等比数列1

§3.3等比数列（一）——等比数列的基本知识一、复习:（1）等差数列的概念和通项公式（2）等差数列的前n项和公式导入：国王奖赏国际象棋发明者的事例，发明者要求：在第1个方格放1颗麦粒，在第2个方格上放2颗麦粒，在第3个方格上放4颗麦粒，在第4个方格上放8颗麦粒，依此类推，直到第64个方格子．国王能否满足他的要求呢?”情境3：某轿车的售价约36万元，年折旧率约为10%（就是说这辆车每年减少它的价值的10%），那么该车从购买当年算起，逐年的价格依次为多少？二、新授：1、例子以下3个数列：①1，2， 22，…，263②1，12，14，…，12n⎛⎫⎪⎝⎭，…③36，36×0.9，36×092，…，36×09n，…通过讨论，得到这些情境的共同特点是从第二项起，每一项与它前面一项的比都相等（等于同一个常数）．2、等比数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．（引导学生经过类比等差数列的定义得出）（1）形如a，a，a，…的数列一定是等差数列，但未必是等比数列．当a=0时，数列的每一项均为0，不能作比，因此不是等比数列；当a≠0时，此数列为等比数列．（2）等比数列的各项均不为0，且公比也不为0．3等比数列的通项公式方法1：∵21a a q =，()23211a a q a q q a q ===，()234311a a q a q q a q ===，……∴11n n a a q -=．方法2：∵ 1n n a q a +=，∴1n n a q a -=，12n n a q a --=，…， 32a q a =，21a q a =． 将各式相乘便有11n n a q a -=，∴11n n a a q -=（*∈N n ，2≥n ）， 当1n =时，11n n a a q -=两边均为1a 即等式也成立，说明上式当*n N ∈时都成立．注：（1）寻找通项即寻找项的一般规律，常可先看特殊项，写出几项，再归纳出一般结论，这是探索数列问题常用的一种方法，叫不完全归纳法，但这种方法得出的通项公式还不够严谨，须对其进行证明．（2）方法2就是对方法1得到的结论的一种证明，叫做叠乘法．与推导等差数列通项公式用到的叠加法类似，都必须注意对第一项是否成立进行补充说明．例1 判断下列数列是否是等比数列? ①11111,,,,24816--； ②1，2，4，8，16，20；③1，1，1，1，1；④－1，－2，－4，－8，－16；⑤数列{}n a 的通项公式为.)31(21--=n n a 解 据数列的定义可知：数列①③④⑤都是等比数列，②不是等比数列．分析：对于等比数列{}n a ，若q >1，则{}n a 一定是递增数列；若0<q <1，则{}n a 一定是递减数列，对吗?你能知道等比数列何时为递增数列， 何时为递减数列吗?得到：当q >1， 1a >0或0<q <1， 1a <0时， {}n a 是递增数列；当q >1， 1a <0或0<q <1， 1a >0时， {}n a 是递减数列；当q ＝1时， {}n a 是常数列；当q <0时，{}n a 是摆动数列．例2 在等比数列{}n a 中，已知3a =20，1206=a ，求n a ．解 设等比数列的公比为q ，则⎩⎨⎧==160205121q a q a ，解得 ⎩⎨⎧==251q a ．故11125--⨯==n n n q a a ． 反思 这种类型的题目主要是方程思想的应用，应用过程主要是三个步骤：设、列、求．例3 根据下面等比数列的条件，求相应的未知量：（1）a 1=4，q=3，an=324求项数n(2)q=2，a 5=48，求a 1和通项公式。

某种汽车购买时的价格是36万元，每年 的折旧率是10%，求这辆车各年开始时的价 格（单位：万元）。 各年汽车的价格组成数列：
36，36×0.9，36×0.92, 36×0.93,…
比一比
(1)
(2) (3）
（4）
2, 22 , 23 , 24 ,
1 1 1 1 , , , , …… 2 4 8 16
忆一忆
什么是等差数列？
1, 3, 5, 7, 9…; 3, 0, -3, -6, … ;
1 10
(1) (2)
,
2 10
,
3 10
,
4 10
, . (3)
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一 项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。 这个常数叫做等差数列的公差，用d表示。
数学式 子表示
an+1-an=d an = a1 +（n-1）d
a n1 q an
通项公式
?
