2005年全国高中数学联赛试卷及解答

2005中国数学奥林匹克竞赛汇编2005中国数学奥林匹克第二十届全国中学生数学冬令营1、给定θi∈(-π/2,π/2),i=1,2,3,4。

证明当且仅当时，存在实数x同时满足两个不等式，。

2、一个圆和△ABC的三条边分别相交于D1,D2;E1,E2;F1,F2。

另外, 线段D1E1和线段D2F2相交于点L，线段E1F1和E2F2相交于点M, 线段F1D1和F2E2相交于N。

证明三直线AL，BM，CN共点。

3、如图所示（图是由两个同心圆,n条一端点在圆心,一端点在大圆上的线段组成。

注:看不懂就可通过下文来推敲）圆形的水池被分割为2n(n≥5)个"格子"。

我们把有公共隔墙(公共边或公共弧)的"格子"称为相邻的，从而每个格子有三个邻格。

水池中一共跳入4n+1只青蛙,青蛙难于安静共处,只要某个"格子"中有不少于3只青蛙，那么迟早一定会有3只分别跳往三个不同邻格。

证明：只要经过一段时间之后,青蛙便会在水池中大致分布均匀。

所谓大致分布均匀，就是任取其中一个"格子"，或者它里面有青蛙，或者它的3个邻格均有4、已知数列 {a n} 满足条件 a1=21/16,及2a n-3a n-1=3/2n+1（其中n>1）。

