2007年高中总复习第一轮数学 第十二章 统计(文) 12.2 总体期望值和方差的估计

• Dξ＝25·0.8·0.2＝4.
• 此学生的成绩为随机变量设为η，则η＝4ξ • ∴Eη＝4Eξ＝80 Dη＝16Dξ＝64. • ∴此学生成绩的期望为80，方差为64.
• 题型二 期望、方差的性质
例3
设随机变量
ξ
具有分布
P(ξ
＝
k)
＝
1 5
，
k
＝
1,2,3,4,5，求 E(ξ＋2)2，D(2ξ－1)，σ(ξ－1)．
思考题 3 (1)设随机变量 X 的分布列为 P(X＝k)＝16(k ＝1,2,3,4,5,6)，求 EX，E(2X＋3)和 DX；
(2)设随机变量 X 的分布列为 P(X＝k)＝1n(k＝1,2,3，…， n)，求 EX 和 DX；
(3)一次英语测验由 50 道选择题构成，每道有 4 个选项， 其中有且仅有一个是正确的，每个选对得 3 分，选错或不 选均不得分，满分 150 分，某学生选对每一道题的概率为 0.7，求该生在这次测试中的成绩的均值与方差．
()
• A．1.2
B．2
• C．1
D．1.4
• 答案 A
解析 ξ 的可能取值为 0,1,2. P(ξ＝0)＝CC2522＝110，P(ξ＝1)＝CC31C5221＝35， P(ξ＝2)＝CC3522＝130. ∴Eξ＝0×110＋1×35＋2×130＝1.2.
• 3．(2011·东北四市联考)在相同条件下对自 行车运动员甲、乙两人进行了6次测试，测 得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：
，由此解得 y＝0.4.
• 5．(09·广东)已知离散型随机变量X的分布 列如下表．若EX＝0，DX＝1，则a＝ ________，b＝________.
答案

复习课件
高中数学 第12章 统计学初步 12.2 抽样调查方法 12.2.1 随机抽样 12.2.2 调 查问卷的设计课件 湘教版必修5
第12章 统计学初步
12．2 抽样调查方法
12．2.1 随机抽样 12．2.2 调查问卷的设计
第12章 统计学初步
1.理解并掌握简单随机抽样的概念、特点和步 骤． 2.掌握简单随机抽样的两种常用方法．
答案：②③
4．某工厂共有 n 名工人，为了调查工人的健康情况，从中 随机抽取 20 名工人作为调查对象，若每位工人被抽到的可 能性为15，则 n＝________． 解析：由于简单随机抽样为机会均等抽样． 因此由2n0＝15得 n＝100. 答案：100
5．要从某汽车厂生产的 30 辆汽车中随机抽取 3 辆进行测试， 请选择合适的抽样方法，并写出抽样过程．
解：抽样方法是抽签法，抽样过程如下： (1)将 30 辆汽车编号，号码是 01，02，…，30. (2)将号码分别写在相同纸上，揉成大小、形状都相同的团， 制成号签． (3)将得到的号签放入一个不透明的袋子中，并搅拌均匀． (4)从袋子中依次抽取 3 个号签，并记录上面的编号． (5)所得号码对应的 3 辆汽车就是要抽取的对象．
1．下列抽样方法是简单随机抽样的是( ) A．某工厂从老年、中年、青年职工中按 2∶5∶3 的比例选 取职工代表 B．从实数集中逐个抽取 10 个数分析能否被 2 整除 C．福利彩票用摇奖机摇奖 D．规定凡买到明信片的最后几位号码是“6637”的人获三等 奖
解析：选 C.简单随机抽样要求总体个数有限，从总体中逐 个进行不放回抽样，每个个体有相同的可能性被抽到．分 析可知选 C.
