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25第1课时等比数列的前n项和精品PPT课件

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等比数列的前n项和PPT课件

等比数列的前n项和PPT课件
等比数列的前n项和ppt课件
xx年xx月xx日
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目录
• 引言 • 等比数列的前n项和公式推导 • 等比数列的前n项和的应用 • 特殊等比数列的前n项和 • 等比数列的前n项和求解方法 • 习题解答与练习
01
引言
课程背景
教学内容的重要性
等比数列是数学中的一个重要概念，其前n项和在数学、物理 、工程等领域有着广泛的应用。
特殊情况
当公比q不等于1时，等比数列的前n项和公式为 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
05
等比数列的前n项和求解方法
利用公式求解等比数列的前n项和
公式法
利用等比数列的前n项和公式求解，当已知等比数列的首项a1和公比q时，可以直 接套用公式求出前n项和。
记忆口诀
为了方便记忆，可以总结一个简单的记忆口诀：“首项乘1减公比除以1减公比的 n次方”，这个口诀可以快速帮助我们记忆公式。
02
等比数列的前n项和公式推导
公比为r的等比数列求和公式推导
公式推导
$S_n = \frac{a_1}{1-r} * (1 - r^n)$
VS
推导步骤
将等比数列的每一项分别代入求和公式中 ，得到$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$，再将$a_1 = ar, a_2 = ar^2, \cdots, a_n = ar^n$代入$S_n$中，经过 化简得到最终的求和公式。
04
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和公式
公式总结
等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)，其中n为项数， a1为首项，an为末项。
公式证明
通过采用倒序相加法，将前n项和与后n项和相加，得到 2Sn=n(a1+an)，从而得到前n项和公式。

《2.5 等比数列的前n项和》 课件 1-优质公开课-人教A版必修5精品

《2.5 等比数列的前n项和》 课件 1-优质公开课-人教A版必修5精品

1.19≈2.36 1.110≈2.60 1.111≈2.85
1.00499≈1.04 1.004910≈1.05 1.004911≈1.06
解:(1)今年学生人数为b人,则10年后学生人数为b(1+4.9‰)10≈1.05b, 由题设可知,1年后的设备为 a×(1+10%)-x=1.1a-x, 2年后的设备为 (1.1a-x)×(1+10%)-x=1.12a-1.1x-x=1.12a-x(1+1.1),…, 10年后的设备为
题型三 等比数列的综合应用
【例3】 (12分) (2012年高考陕西卷)设{an}是公比不为1的等比数列,其前 n项和为Sn,且a5,a3,a4成等差数列. (1)求数列{an}的公比; (2)证明:对任意k∈N+,Sk+2,Sk,Sk+1成等差数列.
名师导引: (1)由a5,a3,a4成等差数列,列方程求解; (2)利用求和公式,等差中项证明. (1)解:设数列{an}的公比为q(q≠0,q≠1). 由a5,a3,a4成等差数列, 得2a3=a5+a4,……………………………………………………2分 即2a1q2=a1q4+a1q3.………………………………………………4分 由a1≠0,q≠0得,q2+q-2=0, 解得q1=-2,q2=1(舍去), 所以q=-2.………………………………………………………6分
法二 对任意 k∈N+,2Sk= 2a1(1 qk ) , 1 q
Sk+2+Sk+1= a1(1 qk 2 ) + a1(1 qk 1) = a1(2 qk 2 qk 1) ,
1 q
1 q
1 q

等比数列的前n项和PPT课件

等比数列的前n项和PPT课件

讲授新课
1 2 22 23 24 263
这一格放 的麦粒可 以堆成一 座山!!!
263
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 22 , 23 , , 263.
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 22 , 23 , , 263.
它是以1为首项，公比是2的等比数列，
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
湖南省长沙市一中卫星远程学校
等比数列的前n项和公式的推导1
一般地，设等比数列a1, 它的前n项和是
a2,
a3,
…,
an这…种求和
的方法,就
是错位相
减法!
湖南省长沙市一中卫星远程学校
等比数列的前n项和公式的推导1
一般地，设等比数列a1, a2, a3, …, an… 它的前n项和是
∴当q≠1时，
①
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
请同学们考虑如何求出这个和？
S64 1 2 22 23 263 ① 2S64 2(1 2 22 23 263 )
即 2S64 2 22 23 263 264 ②
由②－①可得：
2S64 S64 (2 22 23 263 264) (1 2 22 23 263 )

