【复习必备】(广西专用)2020中考数学二轮新优化复习 第二部分 专题综合强化 专题5 与四边形有关的证明与
- 格式：doc
- 大小：168.00 KB
- 文档页数：5
第二部分 专题五
1．(2018·北京)如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝AD ，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 平分∠BAD ，过点C 作CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E ，连接OE .
(1)求证：四边形ABCD 是菱形；
(2)若AB ＝5，BD ＝2，求OE 的长．
(1)证明：∵AB ∥CD ，
∴∠OAB ＝∠DC A.
∵AC 为∠DAB 的平分线，
∴∠OAB ＝∠DAC ，
∴∠DCA ＝∠DAC ，∴CD ＝AD ＝AB .
∵AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形．
∵AD ＝AB ，∴四边形ABCD 是菱形．
(2)解：∵四边形ABCD 是菱形，
∴OA ＝OC ，BD ⊥AC .
∵CE ⊥AB ，∴OE ＝OA ＝OC .
∵BD ＝2，∴OB ＝12
BD ＝1. 在Rt △AOB 中，AB ＝5，OB ＝1，
∴OA ＝AB 2－OB 2
＝2，∴OE ＝OA ＝2.
2．(2017·柳州)如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，CD 边上的点，BE 和AF 交于点O ，且AE ＝DF .
(1)求证：△ABE ≌△DAF ；
(2)若BO ＝4，OE ＝2，求正方形ABCD 的面积.
(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB ＝AD ，∠BAE ＝∠D ＝90°.
在△ABE 和△DAF 中，⎩⎪⎨⎪⎧ AB ＝DA ，∠BAE ＝∠ADF ，
AE ＝DF ，
∴△ABE ≌△DAF (S A S)． (2)解：∵△ABE ≌△DAF ，∴∠ABE ＝∠FAD .
又∵∠FAD ＋∠BAO ＝90°，
∴∠ABO ＋∠BAO ＝90°，
∴∠AOB ＝∠EAB ＝90°，∴△ABO ∽△EBA ，
∴AB EB ＝BO BA
. ∵BO ＝4，OE ＝2，∴AB 6＝4AB
， ∴AB 2
＝24，∴正方形ABCD 的面积是24.
3．(2017·百色)矩形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，CE ，AF 分别交BD 于G ，H 两点．
求证：(1)四边形AFCE 是平行四边形；
(2)EG ＝FH .
证明：(1)∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD ∥BC ，AD ＝BC .
∵E ，F 分别是AD ，BC 的中点，
∴AE ＝12AD ，CF ＝12
BC ，∴AE ＝CF ， ∴四边形AFCE 是平行四边形．
(2)∵四边形AFCE 是平行四边形，
∴CE ∥AF ，∴∠DGE ＝∠AHD ＝∠BHF .
∵AD ∥BC ，∴∠EDG ＝∠FBH ，
在△DEG 和△BFH 中，⎩⎪⎨⎪⎧ ∠DGE ＝∠BHF ，∠EDG ＝∠FBH ，
DE ＝BF ，
∴△DEG ≌△BFH (AA S)，∴EG ＝FH .
4．(2018·玉林适应性考试) 如图，在□ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O .点P 是AC
上动点，∠CAB ＝∠CAD ，且AB ＝10，cos ∠CAB ＝45.
(1)求证：四边形ABCD 是菱形；
(2)若点E 是AB 边上动点，连接PB ，PE ，求线段PE ＋PB 的最小值．
(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴DC ∥AB ，∴∠CAB ＝∠DC A.
∵∠CAB ＝∠CAD ，∴∠DCA ＝∠CAD ，∴CD ＝AD ，
∴四边形ABCD 是菱形．
(2)解：如答图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，交AC 于点P ，连接BP ，此时线段PE ＋PB 的值最小，
且PE ＋PB ＝DE .
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC ⊥BD ，BD ＝2BO ，
∴∠AOB ＝90°.
∵AB ＝10，cos ∠CAB ＝OA AB ＝45
， ∴AO ＝45
AB ＝8， ∴BO ＝6，BD ＝2BO ＝12.
∵∠DEB ＝∠AOB ＝90°，
∴∠BDE ＝∠OAB ，
∴DE ＝DB ·cos∠BDE ＝12×45＝485
， ∴线段PE ＋PB 的最小值为485
. 5．(2016·贵港)如图1，在正方形ABCD 内作∠EAF ＝45°，AE 交BC 于点E ，AF 交CD 于点F ，连接EF ，过点A 作AH ⊥EF ，垂足为H .
(1)如图2，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG .
①求证：△AGE ≌△AFE ；
②若BE ＝2，DF ＝3，求AH 的长．
(2)如图3，连接BD 交AE 于点M ，交AF 于点N .请探究并猜想：线段BM ，MN ，ND 之间有什么数量关系？并说明理由.
解：(1)①证明：由旋转的性质知AF ＝AG ，
∠DAF ＝∠BAG .
∵四边形ABCD 为正方形，∴∠BAD ＝90°.
又∵∠EAF ＝45°，∴∠BAE ＋∠DAF ＝45°.
∴∠BAG ＋∠BAE ＝45°，∴∠GAE ＝∠FAE .
在△AGE 和△AFE 中，⎩⎪⎨⎪⎧ AG ＝AF ，∠GAE ＝∠FAE ，
AE ＝AE ，
∴△GAE ≌△FAE (S A S)． ②∵△GAE ≌△FAE ，AB ⊥GE ，AH ⊥EF ，
∴AB ＝AH ，GE ＝EF ＝5.
设正方形的边长为x ，则EC ＝x －2，FC ＝x －3.
在Rt △EFC 中，EF 2＝FC 2＋EC 2
，
即(x －3)2＋(x －2)2＝25，解得x ＝6(负值已舍去)．
∴AB ＝6，∴AH ＝6.
(2)解：MN 2＝ND 2＋BM 2.理由：如答图所示．
将△ABM 逆时针旋转90°得△ADM ′.
∵四边形ABCD 为正方形，
∴∠ABD ＝∠ADB ＝45°.
由旋转的性质可知，
∠ADM ′＝∠ABM ＝45°，BM ＝DM ′.
∴∠NDM ′＝90°，∴NM ′2＝ND 2＋DM ′2
. ∵∠EAM ′＝90°，∠EAF ＝45°， ∴∠EAF ＝∠FAM ′＝45°. 在△AMN 和△ANM ′中， ⎩⎪⎨⎪⎧ AM ＝AM ′，∠MAN ＝∠M ′AN ，
AN ＝AN ，
∴△AMN ≌△AM ′N (S A S)．∴MN ＝M ′N . 又∵BM ＝DM ′，∴MN 2＝ND 2＋BM 2.。
