【精准解析】四川省宜宾市叙州区第二中学校2020届高三下学期第二次月考数学(文)试题

四川省宜宾市叙州区第二中学校2019-2020学年高二数学下学期第二次月考试题理注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数212i i-+的虚部是 A ．0B ．5iC ．1D ．i2．若()03f x '=-，则()()0003limh f x h f x h h→+--=A ．3-B ．12-C ．9-D ．6-3．双曲线221916x y -=的渐近线方程为A ．34y x =?B ．43y x =±C ．35y x =±D ．53y x =±4．设,a b ∈R ，则“a b >”是“22a b >”的 A ．充分必要条件 B ．既不充分也不必要条件 C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件5．已知实数a b 、满足()()22a 2b 24-+-=, 则使a b 20+-≤的概率为 A ．π24π- B ．34C ．14D ．3π24π+ 6．学校将5个参加知识竞赛的名额全部分配给高二年级的4个班级，其中甲班级至少分配2个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，则不同的分配方案共有 A ．20种B ．24种C ．26种D ．30种7．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 的方程为20x y -=）的点的个数估计值为A ．5000B ．6667C ．7500D ．78548．设函数2()ln f x a x bx =+，若函数()f x 的图像在点(1,1)处的切线与y 轴垂直，则实数a b += A ．1B ．12C ．14D ．1-9．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为23，椭圆C 与圆22(3)16x y ++=交于M ，N 两点，且4MN =，则椭圆C 的方程为A ．2211512x y +=B ．221129x y +=C ．22163x y +=D ．22196x y +=10．设P 是椭圆22116925x y +=上一点，M ，N 分别是两圆：()22121x y ++=和()22121x y -+=上的点，则PM PN +的最小值、最大值分别为A ．18，24B ．16，22C ．24，28D ．20，2611．已知a 是常数，函数()()32111232f x x a x ax =+--+的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数()2x g x a =-的图像可能是A ．B ．C ．D ．12．对于任意的正实数x ，y 都有（2x y e -)ln y x x me≤成立，则实数m 的取值范围为 A ．1(,1]eB ．21(,1]e C ．21(,]e e D ．(10,]e第II 卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

专题02 函数的概念与基本初等函数I1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】设3log 42a =，则4a -= A ．116B ．19C ．18D ．16【答案】B【解析】由3log 42a =可得3log 42a=，所以49a =，所以有149a-=， 故选：B.【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目. 2．【2020年高考天津】函数241xy x =+的图象大致为A BC D【答案】A【解析】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误； 当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误.故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．3．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者 A ．10名 B ．18名C ．24名D ．32名【答案】B【解析】由题意，第二天新增订单数为50016001200900+-=，设需要志愿者x 名，500.95900x≥，17.1x ≥,故需要志愿者18名. 故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.4．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1et I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ln19≈3） A ．60B ．63C ．66D ．69【答案】C 【解析】()()0.23531t K I t e--=+，所以()()0.23530.951t K I t K e**--==+，则()0.235319t e*-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈. 故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.5．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】设a =log 32，b =log 53，c =23，则 A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b【答案】A 【解析】因为333112log 2log 9333a c =<==，355112log 3log 25333b c =>==， 所以a c b <<. 故选A .【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题. 6．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】设函数f (x )=x 3－31x ，则f (x ) A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A【解析】因为函数()331f x x x =-定义域为{}0x x ≠，其关于原点对称，而()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数．又因为函数3y x =在0,上单调递增，在,0上单调递增， 而331y x x-==在0,上单调递减，在,0上单调递减，所以函数()331f x x x=-在0,上单调递增，在,0上单调递增．故选：A ．【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题． 7．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<0【答案】A【解析】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23ttf t -=-，2x y =为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,x y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想. 8．【2020年高考天津】设0.70.80.713,(),log 0.83a b c -===，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】D【解析】因为0.731a =>，0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<. 故选：D.【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围. 比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：xy a =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：log a y x =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.9．【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) A ．1.2天 B ．1.8天 C ．2.5天 D ．3.5天【答案】B【解析】因为0 3.28R =，6T =，01R rT =+，所以 3.2810.386r -==，所以()0.38rt t I t e e ==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天， 则10.38()0.382t t t e e +=，所以10.382t e =，所以10.38ln 2t =， 所以1ln 20.691.80.380.38t =≈≈天. 故选：B.【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题. 10．【2020年新高考全国Ⅰ卷】若定义在R 的奇函数f (x )在(0),-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是 A ．[)1,1][3,-+∞ B ．3,1][,[01]-- C ．[)1,0][1,-+∞ ．