主应力法全解析

第18章 工程应用本章内容：各种方法的原理及应用本章重点：主应力法，滑移线法，摩擦与边界条件的处理。

18．1 主应力法principal stress method塑性理论：分析变形力——确定变形力, 选设备，设计模具，定工艺精确解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫1663塑性条件应力应变关系几何方程应力平衡方程非常困难甚至无法（共18个未知量）必须简化，近似求解⇒主应力法18．1．1基本原理主应力法（切块法slab method）：基本思路：近似假设应力状态，简化应力平衡方程和塑性条件要点：1) 简化应力状态为平面问题或轴对称问题2) 沿变形体整个截面截取基元体，设正应力与一个坐标无关且均匀分布，摩擦为库伦或常摩擦条件，根据静力平衡，得简化的平衡微分方程3) 列塑性条件时，假定基之接触面上的正应力为主应力（即忽略摩擦力对塑性条件的影响）。

4) 联立求解，并利用边界条件确定积分常数，求出接触面上的应力分布进而求得变形力。

注意：准确程度与假设是否接近实际有关。

18．1. 2 轴对称镦粗变形特点及变形力计算18.1.2.1 镦粗upsetting 变形特点无摩擦：均匀变形有摩擦：鼓形，双鼓形——不均匀镦粗inhomogeneous upsetting 变形分区：Ⅰ区：难变形区 Ⅱ区：大变形区 Ⅲ区：小变形区端面：滑动区，粘着区结论：镦粗是一个非稳定的塑性流动过程18.1.2.2 圆柱体镦粗时变形力计算 求接触面上的应力分布，主要步骤： 1) 截取基元 注意条件：轴对称问题，有：0==z θθρττ θσ为主应力θρσσ=2) 列径向静力平衡方程()()2sin2+++-θσθσσθσθd hdr d dr r h d hrd r r r简化为：02=-++hdr dr hdr hrd r r θστσσ圆柱体镦粗：dr d h r r τθσσσ2-==3) 引入塑性条件 设z σ为主应力 S z =-γσσ0=-⇒γσσd d zγτσd hd z 2-=∴4）设定摩擦条件 假设z μστ=rz z h cedr h z d μσμσσ22-=⇒-=∴5） 引入边界条件求积分常数 2D r =时0=r σ 此时S z =σ得C=hDSeμ()⎪⎩⎪⎨⎧===∴--r z r z Dh u Dh SeSe2222)(μμστσμ 上式即解得应力分布 但上式解存在问题，问题在τ的处理，因为τ≤S 5.0max =τ解决方法：重新设定摩擦条件 实验表明：ab 段：z μστ= 滑动区bc 段：S 5.0=τ 制动区co 段：S h r c S 22≈=γγτ停滞区将上式分别代入γστd d hz 2-=几个特殊点：b 点：b 点处有S b 21=τ 又有：()b z b u στ=ab段代入：()b dz hu se γσ-=22可求b γ 即：u u h dn b 222ιγ+=而对于bc 段（制动区），c hsz +-=γσ在处有b γs u z 5.0=σ 可求出()zb h u usC σγ及+=121 C点：CO段停滞区2222c s h z +-=γσ在处h c ==γγ，C 点z σ应相等可求C 2()[]()2222212γσγ-++=-h hs u s h h u z b18.1.2.3 讨论0<u <0.5 )1(2ψ+>h d三区并存 0<u <0.5 2≤h d≤)1(2ψ+制动区消失u >0 h d≤2 只有停滞区u ≤0.5 n d＞2 停滞区+制动区18.1.2.4 锻粗变形力计算 F=dA z σ⎰⎰ 单位流动压力：A F =ρ将前已计算出的z σ分别积分即求得常摩擦时：us =τγσd husd z 2-= ()[]γσ-+=221d h u z s ()huds p 31+=热锻中按最大摩擦条件s 5.0=τ（全部为制动区）()hd z s γσ-+=5.01()h d s p 611+=18.1.2.5 