2016年全国高中数学联赛(A卷)

2016年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1. 设实数a 满足a a a a <-<1193，则a 的取值范围是__________.2. 设复数w z ,满足3=z ，()()i w z w z 47+=-+，其中i 是虚数单位，w z ,分别表示w z ,的共轭复数，则()()w z w z 22-+的模为__________.3. 正实数w v u ,,均不等于1，若5log log =+w vw v u ，3log log =+v u w v ，则u w log 的值为__________.4. 袋子A 中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B 中装有4张5元纸币和3张1元纸币.现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A 中剩下的纸币面值之和大于B 中剩下的纸币面值之和的概率为 .5. 设P 为一圆锥的顶点，C B A ,,是其底面圆周上的三点，满足︒=∠90ABC ，M 为AP 的中点.若2,2,1===AP AC AB ，则二面角A BC M --的大小为__________.6. 设函数()10cos 10sin 44kx kx x f +=，其中k 是一个正整数.若对任意实数a ，均有(){}(){}R x x f a x a x f ∈=+<<1，则k 的最小值为__________.7. 双曲线C 的方程为1322=-y x ，左、右焦点分别为1F 、2F .过点2F 作一直径与双曲线C 的右半支交于点Q P ,，使得︒=∠901PQ F ，则PQ F 1∆的内切圆半径是__________.8. 设4321,,,a a a a 是100,,2,1Λ中的四个互不相同的数，满足()()()2433221242322232221a a a a a a a a a a a a++=++++， 则这样的有序数组()4321,,,a a a a 的个数为__________.二、解答题 9. 在ABC ∆中，已知⋅=⋅+⋅32.求C sin 的最大值.10. 已知()x f 是R 上的奇函数，()11=f ，且对任意0<x ，均有()x xf x x f =⎪⎭⎫ ⎝⎛-1. 求()⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛511501981319912110011f f f f f f f f Λ的值.11. 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，F 是x 轴正半轴上的一个动点.以F 为焦点、O 为顶点作抛物线C .设P 是第一象限内C 上的一点，Q 是x 轴负半轴上一点，使得PQ 为C 的切 线，且2=PQ .圆21,C C 均与直线OP 相切于点P ，且均与x 轴相切.求点F 的坐标，使圆1C 与2C 的面积之和取到最小值.2016年全国高中数学联赛A 卷二试一、设实数201621,,,a a a Λ满足21119+>i i a a ()2015,,2,1Λ=i .求()()()()212016220162015232221a a a a a a a a ----Λ的最大值.二、如图所示，在ABC ∆中，X 、Y 是直线BC 上的两点（X 、B 、C 、Y 顺次排列），使得AB CY AC BX ⋅=⋅. 设ACX ∆，ABY ∆的外心分别为21,O O ，直线21O O 与AB 、AC 分别交于点U 、V .证明：AUV ∆是等腰三角形.三、给定空间中10个点，其中任意四点不在一个平面上，将某些点之间用线段相连，若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形，试确定所连线段数目的最大值.四、设p 与2+p 均是素数，3>p .数列{}n a 的定义为21=a ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=--n pa a a n n n 11，Λ,3,2=n . 这里[]x 表示不小于实数x 的最小整数.证明：对1,,4,3-=p n Λ均有11+-n pa n 成立.。

2016全国高中数学联赛试题及评分标准9月将至，开学的同时，每年一年一度的全国高中数学联赛也即将来了，同学们可知道高中联赛的前世今生吗？从1956年起，在华罗庚、苏步青等老一辈数学家的倡导下，开始举办中学数学竞赛，在北京、上海、福建、天津、南京、武汉、成都等省市都开展了数学竞赛，并举办了由京、津、沪、粤、川、辽、皖合办的高中数学联赛。

1979年，我国大陆上的29个省、市、自治区都举办了中学数学竞赛。

1980年，在大连召开的第一届全国数学普及工作会议上，确定将数学竞赛作为中国数学会及各省、市、自治区数学会的一项经常性工作，每年9月第二个星期日举行“全国高中数学联合竞赛”。

竞赛分为一试和二试，在这项竞赛中取得优异成绩的全国约200名学生有资格参加由中国数学会奥林匹克委员会主办的“中国数学奥林匹克(CMO)暨全国中学生数学冬令营”(每年元月)。

