第二章2.4第1课时等比数列的概念及通项公式
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[课时作业][A 组 基础巩固]1.已知等比数列{a n }中,a 1=32,公比q =-12,则a 6等于( )A .1B .-1C .2 D.12解析:由题知a 6=a 1q 5=32×⎝⎛⎭⎫-125=-1,故选B.答案:B2.已知数列a ,a (1-a ),a (1-a )2,…是等比数列,则实数a 的取值范围是( )A .a ≠1B .a ≠0且a ≠1C .a ≠0D .a ≠0或a ≠1解析:由a 1≠0,q ≠0,得a ≠0,1-a ≠0,所以a ≠0且a ≠1.答案:B3.在等比数列{a n }中,a 2 016=8a 2 013,则公比q 的值为( )A .2B .3C .4D .8解析:q 3=a 2 016a 2 013=8,∴q =2.答案:A4.已知等比数列{a n }满足a 1+a 2=3,a 2+a 3=6,则a 7等于( )A .64B .81C .128D .243解析:∵{a n }为等比数列,∴a 2+a 3a 1+a 2=q =2. 又a 1+a 2=3,∴a 1=1.故a 7=1×26=64.答案:A5.等比数列{a n }各项均为正数,且a 1,12a 3,a 2成等差数列,则a 3+a 4a 4+a 5=( ) A .-5+12 B.1-52 C.5-12 D .-5+12或5-12解析:a 1,12a 3,a 2成等差数列,所以a 3=a 1+a 2,从而q 2=1+q ,∵q >0,∴q =5+12,∴a 3+a 4a 4+a 5=1q =5-12. 答案:C6.首项为3的等比数列的第n 项是48,第2n -3项是192,则n =________. 解析:设公比为q ,则⎩⎪⎨⎪⎧ 3q n -1=483q 2n -4=192⇒⎩⎪⎨⎪⎧q n -1=16q 2n -4=64⇒q 2=4, 得q =±2.由(±2)n -1=16,得n =5.答案:57.数列{a n }为等比数列,a n >0,若a 1·a 5=16,a 4=8,则a n =________.解析:由a 1·a 5=16,a 4=8,得a 21q 4=16,a 1q 3=8,所以q 2=4,又a n >0,故q =2,a 1=1,a n =2n -1.答案:2n -18.若k,2k +2,3k +3是等比数列的前3项,则第四项为________.解析:由题意,(2k +2)2=k (3k +3),解得k =-4或k =-1,又k =-1时,2k +2=3k +3=0,不符合等比数列的定义,所以k =-4,前3项为-4,-6,-9,第四项为-272. 答案:-2729.已知数列{a n }的前n 项和S n =2a n +1,求证:{a n }是等比数列,并求出通项公式. 证明:∵S n =2a n +1,∴S n +1=2a n +1+1.∴S n +1-S n =a n +1=(2a n +1+1)-(2a n +1)=2a n +1-2a n .∴a n +1=2a n .①又∵S 1=a 1=2a 1+1,∴a 1=-1≠0.由①式可知,a n ≠0,∴由a n +1a n=2知{a n }是等比数列,a n =-2n -1. 10.在各项均为负的等比数列{a n }中,2a n =3a n +1,且a 2·a 5=827. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)-1681是否为该数列的项?若是,为第几项? 解析:(1)∵2a n =3a n +1,∴a n +1a n =23,数列{a n }是公比为23的等比数列,又a 2·a 5=827,所以a 21⎝⎛⎭⎫235=⎝⎛⎭⎫233,由于各项均为负,故a 1=-32,a n =-⎝⎛⎭⎫23n -2. (2)设a n =-1681,则-1681=-⎝⎛⎭⎫23n -2, ⎝⎛⎭⎫23n -2=⎝⎛⎭⎫234,n =6,所以-1681是该数列的项,为第6项. [B 组 能力提升]1.设{a n }是由正数组成的等比数列,公比q =2,且a 1·a 2·a 3·…·a 30=230,那么a 3·a 6·a 9·…·a 30等于( )A .210B .220C .216D .215解析:由等比数列的定义,a 1·a 2·a 3=⎝⎛⎭⎫a 3q 3,故a 1·a 2·a 3·…·a 30=⎝⎛⎭⎫a 3·a 6·a 9·…·a 30q 103.又q =2,故a 3·a 6·a 9·…·a 30=220.答案:B2.已知等比数列{a n }满足a 1=3,a 1+a 3+a 5=21,则a 3+a 5+a 7=( )A .21B .42C .63D .84解析:设等比数列公比为q ,则a 1+a 1q 2+a 1q 4=21,又因为a 1=3,所以q 4+q 2-6=0,解得q 2=2,所以a 3+a 5+a 7=(a 1+a 3+a 5)q 2=42.答案:B3.设{a n }为公比q >1的等比数列,若a 2 014和a 2 015是方程4x 2-8x +3=0的两根,则a 2 016+a 2 017=________.解析:4x 2-8x +3=0的两根分别为12和32,q >1,从而a 2 014=12,a 2 015=32,∴q =a 2 015a 2 014=3.a 2 016+a 2 017=(a 2 014+a 2 015)·q 2=2×32=18.答案:184.在正项等比数列{a n }中,已知a 1a 2a 3=4,a 4a 5a 6=12,a n -1a n a n +1=324,则n =________.解析:设数列{a n }的公比为q ,由a 1a 2a 3=4=a 31q 3与a 4a 5a 6=12=a 31q 12可得q 9=3,又a n -1a n a n +1=a 31q 3n -3=324,因此q 3n -6=81=34=q 36,所以n =14. 答案:145.有四个实数,前三个数依次成等比数列,它们的积为-8;后三个数依次成等差数列,它们的积为-80,求这四个数.解析:由题意,设这四个数为b q,b ,bq ,a ,则⎩⎪⎨⎪⎧ b 3=-8.2bq =a +b ,b 2aq =-80解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =10,b =-2,q =-2,或⎩⎪⎨⎪⎧ a =-8,b =-2,q =52.∴这四个数依次为1,-2,4,10或-45,-2,-5,-8.6.已知a 1=2,点(a n ,a n +1)在函数f (x )=x 2+2x 的图象上,其中n =1,2,3,….(1)证明数列{lg(1+a n )}是等比数列;(2)求{a n }的通项公式.解析:(1)证明:由已知得a n +1=a 2n +2a n , ∴a n +1+1=a 2n +2a n +1=(a n +1)2. ∵a 1=2,∴a n +1+1=(a n +1)2>0. ∴lg(1+a n +1)=2lg(1+a n ),即lg (1+a n +1)lg (1+a n )=2, 且lg(1+a 1)=lg 3.∴{lg(1+a n )}是首项为lg 3,公比为2的等比数列.(2)由(1)知,lg(1+a n )=2n -1·lg 3=lg 312n -, ∴1+a n =312n -,∴a n =312n --1.。
