1.4.3 正切函数的性质与图象A 级 基础巩固一、选择题1．函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k 2π－3π8，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k 2π＋π8，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k 2π，k ∈Z 解析：由2x ＋π4≠k π＋π2，得x ≠12k π＋π8(k ∈Z)． 答案：C2．f (x )＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调区间是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈ZB.()k π，（k ＋1）π，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 解析：令－π2＋k π<x ＋π4<π2＋k π，k ∈Z ， 解得－3π4＋k π<x <π4＋k π，k ∈Z. 所以函数f (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z. 答案：C3．在下列给出的函数中，以π为周期且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内是增函数的是( ) A ．y ＝sin x 2 B ．y ＝cos 2xC ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4D ．y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 解析：由函数周期为π可排除A.x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，2x ∈(0，π)，2x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，54π，此时B 、C 中函数均不是增函数．答案：C4．若直线x ＝k π2(－1≤k ≤1)与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象不相交，则k ＝( ) A.14B ．－34 C.14或－34 D ．－14或34解析：由题意得2×k π2＋π4＝π2＋m π，m ∈Z. k ＝14＋m ，m ∈Z. 由于－1≤k ≤1，所以k ＝14或－34. 答案：C5．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6图象的对称中心为( ) A ．(0，0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π18，0，k ∈Z D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π6－π18，0，k ∈Z 解析：由函数y ＝tan x 的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z ，令3x ＋π6＝k π2，k ∈Z ，则x ＝k π6－π18(k ∈Z)， 所以y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π6－π18，0，k ∈Z. 答案：D二、填空题6．－tan 6π5与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π5的大小关系是______________． 解析：－tan 6π5＝－tan π5， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π5＝－tan 13π5＝－tan 3π5 因为0<π5<π2<3π5<π，所以tan π5>0，tan 3π5<0， 所以－tan π5<－tan 3π5，即－tan 6π5<t an ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π5. 答案：－tan 6π5<tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π5 7．f (x )＝a sin x ＋b tan x ＋1，满足f (5)＝7，则f (－5)＝________．解析：因为f (5)＝a sin 5＋b tan 5＋1＝7，所以a sin 5＋b tan 5＝6，所以f (－5)＝a sin(－5)＋b tan(－5)＋1＝－(a sin 5＋b tan 5)＋1＝－6＋1＝－5.答案：－58．y ＝tan x2满足下列哪些条件________(填序号)． ①在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增； ②为奇函数；③以π为最小正周期；④定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4＋k π2，k ∈Z . 解析：当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以y ＝tan x 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增正确；t an ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＝－tan x 2，故y ＝tan x 2为奇函数，因此①②正确；T ＝πω＝2π，所以③不正确；由x 2≠π2＋k π，k ∈Z ，得{x |x ≠π＋2k π，k ∈Z}，所以④不正确．答案：①②三、解答题9．求函数y ＝tan 2x 的定义域、值域和周期，并作出它在区间[－π，π]内的图象．解：定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≠π4＋k π2，k ∈Z ， 值域为(－∞，＋∞)，周期为π2； 对应图象如下：10．求函数y ＝12tan ⎝⎛⎭⎪⎫5x ＋π4的定义域，单调区间及对称中心． 