 的值.10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线Γ：x 2-y 2=1的右顶点为A .将圆心在y 轴上，且与Γ的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”.若两个好圆外切于点P ，圆心距为d ，求d PA的所有可能的值.11.（本题满分20分）设复数z ，w 满足z +w =2，求S =z 2-2w +w 2-2z 的最小可能值.2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联合竞赛加试试题(A卷)一．(本题满分40分)给定正整数r,求最大的实数C,使得存在一个公比为r的实数等比数列a nn≥1,满足a n≥C对所有正整数n成立.(x 表示实数x到与它最近整数的距离.)二．(本题满分40分)如图，在凸四边形ABCD中，AC平分∠BAD,点E,F分别在边BC,CD上，满足EF||BD,分别延长FA,EA至点P,Q,使得过点A,B,P的圆ω1及过点A,D,Q的圆w2均与直线AC相切.证明：B,P,Q,D四点共圆.(答题时储将图画在答卷纸上)三．(本题满分50分)给定正整数n.在一个3×n的方格表上，由一些方格构成的集合S称为“连通的”,如果对S 中任意两个不同的小方格A,B,存在整数l≥2及S中l个方格A=C1,C2,…,C l=B,满足C i与C i+1有公共边(i=1, 2,⋯,l-1).求具有下述性质的最大整数K:若将该方格表的每个小方格任意染为黑色或白色，总存在一个连通的集合S,使得S中的黑格个数与白格个数之差的绝对值不小于K.四.(本题满分50分)设A,B为正整数，S是一些正整数构成的一个集合，具有下述性质：(1)对任意非负整数k,有A K∈S;(2)若正整数n∈S,则n的每个正约数均属于S;(3)若m,n∈S,且m,n互素，则mn∈S;(4)若n∈S,则An+B∈S.证明：与B互素的所有正整数均属于S.。

全国高中数学联赛试题及答案第一题：设函数f(x)在区间[a, b]上连续，(a < b)，且在(a, b)内可导。

证明：存在ξ∈(a,b)，使得f(b) - f(a) = (b-a)f'(\xi)解答：根据拉格朗日中值定理，存在c∈(a,b)，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)所以，我们只需证明c=ξ即可。

由于f(x)在[a, b]上连续，并且在(a, b)内可导，所以内点可导连续定理告诉我们：f(x)在[a, b]上一致连续。

依据一致连续性，对于任意ε>0，存在δ>0，使得对于所有的x',x''∈[a, b]，只要 |x' - x''| < δ，就有 |f(x') - f(x'')| < ε。

考虑到c∈(a, b)，且c=ξ是一个特定值，我们可以取一小段(a,b)中的点序列，使得这个点序列的左右界可以趋近c，同时满足 |x' - x''| < δ。

设这个点序列为{x_n}，那么对应的有一个序列{f'(x_n)}。

根据极限的性质，我们可以得到∃ n→∞，使得x_n→c时，f'(x_n)→ f'(c)。

而由于f'(x)在(a, b)内可导，所以根据导数的定义，也就是f'(c) = lim(x→c) (f(x) - f(c))/(x - c)结合拉格朗日中值定理中的等式f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)我们可以得到：f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)所以，c=ξ成立，证毕。

第二题：设a, b, c为正实数，且满足 abc=1。

证明：a/(a^3 + 1) + b/(b^3 + 1) + c/(c^3 + 1) ≤ 3/2解答：根据条件abc=1，可以设 a = x/y, b = y/z, c = z/x (其中x, y, z为正实数)。

全国高中数学联赛集训试题及参考答案一、选择题(本题满分36分，每小题6分)函数f(x)=logi/2(x2-2x-3)的单调递增区间是(若实数x, y 满足(x+5)2+(y-12)2=142,则x?+y2的最小值为(直线x/4+y/3=l 与椭圆x 2/16+y 2/9=l 相交于A, B 两点，该椭圆上点P,使得APAB 面积等于3, 这样的点P 共有(6、由曲线x 2=4y,x 2=-4y,x=4,x=-4围成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为VI ；满足 x 2+y 2<16,x 2+(y-2)2>4,x 2+(y+2)2>4的点(x,y)组成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为V?，则(A) Vi= (1/2) V 2 (B)Vi= (2/3) V 2二、填空题(本题满分54分，每小题9分)7、已知复数Zi,Z2满足I Z[ | =2, | Z 2 | =3,若它们所对应向量的夹角为60。

