江苏高考真题汇编压轴题数列函数

08-14江苏高考数列与函数一 概述以08-14近六年高考的江苏真题为背景，研究数列与函数两个部分解答题的命题特点，解题思路，解答技巧。

二 真题方法提炼1 数列（08）19．（1）设是各项均不为零的n （4n ≥）项等差数列，且公差0d ≠，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列．（i ）当4n =时，求1a d的数值； （ii ）求n 的所有可能值．（2）求证：对于给定的正整数n (4n ≥)，存在一个各项及公差均不为零的等差数列12b b ，，⋯n b ，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列．初等数论的简单应用（09）17．（本小题满分14分）设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，满足2222234577a a a a ,S +=+= （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）试求所有的正整数m ，使得12m m m a a a ++为数列{}n a 中的项.简单的分离常数，整体法（10）19．（16分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3122a a a +=，数列{}n S 是公差为d 的等差数列.①求数列{}n a 的通项公式（用d n ,表示）②设c 为实数，对满足n m k n m ≠=+且3的任意正整数k n m ,,，不等式k n m cS S S >+都成立。

求证：c 的最大值为29 基本不等式，初等数论的简单应用（12）20．（本小题满分16分）已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}nb满足：1n a n *+=∈N ．（1）设11n n n b b n a *+=+∈N ，，求证：数列2n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是等差数列；（2）设1n n nb b n a *+=∈N ，，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值． 基本不等式与函数单调性的应用（13）19．(2013江苏，19)(本小题满分16分)设{a n}是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项和．记2n n nS b n c=+，n ∈N *，其中c 为实数． (1)若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)；(2)若{b n }是等差数列，证明：c ＝0.待定系数法求解（11）20、设M 为部分正整数组成的集合，数列}{n a 的首项11=a ，前n 项和为n S ，已知对任意整数k 属于M ，当n>k 时，)(2k n k n k n S S S S +=+-+都成立（1）设M=｛1｝，22=a ，求5a 的值；（2）设M=｛3，4｝，求数列}{n a 的通项公式（14）20.(本小题满分16分)设数列的前项和为.若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是“H 数列”.(1)若数列的前n 项和(N ),证明: 是“H 数列”;(2)设 是等差数列,其首项,公差.若 是“H 数列”,求的值；(3)证明：对任意的等差数列，总存在两个“H 数列”和，使得 (N )成立.}{n a n n S n m m n a S =}{n a }{n a n n S 2=∈n *}{n a }{n a 11=a 0<d }{n a d }{n a }{n b }{n c n n n c b a +=∈n *2 函数（08）20．已知函数11()3x p f x -=，22()23x p f x -=⋅（12,,x R p p ∈为常数）．函数()f x 定义为：对每个给定的实数x ，112212(),()()()(),()()f x f x f x f x f x f x f x ≤⎧=⎨>⎩若若 （1）求1()()f x f x =对所有实数x 成立的充分必要条件（用12,p p 表示）；（2）设,a b 是两个实数，满足a b <，且12,(,)p p a b ∈．若()()f a f b =，求证：函数()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度之和为2b a -（闭区间[,]m n 的长度定义为n m -） 用到不等式的知识利用图像进行讨论（09）20．(本小题满分16分)设a 为实数，函数2()2()||f x x x a x a =+--.(1) 若(0)1f ≥，求a 的取值范围；(2) 求()f x 的最小值；(3) 设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞，直接写出．．．．(不需给出演算步骤)不等式()1h x ≥的解集. 利用图像分析求解（10）20.（16分）设)(x f 使定义在区间),1(+∞上的函数，其导函数为)('x f .如果存在实数a 和函数)(x h ，其中)(x h 对任意的),1(+∞∈x 都有)(x h >0，使得)1)(()('2+-=ax x x h x f ，则称函数)(x f 具有性质)(a P .(1)设函数)(x f )1(12)(>+++=x x b x h ，其中b 为实数 ①求证：函数)(x f 具有性质)(b P②求函数)(x f 的单调区间(2)已知函数)(x g 具有性质)2(P ，给定为实数，设m x x x x ,),,1(,2121<+∞∈21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，且1,1>>βα，若|)()(βαg g -|<|)()(21x g x g -|,求m 的取值范围 先讨论内容较少，较易拿分的深刻理解题目的含义，利用不等式的传递性，放缩的思想（12）18．（本小题满分16分）已知a ，b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点．（1）求a 和b 的值；（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点；（3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数．找特殊点，待定系数法求高次多项式的根 利用图像找零点（11）19、已知a ，b 是实数，函数,)(,)(23bx x x g ax x x f +=+= )(x f '和)(x g '是)(),(x g x f 的导函数，若0)()(≥''x g x f 在区间I 上恒成立，则称)(x f 和)(x g 在区间I 上单调性一致（1）设0>a ，若函数)(x f 和)(x g 在区间),1[+∞-上单调性一致,求实数b 的取值范围；（2）设,0<a 且b a ≠，若函数)(x f 和)(x g 在以a ，b 为端点的开区间上单调性一致，求|a -b |的最大值找特殊点，缩小范围（13）20．(2013江苏，20)(本小题满分16分)设函数f(x)＝ln x－ax，g(x)＝e x－ax，其中a为实数．(1)若f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，且g(x)在(1，＋∞)上有最小值，求a的取值范围；(2)若g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论．常规方法先找较易求解的进行讨论，同时结合图像（14）19.(本小题满分16分)已知函数,其中e 是自然对数的底数.(1)证明:是R 上的偶函数；(2)若关于的不等式≤在上恒成立，求实数的取值范围；(3)已知正数满足：存在，使得成立.试比较与的大小，并证明你的结论.x x x f -+=e e )()(x f x )(x mf 1e -+-m x ),0(+∞m a ),1[0+∞∈x )3()(0300x x a x f +-<1e -a 1e -a。

十年高考数学分类汇编 _02 函数江苏高考数学 _函数 _十年汇编（ 2005-2017 ）一．基础题组1. 【 2005 江苏，理 2】函数y 1 x3( x R) 的反函数的解 析表达式为（）2+（ A ）ylog2 x2（ B ） ylog 2 x 332（ C ） y3 x （ D ） ylog 22 log 223 x2. 【 2005 江 苏 ， 理15 】 函 数 ylog 0.5 (4x 23x) 的 定 义 域为 .3. 【 2005 江苏，理 aa ∈ k, k 1 , k ∈ ，则 k = .16】若 3 =0.618, Z 4.【2005江 苏 ， 理17 】 已 知a b为 常 数 ， 若, f ( x) x 24x 3, f (ax b)x 2 10 x 24, 则 5a b.5.【 2007 江苏，理 6】设函数 f （x ）定义在实数集上，它的图像关于直线 x=1 对称，且当 x ≥1时， f （ x ）＝ 3x -1 ，则有（ ）A. f （ 1 ）＜ f （ 3 ）＜ f （ 2 ）B. f （ 2 ）＜ f （ 3 ）＜ f （ 1）32 3323C. f （ 2）＜ f （ 1）＜ f （ 3）D.f （ 3）＜ f （ 2）＜ f （ 1）3 3 2 2 3 36. 【 2007江苏，理 】设 f （ x ） =l g （ 2 a ）是奇函数，则使 f （ x ）＜ 0 8 1 x的 x 的取值范围是（） A. （-1 ， 0） B. （0，1）C.（ - ∞， 0）D.（ - ∞， 0）∪（ 1，+∞）7. 【 2007 江苏，理 16】某时钟的秒针端点 A 到中心点 O 的距离为 5 cm ，秒针均匀地绕点 O 旋转，当时间 t =0 时，点 A 与钟面上标 12 的点 B 重合 . 将 A 、B 两 点间的距离 d （cm ）表示成 t （s ）的函数，则 d= __________，其中 t ∈0， 60].8. 【 2009 江苏，理 10】. 已知 a5 1 ，函数 f ( x) a x ，若实数 m 、 n 满足2f (m)f ( n) ，则 m 、 n 的大小关系为 ▲ .9. 【 2010 江苏，理 5】设函数 f ( x) ＝x(e x＋ ae －x )( x ∈R) 是偶函数，则实数 a 的值为 __________．10. 【2011 江苏，理 2】函数 f ( x) log 5 (2x 1) 的单调增区间是.11. 【2011 江苏，理 8】在平面直角坐标系 xoy 中，过坐标原点的一条直线与函数 f x2的图象交于 P, Q 两点，则线段 PQ 长的最小值为.x12. 【 2011 江苏，理 11 】已知实数 a0 ，函数 2x a, x1f (x)2a, x，若x 1f (1 a) f (1 a) ，则 a 的值为.13. 【2012 江苏，理 5】函数 f (x)1 2log 6 x 的定义域为 __________．14. 【2012 江苏，理 10】设 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间－ 1,1]上， f x ax 1, 1x0, a ， b ∈ 13 ＝其中 R. 若 ，则 ＋ 的值为bx2 ,0x1,22x 1__________．15. 【2014 江苏，理 10】已知函数 f ( x) x 2 mx 1，若对于任意的 xm,m 1都有 f ( x)0 ，则实数 m 的取值范围为.16. 【 2016 年高考江苏卷】函数 y= 3 - 2x - x 2 的定义域是.17.【2016 年高考江苏卷】设 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间 1,1)x a, 1 x 0,R. 若 f ( 5) f ( 9) ，则 f (5a) 的值是上， f ( x)2其中 ax ,0 x 1,225▲ .二．能力题组1. 【2010 江苏，理 14】将边长为 1 的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪2成两块，其中一块是梯形，记S ＝(梯形的周长)，则 S 的最小值是 __________．梯形的面积2. 【 2012 江苏，理 17】如图，建立平面直角坐标系 xOy ， x 轴在地平面上， y 轴垂直于地平面， 单位长度为 1 千米，某炮位于坐标原点． 已知炮弹发射后的轨 迹在方程 y ＝kx － 1(1 ＋k 2) x 2( k ＞0) 表示的曲线上，其中 k 与发射方向有关． 炮20的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1) 求炮的最大射程；(2) 设在第一象限有一飞行物 ( 忽略其大小 ) ，其飞行高度为 3.2 千米，试问它的横坐标 a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．3. 【2013 江苏，理 13】在平面直角坐标系xOy 中，设定点 A a ，a ，P 是函数1 ()y( xx＞ 0) 图象上一动点．若点 P ，A 之间的最短距离为 2 2 ，则满足条件的实数 a 的所有值为 __________．4. 【2014 江苏，理 13】已知 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 x 0,3 时， f ( x) x22x1，若函数 y f (x)a 在区间 3,4 上有 10个零点（互不2相同），则实数 a 的取值范围是.5. 