湘教版八年级数学上《2.4线段的垂直平分线》同步练习(含答案)

湘教版八年级数学上册《2.4线段的垂直平分线》同步测试题及答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________【基础达标】1如图,四边形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足为E,下列结论不一定成立的是()A.AB=ADB.AC平分∠BCDC.AB=BDD.∠BEC∠∠DEC2在锐角∠ABC内有一点P,且满足P A=PB=PC,则点P是∠ABC()A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三条边的垂直平分线的交点3如图,线段AC的垂直平分线交线段AB于点D,∠A=50°,则∠BDC=()A.50°B.100°C.120°D.130°4如图,在∠ABC中,DE是边AC的垂直平分线,E为垂足,DE交BC于点D,若AE=6 cm,∠ABC的周长为32 cm,则∠ABD的周长是.【能力巩固】5在∠ABC中,∠A=50°,AB=AC,AB的垂直平分线DE交AC于点D,则∠DBC的度数是.6如图,在∠ACB中,∠C=90°,DE垂直平分AB,交AB于点E,交BC于点D,∠CAD∶∠DAB=4∶1,BD=10,则∠B=,AD=.【素养拓展】7如图,在∠ABC中,DM,EN分别垂直平分AC,BC,交AB于M,N两点,DM与EN相交于点F.(1)若∠CMN的周长为15 cm,求AB的长.(2)若∠MFN=70°,求∠MCN的度数.参考答案基础达标作业1.C2.D3.B4.20 cm能力巩固作业5.15°6.15°10素养拓展作业7.解:(1)∶DM、EN分别垂直平分AC和BC∶AM=CM,BN=CN∶∠CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB ∶∠CMN的周长为15 cm∶AB=15 cm.(2)∶∠MFN=70°∶∠MNF+∠NMF=180°-70°=110°∶∠AMD=∠NMF,∠BNE=∠MNF∶∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°∶∠A+∠B=90°-∠AMD+90°-∠BNE=180°-110°=70°∶AM=CM,BN=CN∶∠A=∠ACM,∠B=∠BCN∶∠MCN=180°-2(∠A+∠B)=180°-2×70°=40°.。

初中数学湘教版八年级上册第二章2.4线段的垂直平分线同步练习一、选择题1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D，E是边AB上两点，且CE所在直线垂直平分线段AD，CD平分∠BCE，AC=5cm，则BD的长为()A. 5cmB. 6cmC. 7cmD. 8cm2.如图是“一带一路”示意图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，分别连接AB、AC、BC，形成一个三角形．若想建立一个货物中转仓，使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在()A. △ABC三条中线的交点处B. △ABC三条高所在直线的交点处C. △ABC三条角平分线的交点处D. △ABC三边的垂直平分线的交点处3.如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，且BE平分∠ABC，求∠A的度数为()A. 72°B. 60°C. 54°D. 36°4.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE，分别交AB，AC于点D，E.若AD=3，BC=5，则△BEC的周长为()A. 8B. 10C. llD. 135.如图，在△ABC中，∠C=31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A的度数为()A. 31°B. 62°C. 87°D. 93°6.如图，DE是△ABC中AB边的垂直平分线，若BC=6，AC=8，则△BCE的周长为()A. 10B. 12C. 14D. 167.三角形两边的垂直平分线的交点为O，则点O()A. 到三边距离相等B. 到三顶点距离相等C. 不在第三边的垂直平分线上D. 以上都不对8.如图，△ABC中，AB=AC，腰AB的垂直平分线DE交AB于点E，交AC于点D，且∠DBC=15°，则∠A的度数是()A. 50°B. 36°C. 40°D. 45°9.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，斜边BC的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，连接CE，若AE=3，BE=5，则BC的长为()A. 8√5B. 6√5C. 4√5D. 2√510.如图，在△ABC中，DE为AC边的垂直平分线，AB=12cm，BC=10cm，则△BCE的周长为()A. 22cmB. 16cmC. 26cmD. 25cm二、填空题11.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F.若△AFC是等边三角形，则∠B=______°.12.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线．