中考数学第二轮复习专题个专题

中考数学二轮专题复习之一：配方法与换元法把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。

【范例讲析】： 例1： 填空题：1）．将二次三项式x 2+2x －2进行配方，其结果为 。

2）．方程x 2+y 2+4x －2y+5=0的解是 。

3）．已知M=x 2－8x+22，N=－x 2+6x －3，则M 、N 的大小关系为 。

例2.已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，且a 2+b 2+c 2=ab+bc+ac ，则△ABC 的形状为 。

例3.解方程：422740x x --=【闯关夺冠】 1.已知13x x +=．则221x x+的值为__________． 2．若a 、b 、c 是三角形的三边长，则代数式a 2–2ab+b 2–c 2的值 （ ） A 大于零 B 等于零 C 小于零 D 不能确定 3已知：a 、b 为实数，且a 2+4b 2－2a+4b+2=0，求4a 2－b1的值。

4. 解方程： 211()65()11x x +=--对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果．通过变形与比较．建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使问题获解．这种方法称为待定系数法． 【范例讲析】：【例1】二次函数的图象经过A(1，0)、B(3，0)、C(2，－1)三点．(1)求这个函数的解析式．(2)求函数与直线y=－x+1的交点坐标．【例2】一次函数的图象经过反比例函数xy 8-=的图象上的A 、B 两点，且点A 的横坐标与点B 的纵坐标都是2。

（1）求这个一次函数的解析式；（2）若一条抛物线经过点A 、B 及点C （1，7），求抛物线的解析式。

整式学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．下列运算正确的是A ．623x x x ÷= BC ．()222x 2y x 2xy 4y +=++ D 2．图（1）是一个长为2a ，宽为2b （a ＞b ）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是A. abB.()2a b + C. ()2a b - D. 22a b - 3．下列计算，正确的是B. 030=C. 133-=-D. 4．下列运算正确的是A ．()a 1a 1--=--B ．()2362a 4a -=C ．()222a b a b -=- D ．325a a 2a +=5．下列图形都是由同样大小的棋子按一定规律组成，其中第①个图形有1颗棋子，第②个图形一共有6颗棋子，第③个图形一共有16颗棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为【 】A ．51B ．70C ．76D ．81 6．计算323x x ÷的结果是【 】A ．22xB ．23xC ． 3xD ．3 7．下列计算结果正确的是A ．()3a a 2a --=B ．()235a a a ⨯-= C ．55a a a ÷= D ．()326a a -=8．下列运算正确的是A ．52•53=56B ．（52）3=55C ．52÷53=5 D 9．把a 3﹣2a 2+a 分解因式的结果是A ．a 2（a ﹣2）+aB ．a （a 2﹣2a ）C ．a （a+1）（a ﹣1）D ．a （a ﹣1）210．下列运算正确的是A ．x•x 2=x 2B ．（xy ）2=xy 2C ．（x 2）3=x 6D ．x 2+x 2=x 411．下列计算正确的是A ．333a a 2a ⋅= B ．224a a 2a += C ．842a a a ÷= D ．()3262a 8a -=-12．下列运算正确的是A ．（a+b ）2=a 2+b 2B ．x 3+x 3=x 6C ．（a 3）2=a 5D ．（2x 2）（﹣3x 3）=﹣6x 513．下面的计算一定正确的是A ．b 3+b 3=2b 6B ．()2223pq 9p q -=- C ．5y 3•3y 5=15y 8D ．b 9÷b 3=b 314．下列运算正确的是A ．m 4•m 2=m 8B ．（m 2）3=m 5C ．m 3÷m 2=m D ．3m ﹣m=2 15．对于实数a 、b ，给出以下三个判断：b a <．③若b a -=，则 22)(b a =-．其中正确的判断的个数是A ．3B ．2C ．1D ．0 16．若| a |＝2，| b |＝a ，则a ＋b 为（ ）A ．±6 B．6 C ．±2、±6 D．以上都不对17．下面式子正确的是 （ ）A.623x x x =⋅B.1055x x x =+C.236x x x =÷ D.933)(x x =18．下列运算正确的是A ．x ﹣2x=xB ．（xy 2）0=xy 2C 19．下列计算正确的是A ．6x 2+3x=9x 3B ．6x 2•3x=18x 2C ．（﹣6x 2）3=﹣36x 6D ．6x 2÷3x=2x20．下列运算正确的是A ．2a 3b 5ab ⋅= C ．223a a 3÷= D二、填空题21．分解因式：3ab 2﹣a 2b= ．22．计算：a 2•5a= ．23．分解因式x 3﹣xy 2的结果是 ．24．如果x=1时，代数式2ax 3+3bx+4的值是5，那么x=﹣1时，代数式2ax 3+3bx+4的值是 ．25．分解因式：3a 2+6a+3= ．26．分解因式：x 3﹣4x= ．27．分解因式：ab 2+a= ．28．二次三项式为x 2﹣4x+3，配方的结果是 ．29．若27m n a b -+与443a b -是同类项，则m-n=30y 的代数式表示x ，那么x ＝ 31．若()0232=++-n m ，则n m 2+的值是______.32．已知a 、b 为两个连续的整数，且=+b a ．33．已知：2,3=-=+ab b a ,则=+22ab b a ____ ____ ．34．若2132m m x y ++＝，＝,则用x 的代数式表示y 为 ． 35．若,21,3==n ma a则=-n m a 32 。

2024成都中考数学二轮复习专题二次函数——阿氏圆、胡不归问题专项训练（学生版）课中讲解模型来源“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.模型建立如图1所示，⊙O的半径为R，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知25R OB =，连接PA、PB，则当“25PA PB+”的值最小时，P点的位置如何确定？解决办法：如图2，在线段OB上截取OC使OC=25R，则可说明△BPO与△PCO相似，则有25PB=PC。

故本题求“PA+25PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。

技巧总结计算PA kPB +的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点P 使得PA kPB +的值最小，解决步骤具体如下：1.如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP ，OB2.计算出这两条线段的长度比OP k OB=3.在OB 上取一点C ，使得OC k OP=，即构造△POM ∽△BOP ，则PC k PB=，PC kPB =4.则=PA kPB PA PC AC ++≥，当A 、P 、C 三点共线时可得最小值例1.已知：如图1，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y 轴交于点C ，点D 为顶点．（1）求抛物线解析式及点D 的坐标；（2）若直线l 过点D ，P 为直线l 上的动点，当以A 、B 、P 为顶点所作的直角三角形有．且只有三个时，求直线l 的解析式；（3）如图2，E 为OB 的中点，将线段OE 绕点O 顺时针旋转得到OE '，旋转角为(090)αα︒<<︒，连接E B '、E C '，当12E B E C '+'取得最小值时，求直线BE '与抛物线的交点坐标．例2.如图，顶点为C 的抛物线2(0)y ax bx a =+>经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，连接OC 、OA 、AB ，已知2OA OB ==，120AOB ∠=︒．（1）求这条抛物线的表达式；（2）过点C 作CE OB ⊥，垂足为E ，点P 为y 轴上的动点，若以O 、C 、P 为顶点的三角形与AOE ∆相似，求点P 的坐标；（3）若将（2）的线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE '，旋转角为(0120)αα︒<<︒，连接E A '、E B '，求12E A E B '+'的最小值．过关检测1.如图，直线:33=-+与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线l y x224(0)=-++<经过点B，交x轴正半轴于点C．y ax ax a a（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M 的横坐标为m，ABM∆的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值及此时动点M的坐标；（3）将点A绕原点旋转得点A'，连接CA'、BA'，在旋转过程中，一动点M从点B出发，沿线段BA'以每秒3个单位的速度运动到A'，再沿线段A C'以每秒1个单位长度的速度运动到C后停止，求点M在整个运动过程中用时最少是多少？2.如图，抛物线()20,y ax bx a b a a b =+--<、为常数与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于B 点，直线AB 的函数关系式为81693y x =+．（1）求该抛物线的函数关系式与C 点坐标；（2）已知点M (),0m 是线段OA 上的一个动点，过点M 作x 轴的垂线l 分别与直线AB 和抛物线交于D 、E 两点，当m 为何值时，△BDE 恰好是以DE 为底边的等腰三角形？（3）在（2）问条件下，当BDE D 恰好是以DE 为底边的等腰三角形时，动点M 相应位置记为点M′，将OM′绕原点O 顺时针旋转得到ON （旋转角在0°到90°之间）；i ：探究：线段OB 上是否存在定点P （P 不与O 、B 重合），无论ON 如何旋转，NP NB 始终保持不变，若存在，试求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；ii ：试求出此旋转过程中，34NA NB 骣琪+琪桫的最小值．学习任务1.如图，抛物线2y x bx c =-++与直线AB 交于(4,4)A --，(0,4)B 两点，直线1:62AC y x =--交y 轴于点C ．点E 是直线AB 上的动点，过点E 作EF x ⊥轴交AC 于点F ，交抛物线于点G ．（1）求抛物线2y x bx c =-++的表达式；（2）连接GB ，EO ，当四边形GEOB 是平行四边形时，求点G 的坐标；（3）①在y 轴上存在一点H ，连接EH ，HF ，当点E 运动到什么位置时，以A ，E ，F ，H 为顶点的四边形是矩形？求出此时点E ，H 的坐标；②在①的前提下，以点E 为圆心，EH 长为半径作圆，点M 为E 上一动点，求12AM CM +它的最小值．2.如图1，抛物线2(3)3(0)y ax a x a =+++≠与x 轴交于点(4,0)A ，与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点(E m ，0)(04)m <<，过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点P ，过点P 作PM AB ⊥于点M ．（1）求a 的值和直线AB 的函数表达式；（2）设PMN ∆的周长为1C ，AEN ∆的周长为2C ，若1265C C =，求m 的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE '，旋转角为(090)αα︒<<︒，连接E A '、E B '，求23E A E B '+'的最小值．胡不归问题课中讲解故事介绍从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？模型建立如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BC V V +的值最小．问题分析121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，记12V k V =，即求BC +kAC 的最小值．问题解决构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，即CH k AC=，CH =kAC ．将问题转化为求BC +CH 最小值，过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．模型总结在求形如“PA +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“PA +kPB ”型问题转化为“PA +PC ”型．而这里的PB 必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB 的等线段．例1.如图，抛物线223y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，过B 的直线交抛物线于E ，且4tan 3EBA ∠=，有一只蚂蚁从A 出发，先以1单位/s 的速度爬到线段BE 上的点D 处，再以1.25单位/s 的速度沿着DE 爬到E 点处觅食，则蚂蚁从A 到E 的最短时间是s ．过关检测1.如图，已知抛物线(2)(4)(8k y x x k =+-为常数，且0)k >与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线33y x b =-+与抛物线的另一交点为D ．（1）若点D 的横坐标为5-，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P ，使得以A ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似，求k 的值；（3）在（1）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止，当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(1,0)A -，(0,B ，(2,0)C ，其对称轴与x 轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，则12PB PD +的最小值为；（3）(,)M x t 为抛物线对称轴上一动点①若平面内存在点N ，使得以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形为菱形，则这样的点N 共有个；3.直线43y x=与抛物线()2343y x m=--+交于A，B两点（其中点A在点B的左侧），与抛物线的对称轴交于点C，抛物线的顶点为D（点D在点C的下方），设点B的横坐标为t（1）求点C的坐标及线段CD的长（用含m的式子表示）；（2）直接用含t的式子表示m与t之间的关系式（不需写出t的取值范围）；（3）若CD＝CB．①求点B的坐标；②在抛物线的对称轴上找一点F，使35BF CF+的值最小，则满足条件的点F的坐标是．学习任务1.如图，抛物线212y x mx n =++与直线132y x =-+交于A ，B 两点，交x 轴于D ，C 两点，连接AC ，BC ，已知(0,3)A ，(3,0)C ．（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan BAC ∠的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA ，过点P 作PQ PA ⊥交y 轴于点Q ，问：是否存在点P 使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与ACB ∆相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设E 为线段AC 上一点（不含端点），连接DE ，一动点M 从点D 出发，沿线段DE 以每秒一个单位速度运动到E 点，再沿线段EA 个单位的速度运动到A 后停止，当点E 的坐标是多少时，点M 在整个运动中用时最少？2.如图1，二次函数21212y x x =-+的图象与一次函数(0)y kx b k =+≠的图象交于A ，B 两点，点A 的坐标为(0,1)，点B 在第一象限内，点C 是二次函数图象的顶点，点M 是一次函数(0)y kx b k =+≠的图象与x 轴的交点，过点B 作x 轴的垂线，垂足为N ，且:1:48AMO AONB S S ∆=四边形．（1）求直线AB 和直线BC 的解析式；（2）点P 是线段AB 上一点，点D 是线段BC 上一点，//PD x 轴，射线PD 与抛物线交于点G ，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，PF BC ⊥于点F ．当PF 与PE 的乘积最大时，在线段AB 上找一点H （不与点A ，点B 重合），使GH 的值最小，求点H 的坐标和22GH BH +的最小值；3.已知抛物线）0)(1)(3(≠-+=a x x a y ，与x 轴从左至右依次相交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，经过点A 的直线b x y +-=3与抛物线的另一个交点为D 。