【解】 (1)不是简单随机抽样．因为简单随机抽样要求被 抽取的样本总体的个数是有限的． (2)不是简单随机抽样．虽然“一次性抽取”和“逐个抽取” 不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是 “逐个抽取”．

§12.2 古典概型2014高考会这样考 1.考查古典概型概率公式的应用；2.考查古典概型与事件关系及运算的综合题；3.与统计知识相结合，考查解决综合问题的能力．复习备考要这样做 1.掌握解决古典概型的基本方法，列举基本事件、随机事件，从中找出基本事件的总个数，随机事件所含有的基本事件的个数；2.复习时要加强与统计相关的综合题的训练，注重理解、分析、逻辑推理能力的提升．1． 古典概型的两个特点(1)有限性：在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件； (2)等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的． 2． 古典概型的概率公式P (A )＝事件A 包含的基本事件数试验的基本事件总数.[难点正本 疑点清源]1． 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．2． 从集合的角度去看待概率，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I ，基本事件的个数n 就是集合I 的元素个数，事件A 是集合I 的一个包含m 个元素的子集． 故P (A )＝card (A )card (I )＝mn.1． 甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是_______________．答案 13解析 甲共有3种站法，故站在中间的概率为13.2． 从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取2个数字相加，其和为偶数的概率是________．答案 25解析 从6个数中任取2个数的可能情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种，其中和为偶数的情况有(1,3)，(1,5)，(2,4)，(2,6)，(3,5)，(4,6)，共6种，所以所求的概率是25.3． 从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b >a 的概率是( )A.45B.35C.25D.15答案 D解析 基本事件的个数有5×3＝15，其中满足b >a 的有3种，所以b >a 的概率为315＝15.4． 一个口袋内装有2个白球和3个黑球，则先摸出1个白球后放回的条件下，再摸出1个白球的概率是( )A.23B.14C.25D.15答案 C解析 先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率，实质上就是第二次摸到白球的概率，因为袋内装有2个白球和3个黑球，因此概率为25.5． (2012·广东)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( )A.49B.13C.29D.19答案 D解析 个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数中必有一个奇数一个偶数，所以可以分4两类．(1)当个位为奇数时，有5×4＝20(个)符合条件的两位数． (2)当个位为偶数时，有5×5＝25(个)符合条件的两位数．因此共有20＋25＝45(个)符合条件的两位数，其中个位数为0的两位数有5个，所以所求概率为P ＝545＝19.题型一 基本事件例1 有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用(x ，y )表示结果，其中x 表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y 表示第2颗正四面体玩具出现的点数．试写出：(1)试验的基本事件；(2)事件“出现点数之和大于3”；(3)事件“出现点数相等”．思维启迪：由于出现的结果有限，每次每颗只能有四种结果，且每种结果出现的可能性是相等的，所以是古典概型．由于试验次数少，故可将结果一一列出．解(1)这个试验的基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．(2)事件“出现点数之和大于3”包含以下13个基本事件：(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．(3)事件“出现点数相等”包含以下4个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．探究提高基本事件的确定可以使用列举法和树形图法．用红、黄、蓝三种不同颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求：(1)3个矩形颜色都相同的概率；(2)3个矩形颜色都不同的概率．解所有可能的基本事件共有27个，如图所示．(1)记“3个矩形都涂同一颜色”为事件A，由图，知事件A的基本事件有1×3＝3(个)，故P(A)＝327＝1 9.(2)记“3个矩形颜色都不同”为事件B，由图，可知事件B的基本事件有2×3＝6(个)，故P(B)＝627＝2 9.题型二古典概型问题例2有编号为A 1，A2，…，A10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据：编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10直径 1.51 1.49 1.49 1.51 1.49 1.51 1.47 1.46 1.53 1.47(1)从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；(2)从一等品零件中，随机抽取2个．①用零件的编号列出所有可能的抽取结果；②求这2个零件直径相等的概率．思维启迪：确定基本事件总数，可用列举法．确定事件所包含的基本事件数，用公式求解．解(1)由所给数据可知，一等品零件共有6个，记“从10个零件中，随机抽取一个，这个零件为一等品”为事件A，则P(A)＝610＝3 5.(2)①一等品零件的编号为A1，A2，A3，A4，A5，A6，从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．