2011高考数学压轴题专题训练

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11年全国各地高考数学压轴题解析

11年高考数学压轴题1、（安徽理）（21）（本小题满分13分）设0>λ，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线2x y =上运动，点Q 满足QA BQ λ=，经过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足MP QM λ=，求点P 的轨迹方程。

（21）本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养。

解：由MP QM λ=知Q,M,P 三点在同一条垂直于x 轴的直线上，故可设P(x,y),Q(x,y 0),M(x,x 2),则)(202x y y x -=-λ,即y x y λλ-+=20)1(①再设),(11y x B ，由λ=，即)1,1(),(0101y x y y x x --=--λ，解得⎩⎨⎧-+=-+=.)1(,)1(011λλλλy y x x ②将①式代入②式，消去0y ，得⎩⎨⎧-+-+=-+=.)1()1(,)1(2211λλλλλλy x y x x ③又点B 在抛物线2x y =上，所以211x y =，再将③式代入211x y =，得,))1(()1()1(222λλλλλλ-+=-+-+x y x整理得0)1()1()1(2=+-+-+λλλλλλy x 因0>λ，两边同除以)1(λλ+，得012=--y x故所求点P 的轨迹方程为12-=x y 。

2、（广东理）21.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 上，给定抛物线L:214y x =.实数p ，q 满足240p q -≥，x 1，x 2是方程20x px q -+=的两根，记{}12(,)max ,p q x x ϕ=。

（1）过点20001(,)(0)4A p p p ≠作L 的切线教y 轴于点B. 证明：对线段AB 上任一点Q(p ，q)有0(,);2p p q ϕ= （2）设M(a ，b)是定点，其中a ，b 满足a 2-4b>0,a ≠0. 过M(a ，b)作L 的两条切线12,l l ，切点分别为22112211(,),(,)44E p p E p p '，12,l l 与y 轴分别交与F,F'。

2011年高考数学压轴题(三)