【 2015 高考江苏， 13】已知函数 f (x) | ln x |， g (x)0,0 x 14 | ，则方| x 22, x 1程 | f ( x) g (x) | 1实根的个数为三．拔高题组1. 【 2005 江苏，理 22】已知 a R, 函数 f (x) x 2 x a .a =2 时，求使 f （ x ）＝ x 成立的 x 的集合；（Ⅰ）当（Ⅱ）求函数 y ＝f ( x) 在区间 1,2] 上的最小值 .2. 【 2006 江苏，理 20】设 a 为实数，设函数f (x) a 1x 2 1x 1x 的最大值为 g( a).（Ⅰ）设 t ＝ 1x1 x ，求 t 的取值范围，并把 f ( x) 表示为 t 的函数m( t )（Ⅱ）求 g( a)（Ⅲ）试求满足 g( a) g ( 1) 的所有实数 aa3. 【2007 江苏，理 21】已知 a ，b ，c ，d 是不全为零的实数， 函数 f （x ）=bx 2 +cx+d ，g（x ）=ax 2+bx 2 +cx +d. 方程 f （ x ） =0 有实数根，且 f （x ）=0 的实数根都是 g （f（ x ））=0 的根；反之， g （ f （ x ））=0 的实数根都是 f （x ）=0 的根 . （ 1）求 d 的值；（3 分）（ 2）若 a=0，求 c 的取值范围；（ 6 分）（ 3）若 a=l ，f （1）=0，求 c 的取值范围 . （7 分）4. 【 2008 江苏，理 20】已知函数 f1( x) 3x p1， f2 (x) 2 3x p2（x R, p1, p2为常数）．函数 f (x)定义为：对每个给定的实数 x ，f 1 ( x ), 若 f 1 ( x ) f 2 ( x )f ( x )f 2 ( x )f 2 ( x ), 若 f1 ( x )（ 1）求f ( x) f1( x)对所有实数x成立的充分必要条件（用p1, p2表示）；（ 2）设a,b是两个实数，满足 a b ，且p1, p2(a,b) ．若f (a) f (b)，求证：函数f ( x) 在区间 [ a, b] 上的单调增区间的长度之和为b a（闭区间 [m, n] 的长度定义2为 n m ）5.【2009 江苏，理 19】按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为m；如果他买进该m a产品的单价为 n 元，则他的满意度为n. 如果一个人对两种交易( 卖出或买进 )n a的满意度分别为 h1和 h2，则他对这两种交易的综合满意度为h1h2.现假设甲生产 A、B 两种产品的单件成本分别为12 元和 5 元，乙生产 A、B 两种产品的单件成本分别为 3 元和 20 元，设产品 A、B 的单价分别为m A元和m B元，甲买进 A 与卖出 B 的综合满意度为h甲，乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为h乙(1)求 h甲和 h乙关于m A、m B的表达式；当m A5m B时，求证：h3甲 = h乙；(2)设 m 3m ，当m A、m B分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？A5 B最大的综合满意度为多少？(3)记 (2)中最大的综合满意度为 h0，试问能否适当选取 m A、 m B的值，使得h甲h0和 h乙 h0同时成立，但等号不同时成立？试说明理由.6.【2009江苏，理20】设a为实数，函数 f (x) 2x2( x a) | x a |.(1)若 f (0) 1，求a的取值范围；(2)求 f (x) 的最小值；(3) 设函数h(x) f (x), x (a,) ，直接写出(不需给出演算步骤)不等式．．．．h( x) 1的解集.7.【2016 年高考江苏卷】（本小题满分 16 分）已知函数 f (x) a x b x( a 0,b 0, a 1,b1) .a 2,b1（ 1）设 2 .①求方程f (x)=2 的根；②若对任意xR ，不等式f (2x)mf (x)6恒成立，求实数 m的最大值；（ 2）若 0 a1,b＞1，函数g x f x 2 有且只有1个零点，求ab的值.2017-14．（ 5 分）（2017?江苏）设 f（x）是定义在 R 上且周期为 1 的函数，在区间 [ 0，1）上， f（ x） =，其中集合D={ x| x=，n∈N*}，则方程f （ x）﹣ lgx=0 的解的个数是．2017-20．（ 16 分）（2017?江苏）已知函数 f（x） =x3+ax2+bx+1（ a＞0，b∈R）有极值，且导函数 f ′（ x）的极值点是 f （x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求 b 关于 a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明： b2＞3a；（ 3）若 f（ x），f （′x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．答案一．基础题组1. 【 2005 江苏，理 2】函数y 1 x3( x R) 的反函数的解析表达式为（ ）2+（ A ） y log 22（ B ） y x 33log 22x（ C ） y3 x （ ） y log 2 2log 22Dx32. 【 2005江 苏 ， 理15 】 函 数 ylog 0.5 (4x 23x) 的 定 义 域为.【答案】 [1,0) ( 3,1]44由题意得：log 0..5 (4x 23x) 0则由对数函数性质得：0 4x 23x10 4 x 2 3x[1,0) (3,1] 即 4x 23x1, 求得函数的定义域为：44 .3. 【2005 江苏，理】若 aa ∈k, k 1 ,k ∈ ，则 k=.163 =0.618,Z【答案】 k1.如图观察分析指数函数 y=3x 的图象，函数值为 0.168[ 1,0) 上，与 3a =0.168,a [ k, k 1)比较得 : k1.4.【 2005 江 苏 ， 理17 】 已 知 a, b为 常 数 ， 若f ( x)x 2 4x 3, f (axb) x 210 x 24, 则 5a b.【答案】 2由 f(x)=x 2+4x+3, f(ax+b)=x 2+10x+24,得：（ ax+b ）2+4(ax+b)+3=x 2+10x+24, 即： a 2x 2 +2abx+b 2+4ax+4b+3=x 2+10x+24,a 2 1比较系数得 ： 2ab 4a 10b 24b 3 24【 求得：a=-1,b=-7, 或 a=1,b=3 ，则 5a-b=2.x5. 2007 江苏，理 】设函数 f （x ）定义在实数集上，它的图像关于直线=16对称，且当 x ≥1时， f （ x ）＝ 3x -1 ，则有（ ）A. f （ 1 ）＜ f （ 3 ）＜ f （ 2 ）B. f （ 2 ）＜ f （ 3 ）＜ f （ 1）32 33 23C. f （ 2 ）＜ f （ 1）＜ f （ 3 ）D.f （ 3）＜ f （ 2）＜ f （ 1）3 3 2 2 3 3【答案】 B6. 【 2007 江苏，理8】设 f （ x ）=l g （2a ）是奇函数，则使 f （ x ）＜ 0的 x 的取值范围是（ 1 x）A. （-1 ， 0）B. （0，1）C.（ - ∞， 0）D.（ - ∞， 0）∪（ 1，+∞）【答案】 A7.【 2007 江苏，理 16】某时钟的秒针端点 A 到中心点 O的距离为 5 cm，秒针均匀地绕点 O旋转，当时间 t =0 时，点 A 与钟面上标 12 的点 B 重合 . 将 A、B 两点间的距离 d（cm）表示成 t （s）的函数，则 d= __________，其中 t ∈0， 60]. 【答案】 10sin t608.【2009江苏，理10】. 已知a 5 1，函数 f ( x) a x，若实数m、n满足2f (m) f ( n) ，则 m 、 n 的大小关系为▲.9.【 2010 江苏，理 5】设函数 f ( x) ＝x(e x＋ ae－x)( x∈R) 是偶函数，则实数 a 的值为 __________．【答案】－ 1∵函数 f ( x) ＝x(e x＋ae－x) ，x∈R 是偶函数，x－ x∴设 g( x) ＝ e ＋ ae，x∈R.由题意知g( x) 应为奇函数 ( 奇函数×奇函数＝偶函数) ，又∵ x∈R，∴ g(0) ＝0，则 1＋ a＝ 0，∴ a＝－ 1.10.【2011江苏，理2】函数f ( x)log 5 (2x 1) 的单调增区间是.1,【答案】211,由 2x 10 ，得x22，所以函数的单调增区间是.11.【2011 江苏，理 8】在平面直角坐标系 xoy 中，过坐标原点的一条直线与函数 f x2 的图象交于P, Q两点，则线段PQ长的最小值为.x12. 【 2011 江苏，理 11】已知实数 a2x a, x10 ，函数 f (x)2a, x，若x 1f (1 a) f (1a) ，则 a 的值为.3【答案】 4本题考查了函数的概念及函数和方程的关系，是 A 级要求， 中档题 . 由题意得，a3当 a 0 时，1 a 1,1a1 ， 2(1 a)a(1 a) 2a 2，不合，解之得3舍去；当a 0时，1 a1,1 a 1， 2(1 a) a (1 a) 2a ，解之得a4 .本题只要根据题意对 a分类，把问题化为方程问题求解即可，而无需画图，否则较易错 . 要分析各类问题的特点，恰当转化是解决问题的关键，要培养相关的意识 .13. 【2012 江苏，理 5】函数 f (x)1 2log 6 x 的定义域为 __________．【答案】 (0 ， 6]要使函数 f (x)1 2log 6 x有意义，则需1，2log 6 x 0x ，解得 0＜x ≤ 6 ，故 f(x) 的定义域为 (0 ， 6] . 014. 【2012 江苏，理 10】设 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间－ 1,1]ax 1, 1x0,13上， f ( x) ＝其中 a ， b ∈R. 若＋ 3 的值为f ( ) f ( ) ，则bx2 ,0x1,2 2a bx 1__________．15. 【2014 江苏，理 10】已知函数f ( x)x2mx1，若对于任意的x m,m 1都有 f ( x)0 ，则实数 m 的取值范围为.【答案】 (2 ,0) 2f ( m) m2m2 10,解得2据题意(m 1)2m(m 1)1m 0 ．f ( m 1)0,216. 【 2016 年高考江苏卷】函数 y= 3 -2x - x2的定义域是.【答案】3,1试题分析：要使函数式有意义，必有 3 2x x20 ，即 x2 2 x 30 ，解得3 x 1．故答案应填：3,1【考点】函数定义域【名师点睛】函数定义域的考查，一般是多知识点综合考查，先“列”后“解”是常规思路 . 列式主要从分母不为零、偶次根式下被开方数非负、对数中真数大于零等出发，而解则与一元二次不等式、指（对）数不等式、三角不等式等联系在一起 .17.【2016 年高考江苏卷】设f ( x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间1,1)x a, 1 x 0,R. 若f (5) f (9) ，则 f (5a)的值是上， f ( x)2其中 ax ,0 x 1,22 5▲ .二．能力题组1. 【2010 江苏，理 14】将边长为 1 的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪2成两块，其中一块是梯形，记S ＝(梯形的周长)，则 S 的最小值是 __________．梯形的面积32 3【答案】 3设剪成的上一块正三角形的边长为x.－ x) 243 － x) 2则 S ＝(3(3(0 ＜ x ＜ 1) ，3 － x 23 － 3 x 2144S ′＝43 － 6x 2 －－ 20x 63 2 ) 2(1 x ＝－ 4 3 － 6x 2 － 6 ，－ 20x3 x 2 ) 2(1令 S ′＝ ，得 x ＝ 1或 3(舍去 ．0 3 )x ＝ 1是 S 的极小值点且是最小值点 ．3tanC tan C sin C cos S sin C cos B sin C (sin B cos A cos B sin A)tan Atan B sin A cosCsin B cosCsin A sin B cosC∴ S min ＝4－123 . 3 (3 3)323 － 1 31 917】如图，建立平面直角坐标系 xOy ， x 轴在地平面上， y 2. 【 2012 江苏，理轴垂直于地平面， 单位长度为 1 千米，某炮位于坐标原点． 已知炮弹发射后的轨迹在方程 y ＝kx － 1(1 ＋k 2) x 2( k ＞0) 表示的曲线上，其中 k 与发射方向有关． 炮20的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1) 求炮的最大射程；(2) 设在第一象限有一飞行物 ( 忽略其大小 ) ，其飞行高度为 3.2 千米，试问它的横坐标 a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．3. 【2013 江苏，理 13】在平面直角坐标系 xOy 中，设定点 A( a ，a) ，P 是函数 y1( x ＞0) 图象上一动点．若点 P ，A 之间的最短距离为 2 2 ，则满足条件的x实数 a 的所有值为 __________．4. 【2014 江苏，理 13】已知 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 x 0,3时， f ( x) x 22x1，若函数 yf (x) a 在区间 3,4 上有 10 个零点（互不2相同），则实数 a 的取值范围是. 