②“从一等品零件中，随机抽取2个，这2个零件直径相等”记为事件B，则其所有可能结果有{A1，A4}，{A1，A6}，{A4，A6}，{A2，A3}，{A2，A5}，{A3，A5}，共6种，所以P (B )＝25.探究提高 求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A 包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择．(2012·上海)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________．(结果用最简分数表示) 答案 23解析 三位同学每人选择三项中的两项有C 23C 23C 23＝3×3×3＝27(种)选法， 其中有且仅有两人所选项目完全相同的有C 23C 13C 12＝3×3×2＝18(种)选法．∴所求概率为P ＝1827＝23.题型三 古典概型的综合应用例3 为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：(1)估计该校男生的人数；(2)估计该校学生身高在170～185 cm 之间的概率；(3)从样本中身高在180～190 cm 之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190 cm 之间的概率．思维启迪：先根据统计图确定样本的男生人数，身高在170～185 cm 之间的人数和概率，再确定身高在180～190 cm 之间的人数，转化成古典概型问题．解 (1)样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400. (2)由统计图知，样本中身高在170～185 cm 之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35(人)，样本容量为70，所以样本中学生身高在170～185 cm 之间的频率f ＝3570＝0.5.故由f 估计该校学生身高在170～185 cm 之间的概率p ＝0.5.(3)样本中身高在180～185 cm 之间的男生有4人，设其编号为①②③④，样本中身高在185～190 cm 之间的男生有2人，设其编号为⑤⑥.从上述6人中任选2人的树状图为故从样本中身高在180～190 cm 之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15，至少有1人身高在185～190 cm 之间的可能结果数为9，因此，所求概率p 2＝915＝35.探究提高 有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息，只需要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决．一汽车厂生产A ，B ，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 100 150 z 标准型300450600A 类轿车10辆． (1)求z 的值；(2)用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下： 9． 4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率． 解 (1)设该厂这个月共生产轿车n 辆， 由题意得50n ＝10100＋300，所以n ＝2 000，则z ＝2 000－100－300－150－450－600＝400. (2)设所抽样本中有a 辆舒适型轿车， 由题意得4001 000＝a5，则a ＝2.因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A 1，A 2表示2辆舒适型轿车，用B 1，B 2，B 3表示3辆标准型轿车，用E 表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，共10个． 事件E 包含的基本事件有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，共7个． 故P (E )＝710，即所求概率为710.(3)样本平均数x ＝18(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.设D 表示事件“从样本中任取一个数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D 包含的基本事件有9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0，共6个，所以P (D )＝68＝34，即所求概率为34.六审细节更完善典例：(12分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个 球，该球的编号为n ，求n <m ＋2的概率．(1)基本事件为取两个球↓(两球一次取出，不分先后，可用集合的形式表示) 把取两个球的所有结果列举出来 ↓{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4} ↓两球编号之和不大于4(注意：和不大于4，应为小于4或等于4) ↓{1,2}，{1,3}↓利用古典概型概率公式P ＝26＝13(2)两球分两次取，且有放回↓(两球的编号记录是有次序的，用坐标的形式表示) 基本事件的总数可用列举法表示↓(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4) (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)↓(注意细节，m 是第一个球的编号，n 是第2个球的编号) n <m ＋2的情况较多，计算复杂 (将复杂问题转化为简单问题) ↓计算n ≥m ＋2的概率↓n ≥m ＋2的所有情况为(1,3)，(1,4)，(2,4) ↓P 1＝316↓注意细节，P 1＝316是n ≥m ＋2的概率，需转化为其对,立事件的概率n <m ＋2的概率为1－P 1＝1316.规范解答解 (1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个．从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有{1,2}，{1,3}两个．因此所求事件的概率P ＝26＝13.