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微分中值定理与导数的应用考研

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微分中值定理与导数的应用考研
（数一）真题
一、选择题（将最佳答案的序号填写在括号内）
1.（94年，3分）2
22)2,0,)
x x a c -0
tan (1cos lim
ln(12)(1x a x b c x d e →+-=+≠其中4b =4b d -+-
则必有（ ）
（A ）d （B ）=-4a =4a c （C ）c （D ）=-[0,
2.（95年，3分）设在上01]()f x ''>，则(0)(1)(1)(0)f f f f ''-、、(0)(1)
f f -0)(1或的大小顺序是（ ）
（A ）(1)()(0)f f f ''>>f - （B ）(1)(1)(0)(0)f f f f ''>->)(1)f '(1)(0)(1)(0)f f f f （C ）' （D ）(1)(0f f ->(0)f >''>->(
3.（96，3分）设)f x 有二阶连续导数，且0()
(0)=0lim 1x f x f x
→'''=，，(0) 则（ ）
（A ）f 是()f x 的极大值 （B ）(0)f 是()f x ()y f x =的极小值 （C ）是曲线的拐点
(0,)(0))f （D ）(0f 不是)(f x 的极值，也不是曲线)x (0,(0f 4.（99年，3分）设20()=(),0x f x x g x x >≤⎩
()g x 是有界函数，()0f x x ，其中 =则在()(处（ ）
（A ）极限不存在 （B ）极限存在，但不连续 （C ）连续，但不可导 （D ）可导
5.（00年，3分）设)f x g 、()()()()0f x g x f x g x x 是恒大于零的可导函数，并且
,<a x 则当b ))(y f =的拐点
''-<<()()()(时，有（ ）
（A ）)x g b f b g x >()()()( （B ）)f f x g a f a g x >()( （C ）)()()f x g x f b g b >()()()( （D ）)f x g x f a g a >( 6.（03年，4分）设函数)f x ),(+∞在-∞(内连续，其导函数的图形 如图所示，则)x 有（ ）
f (A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.
(D) 三个极小值点和一个极大值点.
(y f =()0f x '>0>，
7.（06年，4分） 设函数)x 具有二阶导数，且 ，
()f x ''x ∆为自变量x 在0x 处的增量，y ∆与分别为)dy (f x 0 在点x 处对应的增量与微分。

若0x ∆>0dy y <<∆0y d ，则（ ） （A ） （B ）y <∆<0y dy ∆<<0dy y （C ） （D ）<∆<
8.（10年，4分）2
()()0lim x
x x
x a x b -+1a b
e
→⎡⎤⎢⎥⎣⎦
=（ ） （A ） （B ） （C ）e - （D ）
b a
e
-二、填空题
1.（95年，3分）2sin 0
lim 13x
x x →+（）= . 2.（96年，3分）2li )8,x x x a +m(x a
→∞=-=a 则 . 3.（97年，3分） 21
3sin cos
cos )ln(1)
x x 0lim
(1x x x x +→=++ . 4.（98年，3分）
22
x
0lim x →= . 5.（99年，3分） 2
11
m(
tan li x x x x
→-= . 6.（03年，4分）)
1ln(10
2)
(cos x x +lim x → = .
三、计算
1.（00年，5分）求
1
402sin lim .1x x x
e x x e →⎡⎤+⎢⎥+⎢⎥+⎢⎥⎣⎦
() 2.（08年，10分）求极限
4
0sin sin sin sin lim x x x x x →-⎡⎤⎣⎦(y f . 四、证明
1.（01年，7分）设)x =在)(1,1-内具有二阶连续导数且
()f x 0≠.试证：
''（1）对于)(1,1-内的任一0x ≠，
存在唯一的,()(0,1)x θ∈()=(0)(()使 )f x f xf x x θ'+
成立； （2）0
1
lim ().2
x x θ→ =2.（02年，6分）设函数)(f x 0x 在=的某邻域内具有一阶连续 导数，且(0)0f ，(0)0f ≠，
)在时是比 '≠()(2)(0af h bf h f +-若0h →h ,a 高阶的无穷小，试确定b 的值.
具有二阶导数且存在相等的最大值，()()()()f a g a f b g b ==，. 5.（07年，11分）设函数()()f x g x 、在]上连续，在内
[,a b (,)a b 4.（06年，7分）设数列{}n x 满足110,sin (1,2,...)n n x x x n π+<<==
3.（05年，12分）已知函数()f x 在上连续，在(0,1)内
[0,1]（II ）存在两个不同的点)1,0(,∈ζη，使得.1)()(=''ζηf f 证明：存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ''''=. 6.（09年，11分）证明拉格朗日中值定理. （I ）存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f ；
求：（1）证明lim n n x →∞
存在，并求之. 可导，且. 证明： (0)0(1)1f f ==， （2）计算21
1lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭
.。