解：由5x ＋π4≠k π＋π2，得x ≠k π5＋π20，k ∈Z ， 函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π5＋π20，k ∈Z . 由k π－π2<5x ＋π4<k π＋π2，得k π5－3π20<x <k π5＋π20，k ∈Z. 函数的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π5－3π20，k π5＋π20，k ∈Z ， 由5x ＋π4＝k π2得x ＝k π10－π20，k ∈Z ，函数图象的对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π10－π20，0，k ∈Z.B 级 能力提升1．已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数，则ω的取值范围为________． 解析：由题意可知ω<0，又⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω，－π2 ω⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2. 故－1≤ω<0.答案：－1≤ω<0.2．若函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫3ax －π3(a ≠0)的最小正周期为π2，则a ＝________． 解析：因为π|3a |＝π2，所以|a |＝23，所以a ＝±23. 答案：±23 3．已知函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎪⎫kx －π3的最小正周期T 满足1<T <32，求正整数k 的值，并指出f (x )的奇偶性、单调区间．解：因为1<T <32，所以1<πk <32，即2π3<k <π. 因为k ∈N *，所以k ＝3，则f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π3， 由3x －π3≠π2＋k π(k ∈Z)得x ≠5π18＋k π3(k ∈Z)，定义域不关于原点对称， 所以f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π3是非奇非偶函数． 由－π2＋k π<3x －π3<π2＋k π(k ∈Z)得－π18＋k π3<x <5π18＋k π3(k ∈Z)， 所以f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＋k π3，5π18＋k π3，k ∈Z.。
1.4.3 正切函数的性质与图象明目标、知重点 1.了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质.2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题．函数y ＝tan x 的性质与图象y ＝tan x图象定义域 {x |x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z }值域R周期 最小正周期为π奇偶性 奇函数单调性 在开区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2 (k ∈Z )内递增 对称性对称中心(k π2，0)(k ∈Z )，无对称轴[情境导学] 三角函数包括正弦、余弦函数和正切函数，我们已经研究了正弦、余弦函数的图象和性质， 因此， 进一步研究正切函数的图象与性质就成为学习的必然．你能否根据研究正弦、余弦函数的图象和性质的经验，以同样的方法研究正切函数的图象及性质？ 探究点一 正切函数的性质思考1 根据相关诱导公式，你能判断正切函数是周期函数吗？其最小正周期为多少？一般地，函数y ＝tan(ωx ＋φ) (ω>0)的周期是多少？答 由诱导公式tan(x ＋π)＝tan x ，可知正切函数是周期函数，最小正周期是π. ∵y ＝A tan(ωx ＋φ)＝A tan(ωx ＋φ＋π)＝A tan ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x ＋πω＋φ，∴周期T ＝πω.思考2 根据相关诱导公式，你能判断正切函数具有奇偶性吗？正切函数图象有何对称性？ 答 从正切函数的图象来看，正切曲线关于原点对称；从诱导公式来看，tan(－x )＝－tan x ．故正切函数是奇函数．正切函数图象是中心对称图形，对称中心有无数多个，它们的坐标为⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )． 思考3 观察下图中的正切线，当角x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内增加时，正切函数值发生什么变化？由此反映出一个什么性质？当x 大于－π2且无限接近－π2时，正切值如何变化？当x 小于π2且无限接近π2时，正切值又如何变化？由此分析，正切函数的值域是什么？答 正切函数值随着增加，反映了函数的单调性． 当x →－π2时，tan x →－∞；当x →π2时，tan x →＋∞.所以y ＝tan x 可以取任意实数值，但没有最大值和最小值，故正切函数的值域为R . 思考4 结合正切函数的周期性，正切函数的单调性如何？正切函数在整个定义域内是增函数吗？正切函数会不会在某一区间内是减函数？答 正切函数在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π (k ∈Z ) 上都是增函数．正切函数在整个定义域内不是增函数，而是在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z ) 上都是增函数，正切函数不会在某一区间内是减函数．例1 求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域．解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x >0，即－1≤tan x <1.在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内，满足上述不等式的x 的取值范围是 ⎣⎡⎭⎫－π4，π4.