若AE=3，△ABD的周长为13，则△ABC的周长为______．13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=22.5°，DE垂直平分AB，交BC于点E，BE=8cm，则AC等于______cm．14.如图，在△ABC中，∠C=90°，点E是AC上的点，且∠1=∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，如果EC=2cm，则AE等于______．三、解答题15.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于F.求证：∠BAF=∠ACF．16.如图，在△ABC中，AB>AC．(1)用尺规作图法在AB上找一点P，使得PB=PC.(保留作图痕迹，不用写作法)(2)在(1)的条件下，连接PC，若AB=6，AC=4，求△APC的周长．17.如图所示，在等边三角形ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，OB和OC的垂直平分线交BC于E、F，求证：BE=EF=FC．18.已知：在四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，且点E是AC的中点，AC⊥BD，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点G．(1)如图1，求证：∠BGE=∠ADE；(2)如图2，若∠ABC=90°；①求证：DE=EG；②若AC=8，△BCG的面积为4，求四边形ABCD的面积．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】此题综合运用了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及判定、直角三角形的性质．根据CE垂直平分AD，得AC=CD，再根据等腰三角形的三线合一，得∠ACE=∠ECD，结合角平分线定义和∠ACB=90°，得∠ACE=∠ECD=∠DCB=30°，则∠A=60°，进而求得∠B=30°，则BD=CD=AC．【解答】解：因为CE垂直平分AD，所以AC=CD=5cm，所以∠ACE=∠ECD，因为CD平分∠ECB，所以∠ECD=∠DCB，因为∠ACB=90°，所以∠ACE=∠ECD=∠DCB=30°，所以∠A=90°−∠ACE=60°，所以∠B=90°−∠A=30°，所以∠DCB=∠B．所以BD=CD=5cm．故选A．2.【答案】D【解析】解：∵到A、B、C三地的距离相等，∴中转仓的位置应选在△ABC三边的垂直平分线的交点处，故选：D．根据题意和线段垂直平分线的性质，可以解答本题．本题考查线段的垂直平分线，解答本题的关键是明确题意，利用线段垂直平分线的性质解答．3.【答案】D【解析】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵AB的垂直平分线交AB边于点D，交AC边于点E，∴EA=EB，∴∠ABE=∠A，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC=∠A，由三角形内角和定理可得：∠ABC+∠C+∠A=5∠A=180°，解得：∠A=36°，故选：D．根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠C，根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，得到∠ABE=∠A，根据三角形内角和定理计算即可．本题考查的是线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．4.【答案】C【解析】解：∵AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于点D、E，∴AE=BE，∵AD=3，∴AB=6，∴AE+EC=AC=AB=6，∵BC=5，∴△EBC的周长=BC+BE+CE=BC+AE+CE=BC+AC=6+5=11；故选：C．由AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于点D、E，易得△EBC的周长=AC+BC；此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．5.【答案】C【解析】解：∵DE垂直平分BC，∴DB=DC，∴∠DBC=∠C=31°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=31°，∴∠A=180°−31°×3=87°，故选：C．根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC，根据等腰三角形的性质得到∠DBC=∠C= 31°，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．6.【答案】C【解析】解：∵DE是△ABC中AB边的垂直平分线，∴AE=BE，又∵BC=6，AC=8，∴△BCE的周长=BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC=14，故选：C．依据DE是△ABC中AB边的垂直平分线，即可得到AE=BE，再根据BC=6，AC=8，即可得到△BCE的周长．