【答案】 (0, 1)2作 出函 数 f (x)x22x1, x [0,3) 的 图象 ， 可 见 f (0)1 ，当 x 1 时，22f ( x)极大 1 ， f (3)7，方程 f (x)a0 在 x [ 3,4] 上有10 个零点，即函数22y f ( x) 和图象与直线 y a 在 [ 3,4] 上有 10 个交点，由于函数 f (x) 的周期为 3，因此直线 y a 与函数 f (x) x22x1, x [0,3) 的应该是4 个交点，则有21a (0, ) ．5. 【 2015 高考江苏， 13】已知函数 f (x) | ln x |， g (x)0,0 x 1 ，则方| x 2 4 | 2, x 1程 | f ( x) g (x) | 1实根的个数为十年高考数学分类汇编_02 函数三．拔高题组1. 【 2005 江苏，理 22】已知a R,函数 f (x)x2 x a .a时，求使 f （ x）＝ x 成立的 x 的集合；（Ⅰ）当=2（Ⅱ）求函数 y＝f( x) 在区间 1,2]上的最小值 .1a,当 a1时 ;0,当1 a2时; m4(a 2),当 2 a 7时 ; 3【答案】（Ⅰ）{0,12}. （Ⅱ）a1,当 a7时;3( Ⅰ) 由题意 ,f(x)=x2x 2.当 x<2 时 ,f(x)=x2(2-x)=x,解得 x=0, 或 x=1;当 x 2时 , f ( x) x2( x 2)x, 解得 x 1 2.综上所述 , 所求解集为{0,12}. .( Ⅱ) 设此最小值为 m.①当 a 1时，在区间 [1，2]上，f(x)x3ax2 .f / (x) 3x22ax3x( x 2a)0, x(1,2),因为 :3则 f(x)是区间 1,2]上的增函数 , 所以 m=f(1)=1-a..十年高考数学分类汇编_02 函数2. 【 2006 江苏，理 20】设 a 为实数，设函数f (x) a 1x 2 1x 1x 的最大值为 g( a).（Ⅰ）设 t ＝ 1x1 x ，求 t 的取值范围，并把 f ( x) 表示为 t 的函数m( t )（Ⅱ）求 g( a)（Ⅲ）试求满足 g( a) g ( 1) 的所有实数 aa【答案】（Ⅰ） m t )= 12t a, t [ 2,2](at2十年高考数学分类汇编_02 函数a 1a2,2（Ⅱ） g (a)a 1 ,2a 1 ,2a222,a2 2（Ⅲ）2a 2, 或a=1 2十年高考数学分类汇编_02 函数a12a2,2 a 1 ,g (a)a1 ,2 22a22,a综上有2g( 1)2 a1 2, 解得 a2,与 a2矛盾 .a2a221a 012g ( 1)2情形 5：当2时，a，此时 g(a)=a+2,aa2 2,与 a1由a22矛盾 .2解得11 )1 情形 6：当 a>0 时，ag (2，此时 g(a)=a+2,aaa21 12解得 a由a，由 a>0 得 a=1.g (a) g( 1)2 a2 ,综上知，满足a的所有实数 a 为2或 a=1.3. 【2007 江苏，理 21】已知 a ，b ，c ，d 是不全为零的实数， 函数 f （x ）=bx 2 +cx+d ，g （x ）=ax 2+bx 2 +cx +d. 方程 f （ x ） =0 有实数根，且 f （x ）=0 的实数根都是 g （f（ x ））=0 的根；反之， g （ f （ x ））=0 的实数根都是 f （x ）=0 的根 .（ 1）求 d 的值；（3 分）（ 2）若 a=0，求 c 的取值范围；（ 6 分）（ 3）若 a=l ，f （1）=0，求 c 的取值范围 . （7 分）16【答案】（1）d=0. （2）0，4）. （3）0，）（ 3）由 a=1，f （1）=0 得 b= - c ，f （x ）=bx 2+cx =cx （ - x+1），g （f （x ）） f （ x ）f 2（ x ） cf （x ） c ]. ③= - +由 f （x ）=0 可以推得 g （f （x ））=0，知方程 f （x ） =0 的根一定是方程 g （f （ x ））=0 的根 .当 c=0 时，符合题意 . 2（x ）当 c ≠0时， b ≠0，方程 f （x ）=0 的根不是方程 f cf （ x ） c ④- + =0 的根，因此，根据题意，方程④应无实数根，那么2 2当（ - c ） -4 c ＜0，即 0＜ c ＜ 4 时， f （ x ） - cf （x ）+c>0，符合题意 .f x ）=- cx 2 cxcc 2 4c ，即 cx 2 cx c c 2 4c⑤（ + =– +2 =0，2则方程⑤应无实数根，所以有（ - c ）2-4 ccc 24c＜0 且（ - c ）2-4 ccc 24c＜0.22当 c ＜0 时，只需 - c 2 -2c c 2 4c ＜ ，解得 ＜ ＜ 16 ，矛盾，舍去 .0 0 c 3当 c ≥ 4 时，只需 - c 2 c c 2 4c ＜ ，解得 ＜ ＜ 16 .+20 0 c 3因此，4≤ c ＜16.30， 16综上所述，所示 c 的取值范围为 ） .34. 【 2008 江苏，理 20】已知函数 f 1( x)3x p 1， f 2 (x) 2 3x p 2 （ x R, p 1, p 2 为常 数 ）． 函 数 f (x) 定 义 为 ： 对 每 个 给 定 的 实 数 x ，f 1 ( x ), 若 f 1 ( x )f 2 ( x )f ( x )f 2 ( x )f 2 ( x ), 若 f 1 ( x )（ 1）求 f ( x)f 1( x) 对所有实数 x 成立的充分必要条件（用 p 1, p 2 表示）；（ 2）设 a,b 是两个实数，满足 a b ，且 p 1, p 2 (a,b) ．若 f (a) f (b) ，求证：函数f ( x) 在区间 [ a, b] 上的单调增区间的长度之和为 ba（闭区间 [m, n] 的长度定义为 n m ）2b a【答案】（1）p 1p 2log 32；（2） 23p 1x, xp 1f 1 ( x)再由3x p 1, x p 1 的单调性可知，函数f ( x) 在区间[ a,b]上的单调增区间的长度abb ab221）为（参见示意图y (a,f(a)(b,f( b)O图 1x解得f 1( x)与 f 2(x)图象交点的横坐标为x 0p 1 p 21log 3 2⑴22p 1 x 0 p 21[( p 2 p 1 ) log 3 2]p 2显然2，这表明x 0在p 1与p 2之间 . 由⑴易知f 1( x) , p 1x x 0f (x)xp 2f 2 (x) , x 0f 1 ( x) , a xx 0f (x)综上可知，在区间[a,b] 上，f 2 ( x) , x 0 x b（参见示意图 2）y(a,f(a))(b,f(b))(x 0,y 0)(p 2,2)(p 1,1)Ox图 25. 【2009 江苏，理 19】按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为 m 元，则他的满意度为m；如果他买进该m a产品的单价为 n 元，则他的满意度为n. 如果一个人对两种交易 ( 卖出或买进 )na的满意度分别为1和 2 ，则他对这两种交易的综合满意度为h hh h1 2 .现假设甲生产 A 、B 两种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元，乙生产 A 、B 两种产品的单件成本分别为 3 元和 20 元，设产品 A 、B 的单价分别为 m A 元和 m B 元，甲买进 A 与卖出 B 的综合满意度为 h 甲 ，乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为 h 乙(1) 求 h 甲 和 h 乙 关于 m A 、 m B 的表达式；当 m3m 时，求证： h 甲 = h 乙 ；A5B(2) 设 m3m ，当 m A 、m B 分别为多少时， 甲、乙两人的综合满意度均最大？A5B最大的综合满意度为多少？(3) 记 (2) 中最大的综合满意度为 h 0 ，试问能否适当选取 m A 、 m B 的值，使得h 甲 h 和 h 乙 h 同时成立，但等号不同时成立？试说明理由 .0 0【答案】 (1) 详见解 +析； (2)m B 20, m A12 时，甲乙两人同时取到最大的10综合满意度为 5(3) 不能本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力 . 满分 16 分.(1)3m Bm Bm B2h 甲533 m12 m B 5(m B20)( m B 5)m Am B时，5 B,当53m Bm B2 h 乙5m B3 m3mB20(m B 5)(m B 20)h 甲 = h 乙5 B ,（ 3）由（ 2）知：h 0= 105h 甲 =m A m Bh 010m A 12 m B 5 5m A 12 m B 55m Am B 2由得： ，35y,1 ,1](1 4x)(1y)5令 m Ax,x 、 y [2 .m B 则 4，即：h 乙 h 010(1 x)(1 54y)同理，由5 得：2x 、 y [ 1,1] 1 4x 、 1+4y[2,5], 1x 、 1+y [ 5,2],另一方面， 42(1 4x)(1 y)5 x)(1 5, xy1,(1 4y)4 ，即m A=mB时，取等号 .22 当且仅当所以不能否适当选取 m A甲h 0 和 h 乙 h、 m B的值，使得h同时成立，但等号不同时成立 .6. 【 2009 江苏，理 20】设 a 为实数，函数 f (x)2x 2( x a) | x a |.(1) 若 f (0) 1，求 a 的取值范围；(2) 求 f (x) 的最小值；(3) 设 函数 h(x) f (x), x (a,) ，直接 写出 ( 不 需给 出演算步 骤 ) 不 等式． ．． ．h( x) 1的解集 .a 0 1（ 1）若 f(0) 1，则a | a | 1aa 2 1f (a), a 02a 2, af ( x) mina), a 0 2a 2（ 2）当xa 时，f (x)3x 2 2ax a 2 ,f (, a 033f ( x) min f ( a), a 02a 2 , aa 时，f (x)f (a), a2a 2, a当xx 2 2axa 2 ,f ( x) min2a 2 , a 02a 2,a 0综上3（ 3）x(a,)时，h( x) 1得3x 22ax a 21 0 ，4a 2 12(a 2 1) 12 8a 2a6或 a6 0, x (a,) ；当22 时，a 3 2a 2 a3 2a 2 ) 066( x3)( x3a当22 时，△ >0, 得： x aa( 2, 6 )时，解集为 (a,) ;讨论得：当2 2a (6 , 2 )(a,a3 2a 2 ] [ a 3 2a 2 , )当22时，解集为33;a [2 , 2 ][a3 2a 2 , )当 22 时，解集为3.7. 【2016 年高考江苏卷】（本小题满分 16 分） 已知函数 f (x)a xb x ( a 0,b 0, a 1,b 1) .1a 2,b（ 1）设2 .①求方程f (x)=2 的根；②若对任意xR ，不等式f (2x)mf (x)6恒成立，求实数 m 的最大值；（ 2）若 0 a 1,b ＞1，函数 g x f x2 有且只有 1 个零点，求 ab 的值 .十年高考数学分类汇编_02 函数所以 m( f ( x))24对于 x R 恒成立 .f ( x)而 ( f ( x))24 f ( x)4 2 f ( x)44，且 ( f (0))24 4 ，f ( x) f (x) f ( x) f (0)所以 m4，故实数m 的最大值为 4.间断，所以在x0和 loga2 之间存在 g (x) 的零点，记为 x1.因为0 a1，所以2log a 20 ，又x00 ，所以x10与“0是函数g(x)的唯一零点”矛盾 . 2若 x00 ，同理可得，在x0和 loga 2 之间存在 g( x) 的非0的零点，矛盾. 2因此， x00 .于是ln a 1 ，故 ln a ln b0 ，所以 ab 1.ln b【考点】指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点【名师点睛】对于函数零点个数问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图等确定其中参数的范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间区别，论证是充要关系，要充14．（ 5 分）（ 2017?江苏）设 f（x）是定义在 R 上且周期为 1 的函数，在区间 [ 0，1）上，f（x）=，其中集合D={ x| x=，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8．【分析】由已知中 f（ x）是定义在 R 上且周期为 1 的函数，在区间 [ 0，1）上， f（ x）=，其中集合D={ x| x=，n∈ N*}，分析f（x）的图象与y=lgx图象交点的个数，进而可得答案．【解答】解：∵在区间 [ 0，1）上， f（x）=，第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又 f（ x）是定义在 R 上且周期为 1 的函数，∴在区间 [ 1，2）上， f（x）=，此时f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；同理：区间 [ 2， 3）上， f（ x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；区间 [ 3， 4）上， f（ x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；区间 [ 4， 5）上， f（ x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；区间 [ 5， 6）上， f（ x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；区间 [ 6， 7）上， f（ x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；区间 [ 7， 8）上， f（ x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；区间 [ 8， 9）上， f（ x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；在区间 [ 9，+∞）上， f（x）的图象与 y=lgx 无交点；故f（ x）的图象与 y=lgx 有 8 个交点；即方程 f（x）﹣ lgx=0 的解的个数是 8，故答案为： 8【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的图象和性质，转化思想，难度中档．