又y ＝tan x 的周期为π，所以所求x 的范围是⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π4 (k ∈Z )． 即函数的定义域为⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π4 (k ∈Z )． 反思与感悟 求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线． 跟踪训练1 求下列函数的定义域： (1)y ＝11＋tan x ；(2)y ＝lg(3－tan x )．解 (1)要使函数y ＝11＋tan x有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧1＋tan x ≠0，x ≠π2＋k π(k ∈Z )．∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ，x ≠k π＋π2且x ≠k π－π4，k ∈Z .(2)由3－tan x >0，得tan x < 3.根据三角函数线，得－π2＋k π<x <π3＋k π (k ∈Z )，∴函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－π2＋k π<x <π3＋k π，k ∈Z .探究点二 正切函数的图象思考1 类比正弦函数图象的作法，可以利用正切线作正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2的图象，具体应如何操作？答 类比正弦函数图象的作法，作正切函数y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2图象的步骤： (1)建立平面直角坐标系，在x 轴的负半轴上任取一点O 1，以O 1为圆心作单位圆． (2)把单位圆中的右半圆平均分成8份，并作出相应终边的正切线．(3)在x 轴上，把⎝⎛⎭⎫－π2，π2这一段分成8等份，依次确定单位圆上7个分点的位置． (4)把角x 的正切线向右平移，使它的起点与x 轴上的点x 重合．(5)用光滑的曲线把正切线的终点连接起来，就得到y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2的图象，如图所示．思考2 结合正切函数的周期性， 如何画出正切函数在整个定义域内的图象？答 我们作出了正切函数一个周期⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的图象，根据正切函数的周期性，把图象向左、右扩展，得到正切函数y ＝tan x (x ∈R ，且x ≠π2＋k π(k ∈Z ))的图象，我们把它叫做“正切曲线”(如下图所示)，它是被无数条直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )所隔开的无数条曲线组成的．思考3 直线x ＝π2和x ＝－π2与正切函数的图象的位置关系如何？一条平行于x 轴的直线与正切曲线相邻两支曲线的交点的距离为多少？答 直线x ＝π2和x ＝－π2是正切函数的图象的渐近线．一条平行于x 轴的直线与相邻两支曲线的交点的距离为此函数的一个周期． 例2 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调区间及最小正周期． 解 y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4＝－tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4， 由k π－π2<12x －π4<k π＋π2 (k ∈Z )，得2k π－π2<x <2k π＋32π，k ∈Z ，∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调递减区间是 ⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋32π，k ∈Z .周期T ＝π⎪⎪⎪⎪－12＝2π.反思与感悟 y ＝tan(ωx ＋φ) (ω>0)的单调区间的求法即是把ωx ＋φ看成一个整体，解－π2＋k π<ωx ＋φ<π2＋k π，k ∈Z 即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．跟踪训练2 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调区间． 解 ∵y ＝tan x 在x ∈⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π (k ∈Z )上是增函数，∴－π2＋k π<2x －π3<π2＋k π，k ∈Z . 即－π12＋k π2<x <5π12＋k π2，k ∈Z .∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是 ⎝⎛⎭⎫－π12＋k π2，5π12＋k π2 (k ∈Z )．例3 利用正切函数的单调性比较下列两个函数值的大小． (1)tan ⎝⎛⎭⎫－65π与tan ⎝⎛⎭⎫－137π； (2)tan 2与tan 9.解 (1)∵tan ⎝⎛⎭⎫－65π＝tan ⎝⎛⎭⎫－π－π5＝tan ⎝⎛⎭⎫－π5， tan ⎝⎛⎭⎫－137π＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π＋π7＝tan π7， 又函数y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数， 而－π2<－π5<π7<π2.∴tan ⎝⎛⎭⎫－π5<tan π7，即tan ⎝⎛⎭⎫－65π<tan ⎝⎛⎭⎫－137π. (2)∵tan 9＝tan(9－2π)，而π2<2<9－2π<π.由于函数y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫π2，π上是增函数， ∴tan 2<tan(9－2π)，即tan 2<tan 9.反思与感悟 比较两个函数值的大小，只需将所涉及的两个角通过诱导公式转化到同一个单调区间内，再借助单调性即可．