等比数列的前n项和公式(第1课时)(教学课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)

等比数列的前n项和公式(第1课时)(教学课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)

a1 (1 q n )
当1 q 0,即q 1时,S n
.
1 q
当q 1时,Sn na1 .
a1 (1 q n )
，q 1

∴S n 1 q
na ，
q1
1
等比数列的前n项和公式：
若等比数列{an }的首项为a1 ,公比为q,则{an }的前n项和公式为
1 q
.
na ，
q1
q1
室
1
na1，
an am q n m .
3.等比数列{an}的重要性质：
若m n s t，则am an a s at .
特别地，若m n 2 p，则aman a 2p .
例7 已知数列{an}是等比数列.
1
1
,q ,求S8 ；
a1 (1 q n )
，q 1宋老

Sn 1 q
师数
na ，
q 1学精
1
品工
宋老师
∵an a1q n 1，∴上述公式还可以写成
作室
宋老师数学精品工作室
数学精
品工作
a1 an q
，q 1
室

Sn 1 q
na ，
1
q1
按1000颗麦粒的质量
例7 已知数列{an}是等比数列.
1
1
,q ,求S8 ；
2
2
1
宋老
(2) 若a1 27,a9
,q 0,求S8 ；
师数
243
1
31学精
(3) 若a1 8,q ,S n 品工

等比数列前n项和公式课件PPT

等比数列前n项和公式课件PPT
等比数列的特殊前n项和
对于等比数列，当公比q=1时，前n项和公式为Sn=na1；当q=-1时，Sn=a1a1*q^n/1+q。
等比数列前n项和公式的变种
倒序相加法
错位相减法
将等比数列的前n项和公式倒序相加， 可以得到新的求和公式。
通过错位相减法，可以求出等比数列 的通项公式。
分组求和法
将等比数列分组求和，可以简化计算 过程。
公式与其他数学知识的结合
总结词：综合运用
详细描述：等比数列前n项和公式可以与其他数学知识结合使用，以解决更复杂的数学问题。例如，可以与等差数列、函数、 极限等知识结合，用于解决一些综合性数学问题。
03
等比数列前n项和公式的扩展
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和
等差数列是一种特殊的等比数列，其前n项和公式为Sn=n/2 * (a1+an)，其中 a1为首项，an为第n项。
等比数列前n项和公式的证明方法
数学归纳法
通过数学归纳法证明等比数列的前n 项和公式。
累乘法
通过累乘法证明等比数列的前n项和公 式。
04
等比数列前n项和公式的练习 与巩固
基础练习题
详细描述：通过简单的等比数列求和问题，让 学生熟悉并掌握等比数列前n项和的公式。
解题思路：利用等比数列前n项和公式，将数列中的 每一项表示为2的幂，然后求和。
05
等比数列前n项和公式的总结 与回顾
本节课的重点回顾
等比数列前n项和公 式的推导过程
等比数列前n项和公 式的适用范围和限制 条件
如何应用等比数列前 n项和公式解决实际 问题
本节课的难点解析
如何理解和掌握等比数列前n项和公 式的推导过程