中考数学二轮专题复习-矩形、菱形及正方形一、单选题1．下列四边形中，对角线互相垂直平分的是（）A．平行四边形、菱形B．矩形、菱形C．矩形、正方形D．菱形、正方形2．下列测量方案中，能确定四边形门框为矩形的是（）A．测量对角线是否互相平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量对角线是否相等D．测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等3．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为（）A．B．C．D．4．如图，有甲、乙、丙三个矩形，其中相似的是（）A．甲与丙B．甲与乙C．乙与丙D．三个矩形都不相似5．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA＝，AE＝3，则tan∠DBE的值是（）A．B．2C．D．6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，E是边AB的中点，连结OE.若菱形ABCD的面积为24，AC＝8，则OE的长为（）A．B．3C．D．57．如图，在正方形ABCD中，E是边BC上一点，且BE：CE＝1：3，DE交AC于点F，若DE＝10，则CF等于()A．B．C．D．8．如图，矩形中，对角线交于点O，，则矩形的面积是（）A．2B．C．D．89．如图，将长、宽分别为6cm，cm的长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P．若∠α＝60°，则折叠后的图案（阴影部分）面积为（）A．cm2 B．（36）cm2C．cm2D．cm210．如图所示，反比例函数的图象经过矩形OABC的边AB的中点，则矩形OABC的面积为（）A．2B．4C．5D．811．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD ，垂足分别为点E，F，连结EF，则△AEF 的面积是（）A．B．C．D．12．如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥EF，DF⊥EF，BE=2.5dm，DF=4dm，那么EF的长为（）A．6.5dm B．6dm C．5.5dm D．4dm13．将一矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上的F处，若，则的值为（）A．B．C．D．14．正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为（）A．6B．8C．10D．915．如图，在矩形ABCD中，对角线、BD交于C，，垂足为E，，那么的面积是（）A．B．C．D．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CI⊥HJ于点I，交AB于K，在图形的外部作矩形MNPQ，使点D，E，G和H，J都落在矩形的边上.已知矩形BJIK的面积为1，正方形ACDE的面积为4，则为（）A．B．C．D．17．如图，正方形的边长为a，点E在边上运动（不与点A，B重合），，点F在射线上，且与相交于点G，连接．则下列结论：①，② 的周长为 ，③；④当 时，G 是线段 的中点，其中正确的结论是（ ）A ．①②③B ．①④C ．①③④D ．①②③④ 18．如图，菱形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 上的点，AC 与EF 相交于点G ，若， ，则FG 的长为（ ）A ．B ．2C ．3D ．419．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，以△ABC 的各边为边分别作正方形BAHI ，正方形BCFG 与正方形CADE ，延长BG ，FG 分别交AD ，DE 于点K ，J ，连结DH ，IJ.图中两块阴影部分面积分别记为S 1，S 2.若S 1：S 2＝1：4，S 四边形边BAHE ＝18，则四边形MBNJ 的面积为（ ）A．5B．6C．8D．920．如图，在Rt△ABC中，∠CBA＝60°，斜边AB＝10，分别以△ABC的三边长为边在AB上方作正方形，S1，S2，S3，S4，S5分别表示对应阴影部分的面积，则S1+S2+S3+S4+S5＝（）A．50B．50C．100D．100二、填空题21．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC=OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是正方形，那么所添加的条件可以是(写出一个即可)22．如图，分别以Rt△ABC三边构造三个正方形，面积分别为S1，S2，S3，若S1=15，S3=39，则S2=.23．如图，在平面直角坐标系中，点A1（1，0）、A2（3，0）、A3（6，0）、A4（10，0）、……，以A1A2为对角线作第一个正方形A1C1A2B1，以A2A3为对角线作第二个正方形A2C2A3B2，以A3A4，为对角线作第三个正方形A3C3A4B3，……，顶点B1，B2，B3……都在第一象限，按照此规律依次下去，则点Bn的坐标为.24．如图，菱形ABCD的对角线，BD相交于点，，，以AB为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为.25．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为.26．建党100周年主题活动中，702班浔浔设计了如图1的“红色徽章”其设计原理是：如图2，在边长为的正方形四周分别放置四个边长为的小正方形，构造了一个大正方形，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标.现将阴影部分图形面积记作，每一个边长为的小正方形面积记作，若，则的值是.27．如图，正方形ABCD的边长为4，P是边CD上的一动点，EF⊥BP交BP于G，且EF平分正方形ABCD的面积，则线段GC的最小值是.28．正方形ABCD的边长为4，点E是BC边上的一动点，连结AE，过点B作BF⊥AE于点F，以BF为边作正方形FBHG，当点E从B运动到C时，求CF的最短距离为；线段HG扫过的面积为29．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，将△BCD沿射线BD平移长度a（a＞0）得到△B'C'D'，连接AB'，AD'，则当△AB'D'是直角三角形时，a的长为.30．如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝15，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ＝16，以PQ 为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为．三、计算题31．如图，在中，，D为的中点，，，连接交于点O.（1）证明：四边形为菱形；（2）若，，求菱形的高.32．如图，已知在矩形ABCD中，AB=6，BC=2，点E，F分别在边CD，AB上，且DE=BF.（1）求证:四边形AFCE是平行四边形；（2）若□AFCE是菱形，求菱形AFCE的边长.四、解答题33．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，AD＝BC，求证：四边形EFGH是菱形．34．如图，矩形ABCD中，BC=4，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转得到矩形A′B′C′D′，此时点B′恰好落在边AD上．连接B′B，若∠AB′B=75°，求旋转角及AB长．35．如图，△ABC中，点D是边AC的中点，过D作直线PQ∥BC，∠BCA的平分线交直线PQ于点E，点G是△ABC的边BC延长线上的点，∠ACG的平分线交直线PQ于点F．求证：四边形AECF是矩形．36．在几何探究问题中，经常需要通过作辅助线（如，连接两点，过某点作垂线，作延长线，作平行线等等）把分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的.（1）（探究发现）如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，，连接EF.通过探究，可发现BE，EF，DF之间的数量关系为（直接写出结果）.（2）（验证猜想）同学们讨论得出下列三种证明思路（如图1）：思路一：过点A作，交CD的延长线于点G.思路二：过点A作，并截取，连接DG.思路三：延长CD至点G，使，连接AG.请选择你喜欢的一种思路证明（探究发现）中的结论.（3）（迁移应用）如图2，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且，，设，试用含的代数式表示DF的长.37．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO＝30°．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2．（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；（Ⅱ）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C′O′D′E′，点C，O，D，E的对应点分别为C′，O′，D′，E′．设OO′＝t，矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分的面积为S．①如图②，当矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分为五边形时，C′E′，E′D′分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②当≤S≤5 时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．38．阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图①，在等边中，是边上一点(不含端点)，是的外角的平分线上一点，且.求证：.点拨：如图②，作，与的延长线相交于点，得等边，连接.易证：，可得；又，则，可得；由，进一步可得又因为，所以，即：.问题：如图③，在正方形中，是边上一点(不含端点)，是正方形的外角的平分线上一点，且.求证：.五、综合题39．将绕点A按逆时针方向旋转度，并使各边长变为原来的n倍，得，如图①，我们将这种变换记为.（1）如图①，对作变换得，则；直线与直线所夹的锐角为度；（2）如图②，中，，对作变换得，使点B、C、在同一直线上，且四边形为矩形，求和n的值；（3）如图③，中，，对作变换得，使点B、C、在同一直线上，且四边形为平行四边形，求和n的值. 40．如图（1）如图1，正方形ABCD与调研直角△AEF有公共顶点A，∠EAF＝90°，连接BE、DF，将△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE、DF相交所成的角为β，则＝；β＝；（2）如图2，矩形ABCD与Rt△AEF有公共顶点A，∠EAF＝90°，且AD＝2AB，AF＝2AE，连接BE、DF，将Rt△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE、DF相交所成的角为β，请求出的值及β的度数，并结合图2进行说明；（3）若平行四边形ABCD与△AEF有公共项点A，且∠BAD＝∠EAF＝α(0°＜α＜180°)，AD＝kAB，AF＝kAE(k≠0)，将△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE、DF相交所成的锐角的度数为β，则：①＝；②请直接写出α和β之间的关系式．答案解析部分【解析】【解答】解：∵平行四边形对角线互相平分，菱形对角线互相垂直平分，矩形对角线互相平分且相等，正方形对角线互相垂直平分且相等，∴A、B、C不符合题意，D符合题意.故答案为：D.【分析】根据平行四边形对角线互相平分，菱形对角线互相垂直平分，矩形对角线互相平分且相等，正方形对角线互相垂直平分且相等，即可得出答案.【解析】【解答】解：A、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，而对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，∴选项A不符合题意；B、∵两组对边分别相等是平行四边形，∴选项B不符合题意；C、∵对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，∴对角线相等的四边形不是矩形，∴选项C不符合题意；D、∵对角线交点到四个顶点的距离都相等，∴对角线互相平分且相等，∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴选项D符合题意.故答案为：D.【分析】利用对角线互相平分且相等的四边形是矩形，可作出判断.【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴∠BHD=90°，∴BD=2OH，∵OH=2，∴BD=4，∵OA=3，∴AC=6，∴菱形ABCD的面积．故答案为：A．【分析】根据菱形的性质和直角三角形斜边上的中线定理求出对角线的长即可求出菱形的面积。

