苏教版必修2高中数学2.1.6《点到直线的距离》word课时作业

双基达标 (限时15分钟)1．两条平行线5x －12y －2＝0,5x －12y －11＝0之间的距离为________． 解析 据平行线间距离公式，所求距离为|(－2)－(－11)|52＋(－12)2＝913. 答案 9132．两条平行线x ＋3y －4＝0,2x ＋6y －9＝0之间的距离等于________． 解析 在直线x ＋3y －4＝0上任取一点，例如取P (4,0)，则点P (4,0)到直线2x ＋6y －9＝0的距离d 就是两平行线之间的距离， ∴d ＝|2×4＋6×0－9|22＋62＝140＝1020. 答案 10203．若直线l 1：2x ＋3y －6＝0和直线l 2：4x ＋6y ＋a ＝0之间的距离为51326，则a ＝________.解析 ∵l 1：2x ＋3y －6＝0和l 2：2x ＋3y ＋a 2＝0之间的距离为51326，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＋64＋9＝51326，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＋6＝52，解得a ＝－7或－17. 答案 －7或－174．若直线y ＝2x －1与直线y ＝2x ＋b 之间的距离等于5，则b 等于________． 解析 据平行线间距离公式得|－1－b |22＋(－1)2＝5，解得b ＝4或－6. 答案 4或－65．已知两直线2x ＋3y －3＝0与mx ＋6y ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离为________．解析 因为互相平行，所以m ＝4；在第一条直线上任取点(0,1)，代入点到直线的距离公式即得它们之间的距离为d ＝72613.答案 726136．当m 变化时，求两平行直线3x －4y ＋m －1＝0与3x －4y ＋m 2＝0之间的距离d 的最小值．解 据平行线间的距离公式，d ＝|m 2－(m －1)|32＋(－4)2＝|m 2－m ＋1|5； 记f (m )＝m 2－m ＋1，则由二次函数的值域知f (m )≥34(当m ＝12时f (m )＝34)，所以|m 2－m ＋1|≥34；故d 的最小值为320.综合提高 (限时30分钟)7．与直线x －y －2＝0平行，且它们的距离为22的直线方程是________． 解析 设所求直线方程为x －y ＋m ＝0，由|m ＋2|2＝22，解得m ＝2或－6. 答案 x －y ＋2＝0或x －y －6＝08．若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c ＋2a 的值为________．解析 由题意得：36＝－2a ≠－1c ，∴a ＝－4，c ≠－2；则6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c 2＝0，由两平行线间的距离公式，得21313＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 2＋113，解得c ＝2或－6； 所以c ＋2a ＝±1.答案 ±19．已知直线l 到平行直线l 1：3x －2y －1＝0，l 2：3x －2y －13＝0的距离分别为d 1、d 2，且d 1与d 2的比值为2∶1，则直线l 的方程为________．解析 设l ：3x －2y ＋C ＝0，则d 1＝|C －(－1)|13，d 2＝|C －(－13)|13；因为d 1d 2＝21，所以||C ＋1||C ＋13＝21，解得C ＝－25或－9， 所以l 的方程为3x －2y －25＝0或3x －2y －9＝0.答案 3x －2y －25＝0或3x －2y －9＝010．若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则直线m 的倾斜角可以是________；①15°，②30°，③45°，④60°，⑤75°(写出所有正确答案的序号)解析 两直线x －y ＋1＝0与x －y ＋3＝0之间的距离为|3－1|2＝2，又动直线被l 1与l 2所截的线段长为22，故动直线与两直线的夹角应为30°，而已知两直线的倾斜角为45°，故动直线m 的倾斜角可以是15°或75°，因此只有①⑤适合．答案 ①⑤11．直线l 1过点A (0,1)，l 2过点B (5,0)，如果l 1∥l 2，且l 1与l 2的距离为5，求l 1，l 2的方程．解 (1)若l 1，l 2的斜率不存在，则l 1的方程为x ＝0，l 2的方程为x ＝5，它们之间的距离为5，满足条件．(2)若l 1，l 2的斜率存在，设斜率为k .由斜截式得l 1的方程y ＝kx ＋1，即kx －y ＋1＝0.由点斜式得l 2的方程y ＝k (x －5)，即kx －y －5k ＝0.在直线l 1上取点A (0,1)，点A 到直线l 2的距离d ＝|1＋5k |1＋k 2＝5， ∴25k 2＋10k ＋1＝25k 2＋25.∴k ＝125.∴l 1的方程为12x －5y ＋5＝0，l 2的方程为12x －5y －60＝0.综上，满足条件的直线方程有以下两组：⎩⎨⎧ l 1：12x －5y ＋5＝0l 2：12x －5y －60＝0和⎩⎨⎧l 1：x ＝0l 2：x ＝5. 12．已知正方形的中心G (－1,0)，一边所在直线的方程为x ＋3y －5＝0，求其它三边所在直线的方程．解正方形中心G(－1,0)到四边距离均为|－1－5|10＝610，设正方形与已知直线平行的一边所在直线方程为x＋3y－c1＝0，则|－1－c1|10＝610，即|c1＋1|＝6，解得c1＝5或c1＝－7；故与已知边平行的直线方程为x＋3y＋7＝0.