第三章 微分中值定理与导数的应用

第3章 导数的应用学习了导数的概念后，本章将介绍微分学中值定理、利用导数求极限的方法 洛必达法则、利用导数研究函数的单调性、凹凸性等性质及函数的作图等方面的知识．3.1 中值定理目的要求：1. 理解罗尔定理的内容，会求定理中的；2. 理解拉格朗日中值定理的内容，会求定理中的，能利用其证明一些不等式；3. 了解柯西中值定理。

重点：柯西中值定理。

难点：中值定理的应用。

3.1.1 罗尔定理定理3.1 如果函数()y f x =满足：(1) 在闭区间[, ]a b 上连续； (2) 在开区间(, )a b 内可导； (3) ()()f a f b =．那么，在(, )a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=．这就是罗尔(Rolle )定理．图3-1这个定理的几何解释如图3-1所示，如果连续曲线()y f x =在开区间(, )a b 内的每一点处都存在不垂直于x 轴的切线，并且两个端点A 、B 处的纵坐标相等，即连结两端点的直线AB 平行于x 轴，则在此曲线上至少存在一点( ())C f ξξ,，使得曲线()y f x =在点C 处的切线与x 轴平行．例1 验证函数234y x x =--在区间[1, 4]-上满足罗尔定理，并求出相应的ξ点．解 函数234y x x =--为初等函数，在闭区间[1, 4]-上连续，且导数'23y x =-在开区间(1, 4)-内存在，且(1)(4)0f f -==，所以函数234y x x =--在区间[1, 4]-上满足罗尔定理的三个条件．因此，在开区间(1, 4)-内一定存在ξ点，使得()0f ξ'=．事实上，令()230f x x '=-=，解得32x =，且3(1, 4)2∈-，即32ξ=，使得 (3())02f f ξ''==．3.1.2 拉格朗日中值定理定理3.2 如果函数()y f x =满足：(1) 在闭区间[, ]a b 上连续； (2) 在开区间(, )a b 内可导．那么，在(, )a b 内，至少存在一点ξ，使得()()()f b f a f b aξ-'=-． （3-1）也可以写成()()()()f b f a f b a ξ'-=-．这就是拉格朗日(Lagrange )中值定理．在此定理中，如果区间[, ]a b 的两个端点处的函数值相等，就变成了罗尔定理．也就是说，罗尔定理是拉格朗日定理的特殊情况． 拉格朗日定理的几何解释如图3-2所示，若()y f x =是闭区间[, ]a b 上的连续曲线弧段AB ，连接点(, ())A a f a 和点(, ())B b f b 的弦AB 的斜率为()()f b f a b a--，而弧段AB上某点(, ())C f ξξ的斜率为()f ξ'．定理3.2的结论表明：在曲线弧段AB 上至少存在一点( ())C f ξξ,，使得曲线在点C 处的切线与曲线的两个端点连线AB 平行．图3-2拉格朗日定理有两个推论：推论1 如果在区间(, )a b 内，函数()y f x =的导数()f x '恒等于零，那么在区间(, )a b 内，函数()y f x =是一个常数．证明 在区间(, )a b 内任取两点1212, ()x x x x <，在12[, ]x x 上，用拉格朗日中值定理，有2121()()()()f x f x f x x ξ'-=- 12()x x ξ<<．由于函数()y f x =的导数()f x '恒等于零，所以21()()f x f x =．这说明在区间(, )a b 内，函数()y f x =的在任何两点处的函数值都相等．故在区间(, )a b 内，函数()y f x =是一个常数．推论2 如果在区间(, )a b 内，()()f x g x ''≡，则在区间(, )a b 内，()f x 与()g x 只相差一个常数，即()()f x g x C =+ (C 为一常数)．证 令()()()h x f x g x =-，则'()'()'()0h x f x g x =-=，由推论1知，()h x 为一常数，于是有()()f x g x C =+ (C 为常数)．例2 对于函数()ln f x x =，在闭区间[1, e]上验证拉格朗日定理的正确性． 解 对于函数()ln f x x =在闭区间上[1, e]连续，在区间(1, e)内可导，又1(1)ln10, (e)ln e 1, ()f f f x x'=====，由拉格朗日中值定理，存在(1, e)ξ∈，使得ln e ln11e 1ξ-=-，从而解得1(1, )e e ξ=-∈．例3 若0a b <<，证明ln b a b b ab a a--<<． 证 设()ln , [, ]f x x x a b =∈．因为()ln f x x =在区间[, ]a b 上连续，在(, )a b 内可导，所以满足拉格朗日中值定理的条件，于是()()()()f b f a f b a ξ'-=-，而1()ln , ()ln , ()f a a f b b f x x'===， 代入上式为1ln ln ln() ()b b a b a a b a ξξ-==-<<． 又因为111b aξ<<， 所以ln b a b b ab a a--<<． *3.1.3 柯西中值定理定理3.3 设函数()f x 与函数()g x 满足：(1) 在闭区间[, ]a b 上连续；(2) 在开区间(,)a b 内可导； (3) 在区间(, )a b 内()0g x '≠． 那么，在(, )a b 内，至少存在一点ξ，使得()()()()()()f b f a fg b g a g ξξ'-='-． （3-2）这就是柯西(Cauchy )中值定理．在此定理中，若()g x x =，则其就变成了拉格朗日定理，说明拉格朗日定理是柯西定理的特殊情况．课堂练习：1．验证函数sin y x =在区间3, 44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上满足罗尔定理，并求出ξ值． 2．验证函数lnsin y x =在区间5, 66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上满足罗尔定理，并求出ξ值． 3．验证函数arctan y x =在区间[]0, 1上满足拉格朗日定理，并求出ξ值．3.2 洛必达法则学时：2学时 目的要求：1. 理解并掌握洛必达法则；2. 能够用洛必达法则求00或∞∞型极限。