各省的参赛名额由3人到8人不等，视该省当年的联赛考试成绩而定，且对于承办方省份有一定额外的优惠。

在CMO中成绩优异的60名左右的学生可以进入国家集训队。

经过集训队的选拔，将有6名表现最顶尖的选手进入中国国家代表队，参加国际数学奥林匹克(IMO)。

为了促进拔尖人才的尽快成长，教育部规定：在高中阶段获得全国数学联赛省、市、自治区赛区一等奖者便获得保送重点大学的资格，对于没有保送者在高考中加分，加分情况根据各省市政策而定，有些省、市、自治区保留了竞赛获奖者高考加5分到20分不等，而部分省级行政区已经取消了竞赛加分。

对二、三等奖获得者，各省、市、自治区又出台了不同的政策，其中包括自主招生资格等优惠录取政策。

为严格标准，中国数学会每年限定一等奖名额1000名左右，并划分到各省、市、自治区。

各省、市、自治区在上报一等奖候选人名单的同时，还要交上他们的试卷，最终由中国数学会对其试卷审核后确定获奖名单。

☆ 试题模式自2010年起，全国高中数学联赛试题新规则如下：联赛分为一试、加试（即俗称的“二试”）。

2016年福建省高中数学竞赛暨2016年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案（考试时间：2016年5月22日上午9：00－11：30，满分160分）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。

请直接将答案写在题中的横线上）1．若函数()3cos()sin()63f x x x ππωω=+--（0ω>）的最小正周期为π，则()f x 在区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值为 。

【答案】【解答】∵ ()3cos()sin()3cos()sin()63662f x x x x x πππππωωωω=+--=+-+-3cos()cos()4cos()666x x x πππωωω=+++=+，且()f x 的最小正周期为π。

∴ 2ω=，()4cos(2)6f x x π=+。

又02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，72666x πππ≤+≤，∴ 266x ππ+=，即0x =时，()f x 在区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上取最大值 2．已知集合{}2320A x x x =-+≤，13B x a x ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为 。

【答案】 1()2-+∞，【解答】{}12A x x =≤≤。

由13a x <-，得3103ax a x -++<-。

∴ 0a =时，{}3B x x =<。

满足A B ⊆。

0a >时，由3103ax a x -++<-，得1(3)03x a x -+>-，133B x x x a ⎧⎫=<>+⎨⎬⎩⎭或。

满足A B ⊆。

0a <时，由3103ax a x -++<-，得1(3)03x a x -+<-，133B x x a ⎧⎫=+<<⎨⎬⎩⎭。

由满足A B ⊆，得131a +<，102a -<<。

综合得，12a >-。

a 的取值范围为1()2-+∞，。

2016年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）（5月22日下午14：30——16：30）考生注意：1、本试卷共三大题（16个小题），全卷满分140分.2、用黑（蓝）色圆珠笔或钢笔作答.3、计算器、通讯工具不准带入考场.4、解题书写不要超过密封线.一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1、在ABC Δ中，设内角C B A 、、的对边长分别为c b a 、、．命题p :2B C A +=，且a c b 2=+；命题q : ABC Δ是正三角形．则命题p 是命题q 的 【 】．A、充要条件B、充分条件但不是必要条件C、必要条件但不是充分条件D、既不是充分条件又不是必要条件2、若i 为虚数单位，复数122z i =+，则2016z 的值是 【 】． A 、1− B 、i − C 、i D 、13、已知函数t tx x x f +−=2)(2，当[]1,1−∈x 时，记)(x f 的最小值为m ，则m 的最大值是 【 】．A 、2−B 、0C 、41D 、1 4、对任意正整数n 与()k k n ≤，),(k n f 表示不超过n k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，且与n 互质的正整数的个数，则(100,3)f = 【 】．A 、11B 、13C 、14D 、195、设数列{}n a满足：*116,n a a n +==∈N ，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，n S 为{}n a 的前n 项和，则2016S 的个位数字是 【 】．A 、1B 、2C 、5D 、66、已知F 1、F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且1260F PF ∠=D，则该椭圆和双曲线的离心率之积的最小值是 【 】．ABC 、1 D三 题 目一 二13 14 15 16 总成绩 得 分 评卷人 复核人 得 分 评卷人二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7、在54(4)x x+−的展开式中3x 的系数是 .（用具体数作答） 8、若实数α、β、γ构成以2为公比的等比数列，sin α、sin β、sin γ构成等比数列，则cos α的值是 .9、已知正四棱锥S −ABCD 侧棱长为4，∠ASB =30°，过点A 作截面与侧棱SB 、SC 、SD 分别交于E 、F 、G ，则截面AEFG 周长的最小值是 . 10、已知△ABC 的外心为O ，且234OA OB OC ++JJG JJJ G JJJ G =0，则cos BAC ∠的值是 .11、实数x 、y 、z 、w 满足1x y z w +++=，则23345M xw yw xy zw xz yz =+++++的最大值是 .12、对于任何集合S ，用||S 表示集合S 中的元素个数，用()n S 表示集合S 的子集个数.若A 、B 、C 是三个有限集，且满足条件：① ||||2016A B ==；② )()()()(C B A n C n B n A n ∪∪=++.则||C B A ∩∩的最大值是 .三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）13、设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n n S r =+（r 为常数），记22(1log )n n b a =+ *()n ∈N ．（1）求数列{}n n a b 的前n 项和n T ；（2）若对于任意的正整数n，都有1212111n nb b b b b b +++⋅⋅⋅≥"成立， 求实数k 的最大值．得 分 评卷人得 分 评卷人14、已知a 、b 、c 为正实数， 求证：222()()()111a b c abc a b c b c a c a b a b c++≥≥+−+−+−++．15、已知抛物线y 2=2px 过定点C (1,2)，在抛物线上任取不同于点C 的一点A ，直线AC 与直线y =x +3交于点P ，过点P 作x 轴的平行线交抛物线于点B ．（1）求证：直线AB 过定点；（2）求△ABC 面积的最小值．16、已知a为实数，函数f(x)=|x2−ax|−ln x，请讨论函数f(x)的单调性．。

