高考压轴题数列50例

专题52数列通项结构的应用【方法点拨】1.数列{a n }是等差数列⇔a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数).2.数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数).3.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 1，公差为{a n }公差的12.4.两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和S n 、T n 之间的关系为1212--=n n n n T S b a .5.两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，若D Cn B An T S n n ++=，则D m C B n A b a m n +-+-=)12()12(.【典型题示例】例1n S 是公差为2的等差数列{}n a 的前n 项和，若数列也是等差数列，则1a =________.【答案】1-或3【分析】用特殊值法，也可直接抓住等差数列的结构特征解题.【解析一】（特殊值法）由题意211(1)2(1)2n n n S na n a n -=+⨯=+-，∵数列是等差数列∴=，=，解得11a =-或13a =，11a =-1n ==-，13a =1n ==+，均为n 的一次函数，数列是等差数列，故1a 的值为－1或3.【解析一】（特殊值法）由题意211(1)2(1)2n n n S na n a n -=+⨯=+-，∵数列是等差数列=必为关于n 的一次式，即21(1)+1n a n +-是完全平方式∴21(1)40a --=解之得11a =-或13a =（下同解法一）．例2已知{}n a 是首项为2，公比为()1q q >的等比数列，且{}n a 的前n 项和为n S等比数列，则q =．【答案】2【解析】因为{}n a 是首项为2，公比为()1q q >的等比数列．所以()1122221111n n n n a q q q S q q q q---===+----．222112n n q q S q=++-+--{}2n S +也为等比数列．所以2201q+=-，即2q =．点评：等比数列通项的结构特征是：(0)n n a Aq A q =≠、.例3已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且7453n n A n B n +=+，则使得n n a b 为整数的正整数n 的个数是.【答案】5【解析】根据等差数列前n 项和的公式不难得到：2121(21)7(21)45719(21)(21)31n n n n n n a n a A n n b n b B n n ----++====--++（﹡）（﹡）式是一个关于n 的一次齐次分式，遇到此类问题的最基本的求解策略是“部分分式”——即将该分式逆用通分，将它转化为分子为常数，只有分母中含有变量n 因为7197(1)12127111n n n n n +++==++++所以，要求使得n n a b 为整数的正整数n ，只需1n +为12的不小于2的正约数所以12,3,4,6,12n +=例4已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2014，S 20142014－S 20082008＝6，则S 2020等于________.【答案】2020d ，则S 20142014－S 20082008＝6d ＝6，∴d ＝1，且首项为S 11＝－2014.故S 20162016＝S 11＋2015d ＝－2014＋2015＝1，∴S 2020＝1×2020＝2020.【巩固训练】1.记等差数列{a n }的前n 项和为n S ，已知12a =，且数列也为等差数列，则13a =.2.已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22，数列{b n }满足b n ＝S nn ＋c （其中c ≠0），若{b n }为等差数列，则c 的值等于________.3.设等比数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有314n n n S T +=，则33a b 的值为________.4.设n S ，n T 分别是等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，已知2142n n S n T n +=-，*n N ∈，则1011318615a a b b b b +=++．。

压轴题01数列压轴题题型/考向一：等差数列、等比数列性质的综合题型/考向二：以古文化、实际生活等情境综合题型/考向三：数列综合应用一、等差数列、等比数列的基本公式1.等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ；2.等比数列的通项公式：a n ＝a 1·q n －1.3.等差数列的求和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d ；4.等比数列的求和公式：S na 1－a n q1－q ，q ≠1，二、等差数列、等比数列的性质1.通项性质：若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则对于等差数列，有a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k ，对于等比数列，有a m a n ＝a p a q ＝a 2k .2.前n 项和的性质(m ，n ∈N *)：对于等差数列有S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等差数列；对于等比数列有S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等比数列(q ＝－1且m 为偶数情况除外).三、数列求和的常用方法热点一分组求和与并项求和1.若数列{c n }的通项公式为c n ＝a n ±b n ，或c nn ，n 为奇数，n ，n 为偶数，且{a n }，{b n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{c n }的前n 项和.2.若数列的通项公式中有(－1)n 等特征，根据正负号分组求和.热点二裂项相消法求和裂项常见形式：(1)分母两项的差等于常数1（2n －1）（2n ＋1）＝1n （n ＋k ）＝(2)分母两项的差与分子存在一定关系2n （2n －1）（2n ＋1－1）＝12n －1－12n ＋1－1；n ＋1n 2（n ＋2）2＝141n 2－1（n ＋2）2.(3)分母含无理式1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .热点三错位相减法求和如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，那么求数列{a n ·b n }的前n 项和S n 时，可采用错位相减法.用其法求和时，应注意：(1)等比数列的公比为负数的情形；(2)在写“S n ”和“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“S n －qS n ”的表达式.○热○点○题○型一等差数列、等比数列性质的综合1．已知等比数列{}n a 满足123434562,4a a a a a a a a +++=+++=，则11121314a a a a +++=（）A ．32B ．64C ．96D ．128【答案】B【详解】设{}n a 的公比为q ，则()234561234a a a a q a a a a +++=+++，得22q =，所以()()1051112131412341234264a a a a a a a a q a a a a +++=+++⨯=+++⨯=．故选:B2．已知等比数列{}n a 的公比0q >且1q ≠，前n 项积为n T ，若106T T =，则下列结论正确的是（）A ．671a a =B ．781a a =C ．891a a =D ．9101a a =【答案】C3．已知等差数列n 满足15，36，数列n 满足12n n n n ++=⋅⋅．记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则使0n S <的n 的最小值为（）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】C【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由1536446a a a a =⎧⎨=+⎩得：111141624206a a da d a d =+⎧⎨+=++⎩，解得：1163a d =⎧⎨=-⎩，()1631319n a n n ∴=--=-+，则当6n ≤时，0n a >；当7n ≥时，0n a <；∴当4n ≤时，0n b >；当5n =时，0n b <；当6n =时，0n b >；当7n ≥时，0n b <；11613102080b =⨯⨯= ，213107910b =⨯⨯=，31074280b =⨯⨯=，474128b =⨯⨯=，()54128b =⨯⨯-=-，()()612510b =⨯-⨯-=，()()()725880b =-⨯-⨯-=-，()()()85811440b =-⨯-⨯-=-，()()()9811141232b =-⨯-⨯-=-，()()()101114172618b =-⨯-⨯-=-，532900S ∴=>，915480S =>，1010700S =-<，100S < ，当10n ≥时，0n b <，∴当10n ≥时，0n S <，则使得0n S <的n 的最小值为10.()()()()()()102120232022k k k k k k k T f a f a f a f a f a f a =-+-++- ，1,2k =，则1T ，2T 的大小关系是（）A ．12T >TB ．12T T <C ．12T T =D ．1T ，2T 的大小无法确定()()101322022...a f a +-)()22023f a -1=125．数列n 满足12，21n n n ++=+∈N ，现求得n 的通项公式为n nn F A B ⎛=⋅+⋅ ⎝⎭⎝⎭，,A B ∈R ，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则812⎡⎤⎛⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值为（）A ．43B ．44C ．45D ．46○热○点○题○型二以古文化、实际生活等情境综合6．小李年初向银行贷款M 万元用于购房，购房贷款的年利率为P ，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，问每年应还（）万元.A ．10MB ．()()1010111MP P P ++-C ．()10110M P +D ．()()99111MP P P ++-7．传说国际象棋发明于古印度，为了奖赏发明者，古印度国王让发明者自己提出要求，发明者希望国王让人在他发明的国际象棋棋盘上放些麦粒，规则为：第一个格子放一粒，第二个格子放两粒，第三个格子放四粒，第四个格子放八粒……依此规律，放满棋盘的64个格子所需小麦的总重量大约为（）吨.（1kg麦子大约20000粒，lg2=0.3）A．105B．107C．1012D．1015次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人一共走了441里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走的路程是（）A．7里B．8里C．9里D．10里【答案】A【详解】设第六天走的路程为1a，第五天走的路程为2a……第一天走的路程记为6a，9．2022年10月16日上午10时，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂隆重开幕.某单位组织全体党员在报告厅集体收看党的二十大开幕式，认真聆听习近平总书记向大会所作的报告.已知该报告厅共有10排座位，共有180个座位数，并且从第二排起，每排比前一排多2个座位数，则最后一排的座位数为（）A ．23B ．25C ．27D ．2910次差成等差数列的高阶等差数列.现有一个高阶等差数列的前6项分别为4,7,11,16,22,29，则该数列的第18项为（）A ．172B ．183C ．191D ．211【答案】C【详解】设该数列为{}n a ，则11,(2)n n a a n n --=+≥，○热○点○题○型三数列综合应用11．在数列{}n a 中，11a =，11n n a a n +=++，则122022111a a a +++= （）A ．20211011B ．40442023C ．20212022D ．2022202312．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，()()1133n nn n n n S S S S ++-=+，则2023S =（）A ．202331-B ．202331+C ．2022312+D ．2023312+13．已知一族曲线n ．从点向曲线n 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ，切点为(),n n n P x y ．则下列结论错误的是（）A ．数列{}n x 的通项为1n nx n =+B ．数列{}n y 的通项为n yC ．当3n >时，1352111nn nx x x x x x--⋅⋅⋅>+ Dnnxy <故D 正确.故选：B.14．在数列{}n a 中给定1a ，且函数()()311sin 213n n f x x a x a x +=-+++的导函数有唯一零点，函数()()()112πcos π2g x x x x =-且()()()12918g a g a g a +++= ，则5a =（）．A ．14B ．13C ．16D ．1915．已知函数()()*ln N f x nx x n =+∈的图象在点,fn n ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线的斜率为n a ，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和n S 为（）A ．11n +B ．()()235212n nn n +++C ．()41nn +D ．()()235812n nn n +++。

欧阳阳理创编 2021.03.04高考压轴题瓶颈系列之时间：2021.03.05创作：欧阳理——浙江卷数列【见证高考卷之特仑苏】1. 【2014年.浙江卷.理19】（本题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b ()()*∈=N n a a a nb n 221 .若{}na 为等比数列，且.6,2231b b a +==(Ⅰ)求n a 与n b ； (Ⅱ)设()*∈-=N n b a c nn n 11。

记数列{}n c 的前n 项和为n S .（i ）求n S ；（ii ）求正整数k ，使得对任意*∈N n ，均有n k S S ≥．2. 【2011年.浙江卷.理19】（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项1a a = (a R ∈),设数列的前n 项和为n S ，且11a ，21a ，41a 成等比数列（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及n S （Ⅱ）记1231111...n nA S S S S =++++，212221111...nn B a a a a =++++，当2n ≥时，试比较n A 与n B 的大3. 【2008年.浙江卷.理22】（本题14分）已知数列{}n a ，0≥n a ，01=a ，22111()n n n a a a n N •+++-=∈．nn a a a S +++= 21)1()1)(1(1)1)(1(11121211n n a a a a a a T +++++++++=．求证：当•∈N n 时，（Ⅰ）1+<n n a a ；（Ⅱ）2->n S n ；（Ⅲ）3<n T 。

4. 【2007年.浙江卷.理21】（本题15分）已知数列{}n a 中的相邻两项21,2k ka a -是关于x 的方程2(32)320kkx k x k -++=的两个根，且212(1,2,3,)k k a a k -≤=（Ⅰ）求1,357,,a a a a ；（Ⅱ）求数列{}n a 的前2n 项的和2nS ；（Ⅲ）记1|sin |()(3)2sin n f n n =+，(2)(3)(4)(1)123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n n T a a a a a a a a +-----=++++求证：*15()624n T n N ≤≤∈5. （2015年浙江卷第20题）2*111,()2n n n a a a a n N +==-∈（1）求证：112nn a a +≤≤ （2）设数列2{}n a 的前n 项和为n S ，证明：*11()2(2)2(1)n S n N n n n ≤≤∈++6.【2016高考浙江理数】设数列{}n a 满足112n n a a +-≤，n *∈N ．（I（II【例题讲解之伊利奶粉】例1．（浙江省新高考研究联盟2017a1=3，（I （II +1b - （III ，求证：2≤(n c c+ 例2．（浙江省温州中学2017届高三3（Ⅲ）证明：例3．（浙江省温州市十校联合体2017(1)m 的值； （2（3n 恒成立，并证明你的结论。

高考数列压轴题1、已知函数3()log ()f x ax b =+的图象经过点)1,2(A 和)2,5(B ，记()*3,.f n n a n N =∈（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设n n nnn b b b T a b +++==Λ21,2，若)(Z m m T n ∈<，求m 的最小值； （3）求使不等式12)11()11)(11(21+≥+++n p a a a n Λ对一切*N n ∈均成立的最大实数p .2、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对一切*n N ∈，点,n S n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭都在函数()2na f x x x=+ 的图象上． （Ⅰ）求123,,a a a 的值，猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明；（Ⅱ）将数列{}n a 依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（1a ），（2a ，3a ），（4a ，5a ，6a ），（7a ，8a ，9a ，10a ）；（11a ），（12a ，13a ），(14a ，15a ，16a ），（17a ，18a ，19a ，20a ）；（21a ），…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{}n b ，求5100b b +的值；（Ⅲ）设n A 为数列1n n a a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项积，是否存在实数a，使得不等式3()2n a A f a a +-对一切*n N ∈都成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由3、已知点列()0,n n x A 满足：1110-=•+a A A A A n n ，其中N n ∈，又已知10-=x ，111>=a x ，.(1)若()()*+∈=N n x f x n n 1，求()x f 的表达式；(2)已知点B()0a ，，记()*∈=N n BA a n n ，且n n a a <+1成立，试求a 的取值范围；(3)设（2）中的数列{}n a 的前n 项和为n S ，试求：aa S n --<21 。

数列大题训练50题1 ．数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足11a =，2(1)n n S n a =+.（1）求{n a }的通项公式； （2）求和T n =1211123(1)na a n a ++++ . 2 ．已知数列}{n a ，a 1=1，点*))(2,(1N n a a P n n ∈+在直线0121=+-y x 上. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）函数)2*,(1111)(321≥∈++++++++=n N n a n a n a n a n n f n且 ，求函数)(n f 最小值. 3 ．已知函数xab x f =)( (a ，b 为常数)的图象经过点P （1，81）和Q （4，8） (1) 求函数)(x f 的解析式；(2) 记a n =log 2)(n f ,n 是正整数，n S 是数列{a n }的前n 项和，求n S 的最小值。