20．（16 分）（2017?江苏）已知函数 f（x） =x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数 f ′（x）的极值点是 f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求 b 关于 a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明： b2＞3a；（ 3）若 f（ x），f （′x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．【分析】（1）通过对 f（x）=x3+ax2+bx+1 求导可知 g（ x）=f ′（x）=3x2+2ax+b，进而再求导可知 g′（x） =6x+2a，通过令 g′（x）=0 进而可知 f ′（x）的极小值点为﹣，从而（﹣）=0，整理可知 b=+（＞），结合3+ax2+bx+1x=f a0f（ x）=x（ a＞ 0，b∈ R）有极值可知 f ′（x）=0 有两个不等的实根，进而可知 a＞3．（ 2）通过（ 1）构造函数 h（ a） =b2﹣ 3a=﹣+ =（4a3﹣27）（ a3﹣ 27），结合 a＞ 3 可知 h（ a）＞ 0，从而可得结论；（ 3）通过（ 1）可知 f ′（ x）的极小值为 f ′（﹣）=b﹣，利用韦达定理及完全平方关系可知y=f（ x）的两个极值之和为﹣+2，进而问题转化为解不等式 b﹣+﹣+2= ﹣≥﹣，因式分解即得结论．【解答】（1）解：因为 f（x）=x3+ax2+bx+1，所以 g（x）=f ′（ x） =3x2 +2ax+b，g′（x）=6x+2a，令 g′（x）=0，解得 x=﹣．由于当 x＞﹣时 g′（ x）＞ 0， g（ x） =f ′（x）单调递增；当 x＜﹣时 g′（x）＜0，g（x）=f （′x）单调递减；所以 f ′（x）的极小值点为 x=﹣，由于导函数 f ′（x）的极值点是原函数 f（ x）的零点，所以 f （﹣） =0，即﹣+ ﹣+1=0，所以 b=+（a＞0）．因为f （x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，所以 f ′（x）=3x2+2ax+b=0 有两个不等的实根，所以 4a2﹣12b＞ 0，即 a2﹣+＞0，解得a＞3，所以 b=+（a＞3）．（ 2）证明：由（ 1）可知 h（ a） =b2﹣ 3a=﹣+ =（4a3﹣27）（ a3﹣ 27），由于 a＞3，所以 h（a）＞ 0，即 b2＞3a；（ 3）解：由（ 1）可知 f ′（ x）的极小值为 f ′（﹣）=b﹣，设 x1， 2 是y=f （）的两个极值点，则12， 12，x x x +x =x x =所以 f （x1）+f （ 2）=（+）+b（ 12）+2 x+ +a x +x=（x1+x2）[ （x1+x2）2﹣3x1x2]+ a[ （ x1 +x2）2﹣2x1 x2]+ b（x1+x2）+2 =﹣+2，又因为 f（x）， f ′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，所以 b﹣+﹣+2= ﹣≥﹣，因为 a＞3，所以 2a3﹣63a﹣54≤0，所以 2a（a2﹣36）+9（ a﹣6）≤ 0，所以（ a﹣6）（ 2a2+12a+9）≤ 0，由于 a＞3 时 2a2+12a+9＞0，所以 a﹣6≤0，解得 a≤6，所以 a 的取值范围是（ 3，6] ．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．。

江苏省沭阳县修远中学高考数学高考数学压轴题 数列多选题分类精编含答案一、数列多选题1．已知数列{}n a 的首项1a m =且满足()()14751221nn a a n n a a +⎡⎤=-⋅-⋅+-⋅-⎣⎦，其中n *∈N ，则下列说法中正确的是（ ）A ．当1m =时，有3n n a a +=恒成立B ．当21m =时，有47n n a a ++=恒成立C ．当27m =时，有108111n n a a ++=恒成立D ．当()2km k N *=∈时，有2n kn k aa +++=恒成立【答案】AC 【分析】题设中的递推关系等价为1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数，根据首项可找到{}n a 的局部周期性，从而可得正确的选项. 【详解】因为()()14751221n n a a n n a a +⎡⎤=-⋅-⋅+-⋅-⎣⎦，故1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数， 当1m =即11a =时，24a =，32a =，41a =，故{}n a 为周期数列且3n n a a +=，故A 正确.当21m =即121a =时，264a =，同理416a =，58a =，64a =，72a =，81a =，故58a a ≠，故B 错误.当2km =即12ka =时，根据等比数列的通项公式可有11222k kk a -⎛⎫= ⎪⎝⎭=，+1+21,4k k a a ==，+32k a =， +1+3k k a a ≠，故D 错误.对于C ，当27m =时，数列{}n a 的前108项依次为：27,82,42,124,62,31,94,47,142,71,214,107,322,161,484242,121,364,182,91,274，， 137,412,206,103,310,155,466,233,700,350,175,526,263,790,395,1186,593,1780， 890,445,1336,668,334,167,502,251,754,377,1132,566,283,850,425,1276,638,319，958,479,1438,719,2158,1079,3238,1619,4858,2429,7288,3644,1822,911,2734， 1367,4102,2051,6154,3077,9232,4616,2308,1154,577,1732,866,433,1300,650， 325,976,488,244,122,61,184,92,46,23,70,35,106,53,160,80,40,20,10,5,16，故1098a =，1104a =，1112a =，1121a =，1134a =，所以109112n n a a ++=对任意1n ≥总成立.（备注：因为本题为多选题，因此根据A 正确，BD 错误可判断出C 必定正确，可无需罗列出前108项） 故选：AC. 【点睛】方法点睛：对于复杂的递推关系，我们应该将其化简为相对简单的递推关系，对于数列局部周期性的研究，应该从特殊情况中总结出一般规律，另外，对于多选题，可以用排除法来确定可选项.2．已知等比数列{}n a 首项11a >，公比为q ，前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，函数()()()()127f x x x a x a x a =+++，若()01f '=，则（ ）A ．{}lg n a 为单调递增的等差数列B ．01q <<C ．11n a S q ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭为单调递增的等比数列 D ．使得1n T >成立的n 的最大值为6【答案】BCD 【分析】令()()()()127g x x a x a x a =+++，利用()()127001f g a a a '===可得3411a a q ==，01q <<，B 正确；由()()111lg lg lg 1lg n n a a q a n q -==+-可得A 错误；由()111111111n n n a a a qS q q q q q --=--=⋅---可得C 正确；由11a >，01q <<，41a =可推出671T T >=，81T <可得D 正确. 【详解】令()()()()127g x x a x a x a =+++，则()()f x xg x =， ()()()f x g x xg x ''∴=+，()()127001f g a a a '∴===，因为{}n a 是等比数列，所以712741a a a a ==，即3411a a q ==，11a >，01q ∴<<，B 正确；()()111lg lg lg 1lg n n a a q a n q -==+-，{}lg n a ∴是公差为lg q 的递减等差数列，A 错误；()111111111n n n a a a q S q q q q q --=--=⋅---，11n a S q ⎧⎫∴-⎨⎬-⎩⎭是首项为101a q q <-，公比为q 的递增等比数列，C 正确；11a >，01q <<，41a =，3n ∴≤时，1n a >，5n ≥时，01n a <<，4n ∴≤时，1n T >，7712741T a a a a ===，8n ∴≥时，78971n n T T a a a T =<=，又75671T T a a =>，7671T T a =>，所以使得1n T >成立的n 的最大值为6，D 正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：利用等比数列的性质、通项公式、求和公式、数列的单调性求解是解题关键.3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，0n a ≠，且202021111212a a ++≤+（ ）A ．若数列{}n a 为等差数列，则20210S ≥B ．若数列{}n a 为等差数列，则10110a ≤C ．若数列{}n a 为等比数列，则20200T >D ．若数列{}n a 为等比数列，则20200a <【答案】AC 【分析】由不等关系式，构造11()212xf x =-+，易得()f x 在R 上单调递减且为奇函数，即有220200a a +≥，讨论{}n a 为等差数列、等比数列，结合等差、等比的性质判断项、前n 项和或积的符号即可. 【详解】 由202021111212a a ++≤+，得2020211110212212a a +-+-≤+， 令11()212x f x =-+，则()f x 在R 上单调递减，而1121()212212xx x f x --=-=-++， ∴12()()102121xx x f x f x -+=+-=++，即()f x 为奇函数，∴220200a a +≥，当{}n a 为等差数列，22020101120a a a +=≥，即10110a ≥，且2202020212021()02a a S +=≥，故A 正确，B 错误；当{}n a 为等比数列，201820202a a q=，显然22020,a a 同号，若20200a <，则220200a a +<与上述结论矛盾且0n a ≠，所以前2020项都为正项，则202012020...0T a a =⋅⋅>，故C 正确，D 错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：利用已知构造函数，并确定其单调性和奇偶性，进而得到220200a a +≥，基于该不等关系，讨论{}n a 为等差、等比数列时项、前n 项和、前n 项积的符号.4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a p =，122n n S S p --=（2n ≥，p 为常数），则下列结论正确的有（ ） A ．{}n a 一定是等比数列B ．当1p =时，4158S =C ．当12p =时，m n m n a a a +⋅= D ．3856a a a a +=+【答案】BC 【分析】对于A 选项，若0p =，则数列{}n a 不是等比数列，当0p ≠时，通过题目条件可得112n n a a -=，即数列{}n a 为首项为p ，公比为12的等比数列，然后利用等比数列的通项公式、前n 项和公式便可得出B ，C ，D 是否正确. 【详解】由1a p =，122n n S S p --=得，()222a p p p +-=，故22pa =，则2112a a =，当3n ≥时，有1222n n S S p ---=，则120n n a a --=，即112n n a a -=， 故当0p ≠时，数列{}n a 为首项为p ，公比为12的等比数列；当0p =时不是等比数列，故A 错误；当1p =时，441111521812S ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==-，故B 正确； 当12p =时，12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则12m nm n m n a a a ++⎛⎫⋅== ⎪⎝⎭，故C 正确；当0p ≠时，38271133+22128a a p p ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，而56451112+22128a a p p ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 故3856a a a a +>+，则D 错误； 故选：BC.5．