镦粗时变形功deformation work （选设备用）W=-⎰01h h Fdh=⎰-PAdh h h 01W=⎰1h h p v dh hv =⎰10h h ∈=m v hdh p ρ 注意：变形时单位流动压力与坯料体积及打击速度有关习题 18章 318.1.3 开式模锻drop-forging变形特点及变形力计算18.1.3.1 变形特点定义：利用模具die迫使金属坯料产生塑性变性并充满锻模型腔的一种塑性加工方法过程：1) 镦粗阶段2) 充满模镗阶段3) 上下模闭合阶段（打靠）飞边槽作用：1) 形成阻力2) 容纳多余金属18.1.3.2 变形力计算上下模闭合时需要力最大，所以计算此时的力以圆盘类锻件为例：可分为三个部分⎪⎩⎪⎨⎧飞边仓部飞边桥部锻件主体18.1.3.3 飞边仓部受力分析作用：阻止桥部金属向外流动受力模型：厚壁筒thick-walled barrel 受内压作用1) 取单元体 2) 列静力平衡方程()()0sin 2=⋅⋅-∂+++θγσγθσθγγσσγθγγd d d d d d22sin θθd d ≈()0=++∴γσσγσθγγγd d d即0=++γσσγσθγγd d 3) 屈服准则 ()s βσσγθ=--代入上式γγβσd r sd -=热模锻S 为常数，应力状态为平面应力1.1=βcr s r ln 1.1-=∴σ4) 边界条件21D =γ 处0=γσC=12D∴γσ21ln 1.1D r S =∴仓桥交界处()b D+=2γγγισ211.1D ns =锻模设计常识：一般b D D 21+≤1.6在b D+=2γ处，S S 5.06.1ln 15.1=≈γσ18.1.3.4 飞边桥部变形力计算 受力模型：轴对称镦粗 1) 取单元体2) 列静力平衡方程γτσγd hd 2-=热模锻用最大摩擦条件s 5.0=τγσγd hsd -=∴C hs+-=∴γσγ3) 边界条件：b D +=2γ s 5.0=γσ()hbD s C ++=∴25.0()5.0222+=∴-+hb D sγγσ4) 屈服准则（近似） s z =-γσσ()[]γσ-++=∴b s Dh z 215.1F b =⎰⎰+=22DD z bdA σγπγσd z ∂⋅()()bD b D h b b D b sb F +++⋅++=3225.1π()b D b Fb Ab Fb p b +==π模锻件D>>b 再简化132≈++b D b D()h b b s p 25.1+=∴18.1.3.5 锻件本体变形力受力模型（简化）：圆盘镦粗D φ h 0=2h (透镜状镦粗)1) 取单元体2) 列静力平衡方程γτσγd h d o2-=最大摩擦条件 s 5.0=τc hos +-=∴γσγ3) 边界条件 2D =γ ()5.0222+=-+hr b D s γσ 可求出C()oh D hbs 225.0γγσ-++=∴4) 屈服准则（近似）s z =-γσσ （h 0=2h ）()hD hbz s 425.1γσ-++=∴⎰=∴01224D d D p π()h D h b S 425.1γ-++ =()h Dh b S 125.1++结论：模锻力F=dd b b A p A p +=()()Ad S A S h Dh b b h b 1225.15.1++++=()[]h Dh b Ad Ab h b S D 12225.15.14++++π习题 18章 218.1.4 板料弯曲定义：把平板、型材（管材）弯成一定曲率（角度）的塑性成形工序应用：模具弯、折弯、滚弯、拉弯18.1.4.1 线性弹塑性弯曲 18.1.4.2 弹性弯曲弯矩小⇒弹性变形（弯曲角度小，曲率半径大） 外区受拉内区受压⇒交界处受力为0且位于板厚中间2t+==γρρσε 且应变公式为：()εεεεθρρραρεyy =∂∂-+=（ερ应变中性层曲率半径，y 到中性层距离，弯曲角度） 而弹变时0==z σσρ3ρθθεσEyE ==∴18.1.4.3 弹塑性弯曲弯矩↑⇒角度↑⇒曲率半径↓γ。