等比数列的前n项和公式第一课时PPT课件

等比数列的前n项和公式第一课时PPT课件

公式的应用
例一：求等比数列1/2,1/4,1/8,….的前8项的和.
学生解法：解 因为 q= 1/2 ≠1
sn
12[1(12)8] 112
255 256
再次提示学生公式的前提:q ≠1
公式的应用
例二：求数列 a,a2,a3,a4,...,.a.n,..前..n项的和。
错解1： 错解2：
a[1an] sn 1a
21
推导公式
sn=a1+a2+a3+……an 根据等比数列的通项公式,上式可写成
sn=a1+a1q+a1q2+……a1qn-1
(1)
(1)的两边乘以q得,
qsn= a1q1+a1q2+……a1qn-1+ a1qn (2) (1)的两边分别减去(2)的两边,得
(1-q)sn= a1- a1qn
推导公式 由此得到q≠1时，等比数列的前n项和的公式
目的：再现过程，突破障碍。提高效率，激发兴趣。
学法指导：当今课程改革的一个重要内容是改善学生
的学习方式。因此在教学中，通过引导学 生进行反思，使学生发现推导方法的本质， 从而培养学生合情推理能力，逻辑思维能 力，科学思维方式和自学能力以及勇于探 索的精神。
2021/3/7
12
教学策略
--支架式教学法 小结回顾
项的和；
33 3
（2）求等比数列 项的和；
2
，4
，8
…从第3项到第7
2021/3/7
30
小结与回顾
小结： ① 通过这堂课，你学到了什么？
② 给你留下印象最深的是什么？
作业：
③ 你还有一些什么想法？…… ① 必做题：习题P135 ：1(1,3)、2、4

高中数学第二章数列25等比数列的前n项和第1课时等比数列前n项和的求解课件新人教A版必修

解：一方面，借款 10 000 元，将此借款以相同的条 件存储 6 个月，则它的本利和为 S1＝104(1＋0.01)6＝104 ×1.016(元)．
另一方面，设每个月还贷 a 元，分 6 个月还清，到贷 款还清时，其本利和为
S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a＝
a[（1＋1.001.0－1）1 6－1]＝a(1.016－1)×102(元)． 由 S1＝S2，得 a＝11.0.0116×6－1102. 因为 1.016≈1.061，所以 a＝11.0.06611×－1102≈1 739. 故每月应支付 1 739 元．
＝12＋121－1－1212n－1－22nn－＋11 ＝32－22nn＋＋13， 所以 Sn＝3－2n2＋n 3. 答案：3－2n2＋n 3
类型 1 等比数列求和公式的基本运算 [典例 1] 在等比数列{an}中： (1)S2＝30，S3＝155，求 Sn； (2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，求 S5； (3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求 q. 解：(1)由题意知aa11（（11＋＋qq）＋＝q2）30＝，155，
[变式训练] 在等比数列{an}中：
(1)若 a1＝ 2，an＝16 2，Sn＝11 2，求 n 和 q； (2)已知 S4＝1，S8＝17，求 an.
解：(1)由 Sn＝a11－－aqnq得 112＝Βιβλιοθήκη 2－16 1－q2q，
所以 q＝－2，
又由 an＝a1qn－1 得 16 2＝ 2(－2)n－1， 所以 n＝5.
又 Sn＝a11－－aqnq＝126， 所以 q 为 2 或12. 归纳升华 1．在等比数列{an}的五个量 a1，q，an，n，Sn 中， 已知其中的三个量，就能求出另两个量，这是方程思想 与整体思想在数列中的具体应用． 2．在解决与前 n 项和有关的问题时，首先要判断公 比 q 是否等于 1，若两种情况都有可能，则要分类讨论．

等比数列的前n项和ppt课件


等比数列前1 qn ) a1 anq
1 q
1 q
(q
1)
判 创设情境 类比探究 断
新知应用 归纳巩固
总结提升
是
5(1 1n )
非 555 5
0
11
n个
1 2 4 8 16
(2)n1 1 (1 22nn ) （ 2）n
1 (2)
n+1
创设情境 创类设比情探境究 新知应用 深化巩固 总结提升
求和 1+ a + a2 + a3 +
解
当a 0时，原式=1+0+0+ +0=1
当a 1时， 原式=1+1+ +1=n
当a 1时，原式= 1 1 an 1 a
+ an-1.
创设情境 类比探究 新知应用 深化巩固 总结提升
一个公式
Sn
a1
na1 (q 1)
(1 qn ) a1 anq
1 q
1 q
(q
1)
两种方法
错位相减 分类讨论
三种数学思想
类比 分类讨论 方程
作业 课本 选做1 选做2
1, 2, 22, 23, +30 S30 1 2 22 23
等比数列的前30项和
第一天给１万，每天 比前一天多给１万元，
连续一个月(30天)
第一天返还1分， 第二天返还2分， 第三天返还4分…… 后一天返还数为前一天的
2倍．
, 229 229
=?
创设情境 类比探究 新知应用 深化巩固 总结提升
等比数列前n项和（一）
学习目标
1
学习 目标
2