2011年高考数学压轴题（三）1．（本小题满分13分）如图，已知双曲线C ：x a y ba b 2222100-=>>()，的右准线l 1与一条渐近线l 2交于点M ，F 是双曲线C 的右焦点，O 为坐标原点.（I ）求证：OM MF →⊥→；（II ）若||MF →=1且双曲线C 的离心率e =62，求双曲线C 的方程；（III ）在（II ）的条件下，直线l 3过点A （0，1）与双曲线C 右支交于不同的两点P 、Q 且P 在A 、Q 之间，满足AP AQ →=→λ，试判断λ的范围，并用代数方法给出证明.解：（I ）Θ右准线l 12：x a c =，渐近线l 2：y b ax =∴=+M a c ab c F c c a b ()()22220，，，，Θ，∴→=OM a c ab c ()2， MF c a c ab c b c abc→=--=-()()22，， ΘOM MF a b c a b c OM MF →⋅→=-=∴→⊥→2222220 ……3分（II ）Θe b a e a b =∴=-=∴=621222222，， Θ||()MF b c a b c b b a c b a →=∴+=∴+=∴==1111142222222222，，， ∴双曲线C 的方程为：x y 2221-= ……7分（III ）由题意可得01<<λ ……8分证明：设l 31：y kx =+，点P x y Q x y ()()1122，，，由x y y kx 22221-==+⎧⎨⎩得()1244022--+=k x kxΘl 3与双曲线C 右支交于不同的两点P 、Q∴-≠=+->+=->=-->⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪∴≠±<<-<⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪120161612041204120221012022212212222k k k x x k k x x k k k k k ∆() ∴-<<-122k……11分ΘAP AQ x y x y →=→∴-=-λλ，，，()()112211，得x x 12=λ∴+=-=--∴+=--=-=+-()()()1412412116412421222122222222222λλλλx k k x k k k k k k ，Θ-<<-∴<-<∴+>12202111422k k ，，()λλ ∴+>∴-+>()1421022λλλλ ∴λ的取值范围是（0，1） ……13分2．（本小题满分13分）已知函数f x x n x n f n n x n n N ()()[()]()(*)=≤--+--<≤∈⎧⎨⎩00111，，数列{}a n 满足a f n n N n =∈()(*) （I ）求数列{}a n 的通项公式；（II ）设x 轴、直线x a =与函数y f x =()的图象所围成的封闭图形的面积为S a a ()()≥0，求S n S n n N ()()(*)--∈1；（III ）在集合M N N k k Z ==∈{|2，，且10001500≤<k }中，是否存在正整数N ，使得不等式a S n S n n ->--10051()()对一切n N >恒成立？若存在，则这样的正整数N 共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N ；若不存在，请说明理由.（IV ）请构造一个与{}a n 有关的数列{}b n ，使得lim()n n b b b →∞+++12Λ存在，并求出这个极限值.解：（I ）Θn N ∈*∴=--+-=+-f n n n n f n n f n ()[()]()()111 ∴--=f n f n n ()()1……1分∴-=-=-=f f f f f f ()()()()()()101212323……f n f n n ()()--=1 将这n 个式子相加，得 f n f n n n ()()()-=++++=+012312ΛΘf f n n n ()()()0012=∴=+∴=+∈a n n n N n ()(*)12……3分（II ）S n S n ()()--1为一直角梯形（n =1时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为f n f n ()()-1，，高为1∴--=-+⨯=+-S n S n f n f n a a n n ()()()()112121=-++=12121222[()()]n n n n n ……6分（III ）设满足条件的正整数N 存在，则n n n nn ()+->⇔>⇔>12100522100520102 又M ={}200020022008201020122998，，，，，，，ΛΛ ∴=N 201020122998，，……，均满足条件它们构成首项为2010，公差为2的等差数列.设共有m 个满足条件的正整数N ，则2010212998+-=()m ，解得m =495 ∴M 中满足条件的正整数N 存在，共有495个，N min =2010 ……9分（IV ）设b a n n =1，即b n n n n n =+=-+212111()()则b b b n n n n 122112121313*********+++=-+-+-++-+=-+ΛΛ[()()()()]() 显然，其极限存在，并且lim()lim[]n n n b b b n →∞→∞+++=-+=122112Λ ……10分注：b ca n n=（c 为非零常数），b b q q n a n n a n n n ==<<++()(||)12012121，等都能使lim()n n b b b →∞+++12Λ存在.19. （本小题满分14分）设双曲线y ax 22231-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2. （I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程；（II ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512||||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP OQ →→=·0.若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由. 解：（I ）Θe c a =∴=2422， Θc a a c 22312=+∴==，，∴-=双曲线方程为y x 2231，渐近线方程为y x =±33 4分（II ）设A x y B x y ()()1122，，，，AB 的中点()M x y ，[]Θ2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==⨯=∴-+-===-=+=+∴+=--=+∴+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=又，，，， ∴+=+=321321007532512222()()y x x y ，即则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆.（9分）（III ）假设存在满足条件的直线l设l y k x l P x y Q x y ：，与双曲线交于，、，=-()()()11122[]ΘOP OQ x x y y x x k x x x x k x x x x i →→=∴+=∴+--=∴+-++=·0110101212122121221212()()()()由得则，y k x y x k x k x k x x k k x x k k ii =--=⎧⎨⎪⎩⎪--+-=+=-=--()()()13131633063133312222212221222由（i ）（ii ）得k 230+=∴k 不存在，即不存在满足条件的直线l . 14分3. （本小题满分13分）已知数列{}a n 的前n 项和为S n N n ()*∈，且S m ma n n =+-()1对任意自然数都成立，其中m 为常数，且m <-1.（I ）求证数列{}a n 是等比数列；（II ）设数列{}a n 的公比q f m =()，数列{}b n 满足：b a b f b n n 11113==-，() ()*n n N ≥∈2，，试问当m 为何值时，lim (lg )lim (n b a n b b b b b b n n →∞=→∞+++3122334…+-b b n n 1)成立？解：（I ）由已知S m ma n n ++=+-1111()() S m ma n n =+-()1 （2）由()()12-得：a ma ma n n n ++=-11，即()m a ma n n +=+11对任意n N ∈*都成立{}Θm m a a m m a n n n 为常数，且即为等比数列分<-∴=++1151（II ）当n =1时，a m ma 111=+-()∴====+∴==+≥∈---a b I q f m m m b f b b b n n N n n n n 11111113112，从而由（）知，()()()*∴=+-=∴⎧⎨⎩⎫⎬⎭∴=+-=+=+∈--1111111131212911b b b b b b n n b n n N n n n n n n n ，即为等差数列，分()()*Θa m m n n =+⎛⎝ ⎫⎭⎪-11∴→∞=→∞-++=+→∞+++=→∞-+-+++-+⎛⎝ ⎫⎭⎪=-lim (lg )lim lg lg lim ()lim n b a n n n m m mm n b b b b b b n n n n n n n 121133131414151112112231·……由题意知lgm m +=11，∴+=∴=-m m m 110109， 13分4．（本小题满分12分）设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 与AF 垂直的直线分别交椭圆和x 轴正半轴于P ，Q 两点，且P 分向量AQ 所成的比为8∶5．（1）求椭圆的离心率；（2）若过F Q A ,,三点的圆恰好与直线l ：033=++y x 相切，求椭圆方程．解：（1）设点),0,(),0,(0c F x Q -其中),0(,22b A b a c -=．由P 分所成的比为8∶5，得)135,138(0b x P ， 2分∴a x a x 231)135()138(022202=⇒=+．①， 4分而AQ FA b x AQ b c FA ⊥-==),,(),,(0，∴0=⋅．cb x b cx 2020,0==-∴．②， 5分由①②知0232,32222=-+∴=a ac c ac b ．∴21.02322=∴=-+e e e ． 6分（2）满足条件的圆心为)0,2(22cc b O -'， )0,(,2222222c O c cc c a c c b '∴=--=-， 8分圆半径a ca cb r ==+=22222． 10分由圆与直线l ：033=++y x 相切得，a c =+2|3|，又3,2,1,2===∴=b a c c a ．∴椭圆方程为13422=+y x ． 12分 5．（本小题满分14分）（理）给定正整数n 和正数b ，对于满足条件b a a n ≥-+211的所有无穷等差数列{}n a ，试求1221++++++=n n n a a a y Λ的最大值，并求出y 取最大值时{}n a 的首项和公差．（文）给定正整数n 和正数b ，对于满足条件b a a n =-+211的所有无穷等差数列{}n a ，试求1221++++++=n n n a a a y Λ的最大值，并求出y 取最大值时{}n a 的首项和公差．（理）解：设{}n a 公差为d ，则1111,a a nd nd a a n n -=+=++． 3分dn a n nd a d a a a a a y n n n n n n n )21()1()()(11111221+++++=+++++=+++=+++++++ΛΛΛd n n a n n 2)1()1(1+++=+ 4分)2)(1()2)(1(1111a a a n nda n n n n -++=++=+++)3(2111a a n n -+=+． 7分又211211,++--≤-∴≥-n n a b a b a a ．∴449449)23(332112111b b a b a a a a n n n n -≤-+--=-+-≤-++++，当且仅当231=+n a 时，等号成立． 11分∴8)49)(1()3(2111b n a a n y n -+≤-+=+． 13分当数列{}n a 首项491+=b a ，公差n b d 434+-=时，8)49)(1(b n y -+=， ∴y 的最大值为8)49)(1(b n -+． 14分（文）解：设{}n a 公差为d ，则1111,a a nd nd a a n n -=+=++． 3分 )2)(1(2)1()1()21()1()()(1111111221nda n d n n a n d n a n nd a d a a a a a y n n n n n n n n n ++=+++=+++++=++++=+++=+++++++++ΛΛΛ)3(21)2)(1(11111a a n a a a n n n n -+=-++=+++， 6分又211211,++--=-∴=-n n a b a b a a ．∴449449)23(332112111b b a b a a a a n n n n -≤-+--=-+-=-++++．当且仅当231=+n a 时，等号成立． 11分∴8)49)(1()3(2111b n a a n y n -+=-+=+． 13分当数列{}n a 首项491+=b a ，公差n b d 434+-=时，8)49)(1(b n y -+=．∴y 的最大值为8)49)(1(b n -+． 14分6．（本小题满分12分）垂直于x 轴的直线交双曲线2222=-y x 于M 、N 不同两点，A 1、A 2分别为双曲线的左顶点和右顶点，设直线A 1M 与A 2N 交于点P （x 0，y 0）（Ⅰ）证明：;22020为定值y x +（Ⅱ）过P 作斜率为02y x -的直线l ，原点到直线l 的距离为d ，求d 的最小值. 解（Ⅰ）证明：)0,2(),0,2(),,(),,(211111A A y x N y x M ---Θ则设)2(2111++=∴x x y y M A 的方程为直线 ①直线A 2N 的方程为)2(211---=x x y y ②……4分①×②，得)2(2221212---=x x y y分为定值的交点与是直线即822),(22),2(21,222020210022222121ΛΛΘΘ=+∴=+--=∴=-y x N A M A y x P y x x y y x（Ⅱ）02222),(20020200000=-+=+--=-y y x x y x x x y x y y l 整理得结合的方程为2220201222242y y y x d +=+=+=于是……10分11221122220202020≥+=∴≤+∴≤∴=+y d y y y x Θ 当1,1,1200取最小值时d y y =±=……12分7．（本小题满分14分）已知函数x x x f sin )(-= （Ⅰ）若;)(],,0[的值域试求函数x f x π∈（Ⅱ）若);32(3)()(2:),,0(],,0[xf x f f x +≥+∈∈θθπθπ求证（Ⅲ）若)32(3)()(2,),)1(,(],)1(,[xf x f f Z k k k k k x ++∈+∈+∈θθππθππ与猜想的大小关系（不必写出比较过程）.解：（Ⅰ）为增函数时当)(,0cos 1)(,),0(x f x x f x ∴>-='∈π分的值域为即求得所以上连续在区间又4],0[)()(0),()()0(],0[)(ΛΛππππx f x f f x f f x f ≤≤≤≤（Ⅱ）设)32(3)()(2)(x f x f f x g +-+-=θθ，32sin3sin )(2)(xx f x g +++-=θθ即 )32cos cos (31)(xx x g ++-='θ……6分θπθπθπ=='∈+∴∈∈x x g x x 得由,0)(),0(32),0(],,0[Θ.)(,0)(,),0(为减函数时当x g x g x <'∈∴θ分为增函数时当8)(,0)(,),(ΛΛx g x g x >'∈πθ 分因而有对的最小值为则上连续在区间10)32(3)()(20)()(],0[)()(],0[)(ΛΘx f x f f g x g x x g g x g +≥+=≥∈θθθπθπ （Ⅲ）在题设条件下，当k 为偶数时)32(3)()(2xf x f f +≥+θθ当k 为奇数时)32(3)()(2xf x f f +≤+θθ……14分。