正切函数的单调递增区间为(－π2＋k π，π2＋k π)，k ∈Z .故在⎝⎛⎭⎫－π2，π2和⎝⎛⎭⎫π2，3π2上都是增函数．跟踪训练3 比较下列两组函数值的大小．(1)tan(－1 280°)与tan 1 680°； (2)tan 1，tan 2，tan 3.解 (1)∵tan(－1 280°)＝tan(－4×360°＋160°) ＝tan(180°－20°)＝tan(－20°)， tan 1 680°＝tan(4×360°＋240°) ＝tan(180°＋60°)＝tan 60°，而函数y ＝tan x 在()－90°，90°上是增函数， ∴tan(－20°)<tan 60°， 即tan(－1 280°)<tan 1 680°.(2)∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)， 又∵π2<2<π，∴－π2<2－π<0，∵π2<3<π，∴－π2<3－π<0， 显然－π2<2－π<3－π<1<π2，且y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是增函数， ∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1， 即tan 2<tan 3<tan 1.1．函数y ＝3tan(2x ＋π4)的定义域是( )A ．{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }B ．{x |x ≠k 2π－3π8，k ∈Z }C ．{x |x ≠k 2π＋π8，k ∈Z }D ．{x |x ≠k2π，k ∈Z }答案 C2．函数f (x )＝tan(x ＋π4)的单调递增区间为( )A ．(k π－π2，k π＋π2)，k ∈ZB ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈ZC ．(k π－3π4，k π＋π4)，k ∈ZD ．(k π－π4，k π＋3π4)，k ∈Z答案 C3．在下列函数中同时满足：①在⎝⎛⎭⎫0，π2上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( ) A ．y ＝tan x B ．y ＝cos x C ．y ＝tan x2 D ．y ＝－tan x答案 C4．方程tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝3在区间[0,2π)上的解的个数是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 答案 B解析 由tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝3解得2x ＋π3＝π3＋k π(k ∈Z )，∴x ＝k π2(k ∈Z )，又x ∈[0,2π)，∴x ＝0，π2，π，3π2.故选B. [呈重点、现规律] 1．正切函数的图象正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x ＝k π＋π2，k ∈Z ，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增． 2．正切函数的性质(1)正切函数y ＝tan x 的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域是R .(2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ) (Aω≠0)的周期为T ＝π|ω|.(3)正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上递增，不能写成闭区间．正切函数无单调减区间．一、基础过关1．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π5，x ∈R 且x ≠310π＋k π，k ∈Z 的一个对称中心是( ) A ．(0,0) B.⎝⎛⎭⎫π5，0 C.⎝⎛⎭⎫45π，0 D ．(π，0) 答案 C2．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3在一个周期内的图象是( )答案 A3．在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos(2x ＋π6)，④y ＝tan(2x －π4)中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．①③ 答案 C解析 ①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，T ＝π； ②由图象知，函数的周期T ＝π； ③T ＝π；④T ＝π2；综上可知，最小正周期为π的所有函数为①②③. 4．下列各式中正确的是( )A ．tan 735°>tan 800°B ．tan 1>－tan 2C ．tan 5π7<tan 4π7D ．tan 9π8<tan π7答案 D5．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值是( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D.π4答案 A解析 由题意，得T ＝πω＝π4，∴ω＝4.∴f (x )＝tan 4x ，f ⎝⎛⎭⎫π4＝tan π＝0.6．下列关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的说法正确的是( ) A ．在区间⎝⎛⎭⎫－π6，5π6上单调递增 B ．最小正周期是πC ．图象关于点⎝⎛⎭⎫π4，0成中心对称 D ．图象关于直线x ＝π6成轴对称答案 B解析 令k π－π2<x ＋π3<k π＋π2，解得k π－5π6<x <k π＋π6，k ∈Z ，显然⎝⎛⎭⎫－π6，5π6不满足上述关系式，故A 错误；易知该函数的最小正周期为π，故B 正确；令x ＋π3＝k π2，解得x ＝k π2－π3，k ∈Z ，任取k 值不能得到x ＝π4，故C 错误；正切曲线没有对称轴，因此函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象也没有对称轴，故D 错误．