本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．7.【答案】B【解析】解：如图：连接OA、OB、OC，∵O为△ABC两边BC、AC的垂直平分线的交点，∴OB=OC，OA=OC，∴OA=OB=OC，∴O也在AB的垂直平分线上，且O到△ABC三顶点的距离相等，三角形的三角的平分线的交点到三角形的三边距离相等，即选项A、C、D错误，只有选项B正确；故选：B．画出图形，根据线段垂直平分线性质求出OA=OB=OC，即可得出选项．本题考查了线段垂直平分线性质的应用，能运用线段垂直平分线性质进行推理是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．8.【答案】A【解析】解：∵AB的垂直平分线DE交AC于D，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠DBC=15°，∴∠ABC=∠C=∠A+15°，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°，解得∠A=50°．故选：A．根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，再根据等边对等角可得∠A=∠ABD，∠ABC=∠C，然后根据三角形的内角和等于180°方程求解即可．本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，熟记性质与定理并列出方程是解题的关键．9.【答案】C【解析】解：∵DE是BC的垂直平分线，∴EC=EB=5，∴AC=√EC2−AE2=4，∴BC=√AB2+AC2=4√5，故选：C．根据线段垂直平分线的性质得到EC=EB=5，根据勾股定理计算即可．本题考查的是线段垂直平分线线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．10.【答案】A【解析】解：∵DE为AC边的垂直平分线∴AE=EC，∵AB=12cm，BC=10cm，∴△BCE的周长为AE+BE+BC=AB+BC=22cm．故选：A．要求△BCE的周长，知道BC=10cm，只要求得BE+CE即可，根据线段垂直平分线的性质得AE=EC，于是BE+CE=BE+AE=AB，答案可得．此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．对线段进行等效转移时解答本题的关键．11.【答案】30【解析】解：∵EF垂直平分BC，∴BF=CF，∴∠B=∠BCF，∵△ACF为等边三角形，∴∠AFC=60°，∴∠B=∠BCF=30°．故答案为：30．根据垂直平分线的性质得到∠B=∠BCF，再利用等边三角形的性质得到∠AFC=60°，从而可得∠B．本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，外角的性质，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到∠B=∠BCF．12.【答案】19【解析】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE=3，∴AC=2AE=6，AD=DC，∵AB+BD+AD=13，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=AB+BD+AD+AC=13+6=19．故答案为：19．由线段的垂直平分线的性质可得AC=2AE，AD=DC，从而可得答案．本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．13.【答案】4√2【解析】解：∵DE垂直平分AB，∴EA=EB=8，∴∠EAB=∠B=22.5°，∴∠AEC=∠EAB+∠B=45°，∴AC=EC，由勾股定理得，AC2+EC2=AE2，即AC2+AC2=82，解得，AC=4√2，故答案为：4√2．根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB=8，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理计算，得到答案．本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．14.【答案】4cm【解析】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴EA=EB，∴∠A=∠2，∵∠1=∠2，∴∠A=∠1=∠2，∵∠C=90°，∴∠A=∠1=∠2=30°，在Rt△BCE中，∠1=30°，∴BE=2CE=4，∴AE=4(cm)，故答案为：4cm．根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠2，根据直角三角形的性质得到∠A=∠1=∠2=30°，根据含30°的直角三角形的性质解答即可．本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．15.【答案】证明：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠DAC．∵FE是AD的垂直平分线，∴FA=FD．∴∠FAD=∠FDA．∵∠BAF=∠FAD+∠BAD，∠ACF=∠FDA+∠DAC，∴∠BAF=∠ACF．