1,0]3][[1,-【答案】D【解析】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =， 所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =， 所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得：021012x x x <⎧⎨-≤-≤-≥⎩或或001212x x x >⎧⎨≤-≤-≤-⎩或或0x =解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃， 故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.11．【2020年新高考全国Ⅰ卷】信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ，且1()0(1,2,,),1ni i i P X i p i n p ===>==∑，定义X 的信息熵21()log ni i i H X p p ==-∑.A ．若n =1，则H (X )=0B ．若n =2，则H (X )随着1p 的增大而增大C ．若1(1,2,,)i p i n n==，则H (X )随着n 的增大而增大D ．若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+=，则H (X )≤H (Y )【答案】AC【解析】对于A 选项，若1n =，则11,1i p ==，所以()()21log 10H X =-⨯=，所以A 选项正确.对于B 选项，若2n =，则1,2i =，211p p =-， 所以()()()121121X log 1log 1H p p p p =-⋅+-⋅-⎡⎤⎣⎦， 当114p =时，()221133log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭， 当13p 4=时，()223311log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，两者相等，所以B 选项错误. 对于C 选项，若()11,2,,i p i n n==，则()222111log log log H X n n nn n ⎛⎫=-⋅⨯=-= ⎪⎝⎭，则()H X 随着n 的增大而增大，所以C 选项正确.对于D 选项，若2n m =，随机变量Y 的所有可能的取值为1,2,,m ，且()21j m j P Y j p p +-==+（1,2,,j m =）.()2222111log log mmi i i i i iH X p p p p ===-⋅=⋅∑∑ 122221222122121111log log log log m m m mp p p p p p p p --=⋅+⋅++⋅+⋅. ()H Y =()()()122221212122211111log log log m m m m m m m m p p p p p p p p p p p p -+-++⋅++⋅+++⋅+++12222122212221221121111log log log log m m m m m mp p p p p p p p p p p p ---=⋅+⋅++⋅+⋅++++.由于()01,2,,2i p i m >=，所以2111i i m ip p p +->+， 所以222111log log i i m ip p p +->+， 所以222111log log i i i i m ip p p p p +-⋅>⋅+， 所以()()H X H Y >，所以D 选项错误. 故选：AC【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.12．【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是 A ．1(,)(22,)2-∞-+∞B ．1(,)(0,22)2-∞-C ．(,0)(0,22)-∞D ．(,0)(22,)-∞+∞【答案】D【解析】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根 即可， 令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩， 当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意； 当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意； 当0k >时，如图3，当2y kx =-与2yx 相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得22k =（负值舍去），所以22k >. 综上，k 的取值范围为(,0)(22,)-∞+∞.故选：D.【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.13．【2020年高考北京】已知函数()21xf x x =--，则不等式()0f x >的解集是A. (1,1)-B. (,1)(1,)-∞-+∞C. (0,1)D. (,0)(1,)-∞⋃+∞【答案】D【解析】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2xy =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)， 不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞. 故选：D.【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.14．【2020年高考浙江】函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]上的图象可能是【答案】A【解析】因为()cos sin f x x x x =+，则()()cos sin f x x x x f x -=--=-， 即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称， 据此可知选项CD 错误；且x π=时，cos sin 0y ππππ=+=-<，据此可知选项B 错误. 故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．15．【2020年高考浙江】已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0均有(x –a )(x –b )(x –2a –b )≥0，则 A ．a <0 B ．a >0 C ．b <0 D ．b >0【答案】C【解析】因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，设()()()(2)f x x a x b x a b =----，则()f x 零点为123,,2x a x b x a b ===+ 当0a >时，则23x x <，1>0x ，要使()0f x ≥，必有2a b a +=，且0b <， 即=-b a ，且0b <，所以0b <；当0a <时，则23x x >，10x <，要使()0f x ≥，必有0b <.综上一定有0b <. 故选：C【点晴】本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题，考查学生分类讨论思想，是一道中档题.16．【2020年高考江苏】已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23f x x =，则()8f -的值是 ▲ ． 【答案】4-【解析】23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=- 故答案为：4-【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题. 17．【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________． 【答案】(0,)+∞【解析】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴>故答案为：(0,)+∞【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.1．【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f = A ．16 B ．8C ．4D ．2【答案】B【解析】因为(1)2()f x f x +=,且(5)3(3)4f f =+,故()()324442f f =+,解得()48f =.故选B.【点睛】本题主要考查了根据函数性质求解函数值的问题,属于基础题.2．【2020·宜宾市叙州区第二中学校高三一模（文）】已知函数()32,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则=3f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A．2B ．12C ．3log 2-D ．3log 2【答案】A【解析】依题意12331log log 32f -===-⎝⎭，12122f f f -⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选A.【点睛】本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值，属于基础题.3．【安徽省2020届高三名校高考冲刺模拟卷数学（文科）试题】已知10.23121log 3,(),23a b c ===，则A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c【答案】A【解析】∵1122log 3log 10a =<=，0.20110()()133b <=<=，1131222c <=<=，∴a <b <c ，故选A ．4．【2020·重庆巴蜀中学高三月考（文）】已知定义在R 上的函数()f x 满足()12f =，对任意的实数1x ，2x 且12x x <，()()1212f x f x x x -<-，则不等式()1f x x ->的解集为A ．