4 ．已知y ＝f (x )为一次函数，且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列，f (8)＝15．求n S ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的表达式．5 ．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S c ca =+-，其中c 是不等于1-和0的实常数.（1）求证: {}n a 为等比数列；（2）设数列{}n a 的公比()q f c =，数列{}n b 满足()()111,,23n n b b f b n N n -==∈≥，试写出1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，并求12231n n b b b b b b -+++ 的结果.6 ．在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N *)，满足向量1+n n A A 与向量n n C B 共线，且点B n (n,b n ) (n ∈N *)都在斜率为6的同一条直线上.(1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ;(2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12<a ≤15，求数列{a n }中的最小项.7 ．已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且212322a a a +++…12n n a -+8n =对任意的∈n N*都成立，数列1{}n n b b +-是等差数列．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）问是否存在k ∈N *，使得(0,1)k k b a -∈？请说明理由．8 ．已知数列),3,2(1335,}{11 =-+==-n a a a a nn n n 且中（I ）试求a 2，a 3的值； （II ）若存在实数}3{,nn a λλ+使得为等差数列，试求λ的值. 9 ．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()1,211++=⋅=+n n S a n a n n ，（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）令n nn S T 2=，①当n 为何正整数值时，1+>n n T T ：②若对一切正整数n ，总有m T n ≤，求m 的取值范围。

2024全国数学高考压轴题(数列)一、单选题1．若数列{b n }、{c n }均为严格增数列 且对任意正整数n 都存在正整数m 使得b m ∈[c n ，c n+1] 则称数列{b n }为数列{c n }的“M 数列”．已知数列{a n }的前n 项和为S n 则下列选项中为假命题的是（ ）A ．存在等差数列{a n } 使得{a n }是{S n }的“M 数列”B ．存在等比数列{a n } 使得{a n }是{S n }的“M 数列”C ．存在等差数列{a n } 使得{S n }是{a n }的“M 数列”D ．存在等比数列{a n } 使得{S n }是{a n }的“M 数列”2．已知函数f(x)及其导函数f ′(x)的定义域均为R 记g(x)=f ′(x)．若f(x +3)为奇函数 g(32+2x)为偶函数 且g(0)=−3 g(1)=2 则∑g 2023i=1(i)=（ ） A ．670B ．672C ．674D ．6763．我们知道按照一定顺序排列的数字可以构成数列 那么按照一定顺序排列的函数可以构成函数列.设无穷函数列{f n (x)}（n ∈N +）的通项公式为f n (x)=n 2+2nx+x 2+1(n+x)(n+1)x ∈(0，1) 记E n 为f n (x)的值域 E =U n=1+∞E n 为所有E n 的并集 则E 为（ ）A ．(56，109)B ．(1，109)C ．(56，54)D ．(1，54)4．已知等比数列{x n }的公比q >−12则（ ）A ．若|x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 100|<1 则√|x 1|+√|x 2|+⋅⋅⋅+√|x 100|<10B ．若|x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 100|>1 则√|x 1|+√|x 2|+⋅⋅⋅+√|x 100|>10C ．若|x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 101|<1 则√|x 1|+√|x 2|+⋅⋅⋅+√|x 101|<10D ．若|x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 101|>1 则√|x 1|+√|x 2|+⋅⋅⋅+√|x 101|>105．已知数列{a n } {b n }满足a 1=2 b 1=12 {a n+1=b n +1an b n+1=a n +1bn,，,n ,∈,N ∗ 则下列选项错误的是（ ） A ．a 2b 2=14B ．a 50⋅b 50<112C ．a 50+b 50=52√a 50⋅b 50D ．|a 50−b 50|≤156．已知数列{a n }满足：a 1=2 a n+1=13(√a n +2a n )(n ∈N ∗)．记数列{a n }的前n 项和为S n 则（ ）A ．12<S 10<14B ．14<S 10<16C ．16<S 10<18D ．18<S 10<207．已知数列 {a n } 满足： a 1=100，a n+1=a n +1an则（ ）A ．√200+10000<a 101<√200.01+10000B ．√200.01+10000<a 101<√200.1+10000C ．√200.1+10000<a 101<√201+10000D ．√201+10000<a 101<√210+100008．已知数列 {a n } 满足 a 1=a(a >0) √a n+1a n =a n +1 给出下列三个结论：①不存在 a 使得数列 {a n } 单调递减；②对任意的a 不等式 a n+2+a n <2a n+1 对所有的 n ∈N ∗ 恒成立；③当 a =1 时 存在常数 C 使得 a n <2n +C 对所有的 n ∈N ∗ 都成立.其中正确的是（ ） A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③9．已知F 为抛物线y 2=4x 的焦点 点P n (x n ，y n )(n =1，2，3，⋯)在抛物线上.若|P n+1F|−|P n F|=1 则（ ） A ．{x n }是等差数列 B ．{x n }是等比数列 C ．{y n }是等差数列D ．{y n }是等比数列10．已知数列 11 21 12 31 22 13 41 32 23 14… 其中每一项的分子和分母均为正整数.第一项是分子与分母之和为2的有理数；接下来两项是分子与分母之和为3的有理数 并且从大到小排列；再接下来的三项是分子与分母之和为4的有理数 并且从大到小排列 依次类推.此数列第n 项记为 a n 则满足 a n =5 且 n ≥20 的n 的最小值为（ ） A ．47B ．48C ．57D ．5811．已知△A n B n C n (n =1，2，3，⋯)是直角三角形 A n 是直角 内角A n ，B n ，C n 所对的边分别为a n ，b n ，c n 面积为S n ．若b 1=4，c 1=3，b n+12=a n+12+c n 23，c n+12=a n+12+b n 23则下列选项错误的是（ ）A ．{S 2n }是递增数列B ．{S 2n−1}是递减数列C ．数列{b n −c n }存在最大项D ．数列{b n −c n }存在最小项12．已知数列{a n }的各项都是正数 a n+12−a n+1=a n (n ∈N ∗)．记b n =(−1)n−1a n −1数列{b n }的前n 项和为S n 给出下列四个命题：①若数列{a n }各项单调递增 则首项a 1∈(0，2)②若数列{a n }各项单调递减 则首项a 1∈(2，+∞)③若数列{a n }各项单调递增 当a 1=32时 S 2022>2④若数列{a n }各项单调递增 当a 1=23时S2022<−5则以下说法正确的个数（）A．4B．3C．2D．113．已知正项数列{a n}对任意的正整数m、n都有2a m+n≤a2m+a2n则下列结论可能成立的是（）A．a nm+a mn=a mn B．na m+ma n=a m+n C．a m+a n+2=a mn D．2a m⋅a n=a m+n14．古希腊哲学家芝诺提出了如下悖论：一个人以恒定的速度径直从A点走向B点要先走完总路程的三分之一再走完剩下路程的三分之一如此下去会产生无限个“剩下的路程” 因此他有无限个“剩下路程的三分之一”要走这个人永远走不到终点．另一方面我们可以从上述第一段“三分之一的路程”开始通过分别计算他在每一个“三分之一距离”上行进的时间并将它们逐个累加不难推理出这个人行进的总时间不会超过一个恒定的实数．记等比数列{a n}的首项a1=13公比为q 前n项和为S n则造成上述悖论的原理是（）A．q=16，∃t∈R，∀n∈N ∗，Sn<t B．q=13，∃t∈R，∀n∈N∗，S n<tC．q=12，∃t∈R，∀n∈N ∗，Sn<t D．q=23，∃t∈R，∀n∈N∗，S n<t15．已知sinx，siny，sinz依次组成严格递增的等差数列则下列结论错误的是（）A．tanx，tany，tanz依次可组成等差数列B．cosx，cosy，cosz依次可组成等差数列C．cosx，cosz，cosy依次可组成等差数列D．cosz，cosx，cosy依次可组成等差数列16．记U={1，2，⋯，100}．对数列{a n}(n∈N∗)和U的子集T 若T=∅定义S T=0；若T={t1，t2，⋯，t k}定义S T=a t1+a t2+⋯+a tk．则以下结论正确的是（）A．若{a n}(n∈N∗)满足a n=2n−1，T={1，2，4，8}则S T=15B．若{a n}(n∈N∗)满足a n=2n−1则对任意正整数k(1≤k≤100)，T⊆{1，2，⋯，k}，S T< a kC．若{a n}(n∈N∗)满足a n=3n−1则对任意正整数k(1≤k≤100)，T⊆{1，2，⋯，k}，S T≥a k+1D ．若{a n }(n ∈N ∗)满足a n =3n−1 且C ⊆U ，D ⊆U ，S C ≥S D 则S C +S C∩D ≥2S D17．已知数列 {a n }、{b n }、{c n } 满足 a 1=b 1=c 1=1，c n =a n+1−a n ，c n+2=bn+1b n ⋅c n (n ∈N ∗)，S n =1b 2+1b 3+⋯+1b n （n ≥2），T n =1a 3−3+1a 4−4+⋯+1a n −n （n ≥3） 则下列有可能成立的是（ ）A ．若 {a n } 为等比数列 则 a 20222>b 2022B ．若 {c n } 为递增的等差数列 则 S 2022<T 2022C ．若 {a n } 为等比数列 则 a 20222<b 2022D ．若 {c n } 为递增的等差数列 则 S 2022>T 202218．已知数列{a n }满足a 1=1 a n =a n−1+4(√a n−1+1√an−1)(n ∈N ∗，n ≥2) S n 为数列{1a n }的前n 项和 则（ ） A ．73<S 2022<83B ．2<S 2022<73C ．53<S 2022<2 D ．1<S 2022<5319．已知数列{a n }满足a n ⋅a n+1⋅a n+2=−1(n ∈N ∗)，a 1=−3 若{a n }的前n 项积的最大值为3 则a 2的取值范围为（ ） A ．[−1，0)∪(0，1] B ．[−1，0)C ．(0，1]D ．(−∞，−1)∪(1，+∞)20．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n (a n +1)2=4S n 记b n =S n ⋅sin nπ2+S n+1⋅sin (n+1)π2若数列{b n }的前n 项和为T n 则T 100=（ ） A ．-400B ．-200C ．200D ．40021．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和 a 2=−7 S 5=2a 1 当|S n |取得最小值时 n =（ ）A ．10B ．9C ．8D ．722．已知数列{a n }中 a 2+a 4+a 6=285 na n =(n −1)a n+1+101(n ∈N ∗) 当数列{a n a n+1a n+2}(n ∈N ∗)的前n 项和取得最大值时 n 的值为（ ） A ．53B ．49C ．49或53D ．49或5123．定义在R 上的函数序列{f n (x)}满足f n (x)<1nf n ′(x)（f n ′(x)为f n (x)的导函数） 且∀x ∈N ∗ 都有f n (0)=n ．若存在x 0>0 使得数列{f n (x 0)}是首项和公比均为q 的等比数列 则下列关系式一定成立的是（ ）．A ．0<q <2√2e x 0B ．0<q <√33e x 0C ．q >2√2e x 0D ．q >√33e x 024．已知数列{a n }的前n 项和为S n 满足a 1=1 a 2=2 a n =a n−1⋅a n+1(n ≥2) 则（ ）A ．a 1：a 2：a 3=a 6：a 7：a 8B ．a n ：a n+1：a n+2=1：2：2C ．S 6 S 12 S 18成等差数列D ．S 6n S 12n S 18n 成等比数列25．已知S n 为数列{a n }的前n 项和 且a 1=1 a n+1+a n =3×2n 则S 100=（ ）A ．2100−3B ．2100−2C ．2101−3D ．2101−226．已知 {a n } 为等比数列 {a n } 的前n 项和为 S n 前n 项积为 T n 则下列选项中正确的是（ ）A ．若 S 2022>S 2021 则数列 {a n } 单调递增B ．若 T 2022>T 2021 则数列 {a n } 单调递增C ．若数列 {S n } 单调递增 则 a 2022≥a 2021D ．若数列 {T n } 单调递增 则 a 2022≥a 2021二、多选题27．“冰雹猜想”也称为“角谷猜想” 是指对于任意一个正整数x 如果x 是奇数㩆乘以3再加1 如果x 是偶数就除以2 这样经过若干次操作后的结果必为1 犹如冰雹掉落的过程.参照“冰雹猜想” 提出了如下问题：设k ∈N ∗ 各项均为正整数的数列{a n }满足a 1=1 a n+1={a n2，a n 为偶数，a n +k ，a n 为奇数，则（ ）A ．当k =5时 a 5=4B ．当n >5时 a n ≠1C ．当k 为奇数时 a n ≤2kD ．当k 为偶数时 {a n }是递增数列28．已知数列{a n } a 2=12且满足a n+1a n 2=a n −a n+1 n ∈N ∗ 则（ ） A ．a 4−a 1=1929B ．a n 的最大值为1C ．a n+1≥1n+1D ．√a 1+√a 2+√a 3+⋅⋅⋅+√a 35>1029．已知数列{a n }的前n 项和为S n a 1=1 且4a n ⋅a n+1=a n −3a n+1（n =1 2 …） 则（ ）A ．3a n+1<a nB ．a 5=1243C ．ln(1an )<n +1D ．1≤S n <171430．如图 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1顶点处有一质点Q 点Q 每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动 且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q 的初始位置位于点A 处 记点Q 移动n 次后仍在底面ABCD 上的概率为P n 则下列说法正确的是（ ）A ．P 2=59B ．P n+1=23P n +13C ．点Q 移动4次后恰好位于点C 1的概率为0D ．点Q 移动10次后仍在底面ABCD 上的概率为12(13)10+1231．已知数列{a n } {b n } 有a n+1=a n −b n b n+1=b n −a n n ∈N ∗ 则（ ）A ．若存在m >1 a m =b m 则a 1=b 1B ．若a 1≠b 1 则存在大于2的正整数n 使得a n =0C ．若a 1=a a 2=b 且a ≠b 则b 2022=−b ×22020D ．若a 1=−1 a 2=−3 则关于x 的方程2a 3+(2a 3+1)cosx +2cos2x +cos3x =0的所有实数根可构成一个等差数列32．已知△A n B n C n (n =1，2，3，⋯)是直角三角形 A n 是直角 内角A n 、B n 、C n 所对的边分别为a n 、b n 、c n 面积为S n 若b 1=4 c 1=3 b n+12=a n+12+c n 23 c n+12=a n+12+b n 23则（ ） A ．{S 2n }是递增数列 B ．{S 2n−1}是递减数列 C ．{b n −c n }存在最大项D ．{b n −c n }存在最小项33．已知S n 是数列{a n }的前n 项和 且S n+1=−S n +n 2 则下列选项中正确的是（ ）.A ．a n +a n+1=2n −1（n ≥2）B ．a n+2−a n =2C ．若a 1=0 则S 100=4950D ．若数列{a n }单调递增 则a 1的取值范围是(−14，13)三、填空题34．已知n ∈N ∗ 将数列{2n −1}与数列{n 2−1}的公共项从小到大排列得到新数列{a n } 则1a 1+1a 2+⋯+1a 10= .35．若函数f(x)的定义域为(0，+∞) 且f(x)+f(y)=f(xy) f(a n )=n +f(n) 则∑f ni=1(a i i )= ．36．在数列{a n }中 a 1=1 a n+1=a n +1an（n∈N ∗） 若t ∈Z 则当|a 7−t|取得最小值时 整数t 的值为 .37．已知函数f(x)满足f(x −2)=f(x +2)，0≤x <4时 f(x)=√4−(x −2)2 g(x)=f(x)−k n x(n ∈N ∗，k n >0)．若函数g(x)的图像与x 轴恰好有2n +1个不同的交点 则k 12+k 22+⋅⋅⋅+k n 2= ．38．已知复数z =1+i 对于数列{a n } 定义P n =a 1+2a 2+⋅⋅⋅+2n−1a n n为{a n }的“优值”．若某数列{a n}的“优值”P n =|z|2n 则数列{a n }的通项公式a n = ；若不等式a n 2−a n +4≥(−1)nkn 对于∀n ∈N ∗恒成立 则k 的取值范围是 ．39．数列{a n }是公比为q(q ≠1)的等比数列 S n 为其前n 项和. 已知a 1⋅a 3=16 S3q=12 给出下列四个结论： ①q <0 ；②若存在m 使得a 1，a 2，⋅⋅⋅，a m 的乘积最大 则m 的一个可能值是3； ③若存在m 使得a 1，a 2，⋅⋅⋅，a m 的乘积最大 则m 的一个可能值是4； ④若存在m 使得a 1，a 2，⋅⋅⋅，a m 的乘积最小 则m 的值只能是2． 其中所有正确结论的序号是 .40．如图 某荷塘里浮萍的面积y （单位：m 2）与时间t （单位：月）满足关系式：y =a t lna （a 为常数） 记y =f(t)（t ≥0）．给出下列四个结论：①设a n=f(n)(n∈N∗)则数列{a n}是等比数列；②存在唯一的实数t0∈(1，2)使得f(2)−f(1)=f′(t0)成立其中f′(t)是f(t)的导函数；③常数a∈(1，2)；④记浮萍蔓延到2m23m26m2所经过的时间分别为t1t2t3则t1+t2>t3．其中所有正确结论的序号是．41．在现实世界很多信息的传播演化是相互影响的.选用正实数数列{a n}{b n}分别表示两组信息的传输链上每个节点处的信息强度数列模型：a n+1=2a n+b n，b n+1=a n+2b n(n=1，2⋯)描述了这两组信息在互相影响之下的传播演化过程.若两组信息的初始信息强度满足a1>b1则在该模型中关于两组信息给出如下结论：①∀n∈N∗，a n>b n；②∀n∈N∗，a n+1>a n，b n+1>b n；③∃k∈N∗使得当n>k时总有|a nb n−1|<10−10④∃k∈N∗使得当n>k时总有|a n+1a n−2|<10−10．其中所有正确结论的序号是答案解析部分1．【答案】C2．【答案】D3．【答案】C4．【答案】A5．【答案】D6．【答案】B7．【答案】A8．【答案】A9．【答案】A10．【答案】C11．【答案】B12．【答案】B13．【答案】D14．【答案】D15．【答案】B16．【答案】D17．【答案】B18．【答案】D19．【答案】A20．【答案】C21．【答案】C22．【答案】D23．【答案】D24．【答案】C25．【答案】D26．【答案】D27．【答案】A,C,D28．【答案】B,C,D29．【答案】A,D30．【答案】A,C,D 31．【答案】A,C,D 32．【答案】A,C,D 33．【答案】A,C 34．【答案】102135．【答案】n(n+1)236．【答案】4 37．【答案】n 4(n+1) 38．【答案】n+1；[−163，5] 39．【答案】①②③ 40．【答案】①②④ 41．【答案】①②③。