【解析】此题利用了角平分线的定义、线段的垂直平分线性质、等腰三角形的性质等知识.由AD是∠BAC的平分线可以得到∠BAD=∠DAC，由FE是AD的垂直平分线得到FA=FD，再根据等边对等角得到∠FAD=∠FDA，而∠BAF=∠FAD+∠BAD，∠ACF=∠FDA+∠DAC，就可以证明题目结论．16.【答案】解：(1)如图所示，点P即为所求；(2)由(1)可得PB=PC，又∵AB=6，AC=4，∴△PAC的周长=PA+PC+AC=PA+PB+AC=AB+AC=6+4=10．【解析】(1)作线段BC的垂直平分线交AB于点P，点P即为所求；(2)由作图可知：PB=PC，可证△PAC的周长=PA+PC+AC=PA+PB+AC=AB+ AC．本题主要考查了复杂作图以及线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．17.【答案】证明：在等边三角形ABC 中．∵∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点O ，OB 和OC 的垂直平分线交BC 于E 、F ， ∴∠OBC =∠OCB =30°，OE =BE ，OF =FC ．∴∠OEF =60°，∠OFE =60°.∴OE =OF =EF ．∴BE =EF =FC ．【解析】先根据线段的垂直平分线的性质和角平分线性质得到有关的角和线段之间的等量关系：∠OBC =∠OCB =30°，OE =BE ，OF =FC ；再利用三角形的外角等于不相邻的两内角和求出∠OEF =60°，∠OFE =60°.从而判定△OEF 是等边三角形即OE =OF =EF ，通过线段的等量代换求证即可．此题考查了线段的垂直平分线的性质等和三角形的外角等于不相邻的两内角和以及等边三角形的性质；进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．18.【答案】(1)证明：∵点E 是AC 的中点，AC ⊥BD ，∴AD =CD ，△ADC 是等腰三角形，∴∠DAC =∠DCA ，∵AC ⊥BD ，BF ⊥CD ，∴∠BEG =∠CFG =90°，∵∠BGE =∠FGC ，∴∠EBG =∠FCG ，∴∠EBG =∠DAE ，∵∠BEG =∠AED ，∴∠BGE =∠ADE ；(2)①证明：∵点E 是AC 的中点，AC ⊥BD ，∴△ABC 是等腰三角形，∵∠ABC =90°，∴∠BAE =∠ABE =45°，∴AE =BE ，在△AED 和△BEG 中，{∠EAD =∠EBGAE =BE ∠AED =∠BEG，∴△AED≌△BEG(ASA)，∴DE=EG；②解：∵∠ABC=90°，点E是AC的中点，∴AE=CE=BE=12AC=12×8=4，∵S△BCG=12CG⋅BE=12×CG×4=2CG，∴2CG=4，∴CG=2，∴DE=EG=CE−CG=4−2=2，∴S四边形ABCD =S△ABC+S△ADC=12AC⋅BE+12AC⋅DE=12×8×4+12×8×2=24．【解析】(1)由线段垂直平分线的性质得AD=CD，由等腰三角形的性质得∠DAC=∠DCA，证∠EBG=∠FCG，则∠EBG=∠DAE，由△AED和△BEG的内角和即可得出结论；(2)①易证△ABC是等腰三角形，∠BAE=∠ABE=45°，得AE=BE，由ASA证得△AED≌△BEG，即可得出结论；②由直角三角形的中线性质得AE=CE=BE=12AC=4，由S△BCG=12CG⋅BE求出CG=2，则DE=EG=CE−CG=2，由S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC，即可得出结果．本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的中线性质、三角形面积的计算等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．。

初中数学浙教版八年级上册第二章2.4线段的垂直平分线练习题一、选择题1.如图，C，E是直线l两侧的点，以C为圆心，CE长为半径画弧交l于A，B两点，AB的长为半径画弧，两弧交于点D，连接CA，CB，又分别以A，B为圆心，大于12CD，下列结论不一定正确的是()A. CD⊥lB. 点A，B关于直线CD对称C. 点C，D关于直线l对称D. CD平分∠ACB2.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB>AC.按下列步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，与边AB相交于点D，连结CD．下列说法不一定正确的是()A. ∠BDN=∠CDNB. ∠ADC=2∠BC. ∠ACD=∠DCBD. 2∠B+∠ACD=90°3.如图，已知△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=60°，DE垂直平分AC，连接AE，则∠BAE的度数是()A. 10°B. 15°C. 20°D. 25°4.如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为()A. 13B. 16C. 8D. 105.△ABC纸片上有一点P，量得PA=5cm，PB=5cm，则P点一定()A. 是边AB的中点B. 在边AB的中线上C. 在边AB的高上D. 在边AB的垂直平分线上6.