第2章 X射线衍射方向

X射线衍射⽅向材料分析第⼆章X射线衍射⽅向X射线照射晶体，电⼦受迫振动产⽣相⼲散射；同⼀原⼦内各电⼦散射波相互⼲涉形成原⼦散射波。

由于晶体内各原⼦呈周期排列，因此各原⼦散射波间也存在固定的位相关系⽽产⽣⼲涉作⽤，在某些⽅向上发⽣相长⼲涉，即形成了衍射波。

由此，可知衍射的本质是晶体中各原⼦相⼲散射波叠加（合成）的结果。

衍射波的两个基本特征—衍射线（束）在空间分布的⽅位（衍射⽅向）和强度，与晶体内原⼦分布规律（晶体结构）密切相关。

X射线衍射分析是以X射线在晶体中的衍射现象作为基础的。

衍射可归结为两⽅⾯的问题，即衍射⽅向及衍射强度。

布拉格⽅程是阐明衍射⽅向的基本理论，⽽倒易点阵与爱⽡尔德图解则是解决衍射⽅向的有⼒⼯具。

晶体⼏何结构是更为基础的知识，在讨论上述内容之前应该有所了解。

有关点阵、晶胞、晶系以及晶向指数、晶⾯指数等在某些课程中可能已涉及，为适应衍射分析的需要，⼤家课前应该有所准备，这⾥不在重复。

⼀、劳厄⽅程：波长为λ的⼀束X射线，以⼊射⾓α投射到晶体中原⼦间距为a的原⼦列上（图1）。

假设⼊射线和衍射线均为平⾯波，且晶胞中只有⼀个原⼦，原⼦的尺⼨忽略不计，原⼦中各电⼦产⽣的相⼲散射由原⼦中⼼点发出，那么由图1可知，相邻两原⼦的散射线光程差为：若各原⼦的散射波互相⼲涉加强，形成衍射，则光程差必须等于⼊射X射线波长λ德整数倍：式中：H为整数（0，1，2…），称为衍射级数。

⼊射X射线的⽅向S0确定后，则决定各级衍射⽅向α/⾓可由下式求得：由于只要α/⾓满⾜上式就能产⽣衍射，因此，衍射线将分布在以原⼦列为轴，以α/⾓为半顶⾓的⼀系列圆锥⾯上，每⼀个H值对应于⼀个圆锥。

在三维空间中，设⼊射X射线单位⽮量S0与三个晶轴a，b，c的交⾓分别为α，β，γ。

若产⽣衍射，则衍射⽅向的单位⽮量S 与三个晶轴的交⾓α/，β/，γ/必须满⾜：a（COSα/－COSα）= Hλb（COSβ/－COSβ）= Kλc （COSγ/－COSγ）= Lλ式中H，K，L均为整数，a，b，c分别为三个晶轴⽅向的晶体点阵常数。

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2）当晶面间距一定，
2d n
2d
即只有当λ不大于2d,才发生衍射，
且λ较小时，较易发生衍射，衍射级数 较多。
但是波长过短会造成衍射角过小，使衍射 现象难以观察，也不宜使用。常用于X射 线衍射旳波长范围为：2.5—0.5埃。
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第三节 倒易点阵与爱瓦尔德图解
倒易点阵对于解释X射线衍射方向及背面 旳电子衍射图像非常有用，对有些参数 旳计算也可大大简化，是个很有用旳工 具。
2d sinθ = nλ
这就是布拉格方程。
A
C
D
B
P′
hkl
Q′
dhkl
8
实际工作中所测旳角度不是角，而是 2 。2角是入射线和衍射线之间旳夹角， 习惯上称2角为衍射角，称为Bragg角， 或衍射半角。
9
布拉格定律：当X射线照射晶体时，只有 相邻面网散射线旳光程差为波长旳整数 倍时，才干形成干涉加强及衍射线，反 之不能。
λmin为短波极限， λmax为能够起作用旳最大波长)。 这时反射球已不是一种薄层而是具有一定厚度旳壳体，
从而倒易点落在这个壳体内者均与反射球相交，这么 也就增长了反射球与更多旳倒易点相交旳机会也即增 长了反射旳机会。 因为晶体不动，入射线和晶体作用后产生旳衍射束表 达了各晶面旳方向，所以此措施能够反应出晶体旳取 向和对称性。
旳晶面间距旳倒数。
证明：若用
R* HKL
表达从倒易原点到坐
标为(H，K，L)旳倒结点旳倒易矢量，
则有：
R* HKL
Ha
*
Kb *
Lc*
(HKL)为干涉面，即：
H=nh, K=nk, L=nl
故：R H* KL
nRh*kl