中考数学几何模型：胡不归最值模型名师点睛拨开云雾开门见山在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA +PB 最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA +kP ”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题；（2）阿氏圆．【故事介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）而如果先沿着驿道AC 先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？【模型建立】如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BC V V 的值最小．【问题分析】121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，记12V k V =，即求BC +kAC 的最小值．【问题解决】构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，即CH k AC=，CH =kAC．将问题转化为求BC +CH 最小值，过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC最小．【模型总结】在求形如“PA +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“PA +kPB ”型问题转化为“PA +PC ”型．而这里的PB 必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB 的等线段．典题探究启迪思维探究重点例题1.如图，△ABC 中，AB =AC =10，tan A =2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD +的最小值是_______．【分析】本题关键在于处理“5BD ”，考虑tan A =2，△ABE 三边之比为1:2sin 5ABE ∠，故作DH ⊥AB 交AB 于H 点，则5DH BD =．问题转化为CD +DH 最小值，故C 、D 、H共线时值最小，此时CD DH CH BE +===．【小结】本题简单在于题目已经将BA 线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线DH ，即可解决问题，若稍作改变，将图形改造如下：则需自行构造α，如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关键所在．变式练习>>>1．如图，平行四边形ABCD 中，∠DAB =60°，AB =6，BC =2，P 为边CD 上的一动点，则2PB +的最小值等于________．【分析】考虑如何构造“32PD ”，已知∠A =60°，且sin60°=32，故延长AD ，作PH ⊥AD 延长线于H 点，即可得3PH，将问题转化为：求PB +PH 最小值．当B 、P 、H 三点共线时，可得PB +PH 取到最小值，即BH 的长，解直角△ABH 即可得BH 长．例题2.如图，AC 是圆O 的直径，AC ＝4，弧BA ＝120°，点D 是弦AB 上的一个动点，那么OD +BD 的最小值为（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：∵的度数为120°，∴∠C ＝60°，∵AC 是直径，∴∠ABC ＝90°，∴∠A ＝30°，作BK ∥CA ，DE ⊥BK 于E ，OM ⊥BK 于M ，连接OB ．∵BK ∥AC ，∴∠DBE ＝∠BAC ＝30°，在Rt △DBE 中，DE ＝BD ，∴OD +BD ＝OD +DE ，根据垂线段最短可知，当点E 与M 重合时，OD +BD 的值最小，最小值为OM ，∵∠BAO ＝∠ABO ＝30°，∴∠OBM ＝60°，在Rt △OBM 中，∵OB ＝2，∠OBM ＝60°，∴OM ＝OB •sin60°＝，∴DB +OD 的最小值为，故选：B ．变式练习>>>2．如图，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP的最小值为2，则BC＝﹣．【解答】解：如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG．连接PG，CM．∵AB＝AC，AH⊥BC，∴∠BAP＝∠CAP，∵PA＝PA，∴△BAP≌△CAP（SAS），∴PC＝PB，∵MG＝PB，AG＝AP，∠GAP＝60°，∴△GAP是等边三角形，∴PA＝PG，∴PA+PB+PC＝CP+PG+GM，∴当M，G，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长，∵AP+BP+CP的最小值为2，∴CM＝2，∵∠BAM＝60°，∠BAC＝30°，∴∠MAC＝90°，∴AM＝AC＝2，作BN⊥AC于N．则BN＝AB＝1，AN＝，CN＝2﹣，∴BC＝＝＝﹣．故答案为﹣．例题3.等边三角形ABC的边长为6，将其放置在如图所示的平面直角坐标系中，其中BC 边在x轴上，BC边的高OA在Y轴上．一只电子虫从A出发，先沿y轴到达G点，再沿GC到达C点，已知电子虫在Y轴上运动的速度是在GC上运动速度的2倍，若电子虫走完全程的时间最短，则点G的坐标为（0，）．【解答】解：如图作GM⊥AB于M，设电子虫在CG上的速度为v，电子虫走完全全程的时间t＝+＝（+CG），在Rt△AMG中，GM＝AG，∴电子虫走完全全程的时间t＝（GM+CG），当C、G、M共线时，且CM⊥AB时，GM+CG最短，此时CG＝AG＝2OG，易知OG＝•×6＝所以点G的坐标为（0，﹣）．故答案为：（0，﹣）．变式练习>>>3．如图，△ABC在直角坐标系中，AB＝AC，A（0，2），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）解：假设P在AD的速度为3V，在CD的速度为1V，总时间t＝+＝（+CD），要使t最小，就要+CD最小，因为AB＝AC＝3，过点B作BH⊥AC交AC于点H，交OA于D，易证△ADH∽△ACO，所以＝＝3，所以＝DH，因为△ABC是等腰三角形，所以BD＝CD，所以要+CD最小，就是要DH+BD最小，就要B、D、H三点共线就行了．因为△AOC∽△BOD，所以＝，即＝，所以OD＝，所以点D的坐标应为（0，）．例题4.直线y＝与抛物线y＝（x﹣3）2﹣4m+3交于A，B两点（其中点A在点B的左侧），与抛物线的对称轴交于点C，抛物线的顶点为D（点D在点C的下方），设点B的横坐标为t（1）求点C的坐标及线段CD的长（用含m的式子表示）；（2）直接用含t的式子表示m与t之间的关系式（不需写出t的取值范围）；（3）若CD＝CB．①求点B的坐标；②在抛物线的对称轴上找一点F，使BF+CF的值最小，则满足条件的点F的坐标是（3，）．【解答】解：（1）抛物线y＝（x﹣3）2﹣4m+3的对称轴为x＝3，令x＝3，则有y＝×3＝4，即点C的坐标为（3，4）．抛物线y＝（x﹣3）2﹣4m+3的顶点D的坐标为（3，﹣4m+3），∵点D在点C的下方，∴CD＝4﹣（﹣4m+3）＝4m+1．（2）∵点B在直线y＝上，且其横坐标为t，则点B的坐标为（t，t），将点B的坐标代入抛物线y＝（x﹣3）2﹣4m+3中，得：t＝（t﹣3）2﹣4m+3，整理，得：m＝﹣t+3．（3）①依照题意画出图形，如图1所示．过点C作CE∥x轴，过点B作BE∥y轴交CE于点E．∵直线BC的解析式为y＝x，∴BE＝CE，由勾股定理得：BC＝＝CE．∵CD＝CB，∴有4m+1＝（t﹣3）＝（+﹣3），解得：m＝﹣4，或m＝1．当m＝﹣4时，+4×（﹣4）＝﹣＜0，不合适，∴m＝1，此时t＝+＝6，y＝×6＝8．故此时点B的坐标为（6，8）．②作B点关于对称轴的对称点B′，过点F作FM⊥BC于点M，连接B′M、BB交抛物线对称轴于点N，如图2所示．∵直线BC 的解析式为y ＝x ，FM ⊥BC ，∴tan ∠FCM ＝＝，∴sin ∠FCM ＝．∵B 、B ′关于对称轴对称，∴BF ＝B ′F ，∴BF +CF ＝B ′F +FM ．当点B ′、F 、M 三点共线时B ′F +FM 最小．∵B 点坐标为（6，8），抛物线对称轴为x ＝3，∴B ′点的坐标为（0，8）．又∵B ′M ⊥BC ，∴tan ∠NB ′F ＝，∴NF ＝B ′N •tan ∠NB ′F ＝，∴点F 的坐标为（3，）．故答案为：（3，）．变式练习>>>4．如图1，在平面直角坐标系中将y ＝2x +1向下平移3个单位长度得到直线l 1，直线l 1与x 轴交于点C ；直线l 2：y ＝x +2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，且与直线l 1交于点D ．（1）填空：点A 的坐标为（﹣2，0），点B 的坐标为（0，2）；（2）直线l 1的表达式为y ＝2x ﹣2；（3）在直线l 1上是否存在点E ，使S △AOE ＝2S △ABO ？若存在，则求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．（4）如图2，点P 为线段AD 上一点（不含端点），连接CP ，一动点H 从C 出发，沿线段CP 以每秒1个单位的速度运动到点P ，再沿线段PD 以每秒个单位的速度运动到点D 后停止，求点H 在整个运动过程中所用时间最少时点P 的坐标．【解答】解：（1）直线l 2：y ＝x +2，令y ＝0，则x ＝﹣2，令y ＝0，则x ＝2，故答案为（﹣2，0）、（0，2）；（2）y ＝2x +1向下平移3个单位长度得到直线l 1，则直线l 1的表达式为：y ＝2x ﹣2，故：答案为：y ＝2x ﹣2；（3）∵S △AOE ＝2S △ABO ，∴y E ＝2OB ＝4，将y E ＝4代入l 1的表达式得：4＝2x ﹣2，解得：x ＝3，则点E 的坐标为（3，4）；（4）过点P、C分别作y轴的平行线，分别交过点D作x轴平行线于点H、H′，H′C交BD于点P′，直线l2：y＝x+2，则∠ABO＝45°＝∠HBD，PH＝PD，点H在整个运动过程中所用时间＝+＝PH+PC，当C、P、H在一条直线上时，PH+PC最小，即为CH′＝6，点P坐标（1，3），故：点H在整个运动过程中所用最少时间为6秒，此时点P的坐标（1，3）．例题5.已知抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一个交点为D．（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；（2）若在（1）的条件下，抛物线上存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形，求点P的坐标；（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？【解答】解：（1）∵y＝a（x+3）（x﹣1），∴点A的坐标为（﹣3，0）、点B两的坐标为（1，0），∵直线y＝﹣x+b经过点A，∴b＝﹣3，∴y＝﹣x﹣3，当x＝2时，y＝﹣5，则点D的坐标为（2，﹣5），∵点D在抛物线上，∴a（2+3）（2﹣1）＝﹣5，解得，a＝﹣，则抛物线的解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵A的坐标为（﹣3，0），C（0，3），∴直线AC的解析式为：y＝x+3，①∵△ACP是以AC为直角边的直角三角形，∴CP⊥AC，∴设直线CP的解析式为：y＝﹣x+m，把C（0，3）代入得m＝3，∴直线CP的解析式为：y＝﹣x+3，解得，（不合题意，舍去），∴P（﹣，）；②∵△ACP是以AC为直角边的直角三角形，∴AP⊥AC，∴设直线CP的解析式为：y＝﹣x+n，把A（﹣3，0）代入得n＝﹣，∴直线AP的解析式为：y＝﹣x﹣，解y＝得，，∴P（，﹣），综上所述：点P的坐标为（﹣，）或（，﹣）；（3）如图2中，作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F，则tan∠DAN＝＝＝，∴∠DAN＝60°，∴∠EDF＝60°，=BE+EF，∴DE＝＝EF，∴Q的运动时间t＝+＝BE+2∴当BE和EF共线时，t最小，则BE⊥DM，此时点E坐标（1，﹣4）．变式练习>>>5．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A（2，0）、B（﹣8，0），交y轴于点C，过点A、B、C三点的⊙M与y轴的另一个交点为D．（1）求此抛物线的表达式及圆心M的坐标；（2）设P为弧BC上任意一点（不与点B，C重合），连接AP交y轴于点N，请问：AP•AN 是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；（3）延长线段BD交抛物线于点E，设点F是线段BE上的任意一点（不含端点），连接AF．动点Q从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到点F，再沿线段FB 以每秒个单位的速度运动到点B后停止，问当点F的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？【解答】解：（1）抛物线解析式为y＝﹣（x+8）（x﹣2），即y＝﹣x2﹣x+4；当x＝0时，y＝﹣x2﹣x+4＝4，则C（0，4）∴BC＝4，AC＝2，AB＝10，∵BC2+AC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，∴AB为直径，∴圆心M点的坐标为（﹣3，0）；（2）以AP•AN为定值．理由如下：如图1，∵AB为直径，∴∠APB＝90°，∵∠APB＝∠AON，∠NAO＝∠BAP，∴△APB∽△AON．∴AN：AB＝AO：AP，∴AN•AP＝AB•AO＝20，所以AP•AN为定值，定值是20；（3）∵AB⊥CD，∴OD＝OC＝4，则D（0，﹣4），易得直线BD的解析式为y＝﹣x﹣4，过F点作FG⊥x轴于G，如图2，∵FG∥OD，∴△BFG∽△BDO，∴＝，即＝＝＝，∴点Q沿线段FB以每秒个单位的速度运动到点B所用时间等于点Q以每秒1个单位的速度运动到G点的时间，∴当AF+FG的值最小时，点Q在整个运动过程中所用时间最少，作∠EBI＝∠ABE，BI交y轴于I，作FH⊥BI于H，则FH＝FG，∴AF+FG＝AF+FH，当点A、F、H共线时，AF+FH的值最小，此时AH⊥BI，如图2，作DK⊥BI，垂足为K，∵BE平分∠ABI，∴DK＝DO＝4，设DI＝m，∵∠DIK＝∠BIO，∴△IDK∽△IBO，∴＝＝＝，∴BI＝2m，在Rt△OBI中，82+（4+m）2＝（2m）2，解得m1＝4（舍去），m2＝，∴I（0，﹣），设直线BI的解析式为y＝kx+n，把B （﹣8，0），I （0，﹣）代入得，解得，∴直线BI 的解析式为y ＝﹣x ﹣，∵AH ⊥BI ，∴直线AH 的解析式可设为y ＝x +q ，把A （2，0）代入得+q ＝0，解得q ＝﹣，∴直线AH 的解析式为y ＝x ﹣，解方程组，解得，∴F （﹣2，﹣3），即当点F 的坐标是（﹣2，﹣3）时，点Q 在整个运动过程中所用时间最少．达标检测领悟提升强化落实1.如图，在平面直角坐标系中，点()3,3A ，点P 为x 轴上的一个动点，当OP AP 21+最小时，点P 的坐标为___________.[答案]：()0,2P 2.如图，四边形ABCD 是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，点M 为对角线BD （不含点B ）上的一动点，则BM AM 21 的最小值为___________.[答案]：323.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点A （﹣1，0），B （0，﹣），C （2，0），其对称轴与x 轴交于点D ．（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）点M 为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点N ，使得以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形为菱形，求点M 的坐标；（3）若P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，求PB +PD 的最小值．【解答】解：（1）由题意，解得，∴抛物线解析式为y ＝x 2﹣x ﹣，∵y ＝x 2﹣x ﹣＝（x ﹣）2﹣，∴顶点坐标（，﹣）；（2）设点M 的坐标为（，y ）．∵A （﹣1，0），B （0，﹣），∴AB 2＝1+3＝4．①以A 为圆心AB 为半径画弧与对称轴有两个交点，此时AM ＝AB ，则（+1）2+y 2＝4，解得y ＝±，即此时点M 的坐标为（，）或（，﹣）；②以B 为圆心AB 为半径画弧与对称轴有两个交点，此时BM ＝AB ，则（）2+（y +）2＝4，解得y ＝﹣+或y ＝﹣﹣，即此时点M的坐标为（，﹣+）或（，﹣﹣）；③线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM＝BM，则（+1）2+y2＝（）2+（y+）2，解得y＝﹣，即此时点M的坐标为（，﹣）．综上所述，满足条件的点M的坐标为（，）或（，﹣）或（，﹣+）或（，﹣﹣）或（，﹣）；（3）如图，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB+PD最小．理由：∵OA＝1，OB＝，∴tan∠ABO＝＝，∴∠ABO＝30°，∴PH＝PB，∴PB+PD＝PH+PD＝DH，∴此时PB+PD最短（垂线段最短）．在Rt△ADH中，∵∠AHD＝90°，AD＝，∠HAD＝60°，∴sin60°＝，∴DH＝，∴PB+PD的最小值为．4.【问题提出】如图①，已知海岛A到海岸公路BD的距离为AB的长度，C为公路BD上的酒店，从海岛A到酒店C，先乘船到登陆点D，船速为a，再乘汽车，车速为船速的n 倍，点D选在何处时，所用时间最短？【特例分析】若n＝2，则时间t＝+，当a为定值时，问题转化为：在BC上确定一点D，使得+的值最小．如图②，过点C做射线CM，使得∠BCM＝30°．（1）过点D作DE⊥CM，垂足为E，试说明：DE＝；（2）请在图②中画出所用时间最短的登陆点D′．【问题解决】（3）请你仿照“特例分析”中的相关步骤，解决图①中的问题．（写出具体方案，如相关图形呈现、图形中角所满足的条件、作图的方法等）【综合运用】（4）如图③，抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，E为OB中点，设F为线段BC上一点（不含端点），连接EF．一动点P从E出发，沿线段EF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿着线段FC以每秒个单位的速度运动到C后停止．若点P在整个运动过程中用时最少，请求出最少时间和此时点F的坐标．【解答】解：（1）如图①，∵DE⊥CM，∴∠DEC＝90°，在Rt△BCM中，DE＝CD sin30°＝CD；（2）如图①过点A作AE′⊥CM交BC于点D′，则点D′即为所用时间最短的登陆点；（3）如图②，过点C作射线CM，使得sin∠BCM＝，过点A作AE⊥CM，垂足为E交BC于点D，则点D为为所用时间最短的登陆点；（4）由题意得：t＝＝EF+CF，过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，过点F作GF⊥CD交CD于点G，∠ACB＝∠DCB＝α，sin∠ABC＝＝，则EF＝CF，EF+CF＝EF+FH，故当E、F、H三点共线且与CD垂直时，t最小，将点B、C坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，点E是OB中点，其坐标为：（3，0），当x＝3时，对于y＝﹣x+3，y＝，点F坐标为（3，），t＝＝EF+CF，当H、F、E三点共线时，EF+FH＝OC＝3，即：最小时间为3秒．5.如图，△ABC是等边三角形．（1）如图1，AH⊥BC于H，点P从A点出发，沿高线AH向下移动，以CP为边在CP 的下方作等边三角形CPQ，连接BQ．求∠CBQ的度数；（2）如图2，若点D为△ABC内任意一点，连接DA，DB，DC．证明：以DA，DB，DC为边一定能组成一个三角形；（3）在（1）的条件下，在P点的移动过程中，设x＝AP+2PC，点Q的运动路径长度为y，当x取最小值时，写出x，y的关系，并说明理由．【解答】（1）解：如图1中∵△ABC是等边三角形，AH⊥BC，∴∠CAP＝∠BAC＝30°，CA＝CB，∠ACB＝60°，∵△PCQ是等边三角形，∴CP＝CQ，∠PCQ＝∠ACB＝60°，∴∠ACP＝∠BCQ，∴△ACP≌△BCQ，∴∠CBQ＝∠CAP＝30°．（2）证明：如图2中，将△ADC绕当A顺时针旋转60°得到△ABQ，连接DQ．∵△ACD≌△ABQ，∴AQ＝AD，CD＝BQ，∵∠DAQ＝60°，∴△ADQ是等边三角形，∴AD＝DQ，∴DA，DB，DC为边一定能组成一个三角形（图中△BDQ）．（3）如图3中，作PE⊥AB于E，CF⊥AB于F交AH于G．∵PE＝PA，∴PA+2PC＝2（PA+PC）＝2（PE+PC），根据垂线段最短可知，当E与F重合，P与G重合时，PA+2PC的值最小，最小值为2CF．由（1）可知△ACP≌△BCQ，可得BQ＝PA，∴PA＝BQ＝AG＝CG＝y，FG＝y，∴x＝2（y+y），∴y＝x．6.如图，已知抛物线y＝（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？【解答】解：（1）抛物线y＝（x+2）（x﹣4），令y＝0，解得x＝﹣2或x＝4，∴A（﹣2，0），B（4，0）．∵直线y＝﹣x+b经过点B（4，0），∴﹣×4+b＝0，解得b＝，∴直线BD解析式为：y＝﹣x+．当x＝﹣5时，y＝3，∴D（﹣5，3）．∵点D（﹣5，3）在抛物线y＝（x+2）（x﹣4）上，∴（﹣5+2）（﹣5﹣4）＝3，∴k＝．∴抛物线的函数表达式为：y＝（x+2）（x﹣4）．即y＝x2﹣x﹣．（2）由抛物线解析式，令x＝0，得y＝﹣k，∴C（0，﹣k），OC＝k．因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．①若△ABC∽△APB，则有∠BAC＝∠PAB，如答图2﹣1所示．设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON＝x，PN＝y．tan∠BAC＝tan∠PAB，即：，∴y＝x+k．∴P（x，x+k），代入抛物线解析式y＝（x+2）（x﹣4），得（x+2）（x﹣4）＝x+k，整理得：x2﹣6x﹣16＝0，解得：x＝8或x＝﹣2（与点A重合，舍去），∴P（8，5k）．∵△ABC∽△APB，∴，即，解得：k＝．②若△ABC∽△PAB，则有∠ABC＝∠PAB，如答图2﹣2所示．设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON＝x，PN＝y．tan∠ABC＝tan∠PAB，即：＝，∴y＝x+．∴P（x，x+），代入抛物线解析式y＝（x+2）（x﹣4），得（x+2）（x﹣4）＝x+，整理得：x2﹣4x﹣12＝0，解得：x＝6或x＝﹣2（与点A重合，舍去），∴P（6，2k）．∵△ABC∽△PAB，＝，∴＝，解得k＝±，∵k＞0，∴k＝，综上所述，k＝或k＝．（3）方法一：如答图3，由（1）知：D（﹣5，3），如答图2﹣2，过点D作DN⊥x轴于点N，则DN＝3，ON＝5，BN＝4+5＝9，∴tan∠DBA＝＝＝，∴∠DBA＝30°．过点D作DK∥x轴，则∠KDF＝∠DBA＝30°．过点F作FG⊥DK于点G，则FG＝DF．由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t＝AF+DF，∴t＝AF+FG，即运动的时间值等于折线AF+FG的长度值．由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段．过点A作AH⊥DK于点H，则t＝AH，AH与直线BD的交点，即为所求之F点．最小∵A点横坐标为﹣2，直线BD解析式为：y＝﹣x+，∴y＝﹣×（﹣2）+＝2，∴F（﹣2，2）．综上所述，当点F坐标为（﹣2，2）时，点M在整个运动过程中用时最少．方法二：作DK∥AB，AH⊥DK，AH交直线BD于点F，∵∠DBA＝30°，∴∠BDH＝30°，∴FH＝DF×sin30°＝，∴当且仅当AH⊥DK时，AF+FH最小，点M在整个运动中用时为：t＝，∵l BD：y＝﹣x+，∴F X＝A X＝﹣2，∴F（﹣2，）．7.已如二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象和x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，（1）如图1，P是直线BC上方抛物线上一动点（不与B、C重合）过P作PQ∥x轴交直线BC于Q，求线段PQ的最大值；（2）如图2，点G为线段OC上一动点，求BG+CG的最小值及此时点G的坐标；（3）如图3，在（2）的条件下，M为直线BG上一动点，N为x轴上一动点，连接AM，MN，求AM+MN的最小值．【解答】解：（1）令y＝0，即：﹣x2+2x+3＝0，解得：x＝3或﹣1，即点A、B的坐标分比为（﹣1，0）、（3，0），令x＝0，则y＝3，则点C的坐标为（0，3），直线BC过点C（0，3），则直线表达式为：y＝kx+3，将点B坐标代入上式得：0＝3k+3，解得：k＝﹣1，则直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点P的坐标为（m，n），n＝﹣m2+2m+3，则点Q坐标为（3﹣n，n），则PQ＝m﹣（3﹣n）＝﹣m2+3m，∵a＝﹣1＜0，则PQ有最大值，当m＝﹣＝，PQ取得最大值为；（2）过直线CG作∠GCH＝α，使CH⊥GH，当sinα＝时，HG＝GC，则BG+CG的最小值即为HG+GB的最小值，当B、H、G三点共线时，HG+GB最小，则∠GBO＝α，∵sinα＝，则cosα＝，tanα＝，OG＝OB•tanα＝3×＝，即点G（0，），CG＝3﹣＝，而BG＝，BG+CG的最小值为：；（3）作点A关于直线BG的对称点A′，过A′作A′N⊥x轴，交BG于点M，交x轴于点N，则此时AM+MN取得最小值，即为A′N的长度，则：∠GBA＝∠AA′N＝∠OGB＝α，AA′＝2AB sin∠ABG＝2×4×sinα＝，A′N＝A′A cosα＝×＝，即：AM+MN的最小值为．8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，点D、F分别是边AB，BC上的动点，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF+FB 的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：延长AC到点P，使CP＝AC，连接BP，过点F作FH⊥BP于点H，取AC 中点O，连接OG，过点O作OQ⊥BP于点Q，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝4，∴AC＝CP＝2，BP＝AB＝4∴△ABP是等边三角形，∴∠FBH＝30°∴Rt△FHB中，FH＝FB∴当G、F、H在同一直线上时，GF+FB＝GF+FH＝GH取得最小值∵AE⊥CD于点G，∴∠AGC＝90°∵O为AC中点，∴OA＝OC＝OG＝AC∴A、C、G三点共圆，圆心为O，即点G在⊙O上运动∴当点G运动到OQ上时，GH取得最小值∵Rt △OPQ 中，∠P ＝60°，OP ＝3，sin ∠P ＝∴OQ ＝OP ＝，∴GH 最小值为故选：C ．9.抛物线263y x x =--+x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ．点P 是直线AC 上方抛物线上一点，PF ⊥x 轴于点F ，PF 与线段AC 交于点E ；将线段OB 沿x 轴左右平移，线段OB 的对应线段是O 1B 1，当12PE EC +的值最大时，求四边形PO 1B 1C 周长的最小值，并求出对应的点O 1的坐标．【分析】根据抛物线解析式得A ()-、B)、C (，直线AC 的解析式为：y =+AC 与x 轴夹角为30°．根据题意考虑，P 在何处时，PE +2EC 取到最大值．过点E 作EH ⊥y 轴交y 轴于H 点，则∠CEH =30°，故CH =2EC ，问题转化为PE +CH 何时取到最小值．考虑到PE 于CH 并无公共端点，故用代数法计算，设2623,63P m m m ⎛-+ ⎝，则33E m m ⎛+ ⎝，33H m ⎛ ⎝，26PE m =--，3CH =-，22=6363PE CH m +=---++∴当PE +EC 的值最大时，x ＝﹣2，此时P （﹣2，），∴PC ＝2，∵O 1B 1＝OB ＝，∴要使四边形PO 1B 1C 周长的最小，即PO 1+B 1C 的值最小，如图2，将点P 向右平移个单位长度得点P 1（﹣，），连接P 1B 1，则PO 1＝P 1B 1，再作点P 1关于x 轴的对称点P 2（﹣，﹣），则P 1B 1＝P 2B 1，∴PO 1+B 1C ＝P 2B 1+B 1C ，∴连接P 2C 与x 轴的交点即为使PO 1+B 1C 的值最小时的点B 1，∴B1（﹣，0），将B1向左平移个单位长度即得点O1，此时PO1+B1C＝P2C＝＝，对应的点O1的坐标为（﹣，0），∴四边形PO1B1C周长的最小值为+3.。