(),2-∞-B ．2,C ．()(),11,-∞-⋃+∞D ．()(),22,-∞-⋃+∞【答案】B【解析】设()()1F x f x x =--，则()()11F x f x x -=--，()()11110F f =--=，对任意的1x ，2x 且12x x <，()()1212f x f x x x -<-， 得()()112211f x x f x x --<--， 即()()12F x F x <， 所以()F x 在R 上是增函数，不等式()1f x x ->即为()()11F x F ->， 所以11x ->，2x >. 故选B.【点睛】本题考查函数的单调性解不等式，属于中档题．5．【2020届广东省惠州市高三6月模拟数学（文）试题】已知函数||()e ||x f x x =+，则满足1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 取值范围是A ．12,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎛⎫⎪⎝⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】由||()e ||()x f x x f x --=+-=，知()f x 是偶函数，∴不等式1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭等价为1(|21|)()3f x f -<，当0x >时，()e xf x x =+，()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，1|21|,3x ∴-<解得1233x <<.故选A.【点睛】本题考查根据函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，关键是能够利用单调性将不等式转化为自变量大小关系，从而解出不等式，属于中档题. 6．【2020届广东省惠州市高三6月模拟数学（文）试题】函数πx x y x=的图象大致形状是A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】当0x <时，ππx xx y x -==-；当0x >时，ππx x x y x ==，πx y =为R 上的增函数，πx x y x∴=在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，可知B 正确.故选B. 【点睛】本题考查函数图象的识别，解题关键是能够通过分类讨论的方式得到函数在不同区间内的解析式，进而根据指数函数单调性判断出结果.7．【2020·重庆市育才中学高三开学考试（文）】若函数()23,121,1x ax a x f x ax x ⎧--≥=⎨-<⎩是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是A ．103⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，B ．103⎛⎤ ⎥⎝⎦，C ．1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D ．13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，【答案】B【解析】由函数()23,121,1x ax a x f x ax x ⎧--≥=⎨-<⎩是R 上的增函数，则1202113a a a a a⎧≤⎪⎪>⎨⎪-≤--⎪⎩，解得103a <≤，即实数a 的取值范围是103⎛⎤ ⎥⎝⎦，. 故选B.【点睛】本题考查了分段函数的性质，重点考查了运算能力，属基础题.8．【贵州省黔东南州2019-2020学年高三高考模拟考试卷数学（文科)试题】已知函数()f x 的图象关于点()1,0对称，当1x >时，2()5f x x mx =-+，且()f x 在(,0)-∞上单调递增，则m 的取值范围为 A ．[4,)+∞ B ．[2,)+∞C ．(,4]-∞D ．(,2]-∞【答案】C【解析】函数()f x 的图象关于点()1,0对称且在(,0)-∞上单调递增，所以()f x 在(2,)+∞上单调递增，所以对称轴22m≤，即4m ≤. 故选C.【点睛】本题考查函数的性质，涉及到单调性、对称性等知识，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.9．【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是 A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】若0a =，则()3f x x =-，()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，符合.若0a ≠，因为()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，故0112a a a>⎧⎪-⎨≤-⎪⎩，解得103a <≤.综上，1 03a≤≤.故选D.【点睛】本题考查含参数的函数的单调性，注意根据解析式的特点合理分类，比如解析式是二次三项式，则需讨论二次项系数的正负以及对称轴的位置，本题属于基础题.10．【2020·四川省成都外国语学校高三月考（文）】若函数,1()42,12xa xf x ax x⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤⎪⎪⎝⎭⎩是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是A．()1,+∞B．（1,8）C．（4,8）D．[4,8)【答案】D【解析】因为函数,1()42,12xa xf x ax x⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤⎪⎪⎝⎭⎩是R上的单调递增函数，所以140482422aaaaa⎧⎪>⎪⎪->∴≤<⎨⎪⎪-+≤⎪⎩故选D.【点睛】本题考查根据分段函数单调性求参数，考查基本分析判断能力，属中档题.11．【2020届山西省太原五中高三3月模拟数学（文）试题】函数ln||cos ()sinx xf xx x⋅=+在[π,0)(0,π]-的图像大致为A．B．C．D．【答案】D【解析】因为ln ||cos ()()sin x xf x f x x x⋅-=-=-+，所以()f x 为奇函数，关于原点对称，故排除A ，又因为()10f ±=，π()02f ±=，π()03f >，()0f π<，故排除B ，C.故选D.【点睛】本题考查函数图象的识别，根据函数的性质以及特殊值法灵活判断，属于基础题.12．【2020·宜宾市叙州区第二中学校高三一模（文）】已知()f x 是定义在R 上的偶函数，在区间[0,)+∞上为增函数，且1()03f =，则不等式18(log )0f x >的解集为A ．1(,2)2B ．(2,)+∞C ．1(0,)(2,)2+∞ D ．1(,1)(2,)2+∞【答案】C【解析】∵118811(log )0()(log )()33f x f f x f >=⇔>，又()f x 在区间[0,)+∞上为增函数，∴181log 3x >，∴118811log log 33x x 或><-，∴1022x x <或，∴不等式18(log )0f x >的解集为1(0,)(2,)2+∞，故选C.13．【2020·宜宾市叙州区第一中学校高三一模（文）】已知函数()()()1f x x ax b =-+为偶函数，且在0,上单调递减，则()30f x -<的解集为A ．()2,4 B ．()(),24,-∞+∞C ．()1,1-D ．()(),11,-∞-⋃+∞【答案】B【解析】因为()()2f x ax b a x b =+--为偶函数，所以0b a -=，即b a =， ∴()2f x ax a =-，因为()f x 在()0,∞+上单调递减， 所以0a <，∴()()2330f x a x a -=--<，可化为()2310x -->， 即2680x x -+>，解得2x <或4x >. 故选B .【点睛】本题主要考查奇偶性与单调性的应用以及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.14．【天津市十二区县重点学校2020届高三下学期毕业班联考（一）数学试题】已知函数(2)y f x =-的图象关于直线2x =对称，在(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增．若()ln34a f =，e (2)b f -=，1ln πc f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（其中e 为自然对数的底数，π为圆周率），则,,a b c 的大小关系为 A ．a c b >> B ．a b c >> C ．c a b >> D ．c b a >>【答案】A【解析】因为函数(2)y f x =-的图象关于直线2x =对称，所以()f x 的图象关于y 轴对称，因为(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增，所以(,0)x ∈-∞时，()f x 单调递减； 因为ln3ln e e 01444,0221,lnln ln e 1->=<<==π>=π，所以a c b >>. 故选A.【点睛】本题主要考查函数的性质，根据条件判断出函数的单调性和奇偶性是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.15．【2020·山东省高三期末】函数()y f x =是R 上的奇函数，当0x <时，()2xf x =，则当0x >时，()f x =A ．2x -B ．2x -C ．2x --D ．2x【答案】C 【解析】0x <时，()2xf x =.