等比数列的前n项和公式(第一课时)课件高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

典例 1 在等比数列{an}中，公比为 q，前 n 项和为 Sn. (1)若 a1＝8，an＝14，Sn＝643，求 n； (2)若 S3＝72，S6＝623，求 an 及 Sn； (3)若 a6－a4＝24，a3·a5＝64，求 S8； (4)若 a3＝32，S3＝412，求 a1．
[分析] 在等比数列中，对于a1，an，n，q，Sn五个量，若已知其 中三个量就可求出其余两个量，常列方程(组)来解答问题．当涉及高次 方程或指数方程时，要注意表达式的特点，采取相应的方法处理．
题型二 等比数列前n项和公式的实际应用
典例 2 某企业年初有资金1 000万元，如果该企业经过生产经营 ，每年资金增长率为50%，但每年年底都要扣除消费资金x万元，余下 的资金投入再生产．为实现5年后，资金达到2 000万元(扣除消费资金后 )，那么每年年底扣除的消费资金应是多少万元？(精确到1万元)
依此类推，得： a5＝1 000(1＋12)5－x(1＋12)4－x(1＋12)3－x(1＋12)2－x(1＋21)－x. 则 1 000×(32)5－x[(32)4＋(32)3＋…＋1]＝2 000， ∴1 000×(32)5－x·11－－32325＝2 000． 解得 x≈424(万元)．∴每年年底扣除的消费资金为 424 万元．
由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是一个关于n的指函数 型函数与一个常数的和，且指数型函数的系数与常数项互为相反数．
(2)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，则数列S1，S2，S3， …，Sn，…的图象是正比例函数y＝a1x图象上的一群孤立的点．
知识点3 等比数列前n项和的性质 (1)若{an}是公比为 q 的等比数列，则 Sn＋m＝Sn＋qnSm. (2)在等比数列{an}中，当项数为 2n(n∈N*)时，SS偶奇＝q. (3){an}是公比不为－1 的等比数列，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 仍成等

等比数列的前n项和公式(1) PPT教学课件(高二数学人教A版 选必修二)