[6分](2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其一切可能的结果(m ，n )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．[8分]又满足条件n ≥m ＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个， 所以满足条件n ≥m ＋2的事件的概率为P 1＝316.[10分]故满足条件n <m ＋2的事件的概率为 1－P 1＝1－316＝1316.[12分]温馨提醒 (1)本题在审题时，要特别注意细节，使解题过程更加完善．如第(1)问，注意两球一起取，实质上是不分先后，再如两球编号之和不大于4等；第(2)问，有次序．(2)在列举基本事件空间时，可以利用列举、画树状图等方法，以防遗漏．同时要注意细节，如用列举法，第(1)问应写成{1,2}的形式，表示无序，第(2)问应写成(1,2)的形式，表示有序．(3)本题解答时，存在格式不规范，思维不流畅的严重问题．如在解答时，缺少必要的文字说明，没有按要求列出基本事件．在第(2)问中，由于不能将事件n <m ＋2的概率转化成n ≥m ＋2的概率，导致数据复杂、易错．所以按要求规范解答是做好此类题 目的基本要求.方法与技巧1． 古典概型计算三步曲第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A 是什么，它包含的基本事件有多少个． 2． 确定基本事件的方法列举法、列表法、树形图法． 失误与防范1． 古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，它们是否是等可能的．2． 概率的一般加法公式：P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )．公式使用中要注意：(1)公式的作用是求A ∪B 的概率，当A ∩B ＝∅时，A 、B 互斥，此时P (A ∩B )＝0，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )；(2)要计算P (A ∪B )，需要求P (A )、P (B )，更重要的是把握事件A ∩B ，并求其概率；(3)该公式可以看作一个方程，知三可求一．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2011·课标全国)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 ( )A.13B.12C.23D.34答案 A解析 甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有3×3＝9(种)，其中甲、乙两人参加同一个小组的情况有3种．故甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率P ＝39＝13.2． (2011·陕西)甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是( )A.136 B.19C.536D.16答案 D解析 最后一个景点甲有6种选法，乙有6种选法，共有36种，他们选择相同的景点有6种，所以P ＝636＝16，所以选D.3． (2011·浙江)有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地抽取并排摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是 ( )A.15B.25C.35D.45答案 B解析 第一步先排语文书有A 22＝2(种)排法．第二步排物理书，分成两类．一类是物理书放在语文书之间，有1种排法，这时数学书可从4个空中选两个进行排列，有A 24＝12(种)排法；一类是物理书不放在语文书之间有2种排法，再选一本数学书放在语文书之间有2种排法，另一本有3种排法．因此同一科目的书都不相邻共有2×(12＋2×2×3)＝48(种)排法，而5本书全排列共有A 55＝120(种)，所以同一科目的书都不相邻的概率是48120＝25. 4． 一个袋中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是( )A.15B.310C.25D.12答案 C解析 从袋中任取两个球，其一切可能结果有(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，红1)，(黑1，红2)，(黑2，黑3)，(黑2，红1)， (黑2，红2)，(黑3，红1)，(黑3，红2)，(红1，红2)共10个，同色球为(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)，(红1，红2)共4个结果，∴P ＝25.二、填空题(每小题5分，共15分)5．(2011·福建)盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率为________．答案3 5解析从5个球中任取2个球有C25＝10(种)取法，2个球颜色不同的取法有C13C12＝6(种)，故所求概率为610＝3 5.6．从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．答案3 4解析从四条线段中任取三条有4种取法：(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中能构成三角形的取法有3种：(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，故所求的概率为34.7．在平面直角坐标系中，从五个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)中任取三个，则这三点能构成三角形的概率是________．(结果用分数表示)答案4 5解析从五个点中任取三个点有10种不同的取法，其中A、C、E和B、C、D共线．故能构成三角形10－2＝8(个)，所求概率为P＝810＝4 5.三、解答题(共22分)8．(10分)(2012·天津)某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目．(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，①列出所有可能的抽取结果；②求抽取的2所学校均为小学的概率．解(1)由分层抽样定义知，从小学中抽取的学校数目为6×2121＋14＋7＝3；从中学中抽取的学校数目为6×1421＋14＋7＝2；从大学中抽取的学校数目为6×721＋14＋7＝1.