高考数学压轴题100题汇总(含答案)1. 设函数f(x) = x^3 3x + 1，求f(x)的极值点和极值。

答案：f(x)的极值点为x = 1和x = 1，极值分别为f(1) = 1和f(1) = 3。

2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn = n^2 + n，求该数列的通项公式。

答案：an = 2n + 1。

3. 已知三角形ABC中，AB = AC = 5，BC = 8，求三角形ABC的面积。

答案：三角形ABC的面积为12。

4. 设直线y = kx + b与圆x^2 + y^2 = 1相切，求k和b的值。

答案：k = ±√3/3，b = ±√6/3。

5. 已知函数f(x) = log2(x^2 + 1)，求f(x)的导数。

答案：f'(x) = 2x/(x^2 + 1)ln2。

6. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (1, 4)，求向量a和向量b的夹角。

答案：向量a和向量b的夹角为arccos(1/√5)。

7. 已知矩阵A = [1 2; 3 4]，求矩阵A的逆矩阵。

答案：矩阵A的逆矩阵为[4 2; 3 1]。

8. 已知函数f(x) = x^3 6x^2 + 9x + 1，求f(x)的零点。

答案：f(x)的零点为x = 1和x = 3。

9. 已知函数f(x) = sin(x) cos(x)，求f(x)在区间[0, π/2]上的最大值。

答案：f(x)在区间[0, π/2]上的最大值为√2。

10. 已知函数f(x) = x^2 + 4x + 4，求f(x)的顶点坐标。

答案：f(x)的顶点坐标为(2, 0)。

高考数学压轴题100题汇总(含答案)11. 已知函数f(x) = e^x 2x，求f(x)的导数。

答案：f'(x) = e^x 2。

12. 已知函数f(x) = x^2 4x + 4，求f(x)的极值点和极值。

答案：f(x)的极值点为x = 2，极值为f(2) = 0。

高考数列压轴题一．解答题（共50小题）1．数列{a n}满足a1=1，a2=+，…，a n=++…+（n∈N*）（1）求a2，a3，a4，a5的值；（2）求a n与a n﹣1之间的关系式（n∈N*，n≥2）；（3）求证：（1+）（1+）…（1+）＜3（n∈N*）2．已知数列{x n}满足：x1=1，x n=x n+1+ln（1+x n+1）（n∈N*），证明：当n∈N*时，（Ⅰ）0＜x n＜x n；+1﹣x n≤；（Ⅱ）2x n+1（Ⅲ）≤x n≤．3．数列{a n}中，a1=，a n+1=（n∈N*）＜a n；（Ⅰ）求证：a n+1（Ⅱ）记数列{a n}的前n项和为S n，求证：S n＜1．4．已知正项数列{a n}满足a n2+a n=3a2n+1+2a n+1，a1=1．（1）求a2的值；（2）证明：对任意实数n∈N*，a n≤2a n+1；（3）记数列{a n}的前n项和为S n，证明：对任意n∈N*，2﹣≤S n＜3．5．已知在数列{a n}中，．，n∈N*＜a n＜2；（1）求证：1＜a n+1（2）求证：；（3）求证：n＜s n＜n+2．6．设数列{a n}满足a n+1=a n2﹣a n+1（n∈N*），S n为{a n}的前n项和．证明：对任意n∈N*，（I）当0≤a1≤1时，0≤a n≤1；（II）当a1＞1时，a n＞（a1﹣1）a1n﹣1；（III）当a1=时，n﹣＜S n＜n．7．已知数列{a n}满足a1=1，S n=2a n+1，其中S n为{a n}的前n项和（n∈N*）．（Ⅰ）求S1，S2及数列{S n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，且{b n}的前n项和为T n，求证：当n≥2时，．8．已知数列{a n}满足a1=1，（n∈N*），（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）证明：．9．设数列{a n}的前n项的和为S n，已知a1=，a n+1=，其中n∈N*．（1）证明：a n＜2；（2）证明：a n＜a n+1；（3）证明：2n﹣≤S n≤2n﹣1+（）n．10．数列{a n}的各项均为正数，且a n+1=a n+﹣1（n∈N*），{a n}的前n项和是S n．（Ⅰ）若{a n}是递增数列，求a1的取值范围；（Ⅱ）若a1＞2，且对任意n∈N*，都有S n≥na1﹣（n﹣1），证明：S n＜2n+1．11．设a n=x n，b n=（）2，S n为数列{a n•b n}的前n项和，令f n（x）=S n﹣1，x∈R，a∈N*．（Ⅰ）若x=2，求数列{}的前n项和T n；（Ⅱ）求证：对∀n∈N*，方程f n（x）=0在x n∈[，1]上有且仅有一个根；（Ⅲ）求证：对∀p∈N*，由（Ⅱ）中x n构成的数列{x n}满足0＜x n﹣x n+p＜．12．已知数列{a n}，{b n}，a0=1，，（n=0，1，2，…），，T n为数列{b n}的前n项和．求证：（Ⅰ）a n＜a n；+1（Ⅱ）；（Ⅲ）．13．已知数列{a n}满足：a1=，a n=a n﹣12+a n﹣1（n≥2且n∈N）．（Ⅰ）求a2，a3；并证明：2﹣≤a n≤•3；（Ⅱ）设数列{a n2}的前n项和为A n，数列{}的前n项和为B n，证明：=a n+1．14．已知数列{a n}的各项均为非负数，其前n项和为S n，且对任意的n∈N*，都有．（1）若a1=1，a505=2017，求a6的最大值；（2）若对任意n∈N*，都有S n≤1，求证：．15．已知数列{a n}中，a1=4，a n+1=，n∈N*，S n为{a n}的前n项和．（Ⅰ）求证：n∈N*时，a n＞a n+1；（Ⅱ）求证：n∈N*时，2≤S n﹣2n＜．16．已知数列{a n}满足，a1=1，a n=﹣．（1）求证：a n≥；﹣a n|≤；（2）求证：|a n+1（3）求证：|a2n﹣a n|≤．17．设数列{a n}满足：a1=a，a n+1=（a＞0且a≠1，n∈N*）．（1）证明：当n≥2时，a n＜a n+1＜1；（2）若b∈（a2，1），求证：当整数k≥+1时，a k+1＞b．18．设a＞3，数列{a n}中，a1=a，a n+1=，n∈N*．（Ⅰ）求证：a n＞3，且＜1；（Ⅱ）当a≤4时，证明：a n≤3+．19．已知数列{a n}满足a n＞0，a1=2，且（n+1）a n+12=na n2+a n（n∈N*）．（Ⅰ）证明：a n＞1；（Ⅱ）证明：++…+＜（n≥2）．20．已知数列{a n}满足：．（1）求证：；（2）求证：．21．已知数列{a n}满足a1=1，且a n+12+a n2=2（a n+1a n+a n+1﹣a n﹣）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：++…+＜；（3）记S n=++…+，证明：对于一切n≥2，都有S n2＞2（++…+）．22．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，n∈N*．（1）求证：≤a n≤1；（2）求证：|a2n﹣a n|≤．23．已知数列{a n]的前n项和记为S n，且满足S n=2a n﹣n，n∈N*（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：+…（n∈N*）24．已知数列{a n}满足：a1=，a n+1=+a n（n∈N*）．（1）求证：a n＞a n；+1（2）求证：a2017＜1；（3）若a k＞1，求正整数k的最小值．25．已知数列{a n}满足：a n2﹣a n﹣a n+1+1=0，a1=2（1）求a2，a3；（2）证明数列为递增数列；（3）求证：＜1．26．已知数列{a n}满足：a1=1，（n∈N*）（Ⅰ）求证：a n≥1；（Ⅱ）证明：≥1+（Ⅲ）求证：＜a n＜n+1．+127．在正项数列{a n}中，已知a1=1，且满足a n+1=2a n（n∈N*）（Ⅰ）求a2，a3；（Ⅱ）证明．a n≥．28．设数列{a n}满足．（1）证明：；（2）证明：．29．已知数列{a n}满足a1=2，a n+1=2（S n+n+1）（n∈N*），令b n=a n+1．（Ⅰ）求证：{b n}是等比数列；（Ⅱ）记数列{nb n}的前n项和为T n，求T n；（Ⅲ）求证：﹣＜+…+．30．已知数列{a n}中，a1=3，2a n+1=a n2﹣2a n+4．＞a n；（Ⅰ）证明：a n+1（Ⅱ）证明：a n≥2+（）n﹣1；（Ⅲ）设数列{}的前n项和为S n，求证：1﹣（）n≤S n＜1．31．已知数列{a n}满足a1=，a n+1=，n∈N*．（1）求a2；（2）求{}的通项公式；（3）设{a n}的前n项和为S n，求证：（1﹣（）n）≤S n＜．32．数列{a n}中，a1=1，a n=．（1）证明：a n＜a n+1；（2）证明：a n a n+1≥2n+1；（3）设b n=，证明：2＜b n＜（n≥2）．33．已知数列{a n}满足，（1）若数列{a n}是常数列，求m的值；（2）当m＞1时，求证：a n＜a n+1；（3）求最大的正数m，使得a n＜4对一切整数n恒成立，并证明你的结论．34．已知数列{a n}满足：，p＞1，．（1）证明：a n＞a n+1＞1；（2）证明：；（3）证明：．35．数列{a n}满足a1=，a n+1﹣a n+a n a n+1=0（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：a1+a1a2+a1a2a3+…+a1a2…a n＜1．36．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n2+p．（1）若数列{a n}就常数列，求p的值；（2）当p＞1时，求证：a n＜a n+1；（3）求最大的正数p，使得a n＜2对一切整数n恒成立，并证明你的结论．37．已知数列{a n}满足a1=a＞4，，（n∈N*）（1）求证：a n＞4；（2）判断数列{a n}的单调性；（3）设S n为数列{a n}的前n项和，求证：当a=6时，．38．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=．＜a n；（Ⅰ）求证：a n+1（Ⅱ）求证：≤a n≤．39．已知数列{a n}满足：a1=1，．（1）若b=1，证明：数列是等差数列；}的单调性并说明理由；（2）若b=﹣1，判断数列{a2n﹣1（3）若b=﹣1，求证：．40．已知数列{a n}满足，（n=1，2，3…），，S n=b1+b2+…+b n．证明：（Ⅰ）a n＜a n＜1（n≥1）；﹣1（Ⅱ）（n≥2）．41．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，n∈N*，记S，T n分别是数列{a n}，{a}的前n项和，证明：当n∈N*时，＜a n；（1）a n+1（2）T n=﹣2n﹣1；（3）﹣1＜S n．42．已知数列{a n}满足a1=3，a n+1=a n2+2a n，n∈N*，设b n=log2（a n+1）．（I）求{a n}的通项公式；（II）求证：1+++…+＜n（n≥2）；（III）若=b n，求证：2≤＜3．43．已知正项数列{a n}满足a1=3，，n∈N*．（1）求证：1＜a n≤3，n∈N*；（2）若对于任意的正整数n，都有成立，求M的最小值；（3）求证：a1+a2+a3+…+a n＜n+6，n∈N*．44．已知在数列{a n}中，，，n∈N*．＜a n＜2；（1）求证：1＜a n+1（2）求证：；（3）求证：n＜s n＜n+2．45．已知数列{a n}中，，（n∈N*）．（1）求证：；（2）求证：是等差数列；（3）设，记数列{b n}的前n项和为S n，求证：．46．已知无穷数列{a n}的首项a1=，=n∈N*．（Ⅰ）证明：0＜a n＜1；（Ⅱ）记b n=，T n为数列{b n}的前n项和，证明：对任意正整数n，T n．47．已知数列{x n}满足x1=1，x n+1=2+3，求证：（I）0＜x n＜9；（II）x n＜x n+1；（III）．48．数列{a n}各项均为正数，且对任意n∈N*，满足a n+1=a n+ca n2（c＞0且为常数）．（Ⅰ）若a1，2a2，3a3依次成等比数列，求a1的值（用常数c表示）；（Ⅱ）设b n=，S n是数列{b n}的前n项和，（i）求证：；（ii）求证：S n＜S n+1＜．49．设数列满足|a n﹣|≤1，n∈N*．（Ⅰ）求证：|a n|≥2n﹣1（|a1|﹣2）（n∈N*）（Ⅱ）若|a n|≤（）n，n∈N*，证明：|a n|≤2，n∈N*．50．已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=a n+．（n∈N*）（Ⅰ）证明：≥1+；＜n+1．（Ⅱ）求证：＜a n+1高考数列压轴题参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．数列{a n}满足a1=1，a2=+，…，a n=++…+（n∈N*）（1）求a2，a3，a4，a5的值；（2）求a n与a n﹣1之间的关系式（n∈N*，n≥2）；（3）求证：（1+）（1+）…（1+）＜3（n∈N*）【解答】解：（1）a2=+=2+2=4，a3=++=3+6+6=15，a4=+++=4+4×3+4×3×2+4×3×2×1=64，a5=++++=5+20+60+120+120=325；（2）a n=++…+=n+n（n﹣1）+n（n﹣1）（n﹣2）+…+n!=n+n[（n﹣1）+（n﹣1）（n﹣2）+…+（n﹣1）!]=n+na n﹣1；（3）证明：由（2）可知=，所以（1+）（1+）…（1+）=•…==+++…+=+++…+=+++…+≤1+1+++…+=2+1﹣+﹣+…+﹣=3﹣＜3（n≥2）．所以n≥2时不等式成立，而n=1时不等式显然成立，所以原命题成立．2．已知数列{x n}满足：x1=1，x n=x n+1+ln（1+x n+1）（n∈N*），证明：当n∈N*时，（Ⅰ）0＜x n+1＜x n；（Ⅱ）2x n+1﹣x n≤；（Ⅲ）≤x n≤．【解答】解：（Ⅰ）用数学归纳法证明：x n＞0，当n=1时，x1=1＞0，成立，假设当n=k时成立，则x k＞0，那么n=k+1时，若x k+1＜0，则0＜x k=x k+1+ln（1+x k+1）＜0，矛盾，故x n+1＞0，因此x n＞0，（n∈N*）∴x n=x n+1+ln（1+x n+1）＞x n+1，因此0＜x n+1＜x n（n∈N*），（Ⅱ）由x n=x n+1+ln（1+x n+1）得x n x n+1﹣4x n+1+2x n=x n+12﹣2x n+1+（x n+1+2）ln（1+x n+1），记函数f（x）=x2﹣2x+（x+2）ln（1+x），x≥0∴f′（x）=+ln（1+x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴f（x）≥f（0）=0，因此x n+12﹣2x n+1+（x n+1+2）ln（1+x n+1）≥0，故2x n+1﹣x n≤；（Ⅲ）∵x n=x n+1+ln（1+x n+1）≤x n+1+x n+1=2x n+1，∴x n≥，由≥2x n+1﹣x n得﹣≥2（﹣）＞0，∴﹣≥2（﹣）≥…≥2n﹣1（﹣）=2n﹣2，∴x n≤，综上所述≤x n≤．3．数列{a n}中，a1=，a n+1=（n∈N*）（Ⅰ）求证：a n+1＜a n；（Ⅱ）记数列{a n}的前n项和为S n，求证：S n＜1．【解答】证明：（Ⅰ）∵＞0，且a1=＞0，∴a n＞0，∴a n+1﹣a n=﹣a n=＜0．∴a n+1＜a n；（Ⅱ）∵1﹣a n+1=1﹣=，∴=．∴，则，又a n＞0，∴．4．已知正项数列{a n}满足a n2+a n=3a2n+1+2a n+1，a1=1．（1）求a2的值；（2）证明：对任意实数n∈N*，a n≤2a n+1；（3）记数列{a n}的前n项和为S n，证明：对任意n∈N*，2﹣≤S n＜3．【解答】解：（1）a n2+a n=3a2n+1+2a n+1，a1=1，即有a12+a1=3a22+2a2=2，解得a2=（负的舍去）；（2）证明：a n2+a n=3a2n+1+2a n+1，可得a n2﹣4a2n+1+a n﹣2a n+1+a2n+1=0，即有（a n﹣2a n+1）（a n+2a n+1+1）+a2n+1=0，由于正项数列{a n}，即有a n+2a n+1+1＞0，4a2n+1＞0，则有对任意实数n∈N*，a n≤2a n+1；（3）由（1）可得对任意实数n∈N*，a n≤2a n+1；即为a1≤2a2，可得a2≥，a3≥a2≥，…，a n≥，前n项和为S n=a1+a2+…+a n≥1+++…+==2﹣，又a n2+a n=3a2n+1+2a n+1＞a2n+1+a n+1，即有（a n﹣a n+1）（a n+a n+1+1）＞0，则a n＞a n+1，数列{a n}递减，即有S n=a1+a2+…+a n＜1+1+++…+=1+=3（1﹣）＜3．则有对任意n∈N*，2﹣≤S n＜3．5．已知在数列{a n}中，．，n∈N*（1）求证：1＜a n+1＜a n＜2；（2）求证：；（3）求证：n＜s n＜n+2．【解答】证明：（1）先用数学归纳法证明1＜a n＜2．①．n=1时，②．假设n=k时成立，即1＜a k＜2．那么n=k+1时，成立．由①②知1＜a n＜2，n∈N*恒成立.．所以1＜a n+1＜a n＜2成立．（2），当n≥3时，而1＜a n＜2．所以．由，得，所以（3）由（1）1＜a n＜2得s n＞n由（2）得，6．设数列{a n}满足a n+1=a n2﹣a n+1（n∈N*），S n为{a n}的前n项和．证明：对任意n∈N*，（I）当0≤a1≤1时，0≤a n≤1；（II）当a1＞1时，a n＞（a1﹣1）a1n﹣1；（III）当a1=时，n﹣＜S n＜n．