已知数列{}n a 满足11a =，()111n n na n a +-+=，*n N ∈，其前n 项和为n S ，则下列选项中正确的是（ ）A ．数列{}n a 是公差为2的等差数列B ．满足100n S <的n 的最大值是9C ．n S 除以4的余数只能为0或1D ．2n n S na = 【答案】ABC 【分析】根据题意对()111n n na n a +-+=变形得()1111111n n a a n n n n n n +=-+-=++，进而根据累加法求得()*21n a n n N =-∈，再依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：因为()111n n na n a +-+=，故等式两边同除以()1n n +得：()1111111n n a a n n n n n n +=-+-=++， 所以()1111111n n a a n n n n n n -=-----=，()()12111221211n n a a n n n n n n --=------=--，，2111121122a a =-⨯-= 故根据累加法得：()11121n a a n nn =-≥-， 由于11a =，故()212n a n n =-≥，检验11a =满足， 故()*21n a n n N=-∈所以数列{}n a 是公差为2的等差数列，故A 选项正确； 由等差数列前n 项和公式得：()21212n n n S n +-==，故2100n n S =<，解得：10n <，故满足100n S <的n 的最大值是9，故B 选项正确； 对于C 选项，当*21,n k k N =-∈时，22441n n k S k ==-+，此时n S 除以4的余数只能为1；当*2,n k k N =∈时，224n n k S ==，此时n S 除以4的余数只能0，故C 选项正确；对于D 选项，222n S n =，()2212n n n n n n a =-=-，显然2n n S na ≠，故D 选项错误.故选：ABC 【点睛】本题考查累加法求通项公式，裂项求和法，等差数列的相关公式应用，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于整理变形已知表达式得()1111111n n a a n n n n n n +=-+-=++，进而根据累加法求得通项公式.6．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，*n ∈N ，下列四个命题中不正确的有（ ） A ．若0q ≠，且对于*212,n n n n a a a ++∀∈=N ，则数列{}n a 为等比数列B ．若nn S Aq B =+（非零常数q ，A ，B 满足1q ≠，0A B +=），则数列{}n a 为等比数列C ．若数列{}n a 为等比数列，则232,,,n n n n n S S S S S --仍为等比数列D ．设数列{}n a 是等比数列，若123a a a <<，则{}n a 为递增数列 【答案】AC 【分析】若0n a =，满足对于*212,n n n n a a a ++∀∈=N ，但数列{}n a 不是等比数列，可判断A ；利用n a 与n S 的关系，可求得数列{}n a 的通项公式，可判断B ；若数列{}n a 为等比数列，当公比1q =-，且n 为偶数时，此时232,,,n n n n n S S S S S --均为0，可判断C ；设数列{}n a 是等比数列，且公比为q ，若123a a a <<，即1211a a q a q <<，分类讨论10a >与10a <两种情况，可判断D ； 【详解】对于A ，若0n a =，满足对于*212,n n n n a a a ++∀∈=N ，但数列{}n a 不是等比数列，故A 错误；对于B ，当2n ≥时，()111(1)nn n n n n a S S Aq B AqB Aq q ---=-=+-+=-且1q ≠；当1n =时，0A B +=，则()111a S Aq B A q ==+=-符合上式，故数列{}n a 是首项为()1A q -公比为q 的等比数列，故B 正确；对于C ，若数列{}n a 为等比数列，当公比1q =-，且n 为偶数时，此时232,,,n n n n n S S S S S --均为0，不为等比数列，故C 错误；对于D ，设数列{}n a 是等比数列，且公比为q ，若123a a a <<，即1211a a q a q <<，若10a >，可得21q q <<，即1q >，则{}n a 为递增数列；若10a <，可得21q q >>，即01q <<，则{}n a 为递增数列；故D 正确；故选：AC 【点睛】结论点睛：本题考查等比数列通项公式及和的性质，等比数列和的性质：公比为1q ≠-的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则232,,,n n n n n S S S S S --仍成等比数列，其公比为n q ；同理等差数列和的性质：公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列232,,,m m m m m S S S S S --构成等差数列，公差为md ，考查学生的分析能力，属于中档题.7．已知数列{}n a 中，112a =，且()11n n n a a a +=+，n *∈N ，则以下结论正确的是（ ） A ．11111n n n a a a +=-+ B ．{}n a 是单调递增数列 C ．211011111111a a a a +++>+++ D ．若1212120111n n a a aa a a ⎡⎤+++=⎢⎥+++⎣⎦，则122n =([]x 表示不超过x 的最大整数) 【答案】ABD 【分析】利用裂项法可判断A 选项的正误；利用数列单调性的定义可判断B 选项的正误；利用裂项求和法可判断C 选项的正误；求出1212111nn a a aa a a ++++++的表达式，可判断D 选项的正误. 【详解】在数列{}n a 中，112a =，且()11n n n a a a +=+，n *∈N ，则()21110a a a =+>，()32210a a a =+>，，依此类推，可知对任意的n *∈N ，0n a >.对于A 选项，()()()111111111n n n n n n n n n a a a a a a a a a ++-===-+++，A 选项正确； 对于B 选项，210n n n a a a +-=>，即1n n a a +>，所以，数列{}n a 为单调递增数列，B 选项正确；对于C 选项，由A 选项可知，11111n n n a a a +=-+， 所以，1212231011111110111111111111111a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-< ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 选项错误； 对于D 选项，12122311111111111111111n n n n a a a a a a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=- ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以，()()()12121212111111111111n nn n a a a a a a a a a a a a +-+++=+++++++++-+-+121111111112111n n n n n n a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫=-+++=--=-+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， 由112a =，且()11n n n a a a +=+得234a =，32116a =，又{}n a 是单调递增数列，则3n ≥时，1n a >，则101na <<， 从而1122120n n n a +⎡⎤-=-=⎢⎥⎣⎦+，得122n =，D 选项正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n （n ∈N *），公差d ≠0，S 6=90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．a 1=22B ．d =－2C ．当n =10或n =11时，S n 取得最大值D ．当S n >0时，n 的最大值为20【答案】BCD 【分析】由等差数列的求和公式和通项公式，结合等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，求得等差数列的通项n a 和n S ，由二次函数的最值求法和二次不等式的解法可得所求值，判断命题的真假． 【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，由690S =，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由7a 是3a 与9a 的等比中项，可得2739a a a =，即2111(6)(2)(8)a d a d a d +=++，化为1100a d +=，② 由①②解得120a =，2d =-，则202(1)222n a n n =--=-，21(20222)212n S n n n n =+-=-， 由221441()24n S n =--+，可得10n =或11时，n S 取得最大值110； 由0n S >，可得021n <<，即n 的最大值为20． 故选：BCD 【点睛】方法点睛：数列最值常用的方法有：（1）函数（单调性）法；（2）数形结合法；（3）基本不等式法.要结合已知条件灵活选择合适的方法求解.9．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（ ）A ．若100S =，则50a >，60a <；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；C ．若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；D ．若89S S <，则78S S <. 【答案】ABD 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】对于A ：因为正数，公差不为0，且100S =，所以公差0d <， 所以1101010()02a a S +==，即1100a a +=， 根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=，又0d <， 所以50a >，60a <，故A 正确； 对于B ：因为412S S =，则1240S S -=，所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=，又10a >， 所以890,0a a ><， 所以115815815()15215022a a a S a +⨯===>，116891616()16()022a a a a S ++===， 所以使0n S >的最大的n 为15，故B 正确； 对于C ：因为115815815()15215022a a a S a +⨯===>，则80a >， 116891616()16()022a a a a S ++===，则890a a +=，即90a <， 所以则{}n S 中8S 最大，故C 错误；对于D ：因为89S S <，则9980S a S =->，又10a >， 所以8870a S S =->，即87S S >，故D 正确， 故选：ABD 【点睛】解题的关键是先判断d 的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题.10．斐波那契数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，其通项公式1122n nn a ⎡⎤⎛⎛-⎢⎥=- ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，是用无理数表示有理数的一个范例，该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，即21n n n a a a ++=+，记该数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ）A ．10711S a =B ．2021201920182a a a =+C ．202120202019S S S =+D ．201920201S a =-【答案】AB 【分析】选项A 分别求出710S a ，可判断，选项B 由21n n n a a a ++=+，得()112n n n a a a n +-=+≥，相加得2n a +12n n a a -=+可判断,选项C ，由202112342021S a a a a a =+++++，202012S a a =+++2020a ，两式错位相减可判断.选项D.由()()()()()324354652122n n n n S a a a a a a a a a a a a +++=-+-+-+-++-=-可判断.【详解】因为10143S =，711143a =，所以10711S a =，则A 正确；由21n n n a a a ++=+，得()112n n n a a a n +-=+≥，相加得2n a +12n n a a -=+， 所以2021201920182a a a =+，所以B 正确； 因为202112342021S a a a a a =+++++，202012S a a =+++2020a ，两式错位相减可得202120201220192019101S S a a a S -=+++++=+，所以2021202020191S S S =++，所以C 错误； 因为()()()()()123324354652122n n n n n S a a a a a a a a a a a a a a a a +++=++++=-+-+-+-++-=-21n a +=-，所以201920211S a =-，所以D 错误.故选：AB.【点睛】关键点睛：本题考查数列的递推关系的应用，解答本题的关键是由202112342021S a a a a a =+++++，202012S a a =+++2020a ，两式错位相减可得202120201220192019101S S a a a S -=+++++=+，以及由递推关系可得()()()()()324354652122n n n n S a a a a a a a a a a a a +++=-+-+-+-++-=-，属于中档题.。