故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.(2)①在抽取到6所学校中，3所小学分别记为A 1，A 2，A 3,2所中学分别记为A 4，A 5，大学记为A 6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B )的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，共3种， 所以P (B )＝315＝15.9． (12分)已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.设集合P ＝{－1,1,2,3,4,5}，Q ＝{－2，－1,1,2,3,4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数的概率．解 分别从集合P 和Q 中任取一个数作为a 和b ，则有(－1，－2)，(－1，－1)，…，(－1,4)；(1，－2)，(1，－1)，…，(1,4)；…； (5，－2)，(5，－1)，…，(5,4)，共36种取法． 由于函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为x ＝2ba ，要使y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数， 必有a >0且2ba≤1，即a >0且2b ≤a .若a ＝1，则b ＝－2，－1；若a ＝2，则b ＝－2，－1,1； 若a ＝3，则b ＝－2，－1,1；若a ＝4，则b ＝－2，－1,1,2； 若a ＝5，则b ＝－2，－1,1,2.故满足题意的事件包含的基本事件的个数为2＋3＋3＋4＋4＝16. 因此所求概率为1636＝49.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． 投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋n i)(n －m i)为实数的概率为( )A.13B.14C.16D.112答案 C解析 复数(m ＋n i)(n －m i)＝2mn ＋(n 2－m 2)i 为实数，则n 2－m 2＝0⇒m ＝n ，而投掷两颗骰子得到点数相同的情况只有6种，所以所求概率为66×6＝16. 2． 宋庆龄基金会计划给西南某干旱地区援助，6家矿泉水企业参与了竞标．其中A 企业来自浙江省，B ，C 两家企业来自福建省，D ，E ，F 三家企业来自河南省．此项援助计划从两家企业购水，假设每家企业中标的概率相同．则在中标的企业中，至少有一家来自河南省的概率是( )A.45B.35C.12D.15答案 A解析 在六家矿泉水企业中，选取两家有15种情况，其中至少有一家企业来自河南的有12种情况，故所求概率为45.3． 连掷两次骰子分别得到点数m 、n ，则向量(m ，n )与向量(－1,1)的夹角θ>90°的概率是( )A.512 B.712C.13D.12答案 A解析 ∵(m ，n )·(－1,1)＝－m ＋n <0，∴m >n .基本事件总共有6×6＝36(个)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15(个)． ∴P ＝1536＝512，故选A.二、填空题(每小题5分，共15分)4． (2012·重庆)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为________．(用数字作答) 答案 35解析 6节课随机安排，共有A 66＝720(种)方法．课表上相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课，分三类： 第1类：文化课之间没有艺术课，有A 33·A 44＝6×24＝144(种)．第2类：文化课之间有1节艺术课，有A 33·C 13·A 12·A 33＝6×3×2×6＝216(种)． 第3类：文化课之间有2节艺术课，有A 33·A 23·A 22＝6×6×2＝72(种)． 共有144＋216＋72＝432(种)． 由古典概型概率公式得P ＝432720＝35.5． 如图在平行四边形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，P 、Q 、M 、N 分别是线段OA 、OB 、OC 、OD 的中点．在A 、P 、M 、C 中任 取一点记为E ，在B 、Q 、N 、D 中任取一点记为F .设G 为满足向量OG →＝OE →＋OF →的点，则在上述的点G 组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD 外(不 含边界)的概率为________． 答案 34解析 基本事件的总数是4×4＝16，在OG →＝OE →＋OF →中，当OG →＝OP →＋OQ →，OG →＝OP →＋ON →，OG →＝ON →＋OM →，OG →＝OM →＋OQ →时，点G 分别为该平行四边形各边的中点，此时点G 在平行四边形的边界上，而其余情况的点G 都在平行四边形外，故所求的概率是1－416＝34. 6． 若集合A ＝{a |a ≤100，a ＝3k ，k ∈N *}，集合B ＝{b |b ≤100，b ＝2k ，k ∈N *}，在A ∪B中随机地选取一个元素，则所选取的元素恰好在A ∩B 中的概率为________． 答案1667解析 易知A ＝{3,6,9，…，99}，B ＝{2,4,6，…，100}， 则A ∩B ＝{6,12,18，…，96}，其中有元素16个． A ∪B 中元素共有33＋50－16＝67(个)， ∴所求概率为1667.三、解答题7． (13分)(2012·北京)近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：“厨余垃圾”“可回收物”“其他垃圾”(1)(2)试估计生活垃圾投放错误的概率．(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a ，b ，c ，其中a >0，a ＋b ＋c ＝600.当数据a ，b ，c 的方差s 2最大时，写出a ，b ，c 的值(结论不要求证明)，并求此时s 2的值．(注：s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为数据x 1，x 2，…，x n 的平均数)解 (1)厨余垃圾投放正确的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400＋100＋100＝23.(2)设生活垃圾投放错误为事件A ，则事件A 表示生活垃圾投放正确．事件A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P (A )≈400＋240＋601 000＝0.7，所以P (A )约为1－0.7＝0.3.(3)当a ＝600，b ＝c ＝0时，s 2取得最大值． 因为x ＝13(a ＋b ＋c )＝200，所以s 2＝13[(600－200)2＋(0－200)2＋(0－200)2]＝80 000.即s 2的最大值为80 000.。