当0x >时，0x -<，()2xf x --=，由于函数()y f x =是奇函数，()()2xf x f x -∴=--=-，因此，当0x >时，()2xf x -=-，故选C.【点睛】本题考查奇偶函数解析式的求解，一般利用对称转移法求解，即先求出()f x -的表达式，再利用奇偶性得出()f x 的表达式，考查分析问题和运算求解能力，属于中等题.16．【2020·山东省高三期末】函数()y f x =与()y g x =的图象如图所示，则()()y f x g x =⋅的部分图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由图象可知()y f x =的图象关于y 轴对称，是偶函数，()y g x =的图象关于原点对称，是奇函数，并且定义域{}0x x ≠，()()y f x g x ∴=⋅的定义域是{}0x x ≠，并且是奇函数，排除B ，又π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，()0g x <，()()0f x g x ∴⋅<，排除C,D. 满足条件的只有A. 故选A.【点睛】本题考查函数图象的识别，意在考查函数的基本性质，属于基础题型. 17．【2020届广东省化州市高三第四次模拟数学（文）试题】已知函数()()2,0,ln 1,0,x x f x x x ⎧⎪=⎨+>⎪⎩若不等式()10f x kx k -++<的解集为空集，则实数k 的取值范围为A ．(222,0⎤-⎦B ．(232,0⎤-⎦C ．222,0⎡⎤-⎣⎦D ．[]1,0-【答案】C【解析】因为不等式()10f x kx k -++<的解集为空集， 所以不等式()10f x kx k -++恒成立.()10f x kx k -++可变形为()(1)1f x k x --.在同一坐标系中作出函数(),(1)1y f x y k x ==--的图象，如图：直线(1)1y k x =--过定点(1,1)A -，当直线(1)1y k x =--与2(0)y x x =相切时，方程()10f x kx k -++=有一个实数解，可得2(1)1x k x =--，即210x kx k -++=，由24(1)0k k ∆=-+=，可得2k =-2k =+（舍去）， 故由函数图象可知使不等式恒成立的实数k的取值范围为2⎡⎤-⎣⎦.故选C.【点睛】本题考查了函数图象、根据函数的图象求参数的取值范围，考查了数形结合思想，属于中档题.18．【2020·山东省青岛第五十八中学高三一模】已知函数229,1()4,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，若()f x 的最小值为(1)f ，则实数a 的值可以是A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】BCD 【解析】当1x >,4()4f x x a a x=++≥+, 当且仅当2x =时,等号成立；当1x ≤时,2()29f x x ax =-+为二次函数,要想在1x =处取最小,则对称轴要满足1x a =≥,且(1)4f a ≤+,即1294a a -+≤+,解得2a ≥,故选BCD.【点睛】本题考查分段函数的最值问题,处理时应对每段函数进行分类讨论,找到每段的最小值.19．【2020·山东省高三零模】已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件()()2f x f x +=-，且函数()1y f x =-为奇函数，则A ．函数()y f x =是周期函数B ．函数()y f x =的图象关于点()1,0-对称C ．函数()y f x =为R 上的偶函数D ．函数()y f x =为R 上的单调函数 【答案】ABC【解析】因为()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，即4T=，故A 正确；因为函数()1y f x =-为奇函数，所以函数()1y f x =-的图像关于原点成中心对称，所以B 正确；又函数()1y f x =-为奇函数，所以()()11f x f x --=--，根据()()2f x f x +=-，令1x -代x 有()()11f x f x +=--，所以()()11f x f x +=--，令1x -代x 有()()f x f x -=，即函数()f x 为R 上的偶函数，C 正确；因为函数()1y f x =-为奇函数，所以()10f -=，又函数()f x 为R 上的偶函数，()10f =，所以函数不单调，D 不正确.故选ABC.【点睛】本题考查了函数的周期性和奇偶性以及对称性，属于基础题.20．【2020届上海市高三高考压轴卷数学试题】已知函数()223f x x ax =-++在区间(),4-∞上是增函数，则实数a 的取值范围是______.【答案】[)4,+∞【解析】()223f x x ax =-++对称轴方程为x a =， ()f x 在区间(),4-∞上是增函数，所以4a ≥.故答案为[)4,+∞.【点睛】本题考查函数的单调性求参数，熟练掌握初等简单函数的性质是解题的关键，属于基础题.21．【福建省厦门外国语学校2020届高三下学期高考最后一次模拟数学（文）试题】已知函数2,0()(2),0x x f x f x x ⎧>=⎨+≤⎩，则(1)f -=_____________【答案】2【解析】函数2,0()(2),0x x f x f x x ⎧>=⎨+≤⎩，则()1(1)122f f -===. 故答案为：2【点睛】本题考查了分段函数求值，考查了基本运算求解能力，属于基础题.22．【2020·陕西省交大附中高三三模（文）】设函数23(0)()(2)(0)x x x f x f x x ⎧+≥=⎨+<⎩，则()–3f =_____【答案】4【解析】函数23(0)()(2)(0)x x x f x f x x ⎧+≥=⎨+<⎩，2(3)(1)(1)1314f f f -=-==+⨯=．【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题． 23．【2020·宜宾市叙州区第二中学校高三一模（文）】奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当01x <≤时，()()2log 4f x x a =+，若1522f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则()a f a +=___________. 【答案】2【解析】由于函数()y f x =为奇函数，且()()()111f x f x f x +=-=--，即()()2f x f x +=-，()()()42f x f x f x ∴+=-+=，所以，函数()y f x =是以4为周期的奇函数，()21511log 22222f f f a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 解得2a =. ()()()222f f f =-=-，()20f ∴=.因此，()()222a f a f +=+=.故答案为2.【点睛】本题考查函数值的计算，推导出函数的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.24．【2020届上海市高三高考压轴卷数学试题】函数()lg 2cos 21y x =-的定义域是______. 【答案】5πππ5π3,,,36666⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦【解析】因为()lg 2cos 21y x =-，所以2902cos 210x x ⎧-≥⎨->⎩，所以331cos 22x x -≤≤⎧⎪⎨>⎪⎩， 所以33ππππ,66x k x k k -≤≤⎧⎪⎨-<<+∈⎪⎩Z ， 解得5π36x -≤<-或ππ66x -<<或5π36x <≤. 故答案为5πππ5π3,,,36666⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦. 【点睛】本题主要考查函数定义域的求法以及一元二次不等式，三角不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.25．【江苏省南京市金陵中学、南通市海安高级中学、南京市外国语学校2020届高三下学期第四次模拟数学试题】已知函数()02,2,2x f x f x x ≤<=-≥⎪⎩若对于正数()*n k n ∈N ，直线n y k x =与函数()y f x =的图象恰有21n 个不同的交点，则数列{}2nk 的前n 项和为________. 【答案】()41n n + 【解析】当02x ≤<时，()y f x ==()2211x y -+=，0y ≥； 当2x ≥时()()2f x f x =-，函数周期为2，画出函数图象，如图所示：n y k x =与函数恰有21n 个不同的交点，根据图象知，直线n y k x =与第1n +个半圆相切，故()2244211n k n n n ==++-，故2211114441n k n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 数列{}2n k 的前n 项和为()11111114223141n n n n ⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪++⎝⎭. 故答案为：()41n n +. 【点睛】本题考查了数列求和，直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力，画出图象是解题的关键.。

l 的方程为 y 1 x 2 4 ，即 x+ay+2﹣4a＝0，
a
由于 l 垂直平分弦 AB，故圆心 M（1，0）必在 l 上，
所以
1+0+2﹣4a＝0，解得
a
3 4
．由于
3 4
5 12
，
，故存在实数
a
3 4
使得过点 P（﹣2，4）的直线 l 垂直平分弦 AB.