一、等比数列选择题1．.在等比数列{}n a 中，若11a =，54a =，则3a =（ ）A ．2B ．2或2-C ．2- D2．设{a n }是等比数列，若a 1 + a 2 + a 3 =1，a 2 + a 3 + a 4 =2，则 a 6 + a 7 + a 8 =（ ）A ．6B ．16C ．32D ．643．已知{}n a 是正项等比数列且1a ，312a ，22a 成等差数列，则91078a a a a +=+（ ） A1B1C．3-D．3+4．已知数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，且满足2n n S a =-，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，若2(1)0n n n S T λ-->对*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）A ．()3,+∞B ．()1,3-C ．93,5⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．91,5⎛⎫- ⎪⎝⎭5．已知数列{}n a 满足112a =，*11()2n n a a n N +=∈.设2n n n b a λ-=，*n N ∈，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞B ．3(1,)2-C ．3(,)2-∞D ．(1,2)-6．在等比数列{}n a 中，11a =，427a =，则352a a +=（ ） A ．45B ．54C ．99D ．817．等比数列{}n a 的各项均为正数，且101010113a a =.则313232020log log log a a a +++=（ ） A ．3B ．505C ．1010D ．20208．已知等比数列{a n }中a 1010＝2，若数列{b n }满足b 1＝14，且a n ＝1n n b b +，则b 2020＝（ ）A ．22017B ．22018C ．22019D ．220209．已知正项等比数列{}n a 的公比不为1，n T 为其前n 项积，若20172021T T =，则20202021ln ln a a =（ ） A ．1:3B ．3:1C ．3:5D ．5:310．在数列{}n a 中，12a =，121n n a a +=-，若513n a >，则n 的最小值是（ ） A ．9B ．10C ．11D ．1211．已知等比数列{}n a 中，11a =，132185k a a a ++++=，24242k a a a +++=，则k =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．512．设等差数列{}n a 的公差10,4≠=d a d ，若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =( ) A ．3或6 B ．3 或-1 C ．6D ．313．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，415S =，则6S =（ ） A ．31B ．32C ．63D ．6414．已知等比数列{}n a 的通项公式为2*3()n n a n N +=∈，则该数列的公比是（ ）A ．19B ．9C ．13D ．315．若数列{}n a 是等比数列，且17138a a a =，则311a a =（ ） A ．1B ．2C ．4D ．816．已知等比数列{}n a 的前n 项和为2,2n S a =，公比2q ，则5S 等于（ ）A ．32B ．31C ．16D ．15 17．已知1，a ，x ，b ，16这五个实数成等比数列，则x 的值为（ ） A ．4B ．－4C ．±4D ．不确定18．设b R ∈，数列{}n a 的前n 项和3nn S b =+，则（ ） A ．{}n a 是等比数列B ．{}n a 是等差数列C ．当1b ≠-时，{}n a 是等比数列D ．当1b =-时，{}n a 是等比数列19．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的中间一层共有灯（ ） A ．3盏B ．9盏C ．27盏D ．81盏20．公差不为0的等差数列{}n a 中，23711220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则68b b =（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16二、多选题21．题目文件丢失！ 22．题目文件丢失！23．设{}n a 是无穷数列，1n n n A a a +=+，()1,2,n =，则下面给出的四个判断中，正确的有（ ）A ．若{}n a 是等差数列，则{}n A 是等差数列B ．若{}n A 是等差数列，则{}n a 是等差数列C ．若{}n a 是等比数列，则{}n A 是等比数列D ．若{}n A 是等差数列，则{}2n a 都是等差数列 24．关于递增等比数列{}n a ，下列说法不正确的是（ ） A ．10a >B ．1q >C ．11nn a a +< D ．当10a >时，1q >25．在等比数列{a n }中，a 5＝4，a 7＝16，则a 6可以为（ ） A ．8 B ．12 C ．－8D ．－1226．已知数列是{}n a是正项等比数列，且3723a a +=，则5a 的值可能是（ ） A ．2B ．4C ．85D ．8327．设等比数列{}n a 的公比为q ,其前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,并满足条件1201920201,1a a a >>,20192020101a a -<-,下列结论正确的是（ ）A ．S 2019<S 2020B ．2019202010a a -<C ．T 2020是数列{}n T 中的最大值D ．数列{}n T 无最大值28．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S S n +=+-，则下列结论正确的是（ ）A ．数列{}n S n +为等比数列B ．数列{}n a 的通项公式为121n n a -=-C ．数列{}1n a +为等比数列D ．数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---29．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a = B ．954S =C ．135********a a a a a ++++=D ．22212201920202019a a a a a +++= 30．数列{}n a 为等比数列（ ）.A ．{}1n n a a ++为等比数列B ．{}1n n a a +为等比数列C ．{}221n n a a ++为等比数列D ．{}n S 不为等比数列（n S 为数列{}n a 的前n 项）31．设{}n a 是无穷数列，若存在正整数k ，使得对任意n +∈N ，均有n k n a a +>，则称{}n a 是间隔递增数列，k 是{}n a 的间隔数，下列说法正确的是（ ）A ．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B ．已知4n a n n=+，则{}n a 是间隔递增数列 C ．已知()21nn a n =+-，则{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2D ．已知22020n a n tn =-+，若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则45t ≤<32．已知数列{}n a 的前n 项和为S ，11a =，121n n n S S a +=++，数列12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，*n ∈N ，则下列选项正确的为（ ）A ．数列{}1n a +是等差数列B ．数列{}1n a +是等比数列C ．数列{}n a 的通项公式为21nn a =-D ．1n T <33．已知等比数列{a n }的公比23q =-，等差数列{b n }的首项b 1＝12，若a 9＞b 9且a 10＞b 10，则以下结论正确的有（ ） A ．a 9•a 10＜0B ．a 9＞a 10C ．b 10＞0D ．b 9＞b 1034．已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（ ） A ．数列2{}n a 是等比数列B ．若32a =，732a =，则58a =±C ．若123a a a <<，则数列{}n a 是递增数列D ．若数列{}n a 的前n 和13n n S r -=+，则1r =-35．已知等差数列{}n a 的首项为1，公差4d =，前n 项和为n S ，则下列结论成立的有( ) A ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为100 B ．若1,a 3,a m a 成等比数列，则21m =C ．若111625ni i i a a =+>∑，则n 的最小值为6D ．若210m n a a a a +=+，则116m n+的最小值为2512【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题 1．A 【分析】由等比数列的性质可得2315a a a =⋅，且1a 与3a 同号，从而可求出3a 的值【详解】解：因为等比数列{}n a 中，11a =，54a =，所以23154a a a =⋅=，因为110a =>，所以30a >， 所以32a =， 故选：A 2．C 【分析】根据等比数列的通项公式求出公比2q ，再根据等比数列的通项公式可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则234123()2a a a a a a q ++=++=，又1231a a a ++=，所以2q，所以55678123()1232a a a a a a q ++=++⋅=⨯=.故选：C ． 3．D 【分析】 根据1a ，312a ，22a 成等差数列可得3121222a a a ⨯=+，转化为关于1a 和q 的方程，求出q 的值，将91078a a a a ++化简即可求解.【详解】因为{}n a 是正项等比数列且1a ，312a ，22a 成等差数列， 所以3121222a a a ⨯=+，即21112a q a a q =+，所以2210q q --=，解得：1q =+1q =(222291078787813a a a q a q q a a a a ++====+++，故选：D 4．D 【分析】由2n n S a =-利用11,1,2nn n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，得到数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列，进而得到{}2n a 是以1为首项，14为公比的等比数列，利用等比数列前n 项和公式得到n S ，n T ，将2(1)0nn n S T λ-->恒成立，转化为()()321(1)210nnnλ---+>对*n N ∈恒成立，再分n 为偶数和n 为奇数讨论求解.【详解】当1n =时，112S a =-，得11a =； 当2n ≥时，由2n n S a =-， 得112n n S a --=-，两式相减得112n n a a -=， 所以数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列. 因为112n n a a -=， 所以22114n n a a -=.