【解答】证明：（Ⅰ）用数学归纳法证明．①当n=1时，0≤a n≤1成立．②假设当n=k（k∈N*）时，0≤a k≤1，则当n=k+1时，=（）2+∈[]⊂[0，1]，由①②知，．∴当0≤a1≤1时，0≤a n≤1．（Ⅱ）由a n+1﹣a n=（）﹣a n=（a n﹣1）2≥0，知a n+1≥a n．若a1＞1，则a n＞1，（n∈N*），从而=﹣a n=a n（a n﹣1），即=a n≥a1，∴，∴当a1＞1时，a n＞（a1﹣1）a1n﹣1．（Ⅲ）当时，由（Ⅰ），0＜a n＜1（n∈N*），故S n＜n，令b n=1﹣a n（n∈N*），由（Ⅰ）（Ⅱ），b n＞b n+1＞0，（n∈N*），由，得．∴=（b1﹣b2）+（b2﹣b3）+…+（b n﹣b n+1）=b1﹣b n+1＜b1=，∵≥，∴nb n2，即，（n∈N*），∵==，∴b1+b2+…+b n[（）+（）+…+（）]=，即n﹣S n，亦即，∴当时，．7．已知数列{a n}满足a1=1，S n=2a n+1，其中S n为{a n}的前n项和（n∈N*）．（Ⅰ）求S1，S2及数列{S n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，且{b n}的前n项和为T n，求证：当n≥2时，．【解答】解：（Ⅰ）数列{a n}满足S n=2a n+1，则S n=2a n+1=2（S n+1﹣S n），即3S n=2S n+1，∴，即数列{S n}为以1为首项，以为公比的等比数列，∴S n=（）n﹣1（n∈N*）．∴S1=1，S2=；（Ⅱ）在数列{b n}中，，T n为{b n}的前n项和，则|T n|=|=．而当n≥2时，，即．8．已知数列{a n}满足a1=1，（n∈N*），（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）证明：．【解答】（Ⅰ）证明：∵①，∴②由②÷①得：，∴（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得：（n+1）a n+2=na n∴令b n=na n，则③∴b n﹣1•b n=n④由b1=a1=1，b2=2，易得b n＞0由③﹣④得：∴b1＜b3＜…＜b2n﹣1，b2＜b4＜…＜b2n，得b n≥1根据b n•b n+1=n+1得：b n+1≤n+1，∴1≤b n≤n∴==一方面：另一方面：由1≤b n≤n可知：．9．设数列{a n}的前n项的和为S n，已知a1=，a n+1=，其中n∈N*．（1）证明：a n＜2；（2）证明：a n＜a n+1；（3）证明：2n﹣≤S n≤2n﹣1+（）n．【解答】证明：（1）a n+1﹣2=﹣2=，由于+2=+1＞0，+2=2+＞0．∴a n+1﹣2与a n﹣2同号，因此与a1﹣2同号，而a1﹣2=﹣＜0，∴a n＜2．（2）a n+1﹣1=，可得：a n+1﹣1与a n﹣1同号，因此与a1﹣1同号，而a1﹣1=＞0，∴a n＞1．又a n＜2．∴1＜a n＜2．a n+1﹣a n=，可得分子＞0，分母＞0．∴a n+1﹣a n＞0，故a n＜a n+1．（3）n=1时，S1=，满足不等式．n≥2时，==，∴，即2﹣a n≥．∴2n﹣S n≥=1﹣．即S n≤2n﹣1+．另一方面：由（II）可知：．，=≤．从而可得：=≤．∴2﹣a n≤，∴2n﹣S n≤=．∴S n≥2n﹣＞2n﹣．综上可得：2n﹣≤S n≤2n﹣1+（）n．10．数列{a n}的各项均为正数，且a n+1=a n+﹣1（n∈N*），{a n}的前n项和是S n．（Ⅰ）若{a n}是递增数列，求a1的取值范围；（Ⅱ）若a1＞2，且对任意n∈N*，都有S n≥na1﹣（n﹣1），证明：S n＜2n+1．【解答】（I）解：由a2＞a1＞0⇔﹣1＞a1＞0，解得0＜a1＜2，①．又a3＞a2＞0，⇔＞a2，⇔0＜a2＜2⇔﹣1＜2，解得1＜a1＜2，②．由①②可得：1＜a1＜2．下面利用数学归纳法证明：当1＜a1＜2时，∀n∈N*，1＜a n＜2成立．（1）当n=1时，1＜a1＜2成立．（2）假设当n=k∈N*时，1＜a n＜2成立．则当n=k+1时，a k+1=a k+﹣1∈⊊（1，2），即n=k+1时，不等式成立．综上（1）（2）可得：∀n∈N*，1＜a n＜2成立．于是a n+1﹣a n=﹣1＞0，即a n+1＞a n，∴{a n}是递增数列，a1的取值范围是（1，2）．（II）证明：∵a1＞2，可用数学归纳法证明：a n＞2对∀n∈N*都成立．于是：a n+1﹣a n=﹣1＜2，即数列{a n}是递减数列．在S n≥na1﹣（n﹣1）中，令n=2，可得：2a1+﹣1=S2≥2a1﹣，解得a1≤3，因此2＜a1≤3．下证：（1）当时，S n≥na1﹣（n﹣1）恒成立．事实上，当时，由a n=a1+（a n﹣a1）≥a1+（2﹣）=．于是S n=a1+a2+…+a n≥a1+（n﹣1）=na1﹣．再证明：（2）时不合题意．事实上，当时，设a n=b n+2，可得≤1．由a n+1=a n+﹣1（n∈N*），可得：b n+1=b n+﹣1，可得=≤≤．于是数列{b n}的前n和T n≤＜3b1≤3．故S n=2n+T n＜2n+3=na1+（2﹣a1）n+3，③．令a1=+t（t＞0），由③可得：S n＜na1+（2﹣a1）n+3=na1﹣﹣tn+．只要n充分大，可得：S n＜na1﹣．这与S n≥na1﹣（n﹣1）恒成立矛盾．∴时不合题意．综上（1）（2）可得：，于是可得=≤≤．（由可得：）．故数列{b n}的前n项和T n≤＜b1＜1，∴S n=2n+T n＜2n+1．11．设a n=x n，b n=（）2，S n为数列{a n•b n}的前n项和，令f n（x）=S n﹣1，x∈R，a∈N*．（Ⅰ）若x=2，求数列{}的前n项和T n；（Ⅱ）求证：对∀n∈N*，方程f n（x）=0在x n∈[，1]上有且仅有一个根；（Ⅲ）求证：对∀p∈N*，由（Ⅱ）中x n构成的数列{x n}满足0＜x n﹣x n+p＜．【解答】解：（Ⅰ）若x=2，a n=2n，则=（2n﹣1）（）n，则T n=1×（）1+3×（）2+…+（2n﹣1）（）n，∴T n=1×（）2+3×（）3+…+（2n﹣1）（）n+1，∴T n=+2×[（）2+（）3+…+（）n]﹣（2n﹣1）（）n+1=+2×﹣（2n﹣1）（）n+1=+1﹣（）n﹣1﹣（2n﹣1）（）n+1，∴T n=3﹣（）n﹣2﹣（2n﹣1）（）n=3﹣；（Ⅱ）证明：f n（x）=﹣1+x+++…+（x∈R，n∈N+），f n′（x）=1+++…+＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．由于f1（x1）=0，当n≥2时，f n（1）=++…+＞0，即f n（1）＞0．又f n（）=﹣1++[+++…+]≤﹣+•（）i，=﹣+×=﹣•（）n﹣1＜0，根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的x n∈[，1]，满足f n（x n）=0．（Ⅲ）证明：对于任意p∈N+，由（1）中x n构成数列{x n}，当x＞0时，∵f n+1（x）=f n（x）+＞f n（x），∴f n+1（x n）＞f n（x n）=f n+1（x n+1）=0．由f n+1（x）在（0，+∞）上单调递增，可得x n+1＜x n，即x n﹣x n+1＞0，故数列{x n}为减数列，即对任意的n、p∈N+，x n﹣x n+p＞0．由于f n（x n）=﹣1+x n+++…+=0，①，f n+p（x n+p）=﹣1+x n+p+++…++[++…+]，②，用①减去②并移项，利用0＜x n+p≤1，可得x n﹣x n+p=+≤≤＜=﹣＜．综上可得，对于任意p∈N+，由（1）中x n构成数列{x n}满足0＜x n﹣x n+p＜．12．已知数列{a n}，{b n}，a0=1，，（n=0，1，2，…），，T n为数列{b n}的前n项和．求证：（Ⅰ）a n+1＜a n；（Ⅱ）；（Ⅲ）．【解答】解：证明：（Ⅰ）=，所以a n+1＜a n（Ⅱ）法一、记，则，原命题等价于证明；用数学归纳法提示：构造函数在（1，+∞）单调递增，故==+＞+×=+×（﹣）=，法二、只需证明，由，故：n=1时，，n≥2，可证：，（3）由，得=，可得：，叠加可得，，所以，13．已知数列{a n}满足：a1=，a n=a n﹣12+a n﹣1（n≥2且n∈N）．（Ⅰ）求a2，a3；并证明：2﹣≤a n≤•3；（Ⅱ）设数列{a n2}的前n项和为A n，数列{}的前n项和为B n，证明：=a n+1．【解答】解：（I）a2=a12+a1==，a3=a22+a2==．证明：∵a n=a n﹣12+a n﹣1，∴a n+=a n﹣12+a n﹣1+=（a n﹣1+）2+＞（a n﹣1+）2，∴a n+＞（a n﹣1+）2＞（a n﹣2+）4＞＞（a n﹣3+）8＞…＞（a1+）=2，∴a n＞2﹣，又∵a n﹣a n﹣1=a n﹣12＞0，∴a n＞a n﹣1＞a n﹣2＞…＞a1＞1，∴a n2＞a n，∴a n=a n﹣12+a n﹣1＜2a，∴a n＜2a＜2•22＜2•22•24＜…＜2•22•24•…•2a1=2•（）=•3．综上，2﹣≤a n≤•3．（II）证明：∵a n=a n﹣12+a n﹣1，∴a n﹣12=a n﹣a n﹣1，∴A n=a12+a22+a32+…a n2=（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n+1﹣a n）=a n+1﹣，∵a n=a n﹣12+a n﹣1=a n﹣1（a n﹣1+1），∴==，∴=，∴B n=…+=（）+（）+（﹣）+…+（）=﹣．∴==．14．已知数列{a n}的各项均为非负数，其前n项和为S n，且对任意的n∈N*，都有．（1）若a1=1，a505=2017，求a6的最大值；（2）若对任意n∈N*，都有S n≤1，求证：．【解答】解：（1）由题意知a n+1﹣a n≤a n+2﹣a n+1，设d i=a i+1﹣a i（i=1，2，…，504），则d1≤d2≤d3≤…≤d504，且d1+d2+d3+…+d504=2016，∵=，所以d1+d2+…+d5≤20，∴a6=a1+（d1+d2+…+d5）≤21．（2）证明：若存在k∈N*，使得a k＜a k+1，则由，得a k+1≤a k﹣a k+1≤a k+2，因此，从a n项开始，数列{a n}严格递增，故a1+a2+…+a n≥a k+a k+1+…+a n≥（n﹣k+1）a k，对于固定的k，当n足够大时，必有a1+a2+…+a n≥1，与题设矛盾，所以{a n}不可能递增，即只能a n﹣a n+1≥0．令b k=a k﹣a k+1，（k∈N*），由a k﹣a k+1≥a k+1﹣a k+2，得b k≥b k+1，b k＞0，故1≥a1+a2+…+a n=（b1+a2）+a2+…+a n=b1+2（b2+a3）+a3+…+a n，=…=b1+2b2+…+nb n+na n，所以，综上，对一切n∈N*，都有．15．已知数列{a n}中，a1=4，a n+1=，n∈N*，S n为{a n}的前n项和．（Ⅰ）求证：n∈N*时，a n＞a n+1；（Ⅱ）求证：n∈N*时，2≤S n﹣2n＜．【解答】证明：（I）n≥2时，作差：a n+1﹣a n=﹣=，∴a n+1﹣a n与a n﹣a n﹣1同号，由a1=4，可得a2==，可得a2﹣a1＜0，∴n∈N*时，a n＞a n+1．（II）∵2=6+a n，∴=a n﹣2，即2（a n+1﹣2）（a n+1+2）=a n﹣2，①∴a n+1﹣2与a n﹣2同号，又∵a1﹣2=2＞0，∴a n＞2．∴S n=a1+a2+…+a n≥4+2（n﹣1）=2n+2．∴S n﹣2n≥2．由①可得：=，因此a n﹣2≤（a1﹣2），即a n≤2+2×．∴S n=a1+a2+…+a n≤2n+2×＜2n+．综上可得：n∈N*时，2≤S n﹣2n＜．16．已知数列{a n}满足，a1=1，a n=﹣．（1）求证：a n≥；（2）求证：|a n+1﹣a n|≤；（3）求证：|a2n﹣a n|≤．【解答】证明：（1）∵a1=1，a n=﹣．∴a2=，a3=，a4=，猜想：≤a n≤1．下面用数学归纳法证明．（i）当n=1时，命题显然成立；（ii）假设n=k时，≤1成立，则当n=k+1时，a k+1=≤＜1．，即当n=k+1时也成立，所以对任意n∈N*，都有．（2）当n=1时，，当n≥2时，∵，∴．（3）当n=1时，|a2﹣a1|=＜；当n≥2时，|a2n﹣a n|≤|a2n﹣a2n﹣1|+|a2n﹣1﹣a2n﹣2|+…+|a n+1﹣a n|．17．设数列{a n}满足：a1=a，a n+1=（a＞0且a≠1，n∈N*）．（1）证明：当n≥2时，a n＜a n+1＜1；（2）若b∈（a2，1），求证：当整数k≥+1时，a k+1＞b．【解答】证明：（1）由a n+1=知a n与a1的符号相同，而a1=a＞0，∴a n＞0，∴a n+1=≤1，当且仅当a n=1时，a n+1=1下面用数学归纳法证明：①∵a＞0且a≠1，∴a2＜1，∴=＞1，即有a2＜a3＜1，②假设n=k时，有a k＜a k+1＜1，则a k+2==＜1且=＞1，即a k+1＜a k+2＜1即当n=k+1时不等式成立，由①②可得当n≥2时，a n＜a n+1＜1；（2）若a k≥b，由（1）知a k+1＞a k≥b，若a k＜b，∵0＜x＜1以及二项式定理可知（1+x）n=1+C n1x+…+C n n x n≥nx，而a k2+1＜b2+1＜b+1，且a2＜a3＜…＜a k＜b＜1∴a k+1=a2••…，=a2•＞a2•（）k﹣1＞a2•（）k﹣1=a2•（1+）k﹣1，≥a2•[1+（k﹣1）]，∵k≥+1，∴1+（k﹣1）≥+1=，∴a k+1＞b．18．设a＞3，数列{a n}中，a1=a，a n+1=，n∈N*．（Ⅰ）求证：a n＞3，且＜1；（Ⅱ）当a≤4时，证明：a n≤3+．【解答】证明：（I）∵a n+1﹣3=﹣3=．=﹣=，∴（）=＞0，∴与同号，又a＞3，∴=a﹣＞0，∴＞0，∴a n+1﹣3＞0，即a n＞3（n=1时也成立）．∴==＜1．综上可得：a n＞3，且＜1；（Ⅱ）当a≤4时，∵a n+1﹣3=﹣3=．∴=，由（I）可知：3＜a n≤a1=a≤4，∴3＜a n≤4．设a n﹣3=t∈（0，1]．∴==≤，∴•…•≤，∴a n﹣3≤（a1﹣3）×≤，∴a n≤3+．19．已知数列{a n}满足a n＞0，a1=2，且（n+1）a n+12=na n2+a n（n∈N*）．（Ⅰ）证明：a n＞1；（Ⅱ）证明：++…+＜（n≥2）．【解答】证明：（Ⅰ）由题意得（n+1）a n+12﹣（n+1）=na n2﹣n+a n﹣1，∴（n+1）（a n+1+1）（a n+1﹣1）=（a n﹣1）（na n+n+1），由a n＞0，n∈N*，∴（n+1）（a n+1+1）＞0，na n+n+1＞0，∴a n+1﹣1与a n﹣1同号，∵a1﹣1=1＞0，∴a n＞1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故（n+1）a n+12=na n2+a n＜（n+1）a n2，∴a n+1＜a n，1＜a n≤2，又由题意可得a n=（n+1）a n+12﹣na n2，∴a1=2a22﹣a12，a2=3a32﹣2a22，…，a n=（n+1）a n+12﹣na n2，相加可得a1+a2+…+a n=（n+1）a n+12﹣4＜2n，∴a n+12≤，即a n2≤，n≥2，∴≤2（+）≤2（﹣）+（﹣+），n≥2，当n=2时，=＜，当n=3时，+≤＜＜，当n≥4时，++…+＜2（+++）+（++﹣）=1+++++＜，从而，原命题得证20．已知数列{a n}满足：．（1）求证：；（2）求证：．【解答】证明：（1）由，所以，因为，所以a n+2＜a n+1＜2．（2）假设存在，由（1）可得当n＞N时，a n≤a N+1＜1，根据，而a n＜1，所以．于是，…．累加可得（*）由（1）可得a N+n﹣1＜0，而当时，显然有，因此有，这显然与（*）矛盾，所以．21．已知数列{a n}满足a1=1，且a n+12+a n2=2（a n+1a n+a n+1﹣a n﹣）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：++…+＜；（3）记S n=++…+，证明：对于一切n≥2，都有S n2＞2（++…+）．【解答】解：（1）a1=1，且a n+12+a n2=2（a n+1a n+a n+1﹣a n﹣），可得a n+12+a n2﹣2a n+1a n﹣2a n+1+2a n+1=0，即有（a n+1﹣a n）2﹣2（a n+1﹣a n）+1=0，即为（a n+1﹣a n﹣1）2=0，可得a n+1﹣a n=1，则a n=a1+n﹣1=n，n∈N*；（2）证明：由=＜=﹣，n≥2．则++…+=1+++…+＜1++﹣+﹣+…+﹣=﹣＜，故原不等式成立；（3）证明：S n=++…+=1++…+，当n=2时，S22=（1+）2=＞2•=成立；假设n=k≥2，都有S k2＞2（++…+）．则n=k+1时，S k+12=（S k+）2，S k+12﹣2（++…++）=（S k+）2﹣2（++…+）﹣2•=S k2﹣2（++…+）++2•﹣2•=S k2﹣2（++…+）+，由k＞1可得＞0，且S k2＞2（++…+）．可得S k2﹣2（++…+）＞0，则S k+12＞2（++…++）恒成立．综上可得，对于一切n≥2，都有S n2＞2（++…+）．22．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，n∈N*．（1）求证：≤a n≤1；（2）求证：|a2n﹣a n|≤．【解答】证明：（1）用数学归纳法证明：①当n=1时，=，成立；②假设当n=k时，有成立，则当n=k+1时，≤≤1，≥=，∴当n=k+1时，，命题也成立．