21．（1）证明：连结 BD 四边形 ABCD 是菱形， AC BD ， EB ⊥平面 ABCD ， AC 平面 ABCD ， AC EB ，
C．[1, )
D．[0, )
9．已知命题 p ：若函数 f (x) x2 | x a | 是偶函数，则 a 0 ；命题 q：m (0, ) ，关 于 x 的方程 mx2 2x 1 0 有解．在① p q ；② p q ；③ (p) q ；④ (p) (q) 中，
为真命题的是
A．②③
： (x 2)2
y2
5的
圆心重合，且圆 M 被双曲线的一条渐近线截得的弦长为 2 2 ，则双曲线的离心率为
A．2
B． 2
C． 3
D．3
12．已知动点 M 到点 F (1, 0) 的距离与到 y 轴距离之和为 3，动点 N 在直线 2x y 4 0 上， 则两点距离| MN | 的最小值是
A． 4 5 2 10 5
为 2 ，则实数 k 的取值集合为__________.
15．已知 P 为抛物线 y2 4x 上不同于顶点的任意一点，过点 P 作 y 轴的垂线，垂足为点 Q，
点 M (7, 6) ，则线段 PM 与线段 PQ 长的和取得最小值时点 P 的坐标为_______．

2020年春四川省叙州区第二中学高三第二学月考试理科数学第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合A={}|ln(2)x y x =+,B={x|(x+5)(x -2)≤0},则A ∩B=( ) A. (-2,+∞) B. [-2,2]C. (-2,2]D. [-5,+∞)【答案】C 【解析】 【分析】利用对数函数的定义域、一元二次不等式的解法化简集合A 、B ,再利用交集的定义求解即可. 【详解】∵A={}|ln(2)x y x =+={}|2x x >-,B={x|(x+5)(x -2)≤0}={}|52x x -≤≤,∴A ∩B={}|22x x -<≤. 故选C.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合.2. 在复平面内，复数1i iz =-（i 是虚数单位）对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C 【解析】 试题分析：由复数运算得，1z i i=-，所以其对应点的坐标为（-1，-1）．故选C ．考点：复数运算及复数与复平面内点的对应关系．3. 在学校组织的考试中，45名学生的数学成绩的茎叶图如图所示，则该45名学生的数学成绩的中位数为（ ）A. 127B. 128C. 128.5D. 129【答案】D 【解析】分析：由茎叶图得出45名学生的数学成绩，从而求出中位数． 详解：根据茎叶图得出45名学生的数学成绩，可知中位数为129. 故选D.点睛：本题考查了茎叶图的应用问题，解题时应根据茎叶图中的数据，进行解答，属基础题.．4. 已知向量()0,1a =-，11,22b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A. a //bB. ()a b b +⊥C. ()a b b -⊥D.a b b -=【答案】B 【解析】 【分析】采用排除法，根据向量平行，垂直以及模的坐标运算，可得结果【详解】因为()111010222⎛⎫⨯--⨯-=-≠ ⎪⎝⎭， 所以A 不成立; 由题意得：11,22a b ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，所以()111111,,0222244a b b ⎛⎫⎛⎫+⋅=--⋅-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以B 成立； 由题意得：13,22a b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以()131113,,10222244a b b ⎛⎫⎛⎫-⋅=-⋅-=--=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 不成立； 因为1944a b -=+，1144b =+ 所以a b b -≠，所以D 不成立. 故选：B.【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，属基础题. 5. 若16log 64a =，lg 0.2b =，0.22c =，则( ) A. c b a <<B. b a c <<C. a b c <<D.b c a <<【答案】D 【解析】 由4164log 643log 64log162a ===，00.20.53lg0.210,1?2222b lgc =<==<=<=<. 所以b c a <<. 故选D.6. 关于函数()|sin |f x x π=的说法，正确的是（ ） A. ()f x 在(0,1)上是增函数 B. ()f x 是以π为周期的周期函数 C. ()f x 是奇函数 D. ()f x 是偶函数【答案】D 【解析】由复合函数的单调性可知()f x 在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，上递增，在112，⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减； sin x π的周期为1，则()f x 的周期为1()()()sin f x x sin x f x ππ-=-==，()f x 为偶函数，故选D7. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．如函数()21cos 21x x f x x +=-的图象大致是( )A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】先根据函数的奇偶性的判断得()()f x f x -=-，函数()f x 是奇函数，故排除A 选项和C 选项，再由当0x >时，0x →，()21cos 21x x f x x +=→+∞-，可排除D 选项，可得选项.【详解】因为()21cos 21x x f x x +=-，所以()()()2121cos cos 2121x x x x f x x x f x --++-=-=-=---，所以函数()f x 是奇函数，故排除A 选项和C 选项，0x >时，当0x →，121,210,21xxx →-→→+∞-，所以21212121x x x y +==+→+∞--，而当0x →时，cos 1x →，所以在0x >时，当0x →，()21cos 21x x f x x +=→+∞-，所以排除D 选项，所以只有B 选项符合条件. 故选：B.【点睛】本题考查由解析式判断函数图象,根据图象需分析函数的定义域和奇偶性,特殊值的正负,以及是否过定点等函数的性质,从而排除选项,属于基础题.8. 已知圆221:(2)9C x y ++=与圆2222:(1)(4)(0)C x y r r -+-=>有公共点，则r 的取值范围是（ ） A. [2,8] B. [2,13] C. (0,13] D. (0,8]【答案】A 【解析】 【分析】求出两个圆的圆心与半径，利用圆心距与半径和与差的关系,可得选项.【详解】圆221:(2)9C x y ++=的圆心()12,0,C -半径13R=，圆2222:(1)(4)(0)C x y r r -+-=>的圆心()21,4,C 半径2R r =，且两圆的圆心距为125C C ==，要使两个圆有公共点，则需满足353r r -≤≤+，解得28r ≤≤，所以r 的取值范围是28r ≤≤，故选：A.【点睛】本题考查圆与圆的位置关系及其判定，关键熟记圆与圆的位置关系与两圆的半径的和或差的关系，属于基础题.9. 已知F 是抛物线C:28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N =____________． 【答案】6 【解析】 【详解】 【分析】如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点'F ，作MB l ⊥与点B ，NA l ⊥与点A ，由抛物线的解析式可得准线方程为2x =-，则2,4AN FF'==，在直角梯形ANFF'中，中位线'32AN FF BM +==，由抛物线的定义有：3MF MB ==，结合题意，有3MN MF ==，故336FN FM NM =+=+=．