信号与系统ch04-(7)

ωc
π Sa (ω c t ) ⎤ t )⎥ ⎦
∞
理想低通滤波器：
⎧Ts ⎪ 频域：H ( jω ) = ⎨ ⎪0 ⎩
ω < ωc ↔ ω > ωc
时域：h(t ) = Ts
⎡ ∞ ⎤ ⎡ ωc f (t ) = f s (t ) ∗ h(t ) = ⎢ f (nTs )δ (t − nTs )⎥ ∗ ⎢Ts Sa (ω c ⎢n = −∞ ⎥ ⎣ π ⎣ ⎦
ω
1 TS
ω
LL
ωS −ωm 0 ω m ωS
LL
ω
− ωC 0 ω C
ω
ωs ≥ 2ωm
ωm < ωC < (ωS −ωm )
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三、频域取样定理 在频域中对F(jω)进行等间隔ωs的取样
根据时域与频域的对称性，可推出频域取样定理
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所谓“取样”就是利用取样脉冲序列s(t)从连续信号 f(t)中“抽取”一系列离散样本值的过程。 这样得到的离散信号称为取样信号fs(t) 。 它是对信号进行数字处理的第一个环节。
f (t )
fs (t )
A/D
f (k )
量化编码
s (t )
数字 滤波器
y (k )
D/ A
y (t )
Fs(jω)与F(jω)的关系 由fs(t)能否恢复f(t)?
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例1
200/2 π ______ Hz，若将它进行冲激抽样，为使抽样信号频谱 100/π 不产生混叠，最低抽样频率 f s=______Hz，奈奎斯特间 π/100 隔 Ts =______ s。
gτ (t ) ⇔ τ Sa ( ) 根据对称性： Sa (τ t ) ⇔ 2π gτ (ω ) τ 解： 2 2
(2) 信号的取样
信号的取样
f (t )
+ +
f (t )
f (t)
−
fS (t)
−
f S (t )
t
0
t
取样器
0 Ts 2Ts
取样模型
f (t )
连续信号
s (t )
1
fs (t) = f (t) ⋅ s(t)
s(t ) 取样脉冲序列
取样信号
0 Ts 2Ts
t
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(2) 信号的取样
当ω s = 2ω m，则有 ω c = ω m , Ts = 2π
ωs
=
c
π
ωc
s
此时 f (t ) =
n = −∞
∑ f (nT ) Sa[ω (t − nT ) ]
s
∞
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信号的恢复图示
f (t ) = Ts
ωc
π
n = −∞
∑ f (nT ) Sa[ω (t − nT ) ]
ωSτ
τ
∞
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（5）信号恢复
f(t) 1
F (ω )
o
t
o − ωm ωm
1 F s (ω ) Ts
ω
L
L
L
L
− ωs
ωm
ωs − ωm
ωs
ω
问题：怎样由取样信号恢复原信号？
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由取样信号恢复原信号
理想低通滤波器：
⎧Ts ⎪ H ( jω ) = ⎨ ⎪0 ⎩
1
F ( jω )
ω
从时域运算解释
− m ωm
ω
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二、时域取样定理
一个频谱在区间（-ωm，ωm)以外为0的带限信号 f(t)，可唯一地由其在均匀间隔Ts [Ts≤1/(2fm)] 上的样 点值f(kTs)确定。 注意：为恢复原信号，必须满足两个条件： （1）f(t)必须是带限信号； （2）取样频率不能太低，必须fs≥2fm， 或者说，取样间隔不能太大，必须Ts≤1/(2fm); 否则将发生混叠。 通常把最低允许的取样频率fs=2fm称为奈奎斯特 （Nyquist)频率； 把最大允许的取样间隔Ts=1/(2fm)称为奈奎斯特间隔。
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信号与系统
第四章 傅里叶变换和系统的 频域分析(7)
主讲：魏广芬 职称：副教授 院系：信息与电子工程学院 eegingkowei@
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§ 4.9 取样定理
信号取样 时域取样定理 频域取样定理
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-ωm 0