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中值定理与导数的应用

中值定理与导数的应用

中值定理与导数的应用导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。

而中值定理则是导数的重要应用之一，它揭示了函数在某一区间内必然存在某一点，使得该点的斜率等于该区间的平均斜率。

在实际问题中，中值定理具有广泛的应用，可以帮助我们解决各种与变化率相关的问题。

让我们来了解一下中值定理的基本原理。

根据中值定理，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，并且在开区间(a, b)内可导，那么在(a, b)内至少存在一点c，使得函数在c处的导数等于函数在[a, b]上的平均斜率。

换句话说，函数在区间内的某一点的瞬时变化率与整个区间的平均变化率相等。

中值定理的一个重要推论是拉格朗日中值定理。

根据拉格朗日中值定理，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，并且在开区间(a, b)内可导，那么在(a, b)内至少存在一点c，使得函数在c处的导数等于函数在[a, b]上的斜率。

换句话说，拉格朗日中值定理给出了函数在某一区间内某一点的瞬时变化率与该区间的斜率之间的对应关系。

中值定理的应用非常广泛。

一个常见的应用是求函数在某一区间内的最大值和最小值。

根据极值存在定理，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，那么它在该区间内必然存在最大值和最小值。

根据中值定理，我们可以通过求函数在该区间内的导数为0的点，来确定函数的极值点。

另一个常见的应用是求函数的单调性。

根据中值定理，如果一个函数在某一区间内的导数恒大于0（或恒小于0），那么该函数在该区间内必然是递增的（或递减的）。

因此，我们可以通过求函数的导数来确定函数在某一区间内的单调性。

中值定理还可以用来解决一些与速度和加速度相关的问题。

例如，在物理学中，我们经常需要计算物体在某一时间段内的平均速度和瞬时速度。

根据中值定理，我们可以通过求物体在该时间段内的位移与时间的比值，来确定物体在某一时刻的瞬时速度。

中值定理是导数的重要应用之一，它可以帮助我们解决各种与变化率相关的问题。

微分中值定理与导数的应用

微分中值定理与导数的应用

第三章 微分中值定理与导数的应用在第二章中,我们介绍了微分学的两个基本概念—导数与微分及其计算方法. 本章以微分学基本定理—微分中值定理为基础,进一步介绍利用导数研究函数的性态,例如判断函数的单调性和凹凸性,求函数的极限、极值、最大(小)值以及函数作图的方法,最后还讨论了导数在经济学中的应用.第一节 微分中值定理中值定理揭示了函数在某区间的整体性质与该区间内部某一点的导数之间的关系,因而称为中值定理. 中值定理既是用微分学知识解决应用问题的理论基础,又是解决微分学自身发展的一种理论性模型, 因而称为微分中值定理.一、 费马引理：设函数()f x 在点0x 的某邻域0()U x 内有定义，并且在0x 处可导，如果对任意的0()x U x ∈，有0()()f x f x ≤（或0()()f x f x ≥），那么0()0f x '=。