由①②得≤a n≤1．（2）当n=1时，|a2﹣a1|=，当n≥2时，∵（）（）=（）=1+=，∴|a n+1﹣a n|=||=≤|a n﹣a n﹣1|＜…＜（）n﹣1|a2﹣a1|=，∴|a2n﹣a2n﹣1|≤|a2n﹣a2n﹣1|+|a2n﹣1﹣a2n﹣2|+…+|a n+1﹣a n|≤==（）n﹣1﹣（）2n﹣1≤，综上：|a2n﹣a n|≤．23．已知数列{a n]的前n项和记为S n，且满足S n=2a n﹣n，n∈N*（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：+…（n∈N*）【解答】解：（Ⅰ）∵S n=2a n﹣n（n∈N+），∴S n﹣1=2a n﹣1﹣n+1=0（n≥2），两式相减得：a n=2a n﹣1+1，变形可得：a n+1=2（a n﹣1+1），又∵a1=2a1﹣1，即a1=1，∴数列{a n+1}是首项为2、公比为2的等比数列，∴a n+1=2•2n﹣1=2n，a n=2n﹣1．（Ⅱ）由，（k=1，2，…n），∴=，由=﹣，（k=1，2，…n），得﹣=，综上，+…（n∈N*）．24．已知数列{a n}满足：a1=，a n+1=+a n（n∈N*）．（1）求证：a n+1＞a n；（2）求证：a2017＜1；（3）若a k＞1，求正整数k的最小值．【解答】（1）证明：a n+1﹣a n=≥0，可得a n+1≥a n．∵a1=，∴a n．∴a n+1﹣a n=＞0，∴a n+1＞a n．（II）证明：由已知==，∴=﹣，由=，=，…，=，累加求和可得：=++…+，当k=2017时，由（I）可得：=a1＜a2＜…＜a2016．∴﹣=++…+＜＜1，∴a2017＜1．（III）解：由（II）可得：可得：=a1＜a2＜…＜a2016＜a2017＜1．∴﹣=++…+＞2017×=1，∴a2017＜1＜a2018，又∵a n+1＞a n．∴k的最小值为2018．25．已知数列{a n}满足：a n2﹣a n﹣a n+1+1=0，a1=2（1）求a2，a3；（2）证明数列为递增数列；（3）求证：＜1．【解答】（1）解：∵a1=2，，∴a2=22﹣2+1=3，同理可得：a3=7．（2）证明：，对n∈N*恒成立，∴a n+1＞a n．（3）证明：故=．26．已知数列{a n}满足：a1=1，（n∈N*）（Ⅰ）求证：a n≥1；（Ⅱ）证明：≥1+（Ⅲ）求证：＜a n+1＜n+1．【解答】证明：（I）数列{a n}满足：a1=1，（n∈N*），可得：，⇒a n+1≥a n≥a n﹣1≥…≥a1=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：；（Ⅲ），由（Ⅱ）得：，所以，累加得：，另一方面由a n≤n可得：原式变形为，所以：，累加得．27．在正项数列{a n}中，已知a1=1，且满足a n+1=2a n（n∈N*）（Ⅰ）求a2，a3；（Ⅱ）证明．a n≥．【解答】解：（Ⅰ）∵在正项数列{a n}中，a1=1，且满足a n+1=2a n（n∈N*），∴=，=．证明：（Ⅱ）①当n=1时，由已知，成立；②假设当n=k时，不等式成立，即，∵f（x）=2x﹣在（0，+∞）上是增函数，∴≥=（）k+（）k﹣=（）k+=（）k+，∵k≥1，∴2×（）k﹣3﹣3=0，∴，即当n=k+1时，不等式也成立．根据①②知不等式对任何n∈N*都成立．28．设数列{a n}满足．（1）证明：；（2）证明：．【解答】（本题满分15分）证明：（I）易知a n＞0，所以a n+1＞a n+＞a n，所以a k+1=a k+＜a k+，所以．所以，当n≥2时，=，所以a n＜1．又，所以a n＜1（n∈N*），所以a n＜a n+1＜1（n∈N*）．…（8分）（II）当n=1时，显然成立．由a n＜1，知，所以，所以，所以，所以，当n≥2时，=，即．所以（n∈N*）．…（7分）29．已知数列{a n}满足a1=2，a n+1=2（S n+n+1）（n∈N*），令b n=a n+1．（Ⅰ）求证：{b n}是等比数列；（Ⅱ）记数列{nb n}的前n项和为T n，求T n；（Ⅲ）求证：﹣＜+…+．【解答】（I）证明：a1=2，a n+1=2（S n+n+1）（n∈N*），∴a2=2×（2+1+1）=8．n≥2时，a n=2（S n﹣1+n），相减可得：a n+1=3a n+2，变形为：a n+1+1=3（a n+1），n=1时也成立．令b n=a n+1，则b n+1=3b n．∴{b n}是等比数列，首项为3，公比为3．（II）解：由（I）可得：b n=3n．∴数列{nb n}的前n项和T n=3+2×32+3×33+…+n•3n，3T n=32+2×33+…+（n﹣1）•3n+n•3n+1，∴﹣2T n=3+32+…+3n﹣n•3n+1=﹣n•3n+1=×3n+1﹣，解得T n=+．（III）证明：∵b n=3n=a n+1，解得a n=3n﹣1．由=．∴+…+＞…+==，因此左边不等式成立．又由==＜=，可得+…+＜++…+=＜．因此右边不等式成立．综上可得：﹣＜+…+．30．已知数列{a n}中，a1=3，2a n+1=a n2﹣2a n+4．（Ⅰ）证明：a n+1＞a n；（Ⅱ）证明：a n≥2+（）n﹣1；（Ⅲ）设数列{}的前n项和为S n，求证：1﹣（）n≤S n＜1．【解答】证明：（I）a n+1﹣a n=﹣a n=≥0，∴a n+1≥a n≥3，∴（a n﹣2）2＞0∴a n+1﹣a n＞0，即a n+1＞a n；（II）∵2a n+1﹣4=a n2﹣2a n=a n（a n﹣2）∴=≥，∴a n﹣2≥（a n﹣1﹣2）≥（）2（a n﹣2﹣2）≥（）3（a n﹣3﹣2）≥…≥（）n﹣1（a1﹣2）=（）n﹣1，∴a n≥2+（）n﹣1；（Ⅲ）∵2（a n+1﹣2）=a n（a n﹣2），∴==（﹣）∴=﹣，∴=﹣+，∴S n=++…+=﹣+﹣+…+﹣=﹣=1﹣，∵a n+1﹣2≥（）n，∴0＜≤（）n，∴1﹣（）n≤S n=1﹣＜1．31．已知数列{a n}满足a1=，a n+1=，n∈N*．（1）求a2；（2）求{}的通项公式；（3）设{a n}的前n项和为S n，求证：（1﹣（）n）≤S n＜．【解答】（1）解：∵a1=，a，n∈N+．∴a2==．（2）解：∵a1=，a，n∈N+．∴=﹣，化为：﹣1=，∴数列是等比数列，首项与公比都为．∴﹣1=，解得=1+．（3）证明：一方面：由（2）可得：a n=≥=．∴S n≥+…+==，因此不等式左边成立．另一方面：a n==，∴S n≤+++…+=×＜×3＜（n≥3）．又n=1，2时也成立，因此不等式右边成立．综上可得：（1﹣（）n）≤S n＜．32．数列{a n}中，a1=1，a n=．（1）证明：a n＜a n+1；（2）证明：a n a n+1≥2n+1；（3）设b n=，证明：2＜b n＜（n≥2）．【解答】证明：（1）数列{a n}中，a1=1，a n=．可得a n＞0，a n2=a n a n+1﹣2，可得a n+1=a n+＞a n，即a n＜a n+1；（2）由（1）可得a n a n﹣1＜a n2=a n a n+1﹣2，可得a n a n+1﹣a n a n﹣1＞2，n=1时，a n a n+1=a12+2=3，2n+1=3，则原不等式成立；n≥2时，a n a n+1＞3+2（n﹣1）=2n+1，综上可得，a n a n+1≥2n+1；（3）b n=，要证2＜b n＜（n≥2），即证2＜a n＜，只要证4n＜a n2＜5n，由a n+1=a n+，可得a n+12=a n2+4+，且a2=3，a n+12﹣a n2=4+＞4，且4+＜4+=4+=，即有a n+12﹣a n2∈（4，），由n=2，3，…，累加可得a n2﹣a22∈（4（n﹣2），），即有a n2∈（4n+1，）⊆（4n，5n），故2＜b n＜（n≥2）．33．已知数列{a n}满足，（1）若数列{a n}是常数列，求m的值；（2）当m＞1时，求证：a n＜a n+1；（3）求最大的正数m，使得a n＜4对一切整数n恒成立，并证明你的结论．【解答】解：（1）若数列{a n}是常数列，则，得．显然，当时，有a n=1．…（3分）（2）由条件得，得a2＞a1．…（5分）又因为，，两式相减得．…（7分）显然有a n＞0，所以a n+2﹣a n+1与a n+1﹣a n同号，而a2﹣a1＞0，所以a n+1﹣a n＞0，从而有a n＜a n+1．…（9分）（3）因为，…（10分）所以a n=a1+（a2﹣a1）+…+（a n﹣a n﹣1）≥1+（n﹣1）（m﹣2）．这说明，当m＞2时，a n越来越大，显然不可能满足a n＜4．所以要使得a n＜4对一切整数n恒成立，只可能m≤2．…（12分）下面证明当m=2时，a n＜4恒成立．用数学归纳法证明：当n=1时，a1=1显然成立．假设当n=k时成立，即a k＜4，则当n=k+1时，成立．由上可知a n＜4对一切正整数n恒成立．因此，正数m的最大值是2．…（15分）34．已知数列{a n}满足：，p＞1，．（1）证明：a n＞a n+1＞1；（2）证明：；（3）证明：．【解答】证明：（1）先用数学归纳法证明a n＞1．①当n=1时，∵p＞1，∴；②假设当n=k时，a k＞1，则当n=k+1时，．由①②可知a n＞1．再证a n＞a n+1．，令f（x）=x﹣1﹣xlnx，x＞1，则f'（x）=﹣lnx＜0，所以f（x）在（1，+∞）上单调递减，所以f（x）＜f（1）=0，所以，即a n＞a n+1．（2）要证，只需证，只需证其中a n＞1，先证，令f（x）=2xlnx﹣x2+1，x＞1，只需证f（x）＜0．因为f'（x）=2lnx+2﹣2x＜2（x﹣1）+2﹣2x=0，所以f（x）在（1，+∞）上单调递减，所以f（x）＜f（1）=0．再证（a n+1）lna n﹣2a n+2＞0，令g（x）=（x+1）lnx﹣2x+2，x＞1，只需证g（x）＞0，，令，x＞1，则，所以h（x）在（1，+∞）上单调递增，所以h（x）＞h（1）=0，从而g'（x）＞0，所以g（x）在（1，+∞）上单调递增，所以g（x）＞g（1）=0，综上可得．（3）由（2）知，一方面，，由迭代可得，因为lnx≤x﹣1，所以，所以ln（a1a2…a n）=lna1+lna2+…+lna n=；另一方面，即，由迭代可得．因为，所以，所以=；综上，．35．数列{a n}满足a1=，a n+1﹣a n+a n a n+1=0（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：a1+a1a2+a1a2a3+…+a1a2…a n＜1．【解答】解（Ⅰ）：由已知可得数列{a n}各项非零．否则，若有a k=0结合a k﹣a k﹣1+a k a k﹣1=0⇒a k﹣1=0，继而⇒a k﹣1=0⇒a k﹣2=0⇒…⇒a1=0，与已知矛盾．所以由a n+1﹣a n+a n a n+1=0可得．即数列是公差为1的等差数列．所以．所以数列{a n}的通项公式是（n∈N*）．（Ⅱ）证明一：因为．所以a1+a1a2+a1a2a3+…+a1a2…a n=．所以a1+a1a2+a1a2a3+…+a1a2…a n＜1．证明二：a1+a1a2+a1a2a3+…+a1a2…a n===．所以a1+a1a2+a1a2a3+…+a1a2…a n＜1．36．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n2+p．（1）若数列{a n}就常数列，求p的值；（2）当p＞1时，求证：a n＜a n+1；（3）求最大的正数p，使得a n＜2对一切整数n恒成立，并证明你的结论．【解答】解：（1）若数列{a n}是常数列，则，；显然，当时，有a n=1（2）由条件得得a2＞a1，又因为，两式相减得显然有a n＞0，所以a n+2﹣a n+1与a n+1﹣a n同号，而a2﹣a1＞0，所以a n+1﹣a n＞0；从而有a n＜a n+1．（3）因为，所以a n=a1+（a2﹣a1）+…（a n﹣a n﹣1）＞1+（n﹣1）（p﹣1），这说明，当p＞1时，a n越来越大，不满足a n＜2，所以要使得a n＜2对一切整数n恒成立，只可能p≤1，下面证明当p=1时，a n＜2恒成立；用数学归纳法证明：当n=1时，a1=1显然成立；假设当n=k时成立，即a k＜2，则当n=k+1时，成立，由上可知对一切正整数n恒成立，因此，正数p的最大值是137．已知数列{a n}满足a1=a＞4，，（n∈N*）（1）求证：a n＞4；（2）判断数列{a n}的单调性；（3）设S n为数列{a n}的前n项和，求证：当a=6时，．【解答】（1）证明：利用数学归纳法证明：①当n=1时，a1=a＞4，成立．②假设当n=k≥2时，a k＞4，．则a k+1=＞=4．∴n=k+1时也成立．综上①②可得：∀n∈N*，a n＞4．（2）解：∵，（n∈N*）．∴﹣=﹣2a n﹣8=﹣9＞（4﹣1）2﹣9=0，∴a n＞a n+1．∴数列{a n}单调递减．（3）证明：由（2）可知：数列{a n}单调递减．一方面S n＞a1+4（n﹣1）=4n+2．另一方面：=＜，∴a n﹣4＜，∴S n﹣4n＜＜．即S n＜4n+．∴当a=6时，．38．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=．（Ⅰ）求证：a n+1＜a n；（Ⅱ）求证：≤a n≤．【解答】解：（Ⅰ）证明：由a1=1，a n+1=，得a n＞0，（n∈N），则a n+1﹣a n=﹣a n=＜0，∴a n+1＜a n；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知0＜a n＜1，又a n+1=．，∴=≥，即a n+1＞a n，∴a n＞a n﹣1≥（）2a n﹣1≥…≥（）2a n﹣1≥（）n﹣1a1=，即a n≥．由a n+1=，则=a n+，∴﹣=a n，∴﹣=a1=1，﹣=a2=，﹣=a3=（）2…﹣=a n﹣1≥（）n﹣2，累加得﹣=1++（）2+…+（）n﹣2==2﹣（）n﹣2，而a1=1，∴≥3﹣（）n﹣2==，∴a n≤．综上得≤a n≤．39．已知数列{a n}满足：a1=1，．（1）若b=1，证明：数列是等差数列；（2）若b=﹣1，判断数列{a2n﹣1}的单调性并说明理由；（3）若b=﹣1，求证：．【解答】解：（1）证明：当b=1，a n+1=+1，∴（a n+1﹣1）2=（a n﹣1）2+2，即（a n+1﹣1）2﹣（a n﹣1）2=2，∴（a n﹣1）2﹣（a n﹣1﹣1）2=2，∴数列{（a n﹣1）2}是0为首项、以2为公差的等差数列；（2）当b=﹣1，a n+1=﹣1，数列{a2n﹣1}单调递减．可令a n+1→a n，可得1+a n=，可得a n→，即有a n＜（n=2，3，…），再令f（x）=﹣1，可得在（﹣∞，1]上递减，可得{a2n﹣1}单调递减．（3）运用数学归纳法证明，当n=1时，a1=1＜成立；设n=k时，a1+a3+…+22k﹣1＜，当n=k+1时，a1+a3+…+a2k﹣1+a2k+1＜+=，综上可得，成立．40．已知数列{a n}满足，（n=1，2，3…），，S n=b1+b2+…+b n．证明：（Ⅰ）a n﹣1＜a n＜1（n≥1）；（Ⅱ）（n≥2）．【解答】证明：（Ⅰ）由得：（*）显然a n＞0，（*）式⇒故1﹣a n与1﹣a n﹣1同号，又，所以1﹣a n＞0，即a n＜1…（3分）（注意：也可以用数学归纳法证明）所以a n﹣1﹣a n=（2a n+1）（a n﹣1）＜0，即a n﹣1＜a n所以a n﹣1＜a n＜1（n≥1）…（6分）（Ⅱ）（*）式⇒，由0＜a n﹣1＜a n＜1⇒a n﹣1﹣a n+1＞0，从而b n=a n﹣1﹣a n+1＞0，于是，S n=b1+b2+…+b n＞0，…（9分）由（Ⅰ）有1﹣a n﹣1=2（1+a n）（1﹣a n）⇒，所以（**）…（11分）所以S n=b1+b2+…+b n=（a0﹣a1+1）+（a1﹣a2+1）+…（a n﹣1﹣a n+1）=…（12分）=…（14分）∴（n≥2）成立…（15分）41．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，n∈N*，记S，T n分别是数列{a n}，{a}的前n项和，证明：当n∈N*时，（1）a n+1＜a n；（2）T n=﹣2n﹣1；（3）﹣1＜S n．【解答】解：（1）由a1=1，a n+1=，n∈N*，知a n＞0，故a n+1﹣a n=﹣a n=＜0，因此a n+1＜a n；（2）由a n+1=，取倒数得：=+a n，平方得：=+a n2+2，从而﹣﹣2=a n2，由﹣﹣2=a12，﹣﹣2=a22，…，﹣﹣2=a n2，累加得﹣﹣2n=a12+a22+…+a n2，即T n=﹣2n﹣1；（3）由（2）知：﹣=a n，可得﹣=a1，﹣=a2，…，﹣=a n，由累加得﹣=a1+a2+…+a n=S n，又因为=a12+a22+…+a n2+2n+1＞2n+2，所以＞，S n=a n+a n﹣1+…+a1=﹣＞﹣1＞﹣1；又由＞，即＞，得当n＞1时，a n＜=＜=（﹣），累加得S n＜a1+[（﹣1）+（﹣）+…+（﹣）]=1+（﹣1）＜，当n=1时，S n成立．因此﹣1＜S n．42．已知数列{a n}满足a1=3，a n+1=a n2+2a n，n∈N*，设b n=log2（a n+1）．（I）求{a n}的通项公式；（II）求证：1+++…+＜n（n≥2）；（III）若=b n，求证：2≤＜3．【解答】解：（I）由，则，由a1=3，则a n＞0，两边取对数得到，即b n+1=2b n（2分）又b1=log2（a1+1）=2≠0，∴{b n}是以2为公比的等比数列．即（3分）又∵b n=log2（a n+1），∴（4分）（2）用数学归纳法证明：1o当n=2时，左边为=右边，此时不等式成立；（5分）2o假设当n=k≥2时，不等式成立，则当n=k+1时，左边=（6分）＜k+1=右边∴当n=k+1时，不等式成立．综上可得：对一切n∈N*，n≥2，命题成立．（9分）（3）证明：由得c n=n，∴，。