设正方形另一组对边所在直线的方程为3x－y＋c2＝0，则|3×(－1)＋c2|10＝610，即|c2－3|＝6，解得c2＝9或c2＝－3，所以正方形另两边所在直线的方程为3x－y＋9＝0和3x－y－3＝0.综上所述，正方形其它三边所在直线的方程分别为：x＋3y＋7＝0,3x－y＋9＝0,3x－y－3＝0.13．(创新拓展)已知点P(2，－1)，求：(1)过点P且与原点的距离为2的直线方程．(2)过点P且与原点的距离最大的直线方程，并求出最大值．(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．解(1)若所求直线斜率k不存在，则所求直线l为x＝2.∴原点到l的距离为2，∴直线x＝2即为所求．若l斜率存在，则设l：y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.由已知得|2k＋1|k2＋1＝2，∴k＝34.∴直线l：y＋1＝34(x－2)，即3x－4y－10＝0.∴所求直线方程为x－2＝0或3x－4y－10＝0.(2)由题设条件知，所求直线与直线OP垂直时，过点P的直线与原点距离最大，且最大值|OP|＝ 5.此时k OP＝－12，∴k＝2.∴l的方程为y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.(3)由于原点到过点(2，－1)的直线的最大距离为5，而6＞5，∴这样的直线不存在．。

课时分层作业(十八)(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．到A (1，3)，B (－5，1)的距离相等的动点P 满足的方程是( ) A ．3x －y －8＝0 B ．3x ＋y ＋4＝0 C ．3x －y ＋6＝0 D ．3x ＋y ＋2＝0B [设P (x ，y )，则（x －1）2＋（y －3）2＝（x ＋5）2＋（y －1）2，即3x ＋y ＋4＝0.]2．点P (1，－1)到直线l ：3y ＝2的距离是( ) A ．3 B.53 C ．1D.22B [d ＝|3×（－1）－2|02＋32＝53.]3．已知直线3x ＋y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( )A ．4 B.1020 C.104D.71020 D [∵3x ＋y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，∴m ＝2.直线6x ＋2y ＋1＝0可以化为3x ＋y ＋12＝0，由两条平行直线间的距离公式，得d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋332＋12＝71020.] 4．已知点P (1＋t ，1＋3t )到直线l ：y ＝2x －1的距离为55，则点P 的坐标为( ) A ．(0，－2)B ．(2，4)C ．(0，－2)或(2，4)D ．(1，1)C [直线l ：y ＝2x －1可化为2x －y －1＝0，依题意得|2（1＋t ）－（1＋3t ）－1|22＋（－1）2＝55，整理得|t |＝1，所以t ＝1或－1.当t ＝1时，点P的坐标为(2，4)；当t ＝－1时，点P 的坐标为(0，－2)．]5．若两条平行直线2x ＋y －4＝0与y ＝－2x －k －2的距离不大于5，则k 的取值范围是( )A ．[－11，－1]B ．[－11，0]C ．[－11，－6)∪(－6，－1]D ．[－1，＋∞)C [y ＝－2x －k －2可化为2x ＋y ＋k ＋2＝0，由题意，得|k ＋2＋4|22＋12＝|k ＋6|5≤5，且k ＋2≠－4，即k ≠－6，得－5≤k ＋6≤5，即－11≤k ≤－1，且k ≠－6.] 二、填空题6．△ABC 三个顶点的坐标A (－3，2)，B (3，2)，C (4，0)，则AB 边的中线CD 的长为________．25 [AB 的中点坐标为D (0，2)，∴CD ＝42＋22＝2 5.]7．过点P (2，3)，且与原点距离最大的直线的方程为__________．2x ＋3y －13＝0 [此直线为过P (2，3)且与OP 垂直的直线，k OP ＝32，故直线方程为y －3＝－23(x －2)，即2x ＋3y －13＝0.]8．已知A (3，－1)，B (5，－2)，点P 在直线x ＋y ＝0上，若使P A ＋PB 取最小值，则P 点坐标是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫135，－135 [∵点A (3，－1)关于x ＋y ＝0的对称点为A ′(1，－3)，A ′B 的直线方程为：x －4y －13＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －4y －13＝0，x ＋y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝135，y ＝－135，得点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫135，－135.] 三、解答题9．两条互相平行的直线分别过点A (6，2)和B (－3，－1)，如果两条平行直线间的距离为d ，求：(1)d 的变化范围；(2)当d 取最大值时，两条平行直线的方程． [解](1)如图，当两条平行直线与AB 垂直时，两平行直线间的距离最大，为d ＝AB ＝（6＋3）2＋（2＋1）2＝310，当两条平行线各自绕点B ，A 逆时针旋转时，距离逐渐变小，越来越接近于0，所以0<d ≤310，即所求的d 的变化范围是(0，310]．