,则I (Z 1+Z 2)/(Z 1+Z 2) 8、将二项式(Wx+1/ (2^x)) 11的展开式按x 的降'最排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式 1、 (A) ( —co, —1)(B) (—8,1)(C) (1, + co) (D) (3, +s) 2、 (A) 2 (B) 1 (C)山 (D)也 3、 函数 f(x)=x/l-2%x/2 ( (A)是偶函数但不是奇函数 (B) 是奇函数但不是偶函数 (C)既是偶函数乂是奇函数(D)既不是偶函数也不是奇函数 (A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4 个5、已知两个实数集合 A= {ai,a2,...,aioo )与 B= {bib,...bo}, 若从A 到B 的映射f 使得B 中每个元素都有原象，且f(ai )<f(a 2)<.. <f(a 1O o)MS 样的映射共有( )。

2020年全国高中数学联赛江苏赛区复赛一、填空题(每题8分，满分64分，将答案填在答题纸上)2.____________ 若函数/(Λ)=(X2-1)(X2+^+⅛)对于任意XeR都满足/(X) = /(4-x),则f(x)的最小值是_____ .3•在正三棱柱ABC-A I B I C l中，D,E分别是侧棱BQ,CG上的点，EC=BC = 2BD,则截而ADE与底面ABC所成的二而角的大小是______________ ・4.若SinXSill2xsin3x+cosxcos2xcos3x = 1,则X = __________ ・5.设儿V是实数，则"+ ⑺•的最大值是2X4+4∕+9---------6.设Cl n =l + 2 + --+π,π∈∕V∖S m =q+①+…+ ©”，〃? = 123,…，则S1,52√-∙,52017中能被2整除但不能被4整除的数的个数是__________ •27.在直角平面坐标系XOy中，耳，▲分别是双曲线x2--^ = l(^>0)的左、右焦点，过点Fl作圆x2 + y2 = 1的切线，与双曲线左、右两支分别交于点A.B.若F l B = AB .则方的8.从正1680边形的顶点中任取若干个，顺次相连成多边形，英中正多边形的个数1•若数列仏｝满足则吆存的值为2 3 色+2/! + 1为 _________ ・二、解答题V-10 •在平而直角坐标系XOy 中，椭圆C:-+ y 2= 1的上顶点为A ∙不经过点A 的直线/与 椭圆C 交于P,Q 两点，且AP AQ=0.(1) 直线/是否过泄点？若是，求岀左点坐标；若不是，说明理由.(2) 过P,0两点分别作椭圆的切线，两条切线交于点3,求^BPQ 而积的取值范羽. 11.设函数 Λ(AT )=1+ X+丄X 2+••• + 丄x".2! n↑ (1)求证：当 XW(O,*o),时，e x > ∕r (x):2020年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准加试1.已知圆O 的内接五边形ABCDE 中AD 与BE 相交于点F, CF 的延长线交圆O 于点 P 、且 AB eD = BC ED求证：OPdAE.2•设X 」是非负实数，α=低+Qe=Jr 巨+j τ巨，若""是两个不相邻的整数, 求°丄的值，9•已知x,ye∕?,且X 2+ y 2=2,∣Λ∣≠∣y∣求点+G ⅛的最小值•(2)设x>0y neN ∖若存在ywR 使得Q=九W+一:一严 RS + l)!求证: OVyV X.3.平而上2〃个点（〃>1 MWN）,无三点共线，任意两点间连线段，将其中任意用+ 1条线段染成红色.求证：三边都为红色的三角形至少有”个•4•设”为正整数，I + - + -+ - +—=— >2 3 H h n其中a ll,bιι为互素的正整数，对素数”，令集合证明：对每一个素数p≥5,集合SP中至少有三个元素.1. 1试卷答案2. -163. 45°4. kπ.k∈Z3026 15盲二.解答题6. 2527 1 + √J8. 34329•解：因为X2 + y2 = 2.所以(χ + y)'+(χ-y)2 =4,所以点+FyVfc⅛+洁⅜+h+(-b) ≥1(1 + 1)2 =1.4v ,当X = λ∕2,y = O时，-__ + = 1.(兀+井(―井所以λ1x. + Z1的最小值为1.(χ+y)- (χ-γy10•解：(1)因为AP AQ = O f所以乔丄廷直线AP.AQ与X轴平行时，P或0与A重合，不合题意.设PA: y = kx+1,则QA:y = x + ∖.k将y = kx+l代入宀3b =3, w(l + 3∕r2}v2+6H = 0.