2016年全国高中数学联赛陕西赛区预赛注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题1.已知集合,10}，A为M的子集，且子集A中各元素的和为8.则满足条件的子集A共有（）个.A. 8B. 7C. 6D. 52.在平面直角坐标系中，不等式组{√3x−y≤0,x−√3y+2≥0,y≥0表示的平面区域的面积是A. √32B. √3C. 2D. 2√33.设a、b、c为同一平面内的三个单位向量，且a⊥b.则(c-a)•(c-b)的最大值为（）.A. 1+√2B. 1-√2C. √2-1D. 14.从1，2，…，20这20个数中，任取三个不同的数.则这三个数构成等差数列的概率为（）.A. 319B. 119C. 338D. 1385.已知A、B为抛物线y=3-x2上关于直线x+y=0对称的相异两点.则|AB|等于（）.A. 3B. 4C. 3√2D. 4√26.设函数f(x)=x3+ax2+6x+c(a、b、c均为非零整数).若f(a)=a3，f(b)=b3，则c的值为（）.A. -16B. -4C. 4D. 167.如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，G为△BCD的重心，M为线段AG的中点.则三棱锥M-BCD的外接球的表面积为（）.A. πB. 3π2C. √6π4D. √6π88.设非负实数a 、b 、c 满足ab +be +ca =a +b +c >0.则√ab +√bc +√ca 的最小值为（ ）. A. 2 B. 3 C. √3 D. 2√2第II 卷（非选择题）二、填空题9.在数列n 4=1，a 11=9，且任意连续三项的和均为15.则a 2016=________. 10.设m 、n 均为正整数，且满足24m =n 4.则m 的最小值为________.11.设函数f(x)、g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f(x)+g(x)=2x ，若对x∈[1,2]，不等式af(x)+g(x)≥0恒成立，则实数a 的取值范围是__________．12.设a ∈R .则函数f (x )=|2x -1|+|3x -2|+|4x -3|+|5x -4|的最小值为_______. 三、解答题13.设x y 、均为非零实数，且满足sincos955tan 20cos sin 55x y x y πππππ+=-.（Ⅰ）求yx的值； （Ⅱ）在ABC ∆中，若tan yC x=，求sin 22cos A B +的最大值. 14.已知直线l ：y =√3x +4，动圆⊙O ：x 2+y 2=r 2(1<r <2)，菱形ABCD 的一个内角为60°，顶点A 、B 在直线l 上，顶点C 、D 在⊙O 上.当r 变化时，求菱形ABCD 的面积S 的取值范围. 15.如图，⊙O 1与⊙O 2交于P 、Q 两点，⊙A 的弦以与⊙O 2相切，⊙O 2的弦PB 与⊙O 1相切，直线PQ 与△P AB 的外接圆⊙O 交于另一点R .证明：PQ =QR .16.设函数f(x)=lnx +a(1x−1)（a ∈R ）， 且f (x )的最小值为0.（1）求a 的值；（2）若数列{a n }满足a 1=1，a n +l =f (a n )+2(n ∈Z +)，记S n =[a 1]+[a 2]+…+[a n ]，[m ]表示不超过实数m 的最大整数，求S n .17.记“∑”表示轮换对称和.设a 、b 、c 为正实数，且满足abc =1.对任意整数n ≥2，证明：∑√b+cn≥2n.参考答案1.C【解析】1.注意到，元素和为8的子集A有｛8}、｛1，7｝、｛2，6｝、｛3，5｝、｛1，2，5｝、｛1，3，4｝，共6个.选C.2.B【解析】2.由不等式组绘制可行域如图所示，则A(−2,0),B(1,√3)，不等式组表示的平面区域的面积是S=12×2×√3=√3 .本题选择B选项.3.A【解析】3.由a⊥b，|a|=|b|=|c|=1，知a·b=0，|a+b|=√2.设向量c与a+b的夹角为θ.则 (c-a)·(c-b)=c2-c·(a+b)+a·b=|c|2-|c||a+b|cosθ=1-√2cosθ≤1+√2，当且仅当cosθ=-1，即0=π时，上式等号成立.故(c-a)·(c-b)的最大值为1+√2.选A.4.D【解析】4.从这20个数中任取三个数，可构成的数列共有A 203个. 若取出的三个数a 、b 、c 成等差数列，则a +c =2b . 故a 与c 的奇偶性相同，且a 、c 确定后，b 随之而定. 从而，所求概率为p =2A 102A 203=138. 选D.5.C【解析】5.因为点A 、B 关于直线x +y =0对称，所以，设点A (a ，b )，B (-b ，-a ). 