倒易矢量替换右端后有
S
S0
g
H a K b L c
上式就是倒易空间中表示衍射条件的矢量方程式。
The end
矢量的长度等于其对应晶面间距的倒数。g* hkl =1/dhkl
其方向与晶面相垂直 g* //N(晶面法线)
第二章 X射线衍射
二、劳厄(Laue)方程
X射线照射晶体产生的衍射线束的方向，不仅可以用布拉格定律描述，在
引入倒易点阵后，还能用衍射矢量方程描述。在下图中，A为原子面，N
为它的法线。假如一束X射线被晶面反射，入射线方向的单位矢量为S0，
衍射线方向的单位矢量为S，则称 S S0 为衍射矢量。
S S0
2sin
dHKL
S S0
1
d HKL
2dHKLsin =
如图所示，衍射矢量
S
S0
N
，即平行于倒易矢量。
第二章 X射线衍射
二、劳厄(Laue)方程
S S0
1
d HKL
而上式的右端就是倒易矢量的大小，因此，去掉左端的绝对值符号而用
第二章 X射线衍射
二、劳厄(Laue)方程
第二章 X射线衍射
二、劳厄(Laue)方程
劳厄(Laue)方程：倒易空间中表示衍射条件的矢量方程式
在倒易点阵中，从倒易原点到任一倒易点的矢量称倒易Байду номын сангаас量：
g hkl ha kb lc
正点阵中的一组晶面(hkl)，在倒易空间中将用 一个点Phkl表示，这一点与晶面有倒易关系， 即：倒易点Phkl取在(hkl)的法线上，且Phkl点到 倒易点阵原点的距离与晶面间距成反比。即g*

*
b ⊥ a,c平面
*
c × a ca sin β b = = V V
*
c ⊥ a, b 平面
*
*
cos β cos γ − cos α cos α = sin β sin γ
cos γ cos α − cos β cos β = sin λ sin α
*
a × b ab sin γ c = = V V
c
a
b
◆单位点阵 单胞 单位点阵(单胞 单位点阵 单胞):
1-7.swf
反映空间点阵中阵点周期性排列规律的最小 空间单元.空间点阵由单胞周期性堆砌而成 空间点阵由单胞周期性堆砌而成. 空间单元 空间点阵由单胞周期性堆砌而成 由三方向的基本矢量a、 、 及它们间夹 由三方向的基本矢量 、b、c及它们间夹 角α、β 、 γ描述.
■
布拉格方程的导出： 布拉格方程的导出：
2dSinθ = nλ
线 反 射 面 法
根据图示， 根据图示，干涉加强的条 件是： 件是：
式中：n为整数，称为反射 式中： 为整数， 为整数 数 θ为 射 反射 反射 的 ，称为 射 ， 射 射 的 ， 称为 射 ， 2θ 称为 射 θ
θ θ
θ
布拉格方程的讨论 §2.2.1 布拉格方程的讨论
点阵与晶体结构：例子
c
b a
γ-Fe, fcc
Cu3Au, simple cubic
点阵与晶体结构：例子
c
b a
γ-Fe, fcc
CuAu, tetragonal
§2.1.4 晶体学指数
◆ 晶向和晶面指数
1.6.swf
◆ 晶面族
同一晶体点阵中,具相同的晶面间距,晶面上阵点 同一晶体点阵中,具相同的晶面间距, 分布规律相同的一级晶面,记着{hkl}. 分布规律相同的一级晶面,记着{hkl}.