复合命题真假判断

专题03 命题形式变化及真假判定【热点聚焦与扩展】（一）命题结构变换1、四类命题间的互化：设原命题为“若，则”的形式，则 （1）否命题：“若，则” （2）逆命题：“若，则” （3）逆否命题：“若，则”2、，（1）用“或”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）中至少有一个成立即可，记为 （2）用“且”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）要同时成立，记为3、命题的否定：命题的否定并不是简单地在某个地方加一个“不”字，对于不同形式的命题也有不同的方法（1）一些常用词的“否定”：是→不是 全是→不全是 至少一个→都没有 至多个→至少个 小于→大于等于 （2）含有逻辑联结词的否定：逻辑联接词对应改变，同时均变为：或→且 且→或（3）全称命题与存在性命题的否定全称命题： 存在性命题： 规律为：两变一不变① 两变：量词对应发生变化（），条件要进行否定 ② 一不变：所属的原集合的不变化（二）命题真假的判断：判断命题真假需要借助所学过的数学知识，但在一组有关系的命题中，真假性也存在一定的关联.1、四类命题：原命题与逆否命题真假性相同，同理，逆命题与否命题互为逆否命题，所以真假性也相同.而原命题与逆命题，原命题与否命题真假没有关联p q p ⌝q ⌝q p q ⌝p ⌝p q ∨p q ∧p q ∨p q ∧p ⌝n 1n +,p q ,p q ⌝⌝p q p ⌝q ⌝p q p ⌝q ⌝():,:,()p x M p x p x M p x ∀∈→⌝∃∈⌝():,:,()p x M p x p x M p x ∃∈→⌝∀∈⌝∀⇔∃()p x ()p x ⇒⌝x M2、，，如下列真值表所示：简而言之“一真则真” 简而言之“一假则假” 3、：与命题真假相反. 4、全称命题：真：要证明每一个中的元素均可使命题成立 假：只需举出一个反例即可 5、存在性命题：真：只需在举出一个使命题成立的元素即可 假：要证明中所有的元素均不能使命题成立【经典例题】例1、【2020年高考全国Ⅱ卷文理16】设有下列四个命题： 1p ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．2p ：过空间中任意三点有且仅有一个平面． 3p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． 4p ：若直线⊂l 平面α，直线⊥m 平面α，则l m ⊥．则下述命题中所有真命题的序号是 ． ①41p p ∧②21p p ∧③32p p ∨⌝④ 43p p ⌝∨⌝ 【答案】①③④【思路导引】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假．再利用复合命题的真假可得出结论． 【解析】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面α内，p q ∨p q ∧p ⌝p M M M同理3l 与2l 的交点B 也在平面α内，∴AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ，命题4p 为真命题．综上可知，14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题．故答案为：①③④．【专家解读】本题的特点是注重知识的灵活应用，本题考查了空间点、线、面位置关系的判断，考查复合命题真假的判断，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等学科素养．解题关键是正确理解空间点线面的位置关系，理解或命题、且命题、非命题的含义及其真值表．例2．【四川省宜宾市2020届高三三模】下列命题是假命题的是（ ）A ．000sin cos x R x x ∃∈-，B ．00cos 1x R x ∃∈≥，C ．()01ln x x x ∀∈+∞-≥，，D ．(0)tan 2x x x π∀∈>，，【答案】A【解析】因为sin cos )4x x x π-=-，其值域为[，所以A 项错误；因为cos [1,1]x ∈-，所以B 项正确；令()1ln =--f x x x ，11'()1x f x x x-=-=， 当01x <<时，'()0f x <，当1x >时，'()0f x >，所以函数()1ln =--f x x x 在(0,1)上单调减，在(1,)+∞上单调增， 所以()1ln =--f x x x 在1x =处取得最小值，且(1)0f =， 所以()0f x ≥在(0,)+∞上恒成立，所以C 项正确；借助于三角函数线，可知(0)tan 2x x x π∀∈>，，，所以D 项正确；故选：A.【专家解读】该题考查的是有关命题真假的判断，涉及到的知识点有三角函数的值域，导数的应用，属于简单题目.例3．【2020届陕西省西安中学高三四模】已知命题p ：x R ∃∈，20x ->；命题q ：0x ∀≥x <，则下列说法中正确的是 A ．p q ∨是假命题 B ．p q ∧是真命题 C ．()p q ∧⌝是真命题 D ．()p q ∨⌝是假命题【答案】C【解析】命题p ，003,20x x ∃=->，即命题p 为真，对命题q ，去111424x x ==>= ，所以命题q 为假，p ⌝为真 所以()p q ∧⌝是真命题，故选：C.【专家解读】(1)对于一些简单命题，判断为真，许推理证明，若判断为假，只需找出一个反例即可； (2)对于复合命题的真假判断应利用真值表；(3)也可以利用“互为逆否命题”的等价性，通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假.例4．【湖南省长沙市长郡中学2020届高三三模】已知命题:p x R ∃∈，2230x x ++<，则命题p 的否定是（ ）A ．x R ∃∈，2230x x ++>B ．x R ∀∈，2230x x ++≤C ．x R ∀∈，2230x x ++≥D ．x R ∀∈，2230x x ++>【答案】C【解析】命题p 为特称命题，其否定为:p x R ⌝∀∈，2230x x ++≥. 故选：C.【专家解读】本题考查特称命题的否定的改写，要注意量词和结论的变化，属于基础题. 例5．【河北省鸡泽县第一中学2020年高三三模】下列命题是真命题的为( ) A ．若＝，则x ＝y B ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则＝D ．若x <y ，则x 2<y 2【答案】A 【解析】由得x=y ，而由x 2=1得x=±1，由x=y ，不一定有意义，而x ＜y 得不到x 2＜y 2，故选A ．例6．【河南省名校联盟2020年高三三模】下列命题为真命题的个数是（ ） ①{x x x ∀∈是无理数}，2x 是无理数； ②若0a b ⋅=，则0a =或0b =；③命题“若220x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”的逆否命题为真命题；④函数()x xe ef x x--=是偶函数.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】对于①中，当x =22x =为有理数，故①错误；对于②中，若0a b ⋅=，可以有a b ⊥，不一定要0a =或0b =，故②错误；对于③中，命题“若220x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”为真命题，其逆否命题为真命题，故③正确；对于④中，()()x x x xe e e ef x f x x x-----===-，且函数的定义域是(,0)(0,)-∞+∞，定义域关于原点对称，所以函数()x xe ef x x--=是偶函数，故④正确.综上，真命题的个数是2.故选：B.【专家解读】本题考查命题真假的判断，涉及全称命题的真假的判断、逆否命题真假的判断、向量垂直等价条件的应用以及函数奇偶性的判断，考查推理能力.例7．【安徽省六安市第一中学2020届高三三模】下列命题错误的是( )A ．命题“若0xy =，则x ，y 中至少有一个为零”的否定是：“若0xy ≠，则x ，y 都不为零”B ．