又点A 、B 在抛物线y =3-x 2上，则{b =3−a 2，−a =3−b2⇒{a =−2，b =−1 或{a =1，b =2.不妨设点A (-2，-1)，B (1，2).则|AB |=3√2. 选C. 6.D【解析】6.设g (x )=f (x )-x 3=ax 2+bx +c . 由f (a )=a 3，f (b )=b 3⇒ g (a )=g (b )=0.则a 、b 为方程g (x )=0的两个根⇒a +b =−ba ，ab =ca⇒ c =−a 4a+1=−(a 2+1)(a −1)−1a+1.因为c 为整数，所以，a +1=±1⇒a =0(舍去)或-2. 故c =16. 选D. 7.B【解析】7.因为G 为正△BCD 的重心，所以，AG ⊥平面BCD ⇒AG ⊥BG . 在Rt △AGB 中， AB =1，BG =23×√32=√33⇒AG =√AB 2−BG 2=√63⇒MG = 12AG =√66. 在Rt △MGB 中，MB =√MG 1+BG2=√22⇒MC =MB =√22.则MB 2+MC 2=12=BC 2⇒MB ⊥MC .类似地⊥Ml )，MD ⊥MB .于是，三棱锥M -BCD 的外接球的直径等于以MB 、MC 、MD 为棱的正方体的体对角线长. 设三棱锥M -BCD 的外接球半径为R . 则2R =√3MB =√62.故外接球的表面积S =4πR 2=3π2. 选B. 8.A【解析】8.不妨设a ≥b ≥c .由均值不等式得(a+b +c)(√ab +√bc +√ca)≥(a +b)√ab +(b +c)√bc +(c +a)√ca ≥2√ab √ab +2√bc √bc +2√ca √ca =2(ab +bc +ca)，当且仅当c =0且a =b 时，上式等号成立.又ab +bc +ca =a +b +c >0，则√ab +√bc +√ca ≥2. 由c =0，a =b ，ab +bc +ca =a +b +c ，得a =b =2.故当a 、b 、c 中有两个为2、一个为0时，√ab +√bc +√ca 取得最小值为2. 选A. 9.5【解析】9.依题意，对任意n ∈Z +，有a n +a n +1+a n +2=a n +1+a n +2+a n +3=15⇒a n +3=a n . 则a 1=a 4=1，a 2=a 11=9，a 3=15-a 1-a 2=5. 故a 2016=a 3×672=a 3=5. 10.54【解析】10.由n 4=24m =23×3m ，知m min =2×33=54. 11.[−176，+∞)【解析】11. 由f (x )+g (x )=2x ①⇒ f (-x )+g (-x )=2-x⇒-f (x )+g (x )=2-x . ②由式①、②得，g (x )=2x +2−x 2 ，f (x )=2x −2−x2.由af (x )+g (2x )≥0⇒a (2x -2-x )+22x +2-2x ≥0. ③令t =2x -2 –x ，由x [1，2]，得t ∈[32，154] ，且22x +2-2x =t 2+2.则对t ∈[32，154]由式③得−a ≤t +2t.因为函数t +2t在区间[32，154]内单调递增，所以t =√32时，(t +2t)min=176. 故−a ≤176，即a ≥−176.12.1【解析】12. 注意到，f(x)=2|x −12|+3|x −23|+4|x −34|+5|x −25|=2(|x −1|+|x −4|)+3(|x −2|+|x −4|+4|x −3|)≥2|(x −12)−(x −45)|+3|(x −23)−(x −45)| =2|45−12|+3|45−23|=1当且仅当(x −12)(x −45)≤0，(x −23)(x −45)≤0，x −34=0，即x =34时，等号成立. 故f （x ）min=f(34)=113.（Ⅰ）1；（Ⅱ）23.【解析】13.（Ⅰ）先对已知条件左右两边同除以x ，得到tan95tan 201tan 5yx y x πππ+=-，再令tan y x θ=，即可得到9tan()tan520ππθ+=，从而得到θ的表达式，进而可求出yx的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）可求出C 的值，从而可得到)(B A +的值，用B 表示A ，代入到sin 22cos A B +中，最终式子变成了一个二次函数的形式，利用三角函数的有界性可求出最值.试题分析：（Ⅰ）由已知得tan95tan 201tan 5yx y x πππ+=-，令θtan =xy ，则tan tan 95tan201tan tan 5πθππθ+=-，即9tan()tan 520ππθ+= 所以9520k ππθπ+=+，即()4k k Z πθπ=+∈. 故tan tan()14y k x πθπ==+=.