所以XP =6k、— 21 + 3疋宀_] + 3疋_同理XQ=6k I6 Λ2+3°ek 2+3化简得/：〉，= -丄.4k 2直细纵截距是常数弓故直线,过定点所以P^=36(l÷^)∙ 宀 +宀 十(")•兽窖峠IL(l + 3∕)依2+3)」 (1 + 3/) ∖k 2+3f_36(1 + 疋*& + 15疋+15∕ + 1)(3^ + 10/+3)2^不妨设k>0,令f = £ +丄，贝∣J∕≥2,可化得PQ 2=k 即P-嘤乎.3r +4设B(X (P y o ),则切点弦PQ 的方程是X O X + 3y°y = 3 ,k _] 1又EQ 在l:y = —-—x--上，所以y 0 = -2 ,4k 2（2）由 (1)6∣Zr∣√l+P 1 + 3X同理, AQ = 6y ∣∖ +k 2k 2+336∕%2+ 12) (3r+4)2从而⅞ =3(2-1)2k因此的而积gxdxP 皆卜爲f x 寧晋9t i2(3/$+4)所以B 到P0的距离〃=3尸 2√r 2+1 9令“=一，则 O —,化得 S= 一~r ------ ・t2 2(4M 3+3W )当O VHS 丄时，4M 3+3M 递增，2O1所以OV4∕+3"S2,即S≥-,当且仅当U=-,即∕ = 2,k = 1时，等号成立，42故ABPQ 的而积S 的取值范困是冷11.解：(1)用数学归纳法证明如下：(i )当” =1 时，令/(X ) = ^-∕1(Λ) = ^-X -1,则/'(x) = e'-l>0,xe(0,p)恒成 立， 所以/(Λ)在区间(O,-KO)为增函数， 又因为 /(0)=0,所以/(Λ)>0,即e t> ∕1(x).(ii)假设H = k 时，命题成立，即当X ∈ (O,-KX))时，e x >f k (x),( 1 1 1则n = k + ∖时，令g(x)=e'—£+|(X)=，一 1 + X +-X 2+∙-∙ + -ΛΛ+-__ √+,6 7 用 72! k ∖ (k + ∖).函数，又因为 g(θ) = θ,所以 g(x)>0,x∈(θ,+oo)恒成立,即 e x> ./^+1(x),x∈(θ,+∞), 所以n = k +1时，命题成立.由(i )(ii )及归纳假设可知，V H ∈7V ∖当X ∈ (θ,+oo)时，£“〉£(x)・(2)由(1)可知 b>∕n Jx),即 A(A-)+-i-χn+1^v > A(Λ-)+-i-χn+1,所以R>l,即y>0,下证：yvx.下面先用数学归纳法证明：当Λ∙>O0 vl + x +丄F+…+厂丄^兀心+丄#ZsW AT 2! (-I)!n ∖(i )当 〃 =1 时，令 F(X)= ∖ + xe x -e x ,则 F ,(x) = Xe X > O,x ∈ (θ,+≪)),则 √(x)=e x-f l÷x÷l√÷-÷lχ 2! k ∖ = ^V-A(X)>0,所以g(x)在区间(0,+8)为增所以F(X)在区间(0,*o)单调增， 又F(O)=O,故F(X)>0,即e x<l + xe ∖(ii)假设H = k 时，命题成立，即当 X ∈(0,-HO)时，e x< l + x + -X 2 + …+ — XZ +-L√>∖ ' 72! (—1)! k ∖所以G(X)在区间(O,P)上为增函数，又G(O)=O,故G(X)>0,即由(i ) (ii )及归纳假设,可知当 XW(O,+8)时，e x< l + x + 丄 W +••■ + 丄 0 + ―― X n^e x.对舁 成立,2!n ∖ (" + 1)!所以't = 1+x+⅛χ2 +'+⅛χπ +(⅛χπ+v < 1+x+⅛χ2+"+^χn+0⅛x "v从而Rve"即yvx,证毕.复赛加试答案1.证明：连接PA PE.因为五边形ABCDE 内接于圆O , 所以 ZBA F = ZDEF, ZABF= ZEDF, 所以ZBF 〜随DF 、令 G(Λ) = 1 +X + A疋+ (1)k'・GtV)=I÷x÷l√÷.∙∙÷lχ^÷1所以箸FB FB 同理,PE PFBC" BF<l + x +丄/+・・・ +丄《?+2! k ∖DC DF因为ABSrCS 所以器耸" 所以PE=P4・即点P 是弧AE 的中点, 所以OP 丄AE2•解：因为αb 是不相邻的整数,所以 25b —a = JX+2 + J y+2 — (yfx + ^y)=(Jx+2 -Vxj+ (Jy+2 — y∣~y )2 I 2 √Λ∙ + 2 + √X Jy+ 2+77由于b-a 是整数，所以b-a = 2.设 a = 〃 - 1,Z?=H ÷ I,/? ∈ Z 9 即 y[x + y∣~y = U -19 JX +2 + Jy + 2 =Il+ 1, λj√^-√y IX-y I =n _ 1, _ ------- = /2 +1 ♦JX+ 2 — Jy+ 2则頁-V7=.