高考数列压轴题1、已知函数3()log ()f x ax b =+的图象经过点)1,2(A 和)2,5(B ，记()*3,.f n n a n N =∈ （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设n n n nn b b b T a b +++==Λ21,2，若)(Z m m T n ∈<，求m 的最小值； （3）求使不等式12)11()11)(11(21+≥+++n p a a a nΛ对一切*N n ∈均成立的最大实数p .2、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对一切*n N ∈，点,n S n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭都在函数()2n a f x x x=+ 的图象上．（Ⅰ）求123,,a a a 的值，猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明；（Ⅱ）将数列{}n a 依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（1a ），（2a ，3a ），（4a ，5a ，6a ），（7a ，8a ，9a ，10a ）；（11a ），（12a ，13a ），(14a ，15a ，16a ），（17a ，18a ，19a ，20a ）；（21a ），…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{}n b ，求5100b b +的值；（Ⅲ）设n A 为数列1n n a a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项积，是否存在实数a ，使得不等式3()2n a A f a a+-对一切*n N ∈都成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由3、已知点列()0,n n x A 满足：1110-=•+a A A A A n n ，其中N n ∈，又已知10-=x ，111>=a x ，.(1)若()()*+∈=N n x f x n n 1，求()x f 的表达式；(2)已知点B ()0a ，，记()*∈=N n BA a n n ，且n n a a <+1成立，试求a 的取值范围；(3)设（2）中的数列{}n a 的前n 项和为n S ，试求：aa S n --<21 。