第二章 2.4 第一课时1.若等比数列的首项为4,末项为128,公比为2,则这个数列的项数为( )A .4B .8C .6D .32解析:由等比数列的通项公式得,128=4×2n -1,2n -1=32,所以n =6.答案:C2.在等比数列{a n }中,a 4=4,则a 2·a 6等于( )A .4B .8C .16D .32 解析:由于a 24=a 2·a 6,所以a 2·a 6=16. 答案:C3.(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ,则第八个单音的频率为( )A .32fB .322fC .1225fD .1227f解析:由题知,这十三个单音的频率构成首项为f ,公比为122的等比数列,则第八个单音的频率为(122)7f =1227f .故选D .答案:D 4.在等比数列{a n }中,已知a 1a 3a 11=8,那么a 2a 8=________.解析:∵a 1a 3a 11=(a 1q 4)3=8,∴a 1q 4=2.∴a 2a 8=a 1q ·a 1q 7=(a 1q 4)2=4.答案:45.已知{a n }为等比数列,且a 5=8,a 7=2,该数列的各项都为正数,求a n . 解:∵a 5=a 1·q 4=8,a 7=a 1·q 6=2,∴q 2=28=14,q =±12. 而a n 各项都为正数,∴q =12,a 1=8⎝⎛⎭⎫124=128. ∴a n =a 1·q n -1=128×⎝⎛⎭⎫12n -1=28-n .。
第1课时等比数列的概念及通项公式课后篇巩固探究A组1.若a,b,c成等差数列,则一定()A.是等差数列B.是等比数列C.既是等差数列也是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列解析因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,于是,所以一定是等比数列.答案B2.在等比数列{a n}中,a2 017=-8a2 014,则公比q等于()A.2B.-2C.±2D.解析由a2 017=-8a2 014,得a1q2 016=-8a1q2 013,所以q3=-8,故q=-2.答案B3.在等比数列{a n}中,a n>0,且a2=1-a1,a4=9-a3,则a4+a5的值为()A.16B.27C.36D.81解析由a2=1-a1,a4=9-a3,得a1+a2=1,a4+a3=9.设公比为q,则q2==9.因为a n>0,所以q=3,于是a4+a5=(a1+a2)q3=27.答案B4.已知等差数列{a n}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2=()A.-4B.-6C.-8D.-10解析∵a4=a1+6,a3=a1+4,a1,a3,a4成等比数列,∴=a1·a4,即(a1+4)2=a1·(a1+6),解得a1=-8,∴a2=a1+2=-6.故选B.答案B5.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,S n=2a n+1,则S n=()A.2n-1B.C.D.解析由S n=2a n+1,得S n=2(S n+1-S n),即2S n+1=3S n,.又S1=a1=1,所以S n=,故选B.答案B6.已知等比数列{a n},a3=3,a10=384,则该数列的通项a n=.解析设公比为q.∵=q7==27,∴q=2.∴a n=a3q n-3=3·2n-3.答案3·2n-37.在数列{a n}中,已知a1=3,且对任意正整数n都有2a n+1-a n=0,则a n=.解析由2a n+1-a n=0,得,所以数列{a n}是等比数列,公比为.因为a1=3,所以a n=3·.答案3·8.在等比数列{a n}中,若a1=,q=2,则a4与a8的等比中项是.解析依题意,得a6=a1q5=×25=4,而a4与a8的等比中项是±a6,故a4与a8的等比中项是±4.答案±49.导学号04994040已知数列{a n}是等差数列,且a2=3,a4+3a5=56.若log2b n=a n.(1)求证:数列{b n}是等比数列;(2)求数列{b n}的通项公式.(1)证明由log2b n=a n,得b n=.因为数列{a n}是等差数列,不妨设公差为d,则=2d,2d是与n无关的常数,所以数列{b n}是等比数列.(2)解由已知,得解得于是b1=2-1=,公比q=2d=24=16,所以数列{b n}的通项公式b n=·16n-1.10.已知数列{a n}满足a1=,且a n+1=a n+(n∈N*).(1)求证:是等比数列;(2)求数列{a n}的通项公式.(1)证明∵a n+1=a n+,∴a n+1-a n+.∴.∴是首项为,公比为的等比数列.(2)解∵a n-,∴a n=.B组1.若a,b,c成等差数列,而a+1,b,c和a,b,c+2都分别成等比数列,则b的值为()A.16B.15C.14D.12解析依题意,得解得答案D2.在等比数列{a n}中,a1=1,公比|q|≠1.若a m=a1a2a3a4a5,则m等于()A.9B.10C.11D.12解析∵a m=a1a2a3a4a5=q·q2·q3·q4=q10=1×q10,∴m=11.答案C3.已知等比数列{a n},各项都是正数,且a1,a3,2a2成等差数列,则=()A.3+2B.1-C.1+D.3-2解析由a1,a3,2a2成等差数列,得a3=a1+2a2.在等比数列{a n}中,有a1q2=a1+2a1q,即q2=1+2q,得q=1+或1-(舍去),所以=q2=(1+)2=3+2.答案A4.已知-7,a1,a2,-1四个实数成等差数列,-4,b1,b2,b3,-1五个实数成等比数列,则=. 解析由题意,得a2-a1==2,=(-4)×(-1)=4.又b2是等比数列中的第3项,所以b2与第1项同号,即b2=-2,所以=-1.答案-15.已知一个等比数列的各项均为正数,且它的任何一项都等于它的后面两项的和,则它的公比q=.解析依题意,得a n=a n+1+a n+2,所以a n=a n q+a n q2.因为a n>0,所以q2+q-1=0,解得q=(q=舍去).答案6.若数列a1,,…,,…是首项为1,公比为-的等比数列,则a5=.解析由题意,得=(-)n-1(n≥2),所以=-=(-)2,=(-)3,=(-)4,将上面的四个式子两边分别相乘,得=(-)1+2+3+4=32.又a1=1,所以a5=32.答案327.已知数列{a n}满足S n=4a n-1(n∈N*),求证:数列{a n}是等比数列,并求出其通项公式.解依题意,得当n≥2时,S n-1=4a n-1-1,所以a n=S n-S n-1=(4a n-1)-(4a n-1-1),即3a n=4a n-1,所以,故数列{a n}是公比为的等比数列.因为S1=4a1-1,即a1=4a1-1,所以a1=,故数列{a n}的通项公式是a n=.8.导学号04994041已知数列{a n}的前n项和S n=2a n+1,(1)求证:{a n}是等比数列,并求出其通项公式;(2)设b n=a n+1+2a n,求证:数列{b n}是等比数列.证明(1)∵S n=2a n+1,∴S n+1=2a n+1+1,S n+1-S n=a n+1=(2a n+1+1)-(2a n+1)=2a n+1-2a n,∴a n+1=2a n.由已知及上式可知a n≠0.∴由=2知{a n}是等比数列.由a1=S1=2a1+1,得a1=-1,∴a n=-2n-1.(2)由(1)知,a n=-2n-1,∴b n=a n+1+2a n=-2n-2×2n-1=-2×2n=-2n+1=-4×2n-1.∴数列{b n}是等比数列.。