费马点求最小值内容导航方法点拨△APC≌△AQE，且△APQ为等边三角形，∴PC=QE，AP=PQ∴AP+BP+CP=BP+PQ+QE当B、P、Q、E共线时，AP+BP+CP和最小例题演练题组1：费马点在三角形中运用例1．如图，在△ABC中，P为平面内一点，连结PA，PB，PC，分别以PC和AC为一边向右作等边三角形△PCM和△ACD．【探究】求证：PM＝PC，MD＝PA【应用】若BC＝a，AC＝b，∠ACB＝60°，则PA+PB+PC的最小值是（用a，b表示）【解答】【探究】证明：∵以PC和AC为一边向右作等边三角形△PCM和△ACD，∴PM＝PC，AC＝CD，PC＝CM，∠PCM＝∠ACD＝60°，∴∠PCA＝∠MCD，在△ACP和△DCM中，，∴△ACP≌△DCM（SAS），∴MD＝PA；【应用】解：连接BD，如图所示：∵△APC≌△DCM，∴∠ACP＝∠DCM，AC＝CD＝b，∴∠ACP+∠PCB＝∠DCM+∠PCB，∴∠DCM+∠PCB＝∠ACB＝60°，∴∠BCD＝∠DCM+∠PCB+∠PCM＝60°+60°＝120°，作DF⊥BC于F，则∠CFD＝90°，在Rt△CDF中，∵∠DCF＝180°﹣120°＝60°，CD＝b，∴∠CDF＝30°，∴CF＝AC＝b，DF＝CF＝b，∴BF＝a+b，∴BD＝＝＝；当B、P、M、D共线时，PA+PB+PC的值最小，即PA+PB+PC的最小值为：；故答案为：．练1.1问题提出（1）如图①，在△ABC中，BC＝2，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△A′B′C′，则CC′＝；问题探究（2）如图②，在△ABC中，AB＝BC＝3，∠ABC＝30°，点P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值，并说明理由；问题解决（3）如图③，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，AD＝4，∠ABC＝∠BCD＝60°．在四边形ABCD内部有一点，满足∠APD＝120°，连接BP、CP，点Q为△BPC内的任意一点，是否存在一点P和一点Q，使得PQ+BQ+CQ有最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）如图①，由旋转的性质可知：△BCC′是等边三角形，∴CC′＝BC＝2，故答案为2．（2）如图②，将△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△BFE，连接PF，EC．由旋转的性质可知：△PBF是等边三角形，∴PB＝PF，∵PA＝EF，∴PA+PB+PC＝PC+PF+EF，∵PC+PF+EF≥EC，∴当P，F在直线EC上时，PA+PB+PC的值最小，易证BC＝BE＝BA＝3，∠CBE＝90°，∵EB⊥BC，∴EC＝BC＝3，∴PA+PB+PC的最小值为3．（3）如图③﹣1中，将△PBQ绕点B逆时针旋转60°得到△EBG，则PQ＝EG，△BQG是等边三角形，∴BQ＝QG，PQ＝EG，∴PQ+BQ+CQ＝EG+GQ+QC≥EC，∴EC的值最小时，QP+QB+QC的值最小，如图③﹣2中，延长BA交CD的延长线于J，作△ADJ的外接圆⊙O，将线段BO，BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BO′，BE，连接EO′，OB，OP．易证△BEO′≌△BPO（SAS），∴EO′＝OP，∵∠APD+∠AJD＝180°，∴A，P，D，J四点共圆，∴OP＝，∴EO′＝，∴点E的运动轨迹是以O′为圆心，为半径的圆，∴当点E在线段CO′上时，EC的值最小，最小值＝CO′﹣EO′，连接OO′，延长OO′到R，使得O′R＝OO′，连接BR，则∠OBR＝90°，作RH⊥CB交CB 的延长线于H，O′T⊥CH于T，OM⊥BC于M．在Rt△OBM中，BM＝5，OM＝，∴OB＝＝，∴BR＝OB＝14，由△BHR∽△OMB，∴＝，∴RH＝5，∵HR∥O′T∥OM，OO′＝RO′，∴TM＝TH，∴O′T＝＝，∴BT＝＝3，∴CO′＝＝，∴CO′﹣EO′＝﹣＝．∴QP+QB+QC的最小值为．题组2：费马点在四边形中运用例2．如图，P为正方形ABCD内的动点，若AB＝2，则PA+PB+PC的最小值为．【解答】解：将△BPC绕点B顺时针旋转60°，得到△BP'C'，∴BP＝BP'，∠PBP'＝60°，△BPC≌△BP'C'，∴△BPP'是等边三角形，PC＝P'C'，∠PBC＝∠P'BC'，BC＝BC'＝2，∴BP＝PP'，∴PA+PB+PC＝AP+PP'+P'C'，∴当线段AP，PP'，P'C'在一条直线上时，PA+PB+PC有最小值，最小值是AC'的长，过点C'作C'E⊥AB交AB的延长线于E，∵∠ABP+∠PBP'+∠P'BC'＝60°+∠ABP+∠PBC＝150°，∴∠EBC'＝30°，∴EC'＝1，BE＝EC'＝，∴AE＝2+，∴AC'＝＝＝+，故答案为：+．练2.1如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意一点，将BM 绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接BN、AM、CM．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）若正方形的边长为，正方形内是否存在一点P，使得PA+PB+PC的值最小？若存在，求出它的最小值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABCD为正方形，△ABE为等边三角形，∴BE＝BA，BA＝BC，∠ABE＝60°；∵∠MBN＝60°，∴BE＝BA，∠MBN＝∠ABE，∴∠MBA＝∠NBE；在△AMB与△ENB中，，∴△AMB≌△ENB（SAS），（2）顺时针旋转△BPC60度，可得△PBE为等边三角形．即得PA+PB+PC＝AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，即如下图：可得最小PA+PB+PC＝AF．BM＝BF•cos30°＝BC•cos30°＝，则AM＝+＝，∵AB＝BF，∠ABF＝150°∴∠BAF＝15°既得AF＝＝+1．例3．如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（0，2），点D在x轴的正半轴上，∠ODB＝30°，OE为△BOD的中线，过B、E两点的抛物线与x轴相交于A、F两点（A在F的左侧）．（1）求抛物线的解析式；（2）等边△OMN的顶点M、N在线段AE上，求AE及AM的长；（3）点P为△ABO内的一个动点，设m＝PA+PB+PO，请直接写出m的最小值，以及m取得最小值时，线段AP的长．【解答】解：（1）过E作EG⊥OD于G（1分）∵∠BOD＝∠EGD＝90°，∠D＝∠D，∴△BOD∽△EGD，∵点B（0，2），∠ODB＝30°，可得OB＝2，；∵E为BD中点，∴∴EG＝1，∴∴点E的坐标为（2分）∵抛物线经过B（0，2）、两点，∴，可得；∴抛物线的解析式为；（3分）（2）∵抛物线与x轴相交于A、F，A在F的左侧，∴A点的坐标为∴，∴在△AGE中，∠AGE＝90°，（4分）过点O作OK⊥AE于K，可得△AOK∽△AEG∴∴∴∴∵△OMN是等边三角形，∴∠NMO＝60°∴；∴，或；（6分）（写出一个给1分）（3）如图；以AB为边做等边三角形AO′B，以OA为边做等边三角形AOB′；易证OE＝OB＝2，∠OBE＝60°，则△OBE是等边三角形；连接OO′、BB′、AE，它们的交点即为m最小时，P点的位置（即费马点）；∵OA＝OB′，∠B′OB＝∠AOE＝150°，OB＝OE，∴△AOE≌△B′OB；∴∠B′BO＝∠AEO；∵∠BOP＝∠EOP′，而∠BOE＝60°，∴∠POP'＝60°，∴△POP′为等边三角形，∴OP＝PP′，∴PA+PB+PO＝AP+OP′+P′E＝AE；＝AE＝；即m最小如图；作正△OBE的外接圆⊙Q，根据费马点的性质知∠BPO＝120°，则∠PBO+∠BOP＝60°，而∠EBO＝∠EOB＝60°；∴∠PBE+∠POE＝180°，∠BPO+∠BEO＝180°；即B、P、O、E四点共圆；易求得Q（，1），则H（，0）；∴AH＝；由割线定理得：AP•AE＝OA•AH，即：AP＝OA•AH÷AE＝×÷＝．故：m可以取到的最小值为当m取得最小值时，线段AP的长为．（如遇不同解法，请老师根据评分标准酌情给分）练3.1如图，抛物线y＝ax2+bx+过点A（1，0），B（5，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）定义：平面上的任一点到二次函数图象上与它横坐标相同的点的距离，称为点到二次函数图象的垂直距离．如：点O到二次函数图象的垂直距离是线段OC的长．已知点E为抛物线对称轴上的一点，且在x轴上方，点F为平面内一点，当以A，B，E，F为顶点的四边形是边长为4的菱形时，请求出点F到二次函数图象的垂直距离．（3）在（2）中，当点F到二次函数图象的垂直距离最小时，在以A，B，E，F为顶点的菱形内部是否存在点Q，使得AQ，BQ，FQ之和最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+过点A（1，0），B（5，0），∴0＝a+b+0＝25a+5b+∴a＝，b＝﹣3∴解析式y＝x2﹣3x+（2）当y＝0，则0＝x2﹣3x+∴x1＝5，x2＝1∴A（1，0），B（5，0）∴对称轴直线x＝3，顶点坐标（3，﹣2），AB＝4∵抛物线与y轴相交于点C．∴C（0，）如图1①如AB为菱形的边，则EF∥AB，EF＝AB＝4，且E的横坐标为3∴F的横坐标为7或﹣1∵AE＝AB＝4，AM＝2，EM⊥AB∴EM＝2∴F（7，2），或（﹣1，2）∴当x＝7，y＝×49﹣7×3+＝6∴点F到二次函数图象的垂直距离6﹣2②如AB为对角线，如图2∵AEBF是菱形，AF＝BF＝4∴AB⊥EF，EM＝MF＝2∴F（3，﹣2）∴点F到二次函数图象的垂直距离﹣2+2（3）当F（3，﹣2）时，点F到二次函数图象的垂直距离最小如图3，以BQ为边作等边三角形BQD，将△BQF绕B逆时针旋转60°到△BDN位置，连接AN，作PN⊥AB于P∵等边三角形BQD∴QD＝QB＝BD，∵将△BQF绕B逆时针旋转60°到△BDN位置∴NB＝BF＝4，∠FBN＝60°，DN＝FQ∵AQ+BQ+FQ＝AQ+QD+DN∴当AQ，QD，DN共线时AQ+BQ+FQ的和最短，即最短值为AN的长．∵AF＝BF＝4＝AB，∴∠ABF＝60°∴∠NBP＝60°且BN＝4，∴BP＝2，PN＝2∴AP＝6在Rt△ANP中，AN＝＝4∴AQ+BQ+FQ的和最短值为4．。

中考数学第二轮复习资料—专题复习（一）、初中阶段主要的数学思想1.数形结合的思想把问题中的数量关系与形象直观的几何图形有机的结合起来，并充分利用这种结合寻找解题的思路，使问题得到解决的思想方法，在分析问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，根据问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获取简便易行的方法。

涉及实数与数轴上点的对应关系，公式、定理的几何背景问题，函数与方程的对应关系等。

一：【要点梳理】1.数形结合思想方法是初中数学中一种重要的思想方法.数是形的抽象概括,形是数的直观表现,用数形结合的思想解题可分两类:一是利用几何图形的直观表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等;二是运用数量关系来研究几何图形问题,常需要建立方程(组)或建立函数关系式等2.热点内容(1).利用数轴解不等式(组)(2).研究函数图象隐含的信息,判断函数解析式的系数之间的关系,确定函数解析式和解决与函数性质有关的问题.(3).研究与几何图形有关的数据,判断几何图形的形状、位置等问题.(4).运用几何图形的性质、图形的面积等关系,进行有关计算或构件方程(组),求得有关结论等问题.二：【例题与练习】1.选择：（1）某村办工厂今年前5个月生产某种产品的总量c（件）关于时间t（月）的图象如图所示，则该厂对这种产品来说（）A.1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月生产总量逐月减少B.1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月生产总量与3月持平C.1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月均停止生产D.1月至3月每月生产总量不变，4、5两月均停止生产（2）某人从A 地向B 地打长途电话6分钟，按通话时间收费，3分钟以内收费2．4元每加 1分钟加收 1元，则表示电话费y （元）与通话时间(分）之间的关系的图象如图所示，正确的是（ ）（3）丽水到杭州的班车首法时间为早上6时,末班车为傍晚18时,每隔2小时有一班车发出,且丽水到杭州需要4个小时.图中相遇的次数最多为( )A.4次B.5次C.6次.D.7次 2.填空：（1）已知关于X 的不等式2x-a>-3的解集如图所示,则a 的值等于 （2）如果不等式组8 4x-1x mx ⎧+⎪⎨⎪⎩的解集为x>3,则m 的取值范围是3.考虑2xy =的图象,当x=－2时,y= ；当x<-2时,y 的取值范围是 。

