数学思想与数学文化——第三讲 数学思想方法介绍(1,2)

数学思想数学方法总结数学思想与数学方法是数学研究和解决问题的基础，它们相互影响、相互促进。

数学思想是指数学家对数学对象和数学问题的认识、思考和探索所形成的思维方式和观点，而数学方法则是指通过数学思想来解决数学问题的具体方式和步骤。

本文将总结一些常见的数学思想和方法，并阐述它们的重要性和应用。

一、抽象思维是数学的重要思想之一。

数学通过将具体的数学对象抽象成一般的数学结构，从而研究和解决更一般的问题。

抽象思维使得数学理论的适用范围更广，且能够通过类比和推广，从一个具体问题中得到一般结论。

例如，数学中的向量空间概念是从几何空间中的向量概念抽象而来的，它不仅可以应用于几何问题，还可以应用于代数、物理等领域。

二、归纳思维是数学证明的重要方法之一。

通过观察和推理，我们可以从特殊情况出发，逐步推广到一般情况，从而得到一个数学结论。

归纳思维使得数学证明更加简洁和具有普遍性。

例如，数学归纳法是一种常用的证明方法，通过证明当一个命题在某个特定条件下成立时，它在所有符合该条件的情况下也成立，从而得到一般情况的结论。

三、逻辑思维是数学推理的重要方法之一。

逻辑思维能够帮助我们分析问题的结构和关系，从而找到解决问题的合适方法和步骤。

逻辑思维使得数学推理更加准确和严谨。

例如，通过使用和运用各种逻辑规则和定理，我们可以推导出新的数学结论，并证明该结论的正确性。

四、建立模型是解决实际问题的重要数学方法之一。

数学可以将现实世界的问题抽象成数学模型，通过建立数学模型，分析问题的关键因素和规律，进而找到解决问题的有效方法。

模型建立和分析是数学方法的核心内容之一。

例如，经济学中的供求模型、物理学中的力学模型，都可以通过数学的方法进行建模分析，从而得到有关经济或物理问题的解决方案。

五、计算和推测是辅助数学问题解决的重要方法之一。

通过计算和推测，我们可以验证数学问题的正确性，也可以得到一些数学问题的近似解。

计算和推测是数学方法的实践和运用过程。

n
☆数学归纳法：P(n)是一个含有自然数n的命题，
如果（1）P(n) 当n=1时成立； （2）若P(k)成立的假定下，则P(k+1)也成立。 那么P(n)对任意自然数n都成立。 这两个步骤，（1）称为归纳起点，（2）称为归纳推断。
数学归纳法是一种完全归纳法，其应用范围及其广泛。
数学归纳法用于证明。
6. 数学模型方法（基本数学方法）
☆数学模型（MM）---针对或参照某种事物系统的特征 或数量相依关系，采用形式化数学语言，概括地或近 似地表述出来的一种数学结构。 ☆数学模型方法（MM方法）---借助数学模型来揭示对 象本质特征和变化规律的方法。
☆分类：
1）由来---理论MM，经验MM 2）使用工具---微分方程MM、概率MM… 3) 涉及变量的特征---离散MM、连续MM；线性MM、非线性MM； 确定MM、随机MM、模糊MM
例2. 普丰投针实验
1777年法国科学家布丰提出的一种 计算圆周率的方法——随机投针法， 即著名的布丰投针问题。这一方法的 步骤是：
1) 取一张白纸，在上面画上许多 条间距为d的平行线；
2) 取一根长度为l（l<d） 的针， 随机地向画有平行直线的纸上掷n次， 观察针与直线相交的次数，记为m； 3）计算针与直线相交的概率．
例子： 4）导数的概念。 5）定积分的概念。 练习：
1. 求证在任何两个有理数a和b之间一定还有有理数。
2. 有没有2000个连续自然数，它们都是合数？ 3. 证明：素数的个数是无穷的。 4. 求证：对于定义域包含于实数集且关于原点对称的任何函数f(x) 都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和。
5. 化归法（基本数学方法）
☆使用各种化归方法时一般应遵循下面几个原则： a)熟悉化原则 b)简单化原则 c)和谐化原则

数学思想和数学文化
数学思想与文化的教育
• 所谓数学思想是指现实世界的空间形式和数量关 系反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果， 是对数学知识发生过程的提炼、抽象、概括和升 华，是对数学规律的理性认识，它是数学思维的 结晶，并直接支配数学的实践活动，是解决数学 问题的灵魂。所谓数学方法，就是数学思想的表 现形式，是指在数学思想的指导下，为数学活动 提供思路和逻辑手段，以及具体操作原则的方法， 是解决数学问题的根本策略和程序。数学思想和 数学方法既有联系又有区别，数学思想是数学方 法的理论基础和精神实质，数学方法是实施有关 数学思想方法的技术手段。
• 数学思想具有概括性和普遍性，数学方法具有操作性和具 体性。思想比方法在抽象程度上处于更高的层次。对于学 习者来说，思想和方法都是他们思维活动的载体，运用数 学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当 这种积累达到一定程度时就会产生飞跃，从而上升为数学 思想，一旦数学思想形成之后，便对数学方法起着指导作 用。因此，人们通常将数学思想和方法看成一个整体概 念——数学思想方法。从而可以进一步概括出数学思想方 法的含义为：
• 3.重视课堂教学实践，在知识的引进、消化 和应用过程中促使学生领悟和提炼数学思 想方法
• 4.通过范例和解题教学，综合运用数学思想 方法，巩固和深化数学思想方法，提高学 生自觉运用数学思想方法的意识。
2011版数学课标解析
宋塬电力希望小学 吴占军
认识课程标准
课标是教材编写、教学、评价、管理课程的依据
小学数学中常见的数学思想
• 1.集合思想 • 在小学数学中用这种直观方式体现集合思
想只是一种渗透，无需讲明，它利用的是 元素与集合的确定关系——一个元素要么 属于这个集合，要么不属于这个集合。作 为教师应该明确集合思想的教学目标，正 确把握教材，掌握渗透的方法，达到渗透 的目的。

第1章数学思想方法概述1、何为数学思想和方法人们做任何事情，都要在宏观上讲究策略，在微观上讲究方法。

策略与方法不当常事倍功半，策略与方法得当则事半功倍。

在数学研究与数学学习中，这种宏观上的策略称为数学思想，微观上的方法就是数学方法，二者合称数学思想方法。

在数学学习中，由于数学思想和方法是知识向能力转化的中介和桥梁，对于发展学生的能力特别是创造性思维能力具有十分重要的作用，因而数学思想方法成为数学教学的重要内容，成为近20几年来高考与中考数学命题的重点。

美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。

而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。

高考学考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。

我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。

2、高中数学常见数学思想方法①常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想、特殊与一般的思想、有限与无限的思想、或然与必然的思想等。

②常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等；③数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；④数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等；3、数学问题、数学知识、思想思想、数学方法的关系数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。

数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。

而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法对你仍起作用。