2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练69
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随堂巩固训练(69)
1. 已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是 ④ .(填序号)
①AB∥m；②AC⊥m；③AB∥β；④AC⊥β.
解析：①因为m∥α，m∥β，α⊥β，α∩β＝l，所以m∥l.因为AB∥l，所以AB∥m，故正确；②因为m∥l，AC⊥l，所以AC⊥m，故正确；③因为AB∥l，l⊂β，AB⊄β，所以AB∥β，故正确；④当C∈l时，AC⊥β；当C∉l时，AC与β不垂直，故不一定成立.
2. 不在平面α内的直线a，b在α上的射影为相交直线，则a与b的位置关系为 相交或异面 .
3. 设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是 ③ .(填序号)
①若m⊥n，n∥α，则m⊥α； ②若m∥β，β⊥α，则m⊥α；
③若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α；④若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α.
解析：①②④m与平面α可能平行、相交或m在平面α内；对于③，若m⊥β，n⊥β，则m∥n.又因为n⊥α，所以m⊥α.
4. 如果直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线有 无数 条.
解析：当直线a∥平面α时，在平面α内有无数条直线与直线a是异面垂直直线；当直线a⊂平面α时，在平面α内有无数条平行直线与直线a相交且垂直；直线a与平面α相交但不垂直，在平面α内有无数条平行直线与直线a垂直.
5. 已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中假命题是 ④ .(填序号)
①若a∥b，则α∥β；
②若α⊥β，则a⊥b；
③若a，b相交，则α，β相交；
④若α，β相交，则a，b相交.
解析：因为a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，若a∥b，则a⊥α且a⊥β，由垂直于同一直线的两个平面平行，可得α∥β，故①正确；若α⊥β，则a∥β或a⊂β，所以a⊥b，故②正确；若a，b相交，则a，b不平行，则α，β也不平行，则α，β相交，故③正确；若α，β相交，则a，b既可以是相交直线，也可以是异面直线，故④错误.
6. 如图，空间中有两个正方形ABCD和ADEF，设M，N分别是BD和AE的中点，那么以下四个命题中正确的个数是 3 Ｗ.
①AD⊥MN；②MN∥平面CDE；③MN∥CE；④MN，CE是异面直线.
解析：
由AD⊥DC，AD⊥DE，易证AD⊥平面CDE，所以AD⊥CE.又MN是
△ACE的中位线，故MN∥CE，所以AD⊥MN，因此①③正确；对于②，
因为MN∥CE，从而可得MN∥平面CDE，正确；由③可知④错误.
7. 若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，给出下
列命题：
①若m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线；
②若m，n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线；
③已知α，β互相垂直，m，n互相垂直，若m⊥α，则n⊥β；
④若m，n在平面α内的射影互相垂直，则m，n互相垂直.
其中假命题的序号是 ①③④ .
解析：平行于同一平面的两条直线可以平行、相交或异面，①为假命题；垂直于同一平面的两条直线平行，②为真命题；③中n 可以平行于平面β，也可以在平面β内，③为假命题；④中m ，n 也可以不相互垂直，④为假命题.
8. 如图，PA 垂直于圆O 所在的平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上
的一点，E ，F 分别是点A 在PB ，PC 上的射影，给出下列结论：
①AF ⊥PB ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥平面PBC.
其中正确结论的序号是 ①②③ .
解析：因为PA ⊥BC ，BC ⊥AC ，PA ∩AC ＝A ，PA ，AC ⊂平面PAC ，BC
⊄平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC ，所以BC ⊥AF ，故③正确；因为AF ⊥PC ，
BC ∩PC ＝C ，BC ，PC ⊂平面PCB ，AF ⊄平面PCB ，所以AF ⊥平面PCB ，所以
AF ⊥PB ，故①正确；因为PB ⊥AE ，AE ∩AF ＝A ，AE ，AF ⊂平面AEF ，PB ⊄平面AEF ，所以PB ⊥平面AEF ，所以PB ⊥EF ，故②正确；因为AF ⊥平面PCB ，假设AE ⊥平面PBC ，所以AE ∥AF ，显然不成立，故④错误.
9. 如图，在平行四边形ABCD 中，BD ⊥CD ，正方形ADEF 所在的平面和平面ABCD 垂直，H 是BE 的中点，G 是AE ，DF 的交点.求证：
(1) GH ∥平面CDE ；
(2) BD ⊥平面CDE.
解析：(1) 由题意得G 是AE 的中点，H 是BE 的中点，
所以GH ∥AB.
因为AB ∥CD ，所以GH ∥CD.
又因为CD ⊂平面CDE ，GH ⊄平面CDE ，
所以GH ∥平面CDE.
(2) 因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，
平面ADEF ∩平面ABCD ＝AD ，
ED ⊥AD ，ED ⊂平面ADEF ，
所以ED ⊥平面ABCD.
又BD ⊂平面ABCD ，所以ED ⊥BD.
因为BD ⊥CD ，CD ∩ED ＝D ，CD ，DE ⊂平面CDE ，
所以BD ⊥平面CDE.
10. 如图，在四棱锥PABCD 中，AB ∥DC ，DC ＝2AB ，AP ＝AD ，PB ⊥AC ，BD ⊥AC ，E 为PD 的中点.求证：
(1) AE ∥平面PBC ；
(2) PD ⊥平面ACE.
解析：(1) 取PC 的中点F ，连结EF ，BF.
因为E 为PD 的中点，
所以EF ∥DC 且EF ＝DC. 12
因为AB ∥DC 且AB ＝DC ， 12
所以EF ∥AB 且EF ＝AB ，
所以四边形ABFE 为平行四边形，
所以AE ∥BF.
因为AE ⊄平面PBC ，BF ⊂平面PBC ，
所以AE ∥平面PBC.
(2) 因为PB ⊥AC ，BD ⊥AC ，PB ∩BD ＝B ，PB ，BD ⊂平面PBD ，
所以AC ⊥平面PBD.
因为PD ⊂平面PBD ，所以AC ⊥PD.
因为AP ＝AD ，E 为PD 的中点，所以PD ⊥AE.
因为AE ∩AC ＝A ，AE ，AC ⊂平面ACE ，
所以PD ⊥平面ACE.
11. 如图，△ABC 和△BCD 所在的平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，E ，F ，G 分别为AC ，DC ，AD 的中点.
(1) 求证：EF ⊥平面BCG ；
(2) 求三棱锥DBCG 的体积.
解析：(1) 由已知得△ABC ≌△DBC ，
所以AC ＝DC.
又G 为AD 的中点，所以CG ⊥AD.
同理BG ⊥AD.
又BG ∩CG ＝G ，BG ，CG ⊂平面BCG ，
所以AD ⊥平面BGC.
又E ，F 分别为AC ，DC 的中点，
所以EF ∥AD ，
所以EF ⊥平面BCG.
(2) 在平面ABC 内，作AO ⊥BC ，交CB 的延长线于点O ，如图.
因为平面ABC ⊥平面BCD ，
平面ABC ∩平面BDC ＝BC ，AO ⊂平面ABC ，
所以AO ⊥平面BDC.
又G 为AD 的中点，所以点G 到平面BDC 的距离h 是AO 长度的一半.
在△AOB 中，AO ＝AB·sin 60°＝，所以h ＝， 332
所以V DBCG ＝V GBCD ＝S △DBC ·h ＝×BD ×BC ×sin 120°×＝. 1313123212
思维升华：(1) 证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于
平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)；③a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β；④面面垂直的
性质. (2) 证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面
垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.
(3) 线面垂直的性质，常用来证明线线垂直.。