高考数列压轴题选讲1、已知函数3()log ()f x ax b =+的图象经过点)1,2(A 和)2,5(B ，记()*3,.f n n a n N =∈（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设n n nn n b b b T a b +++==21,2，若)(Z m m T n ∈<，求m 的最小值；（3）求使不等式12)11()11)(11(21+≥+++n p a a a n对一切*N n ∈均成立的最大实数p .解：（1）由题意得⎩⎨⎧=+=+2)5(log 1)2(log 33b a b a ，解得⎩⎨⎧-==12b a ，)12(log )(3-=∴x x f *)12(log ,1233N n n a n n ∈-==-（2）由（1）得nn n b 212-=， nn n n n T 2122322523211321-+-++++=∴- ①2311113252321222222n n nn n n n T -+---=+++++②①-②得12311112222212222222n n nn n T -+-=+++++-1122111111121()222222n n n n --+-=+++++- 112122123+----=n n n .nnn n n n T 23232122132+-=---=∴-，设*,232)(N n n n f n∈+=，则由1512132121)32(252232252)()1(1<+≤++=++=++=++n n n n n n f n f nn 得*,232)(N n n n f n∈+=随n 的增大而减小+∞→∴n 当时，3→n T又)(Z m m T n ∈<恒成立，3min =∴m （3）由题意得*21)11()11)(11(121Nn a a a n p n∈++++≤对 恒成立记)11()11)(11(121)(21na a a n n F ++++=，则1)1(4)1(2)32)(12(22)11()11)(11(121)11)(11()11)(11(321)()1(221121-++=+++=+++++++++=++n n n n n a a a n a a a a n n F n F nn n1)1(2)1(2=++>n n)(),()1(,0)(n F n F n F n F 即>+∴> 是随n 的增大而增大)(n F 的最小值为332)1(=F ，332≤∴p ，即332max =p .2、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对一切*n N ∈，点,n S n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭都在函数()2n a f x x x=+的图象上．（Ⅰ）求123,,a a a 的值，猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明；（Ⅱ）将数列{}n a 依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（1a ），（2a ，3a ），（4a ，5a ，6a ），（7a ，8a ，9a ，10a ）；（11a ），（12a ，13a ），(14a ，15a ，16a ），（17a ，18a ，19a ，20a ）；（21a ），…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{}n b ，求5100b b +的值； （Ⅲ）设n A 为数列1n n a a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项积，是否存在实数a，使得不等式3()2n a A f a a+-对一切*n N ∈都成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：（Ⅰ）因为点,n S n n ⎛⎫⎪⎝⎭在函数()2n a f x x x =+的图象上， 故2n n S a n nn=+，所以212n n S n a =+．令1n =，得11112a a =+，所以12a =；令2n =，得122142a a a +=+，所以24a =； 令3n =，得1233192a a a a ++=+，所以36a =．由此猜想：2n a n =．用数学归纳法证明如下：① 当1n =时，有上面的求解知，猜想成立． ② 假设 (1)n k k =≥时猜想成立，即2k a k =成立， 则当1n k =+时，注意到212n n S n a =+*()n N ∈， 故2111(1)2k k S k a ++=++，212k k S k a =+．两式相减，得11112122k k k a k a a ++=++-，所以142k k a k a +=+-．由归纳假设得，2k a k =，故1424222(1)k k a k a k k k +=+-=+-=+． 这说明1n k =+时，猜想也成立．由①②知，对一切*n N ∈，2n a n =成立 ．（Ⅱ）因为2n a n =（*n N ∈），所以数列{}n a 依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…. 每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号， 故 100b 是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20. 同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20. 故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80. 注意到第一组中第4个括号内各数之和是68， 所以 1006824801988b =+⨯=．又5b =22，所以5100b b +=2010. （Ⅲ）因为111n nna a a -=-，故12111111n n A a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⋅⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，所以12111111n A a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⋅⋅- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又333()2222n n n a a a f a a a aaaa++-=+-=-，故3()2n n a A f a a+<-对一切*n N ∈都成立，就是1211131112n a a a a a⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅-<-⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭对一切*n N ∈都成立．设12111()111n g n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⋅⋅- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ m ax 3[()]2g n a a<-即可．由于1(1)1211()22n g n n g n a n +⎛⎫++=-=⎪+⎝⎭1=<，所以(1)()g n g n +<，故()g n是单调递减，于是m ax [()](1)2g n g ==．322a a<-，即0a>，解得02a -<<，或a >综上所述，使得所给不等式对一切*n N ∈都成立的实数a 存在，a 的取值范围是(0))2-+∞ ．3、已知点列()0,n n x A 满足：1110-=∙+a A A A A n n ，其中N n ∈，又已知10-=x ，111>=a x ，.(1)若()()*+∈=Nn x f x n n 1，求()x f 的表达式；(2)已知点B ()0a ，，记()*∈=N n BA a n n ，且n n a a<+1成立，试求a 的取值范围；(3)设（2）中的数列{}n a 的前n 项和为n S ，试求：aa S n --<21 。

欧阳道创编 2021.03.06高考压轴题瓶颈系列之时间：2021.03.06创作：欧阳道——浙江卷数列【见证高考卷之特仑苏】1. 【2014年.浙江卷.理19】（本题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b ()()*∈=N n a a a nb n 221 .若{}na 为等比数列，且.6,2231b b a +==(Ⅰ)求n a 与n b ； (Ⅱ)设()*∈-=N n b a c nn n 11。

记数列{}n c 的前n 项和为n S .（i ）求n S ；（ii ）求正整数k ，使得对任意*∈N n ，均有n k S S ≥．2. 【2011年.浙江卷.理19】（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项1a a = (a R ∈),设数列的前n 项和为n S ，且11a ，21a ，41a 成等比数列（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及n S （Ⅱ）记1231111...n nA S S S S =++++，212221111...nn B a a a a =++++，当2n ≥时，试比较n A 与n B 的大3. 【2008年.浙江卷.理22】（本题14分）已知数列{}n a ，0≥n a ，01=a ，22111()n n n a a a n N •+++-=∈．nn a a a S +++= 21)1()1)(1(1)1)(1(11121211n n a a a a a a T +++++++++=．求证：当•∈N n 时，（Ⅰ）1+<n n a a ；（Ⅱ）2->n S n ；（Ⅲ）3<n T 。

4. 【2007年.浙江卷.理21】（本题15分）已知数列{}n a 中的相邻两项21,2k ka a -是关于x 的方程2(32)320kkx k x k -++=的两个根，且212(1,2,3,)k k a a k -≤=（Ⅰ）求1,357,,a a a a ；（Ⅱ）求数列{}n a 的前2n 项的和2nS ；（Ⅲ）记1|sin |()(3)2sin n f n n =+，(2)(3)(4)(1)123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n n T a a a a a a a a +-----=++++求证：*15()624n T n N ≤≤∈5. （2015年浙江卷第20题）2*111,()2n n n a a a a n N +==-∈（1）求证：112nn a a +≤≤ （2）设数列2{}n a 的前n 项和为n S ，证明：*11()2(2)2(1)n S n N n n n ≤≤∈++6.【2016（I（II【例题讲解之伊利奶粉】例1．（浙江省新高考研究联盟2017足a1=3，（I （II +1b - （III ，求证：2≤(n c c+ 例2．（浙江省温州中学2017届高三3例3．（浙江省温州市十校联合体2017(1)m 的值； （2（3n 恒成立，并证明你的结论。