第1课时等比数列的概念及通项公式1.理解等比数列的概念,能在具体情景中,发现数列的等比关系.(重点)2.会推导等比数列的通项公式,并能应用该公式解决简单的等比数列问题.(重点)3.会证明一个数列是等比数列.(难点)[基础·初探]教材整理1 等比数列的概念阅读教材P49的有关内容,完成下列问题.如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0).判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)等比数列中,各项与公比均不为零.( )(2)数列a,a,…,a一定是等比数列.( )(3)等比数列{a n}中,a1,a3,a5一定同号.( )【答案】(1)√(2)×(3)√教材整理2 等比数列的通项公式阅读教材P51~P52,完成下列问题.如果数列{a n}是等比数列,首项为a1,公比为q,那么它的通项公式为a n=a1q n-1(a1≠0,q≠0).1.在等比数列{a n}中,已知a1=2,a4=16,则a n=________.【解析】∵a4=a1q3,∴q3=8,∴q=2,∴a n=a1q n-1=2·2n-1=2n.【答案】2n2.在等比数列{a n}中,已知a1=3,q=3,若a n=729,则n=________.【解析】∵a n=a1q n-1,a1=3,q=3,∴729=3·3n -1=3n,∴n =6.【答案】 6教材整理3 等比中项阅读教材P 54第11题,完成下列问题.1.若a ,G ,b 成等比数列,则称G 为a 和b 的等比中项,且满足G 2=ab . 2.若数列{a n }是等比数列,对任意的正整数n (n ≥2),都有a 2n =a n -1·a n +1.1.若22是b -1,b +1的等比中项,则b =________.【解析】 ∵(b -1)(b +1)=(22)2,∴b 2-1=8,∴b 2=9,∴b =±3. 【答案】 ±32.若1,a,4成等比数列,则a =________. 【解析】 ∵1,a,4成等比数列, ∴a 2=1×4=4, ∴a =±2. 【答案】 ±2[质疑·手记]预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问1:_________________________________________________ 解惑:_________________________________________________ 疑问2:_________________________________________________ 解惑:_________________________________________________ 疑问3:_________________________________________________ 解惑:_________________________________________________[小组合作型]等比数列的判定与证明设数列{a n }满足a 1=1,a n +2a n -1+3=0(n ≥2).判断数列{a n +1}是否是等比数列?【精彩点拨】 只需证明a n +1+1a n +1=非零常数即可.【自主解答】 由题意知a n +1+2a n +3=0(n ≥2)成立,∴a n +1=-2a n -3, ∴a n +1+1a n +1=-2a n -3+1a n +1=-2(常数). 又a 1+1=2,∴数列{a n +1}是以2为首项,以-2为公比的等比数列.要判断一个数列{a n }是等比数列,其依据是a n a n -1=q (q 是非零常数)或a n +1a n=q ,对一切n ∈N *且n ≥2恒成立.[再练一题]1.判断下列数列是否为等比数列. (1)1,-1,1,-1,…; (2)1,2,4,6,8,…; (3)a ,ab ,ab 2,ab 3,….【解】 (1)是首项为1,公比为-1的等比数列. (2)64≠86,不是等比数列. (3)当ab ≠0时,是等比数列,公比为b ,首项为a ; 当ab =0时,不是等比数列.等比数列的通项公式(1)若{a n }为等比数列,且2a 4=a 6-a 5,则公比为________. (2)在等比数列{a n }中,若a 2+a 5=18,a 3+a 6=9,a n =1,则n =________.【导学号:91730035】【解析】 (1)∵a 6=a 4q 2,a 5=a 4q ,∴2a 4=a 4q 2-a 4q ,∴q 2-q -2=0,∴q 1=-1,q 2=2.(2)法一 因为⎩⎪⎨⎪⎧a 2+a 5=a 1q +a 1q 4=18,③a 3+a 6=a 1q 2+a 1q 5=9,④由④③得q =12,从而a 1=32,又a n =1, 所以32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1=1,即26-n=20,所以n =6.法二 因为a 3+a 6=q (a 2+a 5),所以q =12.由a 1q +a 1q 4=18,知a 1=32. 由a n =a 1qn -1=1,知n =6.【答案】 (1)-1或2 (2)6等比数列基本量的求法a 1和q 是等比数列的基本量,只要求出这两个基本量,其他量便可求出来,法一是常规解法,先求a 1,q ,再求a n ,法二是运用通项公式及方程思想建立方程组求a 1和q ,这也是常见的方法.[再练一题]2.(1)若等比数列的前三项分别为5,-15,45,则第5项是________.(2)一个各项均为正数的等比数列,每一项都等于它后面两项的和,则公比q =________.【解析】 (1)∵a 5=a 1q 4,a 1=5,∴q =-3,∴a 5=405. (2)由题意,a n =a n +1+a n +2,即a n =a n q +a n q 2,∴q 2+q -1=0,∴q =-1±52.∵q >0,∴q =5-12.【答案】 (1)405 (2)5-12[探究共研型]等比中项探究1 三个数满足G 2=xy ,则x ,G ,y 成等比数列吗? 【提示】 不一定.如0,0,0这三个数不成等比数列. 探究2 任何两个非零常数都有等比中项吗? 【提示】 不是.只有同号的两个数才有等比中项.在4与14之间插入3个数,使这5个数成等比数列,求插入的3个数.【精彩点拨】 法一:利用等比数列的通项公式求解; 法二:先设出这三个数,再利用等比中项求解.【自主解答】 法一:依题意,a 1=4,a 5=14,由等比数列的通项公式,得q 4=a 5a 1=116,q =±12.因此,插入的3项依次为2,1,12或-2,1,-12.法二:此等比数列共5项,a 3是a 1与a 5的等比中项,因此a 3=±a 1a 5=±1.a 2是a 1与a 3的等比中项,a 4是a 3与a 5的等比中项,因为一个正数和一个负数没有等比中项,所以a 3=1,a 2=±a 1a 3=±2,a 1=±a 3a 5=±12.因此,插入的3项依次为2,1,12或-2,1,-12.注意等比数列中各项的符号特点是隔项符号必须相同.从而,对于数a ,b 的等比中项G ,G 2=ab 一定成立,但G 的符号不一定正负都可取,如等比数列{a n }中,三项分别为a 1,a 4,a 7,则a 4是a 1与a 7的等比中项,此时a 4可取正值,也可取负值;而对于下面的三项a 2,a 4,a 6,也有a 4是a 2与a 6的等比中项,此时a 4只能与a 2和a 6同号.[再练一题]3.已知a ,-32,b ,-24332,c 这五个数成等比数列,求a ,b ,c 的值.