2011年高考数学最后压轴大题系列--解析几何

2011年高考数学最后压轴大题系列-解析几何1. 已知三点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0）. （Ⅰ）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点P 、1F 、2F 关于直线y ＝x 的对称点分别为P '、'1F 、'2F ，求以'1F 、'2F 为焦点且过点P '的双曲线的标准方程.解：（I ）由题意，可设所求椭圆的标准方程为22a x +122=by )0(>>b a ，其半焦距6=c 。

||||221PF PF a +=56212112222=+++=， ∴=a 53，93645222=-=-=c a b ，故所求椭圆的标准方程为452x +192=y ；（II ）点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0）关于直线y ＝x 的对称点分别为：)5,2(P '、'1F （0，-6）、'2F （0，6）设所求双曲线的标准方程为212a x -1212=b y )0,0(11>>b a ，由题意知半焦距61=c ，|''||''|2211F P F P a -=54212112222=+-+=， ∴=1a 52，162036212121=-=-=a c b ，故所求双曲线的标准方程为202y -1162=x 。

2. 直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两点A 、B. （Ⅰ）求实数k 的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）将直线整理得后的方程代入双曲线的方程,12122=-+=y x C kx y l.022)2(22=++-kx x k ……①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故.22.02222,0)2(8)2(,0222222-<<-⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->-->--=∆≠-k k k k k k k k 的取值范围是解得（Ⅱ）设A 、B 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则由①式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-=+.22,22222221k x x kk x x ……② 假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F （c,0）. 则由FA ⊥FB 得：.0)1)(1())((.0))((21212121=+++--=+--kx kx c x c x y y c x c x 即整理得.01))(()1(221212=+++-++c x x c k x x k ……③把②式及26=c 代入③式化简得 .566).)(2,2(566566.066252的右焦点为直径的圆经过双曲线使得以可知舍去或解得C AB k k k k k +-=--∉-=+-==-+3. 设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B.（I ）求双曲线C 的离心率e 的取值范围：（II ）设直线l 与y 轴的交点为P ，且.125PB PA =求a 的值. 解：（I ）由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y ax 有两个不同的实数解.消去y 并整理得（1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0. ①.120.0)1(84.012242≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-a a a a a a 且解得所以双曲线的离心率).,2()2,26(226,120.11122+∞≠>∴≠<<+=+= 的取值范围为即离心率且且e e e a a aaa e（II ）设)1,0(),,(),,(2211P y x B y x A.125).1,(125)1,(,125212211x x y x y x PB PA =-=-∴=由此得由于x 1+x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，1317,06028912,,.12125.1212172222222222=>=----=--=a a a a x a a x a a x 所以由得消去所以4. 已知)0,1(,)0,1(21F F -为椭圆C 的两焦点，P 为C 上任意一点，且向量21PF PF 与向量的夹角余弦的最小值为31.(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)过1F 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，求OMN ∆（O 为原点）的面积的最大值及相应的直线l 的方程. 解：(Ⅰ)设椭圆的长轴为2a ,a 2=22==c21222124cos PF PF PF PF ⋅-+=θ=2121221242)(PF PF PF PF PF PF ⋅-⋅-+=1244212-⋅-PF PF a又212PF PF ⋅≥∴221a PF PF ≤⋅即31211244cos 222=-=--≥aa a θ ∴32=a ∴椭圆方程为12322=+y x (Ⅱ) 由题意可知NM 不可能过原点,则可设直线NM 的方程为:my x =+1 设),(11y x M ),(22y x N()1111212OMN F OM F ON S S S OF y y ∆∆∆=+=+=2121y y -221,321.x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩063)1(222=-+-y my即 044)32(22=--+my y m .由韦达定理得: 324221+=+m m y y 324221+-=⋅m y y ∴212212214)(y y y y y y -+=-= 3216)32(162222+++m m m =222)32()1(48++m m 令12+=m t , 则1≥t∴221y y -=4448)12(482++=+tt t t . 又令tt t f 14)(+=, 易知)(t f 在[1,+∞）上是增函数,所以当1=t ,即0=m 时)(t f 有最小值5.∴221y y -有最大值316 ∴OMN S ∆ 的面积有最大值332. 直线l 的方程为1-=x .5. 椭圆E 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率eC (-1，0)的直线l 交椭圆于A 、B 两点，且满足：CA =BC λ (2λ≥)．(Ⅰ)若λ为常数，试用直线l 的斜率k (k ≠0)表示三角形OAB 的面积． (Ⅱ)若λ为常数，当三角形OAB 的面积取得最大值时，求椭圆E 的方程．(Ⅲ)若λ变化，且λ= k 2＋1，试问：实数λ和直线l 的斜率()k k ∈R 分别为何值时，椭圆E 的短半轴长取得最大值？并求出此时的椭圆方程．解：设椭圆方程为22221+=x y a b(a ＞b ＞0)，由e =c aa 2=b 2+c 2得a 2=3 b 2，故椭圆方程为x 2＋3y 2= 3b 2． ① (Ⅰ)∵直线l ：y = k (x ＋1)交椭圆于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，并且CA =BC λ (λ≥2)， ∴(x 1+1，y 1) =λ(-1-x 2，-y 2)，即12121(1)x x y y λλ+=-+⎧⎨=-⎩ ② 把y = k (x +1)代入椭圆方程，得(3k 2+1)x 2+6k 2x +3k 2-3b 2= 0，且 k 2 (3b 2-1)+b 2＞0 （*），∴x 1+x 2= -22631k k +， ③x 1x 2=2223331k b k -+， ④∴O AB S ∆=12|y 1-y 2| =12|λ+1|·| y 2| =|1|2λ+·| k |·| x 2+1|．联立②、③得x 2+1=22(1)(31)k λ-+，∴O AB S ∆=11λλ+-·2||31k k + (k ≠0)． (Ⅱ)OAB S ∆=11λλ+-·2||31k k +=11λλ+-·113||||k k +≤11λλ+-(λ≥2)．当且仅当3| k | =1||k ，即k=OAB S ∆取得最大值，此时x 1+x 2= -1．又∵x 1+1= -λ( x 2+1)，∴x 1=11λ-，x 2= -1λλ-，代入④得3b 2=221(1)λλ+-．此时3b 2≥5，,k b 的值符合(*) 故此时椭圆的方程为x 2＋3y 2=221(1)λλ+-(λ≥2)． (Ⅲ)由②、③联立得：x 1=22(1)(31)k λλ--+-1，x 2=22(1)(31)k λ-+-1，将x 1，x 2代入④，得23b =224(1)(31)k λλ-++1．由k 2=λ-1得23b =24(1)(32)λλλ--+1=432212(1)(1)(32)λλλ⎡⎤+⎢⎥---⎣⎦＋1．易知，当2λ≥时，3b 2是λ的减函数，故当2λ=时，23b 取得最大值3．所以，当2λ=，k =±1(符合(*))时，椭圆短半轴长取得最大值，此时椭圆方程为x 2 + 3y 2 = 3．6. 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，+与)1,3(-=共线. （I ）求椭圆的离心率；（II ）设M 为椭圆上任意一点，且(,)OM OA OB λμλμ=+∈R ，证明22μλ+为定值.解：（I ）设椭圆方程为),0,(),0(12222c F b a by a x >>=+则直线AB 的方程为1,2222=+-=by a x c x y 代入.化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a . 令),,(),,(2211y x B y x A则 .,22222222122221ba b a c a x x b a c a x x +-=+=+),,(2121y y x x ++=+由与+-=),1,3(共线，得.0)()(32121=+++x x y y.36,36.3,232.23,0)()2(3,,22222222121212211===-=∴==+=+∴=++-+∴-=-=a c e ab ac b a c ba c a cx x x x c x x c x y c x y 故离心率所以即又（II ）证明：由（I ）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为22233b y x =+.),,(),(),(),,(2211y x y x y x y x μλ+==由已知得设⎩⎨⎧+=+=∴.,2121y y y x x x μλμλ ),(y x M 在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即 .3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ ①由（I ）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+222221222121212123.833()()a c ab x xc a b x x y y x x x c x c -∴==+∴+=+-- .0329233)(3422222121=+-=++-=c c c c c x x x x 又222222212133,33b y x b y x =+=+又，代入①得 .122=+μλ 故22μλ+为定值，定值为1.7. 已知椭圆2212x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点. （I ）求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程；（II ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围. 解：（I ）222,1,1,(1,0),: 2.a b c F l x ==∴=-=- 圆过点O 、F ， ∴圆心M 在直线12x =-上。