(2)当d 取最大值310时，两条平行线都垂直于AB ，所以k ＝－1k AB＝－12－（－1）6－（－3）＝－3，故所求的平行直线方程分别为y －2＝－3(x －6)和y ＋1＝－3(x ＋3)，即3x ＋y －20＝0和3x ＋y ＋10＝0.10．直线l 过点P (1，0)，且被两条平行线l 1：3x ＋y －6＝0，l 2：3x ＋y ＋3＝0所截得的线段长为9，求l 的方程．[解] 若l 的斜率不存在，则方程为x ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋y －6＝0，得A (1，3)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋y ＋3＝0，得B (1，－6)． ∴|AB |＝9，符合要求．若l 的斜率存在，设为k ，则l 的方程为y ＝k (x －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），3x ＋y －6＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k ＋6k ＋3，3k k ＋3， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），3x ＋y ＋3＝0，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k －3k ＋3，－6k k ＋3. ∴|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k ＋6k ＋3－k －3k ＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3k k ＋3－－6k k ＋32 ＝91＋k 2（k ＋3）2.由|AB |＝9，得1＋k 2（k ＋3）2＝1，∴k ＝－43.∴l 的方程为y ＝－43(x －1)，即4x ＋3y －4＝0. 综上所述，l 的方程为x ＝1或4x ＋3y －4＝0.[等级过关练]1．已知点M (1，4)到直线l ：mx ＋y －1＝0的距离为3，则实数m ＝( ) A ．0 B.34 C ．3D ．0或34D [点M 到直线l 的距离d ＝|m ＋4－1|m 2＋1＝|m ＋3|m 2＋1，所以|m ＋3|m 2＋1＝3，解得m＝0或m ＝34，选D.]2．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1，l 2间的距离是( )A.423B.823 C ．4 2D ．2 2B [∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a （a －2）－3＝0，2a －6（a －2）≠0，解得a ＝－1.∴l 1的方程为x －y ＋6＝0，l 2的方程为－3x ＋3y －2＝0，即x －y ＋23＝0，∴l 1，l 2间的距离是⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－2312＋（－1）2＝823.]3．已知平行四边形两条对角线的交点为(1，1)，一条边所在直线的方程为3x －4y ＝12，则这条边的对边所在的直线方程为____________________．3x －4y ＋14＝0 [设所求直线方程为3x －4y ＋m ＝0， 由题意可得|－1＋m |32＋（－4）2＝|3－4－12|32＋（－4）2，解得m ＝14或m ＝－12(舍)，所以所求的直线方程为3x －4y ＋14＝0.]4．与直线l ：4x ＋3y －2＝0关于点P (1，1)对称的直线方程为________． 4x ＋3y －12＝0 [在所求直线上任取一点Q (x ，y )，则点Q 关于点P 对称的点Q ′(x ′，y ′)必在直线l 上．由⎩⎨⎧x ＋x ′2＝1，y ＋y ′2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2－x ，y ′＝2－y ，把它们代入直线l 的方程，得4(2－x )＋3(2－y )－2＝0得4x ＋3y －12＝0.]5．已知点P (a ，b )在线段AB 上运动，其中A (1，0)，B (0，1)．试求(a ＋2)2＋(b ＋2)2的取值范围．[解]由(a ＋2)2＋(b ＋2)2联想两点间距离公式，设Q (－2，－2)， 又P (a ，b ) 则PQ ＝（a ＋2）2＋（b ＋2）2，于是问题转化为PQ 的最大、最小值．如图所示，当P 与A 或B 重合时，PQ 取得最大值： （－2－1）2＋（－2－0）2＝13.当PQ ⊥AB 时，PQ 取得最小值，此时PQ 为Q 点到直线AB 的距离，由A ，B 两点坐标可得直线AB 的方程为x ＋y －1＝0.则Q 点到直线AB 的距离d ＝|－2＋（－2）－1|12＋12＝52＝522，∴(a ＋2)2＋(b ＋2)2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤252，13.。

②若pq＝0，且p＋q≠0，则“距离坐标”为(p，q)的点有且只有2个；
③若pq≠0，则“距离坐标”为(p，q)的点有且只有4个．
上述命题中，正确的命题是________．
解析：若p＝q＝0，则点M为l1与l2的交点，有1个，故①正确；若pq＝0，且p＋q≠0，则这样的点在l1或l2上(不包括l1与l2的交点)，有4个，故②不正确；若pq≠0，则点(p，q)在l1与l2相交分成的四个区域内各有1个，故③正确．
解析：法一：由图可知：符合条件的直线为y＝3，连结AB交y＝3于M，则y＝3关于直线AB对称的直线MN也满足题中条件，故共有2条．
法二：由题意知所求直线必不与y轴平行，可设直线y＝kx＋b，即kx－y＋b＝0.
d1＝ ＝1，d2＝ ＝2.