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，DC平分∠ACB，若∠A=50°，则∠B的度数为()A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°7.如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，DE是AB的中垂线，△BDC的周长为16cm，则BC的长为()A. 5cmB. 6cmC. 8cmD. 10cm8.如图，在△ABC中，∠CDE=64°，∠A=28°，DE垂直平分BC；则∠ABD=()A. 100°B. 128°C. 108°D. 98°9.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为()A. 12B. 10C. 8D. 610.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠D=90°，AD=4，AC长为半径作弧，BC=3.分别以点A，C为圆心，大于12两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O.若点O是AC的中点，则CD的长为()A. 2√2B. 4C. 3D. √10二、填空题11.如图，在△ABC中，D是AB的中点，且CD⊥AB，∠A=45°，则∠B=______．AC长12.如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于12为半径画弧，两弧相交于点M、N；作直线MN分别交BC、AC于点D、点E，若AE=3m，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为______．13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=20°，PQ垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P.按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，DE的长为半径作弧，两弧相交AB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于12于点F；③作射线AF.若AF与PQ的夹角为α，则α=______°.14.如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；①分别以B，C为圆心，以大于12②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB=______．15.如图，在△ABC中，AC=5cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是8cm，则BC=______．三、解答题16.如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB+BD与DE的长度有什么关系？并加以证明．17.如图，在△ABC中，∠BAC=126°，MP和NQ分别是AB和AC的垂直平分线，求∠PAQ的度数．18.如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上．(1)画出△ABC中边BC上的高AD；(2)画出△ABC中边AC上的中线BE；(3)直接写出△ABE的面积为______．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了作图−基本作图：掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线)．利用基本作图可对A进行判断；利用CD垂直平分AB可对B、D进行判断；利用AC与AD不一定相等可对C进行判断．【解答】解：由作法得CD垂直平分AB，所以A、B选项正确；因为CD垂直平分AB，所以CA=CB，所以CD平分∠ACB，所以D选项正确；因为AD不一定等于AC，所以C选项错误．故选：C．2.【答案】C【解析】解：由作图可知，MN垂直平分线段BC，∴DB=DC，MN⊥BC，∴∠BDN=∠CDN，∠DBC=∠DCB，∴∠ADC=∠B+∠DCB=2∠B，∵∠A=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∴2∠B+∠ACD=90°，故选项A，B，D正确，故选：C．利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理一一判断即可．本题考查作图−基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3.【答案】C【解析】解：∵△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=60°，∴∠BAC=180°−40°−60°=80°，∵DE垂直平分AC，∴AE=CE，∴∠EAC=∠ACB=60°，∴∠BAE=∠BAC−∠EAC=20°；故选：C．由三角形内角和定理求出∠BAC=80°，由线段垂直平分线的性质得出AE=CE，由等腰三角形的性质得出∠EAC=∠ACB=60°，即可得出答案．本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识；熟练掌握线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．