专题13利润问题一、解答题1．（2023·江苏连云港·统考一模）某餐饮公司推出甲、乙两种外卖菜品，已知售出2份甲菜品和1份乙菜品可获利40元，售出3份甲菜品和2份乙菜品可获利65元．(1)求每份甲、乙菜品的利润各是多少元？(2)根据营销情况，该餐饮公司每日都可以销售完甲、乙两种外卖菜品600份，且甲菜品的数量不多于乙菜品的一半，应该如何设计两种菜品的数量才能使获得的利润最高？最高利润是多少？【答案】(1)每份菜品甲的利润为15元，每份菜品乙的利润为10元(2)购进甲菜品200份，乙菜品400份，所获利润最大，最大利润为7000元【分析】（1）设每份菜品甲的利润为x 元，每份菜品乙的利润为y 元，根据售出2份甲菜品和1份乙菜品可获利40元，售出3份甲菜品和2份乙菜品可获利65元，列二元一次方程组，求解即可；（2）设销售甲菜品m 份，总利润为w 元，根据甲菜品的数量不多于乙菜品的一半，求出m 的取值范围，再表示出w 与m 的函数关系式，根据一次函数的增减性即可确定最大利润时进货方案，进一步求出最大利润即可．【详解】（1）解：设每份菜品甲的利润为x 元，每份菜品乙的利润为y 元，根据题意，得：2403265x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：1510x y =⎧⎨=⎩，答：每份菜品甲的利润为15元，每份菜品乙的利润为10元；（2）设销售甲菜品m 份，总利润为w 元，根据题意，得：()16002m m ≤-，解得：200m ≤，()151060056000w m m m =+-=+，∵50>，∴w 随着m 的增大而增大，当200m =时，w 取得最大值，最大值为：520060007000⨯+=（元），此时销售乙菜品：600200400-=（份），答：销售甲菜品200份，乙菜品400份，所获利润最大，最大利润为7000元．2．（2023·江苏苏州·模拟预测）某文具店计划购进A 、B 两种笔记本，已知A 种笔记本的进价比B 种笔记本的进价每本便宜3元．现分别购进A 种笔记本150本，B 种笔记本300本，共计6300元．(1)求A 、B 两种笔记本的进价；(2)文具店第二次又购进A 、B 两种笔记本共100本，且投入的资金不超过1380元．在销售过程中，A 、B 两种笔记本的标价分别为20元/本、25元/本．两种笔记本按标价各卖出m 本以后，该店进行促销活动，剩余的A 种笔记本按标价的七折销售，剩余的B 种笔记本按标价的八折销售．若第二次购进的100本笔记本全部售出后的最大利润不少于600元，请求出m 的最小值．【答案】(1)A 种笔记本每本12元，B 种笔记本每本15元(2)20【分析】（1）设A 种笔记本每本x 元，则B 种笔记本每本(3)x +元，由题意得，()150********x x ++=，计算可得x 的值，进而可得(3)x +的值；（2）设第二次购进A 种笔记本a 本，则购进B 种笔记本(100)a -本，由题意得，()12151001380a a +-≤，可得40100a ≤≤，设获得的利润为w 元，由题意得，()()()()()()2012200.7122515250.815100w m a m m a m =-+⨯--+-+⨯---311500a m =-++，由一次函数的性质可知，当40a =时，w 的值最大，最大值为11380m +，令11380600m +≥，求解满足要求的解即可．【详解】（1）解：设A 种笔记本每本x 元，则B 种笔记本每本(3)x +元，由题意得，()150********x x ++=，解得，12x =，∴315x +=，∴A 种笔记本每本12元，B 种笔记本每本15元；（2）解：设第二次购进A 种笔记本a 本，则购进B 种笔记本(100)a -本，由题意得，()12151001380a a +-≤，解得，40a ≥，∴40100a ≤≤，设获得的利润为w 元，由题意得，()()()()()()2012200.7122515250.815100w m a m m a m=-+⨯--+-+⨯---311500a m =-++，30-<Q ，w ∴随a 的增大而减小，∴当40a =时，w 的值最大，最大值为11380m +，由题意得11380600m +≥，解得，20m ≥，m为正整数，m ∴的最小值为20．3．（2023·江苏无锡·模拟预测）某新华书店决定用不多于28000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售，已知甲种图书进价是乙种图书每本进价的1.4倍，若用1680元购进甲种图书的数量比用1400元购进的乙种图书的数量少10本，(1)甲乙两种图书的进价分别为每本多少元？(2)新华书店决定甲种图书售价为每本40元，乙种图书售价每本30元，问书店应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？（购进两种图书全部销售完）【答案】(1)甲种图书进价每本28元，乙种图书进价每本20元；(2)甲种图书进货500本，乙种图书进货700本时利润最大，最大利润13000元．【分析】（1）设乙种图书进价每本x 元，则甲种图书进价为每本1.4x 元，由题意：用1680元购进甲种图书数量比用1400元购进的乙种图书的数量少10本．列出分式方程，解方程即可；（2）设书店甲种图书进货a 本，总利润w 元，由题意：甲种图书售价为每本40元，乙种图书售价每本30元，求出212000w a =+，再由新华书店决定用不多于28000元购进两种图书共1200本进行销售，列出a 的一元一次不等式，解得500a ≤，再由一次函数的性质求出最大利润即可．【详解】（1）解：设乙种图书进价每本x 元，则甲种图书进价为每本1.4x 元由题意得：14001680101.4xx-=，解得：20x =，经检验，20x =是原方程的解，且符合题意，∴甲种图书进价为每本1.42028⨯=元．答：甲种图书进价每本28元，乙种图书进价每本20元；（2）设甲种图书进货a 本，总利润w 元，由题意得：()()()402830201200212000w a a a =-+--=+，()2820120028000a a +-≤ 解得：500a ≤，∵20>，w ∴随a 的增大而增大，∴当a 最大时w 最大，∴当500a =本时，w 最大25001200013000=⨯+=（元），此时，乙种图书进货本数为1200500700-=（本）．答：甲种图书进货500本，乙种图书进货700本时利润最大，最大利润13000元．4．（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）某体育用品店计划购进篮球、排球共200个进行销售，所用资金不超过5000元．已知篮球、排球的进价分别为每个30元、24元，每只篮球售价是每只排球售价的1.5倍，某学校在该店用1800元购买的篮球数比用1500元购买的排球数少10个．(1)求篮球、排球的售价分别为每个多少元？(2)该店为了让利于消费者，决定篮球的售价每个降价3元，排球的售价每个降价2元，问该店应如何进货才能获得最大利润？（购进的篮球、排球全部销售完．）【答案】(1)篮球的售价为每个45元，排球的售价为每个30元(2)篮球进货33个，排球进货167个时，该店能获得最大利润【分析】（1）设排球的售价为每个x 元，则篮球的售价为每个1.5x 元，根据“用1800元购买的篮球数比用1500元购买的排球数少10个”列分式方程，即可求解；（2）设篮球进货a 个，排球进货()200a -个，根据“所用资金不超过5000元”列不等式，求出a 的取值范围，根据利润、数量、单价之间的关系列出总利润W 关于a 的一次函数关系式，判断出增减性，再根据a 的取值范围即可求出W 的最大值．【详解】（1）解：设排球的售价为每个x 元，则篮球的售价为每个1.5x 元．由题意得：15001800101.5x x-=，解得：30x =，经检验，30x =是原方程的解，也符合题意．此时1.5 1.53045x =⨯=．答：篮球的售价为每个45元，排球的售价为每个30元．（2）解：设篮球进货a 个，排球进货()200a -个，总利润为W 元，则()()()45303302422008800W a a a =-----=++．∵()30+242005000a a ⨯-≤，解得1003a ≤．∵w 随a 的增大而增大，∴当33a =时，w 取得最大值．此时，排球进货的只数为20033167-=．答：篮球进货33个，排球进货167个时，该店能获得最大利润．5．（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）最近“地摊经济”成为热议的话题，城市“路边摊”的回归，带动了就业，吸引了人气，丰富了商气，更让城市的夜晚增添了“烟火气”．小王也是“地摊大军”中的一员，周六，周日连续两天上午去招商城进盲盒，晚上去步行街摆“地摊”．“文具”，“零食”两款盲盒的进价和售价如下表所示：盲盒品种文具零食进价（元/个）56售价（元/个）68(1)周六上午，小王用1700元进这两款盲盒共300个，晚上收摊时全部卖完，求小王周六摆摊两款盲盒获得的总利润；(2)周日上午，小王依旧用1700元进这两款盲盒，晚上全部卖完后，收摊盘点收益，发现周日的总利润比周六的高，但上午的进货单丢失不见，只记得“文具”盲盒的进货量不低于85个，请你通过计算后帮助小王，他周日上午进这两款盲盒的所有方案有哪些？【答案】(1)小王周六摆摊两款盲盒获得的总利润为500元(2)方案一：购进文具盲盒88个，零食盲盒210个；方案二：购进文具盲盒94个，零食盲盒205个【分析】（1）设小王购买文具盲盒x 个，零食盲盒()300x -个，根据购买费用列出方程，求解即可，再根据两种盲盒的利润和列算式计算可求解；（2）设小王购进文具盲盒a 个，则零食盲盒为170056a-个，根据题意列出不等式，再根据a 与170056a-均为整数，求出满足题意的a 的值即可．【详解】（1）解：设小王购买文具盲盒x 个，零食盲盒()300x -个，由题意得：()563001700x x +-=，解得：100x =，则300300100200x -=-=，晚上收摊时全部卖完，小王周六摆摊两款盲盒获得的总利润为：()()1006520086500⨯-+⨯-=（元），答：小王周六摆摊两款盲盒获得的总利润为500元；（2）解：设小王购进文具盲盒a 个，则零食盲盒为170056a-个，由题意可得：()()170056586500685a a a -⎧-+->⎪⎨⎪≥⎩，解得：85100a ≤<又∵a 与170056a-均为整数，∴88a =或94a =，当88a =时，170052106a -=，当94a =时，170052056a-=，则，周日上午进这两款盲盒有以下方案：方案一：购进文具盲盒88个，零食盲盒210个；方案二：购进文具盲盒94个，零食盲盒205个．6．（2023·江苏无锡·校考二模）无锡阳山是闻名遐迩的“中国水蜜桃之乡”，每年6至8月，总会吸引大批游客前来品尝，当地某商家为回馈顾客，两周内将标价为20元/千克的水蜜桃经过两次降价后变为16.2元/千克，并且两次降价的百分率相同．(1)求水蜜桃每次降价的百分率．(2)①从第一次降价的第1天算起，第x 天（x 为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示：时间/x 天19x ≤<915x ≤<售价/（元/千克）第1次降价后的价格第2次降价后的价格销量/千克1053x-120x -储存和损耗费用/元403x+2368300x x -+已知该种水果的进价为8.2元/千克，设销售该水果第x （天）的利润为y （元），求y 与()115x x ≤<之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大？②在①的条件下，问这14天中有多少天的销售利润不低于930元，请直接写出结果．【答案】(1)10%(2)①()()232.498919360660915x x y x x x ⎧-+≤<⎪=⎨-++≤<⎪⎩；第10天利润最大，最大利润为960元；②共6天【分析】（1）设水蜜桃每次降价的百分率为%x ，根据题意可列出关于x 的一元二次方程，解出x 的值即得出答案；（2）①根据利润=（标价-进价）×销量-储存和损耗费，即可得y （元），进而可求出y 与()115x x ≤<之间的函数解析式，再结合一次函数和二次函数的性质求出其最值即可；②依题意可列出关于x 的不等式，结合解一元一次不等式的方法和图象法解一元二次不等式，分别求出x 的解集，即可得出答案．【详解】（1）解：设水蜜桃每次降价的百分率为%x ，依题意得，()2201%16.2x -=，解得：1210190x x ==，（舍）．∴水蜜桃每次降价的百分率为10%；（2）解：①结合（1）得：第一次降价后的价格为()20110%18⨯-=元，∴当19x ≤<时，()()()188.2105340332.4989y x x x =---+=-+．∵32.40k =-<，∴y 随着x 的增大而减小，∴当1x =元时，利润最大为32.41989956.6-⨯+=元；当915x ≤<，()()()()2223683000y x x x x x x =---=-+++=-+--，∵30a =-<，∴当10x =时，利润最大为960元．∵0956.696<，∴第10天利润最大，最大利润为960元．综上可知，()()232.498919360660915x x y x x x ⎧-+≤<⎪=⎨-++≤<⎪⎩；第10天利润最大，最大利润为960元；②当19x ≤<时，32.4989930y x =-+≥，解得：2952162x ≤≈，∴此时为2天利润不低于930元；当915x ≤<时，2360660930y x x =-++≥，根据图象法可解得：1071013x ≈≤≤≈，∴91013x ≤≤+∴此时为1394-=天利润不低于930元．综上可知共有246+=天利润不低于930元．7．（2023·江苏宿迁·沭阳县怀文中学统考一模）科技发展飞速，越来越多的商家向线上转型发展，“直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段．某商家在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y （件）与销售单价x （元）满足10400=-+y x ，设销售这种商品每天的利润为W （元）．(1)该商家每天想获得1250元的利润，又要让利于顾客，应将销售单价定为多少元？(2)若销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求W 的最大值．【答案】(1)为了让利于顾客，将销售单价应定为15元；(2)此时W 的最大值为2160元．【分析】（1）根据题意列出W 关于x 的函数关系式，再令1250W =，可得：21050040001250x x -+-=，解方程即可求解；（2）根据题意有：104005028y x x =-+≥⎧⎨≥⎩，解得：2835x ≤≤，将2105004000W x x =-+-化为顶点式为：210(25)2250W x =--+，即可知当25x >时，函数值随着x 的增大而减小，问题随之得解．【详解】（1）根据题意，有：(10)(10400)(10)W y x x x =⨯-=-+⨯-，化简，得：2105004000W x x =-+-，根据10400010y x x =-+≥⎧⎨>⎩，解得：1040x <≤，即函数关系为：2105004000W x x =-+-，1040x <≤；令1250W =，可得：21050040001250x x -+-=，解得：15x =，或35x =，当15x =时，销量：10400250y x =-+=（件)；当35x =时，销量：1040050y x =-+=（件)；售价越低，越有利于让利顾客，即为了让利顾客，将销售单价应定为15元；（2）根据题意有：104005028y x x =-+≥⎧⎨≥⎩，解得：2835x ≤≤，将2105004000W x x =-+-化为顶点式为：210(25)2250W x =--+，100-< ，∴当25x >时，函数值随着x 的增大而减小，2835x ≤≤ ，∴当28x =时，函数值最大，最大为：210(2825)22502160W =--+=．答：此时W 的最大值为2160元．8．（2023·江苏苏州·统考一模）某产品每件成本是10元，试销阶段每件产品的售价x （元）与日销售量y （件）之间的关系如下：x （元）152030…y （件）252010…已知日销售量y 是售价x 的一次函数．(1)求y 与x 的函数表达式；(2)当销售价为多少时，每日的销售利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)40y x =-+(2)当销售价为25元时，每日的销售利润最大，最大利润是225元【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）设每日的销售利润为W ，根据利润=（售价-成本价）⨯数量，列出W 关于x 的关系式，再根据二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：设y 与x 的函数表达式为()0y kx b b =+≠，由题意得，15252020k b k b +=⎧⎨+=⎩，∴140k b =-⎧⎨=⎩，∴y 与x 的函数表达式为40y x =-+；（2）解：设每日的销售利润为W ，由题意得，()()1040W x x =--+250400x x =-+-()225225x =--+，∵10-<，∴当25x =时，W 最大，最大为225，∴当销售价为25元时，每日的销售利润最大，最大利润是225元．9．（2023·江苏扬州·校考一模）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量n (千克)与销售价格x (元/千克)之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表：销售价格x (元/千克)3035404550日销售量n (千克)600450300150(1)请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定n 与x 之间的函数表达式，并直接写出n 与x 的函数表达式为；(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？(3)农经公司每销售1千克这种农产品需支出a 元(0)a >的相关费用，当4045x ≤≤时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a 的值．(日获利等于日销售利润减日支出费用)【答案】(1)301500n x =-+(2)这批农产品的销售价格定为40元/千克，才能使日销售利润最大(3)a 的值为2【分析】（1）根据表格数据可知售价每增加5元，销售量下降150千克，符合一次函数，根据待定系数法求解析式即可求解；（2）根据利润等于售价减去成本再乘以销售量，列出函数关系式，根据二次函数的性质即可求解；（3）设日获利为W 元，根据题意得出()30W n x a =--，得出对称轴为40x =12+a ，然后根据题意列出方程，解方程即可求解．【详解】（1）解：依题意，设n 与x 之间的函数表达式为n kx+b =，将()()30,600,35,450代入得，3060035450k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：301500k b =-⎧⎨=⎩∴301500n x =-+；（2）解：设日销售利润为w 元，由题意得：()30w n x =-()()30150030x x =-+-230240045000x x =-+-2304000(3)0x =--+，300a =-< ，抛物线开口向下，∴当40x =时，w 有最大值3000．∴这批农产品的销售价格定为40元/千克，才能使日销售利润最大；（3）设日获利为W 元，由题意得：()30W n x a =--()()30150030x x a =-+--2()3024003015004500(0)x a x a +=-+-+，对称轴为()24003040230ax +=-=⨯-12+a ．①若10a ≥，则当45x =时，W 有最大值，最大值为：23045240030451500400)50(()W a a +++=-⨯⨯⨯-22501502430a =-<，45x ∴=不符合题意，舍去；②若10a <，则当40x =12+a 时，W 有最大值，将40x =12+a 代入，得：21()43010100a a W -=＋当2430W =时，21()424303010100a a =-＋，解得12a =，238a =(舍)，综上所述，a 的值为2．10．（2022秋·江苏淮安·九年级统考期末）某商品每件进价为30元，当销售单价为50元时，每天可以销售60件．市场调查发现：销售单价每提高1元，日销售量将会减少2件，物价部门规定该商品销售单价不能高于65元，设该商品的销售单价为x （元），日销售量为y （件）．(1)y 与x 的函数关系式为________；(2)要使日销售利润为800元，销售单价应定为多少元？【答案】(1)()21603065y x x =-+≤≤(2)40【分析】（1）由题意易得日销售量与销售单价成反比，得到()60250y x =--，即可解得（2）根据一次函数的性质即可求解【详解】（1）根据题意得，()602502160y x x =--=-+，故y 与x 的函数关系式为()21603065y x x =-+≤≤（2）()()302160800x x --+=，解得：140x =，270x =（舍去），故答案为：40元11．（2023·江苏宿迁·统考一模）某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y （件）是售价x （元/件）的一次函数，其售价x （元/件）、周销售量y （件）、周销售利润w （元）的三组对应值如表：售价x （元/件）607080周销售量y （件）1008060周销售利润w （元）200024002400(1)求y 关于x 的函数解析式；(2)该商品的进价是______元/件，并求出该商品周销售利润的最大值；(3)由于某种原因，该商品进价提高了m 元/件（m ＞0），物价部门规定该商品售价不得超过70元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是2000元，求m 的值．【答案】(1)y 关于x 的函数解析式为2220y x =-+(2)40，该商品周销售利润的最大值2450(3)m 的值为5【分析】（1）根据题意设y kx b =+，将()60,100，()70,80分别代入即可解答；（2）根据单件利润×数量=总利润列方程求出进价，根据总利润=数量乘以单件利润列出函数解析式，根据二次函数的性质即可求出最大利润；（3）同（2）的方法列出函数解析式，再利用二次函数的的性质求出最大值，列出关于m 的方程求解．【详解】（1）解：设y kx b =+，将()60,100，()70,80分别代入得10060,8070,k b k b =+⎧⎨=+⎩解得：2220k b =-⎧⎨=⎩，∴y 关于x 的函数解析式为2220y x =-+．（2）设进价为z 元，则()100602000z -=，解得40z =，故进价为40元/件．()()()()()22220402110402752450w x x x x x =-+-=---=--+，∴抛物线开口向下，对称轴为直线75x =，∴当75x =时，w 有最大值为()()27522075402450-⨯+-=元；（3）()()()()222040211040w x x m x x m =-+--=----，∴抛物线开口向下，对称轴为直线11407522m mx ++==+，∴当752mx <+时，w 随x 的增大而增大．又∵70x ≤，∴当70x =时，w 有最大值：()()27022070402000m -⨯+--=．解得：5m =．12．（2023秋·江苏盐城·九年级统考期末）某农业生态园引进种植一种新品种水果，这种水果成本为10元/千克，现将这种水果投放超市进行销售．经过调查，得到如下数据：销售单价x （元/千克）…10202530…每天销售量y （千克）…500400350300…(1)把上表中x 、y 的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y 与x 的函数关系，并求出函数关系式；(2)当地物价部门规定，该水果销售单价最高不能超过32元/千克，那么销售单价定为多少元时，销售该水果每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价）(3)若要该水果每天获得的利润不低于6090元，求该水果销售单价的范围．【答案】(1)图见解析，10600y x =-+(2)销售单价定为32元时，销售该水果每天获得的利润最大，最大利润是6160元(3)3139x ≤≤【分析】（1）根据表格数据在平面直角坐标系中描出相应的点，即可猜想y 与x 的函数关系；（2）根据销售问题利润＝销售总价－成本总价列出等式即可求解；（3）根据该水果每天获得的利润不低于6090元，即可求该水果销售单价的范围．【详解】（1）如图所示：观察图象可知：y 与x 的函数关系为一次函数，设y kx b =+，将()10,500，()20,400代入得，1050020400k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得10600k b =-⎧⎨=⎩，∴y 与x 的函数关系式为10600y x =-+．（2）设每天获得利润为w 元，根据题意，得()()1010600w x x =--+2107006000x x =-+-()210356250x =--+∵100-<，且水果销售单价最高不能超过32元/千克，∴当32x =时，w 有最大值，最大值为6160，答：销售单价定为32元时，销售该水果每天获得的利润最大，最大利润是6160元．（3）∵()210356250w x =--+，当()2103562506090x --+=时，解得131x =，239x =，∵抛物线开口向下，当3139x ≤≤时，每天获得的利润不低于6090元，答：该水果销售单价的范围是3139x ≤≤．13．（2023·江苏南京·校联考模拟预测）某商店销售甲、乙两种商品，甲的成本为5元，乙的成本为7元．甲现在的售价为10元，每天卖出30个；售价每提高1元，每天少卖出2个．乙现在的售价为14元，每天卖出6个；售价每降低1元，每天多卖出4个．假定甲、乙两种商品每天卖出的数量和不变（和为36袋），且售价均为整数．(1)当甲的售价提高x 元，乙的售价为元；（用含x 的代数式表示）(2)当甲的售价提高多少元时，销售这两种商品当天的总利润是268元？【答案】(1)1142x -(2)甲零食的售价提高4元时，销售这两种零食当天的总利润是268元【分析】（1）先计算甲的售价提高后乙的销售数量，再计算乙的售价；（2）设甲零食的售价提高x 元时，将两种商品的利润相加，可得方程，解之即可．【详解】（1）解：当甲的售价提高x 元，乙的售价为：()3630261141442x x ----=-；（2）设甲零食的售价提高x 元时，销售这两种零食当天的总利润是268元，由题意得，()()()1105302363021472682x x x x ⎛⎫-+-+----=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，解得：14x =，2193x =（不符合题意，舍去）．答：甲零食的售价提高4元时，销售这两种零食当天的总利润是268元．14．（2022秋·江苏镇江·九年级统考期中）2022年世界杯将于本月20日在卡塔尔进行，2022卡塔尔世界杯的吉祥物叫LaEeb （中文名叫拉伊卜，如下图）．某电商在对一款成本价为40元的LaEeb 进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件售价每降低5元，日销售量增加10件．(1)由于开赛在即，如果日利润保持不变，商家想尽快销售完该款LaEeb 造型商品，每件售价应定为多少元？(2)小明的线下实体商店也销售同款LaEeb 商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？【答案】(1)50(2)八折【分析】（1）设每件售价应定为x 元，则每件的销售利润为()40x -元，日销售量为6010205x -⎛⎫⨯+⎪⎝⎭件，利用总利润＝每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出x 的值，再结合商家想尽快销售完该款商品，即可得出答案；（2）设该商品需打m 折销售，利用售价＝原价×折扣率，结合售价格不超过（1）中的售价，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【详解】（1）解：设每件的售价定为x 元，则每件的销售利润为()40x -元，日销售量为6010205x -⎛⎫⨯+⎪⎝⎭件，依题意，得：()()604010206040205x x -⎛⎫-⨯+=-⨯⎪⎝⎭，解得：150x =，260x =，∵商家想尽快销售完该款LaEeb 造型商品，∴50x =．答：每件售价为50元．（2）设该商品至少打m 折，根据题意得：62.55010m⨯≤，解得：8m ≤．答：该商品至少需打几折销售．15．（2023·江苏南通·南通田家炳中学校考模拟预测）为迎接校园歌手大赛的到来，学校向某商家订购了甲、乙两种荧光棒，其中购买甲种荧光棒花费5000元，购买乙种荧光棒花费6000元．已知乙种荧光棒的销售单价比甲种荧光棒贵10元，乙种荧光棒的购买数量比甲种荧光棒的购买数量少20%．(1)求甲、乙两种荧光棒的销售单价；(2)由于需求量较大，学校第二次订购这两种荧光棒共110个，且本次订购甲种荧光棒的个数不少于乙种荧光棒个数的2倍．为和学校建立长久合作关系，该商家决定：甲种荧光棒售价不变，乙种荧光棒打8折出售．已知两种荧光棒的进价均为15元，该商家如何进货能使本次荧光棒销售利润最大？利润最大为多少元？【答案】(1)甲销售单价为20元，乙销售单价为30元；(2)甲订购74个，乙订购36个，最大利润为694元【分析】（1）设甲种荧光棒的销售单价为x 元，乙种荧光棒的单价为()10x +元，利用乙比甲的数量少20%列方程求解即可；（2）设乙种的购买数量为a ，甲种数量为()110a -个。