ωm
ω
(2)欲使信号 f s(t)中包含信号f (t)中的全部信息，则δT(t)的最大 抽样间隔(即奈奎斯特间隔)TN应为多少？ ω π 1 Q ω N = 2ω m , f N = m , ∴ TN = = π f N ωm
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例2
f1 (t )
H1(jω)
需要解决的问题：
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（3）冲激串取样
f (t )
⊗
δ T (t )
S
f s (t )
f(t)←→F(jω) (–ωm< ω<ωm) s(t)←→S(jω) fs(t)←→Fs (jω)
s(t ) = δ TS (t ) =
n = −∞
∑ δ (t − nT ) ↔ S (jω ) = ω ∑ δ (ω − nω )
H 2 (jω ) FS ( jω)
1
LL
- 4ω m -ωm 0
LL
ω m ωC
4ω m
从频谱图可看出： ω m ≤ ω C ≤ 3ω m
ω
理想低通滤波器频谱
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作业
习题四：4.48，4.49
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第四章 重点要求
掌握周期信号的傅里叶级数展开 掌握信号频谱的概念及特性 掌握傅里叶变换及其基本性质 掌握系统对信号响应的频域分析方法 掌握系统的频率响应函数的概念和求法 掌握线性系统的无失真传输条件 掌握理想低通滤波器的特性 掌握连续信号的理想取样模型及取样定理
一、信号取样
(1)问题的提出
信号处理的典型过程:
连续时间信号的离散过程需要解决的问题： （1）模拟信号的离散化，即怎样将f(t) fs(t) （2）fs(t)是否包含全部f(t)的信息？即 Fs(jω)与 F(jω)的关系 （3）由fs(t)能否恢复f(t)?怎样恢复？需要满足什么 条件？
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sin 100t f (t ) = 信号 100t 频谱所占带宽(包括负频率)为
ωτ
令τ =200有：Sa (100t ) ⇔
∴ ω m = 100, f m =
π
100
g 200 (ω )
100 100 1 , fS = 2 fm = , TS = 2π π fS
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取样定理的解释
f (t ) 连续信号
抽样信号 f s (t ) H ( jω )
f 0 (t ) 恢复信号
F0 ( jω)
H ( jω)
TS − ωm 0 ω m
理想低通滤波器
取样脉冲信号s ( t ) = δ T ( t ) S
F ( jω )
FS ( jω)
−ωm 0 ω m
s c s
∞
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§4.9小结和重点
取样定理论述了在一定条件下，一个连续信号完 全可以用离散样本值表示。这些样本值包含了该连续 信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原信号。 可以说，取样定理在连续信号与离散信号之间架起了 一座桥梁，为其互为转换提供了理论依据。
信号的取样原理 信号的恢复方法 时域取样定理 奈奎斯特(Nyquist) 频率和间隔
ω S > 2ω m 1
L
− ωS
F S ( jω )
TS
ω < ωc ω > ωc
L
ωS ωm ωS − ωm
H ( jω )
ω
F ( jω ) = Fs ( jω ) ⋅ H ( jω ) ↔ f (t ) = f s (t ) ∗ h(t )
TS
− ωC ωC
滤除高频成分，即可恢复原信号 对ωC要求: ωm ≤ωC≤ωS-ωm
s s
∞
∞
f s (t ) = f (t )δ TS (t ) =
1 1 ∞ Fs ( jω) = F f (t )δTS (t ) = F ( jω) ∗ωSδωS (ω) = ∑ F[j(ω − nωs )] 2π Ts n=−∞
[
]
n = −∞
∑ f (nT )δ (t − nT )
s s
∞
n = −∞
LL
- 4ω m -ωm 0
LL
ωm
4ω m
ω
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例2
如图所示信号处理系统。
f1 (t )
H1 ( jω )
ωm Sa (ω m t ) π
H1(jω)
f (t )
f S (t )
1
H2(jω)
y (t )
- 2ω m
δ T (t )
0
2ω m
ω