点睛:抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．10. 已知()y f x =是偶函数,而(1)y f x =+是奇函数,且对任意01x ≤≤,都有'()0f x ≥,则98101136(),(),()191715a fb fc f ===的大小关系是( ) A. c b a <<B. c a b <<C. a c b <<D.a b c <<【解析】【详解】对任意01x ≤≤,都有()'0f x ≥,所以()y f x =在01x ≤≤单调递增 因为()y f x =是偶函数,而()1y f x =+是奇函数，所以()(),(1)(1)(1)(1)4f x f x f x f x f x f x T =-+=--+∴+=--∴=所以982216101331,,191919171717a f f f b f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-===-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1361614151515c f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为11614171915f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以c a b <<，选B 11. 已知四面体P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，若PB ⊥面ABC ，AB AC ⊥，且1AC =，2PB AB ==，则球O 的表面积为（ ）A. 7πB. 8πC. 9πD. 10π【答案】C 【解析】 【分析】根据条件可将四面体P ABC -补成一个长方体，再根据长方体与外接球关系求球半径，最后根据球表面积公式求结果.【详解】因为PB ⊥面ABC ，所以PB BA AB AC ⊥⊥，又，所以可补成长宽高分别为PB AB AC ，，一个长方体，其外接球为球O 32，因此球O 的表面积为234π=9π2（），选C.【点睛】若球面上四点,,,P A B C 构成的三条线段,,PA PB PC 两两互相垂直，且,,PA a PB b PC c ===，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用22224R a b c =++求解．12. 已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，且12a =，n S 为其前n 项和，等比数列{}n b 的前三项分别为2511,,a a a ，设向量2n nn a S OQ n n =（，），则||n OQ 的最大值是B.D.【解析】分析：根据题意利用等比中项公式求解1,a d ，进而得到等差数列的通项公式和前n 项和，求解向量n OQ 的坐标 ，利用向量模的运算公式，转化为二次函数求解最值，即可求解.详解：由题意2511,,a a a 构成等比数列，所以25211a a a =⋅，即()()()2111410a d a d a d +=+⋅+，解得12a d =， 又由12a =，所以1d =，所以(21)(3)1,22n n n n n n a n S +++=+==，所以213(,)2n n n a S n n OQ n n n n++==（，），所以111(22n n OQ+====，由二次函数的性质，可得当1n =取得最大值， 此时最大值为max12nOQ == B. 点睛：本题主要考查了等差数列的通项公式和等差数列的前n 项和公式，以及向量的模的计算等知识点的综合应用，其中熟记等差、等比数列的通项公式和前n 项和公式，以及向量的基本运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.第II 卷 非选择题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知实数x y ，满足001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，． 则目标函数z x y =-的最小值为___________．【答案】1- 【解析】由题意，可作出约束条件的区域图，如图所示，将目标函数转化为直线l y x z =-：，接着作出与目标函数平行的直线y x =，由于在直线l 中目标函数z 有负号，所以当直线y x =平移至点()01A ，时，目标函数的值为最小，所以min 1z =-.点睛：此题主要考查简单线性规划问题中的最优解，以及数形结合法在解决实际问题中的应用等有关方面的知识与基本技能，属于中低档题型，也是常考题.此类问题一般流程是：首先根据约束条件画出可行域区域图；第二步是将目标函数进行转化，常转化为直线的斜截式；第三步，通过平移该直线（在区域范围内），找到直线在y 轴上截距的最值.从而得到问题的最优解.14. 设函数2()lg(1)1f x x =-+的定义域为A ，2()()1g x x a =--B ，A B ⊆，则a 的取值范围是________． 【答案】(][),22,-∞-+∞【解析】 【分析】先求出{}11A x x =-<<，{|1B x x a =≥+≤或x a-1}，再根据A B ⊆求出a 的取值范围. 【详解】由2101x ->+，可得11x -<<，{}11A x x ∴=-<<， 由()210x a --≥，可得1x a -≥或1x a -≤-． 所以{|1B x x a =≥+≤或x a-1}，A B ⊆，11a ∴-≥+或11a ≤-，2∴≤-a 或2a ≥．故答案为(][),22,-∞-+∞【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，考查分式不等式和二次不等式的解法，考查集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15. 用1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，这样的六位数的个数是_________（用数字作答）. 【答案】72 【解析】 【分析】先排奇数（或偶数），然后从排好的三个数形成的四个空中选择相邻的三个再排剩下的偶数（或奇数），由此可得结果．【详解】先排三个奇数，共有336A =种结果，然后再从形成的四个空中选择前三个或后三个空排入三个偶数，共有33212A =种结果．由分步乘法计数原理可得这样的六位数共有3333272A A =个．故答案为72．【点睛】对于排列问题，一般情况下要从受到限制的特殊元素开始考虑，有时也从特殊的位置开始讨论．对于相邻问题常用“捆绑法”；对于不相邻问题常用“插空法”；对于“在与不在”的问题，常使用“直接法”或“排除法”． 16. 函数()15sin 7cos y x x =+的最大值是______. 【答案】645【解析】 【分析】方法一：利用导数求函数的最大值， 方法二：利用基本不等式构造22216816sin 9cos 7cos 24sin cos 7cos 255x x x x x x ⎛⎫+++≥+⨯ ⎪⎝⎭，再求原式的最值.【详解】方法一：()22215cos 15sin 7sin 15cos 15sin 7sin y'x x x x x x =-+=--()()230sin 7sin 155sin 36sin 5x x x x =--+=-++，令0y'=，得3sin 5x =或5sin 6x =-，因为函数的定义域为R ，所以函数若存在最大值，则最大值应在极大值处取到，当3sin 5x =，4cos 5x =时，函数的最大值为645.方法二：因为2216sin 9cos 24sin cos x x x x +≥，当4sin 3cos x x =时，等号成立；21687cos 7cos 255x x ⎛⎫+≥⨯ ⎪⎝⎭，当4cos 5x =时，等号成立，所以22216816sin 9cos 7cos 24sin cos 7cos 255x x x x x x ⎛⎫+++≥+⨯ ⎪⎝⎭， 即816724sin cos 7cos 16525x x x ⨯+⨯≤+，7643sin cos cos 525x x x +≤， 6415sin cos 7cos 5x x x +≤，当4cos 5x =，3sin 5x =时，等号成立，因此函数()15sin 7cos y x x =+的最大值是645.