对于命题0:p x R ∃∈，使得20010x x ++<，则:p x R ⌝∀∈，均有210x x ++≥C ．命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实根”的逆否命题为“若方程20x x m +-=无实根，则0m ≤”D ．“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件 【答案】A【解析】A 选项中命题的否定是：若0xy =，则x ，y 都不为零，故A 不正确；B 选项是一个特称命题的否定，变化正确；C 选项是写一个命题的逆否命题，需要原来的命题条件和结论都否定再交换位置，C 正确；D 选项由前者可以推出后者，而反过来不是只推出1x =，故D 正确， 故选：A.【专家解读】本题考查了命题的否定，逆否命题，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.【精选精练】1．【2020届湖南长沙市第一中学高三三模】已知命题p ：x R ∀∈，23x x <；命题q ：x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是：（ ） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧ C ．p q ∧⌝ D ．p q ⌝∧⌝【答案】B【解析】0x =可知: 命题p ：x R ∀∈，23x x <为假命题，由函数图象可知命题32:,1q x R x x ∃∈=-为真命题，所以p q ⌝∧为真命题．2．【河南省开封市2020届高三二模】已知:0p x ∀>，10x x-≥，则p ⌝为（ ） A ．00x ∃>，0010x x -< B ．00x ∃≤，0010x x -< C ．0x ∀>，10x x -< D ．00x ∀≤，10x x-≥ 【答案】A【解析】因为1:0,0p x x x∀>-，是全称命题， 故p ⌝为：00x ∃>，0010x x -<；故选：A ． 【专家解读】本题考查含量词命题的否定，属于基础题．3．【黑龙江省大庆实验中学2020届高三三模】下列说法错误的是（ ）A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”B ．“1x >”是“||1x >”的充分而不必要条件C ．若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题D ．命题:p “存在x ∈R ，使得210x x ++<”，则非:p “任意x ∈R ，均有210x x ++≥”【答案】C【解析】对于选项A ，命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”，即原命题为真命题；对于选项B ，当1x >时，||1x >，当||1x >，1x >或1x <，即原命题为真命题； 对于选项C ，若p 且q 为假命题，则p 、q 中至少有一个为假命题，即原命题为假命题；对于选项D ，命题:p “存在x ∈R ，使得210x x ++<”，则非:p “任意x ∈R ，均有210x x ++≥”， 即原命题为真命题；故选C.【专家解读】本题考查了命题的逆否命题的真假、充分必要条件、复合命题的真假及特称命题的否定，重点考查了逻辑推理能力，属中档题.4．【吉林省长春市2020届高考数学二模】命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得()0sin sin x x x +=-恒成立；q ：0a ∀>，()ln a xf x a x+=-为奇函数，则下列命题是真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．()()p q ⌝∨⌝ C ．()p q ∧⌝ D ．()p q ⌝∧【答案】A【解析】对于命题p ，由于()sin sin x x π+=-，所以命题p 为真命题.对于命题q ，由于0a >，由0a xa x+>-解得a x a -<<，且()()1ln ln ln a x a x a x f x f x a x a x a x --++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭，所以()f x 是奇函数，故q 为真命题.所以p q ∧为真命题. ()()p q ⌝∨⌝、()p q ∧⌝、()p q ⌝∧都是假命题.故选：A【专家解读】本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题.5．【四川省绵阳南山中学2020届高三高考仿真模拟】已知α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不重合的直线，命题p ：“若m α⊥，m n ⊥，则//n α”；命题q ：“若αβ⊥，n αβ=，m n ⊥，则m β⊥”，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ∨C ．()p q ∨⌝D ．()p q ⌝∧【答案】C【解析】命题p 中，若m α⊥，m n ⊥，则n 与α可能平行，也可能n ⊂α，故命题p 为假命题； 命题q 中，若αβ⊥，n αβ=，m n ⊥，m 与β的位置关系可能是m β⊂，//m β，也可能m 与β相交，故命题q 为假命题.因此p q ∧，p q ∨，()p q ⌝∧都是假命题，()p q ∨⌝为真命题.故选：C.【专家解读】本题主要考查判断复合命题的真假，涉及线面位置关系，属于基础题型. 6．【辽宁省沈阳二中2020届高三五模试题】已知命题“x R ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,1)-∞- B ．(1,3)- C ．(3,)-+∞ D ．(3,1)-【答案】B【解析】因为命题“x R ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，所以212(1)02x a x +-+>恒成立，所以2()114202a ∆=--⨯⨯<，解得13a -<<，故实数a 的取值范围是(1,3)-．故选B ． 【专家解读】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数．而二次函数的恒成立问题，也可以采取以上方法，当二次不等式在R 上大于或者小于0恒成立时，可以直接采用判别式法.7．【2020届重庆市南开中学高三三模】已知,x y R ∈，命题“若220x y +=，则0x =或0y =”的原命题，逆命题，否命题和逆否命题这四个命题中，真命题个数为（ ） A ．0B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由于220x y +=，则0x y ==，所以原命题为真命题，其逆否命题也是真命题.否命题为“若220x y +≠，则0x ≠且0y ≠”，如220,1,0x y x y ==+≠，所以否命题为假命题，故逆命题也是假命题.所以真命题的个数为2.故选：B【专家解读】本小题主要考查四种命题的真假性的判断，属于基础题. 8．【黑龙江省哈尔滨三中2020届四模试题】下列命题错误的是（ ） A ．若“p q ∧”为真命题，则p 与q 均为真命题 B ．命题“p q ∧为真”是“p q ∨为真”的必要不充分条件C ．若0:p x R ∃∈，2210x x +->，则:p x R ⌝∀∈，2210x x +-≤D ．“1x =”是“1x ≥”的充分不必要条件 【答案】B【解析】若“p q ∧”为真命题，则p 与q 均为真命题，故A 正确；若“p q ∧为真，则p 真，q 真，此时“p q ∨为真成立，若“p q ∨为真，则有可能,p q 一真一假，此时“p q ∧为假，所以命题“p q ∧为真”是“p q ∨为真”的充分不必要条件，故B 错误；由特称命题的否定为全称命题可得若0:p x R ∃∈，2210x x +->，则:p x R ⌝∀∈，2210x x +-≤，故C 正确；若“1x =”，则“1x ≥”成立，反之不成立，所以“1x =”是“1x ≥”的充分不必要条件，故D 正确； 故选：B.