§12.1 统 计命题探究考纲解读考点 内容解读 要求 五年高考统计常考题型 预测热度 2013 2014 2015 2016 2017 1.抽样方法 1.抽样方法判断 2.样本容量的确定 A 3题5分 填空题 ★☆☆2.总体分布、总体特征数的估计1.直方图和茎叶图2.平均数和方差计算B6题 5分 6题 5分2题 5分4题 5分填空题 ★★★分析解读 统计内容是江苏高考必考内容,考试重点是总体分布、总体特征数的估计,试题一般为容易题.五年高考考点一 抽样方法1.(2017江苏,3,5分)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取 件. 答案 182.(2014广东文改编,6,5分)为了解1 000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段的间隔为 . 答案 25考点二 总体分布、总体特征数的估计1.(2017课标全国Ⅰ文改编,2,5分)为评估一种农作物的种植效果,选了n 块地作试验田.这n 块地的亩产量(单位:kg)分别为x 1,x 2,…,x n ,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 . ①x 1,x 2,…,x n 的平均数 ②x 1,x 2,…,x n 的标准差 ③x 1,x 2,…,x n 的最大值 ④x 1,x 2,…,x n 的中位数 答案 ②2.(2017山东文改编,8,5分)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位:件).若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x 和y 的值分别为 .答案 3,53.(2016江苏,4,5分)已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是 . 答案 0.14.(2016山东改编,3,5分)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是 .答案 1405.(2015江苏,2,5分)已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为 . 答案 66.(2015陕西改编,2,5分)某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为 .答案 1377.(2014江苏,6,5分)为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位:cm),所得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有 株树木的底部周长小于100 cm.答案 248.(2014陕西改编,9,5分)设样本数据x 1,x 2,…,x 10的均值和方差分别为1和4,若y i =x i +a(a 为非零常数,i=1,2,…,10),则y 1,y 2,…,y 10的均值和方差分别为 . 答案 1+a,49.(2013江苏,6,5分)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位:环),结果如下:运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87 91 90 89 93 乙 89 90 91 88 92则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 . 答案 210.(2016四川,16,12分)我国是世界上严重缺水的国家,某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查.通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.(1)求直方图中a的值;(2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,说明理由;(3)估计居民月均用水量的中位数.解析(1)由频率分布直方图,可知:月均用水量在[0,0.5)的频率为0.08×0.5=0.04.同理,在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5)等组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.由1-(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02)=0.5×a+0.5×a,解得a=0.30.(2)由(1),100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12,由以上样本的频率分布,可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12=36 000.(3)设中位数为x吨.因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5,而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5,所以2≤x<2.5.由0.50×(x-2)=0.5-0.48,解得x=2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.教师用书专用(11—13)11.(2015重庆改编,3,5分)重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下:0 8 91 2 5 82 0 03 383 1 2则这组数据的中位数是.