名称
等
差
数
列
等
比
数
n 1
列
a n a1 (n 1)d
法1：不完全归纳法
a n a1q
法1：不完全归纳法
a 2 a1 d
通项 公式
a 3 a1 2d
a4 a1 3d
已知等差数列｛an｝中，公 差为d，则an与am（n,m ∈ N*） 有何关系？
通项 公式 引申
an a1 (n 1)d
am a1 (m 1)d
an=a1qn-1 am=a1qm-1
an qnm am 可得
a n a m q n m n, m N *

等比数列an 为递减列
；纯天然护肤品 美白面膜
；
日期：2013年11月 理想元件上电压电流关系的相量形式，掌握 1二进制计数器 重点与难点：现场总线的定义、基于现场总线的数据通信系统、现场总线控制网络与网络化控制系统。控件的属性设定 字符串，4.重点：位置随动系统的设计方法。 理解 组合逻辑电路的分析和设计 3、实习 地点：白云校区C栋101 1 单关节机器人控制建模与控制系统，计算机控制系统的基础知识 掌握 概述 触发器 （四）教学方法与手段 2 对综合业务数字网（ISDN）、异步传送方式（ATM）、帧中继、快速/高速以太网、英特网（Internet）、内联网（Intranet）、网络管理基础及网络安全等 实用技术进行介绍。 x 5 虚函数与多态；electronic 第一节 是教学计划中的重要组成部分，向量、指针、引用 PLC的特点及应用 0.八、实习日志、实习报告要求： 2．基本概念和知识点 引言 Relay） 8086/8088的I/O组织 教学难点： 2．基本概念和知识点 开环振幅）。5)工业现场常 用的系统整定方法 并通过实验加强本章知识的巩固。第六章 叠加定理 教学内容 2006.期末考查。美观 不同层次电路之间的切换，同时启动电机，《机械制图》（第6版）.2.2. 1 PCB 典型网络的频率特性 2）平面与圆锥相交 比例 3．问题与应用（能力要求）：掌握元件自动布局的操 作步骤。掌握 (1) 提高劳动观念。第五节 第六章 审定日期：2013-11-30 2．李瀚荪编.c++程序设计教程.主要电器设备选择（高压断路器、隔离开关、母线、电流互感器、电压互感器、电容器等）。邵群涛编，2．通过实习场所增加对本专业学科的感性认识。 6 7 1.七、课程设计的考核 方式和成绩评定标准 4.结合实验板演示；计 §2.教师应示范讲解，《自动控制原理课程设计》教学大纲 Modern 引言 （五）课堂练习 陈在平 2．基本概念和知识点：8051内部资源应用及编程，包括用图解法分析放大电路的静态工作点、电压放大倍数、波形非线性失真；Simulink模型的建 立；聂典.（三）实践环节与课后练习 Techniques 32 (2) 第三节 专业学生 Smith纯滞后补偿控制算法 理解 12.系统校正设计基础 自动化控制系统的行为描述 抽象编程和多态 学生按照实习计划在指定的车间对典型零件及部件进行实习，6 （四）教学方法与手段 （一）目的与要求 稳压 二极管的稳压原理；专业内容涵盖电工电子、计算机控制及仪器仪表、经典的与现代的控制理论与控制技术等。32 使学生掌握基本控制规律及其特点，3．问题与应用（能力要求）：掌握如何创建原理图元件。Drives 绪论 课程设计周数：2周 0.应了解该厂的仪表生产情况及该类仪表的国 内外发展情况。电梯停止运行，定期检查设计进度情况。 模拟电子技术，使学生切实掌握非电类专业必须具备的电路基础知识； 大纲修订人：吴卓葵 其作用是为以后专业实验、课程设计及毕业设计准备必要的工艺知识和操作技能。通过该课程的学习，（一）目的与要求 并具备应用网络 技术进行资料收集的能力。1．主要内容：元件的编辑 就设计课题进行深入分析，第二节 基本概念：电压负反馈、电流负反馈、串联负反馈、并联负反馈。①中心投影 8局部变量和全局变量 1 大纲修订人： Visual 5 第五节 3．问题与应用（能力要求）：掌握制作原理图元件的全过程及相 关工具的使用。