【专家解读】本小题主要考查复合命题的真假、全称命题与特称命题的相互转化以及充分条件，必要条件等基础知识，属于基础题.9．【黑龙江省哈尔滨市第一中学2020届高三三模】下列关于命题的说法错误的是（ ） A ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题为“若2x ≠，则2320x x -+≠” B ．“2a =”是“函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数”的充分不必要条件 C ．“若0x 为()y f x =的极值点，则()00f x '=”的逆命题为真 D ．命题p ：2x ∀>，230x ->的否定是02x ∃>，0230x -≤ 【答案】C【解析】对于A ，由逆否命题的概念可得命题“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题为“若2x ≠，则2320x x -+≠”，故A 正确；对于B ，若2a =，则函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数；若函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数，则只需满足1a >；所以“2a =”是“函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数”的充分不必要条件，故B 正确；对于C ，“若0x 为()y f x =的极值点，则()00f x '=” 的逆命题为“若()00f x '=，则0x 为()y f x =的极值点”，对函数()3f x x =，()00f '=，但0x =不是函数()f x 的极值点，所以原命题的逆命题为假命题，故C 错误；对于D ，由全称命题的否定可知命题p ：2x ∀>，230x ->的否定是02x ∃>，0230x -≤，故D 正确. 故选：C.【专家解读】本题考查了逆否命题、逆命题的改写、全称命题的否定，考查了充分条件、必要条件的判断及对数函数性质、极值点的概念，属于基础题.10．【黑龙江省哈尔滨市第一中学2020届高三6月模拟】已知命题p ：棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥；命题q ：棱柱的所有的侧面都是长方形或正方形，下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝【答案】D【解析】对于命题p ，因为棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，故棱锥的侧面为等边三角形， 如果该棱锥是六棱锥，则六个侧面顶角的和为360︒，但六棱锥的侧面的顶角和小于360︒，矛盾，故p 为假命题.对于命题q ，斜棱柱有侧面不是长方形，故命题q 为假命题. 故p q ⌝∧⌝为真命题.故选：D.【专家解读】复合命题p q ∨的真假判断为“一真必真，全假才假”，p q ∧的真假判断为“全真才真，一假必假”，p ⌝的真假判断是“真假相反”．11．【广东省肇庆市2020届高中毕业班第三次统一检测】如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为1AA 的中点，M 在侧面11AA B B 上，有下列四个命题：①若1D M CP ⊥，则BCM ∆ ②平面1A BD 内存在与11D C 平行的直线；③过A 作平面α，使得棱AD ，1AA ，11D C 在平面α的正投影的长度相等，则这样的平面α有4个；④过A 作面β与面1A BD 平行，则正方体1111ABCD A B C D -在面β． 则上述四个命题中，真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】对于①，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图1所示；过M 作MG ⊥平面ABCD ，G 是垂足，过G 作GH BC ⊥，交BC 于H ，连结MH ，则(0,0,0)D ，(0,1,0)C ，(1,0,0)A ，1(1,0,)2P ，(0,1,0)C ，1(0,0,1)D ，(1,1,0)B ，设(1,,)M a b ，则1(1,,1)D M a b =-，1(1,1,)2CP =-，∵1D M CP ⊥， ∴1111022D M CP a b ⋅=-+-=，解得21a b -=， ∴1CH a =-，21MG b a ==-，MH ==，∴11122BCM S BC MH ∆=⨯⨯=⋅112210=≥=，当35a =时，min ()BCM S ∆=，①正确； 对于11//D C DC ，DC平面1A BD D =，所以11D C 也与平面1A BD 相交．故②错； ③过A 作平面α，使得棱AD ，1AA ，11D C 在平面α的正投影的长度相等，因为11//D C AB ，且11D C AB =，故11D C 在平面α的正投影的长度等于AB 在平面α的正投影的长度，使得棱AD ，1AA ，11D C 在平面α的正投影的长度相等，即使得使得棱AD ，1AA ，AB 面α的正投影的长度相等，若棱AD ，1AA ，AB 面α的同侧，则α为过A 且与平面1A BD 平行的平面，若棱AD ，1AA ，AB 中有一条棱和另外两条棱分别在平面α的异侧，则这样的平面α有3个，故满足使得棱AD ，1AA ，11D C 在平面α的正投影的长度相等的平面α有4个；③正确．④过A 作面β与面1A BD 平行，则正方体1111ABCD A B C D -在面β的正投影为一个正六边形，其中1AC ⊥平面β，而1AC 分别垂直于正三角形1A BD 和11CB D ，所以根据对称性，正方体的8个顶点中，1AC 在平面β内的投影点重合与正六边形的中心，其它六个顶点投影恰是正六边形的六个顶点，且正六边形的边长等于正三角形1A BD 的外接圆半径（投影线与正三角形1A BD 、11CB D 垂直），所以正六边形的边长为sin 6023a =÷︒=，所以投影的面积为2266a ==⎝⎭．④对．故选C ． 【专家解读】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力．12．【黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020届高三三模】已知a R ∈，命题“存在x ∈R ，使230x ax a --≤”为假命题，则a 的取值范围为______.【答案】()12,0-【解析】命题：“存在x ∈R ，使230x ax a --≤”为假命题即230x ax a -->恒成立，则∆<0，即：2120a a ∆=+<，解得120a -<<，故实数a 的取值范围为()12,0-故答案为：()12,0-【专家解读】本题考查由命题的真假求参数的范围，考查一元二次不等式的应用，体现了等价转化的思想，属于中等题.13．【2020届湖南省永州市祁阳县高三二模】已知：()2:,21p x R x m x ∀∈>+，0:,q x R ∃∈200210x x m +--=， （1）若q 是真命题，求实数m 的取值范围；（2）若()p q ∧⌝为真命题，求实数m 的取值范围.【答案】（1）2m ≥-；（2）2m <-.【解析】（1）因为0:R,q x ∃∈200210x x m +--=为真命题，所以方程2210x x m +--=有实根，所以判别式()4410m ∆=++≥，所以实数m 的取值范围为2m ≥-.（2）()221x m x >+可化为220mx x m -+<，若:R,p x ∀∈()221x m x >+为真命题， 则220mx x m -+<对任意的x ∈R 恒成立，当0m =时，不等式可化为20x -<，显然不恒成立；当0m ≠时，有20440m m <⎧⎨-<⎩，1m ∴<-， 由（1）知，若q ⌝为真命题，则2m <-，又()p q ∧⌝为真，故p 、q ⌝均为真命题，所以实数m 需满足12m m <-⎧⎨<-⎩，解得2m <-， 所以实数m 的取值范围为2m <-.【专家解读】本题考查利用复合命题的真假求参数的取值范围；考查运算求解能力和逻辑思维能力；熟练掌握复合命题的真假判断是求解本题的关键；属于中档题.。