材料力学主应力为了进一步了解主应力，我们首先需要了解材料的应力状态。

材料在外力作用下会受到内部分子间的相互作用力，这些力会导致材料产生内部应力。

根据力的性质，我们可以将内部应力分解为正应力和剪应力。

正应力是指垂直于截面的分量，剪应力是指平行于截面的分量。

在一维静力学问题中，材料受到的应力只有一个方向，因此只存在一个正应力。

但在三维静力学问题中，材料受到的应力存在多个方向，因此存在多个正应力。

这些正应力中，具有最大值的称为主应力，具有最小值的称为次应力。

主应力对于材料的力学行为和断裂性能具有重要影响。

在材料的拉伸、压缩、扭转和弯曲等不同加载方式下，主应力的分布是不同的。

在拉伸或压缩加载中，材料的主应力沿加载轴方向，而在扭转加载中，主应力沿材料截面法线方向。

在弯曲加载中，则存在两个方向的主应力。

根据主应力的大小和正负号，可以判断材料的受力状态。

当主应力为正时，材料受到拉伸力，当主应力为负时，材料受到压缩力。

当主应力的大小相等时，材料受到平衡状态的等轴应力。

主应力的分析对于材料的工程应用具有重要意义。

具体来说，主应力的分布可以用来判断材料的断裂行为。

材料在主应力达到其极限强度时会发生断裂。

在构造设计中，合理地选择材料和加载方式可以使主应力分布均匀，避免材料发生断裂。

此外，主应力的研究也对于材料的变形行为有着重要的影响。

主应力的大小和分布会对材料的塑性行为和变形能力产生影响。

合理地调节主应力分布可以改变材料的变形行为，从而使其具有更好的工程性能。

综上所述，主应力是材料力学中一个重要的概念。

主应力的分布可以用来判断材料的断裂行为，而主应力的大小和分布也会对材料的变形行为产生影响。

因此，在材料力学研究和工程应用中，主应力的分析是必不可少的一步。

确定主应力大小和方向问题分析基础部秦定龙一问题的提出在工程结构设计中，为了全面评价梁的强度安全，确保工程结构万无一失，经常要遇到计算结构中的主应力的大小和确定主应力的方向问题，以便于分析结构破坏的原因，或者合理布置结构形式，或者正确布置结构内的受力钢筋等。

图一(a)所示的钢筋混凝土简支梁，为什么会在轴线以下部分出现斜裂缝而破坏?图一(b)所示的铸铁试件在受到压缩或扭转时，为什么会沿与轴线成的斜面上发生破坏?这些都与结构内的主应力大小和方向有关。

在图二(a)中，钢筋混凝土简支梁的两组主应力轨迹线是根据主应力的方向绘制出来的，而图二(b)中梁内的弯起钢筋和纵向受力钢筋则是根据图二(a)中梁的主应力轨迹线布置的。

图一（a）q(a)图二(b)上述情况说明，在对结构进行强度分析或计算时，都要涉及到结构内主应力大小的计算和确定主应力方向的问题。

一般情况下，主应力的大小可按特定的公式算出来，而在确定应力的方向时，人们往往不容易正确确定出来。

本文就怎样快速准确确定主应力大小和方向作阐述和介绍。

二主应力大小及方向的确定方法图三表示从某一构件中取出的单元体，设它处于平面应力状态下。

假定在一对竖向平面上的正应力为,切应力为；在一对水平面上的正应力为y，切应力为y，它们的大小和方向已经求出。

现要求出这个单元体的最大正应力、最小正应力即主应力的大小和方向。

对应力、和角度的正负号规定如下：正应力(或主应力)以拉应力为正，压应力为负；切应力对单元体内的任一点以顺时针转为正，以反时针转时为负；角度以从x轴的正向出发量到截面的外法成n是反时针转为正，是顺时针转为负。

按照上述的规定，可以判断出，、、及是正值；是正值，是正值，角是负值。

（a）主应力的确定方法有两种：一种是解析法，一种是应力圆法。

下面分别讨论之。

1．确定主应力大小和主平面位置的解析法(b)图三根据对主应力的定义，进行严格的数学推导，得出计算平面应力状态下单元的主应力公式如下： (1)由式(1)可以看出， α有两个根。