（Ⅱ）由（Ⅰ）得tan 1C =，因为0C π<<， 所以4C π=，从而34A B π+=， 则3222A Bπ=-.所以3sin 22cos sin(2)2cos 2A B B Bπ+=-+2cos 22cos 2cos 2cos 1B B B B =-+=-++2132(cos )22B =--+故当1cos 2B =，即3B π=时，sin 22cos A B +取得最大值为32. 14.(0，3√32)∪(2√32，6√3)【解析】14.因为菱形ABCD 有一个内角为60°，所以，△ACD 或△BCD 为等边三角形，不妨设为等边三角形，如图3.因为圆心O 到直线l 的距离为2>r ，所以，直线l 与⊙O 相离. 设l CD :y =√3x -b .则直线l 与CD 的距离d =|b−4|2.又圆心O 到直线CD 的距离为|b|2，故|CD|=2√r 2−(|b|2)2=√4r 2−b 2.由d=√32|CD|⇒|b−4|2=√32√4r 2−b 2⇒b 2−2b +4=3r 2.因为1<r <2，所以，3<b 2-2b +4<12⇒-2<b <1或1<b <4. 又S=2S ΔACD =2×√34|CD|2=2×√34(√3)2d 2=√36(b −4)2，而函数S 在区间(-2，1)、区间(1，4)内分别单调递减，故菱形ABCD 的面积S 的取值范围是(0，3√32)∪(2√32，6√3).15.见解析【解析】15.联结O 1O 2，分别与PQ 、PO 交于点M 、N ，则O 1O 2⊥PQ ，且M 为PQ 的中点.联结PO 1、PO 2、OO l 、OO 2、OQ 、OR . 因为P A 与⊙O 2相切，所以，P A ⊥PO 2. 又P A 为⊙O 1与⊙O 的公共弦，则P A ⊥O 1O . 于是，PO 2∥O 1O . 类似地，PO 1∥O 2O .所以，四边形PO 1OO 2为平行四边形. 从而，N 为PO 的中点.由M 为PQ 的中点，知MN ∥OQ ，即O 1O 2∥OQ . 因为O 1O 2⊥OQ ，所以，OQ ⊥PR .又OP =OR ，故Q 为PR 的中点，即PQ =QR . 16.(1) 当a =1时，f (x )取得最小值0. (2) S n =2n -1【解析】16. （1）f ′(x)=1x −a 2=x−a 2(x >0).当a ≤0时，f ′(x)>0，则f (x )在区间(0，+∞)内单调递增，无最小值，不符合题意. 当a >0时，若0<x <a ，则f ′(x)<0； 若x >a ，则f ′(x)>0.所以，函数f (x )在区间(0，a )内单调递减，在区间(a ，+∞)内单调递增. 故f (x )min =f (a )=ln a -a +1.设g (a )=ln a -a +1(a >0).则g ′(a)=1a −1=1−aa . 若0<a <1，则g ′(a)>0； 若a >1，则g ′(a)<0.所以，函数g (a )在区间(0，1)内单调递增，在区间(1，+∞)内单调递减. 故g (a )≤g （1）=0.当且仅当a =1时，上式等号成立. 从而，当a =1时，f (x )取得最小值0. （2）由（1）知f(x)=lnx +1x−1.则a n +1=f (a n )+2=lna n +1a n+1.由a 1=1，得a 2=2. 从而，a 3=ln 2+32.因为12<ln 2<1，所以，2<a 3<3.下面用数学归纳法证明：当n ≥3时，2<a n <3. 当n =3时，结论已成立. 假设n =k (k ≥3)时，2<a k <3. 当n =k +1时，有a k+1=lna k +1a k+1.由（1）知 h (x )=f (x )+2=lnx +1x+1 在区间(2，3)内单调递增. 所以，h （2）<h (a k )<h （3），即ln2+32<ℎ(a k )<ln3+13+1.由ln 2>12，ln 3<53⇒2<h (a k )<3⇒2<a k +1<3， 即当n =k +1时，结论也成立.由归纳假设，知对一切整数n ≥3，均有2<a n <3. 于是，[a 1]=1，[a n ]=2(n ≥2).故S n =[ a 1]+[a 2]+…+[a n ] =1+2(n -1)-2n -1. 17.见解析【解析】17.不妨设a ≤b ≤c .则√b +c n ≥√c +b n ≥√a +b n ，b+c n ≤√c+a n ≤a+bn . 由切比雪夫不等式得∑a =∑(√b +c n ·√b+c n)≤13(∑√b +c n )(∑√b+c n ). 又由幂平均不等式得13∑√b +c n ≤√13∑(b +c)n =√23∑a n . 故∑a ≤√23∑a n (∑√b+c n ) ⇒√b+c n≥√23∑a n =√32(∑a)n−1n 由已知及均值不等式得∑a≥3√abc 3=3. 故√b+c n ≥√2n .。