真假命题判断的口诀
真假命题判断的口诀如下：
1、对于p且q形式的复合命题，同真则真。

2、对于p或q形式的复合命题，同假则假。

3、对于非p形式的复合命题，真假相反。

4、两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性。

5、两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。

6、原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假。

真假命题的概念如下：
真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题，叫做真命题。

假命题：如果题设成立，结论不成立，这样的命题都是错误的命题，叫做假命题。

§1.6.2 判断复合命题真假的方法[教学目的]会判断复合命题的真假.[重点难点]重点：判断复合命题真假的方法；难点：对“或”的含义的理解.[教学过程]一、复习引入⒈什么叫简单命题？什么叫复合命题？⒉复合命题的构成形式是什么？⒊“或”、“且”、“非”的含义是什么？⒋练习：⑴分别写出由命题“p：π是无理数”和“q：π是实数”构成的三种形式的复合命题.⑵指出下列复合命题的形式及其构成：① x2+5≥5；②梯形集合与矩形集合都是四边形集合的子集.答案：⑴p或q：π是无理数或是实数；p且q：π是无理数且是实数；非p：π不是无理数.⑵①是p或q的形式，其中p：x2+5>5，q：x2+5=5；②是p且q的形式，其中p：梯形集合是四边形集合的子集，q：矩形集合是四边形集合的子集.⒌上述⑴的答案中给出的三个命题是否成立，即它是真命题还是假命题？对于一般的复合命题，怎样来判断它的真假呢？下面我们就来研究这个问题.二、学习、讲解新课（一）判断复合命题真假的方法⒈真值表对于“非 p”形式的复合命题：当p为真时，非p为假；当p为假时，非p 为真.即“非 p”形式的复合命题的真假与p的真假相反.如表一.例如，p：2是10的约数为真，则非p：2不是10的约数为假.对于“p且q”形式的复合命题：当p，q都为真时，“p且q”为真；当p，q中至少有一个为假时，“p且q”为假.即“p且q”形式的复合命题当p与q同为真时为真，其他情况时为假.如表二.例如，p：5是10的约数，q：5是15的约数，r：5是8的约数，则p且q：5是10的约数且是15的约数为真，因为p，q都为真；p且r：5是10的约数且是8的约数为假，因为r为假.对于“p或q”形式的复合命题：当p，q中至少有一个为真时，“p或q”为真；当p，q都为假时，“p或q”为假.即“p或q”形式的复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真.如表三.例如，p：5是12的约数，q：5是15的约数，r：5是8的约数，则p或q：5是12的约数或是15的约数为真，因为q为真；p或r：5是12的约数或是8的约数为假，因为p，r都为假.像上面（表一至表三）用来表示命题的真假的表叫做真值表.在真值表中，是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容.例（P例2）分别指出由下列各组命题构成的“ p或q”，“p且q”，“非28p”形式的复合命题的真假：⑴p：2+2=5，q：3>2；⑵p：9是质数，q：8是12的约数；⑶p：1∈{1，2}，q：{1}⊂{1，2}；⑷p：φ⊂{0}，q：φ={0}.解：⑴p或q：2+2=5或3>2 ；p且q：2+2=5且3>2 ；非p：2+2≠5.∵p假q真，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真.⑵p或q：9是质数或8是12的约数；p且q：9是质数且8是12的约数；非p：9不是质数.∵p假q假，∴“p或q”为假，“p且q”为假，“非p”为真.⑶p或q：1∈{1，2}或{1}⊂{1，2}；p且q：1∈{1，2}且{1}⊂{1，2}；非p：1∉{1，2}.∵p真q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真，“非p”为假.⑷p或q：φ⊂{0}或φ={0}；p且q：φ⊂{0}且φ={0} ；非p：φ⊄{0}.∵p真q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假.练习：1，2.练习：课本P28答案：1.⑴真；⑵真；⑶假.2.⑴p或q：4∈{2，3}或2∈{2，3}；p且q：4∈{2，3}且2∈{2，3}；非p：4∉{2，3}.∵p假q真，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真.⑵p或q：2是偶数或不是质数；p且q：2是偶数且不是质数；非p：2不是偶数.∵p真q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假.⒉逻辑符号“或”的符号是“∨”，“且”的符号是“∧”，“非”的符号是“┐”.例如，“p或q”可记作“p∨q”；“p且q”可记作“p∧q”；“非p”可记作“┐p”.⒊数学中的“或”与日常生活用语中的“或”的区别“或”这个逻辑联结词的用法，一般有两种解释：一是“不可兼有”，即“a或b”是指a，b中的某一个，但不是两者.日常生活中有时采用这一解释.例如“你去或我去”，人们在理解上不会认为有你我都去这种可能.二是“可兼有”，即“a或b”是指a，b中的任何一个或两者.例如“x∈A 或x∈B”，是指x可能属于A但不属于B（这里的“但”等价于“且”），x也可能不属于A但属于B，x还可能既属于A又属于B（即x∈A∩B）；又如在“p 真或q真”中，可能只有p真，也可能只有q真，还可能p,q都为真.数学书中一般采用这种解释，运用数学语言和解数学题时，都要遵守这一点.还要注意“可兼有”并不意味“一定兼有”.另外，“苹果是长在树上或长在地里”这一命题，按真值表判断，它是真命题，但在日常生活中，我们认为这句话是不妥的.⒋学习逻辑的意义一方面是因为数学基础需要用逻辑来阐明，另一方面是因为计算机离不开数学逻辑，课本中介绍的洗衣机上的“或门电路”和电子保险门上的“与门电路”就是两个在这方面应用的实例.可以说计算机的“智能”装置是以数学逻辑为基础进行设计的.同学们可以结合日常生活中电器的自动控制功能，再找出一些这样的例子.三、小结本节主要学习了判断复合命题真假的方法—真值表法，并对三种复合命题进行了真假判断的概括，通过实例说明了学习逻辑的意义.四、布置作业的内容，熟悉巩固有关概念和方法.(一)复习：课本P27-28(二)书面：课本P习题1.6：3，4.29答案：3.⑴真；⑵真；⑶假；⑷真.4.⑴p或q：π是无理数或是实数；p且q：π是无理数且是实数；非p：π不是无理数.∵p真q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真，“非p”为假.⑵p或q：2>3或8+7≠15；p且q：2>3且8+7≠15；非p：2≤3.∵p假q假，∴“p或q”为假，“p且q”为假，“非p”为真.(三)思考题：命题“p或q”与“p且q”的否定形式各是什么？答：“p或q”的否定是“非p且非q”；“p且q”的否定是“非p或非q”.(四)预习：课本1.7四种命题.。