χ-y ∖y [^2-^2=χ-y . n -1 /2 + 1于是 2 Vx = n -1 + -~~- ,2JX+ 2 = n +1 + -~~-n -1 /7 + 1从而2(n-i)y∣x = (n -Iy + (X- y\2(n + I)VX+ 2 = (/? +1)2+(x-y), 故(∕2-l)Vx + 2n = (/7 + l)Jx + 2 ・ 又因为(√Γ巨j-(√^j=2.①令t =長,得代入①得/2 + 12nt 2 -2〃(H-I ”-什 -2〃-I)= 0 ,2∏(H -1)± ^4H 2(∕7-1) +8/7(7?2-2/7-1) _ 77(/7-1)±(7? + 1 )J"(n- 2)4π2n“=”亠頁=也Zl 土壘mIn因此，/7 > 2,并且ZI(M-I)≥ S + UHQl -2), 即∕ι2-2w-l≤0,解之得l-√2≤n≤l +√2,由①X ②X ③得ABPE DC于是y[x = t =从而2 ≤ 7? < 1 + \/2 ,且n w Z ,故n = 2・所以a = ∖,b = 3.3.证明：首先证明一泄存在红色三角形(三边均为红色的三角形为红色三角形，下同)•设从顶点A出发的红色线段最多，由A引出的红色线段为AB I.AB2i- -,AB k ,则k≥n + ↑.若B1,B2∙∙∙,伤中存在两点，不妨设为B l,禺使线段B1B2为红色线段，则AAdB2为红色三角形，若B v B2,相互之间没有红色线段相连，则从B,(i = 12…,k)出发的红色线段最多有2n-k条,所以这2〃个点红色线段最多有丄W + k(2n-k)+ (In一1 一k)] = «(2" —R)≤ "十 ^^"~— = n~ < n~ +1.2与题设矛盾，所以存在以A为顶点的红色三角形，下面用数学归纳法证明，(1)当∏ = 2时，平而上有四个点A,5C,D中两两连线共有6条，其中有5条为红色，只有一条非红色，设为AB,则ΔACZλ与BCD均为红色三角形，命题成立，(2)假设n = k时，命题成立，即至少存在R个红色三角形，当〃 = R + 1时，有2k+2个点，且有(Ar+ I)2+ 1条红色线段,一泄存在一个红色三角形，设为MBe考察从A,B,C引出的红色线段分别记为d(A),d(B∖ J(C)条，不妨设J(A)≤√(B)≤ J(C) 若d(A)+ d(B)< 2k + 2,则除去点A, B余下的Ik个点之间至少有(k + l)2+l-(2 上+ I)?=疋+1,由归纳假设可知存在至少R 个红色三角形，再加上MBC 至少有£ + 1个红色三角形, 若d（A ）+ d （B ）≥2k + 3,贝IJd （A ）+ d （β）+d （C ）≥3k + 5,故从A.B.C 岀发向其它2«-1个点引出红色线段至少有3«-1条， 因为（3£_1）_（2£_1）=化 这（3/:-1）线段至少有R 对线段有公共点（不包括A^C ）故至少存在k 个红色三角形，再加上MBC,则至少有R+ 1个红色三角形， 所以n = k + ∖时命题也成立，由（1） （2）可知，当n>∖j ιeN 时，2“点之间的朴2 + 1条红色线段至少可组成”个红色 三角形・其中为互素的正整数，那么〃*・ 引理的证明：因为素数P≥5,由FemIat d×⅛理•以及I A+2' +--- + (/?-Iy ≡ θ(rnod “)，其中 ∖≤k ≤ P _2 ,有((切 +1X ® + 2)…(切 + P -1))Z A三一芬∙2I 三一壬严三0(mθd"/-1r-I所以((切+1X 切+2)…(切+ 〃_1))EA = PM(M WAr)4.证明：引理：设p 25为素数，R 为非负整数f P-I11 /T w7⅛ = =2∑L+ ' (2£ + 1)〃 ∖kp+i kp+ p-i 丿2 若l(kp+iXkp+p-i)' "-I 令A =工r-11 ______=Σ/=1（（切+ IX 切+ 2）…（妙+ 〃 一 1）厂(kp+i ∖kp+p-i)kp+∖ kp+2精品文档在线編辑 更女好内容为您奉上即殳=(2k + MMSk 2((切 + IXkp+ 2).(切 + ” -1))"T 因为(几 2((切 + IX 切+2)…(Rp+ P - I))I )=1, 所以p 2∖t k ,引理证毕，由引理得，P 2a p-i ,所以Pa P-I , 从而 P(P_I)ESP ,P 2->1 1 P-> 1 PTPT 1 =∑7=-∑7÷∑∑1-/=1 l P /=1 1 妇 O /=! KP 十 I 因为P 2 a p ^p 2∖t k .所以M 宀 从而 p 2-l≡S p . 因为p-l<p(p-l)<p 2-l,所以集合SP 中元素至少有3个. 丄 P +Σ十 λ∙=C S k。