答案2012.(2014山东改编,7,5分)为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验.所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,……,第五组.如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为.答案1213.(2013湖北理,11,5分)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在50至350度之间,频率分布直方图如图所示.(1)直方图中x的值为;(2)在这些用户中,用电量落在区间[100,250)内的户数为.答案(1)0.004 4 (2)70三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一抽样方法1.(2018江苏淮安宿迁高三期中)某校高三年级500名学生中,血型为O型的有200人,A型的有125人,B型的有125人,AB型的有50人.为研究血型与色弱之间的关系,现用分层抽样的方法从这500名学生中抽取一个容量为60的样本,则应抽取名血型为AB型的学生.答案 62.(2017江苏泰州姜堰模拟)一个单位共有职工200人,其中不超过45岁的有120人,超过45岁的有80人.为了调查职工的健康状况,用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本,应抽取超过45岁的职工人.答案103.(苏教必3,二,3,2,变式)某公司有员工500人,其中不到35岁的有125人,35~49岁的有280人,50岁以上的有95人,为了调查员工的身体健康状况,从中抽取100名员工,则应在这三个年龄段分别抽取人数为.答案25,56,19考点二总体分布、总体特征数的估计4.(2017江苏南京学情调研,3)为了解某一段公路汽车通过时的车速情况,现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的速度所得数据均在区间[40,80]中,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的200辆汽车中,速度(单位:km/h)在区间[40,60)内的汽车有辆.答案805.(2017江苏南京师范大学附中期中,3)已知一组数据3,5,4,7,6,那么这组数据的平均数为.答案 56.(2017江苏南京高淳质检,4)已知一组数据:9.7,9.9,x,10.2,10.1,若这组数据的均值为10,则这组数据的方差为.答案0.0327.(2017江苏苏州暑期调研,8)已知等差数列{a n}的公差为d,若a1,a2,a3,a4,a5的方差为8,则d的值为.答案±28.(2017江苏泰州中学模拟,4)如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损,记为x,则乙的平均成绩超过甲的概率为.答案9.(2016江苏苏北四市调研,5)交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控,从速度在50 km/h与90 km/h之间的汽车中抽取150辆进行分析,得到数据的频率分布直方图如图所示,则速度在70 km/h以下的汽车有辆.答案75B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:25分时间:10分钟)填空题(每小题5分,共25分)1.(2018江苏海安高级中学高三测试)从某校高三年级中随机抽取一个班,对该班45名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计,其结果的频率分布直方图如图.若某高校A专业的报考要求为视力在0.9以上,则该班学生中能报A专业的人数为.答案182.(2017江苏南京,盐城一模,3)已知样本数据x1,x2,x3,x4,x5的方差s2=3,则样本数据2x1,2x2,2x3,2x4,2x5的方差为.答案123.(2016江苏苏州一模,6)若一组样本数据9,8,x,10,11的平均数为10,则该组样本数据的方差为. 答案 24.(苏教必3,二,2,3,变式)如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m 为数字0~9中的一个),去掉一个最高分和一个最低分后,甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1,a2,则一定有.①a1>a2;②a2>a1;③a1=a2;④a1,a2的大小与m的值有关.答案②5.(苏教必3,二,8,变式)某学校随机抽取20个班,调查各班中有网上购物经历的人数,所得数据的茎叶图如图所示,以组距为5将数据分组成[0,5),[5,10),…,[30,35),[35,40]时,所作的频率分布直方图是.答案①C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 随机抽样1.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,…,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间[1,450]的人做问卷A,编号落入区间[451,750]的人做问卷B,其余的人做问卷C.则抽到的人中,做问卷B的人数为.答案10方法2 茎叶图问题的解题方法2.某车间20名工人年龄数据如下表:年龄(岁) 工人数(人)19 128 329 330 531 432 340 1合计20(1)求这20名工人年龄的众数与极差;(2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这20名工人年龄的茎叶图;(3)求这20名工人年龄的方差.解析(1)由题表中的数据易知,这20名工人年龄的众数是30,极差为40-19=21.(2)这20名工人年龄的茎叶图如下:1 2 3 4 98 8 8 9 9 90 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 0(3)这20名工人年龄的平均数=(19×1+28×3+29×3+30×5+31×4+32×3+40×1)=30,故方差s2=[1×(19-30)2+3×(28-30)2+3×(29-30)2+5×(30-30)2+4×(31-30)2+3×(32-30)2+1×(40-30)2]=×(121+12+3+0+4+12+100)=12.6.。