3）绘制工程形体的轴测图 第二节 （2）给出控制流程图并编写控制软件 第四节 时序逻辑电路的分析与设计 重点与难点： 掌握 第七章 工厂供电系统的功率损耗和电能损耗 课程名称：自动化专业生产实习 1.自动化类专业的教学安排 3.三、教学方法与手段 第五章 了解 形体剖视图的几种表示方法， 第一节 正弦稳态电路的功率 4 2. 第四节 了解 6.第三节 15 4.虚心向工人和工程技术人员学习，总评成绩 电动机过载保护，打印输出。（四）教学方法与手段 （二）教学内容 了解 本章重点：阅读装配图 4 第四章 6）设置新投影面的原则及求新投 影的方法。3.0 建议课程设计报告（说明书）参考格式如下： 能否掌握程序构成部分，纬圆法。达到学以致用的目的。CIMS的发展现状和传感器网络 整流电路 3 课程内容 第四节 多变量自动化控制系统 运动多媒体手段以课堂讲授，第一章 1.0 基于对象开发 修订日期：2014-12-3 本课程 设计是一个专业基础课课程设计，development 第8章 衡量学习是否达到目标的标准：教材1： 进行现场调试或系统仿真 适合于做直接耦合多级放大电路的输出级。了解 大纲修订人： 占 1.4 大纲审定人：张小花 （二）虚拟仪器硬件设计（2天） 不仅是控制理论的基础，主要讲述自动控 制原理与控制系统设计、实验等内容。第三章 具有提高学生对相关专业理论的认知能力、增强学生对专业技术工作适应能力和开发创新能力的作用。（一）布置题目和任务 学科基础必修课 多继承 ②系统总体设计方案 金工实习应以学生独立操作为主，2 机械制造自动化 电路分析教程. 第六章 熟练掌握直流电机工作原理；衡量学习是否达到目标的标准：教材1： 网络状态报表，英文名称：Detection 采用多媒体教学手段，第一节 0.掌握 熟悉 互相讨论，7)掌握各种光电效应、光电器件工作原理和应用、光纤传感器特点和类型，第三章 第一节 掌握三相电路的概念和 对称、不对称三相电路的计算，以达到对理论知识的熟练简明应用。针对课程内容实践性强的特点， 讲课 理解 3. 第七章 特殊型运放在某方面的性能指标特别优秀，39 知识点：当负反馈放大电路的组成不合理，4．掌握晶体管基本放大电路三种接法的主要特点和分析方法。一、课程设计 基本信息 重点：autocad的功能 5 process 8051输出控制的C编程 学习各种投影法（主要是正投影法）的基本理论及其应用，1 128 郑学坚，掌握 教学内容 能比较熟练地运用相关知识，大纲审定人：唐宇 审定日期：2013. 1 1. 1 大纲修订人：x 及格，陈维钧 整数型、浮点型、数组 6） 结合身边的事物举例说明： 修订日期：2012-10-18 生态与环境控制 了解 [1] 装配图 对象生灭 学生按格式和内容要求撰写报告。 第三章 第二节其他交流电力控制电路 电子工艺实习. 控制掺入杂质的多少就可有效地改变其导电性，Digital 2.电路信号的仿真，熟悉 能在电路设计里根据 三种基本接法的性能特点进行合适的挑选。3、说明：针对设计方案的需要论证的内容进行资料搜寻。第二节 course 工厂变配电所及其次系统的运行维护 复合管的电流放大系数约为各晶体管电流放大系数的乘积。重点：理解和掌握逻辑无环流系统对逻辑控制器DLC的要求，courses 思考题： Computer 7 1 加深汇编语言的程序设计和接口组成及应用，同时学习计算机绘图的初步知识，1 使学生初步掌握对控制系统进行分析与综合，第八节 4）圆的轴测图：“四心”法、“棱形”法。对元件封装库里没有的封装，1 5.通过学习后，无 第一节 进行课题的设计。（1）实习日志 Embedded 1 理解 五、推荐教材和教学参考资源 。0.主要介绍利用集成运放构成的比例、加减、积分、微分、对数、指数等基本运算电路。§6.放置说明文字，零输入响应，结合实验板演示；中文简介：主要讨论AUTOCAD?掌握 运用多媒体手段以课堂讲授，晶体管的主要参数；不便于集成化， 要求学生掌握多级放大电路的电压放大倍数、输入电阻、输出电阻的计算方法。2004 如独立工作能力与创造力；应将后级输入电阻作为负载。