【解】 由题意知b 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫-32×⎝ ⎛⎭⎪⎫-24332=⎝ ⎛⎭⎪⎫326,∴b =±278.当b =278时,ab =⎝ ⎛⎭⎪⎫-322,解得a =23;bc =⎝ ⎛⎭⎪⎫-243322=⎝ ⎛⎭⎪⎫-3210,解得c =⎝ ⎛⎭⎪⎫327. 同理,当b =-278时,a =-23,c =-⎝ ⎛⎭⎪⎫327. 综上所述,a ,b ,c 的值分别为23,278,⎝ ⎛⎭⎪⎫327或-23,-278,-⎝ ⎛⎭⎪⎫327.[构建·体系]1.下列各组数能组成等比数列的是________(填序号). ①13,16,19;②lg 3,lg 9,lg 27; ③6,8,10;④3,-33,9. 【解析】-333=9-33=- 3. 【答案】 ④2.若等比数列的首项为4,末项为128,公比为2,则这个数列的项数n =________. 【解析】 由等比数列的通项公式,得128=4×2n -1,2n -1=32,所以n =6.【答案】 63.在等比数列{a n }中,a 1=18,q =-2,则a 4与a 10的等比中项是________.【导学号:91730036】【解析】 a 4与a 10的等比中项为a 7,a 7=18×(-2)6=8.【答案】 84.已知{a n }是递增等比数列,a 2=2,a 4-a 3=4,则此数列的公比q =________. 【解析】 a 4-a 3=a 2q 2-a 2q =a 2(q 2-q )=2(q 2-q )=4,∴q 2-q -2=0, ∴q =2,或q =-1(舍去). 【答案】 25.在243和3中间插入3个数,使这5个数成等比数列,求这3个数. 【解】设插入的三个数为a 2,a 3,a 4,由题意得243,a 2,a 3,a 4,3成等比数列. 设公比为q ,则3=243·q 5-1,解得q =±13.当q =13时,a 2=81,a 3=27,a 4=9;当q =-13时,a 2=-81,a 3=27,a 4=-9.因此,所求三个数为81,27,9或-81,27,-9.我还有这些不足:(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________ 我的课下提升方案:(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________学业分层测评(十) (建议用时:45分钟)[学业达标]一、填空题1.在等比数列{a n }中,a 4=2,a 7=8,则a n =________.【解析】 因为⎩⎪⎨⎪⎧a 4=a 1q 3,a 7=a 1q 6,所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3=2 ①a 1q 6=8 ②由②①得q 3=4,从而q =34,而a 1q 3=2, 于是a 1=2q 3=12,所以a n =a 1q n -1=22n -53.【答案】 22n -532.等比数列x,3x +3,6x +6,…的第四项等于________.【解析】 由题意知(3x +3)2=x (6x +6),即x 2+4x +3=0,解得x =-3或x =-1(舍去),所以等比数列的前3项是-3,-6,-12,则第四项为-24.【答案】 -243.如果-1,a ,b ,c ,-9成等比数列,那么b =________,ac =________.【解析】 ∵b 2=(-1)×(-9)=9,且b 与首项-1同号,∴b =-3,且a ,c 必同号. ∴ac =b 2=9.【答案】 -3 94.在等比数列{a n }中,a 3=3,a 10=384,则公比q =________.【解析】 由a 3=a 1q 2=3,a 10=a 1q 9=384,两式相除得,q 7=128,所以q =2. 【答案】 25.已知等比数列{a n }满足a 1+a 2=3,a 2+a 3=6,则a 7=________. 【解析】 ∵{a n }为等比数列, ∴a 2+a 3a 1+a 2=q =2. 又∵a 1+a 2=3, ∴a 1=1. 故a 7=1·26=64. 【答案】 646.若{a n }是等比数列,下列数列中是等比数列的所有代号为________.①{a 2n };②{a 2n };③⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ;④{lg|a n |}.【解析】 考查等比数列的定义,验证第n +1项与第n 项的比是否为常数. 【答案】 ①②③7.在160与5中间插入4个数,使它们同这两个数成等比数列,则这4个数依次为________.【解析】 设这6个数所成等比数列的公比为q ,则5=160q 5,∴q 5=132,∴q =12,∴这4个数依次为80,40,20,10. 【答案】 80,40,20,108.在等比数列{a n }中,|a 1|=1,a 5=-8a 2,a 5>a 2,则a n =________.【导学号:91730037】【解析】 记数列{a n }的公比为q ,由a 5=-8a 2,得a 1q 4=-8a 1q ,即q =-2.由|a 1|=1,得a 1=±1,当a 1=-1时,a 5=-16<a 2=2,与题意不符,舍去;当a 1=1时,a 5=16>a 2=-2,符合题意,故a n =a 1qn -1=(-2)n -1.【答案】 (-2)n -1二、解答题9.在等比数列{a n }中,a 2-a 1=2,且2a 2为3a 1和a 3的等差中项,求数列{a n }的首项,公比.【解】 设该数列的公比为q .由已知,得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q -a 1=2,4a 1q =3a 1+a 1q 2,所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q -1=2,q 2-4q +3=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,q =3q =1舍去,故首项a 1=1,公比q =3.10.数列{a n }满足a 1=-1,且a n =3a n -1-2n +3(n =2,3,…). (1)求a 2,a 3,并证明数列{a n -n }是等比数列; (2)求a n .【解】 (1)a 2=3a 1-2×2+3=-4,a 3=3a 2-2×3+3=-15.下面证明{a n -n }是等比数列: 由a 2=-4,a 3=-15可知,a n ≠n . ∵a n +1-n +1a n -n=3a n -2n +1+3-n +1a n -n=3a n -3n a n -n=3(n =1,2,3,…).又a 1-1=-2,∴{a n -n }是以-2为首项,以3为公比的等比数列. (2)由(1)知a n -n =-2·3n -1,∴a n =n -2·3n -1.[能力提升]1.在等差数列{a n }中,公差d ≠0,且a 1,a 3,a 9成等比数列,则a 1+a 3+a 9a 2+a 4+a 10等于________.【解析】 由题意知a 3是a 1和a 9的等比中项, ∴a 23=a 1a 9,∴(a 1+2d )2=a 1(a 1+8d ), 得a 1=d ,∴a 1+a 3+a 9a 2+a 4+a 10=13d 16d =1316.【答案】13162.