人教版2023中考数学二轮复习专题之平面直角坐标系一、单选题1．（2022八上·沈北新期中）在平面直角坐标系中，下列坐标所对应的点位于第三象限的是（）A．（﹣1，2）B．（1，2）C．（2，﹣1）D．（-1，-3）2．（2022八上·电白期中）若点P（a，b）在第四象限，则点Q（﹣a，b﹣1）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（2022八上·太原期中）在如图所示的平面直角坐标系中，点P的坐标为（）A．(2，3)B．(−2，3)C．(3，−2)D．(−2，−3)4．（2022八上·常熟月考）如图，正方形ABCD的边长为4，点A的坐标为（﹣1，1），AB平行于x轴，则点C的坐标为（）A．（3，1）B．（﹣1，1）C．（3，5）D．（﹣1，5）5．（2022九上·和平期中）如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合，点A(−2，5)，则点C的坐标为（）A．(5，−2)B．(2，−5)C．(2，5)D．(−2，−5)6．（2022九上·萧山期中）如图，在正方形网格中，线段AB绕点O旋转一定的角度后与线段CD重合(C、D均为格点，A的对应点是点C)，若点A的坐标为(−1，5)，点B的坐标为(3，3)，则旋转中心O点的坐标为（）A．(1，1)B．(4，4)C．(2，1)D．(1，1)或(4，4)7．（2022八上·西安期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(−3，0)，点B的坐标是(0，4)，点C是OB上一点，将△ABC沿AC折叠，点B恰好落在x轴上的点B′处，则点C的坐标为（）A．(32，0)B．(0，32)C．(52，0)D．(0，52)8．（2022八上·杭州期中）已知点A的坐标为(a+1，3−a)，下列说法正确的是（）A．若点A在y轴上，则a=3B．若点A在一三象限角平分线上，则a=1C．若点A到x轴的距离是3 ，则a=±6D．若点A在第四象限，则a的值可以为-29．（2022七下·康巴什期末）我们规定：在平面直角坐标系xOy中，任意不重合的两点M(x1，y1)，N(x2，y2)之间的折线距离为d(M，N)=|x1−x2|+|y1−y2|，例如图①中，点M(−2，3)与点N(1，−1)之间的折线距离为d(M，N)= |−2−1|+|3−(−1)|=3+4=7．如图②，已知点P(3，−4)若点Q的坐标为(t，2)，且d(P，Q)=10，则t的值为（）A．−1B．5C．5或−13D．−1或7 10．（2022七下·纳溪期末）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P′（﹣y+1，x+1）叫做点P伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，A n，…若点A1的坐标为（2，4），点A2021的坐标为（）A．（3，﹣1）B．（﹣2，﹣2）C．（﹣3，3）D．（2，4 ）二、填空题11．（2022八上·瑞安月考）在平面直角坐标系中，点(1，-2)向左平移2个单位后的坐标为。

中考数学二轮复习专题圆的基本性质一、单选题1．如图，AB是⊙O的弦，圆心O到弦AB的距离，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，，则弦AB的长为（）A．6B．9C．10D．122．如图，△ABC内接于⊙O，∠B=65°，∠C=70°，若BC=2 ，则的长为（）A．πB．πC．2πD．π3．如图，菱形中，，.以A为圆心，长为半径画，点P为菱形内一点，连，，.若，且，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．4．如图，中，，，，，为，边上的两个动点，且，为中点，则的最小值为（）A．B．C．D．5．如图，上有A、B两点，点C为弧AB上一点，点P是外一点，且，，则的度数为（）A．B．C．D．6．如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=2，CD=3，则AE的长为（）A．2B．2.5C．3D．3.57．如图，点是以为直径的半圆上的动点，于点，连接，设，则下列函数图象能反映与之间关系的是（）A．B．C．D．8．以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的0刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交弧于点，如果点所对应的读数为，那么的大小为（）A．B．C．D．9．如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是()A．∠B B．∠C C．∠DEB D．∠D10．如图，点C，D是劣弧上两点，CD∥AB，∠CAB＝45°，若AB＝6，CD＝2，则所在圆的半径长为（）A．B．C．2 D．二、填空题11．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB+∠AOB=90°，则∠ACB的大小为12．如图，水平放置的圆柱形油桶的截面半径是，油面高为，截面上有油的弓形（阴影部分）的面积为．13．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为.14．如图5，AB是半圆O 的直径，E是BC的中点，OE交弦BC于点D，已知BC=8cm,DE=2cm，则AD的长为cm.15．如图，AB是的直径，点C，D，E都在上，∠1=55°，则∠2=°16．在中，若，，则的面积的最大值为. 17．已知：如同，△ABC内接于⊙O，且半径OC⊥AB，点D在半径OB的延长线上，且∠A=∠BCD=30°，AC=2，则由，线段CD和线段BD所围成图形的阴影部分的面积为．18．如图，网格纸中每个小正方形的边长为1，一段圆弧经过格点，点O为坐标原点.（1）该图中弧所在圆的圆心D的坐标为；.（2）根据（1）中的条件填空：①圆D的半径=（结果保留根号）；②点（7，0）在圆D（填“上”、“内”或“外”）；③∠ADC的度数为.三、作图题19．如图，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D.已知：AB=24cm, CD=8cm（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）（2）求（1）中所作圆的半径四、解答题20．如图，在⊙O中，半径OC垂直弦AB于D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝2．求半径OB 的长．21．小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB′C′D′，连结BD．[探究1]如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上．若AB＝1，求BC的长．[探究2]如图2，连结AC′，过点D′作D′M∥AC′交BD于点M．线段D′M与DM相等吗？请说明理由．[探究3]在探究2的条件下，射线DB分别交AD′，AC′于点P，N（如图3），发现线段DN，MN，PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．五、综合题22．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，且CA＝CE，过A，C，E三点的⊙O交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF．（1）求证：四边形DCFG是平行四边形；（2）当BE＝4，CD＝AB时，求⊙O的直径长．23．以的一条边AC为直径的⊙O与BC相交于点D，点D是BC的中点，过点D作⊙O的切线交AB于点E．（1）求证：AB=AC；（2）若BE=1，，求⊙O的半径．24．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E.（1）求证：DE是⊙O的切线.（2）若DE= ，∠C=30°，求的长。