2011年高考数学最后压轴大题系列--函数与导数

∴c< ，此时方程(*)有唯一解
当x<1时，f′(x)=-3x2+x-10，则-3x +x -10= ，即
(-3x +x +10)·x =-x + x +10(x -1)+c-2，得-2x + x +12=c(**)
构造函数h(x)=-2x3+ x2-8，h′(x)=-6x2+x=-6(x- )2+ ,(x<1)
若x<0，则h′(x)<0，此时h(x)单调递减
若x∈(0， )，则h′(x)>0，此时h(x)单调递减
若x∈( ，1)，则h′(x)<0，此时h(x)单调递减
经计算h(0)=-8，h(1)=- ，h( )=-8+
∴当x<1时，h(x)>-
若c∈(- ,-8)，方程(**)有一解；
若c=-8，方程(**)有两解；
(Ⅱ)设f(x)在x=2时取极值，过点(0,2)作与f(x)相切的直线，问是否至少存在两条与f(x)相切的直线，若存在，试求出c的取值范围，若不存在，说明理由。
解：(Ⅰ)当x≥1时，f(x)=-x3+ x2+b(x-1)+c，
f′(x)=-3x2+x+b≤0恒成立，则b≤3x2-x恒成立，
由于3x2-x=3(x- )2- (x≥1)，因此当x=1时，3x2-x有最小值2,
∴b≥ ，
又f(x)在x=1处连续
∴b的取值范围是 ≤b≤2
(Ⅱ)∵f(x)在x=2时取极值，而当x≥1时，f′(x)=-3x2+x+b
∴f(x)=-x3+ x2+10·|x-1|+c=

2011高考数学备考最新压轴题(三)

2011年备考最新数学压轴题之三1． (本小题满分13分)已知函数()f x 的导数2'()33，=-f x x ax (0)=f b ．a ，b 为实数，12a <<． (1) 若()f x 在区间[11]-，上的最小值、最大值分别为2-、1，求a 、b 的值； (2) 在 (1) 的条件下，求曲线在点P （2，1）处的切线方程；(3) 设函数2()['()61]x F x f x x e =++ ，试判断函数()F x 的极值点个数．解：(1) 由已知得，323()2f x x ax b =-+，由()0f x '=，得10x =，2x a =． ∵[1, 1]x ∈-，12a <<，∴ 当[1, 0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 递增；当(0, 1]x ∈时，()0f x '<，()f x 递减． ∴ ()f x 在区间[1, 1]-上的最大值为(0)f b =，∴1b =．又33(1)11222f a a =-+=-，33(1)1122f a a -=--+=-，∴ (1)(1)f f -<．由题意得(1)2f -=-，即322a -=-，得43a =．故43a =，1b =为所求．(2) 由 (1) 得32()21f x x x =-+，2()34f x x x '=-，点(2, 1)P 在曲线()f x 上．当切点为(2, 1)P 时，切线l 的斜率2()|4x k f x ='==， ∴ l 的方程为14(2)y x -=-，即470x y --=．(32222()(3361)33(2)1x xF x x ax x e x a x e ⎡⎤=-++⋅=--+⋅⎣⎦[]222()63(2)233(2)1x xF x x a e x a x e'⎡⎤=--⋅+--+⋅⎣⎦22[66(3)83]xx a x a e=--+-⋅二次函数266(3)83y x a x a =--+-的判别式为22236(3))12(311)123(2)1a a a ⎡⎤∆=--==--⎣⎦令，得：21(2),223a a -≤≤≤令0∆>，得22a a <>+或 ∵20x e >，12a <<，∴当22a ≤<时，()0F x '≥，函数()F x 为单调递增，极值点个数为0；当12a <<()0F x '=有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，可知函数()F x 有两个极值点．2(本小题满分12分)设F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，直线l 为其左准线，直线l 与x 轴交于点P ，线段MN 为椭圆的长轴，已知||8||2||MN PM MF ==，且． (1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若过点P 的直线与椭圆相交于不同两点A 、B 求证：∠AFM =∠BFN ；(3) 求三角形ABF 面积的最大值．解：(1) ∵ ||8MN = ∴ a = 4 又∵ | PM | = 2 | MF |得2212()23101()32a a a c e e e e -=--+=⇒==即或舍去122)(1210132)(2||2||22222=-==∴==⇒=+--=-=c a b c e c e e c a a ca MF PM 舍去或即得又1121622=+∴y x 椭圆的标准方程为(2) 当AB 的斜率为0时，显然.0=∠=∠BFN AFM 满足题意当AB 的斜率不为0时，设),(),,(2211y x B y x A ，AB 方程为,8-=my x 代入椭圆方程整理得14448)43(22=+-+my y m 则431444348),43(1444)48(22122122+=⋅+=++⨯-=∆m y y m m y y m m662222112211-+-=+++=+∴my y my y x y x y k k BFAF 0)6)(6()(62212121=--+-=my my y y y my.,0BFN AFM k k BF AF ∠=∠=+∴从而综上可知：恒有BFN AFM ∠=∠(3)43472||||212212+-=-⋅=-=∆∆∆m m y y PF S S S PAF PBF ABF33163272416437216)4(34722222=⋅≤-+-=+--=m m m m当且仅当32841643222=-=-m m m 即（此时适合△＞0的条件）取得等号.∴三角形ABF 面积的最大值是3 3 3(本小题满分12分)古代印度婆罗门教寺庙内的僧侣们曾经玩过一种被称为“河内宝塔问题”的游戏，其玩法如下：如图，设有n （*n N ∈）个圆盘依其半径大小，大的在下，小的在上套在A 柱上，现要将套在A 柱上的盘换到C 柱上，要求每次只能搬动一个，而且任何时候不允许将大盘套在小盘上面，假定有三根柱子A 、B 、C 可供使用．现用a n 表示将n 个圆盘全部从A 柱上移到C 柱上所至少需要移动的次数，回答下列问题： (1) 写出a 1，a 2，a 3，并求出a n ；（2）记1n n b a =+，求和1n i j i j nS bb ≤≤≤=∑（*i j N ∈，）；（其中1i j i j nb b ≤≤≤∑表示所有的积(1)i j bb i j n ≤≤≤的和）(2) 证明：(3) 131321122424214(*)721n n S S S S S Sn N S S S S S S -≤+++<∈ ．解：(1) 123137a a a ===，，事实上，要将n 个圆盘全部转移到C 柱上，只需先将上面1n -个圆盘转移到B 柱上，需要1-n a 次转移，然后将最大的那个圆盘转移到C 柱上，需要一次转移，再将B 柱上的1-n 个圆盘转移到C 柱上，需要1-n a 次转移，所以有121n n a a -=+则112(1)12n n n n a a a -+=+⇒+=，所以21n n a =-(2) 12n n n b a =+=则2222121211[()()]2n i j n n i j n S b b b b b b b b ≤≤≤==+++++++∑2224621211[(222)(2222)]2144[(22)(41)](21)(21)233++=++++++++=-+-=-- n n n n n n (3) 令1321242n n nS S S c S S S -=，则当2≥n 时1321242n n nS S S c S S S -=12342122345221(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)n n n n -+------=⋅⋅⋅------12121211112121111142121241111()44421n n n n n n c c ++-----===⋅---<⋅=<-又1311421721c ==<-，所以对一切*N n ∈有：1313211224242123-+++=++++ n n nS S S S S S S S S S S S c c c c2111111111()()44411()44144()()212142114-<++++-==-⋅<- n nn c c c c c 另方面0>n c 恒成立，所以对一切*N n ∈有1313211224242123117-+++=++++≥=n n n S S S S S S S S S S S S c c c c c综上所述有：131321122424214(*)721n n S S S S S S n N S S S S S S -≤+++<∈。