故答案：645【点睛】本题考查三角函数求最值，意在考查转化与化归的思想和计算能力，属于中档题型. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共60分17. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,,a b c a =其中，且()()()sin sin sin b A B c b C -=-．（1）求角A 的大小；（2）求△ABC 的面积的最大值.【答案】（1）πA 3=（2）最大值. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理得222a b c bc -=-，再由余弦定理求得1cosA 2=，即可求解； （2）利用余弦定理和基本不等式，求得bc 的最大值，再利用三角形的面积公式，即可求解面积的最大值，得到答案.【详解】()1在ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c 且a =，且()()()b sinA sinB c b sinC -=-． 整理得()()()a b sinA sinB c b sinC +-=-， 利用正弦定理得222a b c bc -=-，又由余弦定理，得222b c a 1cosA 2bc 2+-==，由于0A π<<，解得：πA 3=． ()2由于πa 23,A 3==，所以222a b c 2bccosA =+-， 整理得：2212b c bc 2bc bc bc =+-≥-=， 所以ABC113SbcsinA 123322=≤⋅⋅=． 当且仅当b c =时，ABC 的面积有最大值33.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 18. 某市一中学高三年级统计学生的最近20次数学周测成绩（满分150分），现有甲乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示：（1）根据茎叶图求甲乙两位同学成绩的中位数，并据此判断甲乙两位同学的成绩谁更好？ （2）将同学乙的成绩的频率分布直方图补充完整；（3）现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，设选出的2个成绩中含甲的成绩的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.【答案】（1）甲的中位数是119，乙的中位数是128，乙的成绩更好 （2）见解析 （3）分布列见解析，数学期望为0.8【解析】【分析】（1）按大小顺序排好后，第10个数和第11个数的平均数是中位数；（2）计算频率及频率除以组距后可画出频率分布直方图；（3）不低于140分的有5个，ξ取值依次为0，1，2，求出概率得分布列，再由期望公式求得期望．【详解】解：（1）甲的中位数是119，乙的中位数是128，乙的成绩更好（2）乙频率分布直方图如下图所示（3）甲乙不低于140分的成绩共5个，则ξ的取值为0，1，223253(0)10CPCξ===；1123256(1)10C CPCξ===；2225(121)CPCξ===所以ξ的分布列为ξ0 1 2P310610110()3610120.8101010Eξ=⨯+⨯+⨯=【点睛】本题考查茎叶图，中位数，考查频率分布直方图，考查随机变量的频率分布直方图，属于中档题．本题还考查了学生的数据处理能力．19. 如图，在多面体1111ABD A B C D-中，四边形1111A B C D，11ADD A，11ABB A均为正方形，点M 是BD 的中点，点H 在1C M 上，且1A H 与平面ABD 所成角的正弦值为3.（1）证明：11//B D 平面1BC D ； （2）求二面角1A A H B --的大小. 【答案】（1）见解析；（2）3π. 【解析】 【详解】 【分析】分析：（1）根据条件可证得四边形11BDD B 是平行四边形，故11//BD B D ，然后由线面平行的判定定理可得结论成立．（2）由题意易知1,,AA AB AD 两两垂直且相等，故建立空间直角坐标系，通过向量的运算来求二面角1A A H B --的大小． 详解：（1）因为四边形11ADD A ，11ABB A 均为正方形， 所以11//DD AA 且11DD AA =，11//BB AA 且11BB AA =， 所以11//DD BB 且11DD BB =， 所以四边形11BDD B 是平行四边形， 所以11//BD B D ．又因为BD ⊂平面1BC D ，11B D ⊄平面1BC D ， 所以11//B D 1BC D 平面．（2）由题意易知1,,AA AB AD 两两垂直且相等，以A 为坐标原点，分别以1,,AB AD AA 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系A xyz-．令11AA=，则()()()()11110,0,1,1,0,0,0,1,0,1,1,1,,,022A B D C M⎛⎫⎪⎝⎭．设(),,H x y z，且11(01)C H C Mλλ=≤≤,则11(1,1,1)(,,1)22x y zλ---=---，故1,1,122x y zλλλ=-=-=-，所以点H的坐标为(1,1,1)22λλλ---，故1(1,1,)22A Hλλλ=---．易得()10,0,1AA=为平面ABD的一个法向量．设1A H与平面ABD所成角为θ，则112223sin cos,3(1)(1)22AA A Hλθλλλ-===-+-+，解得23λ=或2λ=-（舍去），所以点221,,333H⎛⎫⎪⎝⎭，所以1222121,,,,,333333A H BH⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面1A AH的法向量为()1111,,n x y z=，由11110,0,n AA n A H ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得11110,2220,333z x y z =⎧⎪⎨+-=⎪⎩令11x =，则()11,1,0n =-． 设平面1BA H 的法向量为()2222,,n x y z =，同理可得()21,0,1n =， 故1212121cos ,2n n n n n n ⋅==， 由图形知二面角1A A H B --为锐角， 所以二面角1A A H B --的大小为3π． 20. 已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的离心率为12，点F 为左焦点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于A 、B 两点，且3AB =. （1）求椭圆C 的方程；（2）在圆223x y +=上是否存在一点P ，使得在点P 处的切线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点满足OM ON ⊥？若存在，求l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)22143x y +=(2) 在圆上不存在这样的点P 使其成立【解析】试题分析：（1）根据椭圆的离心率公式和通径的表达式22b AB a =，构造方程，得到椭圆方程；（2）将向量的位置关系，坐标化为2222241231203434m m k k k--+=++，得到两个变量的等量关系，联立直线和椭圆，将向量的位置关系，根据韦达定理，坐标化为2222241231203434mm k k k --+=++=程，二元化一元，得到方程无解，故不存在． 解析：（1）2211342e a b =-=∴=又223bABa==2a∴=,b=∴椭圆C的方程为：221 43x y+=（2）假设存在点P，使得OM ON⊥.当l的斜率不存在时，l:x=x=与椭圆C：22143x y+=相交于M，N两点，此时2M⎫⎪⎪⎭2N-⎭或2M⎛⎝⎭2N⎛⎫-⎪⎪⎝⎭OM ON∴⋅393044=-=≠∴当直线l的斜率不存在时不满足.