“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现．【抽象模型】如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？【模型解析】作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）题型一：两定一动模型模型作法结论当两定点A、B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使PA＋PB最小．连接AB交直线l于点P，点P即为所求作的点．PA＋PB的最小值为AB当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得PA＋PB最小．作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'交直线l于点P，点P即为所求作的点．PA＋PB的最小值为AB'当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得PA PB-最大．连接AB并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点．PA PB-的最大值为AB当两定点A 、B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P，使得PA PB -最大．作点B 关于直线I 的对称点B '，连接AB '并延长交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．PA PB -的最大值为AB '当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最小．连接AB ，作AB 的垂直平分线交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．PA PB -的最小值为0【例1】如图，点C 的坐标为（3，y ），当△ABC 的周长最短时，求y 的值．【解析】解：解：（1）作A 关于x =3的对称点A′，连接A′B 交直线x =3与点C ．∵点A 与点A′关于x =3对称，∴AC=A′C ．∴AC+BC=A′C+BC ．当点B 、C 、A′在同一条直线上时，A′C+BC 有最小值，即△ABC 的周长有最小值．∵点A 与点A′关于x =3对称，∴点A′的坐标为（6，3）．设直线BA′的解析式y =kx +b ，将点B 和点A′的坐标代入得：k ＝34，b ＝−32．∴y =34x -32．将x =3代入函数的解析式，∴y 的值为34【例2】如图，正方形ABCD 中，AB ＝7，M 是DC 上的一点，且DM ＝3，N 是AC 上的一动点，求|DN －MN |的最小值与最大值．【解析】解：当ND=NM 时，即N 点DM 的垂直平分线与AC 的交点，|DN-MN|=0，因为|DN-MN|≤DM ，当点N 运动到C 点时取等号，此时|DN-MN|=DM=3，所以|DN-MN|的最小值为0，最大值为3【例3】如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点三点0(1)A ，,(50)B ，,4(0)C ，．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）P 是抛物线对称轴上的一点，求满足PA PC +的值为最小的点P 坐标（请在图1中探索）；（3）在第四象限的抛物线上是否存在点E ，使四边形OEBF 是以OB 为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E 坐标，若不存在请说明理由.（请在图2中探索）【答案】（1）2545442y x x -+＝，函数的对称轴为：3x ＝；（2）点8(3)5P ，；（3）存在，点E 的坐标为12(2,5-或12,)5(4-．【解析】解：1（）根据点0(1)A ，,(50)B ，的坐标设二次函数表达式为：()()()21565y a x x a x x +--＝﹣＝，∵抛物线经过点4(0)C ，，则54a ＝，解得：45a ＝，抛物线的表达式为：()()2224416465345555245y x x x x x --+--+＝=＝，函数的对称轴为：3x ＝；2（）连接B C 、交对称轴于点P ，此时PA PC +的值为最小，设BC 的解析式为：y kx b +＝，将点B C 、的坐标代入一次函数表达式：y kx b +＝得：05,4k bb =+⎧⎨=⎩解得：4,54k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩直线BC 的表达式为：4y x 45=-+，当3x ＝时，85y ＝，故点835P （，）；3（）存在，理由：四边形OEBF 是以OB 为对角线且面积为12的平行四边形，则512E E OEBF S OB y y ⨯⨯四边形＝＝＝，点E 在第四象限，故：则125E y ＝-，将该坐标代入二次函数表达式得：()24126555y x x -+＝＝-，解得：2x ＝或4，故点E 的坐标为122,5（-或12,5（4-）．题型二：一定两动模型模型作法结论点P 在∠AOB 内部，在OB 边上找点D ，OA 边上找点C ，使得△PCD 周长最小．分别作点P 关于OA、OB 的对称点P ′、P ″，连接P ′P ″，交OA 、OB 于点C 、D ，点C 、D 即为所求．△PCD 周长的最小值为P ′P ″点P 在∠AOB 内部，在OB 边上找点D ，OA 边上找点C ，使得PD ＋CD 最小．作点P 关于OB 的对称点P ′，过P ′作P ′C ⊥OA 交OB 于D ，点C 、点D 即为所求．PD ＋CD 的最小值为P ′C【例4】如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为___________．【分析】△PMN 周长即PM +PN +MN 的最小值，此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OB 、OA 对称点P ’、P ’’，化PM +PN +MN 为P ’N +MN +P ’’M ．当P’、N、M、P’’共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P’P’’长，连接OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．【例5】如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）A．140°B．100°C．50°D．40°【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，根据轴对称的性质，可得MP＝P1M，PN＝P2N，则△PMN的周长的最小值＝P1P2，∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°，∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°，故选：B．【例6】如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E 作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；（2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．【答案】（1）结论：CF=2DG，理由见解析；（2）△PCD的周长的最小值为26．【详解】（1）结论：CF=2DG．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，∵DE=AE，∴AD=CD=2DE，∵EG⊥DF，∴∠DHG=90°，∴∠CDF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°，∴∠CDF=∠DEG，∴△DEG∽△CDF，∴DGCF=DEDC=12，∴CF=2DG．（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时△PDC的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK．由题意：CD=AD=10，ED=AE=5，DG=52，552，DH=DE DGEG⋅5∴EH=2DH=25∴HM=DH EHDE⋅=2，∴=1，在Rt△DCK中，，∴△PCD的周长的最小值为．【例7】如图，抛物线y=ax2﹣5ax+c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A（﹣3，0），C（0，4），点B在x轴上，AC=BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM=BN，连接MN，AM，AN．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）当△CMN是直角三角形时，求点M的坐标；（3）试求出AM+AN的最小值．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣16x2+56x+4；D点坐标为（3，5）；（2）M点的坐标为（0，169）或（0，119）；（3）AM+AN．【详解】（1）把A（﹣3，0），C（0，4）代入y=ax2﹣5ax+c得91504a a cc++=⎧⎨=⎩，解得164ac⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为y=﹣16x2+56x+4；∵AC=BC，CO⊥AB，∴OB=OA=3，∴B（3，0），∵BD⊥x轴交抛物线于点D，∴D点的横坐标为3，当x=3时，y=﹣16×9+56×3+4=5，∴D点坐标为（3，5）；（2）在Rt△OBC中，=，设M（0，m），则BN=4﹣m，CN=5﹣（4﹣m）=m+1，∵∠MCN=∠OCB，∴当CM CNCO CB=时，△CMN∽△COB，则∠CMN=∠COB=90°，即4145m m-+=，解得m=169，此时M点坐标为（0，169）；当CM CNCB CO=时，△CMN∽△CBO，则∠CNM=∠COB=90°，即4154m m-+=，解得m=119，此时M点坐标为（0，119）；综上所述，M点的坐标为（0，169）或（0，119）；（3）连接DN，AD，如图，∵AC=BC，CO⊥AB，∴OC平分∠ACB，∴∠ACO=∠BCO，∵BD∥OC，∴∠BCO=∠DBC，∵DB=BC=AC=5，CM=BN，∴△ACM≌△DBN，∴AM=DN，∴AM+AN=DN+AN，而DN+AN≥AD（当且仅当点A、N、D共线时取等号），∴DN+AN的最小值==，∴AM+AN．题型三：两定两动模型模型作法结论点P 、Q 在∠AOB 内部，在OB 边上找点D ，OA 边上找点C ，使得四边形PQDC 周长最小．分别作点P 、Q 关于OA 、OB 的对称点P ′、Q ′，连接P ′Q ′，分别交OA 、OB 于点C 、D ，点C 、D 即为所求．PC ＋CD ＋DQ 的最小值为P ′Q ′，所以四边形PQDC 周长的最小值为PQ ＋P ′Q ′【例8】如图，在矩形ABCD 中，4AB =，7BC =，E 为CD 的中点，若P Q 、为BC 边上的两个动点，且2PQ =，若想使得四边形APQE 的周长最小，则BP 的长度应为__________.【答案】103【详解】解：如图，在AD 上截取线段AF=DE=2，作F 点关于BC 的对称点G ，连接EG 与BC 交于一点即为Q 点，过A 点作FQ 的平行线交BC 于一点，即为P 点，过G 点作BC 的平行线交DC 的延长线于H 点．∵E 为CD 的中点，∴CE=2∴GH=DF=5，EH=2+4=6，∠H=90°，∵BC//GH∴QCE~GHE,∴CQ EC GH EH=,∴2 56 CQ=，∴CQ=5 3，∴BP=CB-PQ-CQ=7-2-510 33 =．故答案为10 3．【例9】如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=304，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ=______．【答案】16．【详解】作PE⊥l1于E交l2于F，在PF上截取PC=8，连接QC交l2于B，作BA⊥l1于A，此时PA+AB+BQ最短．作QD⊥PF于D．在Rt△PQD中，∵∠D=90°，PQ=，PD=18，∴DQ==，∵AB=PC=8，AB∥PC，∴四边形ABCP是平行四边形，∴PA=BC，CD=10，∴PA+BQ=CB+BQ=QC===16．故答案为16．题型四：两定点一定长正半轴上，且OA＝6，OC＝4，D为OC中点，点E、F在线段OA上，点E在点F左侧，EF＝2.当四边形BDEF的周长最小时，求点E的坐标．【解析】如图，将点D向右平移2个单位得到D'(2，2)，作D'关于x轴的对称点D"(2，－2)，连接BD"交x轴于点F，将点F向左平移2个单位到点E，此时点E和点F为所求作的点，且四边形BDEF周长最小.理由：∵四边形BDEF的周长为BD＋DE＋EF＋BF，BD与EF是定值.∴BF＋DE最小时，四边形BDEF周长最小，∵BF ＋ED ＝BF ＋FD '＝BF ＋FD "＝BD "设直线BD "的解析式为y ＝kx ＋b ，把B (6，4)，D "(2，－2)代入，得6k ＋b ＝4，2k ＋b ＝－2，解得k ＝32，b ＝－5，∴直线BD "的解析式为y ＝32x －5．令y ＝0，得x ＝103，∴点F 坐标为(103，0)．∴点E 坐标为(43，0)．【例11】村庄A 和村庄B 位于一条小河的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直的桥，桥址应如何选择，才使A 与B 之间的距离最短？ABl 2l 1【解答】设l 1和l 2为河岸，作BD ⊥l 2，取BB '等于河宽，连接AB '交l 1于C 1，作C 1C 2⊥l 2于C 2，则A →C 1→C 2→B 为最短路线，即A 与B 之间的距离最短.提分作业1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6．AB =12，AD 平分∠CAB ，点F 是AC 的中点，点E 是AD 上的动点，则CE +EF 的最小值为()A ．3B ．4C ．33D ．3【解析】此处E点为折点，可作点C关于AD的对称，对称点C’在AB上且在AB中点，化折线段CE+EF为C’E+EF，当C’、E、F共线时得最小值，C’F为CB的一半，故选C．2．如图，在锐角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，交AC于点D，M、N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是()A3B．2C．3D．4【解析】此处M点为折点，作点N关于BD的对称点，恰好在AB上，化折线CM+MN为CM+MN’．因为M、N皆为动点，所以过点C作AB的垂线，可得最小值，选C．3．如图，在正方形ABCD中，AB=9，点E在CD边上，且DE=2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是（）A．310B．103C．9D．92【答案】A【详解】解：如图，连接BE，设BE与AC交于点P′，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与D关于AC对称，∴P′D=P′B，∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE最小．即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度．∵直角△CBE中，∠BCE=90°，BC=9，CE=13CD=3，∴BE2293 =310．故选A．4．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AB＝8，P是AC上一动点，则PB+PE 的最小值_____．【答案】10【详解】解：如图：连接DE交AC于点P，此时PD＝PB，PB+PE＝PD+PE＝DE为其最小值，∵四边形ABCD为正方形，且BE＝2，AB＝8，∴∠DAB＝90°，AD＝AB＝8，AE＝AB-BE＝6，在Rt△ADE中，根据勾股定理，得DE22AD AE+2286+＝10．∴PB+PE的最小值为10．故答案为10．5．如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（3，0）是OB 上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为______．【答案】（32，32）．【详解】解：作N 关于OA 的对称点N ′，连接N ′M 交OA 于P ，则此时，PM +PN 最小，∵OA 垂直平分NN ′，∴ON =ON ′，∠N ′ON =2∠AON =60°，∴△NON ′是等边三角形，∵点M 是ON 的中点，∴N ′M ⊥ON ，∵点N （3，0），∴ON =3，∵点M 是ON 的中点，∴OM =1.5，∴PM =2，∴P （32，2）．故答案为：（32，2）．6．如图，等边△ABC 的边长为4，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上的动点，E 是AC 边上一点，若AE ＝2，当EF ＋CF 取得最小值时，则∠ECF 的度数为多少？【答案】∠ECF ＝30º【解析】过E 作EM ∥BC ，交AD 于N ，如图所示：∵AC ＝4，AE ＝2，∴EC ＝2＝AE ，∴AM ＝BM ＝2，∴AM ＝AE ，∵AD 是BC 边上的中线，△ABC 是等边三角形，∴AD ⊥BC ，∵EM ∥BC ，∴AD ⊥EM ，∵AM ＝AE ，∴E 和M 关于AD 对称，连接CM 交AD 于F ，连接EF ，则此时EF ＋CF 的值最小，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB ＝60º，AC ＝BC ，∵AM ＝BM ，∴∠ECF ＝∠ACB ＝30º.7．在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A (3，0)，B (0，4)，D 为边OB 的中点．（1）若E 为边OA 上的一个动点，求△CDE 的周长最小值；（2）若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF ＝1，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标．【解析】(1)如图，作点D 关于x 轴的对称点D '，连接CD '与x 轴交于点E ，连接DE ，由模型可知△CDE 的周长最小．∵在矩形OACB 中，OA ＝3，OB ＝4，D 为OB 的中点，∴D (0，2)，C (3，4)，D '(0，－2).设直线CD '为y ＝kx ＋b ，把C (3，4)，D '(0，－2)代入，得3k ＋b ＝4，b ＝－2，解得k ＝2，b ＝－2，∴直线CD '为y ＝2x －2.令y ＝0，得x ＝1，∴点E 的坐标为(1，0).∴OE ＝1，AE ＝2.利用勾股定理得CD ＝13，DE ＝5，CE ＝25，∴△CDE 周长的最小值为13＋35．(2)如图，将点D 向右平移1个单位得到D '(1，2)，作D '关于x 轴的对称点D ″(1，－2)，连接CD ″交x 轴于点F ，将点F 向左平移1个单位到点E ，此时点E 和点F 为所求作的点，且四边形CDEF 周长最小．理由：∵四边形CDEF 的周长为CD ＋DE ＋EF ＋CF ，CD 与EF 是定值，∴DE ＋CF 最小时，四边形BDEF 周长最小，∴DE ＋CF ＝D 'F ＋CF ＝FD ″＋CF ＝CD ″，设直线CD ″的解析式为y ＝kx ＋b ，把C (3，4)，D (1，－2)代入，得3k ＋b ＝4，k ＋b ＝－2，解得k ＝3，b ＝－5．∴直线CD ″的解析式为y ＝3x －5，令y ＝0，得x ＝53，∴点F 坐标为(53，0)，∴点E 坐标为(23，0)．8．如图所示抛物线2y ax bx c =++过点()1,0A -，点()0,3C ，且OB OC =（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点,D E 在直线1x =上的两个动点，且1DE =，点D 在点E 的上方，求四边形ACDE 的周长的最小值；（3）点P 为抛物线上一点，连接CP ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3∶5两部分，求点P 的坐标.【答案】（1）2y x 2x 3=-++，对称轴为直线1x =；（2）四边形ACDE 的周长最小值1；（3）12(4,5),(8,45)P P --【详解】（1）∵OB=OC ，∴点B （3，0），则抛物线的表达式为：y=a （x+1）（x-3）=a （x 2-2x-3）=ax 2-2ax-3a ，故-3a=3，解得：a=-1，故抛物线的表达式为：y=-x 2+2x+3…①；对称轴为：直线1x =（2）ACDE 的周长=AC+DE+CD+AE ，其中、DE=1是常数，故CD+AE 最小时，周长最小，取点C 关于函数对称点C （2，3），则CD=C′D ，取点A′（-1，1），则A′D=AE ，故：CD+AE=A′D+DC′，则当A′、D 、C′三点共线时，CD+AE=A′D+DC′最小，周长也最小，四边形ACDE 的周长的最小值=AC+DE+CD+AE=；（3）如图，设直线CP 交x 轴于点E ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3：5两部分，又∵S △PCB ：S △PCA =12EB×（y C -y P ）：12AE×（y C -y P ）=BE ：AE ，则BE ：AE ，=3：5或5：3，则AE=52或32，即：点E 的坐标为（32，0）或（12，0），将点E 、C 的坐标代入一次函数表达式：y=kx+3，解得：k=-6或-2，故直线CP 的表达式为：y=-2x+3或y=-6x+3…②联立①②并解得：x=4或8（不合题意值已舍去），故点P 的坐标为（4，-5）或（8，-45）．9．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的边BC 交x 轴于点D ，AD x ⊥轴，反比例函数(0)k y x x=>的图象经过点A ，点D 的坐标为(3,0)，AB BD =．（1）求反比例函数的解析式；（2）点P 为y 轴上一动点，当PA PB +的值最小时，求出点P 的坐标．【答案】（1）9y x =；（2）12(0,)5【详解】解：（1）∵OABC 是矩形，∴90B OAB ︒∠=∠=，∵AB DB =，∴45BAD ADB ︒∠=∠=，∴45OAD ∠=，又∵AD x ⊥轴，∴45OAD DOA ︒∠=∠=，∴OD AD =，∵(3,0)D ∴3OD AD ==，即(3,3)A 把点(3,3)A 代入的k y x=得，9k =∴反比例函数的解析式为：9y x=．答：反比例函数的解析式为：9y x =．（2）过点B 作BE AD ⊥垂足为E ，∵90B =∠，AB BD =，BE AD⊥∴1322AE ED AD ===，∴39322OD BE +=+=，∴93(,)22B ，则点B 关于y 轴的对称点193(,22B -，直线1AB 与y 轴的交点就是所求点P ，此时PA PB +最小，设直线AB 1的关系式为y kx b =+，将(3,3)A ,193(,)22B -，代入得，339322k b k +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩解得：15k =，125b =，∴直线1AB 的关系式为11255y x =+，当0x =时，125y =，∴点12 (0,)5 P答：点P的坐标为12 (0,)5．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139），【详解】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩，解得33pq=⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3，解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝，解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13，∴直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13，解方程组2231133y x xy x⎧-++⎪⎨--⎪⎩＝＝，解得1xy=-⎧⎨=⎩或103139xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P点坐标为（103，﹣139）.综上所述，符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139）.。