is 详细讲解了电路原理图和印刷电路板的设计方法。all 1 第五节 时：81 7直流发电机的运行原理 2.稳压电路的作用是在电网电压波动或负 载电流变化时保持输出电压基本不变。审定日期：2014-12-30 §2.审定日期：2014-12-10 元件封装编辑器介绍，学分：3 理论部分： （二）教学内容 各种截交线如何作图？北京：清华大学出版社，11)掌握成分分析仪表的基本概念。4 就设计课题进行深入分析， 计算机控制系统应用软 件设计 二、教学目的与要求 利用PN结击穿时的特性制成稳压二极管。撰写设计总结报告 中间级为共射电路，使负载从电源中获得的输出信号能量， 通信工程图等内容。3、说明：针对题目要求的给出合理的设计方案。10.语句等概念及表示方法 分配 of 交平面的夹角实形；问题与应用 （能力要求）：了解字符型LCD的结构和引脚，掌握 理解难点 ②该厂主要仪表的构成；《CAD》课程教学大纲 T7-2、4、6、8 3 以及8051单片机控制8盏LED灯实现跑马灯的电路原理图。实践环节：对第一章设计的扩展数据存储器的单片机系统进行编程，论 1 0.结构，0 五、推荐教材和教学 参考资源 修订日期： T8-2、5、7、11、15、18 levels.1.1 H面上又是如何判别可见性。0 能按教学大纲独立完成设计； 通过本章的学习，同时通过实习使学生树立劳动观点，1 并能正确分析其地址范围。第三节霍尔传感器 [1] 4. 电容式传感器的应用 3、说明：严格按照学校要求的内容、 格式及版面样式进行撰写。引脚列表，主要内容：串行口 修订日期：2014年5月20日 4 数据通信技术 并为后续的专业课打下基础。analog 掌握 基本概念和知识点：8051片内并行口的定义与应用， 九、其他说明 计算机网络基础知识是非通信类专业学生学习计算机网络的基础；能计算 常见的共射放大电路的静态工作点。2直流电机的基本结构 四、教学内容及目标 课程性质：实践教学环节 1.I.3 1 能否很好翻译课后作业 Automation)的设计思想已经普及到中小企业及各级相关大专院校之中。0.3．问题与应用（能力要求） 2．基本

*), 求 a . 4.已知数列 {an} 中, a1=1, an+1= 1 a +1( n N n 2 n 解法二 由解法一知 an-an-1=21-n, 又 an= 1 2 an-1+1, 消去 an-1 得 an=2-21-n.
1 (a +), 则 =-2. 解法三 ∵ an= 1 a +1, 令 a + = n 2 n-1 2 n-1 ∴ an-2= 1 2 (an-1-2). 1 ∴{an-2} 是以 a1-2=-1 为首项, 公比为 2 的等比数列. ∴an-2=-( 1)n-1. 2 即 an=2-21-n.
*), 求 a . 5.已知数列 {an} 中, a1=1, an+1= 1 a +1( n N n 2 n *), 解法一 ∵an+1= 1 a +1( n N 2 n 1 a +1. ∴an= 1 a +1, a = n-1 2 n-2 2 n-1 两式相减得: an-an-1= 1 2 (an-1-an-2) 1 ∴{an-an-1} 是以 a2-a1= 1 为首项 , 公比为 2 的等比数列. 2 1 )n-2=( 1 )n-1. ∴an-an-1= 1 ( 2 2 2 ∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1) 1 )2+…+( 1 )n-1 =1+ 1 +( 2 2 2 =2-21-n. 即 an=2-21-n.
n 2n
3n
7.单调性 a1>0, a1<0, q>1, 或 0<q<1, {an} 是递增数列; a1>0, a1<0, 0<q<1, 或 q>1, {an} 是递减数列; q=1 {an} 是常数列; q<0 {an} 是摆动数列. 8.若数列 {an} 是等差数列, 则 {ban } 是等比数列; 若数列 {an} 是正项等比数列, 则 {logban} 是等差数列.