黄冈中学2011年高考数学压轴题汇总及答案

黄冈中学高考数学压轴题精编精解精选100题，精心解答{完整版}1．设函数()1,121,23x f x x x ≤≤⎧=⎨-<≤⎩，()()[],1,3g x fx a x x =-∈，其中a R ∈，记函数()g x 的最大值与最小值的差为()h a 。

（I ）求函数()h a 的解析式；（II ）画出函数()y h x =的图象并指出()h x 的最小值。

2．已知函数()()ln 1f x x x =-+,数列{}n a 满足101a <<,()1n n a fa +=; 数列{}nb 满足1111,(1)22n n b b n b +=≥+, *n N ∈.求证:（Ⅰ）101;n n a a +<<<（Ⅱ）21;2n n a a +<（Ⅲ）若12a =则当n ≥2时,!n nb a n >⋅.个个3．已知定义在R 上的函数f (x ) 同时满足：（1）21212122()()2()c o s 24s in f x x f x x f x x a x ++-=+（12,x x ∈R ，a 为常数）；（2）(0)()14f f π==；（3）当0,4x π∈［］时，()f x ≤2求：（Ⅰ）函数()f x 的解析式；（Ⅱ）常数a 的取值范围．4．设)0(1),(),,(22222211>>=+b a bx xy y x B y x A 是椭圆上的两点，满足0),(),(2211=⋅ay bx ay bx ，椭圆的离心率,23=e 短轴长为2，0为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线AB 过椭圆的焦点F （0，c ），（c 为半焦距），求直线AB 的斜率k 的值；（3）试问：△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由. 5．已知数列{}n a 中各项为：12、1122、111222、……、111n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 222n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅…… （1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积. （2）求这个数列前n 项之和S n .6、设1F 、2F 分别是椭圆22154xy+=的左、右焦点.（Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF PF ⋅的最大值和最小值；（Ⅱ）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F 2C|=|F 2D|？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.7、已知动圆过定点P （1，0），且与定直线L:x=-1相切，点C 在l 上. (1)求动圆圆心的轨迹M 的方程；.B ,A M 3,P )2(两点相交于的直线与曲线且斜率为设过点-（i ）问：△ABC 能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由（ii ）当△ABC 为钝角三角形时，求这种点C 的纵坐标的取值范围.8、定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0；（3）证明：f(x)是R 上的增函数；（4）若f(x)²f(2x-x 2)>1，求x 的取值范围。

2011高考数学压轴题集锦1

1 1 1 ) = + ln a ， a 2 2
要使解得
f ( x) ≥
1 2
恒成立，只需 1 + 1 ln a ≥ 1 ，得 a ≥ 1
2 2 2
（ii）若 a ≤ 0 ， f ' ( x) < 0 恒成立，
f ( x ) 在 ( 0, +∞ )
是单调递减，
伍
高考必备
f (1) =
a ≤0， 2
∴
3
( x1 − x 2 ) 2 + ( y1 − y 2 ) 2 = 12
2
．、
∴ 12 y 2 + 4 x 2 = 12 ，∴动点的轨迹 C 的方程为 x + y 2 = 1 ．
9
（ 2 ）依题意，直线 l 的斜率存在，故可设直线 l 的方程为 y = k ( x − 1) ．设 M ( x 3 , y3 ) 、 N ( x4 , y 4 ) 、 R ( 0 , y5 ) ，
a f ( n) 1− an 1 所以 lim = lim = n →∞ n n →∞ n a +a a +a a
（Ⅲ）（ h x ) = e x ( x 2 − m +1)( x < 0), 所以 h′( x) = ex ( x2 +2 x − m +1) 令 h′( x ) = 0, 即x 2 + 2 x − m + 1 = 0,由题意应有∆ ≥ 0，即m ≥ 0
k PQ = yq − yP xQ − x p
= 8k = −1 是一个与 − 8k
k 无关的定值。
5.已知函数
f ( x) =
a 2 x − ln x ， 2 f (x ) 没有零点；

2011年高考选择、填空压轴题

1、（安徽10）函数n m x ax x f )1()(-=在区间[0,1]上的图像如图所示，则m,n 的值可能是（10）B(A) m =1,n=1 (B) m=1,n=2 (C) m=2,n=1 (D) m=3,n=12、（安徽15）在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(x,y)为整点。

下列命题中正确的是 .（写出所有正确的编号）。

①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果k 与b 都是无理数，则直线y=kx+b 不经过任何整点 ③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点 ④直线y=kx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线（15）①③⑤3、（北京8）．设()0,0A ,()4,0B ，()4,4C t +,()(),4D t t R ∈.记()N t 为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数()N t 的值域为 A ．{}9,10,11 B ．{}9,10,12 C ．{}9,11,12 D ．{}10,11,12（8）C4、（北京14）．曲线C 是平面内与两个定点F1（-1，0）和F¬2（1，0）的距离的积等于常数)1(2>a a 的点的轨迹.给出下列三个结论： ① 曲线C 过坐标原点； ② 曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积大于21a 2。

其中，所有正确结论的序号是。

（14）②③5、（福建10）.已知函数f(x)=e+x ，对于曲线y=f （x ）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C ，给出以下判断：①△ABC 一定是钝角三角形②△ABC 可能是直角三角形③△ABC 可能是等腰三角形 ④△ABC 不可能是等腰三角形其中，正确的判断是A.①③B.①④C. ②③D.②④6、（福建15）.设V 是全体平面向量构成的集合，若映射:f V R →满足：对任意向量1122(,),(,),a x y V b x y V =∈=∈以及任意λ∈R ，均有((1))()(1)(),a ba b λλλλ=-=⎰+-⎰⎰则称映射f 具有性质P 。