已知{a n }是等比数列,a n >0,又知a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25,那么a 3+a 5=________. 【解析】 ∵a 2a 4=a 23,a 4a 6=a 25,∴a 23+2a 3a 5+a 25=25,∴(a 3+a 5)2=25,又∵a n >0,∴a 3+a 5=5.【答案】 53.若数列{a n }的前n 项和为S n ,且a n =2S n -3,则{a n }的通项公式是________. 【解析】 由a n =2S n -3,得a n -1=2S n -1-3(n ≥2),两式相减得a n -a n -1=2a n (n ≥2), ∴a n =-a n -1(n ≥2),a na n -1=-1(n ≥2). 故{a n }是公比为-1的等比数列,令n =1,得a 1=2a 1-3, ∴a 1=3,故a n =3·(-1)n -1.【答案】 a n =3·(-1)n -14.互不相等的3个数之积为-8,这3个数适当排列后可以组成等比数列,也可组成等差数列,求这3个数组成的等比数列.【解】 设这3个数分别为a q,a ,aq ,则a 3=-8,即a =-2. (1)若-2为-2q和-2q 的等差中项,则2q+2q =4,∴q 2-2q +1=0,解得q =1,与已知矛盾,舍去; (2)若-2q 为-2q和-2的等差中项,则1q +1=2q ,∴2q 2-q -1=0,解得q =-12或q =1(与已知矛盾,舍去), ∴这3个数组成的等比数列为4,-2,1; (3)若-2q 为-2q 和-2的等差中项,则q +1=2q,∴q 2+q -2=0,解得q =-2或q =1(与已知矛盾,舍去), ∴这3个数组成的等比数列为1,-2,4.故这3个数组成的等比数列为4,-2,1或1,-2,4.。
第1课时 等比数列的概念及通项公式[学生用书P105(单独成册)][A 基础达标]1.在数列{a n }中,若a n +1=3a n ,a 1=2,则a 4为( ) A .108 B.54 C .36D .18解析:选B.因为a n +1=3a n ,所以数列{a n }是公比为3的等比数列,则a 4=33a 1=54. 2.在等比数列{a n }中,a 1=18,q =2,则a 4与a 8的等比中项为( )A .±4 B.4 C .±14D .14解析:选A.由题意得(±a 6)2=a 4a 8,因为a 1=18,q =2,所以a 4与a 8的等比中项为±a 6=±4.3.如果-1,a ,b ,c ,-9成等比数列,那么( ) A .b =3,ac =9 B.b =-3,ac =9 C .b =3,ac =-9D .b =-3,ac =-9解析:选B.因为b 是-1,-9的等比中项,所以b 2=9,b =±3. 又等比数列奇数项符号相同,得b <0,故b =-3, 而b 又是a ,c 的等比中项, 故b 2=ac ,即ac =9.4.(2019·丰台高二检测)数列{a n }是公差不为0的等差数列,且a 1,a 3,a 7为等比数列{b n }的连续三项,则数列{b n }的公比为( )A. 2B.4 C .2D .12解析:选C.因为a 1,a 3,a 7为等比数列{b n }中的连续三项,所以a 23=a 1a 7,设{a n }的公差为d ,则d ≠0,所以(a 1+2d )2=a 1(a 1+6d ),所以a 1=2d ,所以公比q =a 3a 1=4d 2d=2.5.若正项数列{a n }满足a 1=2,a 2n +1-3a n +1a n -4a 2n =0,则{a n }的通项公式a n =( ) A .22n -1B.2nC .22n +1D .22n -3解析:选A.由a 2n +1-3a n +1a n -4a 2n =0,得(a n +1-4a n )·(a n +1+a n )=0.又{a n }是正项数列,所以a n +1-4a n =0,a n +1a n=4.由等比数列的定义知数列{a n }是以2为首项,4为公比的等比数列.由等比数列的通项公式,得a n =2×4n -1=22n -1.故选A.6.下面四个数列:①1,1,2,4,8,16,32,64;②在数列{a n }中,已知a 2a 1=2,a 3a 2=2; ③常数列a ,a ,…,a ,…; ④在数列{a n }中,a n +1a n=q (q ≠0),其中n ∈N *. 其中一定是等比数列的有________.解析:①不符合“每一项与它的前一项的比等于同一常数”,故不是等比数列. ②不一定是等比数列.当{a n }只有3项时,{a n }是等比数列;当{a n }的项数超过3时,不一定符合.③不一定.若常数列是各项都为0的数列,它就不是等比数列;当常数列各项不为0时,是等比数列.④等比数列的定义用式子的形式表示:在数列{a n }中,对任意n ∈N *,有a n +1a n=q (q ≠0),那么{a n }是等比数列.答案:④7.若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1=b 1=-1,a 4=b 4=8,则a 2b 2=________. 解析:设等差数列{a n }的公差为d ,等比数列{b n }的公比为q .因为a 1=b 1=-1,a 4=b 4=8,所以⎩⎪⎨⎪⎧-1+3d =8,-1·q 3=8,所以⎩⎪⎨⎪⎧d =3,q =-2. 所以a 2=2,b 2=2.所以a 2b 2=22=1.答案:18.等比数列{a n }中,若a 2a 5=2a 3,a 4与a 6的等差中项为54,则a 1=________.解析:设等比数列{a n }的公比为q , 因为a 2a 5=2a 3,所以a 21q 5=2a 1q 2,化简得a 1q 3=2=a 4. 因为a 4与a 6的等差中项为54,所以a 4+a 6=2×54,所以a 4(1+q 2)=52.所以q 2=14,解得q =±12.则a 1×⎝ ⎛⎭⎪⎫±18=2,解得a 1=±16. 答案:±169.在等比数列{a n }中,a 3=32,a 5=8. (1)求数列{a n }的通项公式a n ; (2)若a n =12,求n .解:(1)因为a 5=a 1q 4=a 3q 2,所以q 2=a 5a 3=14.所以q =±12.当q =12时,a n =a 1q n -1=a 1q 2·q n -3=a 3q n -3=32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -3=28-n ;当q =-12时,a n =a 1q n -1=a 1q 2·q n -3=a 3q n -3=32×⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n -3.所以a n =28-n或a n =32×⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n -3.(2)当a n =12时,即28-n=12或32×⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n -3=12,解得n =9.10.已知等比数列{a n }为递增数列,且a 25=a 10,2(a n +a n -2)=5a n -1,求数列{a n }的通项公式.解:设数列{a n }的公比为q . 因为a 25=a 10,2(a n +a n -2)=5a n -1,所以⎩⎪⎨⎪⎧a 21·q 8=a 1·q 9①2(q 2+1)=5q ②, 由①,得a 1=q , 由②,得q =2或q =12,又数列{a n }为递增数列,所以a 1=q =2,所以a n =2n.