专题6 含逻辑联结词命题真假判断含逻辑联结词命题真假判断命题p∧q、p∨q、非p真假判定简记为“p∧q两假才假；非p与p真假相反〞．判断含有逻辑联结词命题真假关键及步骤(1)判断含有逻辑联结词命题真假关键是正确理解“或〞“且〞“非〞含义，应根据命题中所出现逻辑联结词进展命题构造分析与真假判断．(2)判断命题真假步骤根据复合命题真假求参数步骤(1)根据题目条件，推出每一个命题真假(有时不一定只有一种情况)；(2)求出每个命题是真命题时参数取值范围；(3)根据给出复合命题真假推出每个命题真假情况，从而求出参数取值范围．命题p：关于x不等式a x>1(a>0，且a≠1)解集是{x|x<0}，命题q：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )定义域为R ，如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，那么实数a 取值范围为________________．[解析] 由关于x 不等式a x >1(a >0，且a ≠1)解集是{x |x <0}，知0<a <1.由函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )定义域为R ，知不等式ax 2－x ＋a >0解集为R ，那么⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1－4a 2<0，解得a >12. 因为p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p 与q 一真一假，即“p 假q 真〞或“p 真q 假〞，故⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，a >12或⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，a ≤12，解得a >1或0<a ≤12， 即a ∈⎝⎛⎦⎥⎥⎤0，12∪(1，＋∞)． [答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0，12∪(1，＋∞) 1．假设命题p ：函数y ＝x 2－2x 单调递增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝x －1x单调递增区间是[1，＋∞)，那么( ) A ．p ∧q 是真命题B ．p ∨q 是假命题C ．非p 是真命题D ．非q 是真命题2．命题p ：当a >1时，函数y ＝log 12(x 2＋2x ＋a )定义域为R ；命题q ：“a ＝3”是“直线ax ＋2y ＝0与直线2x －3y ＝3垂直〞充要条件，那么以下结论正确是( )A ．p ∨q 为真命题B ．p ∧q 为假命题C ．p ∧非q 为真命题D ．非p ∨q 为假命题解析：选A 当a >1时，一元二次方程x 2＋2x ＋a ＝0判别式Δ＝4－4a <0，那么x 2＋2x ＋a >0对任意x ∈R 恒成立，故函数y ＝log 12(x 2＋2x ＋a )定义域为R ，故命题p 是真命题；直线ax ＋2y ＝0与直线2x －3y ＝3垂直等价于a ×2＋2×(－3)＝0，解得a ＝3，故“a ＝3〞是“直线ax ＋2y ＝0与直线2x －3y ＝3垂直〞充要条件，故命题q 是真命题．所以p ∨q 为真命题，p ∧q 为真命题，p ∧非q 为假命题，非p ∨q 为真命题．应选A.3．设命题p ：函数f (x )＝lg(ax 2－4x ＋a )定义域为R ；命题q ：不等式2x 2＋x >2＋ax 在x ∈(－∞，－1)上恒成立，如果命题“p ∨q 〞为真命题，命题“p ∧q 〞为假命题，那么实数a 取值范围为________．1．命题:p α∃∈R ,使得sin 2cos 3αα+=;命题π:0,,2q x x sinx ⎛⎫∀∈> ⎪⎝⎭,那么以下判断正确是〔 〕A. p 为真B. q ⌝为假C. p q ∧为真D. p q ∨为假】甘肃省武威市第六中学2021届高三第一次阶段性过关考试数学〔文〕试题【答案】B 【解析】()sin 2cos 55,5sin αααθ⎡⎤+=+∈-⎣⎦，θ是参数，∵3>5，∴∀α∈R ， 23sin cos αα+≠；故命题p 为假命题，设()f x x sinx =-,那么()'10f x cosx =-，那么函数f (x )为增函数，∵那么当x >0时,f (x )>f (0)，即x −sin x >0，那么x >sin x ，故命题q 是真命题，那么q ⌝为假，其余为假命题，应选：B.2．命题p ：假设复数z 满足()()5z i i --=，那么6z i =；命题q ：复数虚部为15i -，那么下面为真命题是〔 〕A. ()()p q ⌝⌝∧B. ()p q ⌝∧C. ()p q ⌝∧D. p q ∧【来源】【全国市级联考】湖南省益阳市、湘潭市2021届高三9月调研考试数学〔理〕试题【答案】C【解析】复数z 满足()()5z i i --=，所以，所以命题p 为真； 复数()()()112131212)125i i i i i i i +-+-==++-，虚部为15-，所以命题q 为假.A. ()()p q ⌝⌝∧为假；B. ()p q ⌝∧为假；C. ()p q ⌝∧为真；D. p q ∧为假. 应选C.3．以下命题中正确命题个数是〔 〕〔1〕命题“假设2320x x -+=，那么1x =〞逆否命题为“假设1x ≠，那么2320x x -+≠〞；〔2〕在回归直线ˆ12y x =+中， x 增加1个单位时， y 减少2个单位；〔3〕假设p 且q 为假命题，那么,p q 均为假命题；〔4〕命题0:,p x R ∃∈使得20010x x ++<，那么:,p x R ⌝∀∈均有210x x ++>.A. 1B. 2C. 3D. 4】广东省珠海市2021-2021学年度第一学期高三摸底考试文科数学4．命题p ：关于x 方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．假设p ∨q 是真命题，那么实数a 取值范围是________．解析：假设命题p 是真命题，那么Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；假设命题q 是真命题，那么－a4≤3，即ap ∨q 是真命题，所以a ∈R.答案：R5．命题p ：方程表示椭圆，命题q ： 2,2210x R mx mx m ∃∈++-≤，. 〔1〕假设命题q 为真，求实数m 取值范围；〔2〕假设p q ∨为真， q ⌝为真，求实数m 取值范围.】河南省鲁山县一中2021-2021学年高二第一次月考〔文〕数学试卷【答案】〔1〕(],11,7-∞〔2〕()【解析】试题分析：〔1〕命题p为真，就是对应不等式有解，m=0时恒成立，0m≠时结合二次函数图像列条件解得实数m取值范围；此题也可利用参变别离法求解〔2〕先根据椭圆标准方程分母符号得为真为假，解不p m为真取值范围，再根据p q∨为真，q⌝为真，得p q等式得实数m取值范围.试题解析：〔Ⅰ〕∵命题q为真，当0m>时，()2m≤时，∆≥⇒≥-⇒≤≤∴<≤；当0m m m m m044210101不等式恒成立.综上，1m≤ .〔Ⅱ〕假设p为真，那么60,7067m m m+>-<⇒-<<，.∵假设p q∨为真，q⌝为真，∴p q为真为假∴1,6717>-<<∴<<m m m6．设命题：关于不等式解集是；命题：.假设为假命题，求实数取值范围.】甘肃省武威市第六中学2021届高三第一次阶段性过关考试数学〔理〕试题【答案】【解析】试题分析：由复合命题真假得命题为真命题，命题为假命题，由为真命题得，由为假命题得，求其交集即可.试题解析：由为假命题，得：命题为真命题，命题为假命题.由命题为真命题，得，；由命题为假命题，得：为真命题，，解得：；因此，所求实数取值范围是.7．命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0〞，命题q：“∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0〞，假设命题“p且q〞是真命题，求实数a取值范围．】【全国百强校】宁夏育才中学2021届高三上学期第一次月考〔理〕数学试题【答案】a≤－2或a＝1.8．命题甲：或，命题乙：或，当甲是真命题，且乙是假命题时，求实数取值范围.】【全国百强校】河北省武邑中学2021-2021学年高二上学期第一次月考数学〔文〕试题【答案】【解析】试题分析：乙为假命题即为求乙集合补集，进而同甲集合取交即可.试题解析：当甲真乙假时，集合.___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ _____________________。

二简易逻辑（§1.6.2 逻辑联结词）教学时间:第二课时课题: §1.6.2 复合命题的真假判断教学目标：1.理解掌握判断复合命题真假的方法.2.培养学生归纳推理的思维能力.教学重点：判断复合命题真假的方法.教学难点：对“p或q”复合命题真假判断的方法.教学方法：启发、诱导发现教学.教具准备：真值表挂图（或投影片共2片）教学过程：（I）复习回顾（1）什么叫做命题？（2）逻辑联结词是什么？（3）什么叫做简单命题和复合命题？（II）讲授新课师：上节学习了命题的概念，本节进一步讨论研究如何判断一个复合命题的真假。

（板书）§1.6.2 复合命题的真假判断1、非p形式的复合命题，例如：（投影片1）生：(1)中p表示的复合命题为真，而非p“2不是10的约数”为假。

(2)中p表示的命题“3≤2”为假，非p表示的命题为“3>2”，其显然为真。

师：请一同学归纳非p复合命题判断真假的方法是什么？生：当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真。