全国高中数学联合竞赛一试 试题参考答案及评分标准（A 卷）说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．函数254()2x x f x x-+=-在(,2)-∞上的最小值是 （ C ）A ．0B ．1C ．2D ．3[解] 当2x <时，20x ->，因此21(44)1()(2)22x x f x x x x+-+==+---12(2)2x x ≥⋅--2=，当且仅当122x x=--时上式取等号．而此方程有解1(,2)x =∈-∞，因此()f x 在(,2)-∞上的最小值为2．2．设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为 （ D ） A ．[1,2)- B ．[1,2]- C ．[0,3] D ．[0,3) [解] 因240x ax --=有两个实根21424a a x =+22424a a x =+故B A ⊆等价于12x ≥-且24x <，即24224a a +≥-且24424a a +， 解之得03a ≤<．3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互，则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为 （ B ） A. 24181 B. 26681 C. 27481D. 670243[解法一] 依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为22215()()339+=．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有5(2)9P ξ==，4520(4)()()9981P ξ===，2416(6)()981P ξ===，故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．[解法二] 依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.令k A 表示甲在第k 局比赛中获胜，则k A 表示乙在第k 局比赛中获胜． 由性与互不相容性得12125(2)()()9P P A A P A A ξ==+=， 1234123412341234(4)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++332112202[()()()()]333381=+=，1234123412341234(6)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++2221164()()3381==，故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．4．若三个棱长均为整数（单位：cm ）的正方体的表面积之和为564 cm 2，则这三个正方体的体积之和为 （ A ） A. 764 cm 3或586 cm 3 B. 764 cm 3 C. 586 cm 3或564 cm 3 D. 586 cm 3[解] 设这三个正方体的棱长分别为,,a b c ，则有()2226564a b c ++=，22294a b c ++=，不妨设110a b c ≤≤≤<，从而2222394c a b c ≥++=，231c >．故610c ≤<．c 只能取9，8，7，6．若9c =，则22294913a b +=-=，易知2a =，3b =，得一组解(,,)(2,3,9)a b c =． 若8c =，则22946430a b +=-=，5b ≤．但2230b ≥，4b ≥，从而4b =或5．若5b =，则25a =无解，若4b =，则214a =无解．此时无解．若7c =，则22944945a b +=-=，有唯一解3a =，6b =．若6c =，则22943658a b +=-=，此时222258b a b ≥+=，229b ≥．故6b ≥，但6b c ≤=，故6b =，此时2583622a =-=无解．综上，共有两组解2,3,9a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或3,6,7.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩体积为3331239764V =++=cm 3或3332367586V =++=cm 3．5．方程组0,0,0x y z xyz z xy yz xz y ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩的有理数解(,,)x y z 的个数为 （ B ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4[解] 若0z =，则00.x y xy y +=⎧⎨+=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，或11.x y =-⎧⎨=⎩，若0z ≠，则由0xyz z +=得1xy =-． ① 由0x y z ++=得z x y =--． ②将②代入0xy yz xz y +++=得220x y xy y ++-=． ③ 由①得1x y=-，代入③化简得3(1)(1)0y y y ---=. 易知310y y --=无有理数根，故1y =，由①得1x =-，由②得0z =，与0z ≠矛盾，故该方程组共有两组有理数解0,0,0x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或1,1,0.x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩6．设ABC ∆的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列，则sin cot cos sin cot cos A C AB C B++的取值范围是（ C ）A. (0,)+∞B. 51(0,)2C. 5151()-+D. 51()-+∞[解] 设,,a b c 的公比为q ，则2,b aq c aq ==，而sin cot cos sin cos cos sin sin cot cos sin cos cos sin A C A A C A CB C B B C B C++=++ sin()sin()sin sin()sin()sin A C B B bq B C A A aππ+-=====+-．