全国高中数学竞赛试题及答案试题一：函数与方程1. 已知函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \)，求\( f(x) \)的极值点。

2. 求解方程\( x^2 - 4x + 3 = 0 \)的所有实根。

3. 判断函数\( g(x) = \frac{1}{x} \)在区间\( (0, +\infty) \)上的单调性。

试题二：解析几何1. 已知椭圆\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中\( a > b > 0 \)，求椭圆的焦点坐标。

2. 求圆\( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)的切线方程，已知切点坐标为\( (m, n) \)。

3. 证明点\( P(x_1, y_1) \)和点\( Q(x_2, y_2) \)的连线\( PQ \)的中点坐标为\( \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 +y_2}{2}\right) \)。

试题三：数列与级数1. 已知等差数列的首项\( a_1 = 3 \)，公差\( d = 2 \)，求第10项\( a_{10} \)。

2. 求等比数列\( b_1, b_2, b_3, \ldots \)的前\( n \)项和，其中\( b_1 = 1 \)，公比\( r = 3 \)。

3. 判断数列\( c_n = \frac{1}{n(n + 1)} \)的收敛性。

试题四：概率与统计1. 从5个红球和3个蓝球中随机抽取3个球，求至少有2个红球的概率。

2. 抛掷一枚均匀硬币4次，求正面朝上的次数为2的概率。

3. 某工厂生产的产品中有2%是次品，求从一批产品中随机抽取10个产品，至少有1个是次品的概率。

试题五：组合与逻辑1. 有5个不同的球和3个不同的盒子，将球分配到盒子中，每个盒子至少有一个球，求不同的分配方法总数。

2. 证明：对于任意的正整数\( n \)，\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)。