又211a =，所以{}2n a 是以1为首项，14为公比的等比数列， 所以1112211212nn n S ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，11414113414nnn T ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，由2(1)0n n nS T λ-->，得214141(1)10234n nnλ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---⨯->⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以221131(1)1022n n nλ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---->⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以211131(1)110222nn n nλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+>⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 又*n N ∈，所以1102n⎛⎫-> ⎪⎝⎭，所以1131(1)1022n nnλ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---+>⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即()()321(1)210nnnλ---+>对*n N ∈恒成立，当n 为偶数时，()()321210nnλ--+>，所以()()321321663212121nnn n n λ-+-<==-+++， 令6321n n b =-+，则数列{}n b 是递增数列，所以22693215λb <=-=+； 当n 为奇数时，()()321210nnλ-++>，所以()()321321663212121nnn n n λ-+--<==-+++，所以16332121λb -<=-=-=+， 所以1λ>-.综上，实数λ的取值范围是91,5⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：D. 【点睛】方法点睛：数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明．在解决这些问题时，往往转化为函数的最值问题. 5．C 【分析】 由*11()2n n a a n N +=∈可知数列{}n a 是公比为2的等比数列，12n n a =，得2(2)2n n nn b n a λλ-==-，结合数列{b n }是单调递增数列，可得1n n b b +＞对于任意的*n N ∈*恒成立，参变分离后即可得解．【详解】由*11()2n n a a n N +=∈可知数列{}n a 是公比为2的等比数列， 所以1111()222n n n a -==， 2(2)2n n nn b n a λλ-==- ∵数列{n b 是单调递增数列， ∴1n n b b +＞对于任意的*n N ∈*恒成立， 即1(12)2(2)2n n n n λλ++->-，整理得：22n λ+<32λ∴＜ ，故选：C. 【点睛】本题主要考查了已知数列的单调性求参，一般研究数列的单调性的方法有： 一、利用数列单调性的定义，由1n n a a +>得数列单增，1n n a a +<得数列单减； 二、借助于函数的单调性研究数列的单调性. 6．C 【分析】利用等比数列的通项与基本性质，列方程求解即可 【详解】设数列{}n a 的公比为q ，因为341a a q =，所以3q =，所以24352299a a q q +=+=.故选C 7．C 【分析】利用等比数列的性质以及对数的运算即可求解. 【详解】由120202201932018101010113a a a a a a a a =====，所以313232020log log log a a a +++()10103101010113log log 31010a a ===.故选：C 8．A 【分析】根据已知条件计算12320182019a a a a a ⋅⋅⋅⋅的结果为20201b b ，再根据等比数列下标和性质求解出2020b 的结果. 【详解】因为1n n nb a b +=，所以32019202020202412320182019123201820191b b b b b b a a a a a b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=， 因为数列{}n a 为等比数列，且10102a =， 所以()()()123201820191201922018100910111010a a a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅22220192019101010101010101010102a a a a a =⋅⋅⋅==所以2019202012b b =，又114b =，所以201720202b =， 故选：A. 【点睛】结论点睛：等差、等比数列的下标和性质：若()*2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈，（1）当{}n a 为等差数列，则有2m n p q t a a a a a +=+=； （2）当{}n a 为等比数列，则有2m n p q t a a a a a ⋅=⋅=.9．A 【分析】由20172021T T =得20182019202020211a a a a =，由等比数列性质得20182021201920201a a a a ==，这样可把2020a 和2021a 用q 表示出来后，可求得20202021ln ln a a ． 【详解】{}n a 是正项等比数列，0n a >，0n T ≠，*n N ∈，所以由2017202120172018201920202021T T T a a a a ==⋅，得20182019202020211a a a a =， 所以20182021201920201a a a a ==，设{}n a 公比为q ，1q ≠，22021201820213()1a a a q ==，2202020192020()1a a a q==，即322021a q =，122020a q =， 所以1220203202121ln ln ln 123ln 3ln ln 2qa q a q q ===． 故选：A ． 【点睛】本题考查等比数列的性质，解题关键是利用等比数列性质化简已知条件，然后用公比q 表示出相应的项后可得结论． 10．C 【分析】根据递推关系可得数列{}1n a -是以1为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式可得121n n a -=+，即求.【详解】因为121n n a a +=-，所以()1121n n a a +-=-，即1121n n a a +-=-， 所以数列{}1n a -是以1为首项，2为公比的等比数列.则112n n a --=，即121n n a -=+.因为513n a >，所以121513n -+>，所以12512n ->，所以10n >. 故选：C 11．B 【分析】本题首先可设公比为q ，然后根据132185k a a a ++++=得出()2284k q a a ++=，再然后根据24242k a a a +++=求出2q，最后根据等比数列前n 项和公式即可得出结果. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， 则132112285k k a a a a a a q q +++++++==，即()2285184k q a a ++=-=，因为24242k a a a +++=，所以2q，则()21123221112854212712k k k a a a a a ++⨯-+++++=+==-，即211282k +=，解得3k =， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据等比数列前n 项和求参数，能否根据等比数列项与项之间的关系求出公比是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题. 12．D 【分析】由k a 是1a 与2k a 的等比中项及14a d =建立方程可解得k . 【详解】k a 是1a 与2k a 的等比中项212k k a a a ∴=，()()2111121a k d a a k d ⎡⎤∴+-=+-⎣⎦⎡⎤⎣⎦()()223423k d d k d ∴+=⨯+，3k ∴=.故选:D 【点睛】本题考查等差数列与等比数列的基础知识，属于基础题.13．C 【分析】根据等比数列前n 项和的性质列方程，解方程求得6S . 【详解】因为n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，所以2S ，42S S -，64S S -成等比数列， 所以()()242264S S S S S -=-，即()()62153315-=-S ，解得663S =. 故选：C 14．D 【分析】利用等比数列的通项公式求出1a 和2a ，利用21a a 求出公比即可 【详解】设公比为q ，等比数列{}n a 的通项公式为2*3()n n a n N +=∈，则31327a ==，42381a ==，213a q a ∴==， 故选：D 15．C 【分析】根据等比数列的性质，由题中条件，求出72a =，即可得出结果. 【详解】因为数列{}n a 是等比数列，由17138a a a =，得378a =，所以72a =，因此231174a a a ==.故选：C. 16．B 【分析】先求得首项，根据等比数列的求和公式，代入首项和公比的值，即可计算出5S 的值. 【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为2,2n S a =，公比2q，所以211a a q==，又因为1111nna q S qq，所以()551123112S -==-.故选：B. 17．A 【分析】根据等比中项的性质有216x =，而由等比通项公式知2x q =，即可求得x 的值. 【详解】由题意知：216x =，且若令公比为q 时有20x q =>， ∴4x =， 故选：A 18．D 【分析】根据n S 与n a 的关系求出n a ，然后判断各选项． 【详解】由题意2n ≥时，111(3)(3)23n n n n n n a S S b b ---=-=+-+=⨯，13n na a +=(2)n ≥， 113a Sb ==+，若212333a a b⨯==+，即1b =-，则{}n a 是等比数列，否则不是等比数列，也不是等差数列， 故选：D ． 【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列的定义．在由1n n n a S S -=-求通项时，2n ≥必须牢记，11a S =它与(2)n a n ≥的求法不相同，因此会影响{}n a 的性质．对等比数列来讲，不仅要求3423a a a a ==，还必须满足3212a a a a =． 19．C 【分析】根据题意，设塔的底层共有x 盏灯，分析可得每层灯的数目构成以x 为首项，13为公比的等比数列，由等比数列的前n 项和公式可得x 的值，即可得答案． 【详解】根据题意，设塔的底层共有x 盏灯，则每层灯的数目构成以x 为首项，13为公比的等比数列，则有51(1)3363113x S ⨯-==-， 解可得：243x =，所以中间一层共有灯21243()273⨯=盏. 故选：C 【点睛】思路点睛：要求中间一层的灯的数量，只需求等比数列的首项，根据等比数列的和求出数列的首项即可. 20．D 【分析】根据等差数列的性质得到774a b ==，数列{}n b 是等比数列，故2687b b b ==16.【详解】等差数列{}n a 中,31172a a a +=,故原式等价于27a -740a =解得70a =或74,a =各项不为0的等差数列{}n a ,故得到774a b ==，数列{}n b 是等比数列，故2687b b b ==16.故选：D.二、多选题 21．无 22．无23．AD 【分析】利用等差数列的通项公式以及定义可判断A 、B 、D ；利用等比数列的通项公式可判断B. 【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，设公差为d ，则()1111122n n n a n d a nd A a a a nd d +=+=+-++=+-， 则()()111222212n n A A a nd d a n d d d --=+--+--=⎡⎤⎣⎦， 所以{}n A 是等差数列，故A 正确； 对于B ，若{}n A 是等差数列，设公差为d ，()11111n n n n n n n n A a a a a a a A d +-+--=-=-+-=+，即数列{}n a 的偶数项成等差数列，奇数项成等差数列，故B 不正确，D 正确. 对于C ，若{}n a 是等比数列，设公比为q ， 当1q ≠-时， 则11111n n n n n n n n n na q a A a a a qq a A a a --+--+=+++==， 当1q =-时，则10n n n A a a ++==，故{}n A 不是等比数列，故C 不正确； 故选：AD 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式以及定义、等比数列的通项公式以及定义，属于基础题. 24．ABC【分析】由题意，设数列{}n a 的公比为q ，利用等比数列{}n a 单调递增，则111(1)0n n n a a a q q -+-=->，分两种情况讨论首项和公比，即可判断选项.