4.【答案】A【解析】解：∵△ABC是等腰三角形，底边BC=5，周长为21，∴AC=AB=8，又∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴△BEC的周长=BE+CE+CB=AE+CE+BC=AC+CB=13，∴△BEC的周长为13．故选：A．由于△ABC是等腰三角形，底边BC=5，周长为21，由此求出AC=AB=8，又DE是AB的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质得到AE=BE，由此得到△BEC的周长=BE+CE+CB=AE+CE+BC=AC+CB，然后利用已知条件即可求出结果．此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．5.【答案】D【解析】解：∵PA=5cm，PB=5cm，∴PA=PB，∴P点一定在边AB的垂直平分线上，故选：D．根据线段垂直平分线的判定定理解答即可．本题考查的是线段的垂直平分线的判定，掌握点到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．6.【答案】B【解析】解：∵DE垂直平分AC，∴AD=CD，∴∠A=∠ACD又∵CD平分∠ACB，∴∠ACB=2∠ACD=100°，∴∠B=180°−∠A−∠ACB=180°−50°−100°=30°，故选：B．依据线段垂直平分线的性质，即可得到∠A=∠ACD，再根据角平分线的定义，即可得出∠ACB的度数，根据三角形内角和定理，即可得到∠B的度数．本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．7.【答案】B【解析】解：∵DE是AB的中垂线，∴AD=BD，∴△BDC的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC，∵△BDC的周长为16cm，AC=10cm，∴10+BC=16，解得BC=6cm．故选：B．根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，然后推出△BDC的周长=AC+BC，代入数据进行计算即可得解．本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．8.【答案】A【解析】解：∵DE垂直平分BC，∴BD=DC，∴∠BDE=∠CDE=64°，∴∠ADB=180°−64°−64°=52°，∵∠A=28°，∴∠ABD=180°−28°−52°=100°．故选：A．直接利用线段垂直平分线的性质结合三角形内角和定理得出答案．此题主要考查了线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，正确掌握相关定理是解题关键．9.【答案】B【解析】【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，以及考查了轴对称中最短路线问题．熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．【解答】解：如图，连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=12BC×AD=12×4×AD=16，解得AD=8，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，此时M在EF和AD的交点M′上，∴△CDM的最短周长=(CM′+M′D)+CD=AD+12 BC=8+12×4=8+2=10.故选B．10.【答案】A【解析】【分析】本题考查了作图−基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度适中．求出CF与DF是解题的关键．连接FC，根据基本作图，可得OE垂直平分AC，由垂直平分线的性质得出AF=FC.再根据ASA证明△FOA≌△BOC，那么AF=BC=3，等量代换得到FC=AF=3，利用线段的和差关系求出FD=AD−AF=1.然后在直角△FDC中利用勾股定理求出CD的长．【解答】解：如图，连接FC，则AF=FC．∵AD//BC，∴∠FAO=∠BCO．在△FOA与△BOC中，{∠FAO=∠BCO OA=OC∠AOF=∠COB，∴△FOA≌△BOC(ASA)，∴AF=BC=3，∴FC=AF=3，FD=AD−AF=4−3=1．在△FDC中，∵∠D=90°，∴CD2+DF2=FC2，∴CD2+12=32，∴CD=2√2．故选：A．11.【答案】45°【解析】解：∵D是AB的中点，CD⊥AB，∴CD是线段AB的垂直平分线，∴CA=CB，∴∠B=∠A=45°，故答案为：45°．根据线段垂直平分线的性质得到CA=CB，根据等腰三角形的性质解答即可．本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．12.【答案】19cm【解析】解：由尺规作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，∴DA=DC，AC=2AE=6，∵△ABD的周长为13，∴AB+AD+BD=AB+DC+BD=AB+BC=13，则△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19(cm)，故答案为：19cm．