解得 或
∴符合题意的有两条直线．
答案：2
7．设直线l过点A(2,4)，它被平行线x－y＋1＝0，x－y－1＝0所截得的线段的中点在直线x＋2y－3＝0上，试求直线l的方程．
解：设l被平行线x－y＋1＝0，x－y－1＝0所截得线段的中点为M，∵M在直线x＋2y－3＝0上，∴点M可表示为(3－2k，k)．又∵M到两平行线的距离相等，
∴ ＝ ，解得k＝1，∴M(1,1)．由两点式，可得直线l的方程为3x－y－2＝0.
8．已知正方形的中心为点M(－1,0)，一条边所在直线的方程是x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程．
解析：由于点在直线x＋3y＝0上，设点的坐标为(－3a，a)，又因为直线x＋3y＝0与直线x＋3y＋2＝0平行，则两平行线间的距离为 ＝ ，根据题意有 ＝ ，解得a＝± .
答案：(－ ， )或( ，－ )
6．在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有________条．

点到直线的距离教案班级学号姓名一、学习目标（1）让学生理解点到直线距离公式的推导和掌握点到直线距离公式及其应用, 会用点到直线距离求两平行线间的距离；（2）经过将点到直线的距离转变为点到垂足的距离，培育数形联合、化归( 或转变 ) 的数学思想方法以及数学应意图识；（3）让学生认识和感觉探究问题的方法, 以及用联系的看法看问题.二、要点难点要点：点到直线距离公式及其应用.难点：点到直线距离公式的推导.三、讲堂学习（一）问题情境问题：已知 A 1,3 ， B 3, 2 ， C 6, 1 ， D 2,4 ，怎样求四边形ABCD 的面积呢？剖析：以点 D 3, 4 到直线 AB ：3x 4 y 30 0的距离为例，思虑求点到直线的距离的方法 .方法一：（基本步骤）第一步：；第二步：；第三步：；第四步：.方法二：（基本步骤）第一步：；第二步：；第三步：；第四步：.（二）公式推导一般地，关于直线 l : Ax By C0( A 0, B 0) ，外一点 P( x0 , y0 ) ，怎样求点P到直线 l 的距离？（三）数学建构一般地，关于直线 l : Ax By C0( A0, B0) ，外一点P( x0 ,y0)，点 P 到直线l 的距离为.（四）数学应用例 1：求点P( 1,2)到以下直线的距离：（1）2x y 10 0；（2）3x 2 ．变式：求过点 P( 1,2) ，且与原点的距离等于2的直线方程．2例 2：求两条平行线x 3y 4 0 和 2x 6 y 9 0 之间的距离．概括：经过此题将问题一般化，关于随意两条平行直线l 1 ： Ax By C 10 ，l 2 ： Ax By C 2 0（ C 1C 2 ）之间的距离为．练习：若直线 l 1 与直线 l 2 3x 4 y20 0 平行且距离为3 ，求直线 l 1 的方程．（五）课后作业（1）点 P 3,2 到直线 l ： 4x3y 250 的距离为；点 Q2,1 到直线 m ：3y 5 0 的距离为.（2）直线 l 1 ： 5x12 y 2 0 与 l 2 ： 5x 12 y 15 0 之间的距离为；直线 m 1 ： 6x 4 y 50 与 m 2 ： y3x 之间的距离为.（3）点 P 在 x 轴上一点， 点 P 到直线 3x 2 0 的距离为 6，则点 P 的坐标为.4y 6（4）直线 l 过原点，且点 M 5,0 到直线 l 的距离为 3，则直线 l 的方程为.（5）已知点 P x, y 在直线 x y 4 0 上， O 是原点，则 OP 的最小值为.（6）已知点 a,2 a 0 到直线 l ： xy 3 0 的距离为 1，则 a.（7）已知直线l 经过点 2,3 ，且原点到直线 l 的距离是 2，求直线 l 的方程 .（8）已知A 7,8，B 10,4，C 2, 4 ，求ABC 的面积.（9）直线l到两条平行直线2x y 2 0 和 2x y 1 0 的距离相等，求直线l 的方程.（10）点P 在直线3x y 50上，且点P 到直线x y10 的距离等于2，求点P的坐标 .。