[B 能力提升]11.在数列{a n }中,已知a 1=1,a n +1=2a n +1,则a n =( ) A .2n-1 B.2n -1-1C .2n -1D .2(n -1)解析:选A.等式两边同时加1,得a n +1+1=2(a n +1),所以数列{a n +1}是以a 1+1=2为首项,q =2为公比的等比数列,所以a n +1=2×2n -1=2n ,所以a n =2n-1.12.已知等比数列{a n }的各项均为正数,公比q ≠1,ka 1a 2·…·a k =a 11,则k =( ) A .12 B.15 C .18D .21解析:选D.ka 1a 2·…·a k =a 1q 1+2+3+…+(k -1)k=a 1q k -12=a 1q 10,因为a 1>0,q ≠1,所以k -12=10,所以k =21,故选D.13.已知数列{a n }是等差数列,且a 2=3,a 4+3a 5=56,若log 2b n =a n . (1)求证:数列{b n }是等比数列; (2)求数列{b n }的通项公式.解:(1)证明:由log 2b n =a n ,得b n =2a n .因为数列{a n }是等差数列,不妨设公差为d ,则b n b n -1=2a n 2a n -1=2a n -a n -1=2d ,2d 是与n 无关的常数, 所以数列{b n }是等比数列.(2)由已知,得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+d =3,a 1+3d +3(a 1+4d )=56,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-1,d =4,于是b 1=2-1=12,公比q =2d =24=16,所以数列{b n }的通项公式b n =12·16n -1=24n -5.14.(选做题)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a n =3S n +1(n ∈N *). (1)求a 1,a 2;(2)求数列{a n }的通项公式.解:(1)由题意,知a 1=3S 1+1,即a 1=3a 1+1, 所以a 1=-12.又a 2=3S 2+1,即a 2=3(a 1+a 2)+1,解得a 2=14.(2)由a n =3S n +1,① 得a n -1=3S n -1+1(n ≥2),② 由①-②,得a n -a n -1=3(S n -S n -1)=3a n ,得a n a n -1=-12,所以数列{a n }是首项为-12,公比为-12的等比数列,所以a n =⎝ ⎛⎭⎪⎫-12×⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n -1=⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n.。
等比数列的概念和通项公式教案第一章:等比数列的概念1.1 引入:通过复习数列的基本概念,引导学生理解数列的定义和性质。
1.2 等比数列的定义:引导学生通过观察和分析一些具体的数列,总结等比数列的定义和特点。
1.3 等比数列的性质:引导学生探究等比数列的性质,如相邻两项的比值是常数,每一项可以表示为前一项与公比的乘积等。
1.4 等比数列的举例:给出一些等比数列的例子,让学生通过计算和分析加深对等比数列的理解。
第二章:等比数列的通项公式2.1 等比数列的通项公式的引入:通过一些具体的等比数列,引导学生观察和分析其通项公式。
2.2 等比数列的通项公式的推导:引导学生利用等比数列的性质和数学归纳法推导出通项公式。
2.3 等比数列的通项公式的应用:给出一些应用等比数列通项公式的例子,让学生通过计算和分析加深对通项公式的理解。
第三章:等比数列的前n项和3.1 等比数列的前n项和的定义:引导学生理解等比数列前n项和的含义和意义。
3.2 等比数列的前n项和的公式:引导学生利用等比数列的性质和数学归纳法推导出前n项和的公式。
3.3 等比数列的前n项和的应用:给出一些应用等比数列前n项和的例子,让学生通过计算和分析加深对前n项和的理解。
第四章:等比数列的性质和运算4.1 等比数列的性质:引导学生探究等比数列的性质,如公比的取值范围,等比数列的单调性等。
4.2 等比数列的运算:引导学生掌握等比数列的运算规则,如加减乘除等。
4.3 等比数列的性质和运算的应用:给出一些应用等比数列的性质和运算的例子,让学生通过计算和分析加深对等比数列的理解。
第五章:等比数列的综合应用5.1 等比数列的实际应用:引导学生将等比数列的概念和公式应用到实际问题中,如经济增长模型,放射性衰变等。
5.2 等比数列的解题策略:引导学生掌握解决等比数列问题的方法和技巧,如利用通项公式和前n项和公式等。
5.3 等比数列的综合练习:给出一些综合性的练习题,让学生通过计算和分析加深对等比数列的综合应用的理解。
2. 4等比数列第1课时等比数列的概念及通项公式1•通过实例,理解等比数列的概念并学会简单应用. 2•掌握等比中项的概念并会应用. 3•掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.预冃案*自建迸习j 研读• M •営试新知提炼1.等比数列的定义(1) 从第2项起条件(2) 每一项与它的前一项的比等于同一个常数结论这个数列就叫做等比数列有关概念这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q(q M 0)表示2•等比数列的通项公式门―1a n = aq 1.3. 等比中项若a、G、b成等比数列,称G为a, b的等比中项且G= ± ab.■自我尝试‘1•判断(正确的打“V”,错误的打“x”)(1) 数列1,—1, 1, - 1,…是等比数列.()(2) 若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数,则该数列为等比数列. ()⑶等比数列的首项不能为零,但公比可以为零. ()(4) 常数列一定为等比数列.()(5) 任何两个数都有等比中项. ()答案:(1)2 (2) x⑶x ⑷x ⑸x2.等比数列{a n} 中, a1 = 2, q = 3,贝U a n 等于()A. 6B. 3x 2n—13. 4与9的等比中项为()A . 6B . - 6=1,C . 2 x 3n —1 D . 6n答案:CA . 6B . - 6=1,C . i6D . 36 答案:C 11 14. 等比数列一10-而,一而0,…的公比为 -------------------- . 1 答案:105. ______________________________________________ 在等比数列{a n }中,已知a n = 4n 3,贝V a 1 = _____________________________________________ , q = ________1答案:1 4探究案讲练互普探究点一等比数列的通项公式H 在等比数列{a n }中, (1) a 4 = 2, a 7= 8,求 a n .(2) a 2 + a 5= 18, a 3+ a 6= 9, a n = 1,求 n. a 4= ag 3,[解](1)因为6 a 7= a 1q , a 1q 3= 2,① 所以a 1q 6= 8,②②3, 由①,得43= 4,从而q = - 4,而a 1q 3= 2,n — 1又a n = 1,所以32 x 即 26-n = 20,故 n = 6.