根据尺规作图得到MN是线段AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到DA= DC，AC=2AE=6，根据三角形的周长公式计算即可．本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．13.【答案】55【解析】解：如图，∵△ABC是直角三角形，∠C=90°，∴∠B+∠BAC=90°，∵∠B=20°，∴∠BAC=90°−∠B=90°−20°=70°，∵AM是∠BAC的平分线，∴∠2=12∠BAC=12×70°=35°，∵PQ是AB的垂直平分线，∴△AMQ是直角三角形，∴∠AMQ+∠2=90°，∴∠AMQ=90°−∠2=90°−35°=55°，∵∠α与∠AMQ是对顶角，∴∠α=∠AMQ=55°．故答案为：55°．根据直角三角形两锐角互余得∠BAC=70°，由角平分线的定义得∠2=35°，由线段垂直平分线可得△AQM是直角三角形，故可得∠1+∠2=90°，从而可得∠1=55°，最后根据对顶角相等求出α．此题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，对顶角相等等知识，熟练掌握相关定义和性质是解题的关键．14.【答案】105°【解析】解：如图所示：∵MN垂直平分BC，∴CD=BD，∴∠DBC=∠DCB∵CD=AC，∠A=50°，∴∠CDA=∠A=50°，∵∠CDA=∠DBC+∠DCB，∴∠DCB=∠DBC=25°，∠DCA=180°−∠CDA−∠A=80°，∴∠ACB=∠CDB+∠ACD=25°+80°=105°．故答案为：105°．根据要求先画出图形，利用等腰三角形的性质以及三角形外角定理求出∠CDB和∠ACD 即可．本题考查基本作图、垂直平分线的性质、三角形的外角定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活应用这些性质解决问题，属于中考常考题型．15.【答案】3cm【解析】解：∵MN是线段AB的垂直平分线，∴NA=NB，∴AC=NA+NC=NB+NC=5，∵△BCN的周长是8，∴NB+NC+BC=8，∴BC=8−5=3(cm)，故答案为：3cm．根据线段垂直平分线的性质得到NA=NB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．16.【答案】解：AB+BD与DE的长度相等，即AB+BD=DE．理由如下：∵AD⊥BC，BD=DC，∴AB=AC．又∵点C在AE的垂直平分线上，∴AC=EC．∴AB=EC．∴AB+BD=EC+CD，即AB+BD=DE.所以AB+BD与DE的长度相等【解析】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据线段的垂直平分线的性质可得AB=AC，AC=EC，∵AC+CD=AB+BD，∴EC+ CD=AB+BD，即AB+BD=DE．17.【答案】解：∵∠BAC=126°，∴∠B+∠C=180°−126°=54°，∵MP、NQ分别垂直平分AB和AC，∴PB=PA，QC=QA．∴∠PAB=∠B，∠QAC=∠C，∴∠PAB+∠QAC=∠B+∠C=54°，∴∠PAQ=126°−54°=72°．【解析】此题考查了线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．先根据三角形内角和等于180°求出∠B+∠C=54°，再根据线段垂直平分线的性质∠PAB=∠B，∠QAC=∠C，所以∠PAB+∠QAC=54°，便不难求出∠PAQ的度数为72°．18.【答案】8【解析】解：(1)如图所示，线段AD即为所求；(2)如图所示，线段BE即为所求；(3)S△ABC=12BC⋅AD=12×4×4=8．故答案为：8．(1)根据三角形高线的定义画出图形即可；(2)根据三角形中线的定义画出图形即可；(3)根据三角形的面积公式计算即可．此题主要考查了应用设计与作图，根据题意利用网格画出符合题意的图形是解题关键．。

(第2题）E D C B A 2.4线段的垂直平分线第2课时 作线段的垂直平分线1、线段垂直平分线的性质因为 ，所以AB ＝AC.理由：2、线段垂直平分线的判定因为 ，所以点A 在线段BC 的中垂线上.理由：1、 如图，△ABC 中，AD 垂直平分边BC ，AB ＝5，那么AC ＝_________.（第1题） （第3题）（第4题）2、如图，在△ABC 中，AB 的中垂线交BC 于点E ，若BE=2则A 、E 两点的距离是（ ）.A.4B.2C.3D.12 3、如图，AB 垂直平分CD ，若AC=1.6cm ，BC=2.3cm ，则四边形ABCD的周长(第1题) A B是（）cm.A.3.9B.7.8C.4D.4.64、如图，NM是线段AB的中垂线,下列说法正确的有： .①AB⊥MN,②AD=DB，③MN⊥AB，④MD=DN，⑤AB是MN的垂直平分线.5、下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB；②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个1、已知：如图，DE是△ABC的AB边的垂直平分线，分别交AB、BC于D、E，AE平分∠BAC，若∠B=300，求∠C的度数。