高中数学
问题2 国际象棋起源于古印度.相传国王要奖赏国际象棋的
发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子 里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放 上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一 个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的 麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同 意了.
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示. Sn a1 a1q a1q2 a1qn3 a1qn2 a1qn1. ①
追问7：观察 ① 式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变 成它的后一项？
an q n≥2，q 0
an1
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示.
高中数学
回顾：等差数列的前 n 项和公式的推导过程. 等差数列 a1, a2 , a3, an 的前 n 项和是 Sn a1 a2 a3 an2 an1 an. 根据等差数列的定义 an1 an d. Sn a1 a2 a3 an2 an1 an
高中数学
回顾：等差数列的前 n 项和公式的推导过程. 等差数列 a1, a2 , a3, an 的前 n 项和是 Sn a1 a2 a3 an2 an1 an. 根据等差数列的定义 an1 an d. Sn a1 a2 a3 an2 an1 an Sn an an1 an2 a3 a2 a1
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示. Sn a1 a1q a1q2 a1qn3 a1qn2 a1qn1.
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示. Sn a1 a1q a1q2 a1qn3 a1qn2 a1qn1. ① 追问7：观察 ① 式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变 成它的后一项？
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(2) 2．一个等比数列前5项和为10，前10项和为50，前15项和为 多少？
3.在正项等比数列{an}中，若S2=7, S6=91, 则S4的值 为（ A ）.
（A）28 （B）32 （C）35 （D）49
4．在等比数列{an}中，Sn=k-(
1 2
)n，则实数k的值为（
B
）
（A）
1 2
（B）1
a1( 1 qn 1q
)
a1 anq 1q
3.五个量n，a1，q，an，Sn中，解决“知三求二”问题.
例求下列等比数列前8项的和:
（1）1 , 1 , 1 , ; 248
（2）a1＝27，a9＝
1 243
，q
0.
解:1因为a1
1 2
,q
1 2
,n
8，
所以S8
1 2
1
1 2
8
1 1
1 2
1-2
估计千粒麦子的质量约为40g，那么麦粒的总质量超过
了7 000亿吨，因此，国王不能实现他的诺言.
问题2答案： 230–1 (分)＝10 737 418. 23 (元) 远大于3 000元
Sn
na1 a1 (1
qn )
1 q
q 1 q 1
1.注意q=1与q≠1两种情形
2.q≠1时，
Sn
1
1
1 8
2
1
1 8 2
255 . 256
2
2
2由a1
27 , a9
1 243
,可得
1 ＝27 q8 243
,
又由q 0,可得
q 1 , 3
于是当n
8时，S8271 来自1 381
1 3
1640 81
.
若等比数列{an}的前n项和Sn，
1.求下列等比数列{an}的前n项和Sn. (1)
（C） 3
4
（D）2
5．在由正数组成的等比数列{an}中，若a4a5a6=3,则log3a1+
log3a2+log3a8+log3a9的值为（ A ）
（A） 4
3
3
（B） 4
（C）2
4
（D） 33
等比数列的前n项和公式
Sn
a1(1 qn ) 1q
a1 anq , q 1 1q
Sn na1 , q 1
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
这是一个比较大小的问题，实质上是求等比数列 前n项和的问题.
在等比数列{an}中, 当q=1时 ，Sn=a1+a2+a3+…+an－1+an= na1 当q≠1时，Sn=a1+a2+a3+…+an－1+an =？
Sn= a1+a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1
①
qSn= a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1 +a1qn
问题2：
甲、乙二人约定在一个月（按30天）内甲每天给 乙100元钱，而乙则第一天给甲返还一分，第二天给甲 返还二分，即后一天返还的钱是前一天的二倍.问谁赢 谁亏？
分析：数学建模 {an}：100，100，100，…，100 q=1 {bn}：1，2， 22 ，…， 229 q=2
S30=100+100+…+100 T30=1+2+22+…+229
②
①-②得： Sn(1-q)=a1-a1qn
当q≠1时，
Sn
a1(1 qn 1 q
)
.
等比数列{an}的前n项和
Sn
na1 a1 (1
qn )
1 q
q 1 q 1
有了上述公式，就可以解决开头提出的问题了，
问题1：a1=1,q=2,n=64.可得: S64= 1 (1-264 ) =264 -1(粒)=18 446 744 073 709 551 615(粒)
知三求二
Sn a1 a2
an
错位相减法
通项 公式
a1 , q, n an , Sn
求和 公式
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的 ，所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
2.5 等比数列的前n项和
第1课时 等比数列的前n
1.掌握等比数列的前n项和公式;(重点） 2.掌握前n项和公式的推导方法;（重点） 3.对前n项和公式能进行简单应用.（难点）
问题1:
传说在很久以前，古印度舍罕王在宫廷单调的生活 中，发现了64格棋（也就是现在的国际象棋）的有趣和 奥妙，决定要重赏发明人——他的宰相西萨•班•达依尔， 让他随意选择奖品，宰相要求的赏赐是：在棋盘的第一 格内赏他一粒麦子，第二格内赏他两粒麦子，第三格内 赏他四粒麦子……依此类推，每一格上的麦子数都是前 一格的两倍，国王一听，几粒麦子，加起来也不过一小 袋，他就答应了宰相的要求.实际上国王能满足宰相的要 求吗？