(师随生真出真值表（1）)2、p且q形式的复合命题，例如：（投影片2）生：ｐ且ｑ即５既是１０的约数，也是１５的约数为真；ｐ且ｒ即５既是１０的约数，也是８的约数为假；ｒ且ｓ即５既是８的约数，也是１６的约数为假。

规律：ｐ、ｑ都为真时，ｐ且ｑ为真；ｐ、ｑ中有一个为假时，ｐ且ｑ为假；ｐ、ｑ都为假时，ｐ且ｑ为假.师：（归纳）由上述例题可以看出：ｐ且ｑ形式的复合命题：当ｐ、ｑ都为真时，p且q为真；当p、q中至少有一个为假时，p且q为假.如下表：3、p或q形式的复合命题（投影片3），例如：生：p或r即5是12的约数或是8的约数为假，q或s即5是15的约数或是10的约数为真；师：其规律是什么？生：p或q中p、q都为假时，p或q为假；p、q都为真时，p或q为真.师：下面回答“p或q”的命题的构成和真假.（学生充分讨论后回答）生：p或q即5是12的约数或是15的约数为真.师：为什么为真？生：因p、q中命题q为真，只要p、q中一个为真时，p或q为真.师：回答正确，又如：“3≥2”含义为“3<2或3=2”，因为“3>2”为真，则“3≥2”为真。

复合命题考官出题套路→←[2.8]代入逻辑推命题真假[2.9]判断逻辑关系的真假[2.10]推矛盾和“两难推理”[2.11]真话假话[2.8]代入逻辑推命题真假[考官出题套路特征]1)题干通过逻辑连词给出数个逻辑箭头，一定还会给出某个命题的真假的条件。

2)选项均是要判断命题的真假[1]只能顺推，前件为真，可以推出后件真。

前假为假，推不出任何信息。

[2]不能逆推，后件为真，推不出任何信息。

后件为假，可以推出前件为假[3] A or B为真，否定or的一边可以推出另一边，肯定一边什么也推不出[例题1]哲学家:“我思考，所以我存在。

如果我不存在，那么我不思考。

如果我思考，那么人生就意味着虚无缥缈。

"若把“人生并不意味着虚无缥缈”补充到上述论证中，那么哲学家能得出什么结论?A.我思考。

B.我不思考。

C.我存在。

D.我不存在。

E.人生要过的有意义[反三段论)假如A and B →c为真，那么非C and A能推出非B[先做逆否，再用OR的推理]A andB →C,逆否同时成立非C →非A or非B1.增加非C为真的条件，可以推出非A or非B为真2.非A or非B为真，再增加A为真的条件，可以推出非B为真[例题3]如果甲和乙都没有考试及格的话，那么丙就一定及格了。

上述前提再增加以下哪项，就可以推出“甲考试及格了”的结论?[例题2]如果国民生产总值提高了并且民众消费心理变化了，那么蔬菜的供应将大幅增加;如果国民生产总值没有提高，或者蔬菜供应将大幅增加，那么城市居民的最低生活将没有保障;如果蔬菜供应大幅增加，那么或者农民增收，或者社会福利增加。

而事实上，城市居民的最低生活获得了保障。

由”A.农民增收了B.社会福利增加了C民众的消费心理没有发生变化D.民众的消费心理变化了E.蔬菜供应增加了[例题4]粤西酒店如果既有清蒸石斑，又有白灼花螺，则--定会有盐煸花蟹;酒店在月尾从不卖盐煽花蟹;只有当粤西酒店卖白灼花螺时，老王才会与朋友到粤西酒店吃海鲜。

第五章复合命题及其推理【内容提要】一、复合命题及其结构。

复合命题是包含了其他命题的一种命题，一般地说，它是由若干个(至少一个)简单命题通过一定的逻辑联结词组合而成的。

复合命题的逻辑性质是由逻辑联结词来决定的。

不同的联结词是区别各种类型复合命题的唯一依据。

二、联言命题及其推理。

联言命题是断定若干事物情况共同存在的命题，只有在其联言肢都真的情况下，该联言命题才是真的。

据此逻辑性质而进行的联言推理有两种形式：分解式和组合式。

三、选言命题及其推理。

选言命题是反映若干可能的事物情况至少有一种存在的命题。

根据其肢命题(选言肢)是否相容，可分为相容选言命题和不相容选言命题两种。

关键是掌握相容关系和不相容关系两种命题的逻辑性质，弄清至少一个选言肢真(可以同真)和只有一个选言肢真(不能同真)的不同，从而正确运用选言命题。

能区分相容选言命题和联言命题根本不同的逻辑性质。

在此基础上掌握选言推理的定义以及相容选言推理、不相容选言推理的形式和规则。

四、假言命题及其推理。

假言命题是断定一事物情况是另一事物情况存在条件的命题，因而又称为条件命题。

根据断定的条件性质的不同，假言命题可分为充分条件假言命题、必要条件假言命题和充分必要条件假言命题三种。

其要点是切实把握充分、必要、充要的逻辑含义，弄清三种假言命题之间的区别：充分条件是有前必有后，无后必无前；必要条件是无前必无后，有后必有前；充要条件是充分、必要二者的结合。

在此基础上掌握假言推理的定义以及充分条件假言推理、必要条件假言推理、充分必要条件假言推理的形式和规则。

五、二难推理。

二难推理的四种形式：简单构成式、简单破坏式、复杂构成式、复杂破坏式，以及二难推理的要求和破斥错误二难推理的方法。

六、负命题及其等值推理。

负命题是否定某个命题的命题，是仅有一个肢命题的一种特殊的复合命题。

它与直言命题中的否定命题有着根本的不同。

要点是掌握负命题和原命题之间的矛盾关系及各种负命题的等值命题，利用各种负命题的等值公式进行推理。

复合明体（判断）及其真值表第一节联言判断一、什么是联言判断联言判断是断定若干事物情况共同存在的复合判断。

例如：泰山既雄伟，又壮丽。

联言判断由联言支和联言联结项构成。

联言支可以有两个或三个以上，联言支通过联结项“并且”联结起来。

一个二支联言判断的逻辑形式是：P并且q在现代逻辑中，“并且”也可用“∧”（读作“合取”）表示。

这样，联言判断的逻辑形式也可表示为：P∧q在现代汉语中，联言判断用并列复句、递进复句、连贯复句、转折复句与某些单句表达。

二、联言判断的真假值联言判断的真假决定于联言支的真假。

一个联言判断，只有当它的联言支都真时，它才是真的，只要朋一个联言支假，它就是假的。

两个联言支中如果有一个假或者两个都假时，那么，这个联言判断就是假的。

联言判断的真假值与联言支的真假值的制约关系可以用下列真值表来表示：现代逻辑认为，一个合取式（P∧q），只要支命题都真，即使支命题之间没有意义上的联系，也是真的。

例如，“1+1=2，并且雪是白的”这个联言命题就是真的。

然而，在实际思维和语言表达中，人们不满足于仅从真假值的角度对联言判断加以研究，而进一步从联言支之间不同意义上的联系作具体分析，以便准确使用这种判断。

三、使用联言判断要注意的几个问题1、选择恰当的关联词语来表达联言判断联言判断是对各种共同存在的事物情况的概括反映，而共同存在的事物情况之间的关系是有区别的。

这种区别表现为并列关系、连贯关系（承接关系）、递进关系、转折关系。

其语言形式则是并列复句、连贯复句、递进复句、转折复句。

所以，在语言运用中，要根据联言支之间的实际关系选择恰当的关联词语来表达。

2、注意联言支的排列顺序如“她结了婚，而且生了孩子”。

3、联言支不能重叠联言判断的各个联言支应各自独立，其断定内容不能重复，否则，就造成“联言支多余”。

例如：有的人擅离职守，随便不上班，……；有的人利用职务之便，收受贿赂，接受行贿人的财物；有的人涂改单据，制造假帐，伪造帐目，进行贪污……4、在日常语言中，联言判断往往采取省略形式满招损，谦受益。