因此，只需求q 的取值范围．因,,a b c 成等比数列，最大边只能是a 或c ，因此,,a b c 要构成三角形的三边，必需且只需a b c +>且b c a +>．即有不等式组22,a aq aq aq aq a ⎧+>⎪⎨+>⎪⎩即2210,10.q q q q ⎧--<⎪⎨+->⎪⎩ 解得1551,225151.22q q q ⎧-<<⎪⎪⎨⎪><-⎪⎩或 5151q -+<<，因此所求的取值范围是5151(-+． 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．设()f x ax b =+，其中,a b 为实数，1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，1,2,3,n =，若7()128381f x x =+，则a b += 5 . [解] 由题意知12()(1)n n n n f x a x a a a b --=+++++11n na a xb a -=+⋅-，由7()128381f x x =+得7128a =，713811a b a -⋅=-，因此2a =，3b =，5a b +=．8．设()cos 22(1cos )f x x a x =-+的最小值为12-，则a =23-+[解] 2()2cos 122cos f x x a a x =---2212(cos )2122a x a a =----，(1) 2a >时，()f x 当cos 1x =时取最小值14a -； (2) 2a <-时，()f x 当cos 1x =-时取最小值1； (3) 22a -≤≤时，()f x 当cos 2a x =时取最小值21212a a ---． 又2a >或2a <-时，()f x 的最小值不能为12-，故2112122a a ---=-，解得23a =-+23a =-舍去)．9．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 222 种．[解法一] 用4条棍子间的空隙代表3个学校，而用*表示名额．如||||********表示第一、二、三个学校分别有4，18，2个名额．若把每个“*”与每个“|”都视为一个位置，由于左右两端必须是“｜”，故不同的分配方法相当于24226+=个位置（两端不在内）被2个“｜”占领的一种“占位法”．“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“*”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“｜”，故有223C 253=种． 又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种．[解法二] 设分配给3个学校的名额数分别为123,,x x x ，则每校至少有一个名额的分法数为不定方程12324x x x ++=．的正整数解的个数，即方程12321x x x ++=的非负整数解的个数，它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合：2121232323H C C 253===． 又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种． 10．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：1(1)n n n S a n n -+=+，1,2,n =，则通项n a =112(1)n n n -+． [解] 1111(1)(2)(1)n n n n n n n a S S a a n n n n +++-=-=--++++，即 2n n a n n n n n n a ++++-++-+=+)1(111)2)(1(221=)1(1)2)(1(2+++++-n n a n n n ， 由此得 2)1(1))2)(1(1(1++=++++n n a n n a n n ． 令1(1)n n b a n n =++，111122b a =+= (10a =)，有112n n b b +=，故12n n b =，所以)1(121+-=n n a n n ． 11．设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f = ，且对任意x ∈R ，满足(2)()32x f x f x +-≤⋅，(6)()632x f x f x +-≥⋅，则)2008(f =200822007+．[解法一] 由题设条件知(2)()((4)(2))((6)(4))((6)())f x f x f x f x f x f x f x f x +-=-+-+-+-+++-24323263232x x x x ++≥-⋅-⋅+⋅=⋅， 因此有(2)()32x f x f x +-=⋅，故(2008)(2008)(2006)(2006)(2004)(2)(0)(0)f f f f f f f f =-+-++-+2006200423(2221)(0)f =⋅+++++10031413(0)41f +-=⋅+-200822007=+． [解法二] 令()()2x g x f x =-，则2(2)()(2)()2232320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≤⋅-⋅=，6(6)()(6)()226326320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≥⋅-⋅=，即(2)(),(6)()g x g x g x g x +≤+≥，故()(6)(4)(2)()g x g x g x g x g x ≤+≤+≤+≤， 得()g x 是周期为2的周期函数，所以200820082008(2008)(2008)2(0)222007f g g =+=+=+．