2011年全国高考数学试题压轴题

2011年全国高考数学试题压轴题（1）、（2011年全国卷）已知O 为坐标原点，F 为椭圆22:12y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线l 与C 交与A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++=(Ⅰ)证明：点P 在C 上；（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.（2）、（2011年全国卷）（Ⅰ）设函数2()ln(1)2xf x x x =+-+，证明：当0x ＞时，()0f x ＞；（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为p .证明：19291()10p e ＜＜（3）、（2011年新课标卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足MB//OA ， MA •AB = MB •BA ，M 点的轨迹为曲线C 。

（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值。

（4）、（2011年新课标卷）已知函数ln ()1a x bf x x x =++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。

（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x >+-，求k 的取值范围。

（5）、（2011年北京卷）已知函数2()()xkf x x k e =-。

（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()f x ≤1e ，求k 的取值范围。

（6）、（2011年北京卷）已知椭圆22:14x G y +=.过点（m,0）作圆221x y +=的切线交椭圆G 于A ，B 两点.（I ）求椭圆G 的焦点坐标和离心率；（II ）将AB表示为m 的函数，并求AB的最大值.（7）、（2011年北京卷）若数列12,,...,(2)n n A a a a n =≥满足111(1,2, (1)n a a k n +-==-，数列n A 为E 数列，记()n S A =12...n a a a +++．（Ⅰ）写出一个满足10s a a ==，且()s S A 〉0的E 数列n A ；（Ⅱ）若112a =，n=2000，证明：E 数列n A 是递增数列的充要条件是n a =2011；（Ⅲ）对任意给定的整数n （n≥2），是否存在首项为0的E 数列n A ，使得()n S A =0？如果存在，写出一个满足条件的E 数列n A ；如果不存在，说明理由。

2011年高考终极压轴江西卷(数学理)

1 2 x bx c 0 (ab 1) 的解集为空集，则 a
）
T
1 a(b 2c ) 的最小值为（ 2(ab 1) ab 1
A． 3 B ．2 C． 2 3
D．4

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4．设 f ( x ) 表示 x 2 与 x 2 3x 2 中的较大者，则 f ( x ) 的最小值为（ A．0 B ．2 C．
所以这条曲线的函数表达式为： y 4 sin( （2） y 10
7 x )8 12 12
7 x ) 8 10 12 12 7 1 sin( x ) 12 12 2
4 sin(
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0 x 24 7 7 17 x 12 12 12 12 7 5 ∴ x 6 12 12 6 9 x 17
17-9=8 这天气温不低于 10 摄氏度的时间有 8 小时。 18.解： S 5
(a1 a5 ) 5 2
20
(a1 8) 5 2
V
4 R3 3
n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率
Pn ( k ) C nk p k (1 p ) n k
其中 R 表示球的半径
第Ⅰ卷
一.选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 ．已知复数 z 的对应点在复平面的第一象限，那么复数 2 3zi 的对应点 B 在复平面的 A．第一象限（） B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限）
1 2 _____________

《2011年高考数学总复习系列》模拟压轴大题总结+详细解析

2009-2010年高考数学模拟压轴大题总结+详细解析1.（重庆八中高2010级高三（上）第一次）已知在数列{}n a 中，221,t a t a ==，其中0>t ，t x =是函数)2(1])1[(3)(131≥+-+-=+-n x a a t x a x f n n n 的一个极值点. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若221<<t ，)(12*2N n a a b nn n ∈+=，求证： 21211122n nn b b b -+++<- . 解答. (1) 由题意得：0)('=t f ，即1133[(1)]0n n n a t t a a -+-+-= 故)2)((11≥-=-++n a a t a a n n n n ，则当1≠t 时，数列{}n n a a -+1是以t t -2为首项，t 为公比的等比数列，所以121)(-+-=-n n n t t t a a 由nn n n n n t tt t t t t t t t t t a a a a a a a a =--∙-+=++++-+=-++-+-+=---11)(]1)[()()()(12222123121此式对1=t 也成立，所以)(*N n t a n n ∈=――――――――6分（2）)(21)1(211n n n n n t t a a b -+=+=，因为221<<t ，所以n n n t t 2,1)2(<>，则0]1)2)[(2()2(1)()22()>--=--+--n n n nn n n n t t t t t ，有)22(211nn n b -+< 故)]212()212()212[(211112221n n n b b b ++++++<+++ )211(212]211)211(212121(2[21111)21n n n n n b b b +-=--+--<+++ 22122212212111nn n n n b b b --=∙-<+++∴ ―――――――12分2.（南充高中2010届高三第二次）已知函数f (x )=021n n C x --1n C 2nx 1212131(1)n r r n r n n n n n C x C x C x +-+-+-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+，其中n ()n N +∈．（1）求函数f (x )的极大值和极小值；（2）设函数f (x )取得极大值时x =n a ，令n b =2-3n a ，n S =12231n n bb b b b b +++⋅⋅⋅+，若p ≤n S <q 对一切n ∈N ＋恒成立，求实数p 和q 的取值范围．解答（1）210122()[(1)]n r r r n nn n n n n f x x C C x C x C x C x -=-+-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅=21(1)n n x x --，……1分2221()(21)(1)(1)n n n f x n x x x n x --'=---⋅-=221(1)[21(31)]n n x x n n x ------。

2011年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解

江西高考网提供更多高考资讯，资源下载 2011年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解1．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.（Ⅰ）求这三条曲线的方程；（Ⅱ）已知动直线l 过点()3,0P ，交抛物线于,A B 两点，是否存在垂直于x 轴的直线l '被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l '的方程；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）设抛物线方程为()220y px p =>，将()1,2M 代入方程得2p =24y x ∴= 抛物线方程为: ………………………………………………（1分）由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1…………………（2分）对于椭圆，1222a M F M F =+=+(222222211321a ab ac ∴=+∴=+=+∴=-=+∴+= 椭圆方程为：………………………………（4分）对于双曲线，1222a M F M F '=-=2222221321a abc a '∴='∴=-'''∴=-=∴= 双曲线方程为：………………………………（6分）（Ⅱ）设AP 的中点为C ，l '的方程为：x a =，以AP 为直径的圆交l '于,D E 两点，D E 中点为H 令()11113,,,22x y A x y +⎛⎫∴⎪⎝⎭C ………………………………………………（7分）()1112312322D C AP x C H a xa ∴==+=-=-+()()()2222221112121132344-23246222D HD CC Hx y x a a x a aa D HD E D H l x ⎡⎤⎡⎤∴=-=-+--+⎣⎦⎣⎦=-+==-+=∴=='= 当时,为定值;定值此时的方程为： …………（12分）2．（14分）已知正项数列{}n a 中，16a =，点(n n A a 在抛物线21y x =+上；数列{}n b 中，点(),n n B n b 在过点()0,1，以方向向量为()1,2的直线上.（Ⅰ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（Ⅱ）若()()()n n a f n b ⎧⎪=⎨⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数，问是否存在k N ∈，使()()274f k f k +=成立，若存在，求出k值；若不存在，说明理由；（Ⅲ）对任意正整数n，不等式1120111111n nn ab b b +-≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 成立，求正数a 的取值范围.解：（Ⅰ）将点(n n A a 代入21y x =+中得()11111115:21,21n n n n n n a a a a d a a n n l y x b n ++=+∴-==∴=+-⋅=+=+∴=+ 直线 …………………………………………（4分）（Ⅱ）()()()521n f n n ⎧+⎪=⎨+⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数………………………………（5分）()()()()()()27274275421,42735227145,24k k f k f k k k k k k k k k k ++=∴++=+∴=+∴++=+∴== 当为偶数时，为奇数，当为奇数时，为偶数，舍去综上，存在唯一的符合条件。

2011年高考终极压轴新课标卷(数学理)

π
3
）的值；
（2）当 x∈[ 0， ] 时，求函数 f（x）的最大值。 4
π
C1
18．（本小题满分 12 分）如图，三棱柱 ABC A1 B1C1 中，侧面 AA1C1C 底面 ABC ， AA1 A1C AC 2, AB BC ，且 AB BC ,O 为 AC 中点．（Ⅰ）在 BC1 上确定一点 E ，使得 OE // 平面 A1 AB ，并说明理由；（Ⅱ）求二面角 A A1 B C1 的大小．
π 3 2π 2π 3 3 （1）f（）= sin -sin = - =0。（4 分） 2 3 4 4 3 3 （2）因为 f（x）=
13.8
14.