第2 题命题真假的判断所以，AB ⊂α，即l3 ⊂α，命题p1为真命题；命题p4 为真命题.综上可知，，为真命题，，为假②四种命题的真假关系同一个命题的逆命题与它的否命题互为逆否命题，互为逆否命题的两个命题同真假；互逆或互否的两个命题，它们的真假没有关系．因此任何一个命题的原命题、否命题、逆命题和逆否命题这四个命题中，真命题与假命题的个数总是偶数．考点二含有逻辑联结词命题真假的判断逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词；简单命题：不含逻辑联结词的命题；复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题．（1）复合命题有三种形式：p 或q （p ∨q ）；p 且q （p ∧q ）；非p （⌝p ）．（2）复合命题的真假判断：“p 或q ”形式复合命题的真假判断方法：一真必真；“p 且q ”形式复合命题的真假判断方法：一假必假；“非p ”形式复合命题的真假判断方法：真假相对．（3）含逻辑联结词命题真假的等价关系：① p ∨q 真⇔p , q 至少一个真⇔(⌝p)∧(⌝q)假；②p ∨q 假⇔p , q 都假⇔(⌝p)∧(⌝q)真；③p ∧q 真⇔p , q 都真⇔(⌝p)∧(⌝q)假；④ p ∧q 假⇔p , q 至少一个假⇔(⌝p)∨(⌝q)真；( ) 0 0 0【答案】B【解析】对于①中，当 x = 2 时， x 2 = 2 为有理数，故①错误；对于②中，若 a ⋅ b = 0 ，可以有 a ⊥ b ，不一定要 a = 0 或b = 0 ，故②错误；对于③中，命题“若 x 2 + y 2 = 0 ， x ∈ R ， y ∈ R ，则 x = y = 0 ”为真命题， 其逆否命题为真命题，故③正确；对于④中， f (-x ) =e - x - e x -x= e x - e - x =x (x ) ，且函数的定义域是(-∞, 0) (0, +∞) ，定义域关于原点对称，e x - e - x所以函数 f x =是偶函数，故④正确. x综上，真命题的个数是2 .故选：B.3.（2020·广西兴宁）以下四个命题：①若 p ∧ q 为假命题，则 p ，q 均为假命题；②对于命题 p : ∃x ∈R, x 2+ x +1 < 0, 则⌝p 为： ∀x ∉ R, x 2 + x +1 0; ；③ a = 2 是函数 f (x ) = log a x 在区间(0, +¥ )上为增函数的充分不必要条件；④ f ( x ) = sin (ωx +ϕ) 为偶函数的充要条件是ϕ= π2其中真命题的个数是（ ）fx x【答案】A【解析】对①，若 p ∧ q 为假命题，则 p , q 中至少一个为假命题，故①错误；对②，命题 p : ∃x ∈R, x 2+ x +1 < 0 的否定为⌝p : ∀x ∈ R, x 2 + x +1 0 ，故②错误；对③，当 a = 2 时，函数 f (x ) = log a x 在区间(0, +¥ )上为增函数；当函数 f (x ) = log a x 在区间(0, +¥)上为增函数时， a > 1，即 a = 2 是函数 f (x ) = log a x 在区间(0, +¥ )上为增函数的充分不必要条件，故③正确；对④，当ϕ=3π时， f (x ) = sin⎛ 3π+ωx ⎫= -cos ωx ， f (-x ) = -cos(-ωx ) = -cos ωx = f (x ) ，此时 22 ⎪ ⎝ ⎭函数 f ( x ) = sin (ωx +ϕ) 也是偶函数，故④错误；故选：A4.（2020·安徽省六安中学） 已知命题 p ： ∃x ∈ R ，x - 2 > 0 ；命题q ： ∀x ≥ 0 ， < x ，则下列说法中正确的是A ．p ∨ q 是假命题 B ．p ∧ q 是真命题C ． p ∧ (⌝q ) 是真命题D ． p ∨ (⌝q ) 是假命题【答案】C【解析】命题 p ， ∃x 0 = 3, x 0 - 2 > 0 ，即命题 p 为真，对命题 q ，去x = 1 , = 1 > x = 1，所以命题 q 为假， ⌝p 为真 424所以 p ∧ (⌝q ) 是真命题故选：C.5.（2020·安徽相山高三）下列有关命题的说法正确的是( )A．命题“若x2 = 1 ，则x = 1 ”的否命题为：“若x2 = 1 ，则x ≠ 1”．B.若p ∨q 为真命题，则p, q 均为真命题.C.命题“存在x ∈R ，使得x2 +x +1 < 0 ” 的否定是：“对任意x ∈R ，均有x2 +x +1< 0 ”．D.命题“若x =y ，则sin x = sin y ”的逆否命题为真命题．【答案】D【解析】对于A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，因此不正确；对于B．若p∨q 为真命题，则p 与q 至少有一个为真命题，因此不正确；对于C．“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对任意x∈R，均有x2+x+1≥0”，因此不正确对于D．由于命题“若x=y，则sinx=siny”为真命题，因此其逆否命题为真命题，正确．故选D．6.（2020·安徽金安）下列结论正确的个数为（）①设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α.“ m//β”是“α//β”的必要而不充分条件；②已知命题p : ∀x > 0 ，总有(x+1)e x>1，则⌝p : ∃x ≤ 0 ，使得(x+1)e x0 ≤1；0 0③已知函数y = tan(ωx +ϕ) ⎛ω> 0,|ϕ|<π⎫的最小正周期为π，其图象过点(0, 3) ，则其对称中心为2 ⎪2⎝⎭⎛kπ-π⎫4 6 , 0 ⎪(k ∈Z ) ；⎝⎭④已知随机变量ξ~ N(1,δ2 )，若P(ξ< 3) = 0.6 ，则P(-1 <ξ< 1) = 0.1A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】对于①，根据面面平行的判定知，由“ m//β”不能推出“α//β”，根据面面平行的性质知由“α//β”可得到“ m//β”，所以“ m//β”是“α//β”的必要而不充分条件，故①正确；对于②，由全称命题的否定是特称命题得：命题p : ∀x > 0 ，总有(x +1)e x > 1 ，则⌝p : ∃x0 >0 ，使得(x+1)e x0 ≤1，故②不正确；对于③：因为函数y = tan(ωx +ϕ) ⎛ω> 0,|ϕ|<π⎫的最小正周期为π，所以ω= 2 ，2 ⎪2⎝⎭又其图象过点(0, 3) ，所以tanϕ= 3 ，所以ϕ=π，所以y = tan(2x +π，) 3 3令2x +π=kπ(k ∈Z ) ，得x =kπ-π, k ∈Z ，所以其对称中心为⎛kπ-π0 ⎫(k ∈Z )，故③正确；3 24 6 4 6, ⎪⎝⎭对于④，因为随机变量ξ~ N(1,δ2 )，所以P(ξ<1)=0.5，又P(ξ< 3) = 0.6 ，所以P(1 <ξ< 3) = 0.6 - 0.5 = 0.1 ，所以P(-1 <ξ< 1) =P(1 <ξ< 3) = 0.1 ，故④正确；综上可知：正确的命题有①③④，故选：C.2 a 2 2 2【答案】A【解析】令 f (x ) = e x + x ，则易知 f (x ) = e x + x 在 R 上单调递增，所以当 x < 0 时， f (x ) = e x + x < 1 < 2 ，即e x < 2 - x ；因此命题 p : ∃x ∈ R , 2 - x > e x为真命题； 由 a > 0 得 a 2 +1 > 1；所以，当 a > 1时， log a (a + 1) > 0 ；当0 < a < 1时， log a (a + 1) < 0 ；因此，命题 q : ∀a ∈ R + ，且a ≠ 1, log (a 2+1) > 0 为假命题； 所以命题 p ∧ ⌝q 是真命题.故选 A8.（2020·全国高三）对于实数 a ，b ，m ，下列说法：①若 a > b ，则am 2 > bm 2 ；②若 a > b ，则 a | a |> b | b | ； ③若b > a > 0, m > 0 ，则a + m > a ；④若a >b > 0 ，且| ln a |=| ln b | ，则 2a + b 的最小值为 ．其 b + m b 中是真命题的为（）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④【答案】B【解析】对于①，当 m = 0 时， am 2 = bm 2 = 0 ，所以①是假命题．对于②，当 a > 0 时， a | a |> b | b | 成立；当 a < 0 时， a a > b b 等价于- a 2 > - b 2 ，即a 2 < b 2 ，因为b < a < 0 ，所以a 2 < b 2 ，所以 a | a |> b | b | 成立；当 a = 0 时， b < 0 ，所以a a > b b 成立．所以②是真命题．2 2 对于③，因为b > a > 0, m > 0 ，所以a + m - a = (a + m )b - (b + m )a = (b - a )m > 0 ，所以 a + m > a ， b + m b (b + m )b (b + m )b b + m b所以③是真命题．对于④，因为 a > b > 0 ，且| ln a |=| ln b | ，所以 a > 1 > b > 0 ，且ln a = - ln b ，所以 ab = 1 ，因为2a + b = 2a + 1 ≥ 2 ，当且仅当 2a = 1 ，即 a = 2 时成立， 2 < 1，不合题意，所以 2a + b 的最小 a a 2 2值不是2 ，又由⎛ 2a + 1 ⎫' = 2 - 1 ，因为 a > 1，所以⎛ 2a + 1 ⎫' = 2 - 1 > 0 ， a ⎪ a 2 a ⎪ a 2⎝ ⎭ ⎝ ⎭所以 y = 2a + 1 是 a 的增函数， 2a + 1在 a > 1时没有最小值．所以④是假命题． a a故选：B.9.（2020·厦门市湖滨中学）给出下列四个命题：①若样本数据 x 1 , x 2 , x 10 的方差为16 ，则数据 2x 1 -1, 2x 2 -1, 2x 10 -1 的方差为64 ；②“平面向量 a , b 的夹角为锐角，则 a ⋅b > 0 ”的逆命题为真命题；③命题“ ∀x ∈(-∞, 0) ，均有e x > x +1 ”的否定是“ ∃x ∈(-∞, 0) ，均有e x ≤ x + 1”；④ a = -1是直线 x - ay + 1 = 0 与直线 x + a 2 y - 1 = 0 平行的必要不充分条件． 其中正确的命题个数是（） A ．1 B ． 2 C ． 3 D ． 4【答案】B【解析】①若样本数据 x 1 , x 2 , x 10 的方差为16 ，则数据 2x 1 -1, 2x 2 -1, 2x 10 -1 的方差为 22 ⨯16 = 64 ，a 2 a a故①正确；②命题的逆命题为：“若 ⋅ b > 0 ，则平面向量, b 的夹角为锐角”，为假命题， 当向量夹角为 0 度时，满足⋅ b > 0 ，故②错误；③命题“ ∀x ∈(-∞, 0)，均有e x > x +1 ”的否定是“ ∃x ∈(-∞, 0) ，均有e x ≤ x +1 ”，故③正确；④当 a = 0 时，直线方程分别化为： x + 1 = 0, x -1 = 0 ，此时两直线平行，当a ≠ 0 时，若两直线平行，则 1 = - 1 , 1 ≠ 1 ，解得 a = -1，a a 2 a a 2综上 a = -1是直线 x - ay + 1 = 0 与直线 x + a 2 y -1 = 0 平行的充分不必要条件，故④错误.故选 B.10.【多选题】（2020·山东临沂）下列命题正确的是（ ）A ．若随机变量 X ~B (100, p ) ，且 E ( X ) = 20 ，则 D ⎛ 1 X +1⎫ = 5 2 ⎪ ⎝ ⎭B. 已知函数 f( x ) 是定义在 R 上的偶函数，且在[0, +∞) 上单调递减 f (1) = 0 ，则不等式 f (log 2x ) > 0 的 ⎛ 1 ⎫解集为 , 2 ⎪ ⎝ ⎭C. 已知 x ∈ R ，则“ x > 0 ”是“ x -1 < 1 ”的充分不必要条件D. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为 y ˆ = 0.3x - m ，若样本中心点为(m , -2.8) ，则 m = 4【答案】BD【解析】对 A ， E ( X ) = 20 ，∴ 100 p = 20 ⇒ p = 1 ，∴ D ( X ) = 100 ⋅ 1 ⋅ 4= 16 ， 5 5 5故选：BD.对 D ， 样本中心点为(m , -2.8) ，∴ 0.3⋅ m - m = -2.8 ⇒ m = 4 ，故 D 正确；对 C ， x -1 < 1 ⇔ 0 < x < 2 ，∴“ x > 0 ”推不出“ 0 < x < 2 ”，而“ 0 < x < 2 ”可以推出“ x > 0 ”， ∴“ x > 0 ”是“ x -1 < 1 ”的必要不充分条件，故 C 错误；2x < 1 ⇔ 1 < x < 2 ，故 B 正确； 2 2 ∴ log x < 1 ⇔ -1 < log 对 B ， 函数 f (x ) 是定义在R 上的偶函数，∴ f (| x |) = f (x ) ， f (log 2 x ) > 0 ⇔ f (| log 2 x |) > f (1) ， ，故 A 错误； 4⎭ ⎪ ⎝ ⎫ 1 2 ⎛ 1 D X +1 = D ( X ) = 4。