12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为46球永远不可能接触到的容器内壁的面积是723．[解] 如答12图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为r ，作平面111A B C //平面ABC ，与小球相切于点D ，则小球球心O 为正四面体111P A B C -的中心，111PO A B C ⊥面，垂足D 为111A B C 的中心．因11111113P A B C A B C V S PD -∆=⋅1114O A B C V -=⋅111143A B C S OD ∆=⋅⋅⋅，故44PD OD r ==，从而43PO PD OD r r r =-=-=．记此时小球与面PAB 的切点为1P ，连接1OP ，则222211(3)22PP PO OP r r r=--=．答13图答12图 2 考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为PAB )相切时的情况，易知小球在面PAB 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为1P EF ，如答12图2．记正四面体 的棱长为a ，过1P 作1PM PA ⊥于M ． 因16MPP π∠=，有113cos 226PM PP MPP r r =⋅==，故小三角形的边长1226PE PA PM a r =-=-． 小球与面PAB 不能接触到的部分的面积为（如答12图2中阴影部分）1PAB P EF S S ∆∆-223(26))a a r =--23263ar r =-． 又1r =，46a =124363183PAB PEF S S ∆∆-= 由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为723 三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13．已知函数|sin |)(x x f =的图像与直线y kx = )0(>k 有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，求证：2cos 1sin sin 34ααααα+=+． [证] ()f x 的图象与直线y kx =)0(>k 的三个交点如答13图所示，且在3(,)2ππ内相切，其切点为(,sin )A αα-，3(,)2παπ∈． …5分由于()cos f x x '=-，3(,)2x ππ∈，所以sin cos ααα-=-，即tan αα=． …10分 因此cos cos sin sin 32sin 2cos αααααα=+ 14sin cos αα=…15分22cos sin 4sin cos αααα+=21tan 4tan αα+=214αα+=． …20分 14．解不等式121086422log (3531)1log (1)x x x x x ++++<++．[解法一] 由44221log (1)log (22)x x ++=+，且2log y 在(0,)+∞上为增函数，故原不等式等价于1210864353122x x x x x ++++>+．即 1210864353210x x x x x +++-->． …5分 分组分解 12108x x x +- 1086222x x x ++- 864444x x x ++- 642x x x ++- 4210x x ++->，864242(241)(1)0x x x x x x +++++->， …10分所以 4210x x +->， 221515()(022x x ----->． …15分 所以215x -+>，即152x -+<-152x -+> 故原不等式解集为5151(,)(,)22---∞-+∞． …20分 [解法二] 由44221log (1)log (22)x x ++=+，且2log y 在(0,)+∞上为增函数，故原不等式等价于1210864353122x x x x x ++++>+． (5)分 即6422232262133122(1)2(1)x x x x x x x x+<+++++=+++， )1(2)1()1(2)1(232232+++<+x x xx ， …10分题15图令3()2g t t t =+，则不等式为221()(1)g g x x<+， 显然3()2g t t t =+在R 上为增函数，由此上面不等式等价于2211x x <+， …15分 即222()10x x +->，解得251x ->(251x +<舍去)，故原不等式解集为5151(,)(,)22---∞-+∞． …20分 15．如题15图，P 是抛物线22y x =上的动点，点B C ,在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC ∆，求PBC ∆面积的最小值．[解] 设00(,),(0,),(0,)P x y B b C c ，不妨设b c >．直线PB 的方程:00y by b x x --=， 化简得 000()0y b x x y x b --+=．又圆心(1,0)到PB 的距离为1，0022001()y b x b y b x-+=-+ ， …5分故22222000000()()2()y b x y b x b y b x b -+=-+-+，易知02x >，上式化简得2000(2)20x b y b x -+-=，同理有2000(2)20x c y c x -+-=． …10分 所以0022y b c x -+=-，002x bc x -=-，则22200020448()(2)x y x b c x +--=-．因00(,)P x y 是抛物线上的点，有2002y x =，则22204()(2)x b c x -=-，0022x b c x -=-． …15分 所以00000014()(2)4222PBC x S b c x x x x x ∆=-⋅=⋅=-++-- 2448≥=．当20(2)4x -=时，上式取等号，此时004,22x y ==±．因此PBC S 的最小值为8． …20分。