证：不妨设0()x U x ∈时，0()()f x f x ≤，对于00()x x U x +∆∈，有00()()f x x f x +∆≤，故当0x ∆>时，00()()0f x x f x x +∆-≤∆； 当0x ∆<时，00()()0f x x f x x+∆-≥∆， 由保号性 00000()()()()lim 0x f x x f x f x f x x++∆→+∆-''==≤∆，()00000()()()lim 0x f x x f x f x f x x--→+∆-''==≥∆，故0()0f x '=。

罗尔定理（Rolle ）： 如果函数()f x 满足：（1）在闭区间[,]a b 上连续 （2）在开区间(,)a b 内可导，（3）()()f a f b =，则至少存在一点()a b ξξ<<，使得()f x 在该点的导数等于零：()f ξ'=0证明：由于()f x 在[,]a b 上连续，故在[,]a b 上()f x 有最大值M 和最小值m 。

武忠祥教授高等数学考研第二三章

武忠祥教授高等数学考研第二三章


dy Fx dx Fy
若 x ( y) 可导,且 ( y) 0, 则其反函数 y f ( x)
也可导，且
f
(
x)
1 ( y)
（5）参数方程求导法：
dy dx
1 dx
dy
设
y
y( x)
是由
x y
(t) ,
(t)
(
t ) 确定的函数，则
1) 若 (t ) 和 (t ) 都可导，且 (t) 0 ，则 dy (t) dx (t)
f (n)( x0 ) ( x n!
x0 )n
Rn ( x)
其中
Rn ( x)
f (n1) ( )
(x (n 1)!
x0
)n1 ,
在 x0 与 x 之间.
（二）导数应用
1.洛必达法则
若 1) lim f ( x) lim g( x) 0();
x x0
x x0
2）f ( x) 和 g( x)在 x0的某去心邻域内可导,且 g( x) 0;
1）导数的几何意义：导数 f ( x0 )
在几何上表示曲线 y f ( x) y
T
在点 ( x0, f ( x0 )) 处切线的斜率。
N
切线方程
P
o(x)
M
dy y
y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ).
y f (x)
x
法线方程
）
y
f ( x0 )
1 (x f ( x0 )
11） (sec x) sec x tan x 12）(csc x) csc x cot x
13) (arcsin x) 1 1 x2
15)
(arctan
高数考研中值定理的应用

高数考研中值定理的应用


同理有x (b 2 , b), 使
f ( x) f (b) x b
0, 即f ( x) f (b),
f (a), f (b)都不是f ( x)在[a, b]上的最大值，
f ( x)在[a, b]上连续， f ( x)在[a, b]上必有最大值和最小值，
则f ( x)的最大值必在(a, b)内取得，
1, f (3) 1 在(c, 3) 内可导 ,
例5. 设函数 f (x) 具有二阶导数,且 lim f ( x) 0, f (1) 0, 试证必存在 (0,1) , 使 f ( ) 0. 证: lim
x 0
x 0
x
f ( x) x
0, f (0) 0, f (0) 0,
则1 (a, b)使f (1 ) 0; 2 (b, c)使f (2 ) 0;
对f ( x)在[1 , 2 ]上用罗尔定理即得结论.
例3. 设 f ( x)在[ a, b]上可导， f (a) f (b) 0, 且 求证： (a, b), 使f ( ) 0. 证明: 不妨设f (a) 0, f (b) 0,
f (b ) f (a ) F (b ) F (a ) f ( ) F ( ) .
4) 判别 f ( x ) C 的方法 若 f ( x ) 0 ，则 f ( x ) C 5) 三个定理之间的内在联系 柯西中值定理
f (b ) f (a ) F (b ) F (a ) f ( ) F ( )
证明: 令 F ( x )
f (x) x ,
由已知条件知 F ( x ) 在[ a , b ] 上连续, 在 ( a , b ) 内可导， 且 F ( a ) 0 F (b ) 故由罗尔定理知, ( a , b ), 使 F ( ) 0 , 即