故选B.7．求函数y ＝－tan 2x ＋4tan x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4的值域． 解 ∵－π4≤x ≤π4，∴－1≤tan x ≤1.令tan x ＝t ，则t ∈[－1,1]． ∴y ＝－t 2＋4t ＋1＝－(t －2)2＋5. ∴当t ＝－1，即x ＝－π4时，y min ＝－4，当t ＝1，即x ＝π4时，y max ＝4.故所求函数的值域为[－4,4]． 二、能力提升8．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2内的图象是( )答案 D解析 当π2<x <π，tan x <sin x ，y ＝2tan x <0；当x ＝π时，y ＝0；当π<x <3π2时，tan x >sin x ，y ＝2sin x ．故选D.9．已知函数y ＝tan ωx 在(－π2，π2)内是减函数，则( )A ．0<ω≤1B ．－1≤ω<0C ．ω≥1D ．ω≤－1 答案 B解析 ∵y ＝tan ωx 在(－π2，π2)内是减函数，∴ω<0且T ＝π|ω|≥π.∴|ω|≤1，即－1≤ω<0.10．函数y ＝3tan(ωx ＋π6)的最小正周期是π2，则ω＝____.答案 ±2解析 T ＝π|ω|＝π2，∴ω＝±2.11．已知函数f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1，x ∈[－1，3]，θ∈(－π2，π2)．(1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值和最小值．(2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数．解 (1)当θ＝－π6时， f (x )＝x 2－233x －1＝(x －33)2－43(x ∈[－1，3])， ∴当x ＝33时，f (x )min ＝－43； 当x ＝－1时，f (x )max ＝23 3. (2)函数f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ的图象的对称轴为直线x ＝－tan θ.∵y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数，∴－tan θ≤－1或－tan θ≥ 3.∴tan θ≥1或tan θ≤－ 3.解得θ的取值范围是[π4，π2)∪(－π2，－π3]． 12．设函数f (x )＝tan(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π2)，已知函数y ＝f (x )的图象与x 轴相邻两交点的距离为π2，且图象关于点M (－π8，0)对称，求f (x )的解析式． 解 由题意可知，函数f (x )的最小正周期T ＝π2， 即πω＝π2，∴ω＝2.从而f (x )＝tan(2x ＋φ)． ∵函数y ＝f (x )的图象关于点M (－π8，0)对称，∴2×(－π8)＋φ＝k π或π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝k π＋π4或φ＝k π＋3π4(k ∈Z )．∵0<φ<π2，∴φ只能取π4. 故f (x )＝tan(2x ＋π4)． 三、探究与拓展13．(1)函数y ＝sin x 与y ＝tan x 的图象在区间[0,2π]上交点的个数是多少？(2)求函数y ＝|tan x |的最小正周期．解 (1)因为当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，tan x >x >sin x ， 所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，y ＝sin x 与y ＝tan x 没有公共点，因此函数y ＝sin x 与y ＝tan x 在区间[0,2π]上的图象如图所示：观察图象可知，函数y ＝tan x 与y ＝sin x 在区间[0,2π]上有3个交点．(2)当k π≤x <k π＋π2，k ∈Z 时，tan x ≥0，则f (x )＝tan x ；当k π－π2<x <k π，k ∈Z 时，tan x <0，则f (x )＝－tan x ，则有f (x )＝⎩⎨⎧ tan x ，k π≤x <k π＋π2，k ∈Z ，－tan x ，k π－π2<x <k π，k ∈Z ，其图象如图所示．由图知函数y ＝|tan x |的最小正周期为π.。
课后训练1．在(0,2π)内，使tan x>1成立的x的取值范围是()．A.ππ5π()(π)424，， B.π(,π)4C.π5π()44， D.ππ5π3π()()4242，，2．直线y＝a(a为常数)与正切曲线y＝tan ωx(ω是常数且ω>0)相交，则相邻两交点之间的距离是()．A.πωB.2πωC．πD．与a的值有关3．函数1π3tan()23y x=+的图象的一个对称中心是()．A.π(0)6， B.2π(3-， C.2π(0)3-，D．(0,0)4．πtan()4y x=+的定义域是()．A.π|,R4x x x⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭B.π|π,R,Z4x x k x k⎧⎫≠+∈∈⎨⎬⎩⎭C.π|,R4x x x⎧⎫≠-∈⎨⎬⎩⎭D.3π|2π,R,Z4x x k x k⎧⎫≠+∈∈⎨⎬⎩⎭5．函数y＝tan(cos x)的值域是__________．6．若函数π2tan(2)5y ax=-的最小正周期为π5，则a＝__________.7．求函数πtan(3)3y x=-的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性．8．函数y＝A tan(ωx＋φ)的图象与x轴相交的两相邻点坐标为π(,0)2-，π(,0)6，且过点(0，－3)，求此函数的解析式．已知α、β都是锐角，且2tan3α=，9tan4β=，你能根据正切函数的增减性直接判断α＋β是否为锐角吗？参考答案1.答案：D解析：画出函数y＝tan x的图象，并作出直线y＝1，并观察其在直线上方的部分可知：x的取值范围是ππ5π3π()()4242，，，故选D.2.