设m为正整数，m>1，m≥n，证明：[a n+3/2n+3]1/m*[m-(2/3)n(m-1)/m]<(m2-1)/(m-n+1)。

5、在面积为1的矩形ABCD中(包括边界)有5个点，其中任意三点不共线。

求以这5个点为顶点的所有三角形中，面积不大于1/4的三角形的个数的最小值。

6、求方程2^x*3^y-5^z*7^w=1的所有非负整数解。

2005年上海市高中数学竞赛（CASIO 杯）试卷（2005年3月27日 星期日 上午8：30～10：30）一、填空（前4小题每小题7分，后4小题每小题8分，供60分） 1．计算：0!1!2!100!i +i +i ++i=L ．（i 表示虚数单位） 2．设θ是某三角形的最大内角，且满足sin8sin 2θθ=，则θ可能值构成的集合是 ．（用列举法表示）3．一个九宫格如图，每个小方格内都填一个复数，它的每行、每列及对角线上三个格内的复数和都相等，则x 表示的复数是 ．4．如图，正四面体ABCD 的棱长为6cm ，在棱AB 、CD 上各有一点E 、F ，若1AE =cm ，2CF =cm ，则线段EF 的长为 cm ．5．若关于x 的方程4(3)250xxa ++⋅+=至少有一个实根在区间[1,2]内，则实数a 的取值范围为 ．6．a 、b 、c 、d 、e 是从集合{}1,2,3,4,5中任取的5个元素（允许重复），则abcd e +为奇数的概率为．7．对任意实数x 、y ，函数()f x 满足()()()1f x f y f x y xy +=+--，若(1)1f =，则对负整数n，()f n的表达式．8．实数x、y 、z 满足0x y z ++=，且2221x y z ++=，记m 为2x 、2y 、2z 中最大者，则m 的最小值为 ． 二、（本题满分14分）设()f x a 的值：至少有一个正数b ，使()f x 的i x 1A B FDE定义域和值域相同． 三、（本题满分14分）已知双曲线22221x y a b-=（a 、b ∈+R ）的半焦距为c ，且2b ac =．,P Q 是双曲线上任意两点，M 为PQ 的中点，当PQ 与OM 的斜率PQ k 、OM k 都存在时，求PQ OM k k ⋅的值． 四、（本题满分16分）设[]x 表示不超过实数x 的最大整数．求集合2|,12004,2005k n n k k ⎧⎫⎡⎤⎪⎪=≤≤∈⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭N 的元素个数．五、（本题满分16分）数列{}n f的通项公式为n nn f ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，n ∈+Z ． 记1212C +C +C nn n n n n S f f f =，求所有的正整数n ，使得n S 能被8整除．2005年全国高中数学联赛江苏赛区初赛一．选择题 (本题满分36分, 每小题6分)1.函数 ()y f x = 的图像按向量 (,2)4a π=r 平移后, 得到的图像的解析式为sin()24y x π=++. 那么 ()y f x = 的解析式为A. sin y x =B. cos y x =C. sin 2y x =+D. cos 4y x =+ 2.如果二次方程 20(,x px q p q --=∈N*) 的正根小于3, 那么这样的二次方程有 A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 3.设 0a b >>, 那么 21()a b a b +- 的最小值是A. 2B. 3C. 4D. 54.设四棱锥 P ABCD - 的底面不是平行四边形, 用平面 α 去截此四棱锥, 使得 截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 αA. 不存在B. 只有1个C. 恰有4个D. 有无数多个 5.设数列 {}n a : 01212,16,1663n n n a a a a a ++===-, n ∈N*, 则 2005a 被64 除的余数为A. 0B. 2C. 16D. 486. 一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 1⨯1 m 2的整块地砖来铺设(每块地砖都是单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同拼 色方法有A. 830个B. 73025⨯个C. 73020⨯个D. 73021⨯个 二．填空题 (本题满分36分, 每小题6分)7.设向量 OA u u u r 绕点 O 逆时针旋转 2π得向量 OB uuu r , 且 2(7,9)OA OB +=u u u r u u u r , 则向量 OB =u u u r.8.设无穷数列 {}n a 的各项都是正数, n S 是它的前 n 项之和, 对于任意正整数n , n a 与 2 的等差中项等于 n S 与 2 的等比中项, 则该数列的通项公式为 .9.函数 ∈+=x x x y (|2cos ||cos |R ) 的最小值是 .10.在长方体 1111ABCD A B C D - 中, 12,1AB AA AD ===, 点 E 、F 、G分别是棱 1AA 、11C D 与 BC 的中点, 那么四面体 1B EFG - 的体积是 .11.由三个数字 1、2、3 组成的 5 位数中, 1、2、3 都至少出现 1 次, 这样 的 5 位数共有 .12. 已知平面上两个点集{(,)||1|,M x y x y x y =++≥∈R },{(,)||||1|1,,N x y x a y x y =-+-≤∈R }. 若 M N ≠∅I , 则 a 的取值范围是.三．解答题 (第一题、第二题各15分；第三题、第四题各24分)13.