【详解】由题意，设数列{}n a 的公比为q ，因为11n n a a q -=，可得111(1)0n n n a a a qq -+-=->，当10a >时，1q >，此时101nn a a +<<， 当10a <时，101,1nn a q a +<<>， 故不正确的是ABC. 故选：ABC. 【点睛】本题主要考查了等比数列的单调性.属于较易题. 25．AC 【分析】求出等比数列的公比2q =±，再利用通项公式即可得答案； 【详解】5721624a q q a ==⇒=±， 当2q时，65428a a q ==⨯=，当2q =-时，654(2)8a a q ==⨯-=-， 故选：AC. 【点睛】本题考查等比数列通项公式的运算，考查运算求解能力，属于基础题. 26．ABD 【分析】根据基本不等式的相关知识，结合等比数列中等比中项的性质，求出5a 的范围，即可得到所求． 【详解】解：依题意，数列是{}n a 是正项等比数列，30a ∴>，70a >，50a >，∴2373752323262a a a a a +=， 因为50a >，所以上式可化为52a，当且仅当3a =，7a = 故选：ABD ． 【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了基本不等式，考查分析和解决问题的能力，逻辑思维能力．属于中档题． 27．AB 【分析】由已知确定0q <和1q ≥均不符合题意，只有01q <<，数列{}n a 递减，从而确定20191a >,202001a <<，从可判断各选项．【详解】当0q <时，22019202020190a a a q =<，不成立；当1q ≥时，201920201,1a a >>，20192020101a a -<-不成立；故01q <<，且20191a >,202001a <<，故20202019S S >，A 正确；2201920212020110a a a -=-<，故B 正确；因为20191a >,202001a <<，所以2019T 是数列{}n T 中的最大值，C ，D 错误； 故选：AB 【点睛】本题考查等比数列的单调性，解题关键是确定20191a >,202001a <<． 28．AD 【分析】由已知可得11222n n n n S n S nS n S n ++++==++，结合等比数列的定义可判断A ；可得2n n S n =-，结合n a 和n S 的关系可求出{}n a 的通项公式，即可判断B ；由1231,1,3a a a ===可判断C ；由分组求和法结合等比数列和等差数列的前n 项和公式即可判断D. 【详解】因为121n n S S n +=+-，所以11222n n n n S n S nS n S n++++==++．又112S +=，所以数列{}n S n +是首项为2，公比为2的等比数列，故A 正确；所以2n n S n +=，则2nn S n =-．当2n ≥时，1121n n n n a S S --=-=-，但11121a -≠-，故B 错误；由1231,1,3a a a ===可得12312,12,14a a a +=+=+=，即32211111a a a a ++≠++，故C 错；因为1222n n S n +=-，所以2311222...2221222 (2)2n n S S S n ++++=-⨯+-⨯++-()()()23122412122 (2)212 (22412)2n n n n n n n n n ++--⎡⎤=+++-+++=-+=---⎢⎥-⎣⎦ 所以数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---，故D 正确． 故选:AD ． 【点睛】本题考查等比数列的定义，考查了数列通项公式的求解，考查了等差数列、等比数列的前n 项和，考查了分组求和．29．ACD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】对于A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确； 对于B ，911235813+21+3488S =++++++=，故B 错误；对于C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-，可得：13520192426486202020182020a a a a a a a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+-+-+-++-=，故C正确.对于D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-，可得22212201920202019201920202019a a a a a a a a+++==，故D 正确；故选：ACD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换，属于中档题. 30．BCD 【分析】举反例，反证，或按照等比数列的定义逐项判断即可. 【详解】解：设{}n a 的公比为q ，A. 设()1nn a =-，则10n n a a ++=，显然{}1n n a a ++不是等比数列.B.2211n n n n a a q a a +++=，所以{}1n n a a +为等比数列. C. ()()24222221222211n n n n n n a q q a a q a a a q +++++==++，所以{}221n n a a ++为等比数列. D. 当1q =时，n S np =，{}n S 显然不是等比数列； 当1q ≠时，若{}n S 为等比数列，则()222112n n n S S n S -+=≥，即()()()211111111111n n n a q a q a q q q q-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎪⎪⎪= ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1q =，与1q ≠矛盾，综上，{}n S 不是等比数列. 故选：BCD. 【点睛】考查等比数列的辨析，基础题. 31．BCD 【分析】根据间隔递增数列的定义求解. 【详解】 A. ()1111111n k n n n k k n a a a a qq q a q +---+=-=--，因为1q >，所以当10a <时，n k n a a +<，故错误；B. ()()244441++n kn n kn a a n k n k k n k n n k n n k n +⎛⎫⎛⎫+-⎛⎫-=++-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令24t n kn =+-，t 在n *∈N 单调递增，则()1140t k =+->，解得3k >，故正确；C. ()()()()()()21212111n kn n kn k n a a n k n k ++⎡⎤-=++--+-=+---⎣⎦，当n 为奇数时，()2110kk --+>，存在1k 成立，当n 为偶数时，()2110kk +-->，存在2k ≥成立，综上：{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2，故正确； D. 若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则()()()2222020202020n k n a a n k t n k n tn kn k tk +-=+-++--+=+->，n *∈N 成立，则()220k t k +->，对于3k ≥成立，且()220k t k +-≤，对于k 2≤成立即()20k t +->，对于3k ≥成立，且()20k t +-≤，对于k 2≤成立 所以23t -<，且22t -≥ 解得45t ≤<，故正确.故选：BCD 【点睛】本题主要考查数列的新定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 32．BCD 【分析】由数列的递推式可得1121n n n n a S S a ++=-=+，两边加1后，运用等比数列的定义和通项公式可得n a ，1112211(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----，由数列的裂项相消求和可得n T ． 【详解】解：由121n n n S S a +=++即为1121n n n n a S S a ++=-=+，可化为112(1)n n a a ++=+，由111S a ==，可得数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列，则12nn a +=，即21n n a =-，又1112211(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----，可得22311111111111212*********n n n n T ++=-+-+⋯+-=-<------， 故A 错误，B ，C ，D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，以及数列的裂项相消法求和，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题． 33．AD 【分析】设等差数列的公差为d ，运用等差数列和等比数列的通项公式分析A 正确，B 与C 不正确，结合条件判断等差数列为递减数列，即可得到D 正确． 【详解】数列{a n }是公比q 为23-的等比数列，{b n }是首项为12，公差设为d 的等差数列， 则8912()3a a =-，91012()3a a =-， ∴a 9•a 1021712()3a =-＜0，故A 正确； ∵a 1正负不确定，故B 错误；∵a 10正负不确定，∴由a 10＞b 10，不能求得b 10的符号，故C 错误； 由a 9＞b 9且a 10＞b 10，则a 1（23-）8＞12+8d ，a 1（23-）9＞12+9d ， 由于910,a a 异号，因此90a <或100a <故 90b <或100b <，且b 1＝12可得等差数列{b n }一定是递减数列，即d ＜0， 即有a 9＞b 9＞b 10，故D 正确． 故选：AD 【点睛】本题考查了等差等比数列的综合应用，考查了等比数列的通项公式、求和公式和等差数列的单调性，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 34．AC 【分析】在A 中，数列{}2n a 是等比数列；在B 中，58a =；在C 中，若123a a a <<，则1q >，数列{}n a 是递增数列；在D 中，13r =-. 【详解】由数列{}n a 是等比数列，知： 在A 中，22221n n a a q -=，22221122221nn n n a a q q a a q+-∴==是常数， ∴数列{}2n a 是等比数列，故A 正确；在B 中，若32a =，732a =，则58a =，故B 错误；在C 中，若1230a a a <<<，则1q >，数列{}n a 是递增数列；若1230a a a <<<，则01q <<，数列{}n a 是递增数列，故C 正确；在D 中，若数列{}n a 的前n 和13n n S r -=+，则111a S r ==+，()()221312a S S r r =-=+-+=， ()()332936a S S r r =-=+-+=，1a ，2a ，3a 成等比数列， 2213a a a ∴=，()461r ∴=+，解得13r =-，故D 错误. 故选：AC . 【点睛】本题考查等比数列的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 35．AB【分析】由已知可得:43n a n =-,22n S n n =-,=21n S n n -,则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列通过公式即可求得前10项和;通过等比中项可验证B 选项;因为11111=44341i i a a n n +⎛⎫- ⎪-+⎝⎭,通过裂项求和可求得111ni i i a a =+∑;由等差的性质可知12m n +=利用基本不等式可验证选项D 错误. 【详解】由已知可得:43n a n =-,22n S n n =-,=21n S n n -,则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,则前10项和为()10119=1002+.所以A 正确; 1,a 3,a m a 成等比数列,则231=,m a a a ⋅81m a =,即=4381m a m =-=,解得21m =故B 正确;因为11111=44341i i a a n n +⎛⎫- ⎪-+⎝⎭所以1111111116=1=455494132451ni i i n n n a a n =+⎛⎫-+-++-> ⎪++⎝⎭-∑,解得6n >,故n 的最小值为7,故选项C 错误;等差的性质可知12m n +=,所以()()1161116116125=116172412121212n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+++=+++≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当16=n m m n 时,即48=45n m =时取等号,因为*,m n ∈N ,所以48=45n m =不成立,故选项D 错误.故选:AB. 【点睛】本题考查等差数列的性质,考查裂项求和,等比中项,和基本不等式求最值,难度一般.。