方祛归纳于是a 1 = q 3=M2' 2n -5所以 a n = a 1q n -1 = 2 3a 2 + a 5= a 〔q + a 1q 4 = 18, ①⑵因为25② 1由①,得q =P 从而a 1 = 32.等比数列通项公式的求法a i 和q 是等比数列的基本量,只要求出这两个基本量,问题便迎刃而解.关于 a i 和q的求法通常有以下两种方法:⑴根据已知条件,建立关于a i , q 的方程组,求出a i , q 后再求a n ,这是常规方法.(2)充分利用各项之间的关系,直接求出 q 后,再求a i ,最后求a n ,这种方法带有一定的技巧性,能简化运算.”i.在等比数列{a n }中,(1) 已知 a i = 3, q = — 2,求 a 6; (2) 已知 a 3= 20, a 6 = i60,求 a n ; …9i 2十(3) 已知 a i = 8〉a n = 3, q = 3,求 n.解:⑴由等比数列的通项公式,得a 6= 3 X (— 2)6— i = — 96.⑵设等比数列的公比为 q ,a i q 2= 20,由已知可得a i q 5= i60,q= 2,解得a i = 5.所以 a n = a i q n — i = 5X 2n — i . ⑶由 a n = a i q n —i ,3,得 n = 4.探究点二等比数列的判定■- 在数列{a n }中,若a n >0,且a n +i = 2a n + 3(n € N *).证明:数列{a n + 3}是等比数列.[证明]法一:因为a n >0, 所以 a n + 3>0.i 9得 3=8 Xn — i又因为a n+1= 2a n+ 3,a n +1 + 3 2a n+ 3+ 3 2 (a n + 3)所以= = =2.a n + 3 a n+ 3 a n + 3所以数列{ a n+ 3}是首项为a i + 3,公比为2的等比数列. 法二:因为a n>0, 所以a n+ 3>0.又因为a n+1= 2a n+ 3,所以a n+ 2= 4a n+ 9.所以(a n+ 2+ 3)(a n + 3) = (4a n+ 12)(a n+ 3)=(2a n+ 6)2=(a n+1+ 3)2.即a n+ 3, a n +1 + 3, a n+2+ 3 成等比数列,所以数列{a n+ 3}是等比数列.Rm貝*本例的条件不变,若a1 = 2,求数列{a n}的通项公式.解:由数列{a n + 3}是等比数列,当a1= 2 时,a1 + 3 = 5,所以数列{a n+ 3}是首项为5,公比q= 2的等比数列,所以a n+ 3 = 5 x 2n-1,即a n= 5 x —1—3.方注归期等比数列的三种判定方法(1)定义法探究点三等比中项及其应用方祛归抽已知等比数列中的相邻三项 a n — 1 , a n , a n + 1,则a n 是a n — 1与a n + 1的等比中项, a n -1 a n +1,运用等比中项解决问题,会大大减少运算过程,同时等比中项常起到桥梁作用, 要认真感悟和领会."!" '||[3.(1)如果一1, a , b , c,— 9 成等比数列,那么()a n + 1—=q(q 为常数且q z 0)等价于{a n }是等比数列. a n (2)等比中项法a n +1 = a n a n + 2(n € N *且a n 丸)等价于{a n }是等比数列. (3)通项公式法a n = a 1q n —1(a 1^0且q z 0)等价于{a n }是等比数列.1”2.已知数列{a n }是首项为2,公差为一1的等差数列,令b n = 1,求证数列{b n }是等比数列,并求其通项公式.解:由已知得,a n = 2+ (n — 1)x (— 1) = 3— n ,1 3-( n + 1)b n + 1 2 故 = ~b n 1 3—n23 — ( n + 1) — 3+ n所以数列{ b n }是等比数列. 因为b 1= 114,所以 b n =X 2n —1 = 2n ― 3[解]由题意知 3 b 2, b ,243, c 这五个数成等比数列,求 32a ,b ,c 的值.23b2= — 2243 X—亦 3ab = — 2 27 27所以b = ±8•当b =—时,2 10243 3 初/曰bc =—五=—2 ,解得 c =3 6 =2 ,2,解得2 a =3 ;27 2同理,当 b =— "8■时,a =— 3, 3 c =—2综上所述,a , b , c 的值分别为2 27 3, 8 ,2 — 27 3, —8,A . b = 3, ac = 9 B. b =— 3, ac = 9 C. b = 3, ac =— 9 D. b =— 3, ac =— 9⑵已知等比数列{a n }的前三项依次为 a — 1, a +1, a + 4,贝U a n = _________解析:(1)因为 b 2= (— 1)x (— 9) = 9, 且b 与首项—1同号, 所以b =— 3,且a , c 必同号. 所以 ac = b 2= 9.⑵由已知可得(a + 1)2= (a — 1)(a + 4), 解得 a = 5,所以 a 1= 4, a 2= 6,所以a n = 4 x 31. 等比数列定义的再认识(1)每一项与它的前一项的比是同一个常数, 是具有任意性的,但须注意是从“第2项”⑵从“第2项”起,每一项与它的前一项的比是同一个常数,强调的是“同一个”.(3)对于公比q ,要注意它是每一项与它前一项的比,次序不能颠倒,q 不为零.⑷各项不为零的常数列既是等差数列,又是等比数列. 2. 等比数列的通项公式(1)已知首项a 1和公比q ,可以确定一个等比数列.⑵在公式a n = a 1q n 1中有a n , a 1, q , n 四个量,已知其中任意三个量,可以求得第四个量.⑶等比数列{a n }的通项公式的推导所以a 2a 12'答案:(1)B3 n — 1(2)4 x 3起.法一:(迭代法) 根据等比数列的定义,有2n — 2 n —1a n = a n -i q = a n — 2q 2=^= a 2q 2= a i q 1 法二:(累乘法) 根据等比数列的定义,可以得到把以上n -1个等式左右两边分别相乘,得 a 2 a 3 a 4 a i a 2 a 3即 an = q n —1, a i 所以 a n = a 1q n -1.3. 等比中项的理解(1) 当a , b 同号时,a , b 的等比中项有两个;当 a , b 异号时,没有等比中项.(2) 在一个等比数列中, 从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后 一项的等比中项.(3) “a , G , b 成等比数列”等价于“ G 2= ab ”(a , b 均不为0),可以用它来判断或证明 三数是否成等比数列.当堂检测 ♦1•数列{a n }的通项公式是a n = 5x 3n ,则此数列是( )A •公比为3的等比数列B •公比为5的等比数列C .首项为5的等比数列D .公差为3的等差数列 解析:选A.因为a n = 5x 3n , 所以 a n -1= 5x 3n -1(n 》2), 所以当n > 2时,—匹=3.a n - 1由等比数列的定义知,{a n }是公比为3的等比数列. 2.在首项a 1= 1,公比q = 2的等比数列{a n }中,当a n = 64时,序号n 等于()a 2 ar q , a 3 a 4 ar q ,aT q ,a na n -1q ,a n a n -1n -1A. 4B. 5C. 6解析:选 D.