15. 16 2 2
16．
3 5
1 1 π 1 3 3 2 sin2x-sin x=f（x）= sin2x+ cos2x- =sin（2x+ ）- 。所以当 x 2 2 6 2 2 2
π π π 2π 1 π 1 ∈[0， ]时， ≤2x+ ≤ ，所以： ≤sin（2x+ ）≤1，所以 f（x）的最大值为。… 4 6 6 3 2 6 2 （12 分） 18. （本小题满分 12 分）解：（Ⅰ） E 为 BC1 中点． ·························· 2 分证法一：取 BC 中点 F ，连接 OF , EF ． ················ 3 分所以可得 OF // AB, EF // BB1 ，所以面 OEF // 面 A1 AB ． ········· 5 分所以 OE // 平面 A1 AB ． ························ 6 分证法二：因为 A1 A A1C ，且Ｏ为 AC 的中点，所以 A1O AC ．又由题意可知，平面 AA1C1C 平面 ABC ，交线为 AC ，且 A1O 平面 AA1C1C ，所以 A1O 平面 ABC ．以Ｏ为原点， OB, OC , OA1 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系．…………1 分由题意可知， A1 A A1C AC 2, 又

2011高考数学最后冲刺压轴题库

a 2 x1 x2 0 4 ，
∵ x1 x2 ，∴ a 0 ．∴实数 a 的取值范围为
2 2
0,
．
2 4 2 f x ax 4 x 2 a x 2 x 0 f 0 2 a a a （Ⅱ）∵ ，显然，对称轴。
特级教师王新敞
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本题考查二次函数的性质、直线等基础知识，及综合分析问题的能力
特级教师王新敞
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新疆源头学子小屋
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特级教师王新敞
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函数与方程思想
2 解： f ( x) ax (b 1) x b 2 (a 0) ， 2 （1）当 a 2, b 2 时， f ( x) 2 x x 4 ．
M a
2 4 2a 2 a 4 2a 2 ， ∵ 0 a 2 ， ∴
2 1 4 a 2 2 ．
2 4 2 4 M a M a 4． a a ，且 f ，即 a 2 时，
（2）当
令 ax 4 x 2 4 ，解得
由函数图象可知： c R ，方程
3. 设 a R 且 a 0, e 为自然对数的底数，函数 f（ x）
e x x 1, g ( x)
a 2 x x e . 2
（1）求证：当 a 1 时， f ( x) g ( x) 对一切非负实数 x 恒成立；
5
（2）对于（0，1）内的任意常数 a，是否存在与 a 有关的正常数 x0 ，使得 f ( x0 ) g ( x0 ) 成立？如果存在，求出一个符合条件的 x0 ；否则说明理由. 分析：本题主要考查函数的单调性，导数的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．分类讨论、化归（转化）思想方法

2011年黄冈中学高考数学压轴题精选12

【精编精解】2011年黄冈中学高考数学压轴题精选1256、已知：在曲线（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}的前n项和为T n，且满足，设定b1的值，使得数列{b n}是等差数列；（3）求证：57、已知数列{a n}的前n项和为S n，并且满足a1＝2,na n＋1＝S n＋n(n＋1).（1）求数列；（2）设58、已知向量的图象按向量m平移后得到函数的图象。

（Ⅰ）求函数的表达式；（Ⅱ）若函数上的最小值为的最大值。

59、已知斜三棱柱的各棱长均为2，侧棱与底面所成角为，且侧面底面.（1）证明：点在平面上的射影为的中点；（2）求二面角的大小；（3）求点到平面的距离.真的不掉线吗？？、？？？？？？？？？？？？60、如图，已知四棱锥中，是边长为的正三角形，平面平面，四边形为菱形，，为的中点，为的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的大小．参考答案56、解：(1)∴∴∴数列是等差数列，首项公差d=4∴∵∴…………（4分）(2)由得∴∴∴若为等差数列，则∴(3)∴∴……………………12分57、解：（1）（2）真的不掉线吗？？、？？？？？？？？？？？？58、解：（Ⅰ）设P（x，y）是函数图象上的任意一点，它在函数图象上的对应点，则由平移公式，得…………2分∴代入函数中，得………………2分∴函数的表达式为…………1分（Ⅱ）函数的对称轴为①当时，函数在[]上为增函数，∴………………2分②当时，∴当且仅当时取等号；…………2分③当时，函数在[]上为减函数，∴…………2分综上可知，∴当时，函数的最大值为59、（1）证明：过B1点作B1O⊥BA。

∵侧面ABB1A1⊥底面ABC∴A1O⊥面ABC ∴∠B1BA是侧面BB1与底面ABC 倾斜角∴∠B1BO= 在Rt△B1OB中，BB1=2，∴BO=BB1=1又∵BB1=AB，∴BO=AB ∴O是AB的中点。

即点B1在平面ABC上的射影O为AB的中点…………4分（2）连接AB1过点O作OM⊥AB1，连线CM，OC，∵OC⊥AB，平面ABC⊥平面AA1BB1∴OC⊥平面AABB。

2011年高考数学终极压轴理（浙江卷）

保密★启用前试卷类型AKS5U2011年高考终极压轴浙江卷理科数学2011.5本试卷分抵I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

共150分。

考试时间120分钟。

第I 卷（选择题共60分）注意事项：1.答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2.每题选出大案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

（特别强调：为方便本次阅卷，每位考生在认真填涂“数学”答题卡的前提下，再将I 卷选择题答案重涂在另一答题卡上。

）如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其他答案标号。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集R U =,集合2{|30}A x x x =->,{|1}B x x =>, 则()U B A ð等于 (A) {|3x x >或0}x <(B) {|13}x x <<(C) {|13}x x <≤ (D) {|13}x x ≤≤2．若复数(1)(1)(2)z m m m m i =-+--是纯虚数，其中m 是实数，211,i z=-则（）A．12B．12-C．2i D．2i -3.设a ，b 是单位向量，则“a ·b =1”是“a =b ”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 4．若某多面体的三视图(单位: cm) 如图所示, 则此多面体外接球的表面积是 (A) 4πcm 2(B) 3π cm 2(C) 2πcm 2(D) πcm 2正视图侧视图俯视图（第4题图）5．根据右边的程序框图，输出的结果是（） A．15 B．16C．24 D．256．已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤-+.01,033,032y y x y x 若目标函数y ax z +=仅在点)0,3(处取到最大值，则实数a 的取值范围为(A) )5,3( (B) ),21(+∞ (C) )2,1(- (D) )1,31(移212,，A A A 个单位长度均为正数，则|21A A |-的最小值为( ) 高考资源网w。