当直线l的斜率存在时，设：y kx m=+则22143y kx mx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩⇒()2223484120x x kmx m+++-=直线l与椭圆C相交于M，N两点∴∆>，化简得2243k m>-设()11,M x y，()22,N x y122834kmx xk-∴+=+，212241234mx xk-=+()()1212y y kx m kx m=++()221212k x x km x x m=+++22231234m kk-=+OM ON⋅=222224123123434m m kk k--∴+=++22712120m k∴--=又l与圆223x y+=相切，=2233m k∴=+22212112120k k∴+--=21k ∴=-，显然不成立，∴在圆上不存在这样的点P 使其成立.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，涉及到的方法为向量坐标化，韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．21. 已知函数2()1ln ()f x ax x x a R =+-+∈在点11(,())22f 处的切线与直线210x y ++=垂直.（1）求函数的极值； （2）若2()mf x m x x≥--在[1,)+∞上恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）极大值为(1)1f =-，函数()f x 无极小值；（2）(,2]-∞ 【解析】分析：（1）由函数()()21ln f x ax x x a R =+-+∈在点11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线与直线210x y ++=垂直，利用导数的几何意义求得1a =-，利用导数研究函数的单调性，从而可得函数的极值；（2）()2m f x m x x ≥--在[)1,+∞上恒成立，等价于ln 10mx x m x++--≥在[)1,+∞上恒成立，令()ln 1mg x x x m x=++--，利用导数可得当2m ≤时，()g x 在[)1,+∞上是增函数，()()10g x g ≥=，故当2m ≤时，符合题意，再证明当2m >时不合题意即可.详解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()1'21f x ax x=++， 所以函数()f x 在点11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线的斜率121232k a a =⨯++=+.∵该切线与直线210x y ++=垂直，所以32a +=，解得1a =-.∴()21ln f x x x x =-+-+，()1'21f x x x =-++ ()()221121x x x x x x-+--++==， 令()'0f x =，解得1x =显然当()0,1x ∈时，()'0f x >，函数()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()'0f x <，函数()f x 单调递减.∴函数()f x 的极大值为()1111ln11f =-+-+=-，函数()f x 无极小值. （2）()2m f x m x x ≥--在[)1,+∞上恒成立，等价于ln 10mx x m x++--≥在[)1,+∞上恒成立，令()ln 1m g x x x m x =++--，则()2221'1m x x mg x x x x+-=-+=， 令()()21h x x x m x =+-≥，则()h x 在[)1,+∞上为增函数，即()2h x m ≥-，①当2m ≤时，()0h x ≥，即()'0g x ≥，则()g x 在[)1,+∞上是增函数， ∴()()10g x g ≥=，故当2m ≤时，ln 10mx x m x++--≥在[)1,+∞上恒成立.②当2m >时，令()20h x x x m =+-=，得x =，当11,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭时，()'0g x <，则()g x 在11,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭上单调递减，()()10g x g <=，因此当2m >时，ln 10mx x m x++--≥在[)1,+∞上不恒成立， 综上，实数m 的取值范围是(],2-∞.点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2(2x y θθθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩为参数．在以原点O 为极点，为参数）．在以原点O 为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为113sin 4cos ραα=+．（Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设()2,1A ，直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求||||AM AN ⋅的值． 【答案】（Ⅰ）22(2)(2)8x y -+-=，43110x y +-=；（Ⅱ）7. 【解析】 【分析】（Ⅰ）直接把曲线C 的参数方程平方相加，可以消除参数，得到普通方程，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）先写出直线l 的标准式参数方程，代入曲线方程，化为关于t 的一元二次方程，再由根与系数的关系及t 的几何意义，即可求出． 【详解】(I ) 曲线C 的普通方程:()()22228x y --＋＝，直线l 的直角坐标方程：43110x y -＋＝； （II ）设直线l 的参数方程为325415x t y t⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝＋（t 为参数）代入()()22:228C x y --＋＝，得329418255t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋＝，故28705t t --＝；设,M N 对应的对数分别为12t t ⋅， 则12128,75t t t t -＋＝＝，故127AM AN t t ⋅＝＝.【点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化．易错点是在应用直线参数方程中参数t 的几何意义时，参数方程必须是标准式，否则容易导致错误．选修4-5：不等式选讲23. 已知函数()f x =的定义域为R .（1）求实数m 的取值范围；（2）设实数t 为m 的最大值，若实数,,a b c 满足2222a b c t ++=，求222111123a b c +++++的最小值.【答案】（1）(],4-∞-（2）922【解析】【分析】（1）由定义域为R ，只需求解231x x ---的最小值，即可得实数m 的取值范围；（2）根据（1）求得实数t 的值，利用基本不等式即可求解最小值．【详解】（1）函数()f x =的定义域为R . ∴231x x m ---≥对任意的x ∈R 恒成立，令()231g x x x =---，则()()()()7,353,035,0x x g x x x x x ⎧-≥⎪=-<<⎨⎪-≤⎩，结合()g x 的图像易知()g x 的最小值为4-，所以实数m 的取值范围(],4-∞-.（2）由（1）得4t =-，则22216a b c ++=，所以()()()22212322a b c +++++=，()()()22222222211112311112312322a b c a b c a b c ⎛⎫⎡⎤+++++++ ⎪⎣⎦+++⎝⎭++=+++222222222322213132312132322b ac a c b a b a c b c ++++++++++++++++++=922≥=， 当且仅当222221233a b c +=+=+=，即2193a =，2163b =，2133c =时等号成立， ∴222111123a b c +++++的最小值为922.【点睛】本题主要考查了含绝对值函数的最值，转化思想和基本不等式的应用，考查了分析能力和计算能力，属于难题.。