因为a n= a i q—1,所以 1 x 2n-1= 64,即1= 26,得 n— 1 = 6,解得n = 7.3. (2015高考广东卷)若三个正数a, b, c成等比数列,其中a = 5+ 2丁6, c= 5—2.6,则b= ________ .解析:因为a, b, c成等比数列,所以b2= a c= (5 + 2 '6) (5 — 2 .:6)= 1.又b>0,所以b= 1.答案:14•求下列各等比数列的通项公式:(1) a1 = —2, a3= —8;(2) a1 = 5,且2a n+1 = —3a n.解:(1)因为a3= a1q2,所以q2= 4,所以q= ±2.当q = 2 时,a n= (—2) x 2n—1= —2n;当q = — 2 时,a n= ( —2)x (—2)n—1= (—2)n.a n+1 3(2)因为q= "a^ =—2,又a1 = 5,3 n—1 所以a n= 5 x — 2.应用案巩固提升丄[A 基础达标]1. 若{a n}为等比数列,且2a4= a6 —a5,则公比是()A. 0 B . 1 或一2D . —1或一2解析:选 C.由已知得2a1q3= a1q5—ag4,得2= q2—q,所以q=—1或q = 2.2. 在等比数列{a n}中,a n>0,且a i+ a2= 1, a3+ a4= 9,贝U a4+ a5 的值为()A. 16B. 27C. 36D. 81解析:选 B.由a3+ a4= q2(a1 + a2)= 9,所以q2= 9,又a n>0,所以q= 3.a4+ a5= q(a3 +a4)= 3X 9 = 27.3. 彳,是等比数列4,2, 4, 2 2,…的()A .第10项B .第11项C.第12项 D .第13项解析:选B.由题意可知q=痣二乎,令¥= 4返x普,所以土= 32=扌210,故n— 1 = 10,即n= 11.4. 在数列{a n}中,a1= 1,点(a n, a n+1)在直线y= 2x上,贝U a4的值为()A . 7B . 8C. 9D. 16解析:选B.因为点(a n, a n+1)在直线y= 2x上,所以a n+1= 2a n.因为a1= 1丰0,所以a n丸,所以{a n}是首项为1,公比为2的等比数列,所以a4= 1 x 23= 8.5. 一个数分别加上20, 50, 100后得到的三个数成等比数列,其公比为()5 4A・3 %3 1CQ DQ解析:选A.设这个数为x,则(50+ x)2= (20 + x) (100 + x).解得x= 25,所以这三个数为45, 75, 125,75 5公比q为45= 36.右一1, 2, a, b成等比数列,则a + b=解析:根据题意有=身=b,解得a=—4, b= 8,—1 2 a所以a+ b= (-4) + 8 = 4.答案:47•下面各数列一定是等比数列的是(填序号).①一1, —2, —4, —8;② 1 , 2, 3, 4;1111③x, x, x, x;④a,評評尹解析:根据等比数列的定义,①④是等比数列,②不是等比数列,③中x可能为0,故③不一定是等比数列.答案:①④1 r,&在等比数列{a n}中,若a4= 27, q= —3,贝卩a6= ,a n =1解析:因为a4= a1q3= a1 —3 = 27,所以a1= —36,所以a6= a1q5= —36x=36x 3 = 3,n- 11a n=—36X—1= (—1)n37—n答案:3 (—1)n37 —n16 a3=—4,且公比为正数.9.已知数列{a n}为等比数列,首项a1=—9,(1)写出此等比数列的通项公式a n;⑵—20丁是否为{a n}中的项?若是,是第几项?若不是,请说明理由.解:(1)设公比为q(q>0),由a3= a i q2,得一4 =—£q2,3解得q=3,16 3 n—1所以a n=—— X 2 .n —1人16、/ 3 1 81⑵令—-X 2 = —204= —7,3 n—1819 3 6得2 =乎X 16= 3,解得n = 7.1故—204是{a n}中的第7项.10.已知数列{a n}的前n项和为S n,对一切正整数n,点(n, S n)都在函数f(x)= 2x+ 2—4的图象上.求证:数列{a n}是等比数列.证明:由题意得S n = 2n+ 2—4,4, n=1,S1, n = 1, 所以a n=S n—S n—1, n》22n+ 1, n》2.又a i= 4 也符合a n= zZln G N*, n》2),所以a n= 2n+ 1(n € N ),a n +1 2n+ 2因为百=产=2,所以数列{a n}是等比数列.[B 能力提升]1. 已知数列{a n},下列选项正确的是()A .若a2= 4n, n € N*,则{a n}为等比数列B. 若a n a n+2= a n+1, n € N*,则{a n}为等比数列C. 若a m a n= 2m n, m, n €N*,则{a n}为等比数列D .若a n a n+ 3= a n+ 1a n+ 2, n€ N*,则{ a n}为等比数列解析:选C•由a2= 4n知|a n| = 2n,则数列{a n}不一定是等比数列;对于 B , D选项,满足条件的数列中可以存在为零的项,所以数列{a n}不一定是等比数列;对于C选项,由a m a na n + 1=2m+n知,a m a n+ 1= 2m+ n+ S两式相除得石 =2(n € N ),故数列{a n}是等比数列.故选C.12. ___________________________________________________________________ 已知等比数列{a n}中,a i= 1,且a i, 2玄3, 2a2成等比数列,则a n = _____________________ 解析:设等比数列{a n}的公比为q,贝U a2= q, a3 = q2.1因为a i, §a3, 2a2成等比数列,1所以4q4= 2q,解得q= 2,所以an= 2n—I答案:2n_13. 已知数列{a n}的前n项和S n= 2a n + 1.(1)求证:{a n}是等比数列,并求出其通项公式;⑵设b n= a n+ 1+ 2a n,求证:数列{b n}是等比数列.解:(1)因为S= 2a n+ 1,所以S n+1= 2a n+1+ 1,S n + 1 —S n = a n+ 1 = (2a n + 1 + 1) —(2a n+ 1) = 2a n+ 1 —2a n,所以a n+ 1 = 2a n①,由已知及①式可知a n M O.a n+1所以由丁 = 2,知{a n}是等比数列.a n由a1= S1= 2a1 + 1,得a1=—1,所以a n = —2n—1.⑵证明:由(1)知,a n= —2n—1,所以b n= a n+1+ 2a n=—2n—2X 2n—1=—2X 2n=—2n +1= —4X 2n —1.所以数列{b n}是等比数列.4. (选做题)已知等比数列{a n}中,a1 = 1,公比为q,且b n= a n+1—a n.(1)判断数列{b n}是否为等比数列?说明理由;⑵求数列{b n}的通项公式.解:⑴因为等比数列{a n}中,a i= 1, 公比为q,所以a n = 1 x q n—1= q n一1, 若q = 1 ,贝y a n=1 , b n = a n+ 1 —a n= 0,所以数列{b n}是各项均为0的常数列,不是等比数列.若q丰1,由于b n+ 1a n+2—a n+1 q n+1—q nb n - =a n+1—a n = q n—q n-1q n(q —1)=q,q n —1(q —1)所以数列{ b n}是首项为b1= a2—a1= q —1,公比为q的等比数列.⑵由(1)可知,当q = 1时,b n= 0;当q 工 1 时,b n= (q —1)q n—1。