已知点 M 是 ABC ∆ 的中线 AD 上的一点, 直线 BM 交边 AC 于点N , 且 AB 是 NBC ∆ 的外接圆的切线, 设BC BN λ=, 试求 BMMN(用 λ 表示).14.求所有使得下列命题成立的正整数 (2)n n ≥: 对于任意实数 12,,,n x x x L ,当 10nii x==∑ 时, 总有 110ni i i x x +=≤∑ ( 其中 11n x x += ).ABCDNM15.设椭圆的方程为22221(0)x ya ba b+=>>, 线段PQ是过左焦点F且不与x轴垂直的焦点弦. 若在左准线上存在点R, 使PQR∆为正三角形, 求椭圆的离心率e的取值范围, 并用e表示直线PQ的斜率.n n∈N*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于2005, 求n的16.(1) 若(最小值, 并说明理由；n n∈N*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于20022005, 求n的(2) 若(最小值, 并说明理由.2005年全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案一．选择题1,B sin[()]44y x ππ=++, 即 cos y x =. 故选 B ． 2,C 由 240,0p q q ∆=+>-<, 知方程的根为一正一负．设 2()f x x px q =--，则2(3)330f p q =-->, 即 39p q +<.由于 ,p q ∈N*， 所以 1,5p q =≤ 或2,2p q =≤. 于是共有7组 (,)p q 符合题意． 故选 C ．3,C 由 0a b >>, 可知22210()()424a ab a b b a <-=--≤ 所以， 222144()a a b a b a+≥+≥-. 故选 C ．4,D 设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为 m 、n , 直线 m 、n 确定了一个平面 β 作与 β 平行的平面 α, 与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形．而这样的平面 α 有无数多个．故选 D ．5,C 数列 {}n a 模 64 周期地为 2，16，－2，－16，……. 又 2005 被 4 除余 1, 故 选 C ．6,D 铺第一列(两块地砖)有 30 种方法；其次铺第二列．设第一列的两格铺了 A 、B 两色(如图)，那么，第二列的上格不能铺 A 色．若铺 B 色，则有 (61)- 种铺法；若不 铺 B 色，则有 2(62)- 种方法. 于是第二列上共有 21 种铺法. 同理， 若前一列铺好，则其后一列都有 21 种铺法．因此，共有 73021⨯ 种铺法． 故选 D ．二．填空题7,1123(,)55- 设 (,)OA m n =u u u r , 则 (,)OB n m =-u u u r , 所以2(2,2)(7,9)OA OB m n n m +=-+=u u u r u u u r 即 27,29.m n m n -=⎧⎨+=⎩ 解得 23,511.5m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因此，23111123(,),(,)5555OA OB ==-u u u r u u u r .AB8,42(n a n n =-∈N*)．由题意知 22n a +=， 即 2(2)8n n a S +=.… ①由 11a S = 得122a +=, 从而 12a =. 又由 ① 式得211(2)(2)8n n a S n --+=≥,… ②于是有 1n n n a S S -=-221(2)(2)(2)88n n a a n -++=-≥,整理得 11()(4)0n n n n a a a a --+--=. 因 10,0n n a a ->>, 故114(2),2n n a a n a --=≥=,所以数列 {}n a 是以 2 为首项、4为公差的等差数列，其通项公式为 24(1)n a n =+-,即 42n a n =-. 故填 42(n a n n =-∈N*)．9,2令 |cos |[0,1]t x =∈，则 2|21|y t t =+-．当12t ≤≤ 时， 2219212()48y t t t =+-=+-，得 22y ≤≤；当 02t ≤<时， 2219212()48y t t t =-++=--+，得928y ≤≤又 y 可取到 2, 故填2．10, 138B EFG V -=在 11D A 的延长线上取一点 H ，使 114A H =. 易证,1||HEB G ， ||HE 平面1B FG ． 故 1111B EFG E B FG H B FG G B FH V V V V ----===．而 198B FH S ∆=，G 到平面 1B FH 的距离为 1． 故填 138B EFG V -=． 11,150 在 5 位数中, 若 1 只出现 1 次，有 11235444()70C C C C ++= 个； 若 1 只出现 2 次，有 212533()60C C C += 个；若 1 只出现 3 次，有 315220C C = 个． 则这样的五位数共有 150 个． 故填 150个.12.[1-+由题意知 M 是以原点为焦点、直线 10x y ++= 为准线的抛物线上及其凹口内侧的点集，N 是以 (,1)a 为中心的正方形及其内部的点集(如图)．考察 M N =∅I 时, a 的取值范围:令 1y =, 代入方程|1|x y ++=,得 2420x x --=，解出得2x =± 所以，当211a <=时, M N =∅I ． ………… ③令 2y =，代入方程|1|x y ++=得 2610x x --=. 