2025年中考数学二轮复习专题：利润问题应用题训练例1.某水果店以4元/千克的价格购进一批水果，由于销售状况良好，该店又再次购进同一种水果，第二次进货价格比第一次每千克便宜了1元，所购水果重量恰好是第一次购进水果重量的2倍，这样该水果店两次购进水果共花去了2000元．（1）该水果店两次分别购买了多少元的水果？（2）在销售中，尽管两次进货的价格不同，但水果店仍以相同的价格售出，若第一次购进的水果有3%的损耗，第二次购进的水果有4%的损耗，该水果店希望售完这些水果获利不低于3780元，则该水果每千克售价至少为多少元？例2. 某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元．设该工厂生产了甲产品x （吨），生产甲、乙两种产品获得的总利润为y（万元）．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若每生产1吨甲产品需要A原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要A原料0.5吨．受市场影响，该厂能获得的A原料至多为1000吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润．【变式练习1】某超市计划购进甲、乙两种商品，两种商品的进价、售价如下表： 若超市销售甲、乙两种商品共50件，其中销售甲种商品为a 件（a ≥30），设销售完50件甲、乙两种商品的总利润为w 元，求w 与a 之间的函数关系式，并求出w 的最小值．例3.小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为x （元），日销量为y （件），日销售利润为w （元）． （1）求y 与x 的函数关系式．（2）求日销售利润w （元）与销售单价x （元）的函数关系式，当x 为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润．商品甲乙进价（元/件） 120 60 售价（元/件）200100【变式练习2】某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？【拓展提升】善于不断改进学习方法的小迪发现，对解题进行回顾反思，学习效果更好．某一天小迪有20分钟时间可用于学习．假设小迪用于解题的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图1所示，用于回顾反思的时间x（单位：分钟）与学习收益y的关系如图2所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点），且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．（1）求小迪解题的学习收益量y与用于解题的时间x之间的函数关系式；（2）求小迪回顾反思的学习收益量y与用于回顾反思的时间x的函数关系式；（3）问小迪如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这20分钟的学习收益总量最大？（限时训练第4题（1）、（2），第（3）问课堂上做）销售利润问题限时训练班级：______ 学号：____ 姓名：__________1、某水果店以4元/千克的价格购进一批水果，由于销售状况良好，该店又再次购进同一种水果，第二次进货价格比第一次每千克便宜了1元，所购水果重量恰好是第一次购进水果重量的2倍，这样该水果店两次购进水果共花去了2000元．（1）该水果店两次分别购买了多少元的水果？（2）在销售中，尽管两次进货的价格不同，但水果店仍以相同的价格售出，若第一次购进的水果有3%的损耗，第二次购进的水果有4%的损耗，该水果店希望售完这些水果获利不低于3780元，则该水果每千克售价至少为多少元？2、某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元．设该工厂生产了甲产品x（吨），生产甲、乙两种产品获得的总利润为y（万元）．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若每生产1吨甲产品需要A原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要A原料0.5吨．受市场影响，该厂能获得的A原料至多为1000吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润．3、小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为x（元），日销量为y（件），日销售利润为w（元）．（1）求y与x的函数关系式．（2）求日销售利润w（元）与销售单价x（元）的函数关系式，当x为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润．4、善于不断改进学习方法的小迪发现，对解题进行回顾反思，学习效果更好．某一天小迪有20分钟时间可用于学习．假设小迪用于解题的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图1所示，用于回顾反思的时间x（单位：分钟）与学习收益y的关系如图2所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点），且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．（1）求小迪解题的学习收益量y与用于解题的时间x之间的函数关系式；（2）求小迪回顾反思的学习收益量y与用于回顾反思的时间x的函数关系式；【变式练习1】某超市计划购进甲、乙两种商品，两种商品的进价、售价如下表： 若超市销售甲、乙两种商品共50件，其中销售甲种商品为a 件（a ≥30），设销售完50件甲、乙两种商品的总利润为w 元，求w 与a 之间的函数关系式，并求出w 的最小值．（限时训练第2题）【变式练习2】某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？商品 甲 乙 进价（元/件） 120 60 售价（元/件）200100。

中考二轮复习：线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。

基本图形解析： 一）、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。

2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。

（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型mm AB mA B mnnnm nnnm变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ）1、点与圆在直线两侧：m n mnm n m2、点与圆在直线同侧：三）、已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。

(原理用平移知识解)（1）点A、B在直线m两侧：过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。

（2）点A、B在直线m同侧：二、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边)基本图形解析：1、在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；（1）点A、B在直线m同侧：m mQQPB（2）点A 、B 在直线m 异侧：对应训练： 一、填空题：1．如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点．则PB +PE 的最小值是 ． 2．如图，⊙O 的半径为2，点A 、B 、C 在⊙O 上，OA ⊥OB ，∠AOC =60°，P 是OB 上一动点，则PA +PC 的最小值是 ．3．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是 ．4．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AD ＝4，AB ＝5，BC ＝6，点P 是AB 上一个动点，当PC ＋PD 的和最小时，PB 的长为__________．5．已知A (－2，3)，B (3，1)，P 点在x 轴上，若PA ＋PB 长度最小，则最小值为 ．若PA —PB 长度最大，则最大值为 ．6．如图，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN ＝30°，B 为AN 弧的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA ＋PB 的最小值为 ．7、如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠A=120°，点P ，Q ，K分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK+QK的最小值为8、如图，正方形ABCD 的边长是2，∠DAC 的平分线交DC 于点E ，若点P 、Q 分别是AD 和AE 上的动点，则第1题 第2题 第3题 第4题 mB'PP'DQ+PQ 的最小值为 ．二、综合题：1．如图，∠AOB =45°，P 是∠AOB 内一点，PO =10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值．2．如图，已知平面直角坐标系，A ，B 两点的坐标分别为A (2，－3），B (4，－1）设M ，N 分别为x 轴和y 轴上的动点，请问：是否存在这样的点M (m ，0），N (0，n ),使四边形ABMN 的周长最短？若存在，请求出m ＝______，n ＝ ______（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．中考赏析：1．著名的恩施大峡谷（A ）和世界级自然保护区星斗山（B ）位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，AB =50km 、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ，向A 、B 两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP 与直线X 垂直，垂足为P ），P 到A 、B 的距离之和S 1＝PA ＋PB ，图（2）是方案二的示意图（点A 关于直线X 的对称点是A'，连接BA'交直线X 于点P ），P 到A 、B 的距离之和S 2＝PA ＋PB ．（1）求S 1、S 2，并比较它们的大小； （2）请你说明S 2＝PA ＋PB 的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B 到直线Y 的距离为30km ，请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q ，使P 、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．2．如图，抛物线y ＝35x 2－185x ＋3和y 轴的交点为A ，M 为OA 的中点，若有一动点P ，自M 点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长．3、在x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ＝1，要使四边形BCPQ的周长最小，求出P、Q两点的坐标．4．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3），B(4，－1）若C(a，0)，D(a+3，0)是x 轴上的两个动点，则当a为何值时，四边形ABDC的周长最短．5、如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.二、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边)1.直线2x-y-4=0上有一点P，它与两定点A（4，-1）、B（3，4）的距离之差最大，则P点的坐标是.2.已知A、B两个村庄的坐标分别为（2，2），（7，4），一辆汽车（看成点P）在x轴上行驶．试确定下列情况下汽车（点P）的位置：（1）求直线AB的解析式，且确定汽车行驶到什么点时到A、B两村距离之差最大？y x CB AD OE y （2）汽车行驶到什么点时，到A 、B 两村距离相等？3. 如图，抛物线y ＝－14x 2－x ＋2的顶点为A ，与y 轴交于点B ． (1)求点A 、点B 的坐标；(2)若点P 是x 轴上任意一点，求证：PA －PB ≤AB ； (3)当PA －PB 最大时，求点P 的坐标.4. 如图，已知直线y ＝21x ＋1与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线y ＝21x 2＋bx ＋c 与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为(1，0)． （1）求该抛物线的解析式；（3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使|AM －MC |的值最大，求出点M的坐标．5. 如图，直线y ＝－3x ＋2与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，点A 为y 轴正半轴上的一点，⊙A 经过点B 和点O ，直线BC 交⊙A 于点D ． （1）求点D 的坐标；（2）过O ，C ，D 三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使线段PO 与PD 之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点P 的坐标．若不存在，请说明理由．三、其它非基本图形类线段和差最值问题1、求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中，在该三角形中，其他两边是已知的，则所求线段的最大值为其他两线段之和，最小值为其他两线段之差。

2024成都中考数学二轮复习专题二次函数--将军饮马问题专项训练（学生版）目标层级图课中讲解一.两条线段之和最小内容讲解例1.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，经过B，C两点的直线为y＝．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点M，连接PC，若△PCM为直角三角形，求点P的坐标；（3）当P满足（2）的条件，且点P在直线BC上方的抛物线上时，如图2，将抛物线沿射线BC方向平移，平移后B，P两点的对应点分别为B′，P′，取AB的中点E，连接EB′，EP′，试探究EB'+EP'是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．过关检测1.已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为点D．（1）抛物线的表达式及顶点D的坐标．（2）若点F是线段AD上一个动点，如图1，当FC+FO的值最小时，求点F的坐标；2.如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（5，0），与y轴相交于点C（0，）．（1）求该函数的表达式；（2）设E为对称轴上一点，连接AE、CE；①当AE+CE取得最小值时，点E的坐标为；二.绝对值之差最大值内容讲解例1.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+x+，分别交x轴于A与B点，交y轴于点C，顶点为D，连接AD．（1）如图1，P是抛物线的对称轴上一点，当AP⊥AD时，求P的坐标；（2）在（1）的条件下，在直线AP上方、对称轴右侧的抛物线上找一点Q，过Q作QH⊥x轴，交直线AP于H，过Q作QE∥PH交对称轴于E，当▱QHPE周长最大时，在抛物线的对称轴上找一点，使|QM﹣AM|最大，并求这个最大值及此时M点的坐标．例2.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），顶点为C，点E（2，n）在抛物线上．（1）求直线AE的解析式；最大时，（2）点P为直线AE上方抛物线上的一动点，连接PA、PE．当△PAE的面积S△P AE在抛物线的对称轴上找一点F，使|FE﹣FP|的值最大，求|FE﹣FP|的最大值；过关检测1.如图，已知直线l：y＝﹣1和抛物线L：y＝ax2+bx+c（a≠0），抛物线L的顶点为原点，且经过点，直线y＝kx+1与y轴交于点F，与抛物线L交于点B（x1，y1），C（x2，y2），且x1＜x2．（1）求抛物线L的解析式；（2）点P是抛物线L上一动点．①以点P为圆心，PF为半径作⊙P，试判断⊙P与直线l的位置关系，并说明理由；②若点Q（2，3），当|PQ﹣PF|的值最大时，求点P的坐标；2.如图，抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且交y轴于点C，对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M．（1）求该抛物线的解析式．（2）在抛物线上是否存在一点N，使得|MN﹣ON|的值最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．三.线段之和最小值内容讲解例1.如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于点A（1，0）和B（3，0），与y轴交于点C．D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，在抛物线的对称轴DE上求作一点M，使△AMC的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值．例2.在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+2交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点C关于抛物线对称轴对称的点为D．（1）求点D的坐标及直线AD的解析式；（2）如图1，连接CD、AD、BD，点M为线段CD上一动点，过M作MN∥BD交线段AD 于N点，点P、Q分别是y轴、线段BD上的动点，当△CMN的面积最大时，求线段之和MP+PQ+QO的最小值；过关检测1.综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．2.如图1，已知二次函数y＝mx2+3mx﹣m的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点D和点B关于过点A的直线l：y＝﹣x﹣对称．（1）求A、B两点的坐标及二次函数解析式；（2）如图2，作直线AD，过点B作AD的平行线交直线l于点E，若点P是直线AD上的一动点，点Q是直线AE上的一动点．连接DQ、QP、PE，试求DQ+QP+PE的最小值；若不存在，请说明理由：学习任务1.如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N其顶点为D．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）求直线AC的解析式；（3）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；2.如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+3交于A，B两点，交x轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；3.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OC ＝3．（1）求抛物线的解析式；（2）点D（2，2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值．2024成都中考数学二轮复习专题二次函数--将军饮马问题专项训练（解析版）目标层级图备注：本节内容主要是二次函数之将军饮马类问题，包括三个部分，两条线段之和最小，绝对值之差最大值以及三条线段之和最小值，难度不大。

1.3 工程问题与方案问题【工程问题】思考1 ：车工班原计划每天生产50个零件，改进操作方法后，实际每天比原计划多生产6个零件，结果比原计划提前5天，并超额8个零件，设原计划车工班应该生产x个零件，则方程式可列为_______________思考2：单独干某项工程，甲队需100天完成，乙队需150天完成。

甲、乙两队合干50天后，设剩下的工程乙队干还需x天，则方程式可列为_______________例1 修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，5天可以完成，需付两队费用共3500元；若先请甲队单独做3天，再请乙队单独做6天可以完成，需付两队费用共3300元．问：（1）甲、乙两队每天的费用各为多少？（2）若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？（限时训练第1题）【变式练习1】为维护市区的生态环境，政府决定对市区周边水域的水质进行改善，甲工程队单独完成这项工程需要200天，且甲工程队每天的施工量是乙工程队的3倍．若要求乙工程队施工工期不超过300天，则甲工程队至少要施工多少天？【方案问题】例2 某商店计划一次购进两种型号的手机共110部，销售一部A型手机获利150元，销售一部B型手机获利100元，其中A型手机的进货量不超过B型手机的2倍，且商店最多购进B 型手机50台．（1）求商店共有多少种进货方案？（2）实际进货时，厂家对B型手机出厂价下调m（30＜m＜70）元．若商店保持两种手机的售价不变，请设计出手机销售总利润最大的进货方案．（限时训练第4题）【变式练习2】实际进货时，厂家对B型手机出厂价下调m（30＜m＜70）元．若商店保持两种手机的售价不变，要使（1）中所有方案获利相同，求m的值．【二元一次方程整数解类】例3 已知1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货4吨．某物流公司现有35吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．若A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次，请你帮该物流公司设计最省钱的租车方案，并求出最少租车费．（限时训练第3题）【拓展提升】期中考试即将结束，为了表彰优秀，李老师用W元钱购买奖品，若以3支钢笔和4本笔记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以4支钢笔和7本笔记本为一份奖品，则可以买40份奖品．设钢笔单价为x元/支，笔记本单价为y元/本．（1）请用y的代数式表示x；（2）若李老师用这钱恰好买75份同样的奖品，可以选择a支钢笔和b本笔记本作为一份奖品（两种奖品都要有），请求出所有可能的a，b的值．1.3 工程问题与方案问题限时训练班级：______ 学号：____ 姓名：__________ 1、修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，5天可以完成，需付两队费用共3500元；若先请甲队单独做3天，再请乙队单独做6天可以完成，需付两队费用共3300元．问：（1）甲、乙两队每天的费用各为多少？（2）若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？2.某班决定购买一些笔记本和文具盒做奖品．已知需要的笔记本数量是文具盒数量的3倍，购买的总费用不低于220元，但不高于250元．（1）商店内笔记本的售价4元/本，文具盒的售价为10元/个，设购买笔记本的数量为x，按照班级所定的费用，有几种购买方案？每种方案中笔记本和文具盒数量各为多少？（2）在（1）的方案中，哪一种方案的总费用最少？最少费用是多少元？（3）经过还价，老板同意4元/本的笔记本可打八折，10元/个的文具盒可打七折，用（2）中的最少费用最多还可以多买多少笔记本和文具盒？3、已知1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货4吨．某物流公司现有35吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．若A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次，请你帮该物流公司设计最省钱的租车方案，并求出最少租车费．4、某商店计划一次购进两种型号的手机共110部，销售一部A型手机获利150元，销售一部B型手机获利100元，其中A型手机的进货量不超过B型手机的2倍，且商店最多购进B型手机50台．（1）求商店共有多少种进货方案？（2）实际进货时，厂家对B型手机出厂价下调m（30＜m＜70）元．若商店保持两种手机的售价不变，请设计出手机销售总利润最大的进货方案．（此部分课堂完成）【变式练习1】为维护市区的生态环境，政府决定对市区周边水域的水质进行改善，甲工程队单独完成这项工程需要200天，且甲工程队每天的施工量是乙工程队的3倍．若要求乙工程队施工工期不超过300天，则甲工程队至少要施工多少天？【变式练习2】实际进货时，厂家对B型手机出厂价下调m（30＜m＜70）元．若商店保持两种手机的售价不变，要使（1）中所有方案获利相同，求m的值．【拓展提升】期中考试即将结束，为了表彰优秀，李老师用W元钱购买奖品，若以3支钢笔和4本笔记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以4支钢笔和7本笔记本为一份奖品，则可以买40份奖品．设钢笔单价为x元/支，笔记本单价为y元/本．（1）请用y的代数式表示x；（2）若李老师用这钱恰好买75份同样的奖品，可以选择a支钢笔和b本笔记本作为一份奖品（两种奖品都要有），请求出所有可能的a，b的值．。