2010年全国高中数学联合竞赛试题
- 格式：doc
- 大小：182.50 KB
- 文档页数：4
2010年全国高中数学联合竞赛一试
一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
1、函数x x x f 3245)(---=
的值域为
2、已知函数x x a y sin )3cos (2-=的最小值为3-，则实数a 的取值范围为
3、双曲线122=-y x 的右半支与直线100=x 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是
4、已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，{}n b 是等比数列，其中31=a ，11=b ，22b a =，353b a =，且存在常数βα,使得对每一个正整数n 都有βα+=n n b a log ，则=+βα
5、函数23)(2-+=x x a a x f （0>a ，且1≠a ）在区间]1,1[-∈x 上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值为
6、两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两个颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮另一个人投掷。
则先投掷人获胜的概率为
7、正三棱柱111C B A ABC -的9条棱长相等，P 是1CC 的中点，二面角11B P A B --的平面角为α，则=αsin
8、方程2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解),,(z y x 的个数是
二、解答题：本大题共3小题，共56分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
9、（本题满分16分）
已知函数d cx bx ax x f +++=2
3)(，（0≠a ），当10≤≤x 时，1)(/≤x f ，求实数a 的最大值。
10、（本题满分20分）已知抛物线x y 62
=上的两个动点),(11y x A 和),(22y x B ，其中21x x ≠且421=+x x ，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC ∆的面积的最大值。
11、（本题满分20分）证明：方程02523=-+x x 恰有一个实根r ，且存在唯一严格递增的正整数数列{}n a ，使得
+++=32152a a a r r r 。
2010年全国高中数学联合竞赛二试
一、（本题满分40分）
如图所示， 锐角三角形ABC 的外心为O ，K 是边BC 上一点（不是边BC 的中点），D 是线段AK 延长线上一点，直线BD 与AC 交于点N ，直线CD 与AB 交于点M .
求证：若MN OK ⊥，则C D B A ,,,四点共圆。
二、（本题满分40分）设k 是给定的正整数，2
1+=k r 。
记][)()()1(r r r f r f ==，))(()()1()(r f f r f l l -=，2≥l 。
证明：存在正整数m ，使得)()
(r f m 为一个整数。
这里][x 表示不小于实数x 的最小整数，例如12
1=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡，[]11=。
三、（本题满分50分）给定整数2>n ，设正实数n a a ,,1 满足1≤k a ，n k ,,2,1 =，记k
a a a A k k +++= 21，n k ,,2,1 =。
证明：
2
111-<-∑∑==n A a n k n k k k 。
四、（本题满分50分）一种密码锁的密码设置是在正n 边形n A A A 21的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同.问：这种密码锁共有多少种不同的密码设置。