1.数列{n b }满足1b =1，1+n b =2n b +1，若数列{n a }满足1a =1， n a =n b （11b +21b + (1)1-n b ）（n ≥2且n *N ∈）. （1）求2b ，n b b b 及43,. （2）证明：)2(1*11N n n b b a a n nn n ∈≥=+++且 （3）证明：)(310)11)......(11)(11(*21N n a a a n ∈<+++2.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11,6,1321===a a a ，且,3,2,1,)25()85(1=+=+--+n B An S n S n n n ，其中A.B 为常数⑴求A 与B 的值；⑵证明：数列{}n a 为等差数列；⑶证明：不等式15>-n m mn a a a 对任何正整数n m ,都成立3.设数列}{n a 、}{n b 、}{n c 满足：2+-=n n n a a b ，2132++++=n n n n a a a c （n =1,2,3,…），证明}{n a 为等差数列的充分必要条件是}{n c 为等差数列且1+≤n n b b （n =1,2,3,…）4.已知｛a n｝是等差数列，｛b n｝是公比为q的等比数列，a1=b1，a2=b2≠a1，记S n为数列｛b n｝的前n项和。

（1）若b k=a m（m，k是大于2的正整数），求证：S k-1=（m－1）a1；（2）若b3=a i（i是某个正整数），求证：q是整数，且数列｛b n｝中每一项都是数列｛a n｝中的项；（3）是否存在这样的正数q，使等比数列｛b n｝中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；5. 已知数列{n a }满足：}(-1)32{a ,,)1-(,n n *11+∈+==+且N n s a a a n n n 是等比数列. （1）求a 的值； （2）求出通项公式n a ； （3）求证：231......11243<+++n a a a .6.数列{}n x 满足:2*110,()n n n x x x x c n N +==-++∈(I)证明:数列{}n x 是单调递减数列的充分必要条件是0c < (II)求c 的取值范围,使数列{}n x 是单调递增数列.2.（Ⅰ）由已知，得111==a S ，7212=+=a a S ，183213=++=a a a S 由B An S n S n n n +=+--+)25()85(1，知⎩⎨⎧+=-+=--B A S S B A S S 2122732312，即⎩⎨⎧-+-=+48228B A B A 解得8,20-=-=B A .(Ⅱ) 由（Ⅰ）得820)25()85(1--=+--+n S n S n n n ① 所以 2820)75()35(12--=+--++n S n S n n n ② ②-①得 20)25()110()35(12-=++---++n n n S n S n S n ③ 所以 20)75()910()25(123-=+++-++++n n n S n S n S n ④ ④-③得 )25()615()615()25(123=+-+++-++++n n n n S n S n S n S n因为 n n n S S a -=++11所以 0)75()410()25(123=+++-++++n n n a n a n a n 因为 0)25(≠+n所以 02123=+-+++n n n a a a所以 1223++++-=-n n n n a a a a ，1≥n 又 51223=-=-a a a a 所以数列}{n a 为等差数列（Ⅲ）由(Ⅱ) 可知，45)1(51-=-+=n n a n ， 要证15>-n m mn a a a只要证 n m n m mn a a a a a 215++>， 因为 45-=mn a mn ，16)(2025)45)(45(++-=--=n m mn n m a a n m ，故只要证 >-)45(5mn n m a a n m mn 216)(20251+++-+，即只要证 n m a a n m 2372020>-+，因为 372020)291515(8558552-+=-++-+<-+=+≤n m n m n m n m a a a a n m n m 所以命题得证3.证明：必要性. 设}{n a 是公差为d 1的等差数列，则0)()()()(112312311=-=---=---=-+++++++d d a a a a a a a a b b n n n n n n n n n n 所以 ,3,2,1(1=≤+n b b n n ）成立.又)(3)(2)(231211++++++-+-+-=-n n n n n n n n a a a a a a c c 1111632d d d d =++=（常数）（n =1，2，3，…），所以数列}{n c 为等差数列.充分性，设数列}{n c 是公差d 2的等差数列，且1b b n ≤（n =1，2，3，…）. 证法一：①－②得)(3)(2)(423122++++++-+-+-=-n n n n n n n n a a a a a a c c,3221++++=n n n b b b ，221122)()(d c c c c c c n n n n n n -=-+-=-++++ 221232d b b b n n n -=++∴++， ③从而有.2322321d b b b n n n -=+++++ ④④－③得.0)(3)(2)(23121=-+-+-+++++n n n n n n b b b b b b ⑤ 0,0,023121≥-≥-≥-+++++n n n n n n b b b b b b ， ∴由⑤得).,3,2,1(01 ==-+n b b n n由此 不妨设323),,3,2,1(d a a n d b n n n =-==+则 （常数）. 由此312132432d a a a a a c n n n n n n -+=++=+++， 从而313211524324d a a d a a c n n n n n -+=-+=++++， 两式相减得3112)(2d a a c a n n n n --=-++，因此),3,2,1)((21)(2132311 =+==-=-++n d d d c c a a n n n n 常数，所以数列}{n a 是等差数列.证法二：令由,1n n n a a A -=+,3121++++-≤-≤n n n n n n a a a a b b 知从而).,3,2,1(,2231 =≥-≥-++++n A A a a a a n n n n n n 即 由32112132,32++++++++=++=n n n n n n n n a a a c a a a c得)(3)(2)(231211++++++-+-+-=-n n n n n n n n a a a a a a c c ，即 22132d A A A n n n =++++. ⑥ 由此得243232d A A A n n n =+++++. ⑦ ⑥－⑦得0)(3)(2)(42312=-+-+-+++++n n n n n n A A A A A A . ⑧ 因为0,0,042312≥-≥-≥-+++++n n n n n n A A A A A A ， 所以由⑧得).,3,2,1(02 ==-+n A A n n于是由⑥得， 22113224d A A A A A n n n n n =++=++++ ⑨ 从而.24422211d A A A A n n n n =+=++++ ⑩由⑨和⑩得,,4224111n n n n n n A A A A A A =+=++++故即),,3,2,1(112 =-=-+++n a a a a n n n n 所以数列}{n a 是等差数列.4.解：设{}n a 的公差为d ，由11221,a b a b a ==≠，知0,1d q ≠≠，()11d a q =-（10a ≠）（1）因为k m b a =，所以()()111111k a q a m a q -=+--，()()()111121k q m q m m q -=+--=-+-，所以()()()()1111111111k k a q a m m q S m a qq------===--（2）()()23111,11i b a q a a i a q ==+--，由3i b a =，所以()()()()22111,120,q i q q i q i =+----+-=解得，1q =或2q i =-，但1q ≠，所以2q i =-，因为i 是正整数，所以2i -是整数，即q 是整数，设数列{}n b 中任意一项为()11n n b a q n N -+=∈，设数列{}n a 中的某一项m a ()m N +∈=()()1111a m a q +--现在只要证明存在正整数m ，使得n m b a =，即在方程()()111111n a q a m a q -=+--中m 有正整数解即可，()()11221111,111n n n q qm q m q q q q ----=+---==+++-，所以：222n m q q q -=+++，若1i =，则1q =-，那么2111,222n n b b a b b a -====，当3i ≥时，因为1122,a b a b ==，只要考虑3n ≥的情况，因为3i b a =，所以3i ≥，因此q 是正整数，所以m 是正整数，因此数列{}n b 中任意一项为()11n n b a q n N -+=∈与数列{}n a 的第222n q q q -+++项相等，从而结论成立。

数列—不等式 (高考数学压轴题常考题型)例1. 数列{an}满足)1(21)11(1211≥+++==+n a n n a a nn n 且.（Ⅰ）用数学归纳法证明：)2(2≥≥n a n ；（Ⅱ）已知不等式)1(:,0)1ln(2≥<><+n e a x x x n 证明成立对，其中无理数e=2.71828….（Ⅰ）证明：（1）当n=2时，222≥=a ，不等式成立.（2）假设当)2(≥=k k n 时不等式成立，即),2(2≥≥k a k那么221))1(11(1≥+++=+k k k a k k a . 这就是说，当1+=k n 时不等式成立.根据（1）、（2）可知：22≥≥n a k 对所有成立.（Ⅱ）证法一：由递推公式及（Ⅰ）的结论有)1.()2111(21)11(221≥+++≤+++=+n a n n a n n a n n n nn两边取对数并利用已知不等式得nn n a n n a ln )2111ln(ln 21++++≤+.211ln 2n n n n a +++≤ 故n nn n n a a 21)1(1ln ln 1++≤-+ ).1(≥n 上式从1到1-n 求和可得121212121)1(1321211ln ln -++++-++⨯+⨯≤-n n n n a a.22111121121121111)3121(211<-+-=--⋅+--++-+-=n n n n n即).1(,2ln 2≥<<n e a a n n 故（Ⅱ）证法二：由数学归纳法易证2)1(2≥->n n n n 对成立，故).2()1(1)1(11(21)11(21≥-+-+<+++=+n n n a n n a n n a nnn n令).2())1(11(),2(11≥-+≤≥+=+n b n n b n a b nn n n 则取对数并利用已知不等式得nn b n n b ln ))1(11ln(ln 1+-+≤+).2()1(1ln ≥-+≤n n n b n上式从2到n 求和得)1(1321211ln ln 21-++⨯+⨯≤-+n n b b n.11113121211<--++-+-=n n因).2(3,3ln 1ln .313ln 11122≥=<+<=+=+++n ee b b a b n n 故故1,,,2,132222121≥<<<≥<-<+n e a e a e a n e e a n n 对一切故又显然成立.例 2.已知数列{}n a 中的相邻两项21,2k ka a -是关于x 的方程的两个根，且212(1,2,3,)k k a a k -≤=（Ⅰ）求1,357,,a a a a ；（Ⅱ）求数列{}n a 的前2n 项的和2nS ；（Ⅲ）记1|sin |()(3)2sin n f n n =+，(2)(3)(4)(1)123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n n T a a a a a a a a +-----=++++求证：*15()624n T n N ≤≤∈（I ）解：方程2(32)320k kx k x k -++=的两个根为13x k =，22k x =，当1k =时，1232x x ==，，所以12a =； 当2k =时，16x =，24x =，所以34a =；当3k =时，19x =，28x =，所以58a =时；当4k =时，112x =，216x =，所以712a =．（II ）解：2122n nS a a a =+++2(363)(222)n n =+++++++2133222n n n++=+-．（III ）证明：(1)123456212111(1)f n n n n T a a a a a a a a +--=+-++，所以112116T a a ==，2123411524T a a a a =+=． 当3n ≥时，(1)3456212111(1)6f n n n n T a a a a a a +--=+-++，345621211116n n a a a a a a -⎛⎫+-++⎪⎝⎭≥ 2311111662622n ⎛⎫+-++⎪⎝⎭≥1116626n =+>，同时，(1)5678212511(1)24f n n n n T a a a a a a +--=--++5612212511124n n a a a a a a -⎛⎫-+++⎪⎝⎭≤31511112492922n⎛⎫-+++⎪⎝⎭≤515249224n =-<．综上，当n ∈N*时，15624n T ≤≤例3. 设数列{}n a 满足3110,1,*n n a a ca c n N +==+-∈,其中c 为实数。

高考压轴题瓶颈系列之——浙江卷数列【见证高考卷之特仑苏】1. 【2014年.浙江卷.理19】（本题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b ()()*∈=N n a a a nb n 221Λ.若{}n a 为等比数列，且.6,2231b b a +==(Ⅰ)求na 与nb ；(Ⅱ)设()*∈-=N n b a c nn n 11。

记数列{}n c 的前n 项和为n S .（i ）求nS ；（ii ）求正整数k ，使得对任意*∈N n ，均有nk S S ≥．2. 【2011年.浙江卷.理19】（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项1a a=(a R ∈),设数列的前n 项和为n S ，且11a ，21a ，41a 成等比数列（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及nS（Ⅱ）记1231111...n n A S S S S =++++，212221111...n n B a a a a =++++，当2n ≥时，试比较nA 与nB 的大3. 【2008年.浙江卷.理22】（本题14分）已知数列{}n a ，0≥n a ，01=a ，22111()n n n a a a n N •+++-=∈．nn a a a S +++=Λ21)1()1)(1(1)1)(1(11121211n n a a a a a a T +++++++++=ΛΛ．求证：当•∈N n 时，（Ⅰ）1+<n n a a ；（Ⅱ）2->n S n ；（Ⅲ）3<n T 。

4. 【2007年.浙江卷.理21】（本题15分）已知数列{}n a 中的相邻两项21,2k ka a -是关于x 的方程2(32)320kkx k x k -++=的两个根，且212(1,2,3,)k k a a k -≤=L（Ⅰ）求1,357,,a a a a ；（Ⅱ）求数列{}n a 的前2n 项的和2nS ；（Ⅲ）记1|sin |()(3)2sin n f n n =+，(2)(3)(4)(1)123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n n T a a a a a a a a +-----=++++L 求证：*15()624n T n N ≤≤∈5. （2015年浙江卷第20题） 2*111,()2n n n a a a a n N +==-∈ （1）求证：112nn a a +≤≤ （2）设数列2{}n a 的前n 项和为n S ，证明：*11()2(2)2(1)n S n N n n n ≤≤∈++6.【2016高考浙江理数】设数列{}n a 满足112n n a a +-≤，n *∈N ．（I ）证明：()1122n n a a -≥-，n *∈N ；（II ）若32nn a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，n *∈N ，证明：2n a ≤，n *∈N ．【例题讲解之伊利奶粉】例1．（浙江省新高考研究联盟2017届高三下学期期初联考）已知数列{}n a 满足a 1=3，2*12,n n n a a a n N +=+∈ ， 设2log (1)n n b a =+.（I ）求{}n a 的通项公式； （II ）求证：1111++++(2)231n n n b <≥-L ； （III ）若2nc n b =，求证：2≤1()nn nc c +<3.例2．（浙江省温州中学2017届高三3月高考模拟）正项数列{}n a 满足221132n n n n a a a a +++=+，11a =．（Ⅰ）求2a 的值；（Ⅱ）证明：对任意的n N *∈，12nn a a +≤；（Ⅲ）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：对任意的n N *∈，11232n n S --≤<．例3．（浙江省温州市十校联合体2017届高三上学期期末）已知数列{}n a 满足21111,8n n a a a m +==+， (1)若数列{}n a 是常数列，求m 的值； （2）当1m >时，求证：1n n a a +<；（3）求最大的正数m ，使得4n a <对一切整数n 恒成立，并证明你的结论。