重点：洛必达法则的应用。

难点：洛必达法则的应用。

中值定理的一个重要应用是计算函数的极限.在第一章求极限时，我们经常遇到形如当0x x →(或x →∞)时，函数()()f xg x 的分子、分母都趋近于零或都趋近于无穷大的情况.对于这种函数是不能直接利用商的极限运算法则去求其极限的．极限0 ()()lim ()x x x f x g x →→∞可能存在，也可能不存在．通常把这种极限叫做未定式，分别简记为“00”或“∞∞”型．下面介绍求这类极限的一种简便且重要的方法 洛必达(L' Hospital )法则．对于“”型的极限，有下面的法则： 法则1 如果函数()f x 与函数()g x 满足：(1) 0lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==；(2) 函数()f x 与()g x 在点0x 的邻域内均可导，且()0g x '≠； (3) 0()lim ()x x f x g x →''存在(或为无穷大)． 那么0()()limlim ()()x x x x f x f x g x g x →→'='． 例1 求极限021lim x x x→-．解 当0x →时，分子210x-→，分母0x →，此极限为“0”型，由洛必达法则，得021lim x x x →-＝02ln 2lim ln 21x x →=． 例2 求极限20ln(13)lim x x x→+． 解 当0x →时，分子ln(13)x +0→，分母20x →，此极限为“0”型，利用洛必达法则，得20003ln(13)313lim lim lim 22(13)x x x x x x x x x →→→++===∞+． 例3 求极限22ln sin lim (2)x xx ππ→-．解 当2x π→时，分子、分母都趋近于零，由洛必达法则，得22ln sin lim (2)x x x ππ→-221cos 1cot sin lim lim 4(2)42x x xx x x x ππππ→→⋅==----， 而此极限仍为“”型，可以继续使用洛必达法则，有 22ln sin lim (2)x x x ππ→-221csc 1lim 428x x π→-=-=--． 对于“∞∞”型的极限，有下面法则： 法则2 如果函数()f x 与函数()g x 满足： (1) 0lim ()lim ()x x x x f x g x →→==∞；(2) 函数()f x 与()g x 在点0x 的邻域内均可导，且()0g x '≠； (3) 0()lim ()x x f x g x →''存在(或为无穷大)． 那么0()()limlim ()()x x x x f x f x g x g x →→'='． 例4 求极限2ln limx xx →+∞．解 当x →+∞时，分子、分母都趋近于∞，此极限为“∞∞”型，由洛必达法则，得 2ln lim x x x →+∞＝211lim lim 022x x x x x→+∞→+∞==． 例5 求极限lim enx x x →+∞（n 为正整数）．解 当x →+∞时，此极限为“∞∞”型，由罗比达法则，得12(1)lim lim lim e e e n n n x x xx x x x nx n n x --→+∞→+∞→+∞-== !lim 0ex x n →+∞===注意，这里多次使用了洛必达法则．未定式极限除了上述两种以外，还有0⋅∞、∞-∞、1∞、00、0∞等类型．对此，我们可以通过简单的变形把它们化为00型或∞∞型，再用洛必达法则求出极限． 例6 求极限0lim ln (0)n x x x n +→>． 解 此极限为“0⋅∞”型，先将其化为“∞∞”型，再利用洛必达法则，得 10001ln lim ln lim lim 1n n x x x n x x x x nxx +++--→→→==- 001lim lim 0nn x x x nx n++-→→-===-． 例7 求极限2lim(sec tan )x x x π→-．解 此极限为“∞-∞”型，先将其变形为2221sin 1sin lim(sec tan )lim()limcos cos cos x x x x xx x x x xπππ→→→--=-=， 已化为“”型，利用洛必达法则，得 22cos lim(sec tan )lim0sin x x xx x xππ→→--==-．例8 求极限0lim xx x +→． 解 此极限为“00”型，先将其变形为0lim ln ln ln 00lim lim e lim e exx x xxx x xx x x x +→+++→→→===，由例6，知lim x x x +→＝0e 1=． 使用洛必达法则必须注意以下两点： （1）洛必达法则只适用于0,0∞∞未定式，其他未定式须先化成这两种类型之一，然后再用该法则；（2）洛必达法则的条件是充分的，但不是必要的，因此，该法则失效但极限仍有可能存在.有些极限虽然是未定式，但使用洛必达法则无法计算出其极限值，这时应考虑用其它方法．例如求lim x x→+∞，两次使用洛必达法则后，又还原成原来的形式，因而洛必达法则对它失效，事实上lim lim 1x x →+∞==． 课堂练习：用罗比达法则求下列极限：1．0sin 3lim sin 2x xx→；2．sin sin limx a x ax a →--；3．1ln lim 1x xx →-；4．0e e lim 2x xx x-→-；5．2ln cos3lim ln cos x xx π→；6．arctan 2lim 1x x xπ→+∞-；7．3ln limx xx →+∞；8．0ln sin lim ln x xx+→；9．0lim cot x x x →；10．011lim()e 1x x x →--；11．0lim(sin )xx x +→； 12．111lim xx x-→．3.3 函数的单调性与极值学时：4学时目的要求：1. 能够利用导数符号判断函数的单调性；2. 理解极值的概念；3. 理解极值理论，会求函数的极大值和极小值；4. 会求函数的最大值和最小值。