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2011高考数学压轴题专题训练--数列（36页WORD ）第六章数列高考题三、解答题22.（2009全国卷Ⅰ理）在数列{}n a 中，11111,(1)2n n n n a a a n ++==++ （I ）设nn a b n=，求数列{}n b 的通项公式（II ）求数列{}n a 的前n 项和n S 分析：（I ）由已知有1112n n n a a n n +=++112n n n b b +∴-= 利用累差迭加即可求出数列{}n b 的通项公式: 1122n n b -=-(*n N ∈) （II ）由（I ）知122n n n a n -=-, ∴n S =11(2)2nk k k k -=-∑111(2)2n nk k k kk -===-∑∑而1(2)(1)nk k n n ==+∑,又112nk k k-=∑是一个典型的错位相减法模型，易得1112422nk n k k n --=+=-∑ ∴n S =(1)n n +1242n n -++- 评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n 项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。

具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。

也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。

23.（2009北京理）已知数集{}()1212,,1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥具有性质P ；对任意的(),1i j i j n ≤≤≤，i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A .（Ⅰ）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由；（Ⅱ）证明：11a =，且1211112nn na a a a a a a ---+++=+++；（Ⅲ）证明：当5n =时，12345,,,,a a a a a 成等比数列.【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.（Ⅰ）由于34⨯与43均不属于数集{}1,3,4，∴该数集不具有性质P. 由于66123612,13,16,23,,,,,,231236⨯⨯⨯⨯都属于数集{}1,2,3,6，∴该数集具有性质P. （Ⅱ）∵{}12,,n A a a a =具有性质P ，∴n n a a 与nna a 中至少有一个属于A ，由于121n a a a ≤<<<，∴n n n a a a >，故n n a a A ∉.从而1nna A a =∈，∴11a =. ∵121n a a a =<<<， ∴k n n a a a >，故()2,3,,k n a a A k n ∉=.由A 具有性质P 可知()1,2,3,,nka A k n a ∈=.又∵121n n n nn n a a a a a a a a -<<<<， ∴211211,,,n n n n n n n n a aa aa a a a a a a --====，从而121121n n n nn n n n a aa a a a a a a a a a --=+++=++++，∴1211112nn na a a a a a a ---+++=+++. （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当5n =时，有552343,a a a a a a ==，即25243a a a a ==，∵1251a a a =<<<，∴34245a a a a a >=，∴34a a A ∉，由A 具有性质P 可知43a A a ∈. 2243a a a =，得3423a a A a a =∈，且3221a a a <=，∴34232a aa a a ==，∴534224321a a a a a a a a a ====，即12345,,,,a a a a a 是首项为1，公比为2a 成等比数列. 24.（2009江苏卷）设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，满足222223457,7a a a a S +=+=。

（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）试求所有的正整数m ，使得12m m m a a a ++为数列{}n a 中的项。

【解析】本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。

满分14分。

（1）设公差为d ，则22222543a a a a -=-，由性质得43433()()d a a d a a -+=+，因为0d ≠，所以430a a +=，即1250a d +=，又由77S =得176772a d ⨯+=，解得15a =-，2d =,(2)（方法一）12m m m a a a ++=(27)(25)23m m m ---,设23m t -=，则12m m m a a a ++=(4)(2)86t t t t t --=+-, 所以t 为8的约数（方法二）因为1222222(4)(2)86m m m m m m m m a a a a a a a a +++++++--==-+为数列{}n a 中的项，故m+28 a 为整数，又由（1）知：2m a +为奇数，所以2231,1,2m a m m +=-=±=即经检验，符合题意的正整数只有2m =。

25（2009江苏卷）对于正整数n ≥2，用n T 表示关于x 的一元二次方程220x ax b ++=有实数根的有序数组(,)a b 的组数，其中{},1,2,,a b n ∈（a 和b 可以相等）；对于随机选取的{},1,2,,a b n ∈（a 和b 可以相等），记n P 为关于x 的一元二次方程220x ax b ++=有实数根的概率。

（1）求2n T 和2n P ；（2）求证：对任意正整数n ≥2，有11n P n>-. 【解析】 [必做题]本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力。

满分10分。

26.（2009山东卷理)等比数列{n a }的前n 项和为n S ，已知对任意的n N +∈ ，点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上. （1）求r 的值；（11）当b=2时，记 22(log 1)()n n b a n N +=+∈ 证明：对任意的n N +∈ ，不等式1212111·······1n nb b b n b b b +++>+成立解:因为对任意的n N +∈,点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数的图像上.所以得n n S b r =+,当1n =时,11a S b r ==+,当2n ≥时,1111()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-,又因为{n a }为等比数列,所以1r =-,公比为b ,1(1)n n a b b -=-（2）当b=2时，11(1)2n n n a b b --=-=, 1222(log 1)2(log 21)2n n n b a n -=+=+= 则1212n n b n b n ++=,所以121211135721 (246)2n n b b b n b b b n++++=⋅⋅下面用数学归纳法证明不等式121211135721 (1246)2n n b b b n n b b b n++++=⋅⋅>+成立. ① 当1n =时,左边=32,右边=2,因为322>,所以不等式成立. ② 假设当n k =时不等式成立,即121211135721 (1246)2k k b b b k k b b b k++++=⋅⋅>+成立.则当1n k =+时,左边=11212111113572123 (246)222k k k k b b b b k k b b b b k k ++++++++=⋅⋅⋅⋅⋅+ 2223(23)4(1)4(1)111(1)1(1)1224(1)4(1)4(1)k k k k k k k k k k k ++++++>+⋅===+++>++++++所以当1n k =+时,不等式也成立. 由①、②可得不等式恒成立.【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知n S 求n a 的基本题型,并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式. 27.（2009广东卷理）知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ，切点为(,)n n n P x y ．（1）求数列{}{}n n x y 与的通项公式；（2）证明：1352112sin 1n n n n nx xx x x x x y --⋅⋅⋅⋅<<+. 解：（1）设直线n l ：)1(+=x k y n ，联立0222=+-y nx x 得0)22()1(2222=+-++n n n k x n k x k ，则0)1(4)22(2222=+--=∆n n n k k n k ，∴12+=n n k n （12+-n n 舍去）22222)1(1+=+=n n k k x n n n，即1+=n n x n ，∴112)1(++=+=n n n x k y n n n （2）证明：∵121111111+=+++-=+-n n n n nx x nn 12112125331212432112531+=+-⨯⋅⋅⋅⨯⨯<-⨯⋅⋅⋅⨯⨯=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-n n n n n x x x x n ∴nnn x x x x x x +-<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-1112531由于nn n nx x n y x +-=+=11121，可令函数x x x f sin 2)(-=，则x x f cos 21)('-=，令0)('=x f ，得22cos =x ，给定区间)4,0(π，则有0)('<x f ，则函数)(x f 在)4,0(π上单调递减，∴0)0()(=<f x f ，即x x sin 2<在)4,0(π恒成立，又4311210π<≤+<n ，则有121sin 2121+<+n n ，即nn n n y x x x sin 211<+-.28（2009安徽卷理）首项为正数的数列{}n a 满足211(3),.4n n a a n N ++=+∈ （I ）证明：若1a 为奇数，则对一切2,n n a ≥都是奇数；（II ）若对一切n N +∈都有1n n a a +>，求1a 的取值范围.解：本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识，考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力，考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。