解出得3x =．所以，当3a > 时, M N =∅I ． ………… ④因此, 综合 ③ 与 ④ 可知，当13a ≤≤+即[13a ∈ 时,M N ≠∅I ．故填[1-. 三．解答题13, 证明：在 BCN ∆ 中，由Menelaus 定理得1BM NA CDMN AC DB⋅⋅=． 因为 BD DC =，所以BM ACMN AN=． ……………… 6分由 ABN ACB ∠=∠，知ABN ∆ ∽ ACB ∆，则AB AC CBAN AB BN==． 所以，2AB AC CB AN AB BN ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭， 即 2⎪⎭⎫ ⎝⎛=BN BC AN AC ． …………………… 12分 因此， 2⎪⎭⎫⎝⎛=BN BC MN BM ． 又 BC BN λ=， 故 2BMMNλ=． …………………… 15分 14, 解： 当 2n = 时，由 120x x +=，得 21221120x x x x x +=-≤．所以 2n = 时命题成立. …………………… 3分ABCDNM当 3n = 时，由 1230x x x ++=，得2222123123122331()()2x x x x x x x x x x x x ++-++++=.所以 3n = 时命题成立. ………………… 6分当 4n = 时，由 12340x x x x +++=，得212233441132424()()()0x x x x x x x x x x x x x x +++=++=-+≤．所以 4n = 时命题成立． ……………… 9分当 5n ≥ 时，令 121x x ==，42x =-，350n x x x ====L ,则10nii x==∑.但是,1110ni i n x x+==>∑，故对于 5n ≥ 命题不成立．综上可知，使命题成立的自然数是 2,3,4n =. …………… 15分 15, 解： 如图, 设线段 PQ 的中点为 M ． 过点 P 、M 、Q 分别作准线的垂线, 垂足 分别为 'P 、'M 、'Q , 则11|||||||'|(|'||'|)()222PF QF PQ MM PP QQ e e e=+=+=． …………… 6分假设存在点 R ，则 ||||RM PQ =， 且 |'|||MM RM <， 即||||22PQ PQ e <，所以，3e >． ………………………… 12分 于是，ePQ e PQ RM MM RMM 31||322|||||'|'cos =⋅==∠， 故cot 'RMM ∠=．若 ||||PF QF < (如图)，则131'cot 'tan tan 2-=∠=∠=∠=e RMM FMM QFx k PQ . …………… 18分当e >时, 过点 F 作斜率为 的焦点弦 PQ , 它的中垂线交左准线于 R , 由上述运算知, ||||2RM PQ =． 故 PQR ∆ 为正三角形. ………… 21分 若 ||||PF QF >，则由对称性得PQ k = ……………… 24分又 1e <, 所以，椭圆 22221(0)x y a b a b +=>> 的离心率 e 的取值范围是e ∈， 直线 PQ 的斜率为16, 解： (1) 因为3333101000,111331,121728,132197====,3312200513<<，故 1n ≠.因为 3333200517281251252712553=+++=+++，所以存在 4n =， 使min 4n ≤． ……………… 6分若 2n =，因 3310102005+<, 则最大的正方体边长只能为 11 或 12，计算33200511674,200512277-=-=，而 674 与 277 均不是完全立方数, 所以2n = 不可能是 n 的最小值. ……………… 9分若 3n =，设此三个正方体中最大一个的棱长为 x , 由 328320053⨯>≥x , 知最大的正方体棱长只能为 9、10、11 或 12.由于 3932005⨯<, 5479220053=⨯-, 0829200533>⨯--, 所以 9x ≠. 由于 510220053=⨯-, 332005109276--=, 332005108493--=,07210200533>⨯--, 所以10x ≠.由于 332005118162--=, 332005117331--=, 06211200533>⨯--, 所以 11x ≠.由于 33200512661--=, 33320051251525--=>, 所以 12x ≠. 因此 3n = 不可能是 n 的最小值.综上所述，4n = 才是 n 的最小值. ……………… 12分 (2) 设 n 个正方体的棱长分别是 12,,,n x x x L ， 则3332005122002n x x x +++=L ．…………… ⑤由 20024(mod9)≡， 341(mod 9)≡，得20052005668313668200244(4)44(mod9)⨯+≡≡≡⨯≡．…… ⑥ …… 15分又当 x ∈N* 时，30,1(mod 9)x ≡±，所以31x ≡∕4(mod9)， 3312x x + ≡∕4(mod 9)， 333123x x x ++ ≡∕4(mod 9). … ⑦…………… 21分⑤ 式模 9, 由 ⑥、⑦ 可知, 4n ≥．而 33332002101011=+++，则2005200433336683333320022002(101011)(2002)(101011)=⨯+++=⨯+++6683668366836683(200210)(200210)(2002)(2002)=⨯+⨯++．…… 24分因此 4n = 为所求的最小值．。