答案：A解析：直线y＝a与函数y＝tan x的图象的两相邻交点的距离实际上就是最小正周期的值．3.答案：C解析：∵y＝tan x的图象的对称中心为π(0)2k，，k∈Z，由1ππ232kx+=得2ππ3x k=-(k∈Z)，∴函数1π3tan()23y x=+的图象的对称中心为2π(π,0)3k-，k∈Z.令k＝0，得2π(0)3-，，故选C.4.答案：B解析：y＝tan x的定义域为π|π,Z2x x k k⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，由πππ42x k+≠+得ππ4x k≠+(k∈Z)．5.答案：[－tan 1，tan 1]解析：由cos x∈[－1,1]，结合y＝tan x的图象来求解．ππ1cos122x-<-≤≤<，∴－tan 1≤tan(cos x)≤tan 1.6.答案：5 2±解析：由ππ25a=得2a＝±5，∴52a=±.7.解：由ππ3π32x k-≠+，k∈Z，得π5π318kx≠+，k∈Z.∴所求定义域为π5π|R,,Z318kx x x k⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭且，值域为R，周期π3T=，是非奇非偶函数．在区间πππ5π(,)318318k k-+(k∈Z)上是增函数．8. 解：∵ππ2π()623T=--=，∴π32Tω==.由图象过点π(,0)6，代入3tan()2y A x ϕ=+， 得3π0tan()26A ϕ=⨯+，得π4ϕ=-. 将(0，－3)代入3πtan()24y A x =-， 得A ＝3.∴3π3tan()24y x =-.解：能根据正切函数的增减性直接判断α＋β不是锐角．∵2πtan tan 36α=>=，又α为锐角，∴π6α>.同理，9πtan tan 43β=>=，又β为锐角， ∴π3β>，故πππ632αβ+>+=， ∴α＋β不可能为锐角．。
课后训练1．函数1π3tan23y x⎛⎫=+⎪⎝⎭的一个对称中心是()A．π,06⎛⎫⎪⎝⎭B．2π,3⎛-⎝C．2π,03⎛⎫-⎪⎝⎭D．(0,0)2．函数f(x)＝tan ωx(ω＞0)的图象上的相邻两支曲线截直线y＝1所得的线段长为π4．则ω的值是()A．1 B．2C．4 D．83．函数ππtan044y x x x⎛⎫=-≤≤≠⎪⎝⎭且的值域是()A．[－1,1] B．[－1,0)∪(0,1] C．(－∞，1] D．[－1，＋∞)4．已知函数y＝tan ωx在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内是减函数，则()A．0＜ω≤1 B．－1≤ω＜0C．ω≥1 D．ω≤－15．函数f(x)的定义域是()A．πππ+,π42k k⎡⎫+⎪⎢⎣⎭(k∈Z)B．πππ,π22k k⎛⎫-+⎪⎝⎭(k∈Z)C．ππ,π4k k⎛⎫+⎪⎝⎭(k∈Z)D．πππ,π42k k⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭(k∈Z)6．不等式tan x≥1的解集是__________．7．函数y＝tan(cos x)的值域是__________．8．已知函数f(x)＝A tan(ωx＋φ)π0,||2ωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭，y＝f(x)的部分图象如图，则π24f⎛⎫⎪⎝⎭等于__________．9．求函数y＝πtan33x⎛⎫-⎪⎝⎭的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性．10．函数y＝A tan(ωx＋φ)的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为π,02⎛⎫-⎪⎝⎭，π,06⎛⎫⎪⎝⎭，且过点(0，－3)，求此函数的解析式．参考答案1答案：C解析：由ππ232x k+=得2ππ3x k=-(k∈Z)．令k＝0得2π3x=-，故选C．2答案：C解析：由题意可得f(x)的周期为π4，则ππ4ω=，∴ω＝4．3答案：B4答案：B解析：∵y＝tan ωx在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内是减函数，∴ω＜0且T＝πω≥π，∴－1≤ω＜0．故选B．5答案：A解析：f(x)有意义时lg tan0tan0,xx≥⎧⎨>⎩∴tan x≥1，解得kπ＋π4≤x＜kπ＋π2(k∈Z)．∴f(x)的定义域为πππ,π42k k⎡⎫++⎪⎢⎣⎭(k∈Z)．6答案：πππ,π42k k⎡⎫++⎪⎢⎣⎭，k∈Z解析：由正切函数图象可知，kπ＋π4≤x＜kπ＋π2(k∈Z)．7答案：[－tan 1，tan 1]解析：由cos x∈[－1,1]，结合y＝tan x的图象来求解．π2 -＜－1≤cos x≤1＜π2，∴－tan 1≤tan(cos x)≤tan 1．8解析：由图象知周期T＝πππ242ω⨯==，∴ω＝2，又图象过3π,08⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴3πtan208Aϕ⎛⎫⨯+=⎪⎝⎭，∴3πtan04ϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，而|φ|＜π2，∴3π4＋φ＝π，∴φ＝π4，∴f(x)＝πtan24A x⎛⎫+⎪⎝⎭，又过(0,1)点，∴πtan4A＝1，∴A＝1，即f(x)＝πtan24x⎛⎫+⎪⎝⎭，∴ππtan243f⎛⎫==⎪⎝⎭9答案：解：由ππ3π32x k-≠+，k∈Z，得π5π318kx≠+，k∈Z．∴所求定义域为π5π,,318kx x x k⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭R Z且，值域为R，周期T＝π3，是非奇非偶函数，在区间πππ5π,318318k k⎛⎫-+⎪⎝⎭(k∈Z)上是增函数．10答案：解：∵ππ2π623T⎛⎫=--=⎪⎝⎭，∴π3 =2Tω=．将点π,06⎛⎫⎪⎝⎭代入y＝A tan32xϕ⎛⎫+⎪⎝⎭，得0＝A tan3π26ω⎛⎫⨯+⎪⎝⎭，得φ＝π4 -．将(0，－3)代入y＝A tan3π24x⎛⎫-⎪⎝⎭，得A＝3．∴y＝3tan3π24x⎛⎫-⎪⎝⎭．。