2、如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线,AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E求证：（1）∠EAD=∠EDA ;（2）DF∥AC（3）∠EAC=∠B3、有特大城市A及两个小城市B、C，这三个城市共建一个污水处理厂，使得该厂到B、C两城市的距离相等，且使A市到厂的管线最短，试确定污水处理厂的位置。

4.如下图,在直线AB上找一点P,使PC =PD.5.如右图，△ABC中，AB=AC=16cm，AB的垂直平分线ED交AC于D点. （1）当AE=13cm时，BE= cm；（2）当△BEC的周长为26cm时，则BC= cm；（3）当BC=15cm，则△BEC的周长是cm.考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合◆类型一一元二次方程与三角形、四边形的综合1．(雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．102．(广安中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9C．13 D．12或93．(罗田县期中)菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2－7x ＋12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A．16 B．12 C．16或12 D．244．(烟台中考)等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为（）A．9 B．10C．9或10 D．8或105．(齐齐哈尔中考)△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x ＋15＝0的根，则△ABC的周长是．6．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为．【方法8】7．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x ＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少．【易错4】◆类型二一元二次方程与函数的综合8．(泸州中考)若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（）9．(安顺中考)若一元二次方程x 2－2x －m ＝0无实数根，则一次函数y ＝(m ＋1)x ＋m －1的图象不经过（ ）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限10．(葫芦岛中考)已知k 、b 是一元二次方程(2x ＋1)(3x －1)＝0的两个根，且k ＞b ，则函数y ＝kx ＋b 的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．(广元中考)从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数y ＝(5－m 2)x 和关于x 的一元二次方程(m ＋1)x 2＋mx ＋1＝0中m 的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m 的值是 ．12．(甘孜州中考)若函数y ＝－kx ＋2k ＋2与y ＝k x(k ≠0)的图象有两个不同的交点，则k 的取值范围是 ． .◆类型三 一元二次方程与二次根式的综合13．(达州中考)方程(m －2)x 2－3－mx ＋14＝0有两个实数根，则m 的取值范围为（ ）A ．m ＞52B ．m ≤52且m ≠2C ．m ≥3D ．m ≤3且m ≠214．(包头中考)已知关于x 的一元二次方程x 2＋k －1x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合1．B 2.A 3.A 4.B 5.86．16 解析：设矩形的长和宽分别为x 、y ，根据题意得x ＋y ＝8，所以矩形的周长为2(x ＋y)＝16.7．解：∵一元二次方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＋3＝0有两个不相等的实数根，∴Δ>0，∴(2k －1)2－4(k 2＋3)>0，即－4k －11>0，∴k<－114，令其两根分别为x 1，x 2，则有x 1＋x 2＝1－2k ，x 1·x 2＝k 2＋3，∵此方程的两个根分别是一直角三角形的两条直角边，且此直角三角形的斜边长为5，∴x 21＋x 22＝52，∴(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝25，∴(1－2k)2－2(k 2＋3)＝25，∴k 2－2k －15＝0，∴k 1＝5，k 2＝－3，∵k<－114，∴k ＝－3, ∴把k ＝－3代入原方程得到x 2－7x ＋12＝0，解得x 1＝3，x 2＝4，∴直角三角形的两直角边分别为3和4.8．B9．D 解析：∵一元二次方程x 2－2x －m ＝0无实数根，∴Δ＜0，∴Δ＝4－4×1×(－m)＝4＋4m ＜0，∴m ＜－1，∴m ＋1＜1－1，即m ＋1＜0，m －1＜－1－1，即m －1＜－2，∴一次函数y ＝(m ＋1)x ＋m －1的图象不经过第一象限．故选D.10．B 11.－2 12.k>－12且k ≠013．B 14.k≥1。