四种命题的关系及真假判断

命题及其关系、充分条件与必要条件专项训练自主梳理1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p和綈q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是原命题：若p则q(p⇒q)；逆命题：若q则p(q⇒p)；否命题：若綈p则綈q(綈p⇒綈q)；逆否命题：若綈q则綈p(綈q⇒綈p)．(2)四种命题间的关系(3)四种命题的真假性①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．②两个命题为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件若p⇒q，则p叫做q的充分条件；若q⇒p，则p叫做q的必要条件；如果p⇔q，则p 叫做q的充要条件．自我检测1．(2010·湖南)下列命题中的假命题是()A．∃x∈R，lg x＝0 B．∃x∈R，tan x＝1C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R,2x>0答案 C解析对于C选项，当x＝0时，03＝0，因此∀x∈R，x3>0是假命题．2．(2010·陕西)“a>0”是“|a|>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析a>0⇒|a|>0，|a|>0 a>0，∴“a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件．3．(2009·浙江)“x>0”是“x≠0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析对于“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立，因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要条件．4．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的()A．逆否命题B．逆命题C．否命题D．原命题答案 C解析由四种命题逆否关系知，s是p的逆命题t的否命题．5．(2011·宜昌模拟)与命题“若a∈M，则b∉M”等价的命题是()A．若a∉M，则b∉MB．若b∉M，则a∈MC．若a∉M，则b∈MD．若b∈M，则a∉M答案 D解析因为原命题只与逆否命题是等价命题，所以只需写出原命题的逆否命题即可．探究点一四种命题及其相互关系例1写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．解题导引给出一个命题，判断其逆命题、否命题、逆否命题等的真假时，如果直接判断命题本身的真假比较困难，则可以通过判断它的等价命题的真假来确定．解(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．真命题．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．真命题．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．真命题．否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．真命题．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．假命题．(3)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．真命题．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧．真命题．逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．真命题．变式迁移1有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．其中真命题的序号为________．答案①③解析①的逆命题是“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真；②的否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，假；③若q≤1，则Δ＝4－4q≥0，所以x2＋2x＋q＝0有实根，其逆否命题与原命题是等价命题，真；④的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，假．探究点二充要条件的判断例2给出下列命题，试分别指出p是q的什么条件．(1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0.(2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等．(3)p ：m <－2；q ：方程x 2－x －m ＝0无实根．(4)p ：一个四边形是矩形；q ：四边形的对角线相等．解 (1)∵x －2＝0⇒(x －2)(x －3)＝0；而(x －2)(x －3)＝0x －2＝0.∴p 是q 的充分不必要条件．(2)∵两个三角形相似两个三角形全等；但两个三角形全等⇒两个三角形相似．∴p 是q 的必要不充分条件．(3)∵m <－2⇒方程x 2－x －m ＝0无实根；方程x 2－x －m ＝0无实根m <－2.∴p 是q 的充分不必要条件．(4)∵矩形的对角线相等，∴p ⇒q ；而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴q p .∴p 是q 的充分不必要条件．变式迁移2 (2011·邯郸月考)下列各小题中，p 是q 的充要条件的是( )①p ：m <－2或m >6；q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点；②p ：f (－x )f (x )＝1；q ：y ＝f (x )是偶函数； ③p ：cos α＝cos β；q ：tan α＝tan β；④p ：A ∩B ＝A ；q ：∁U B ⊆∁U A .A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④答案 D解析 ①q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点⇔q ：Δ＝m 2－4(m ＋3)>0⇔q ：m <－2或m >6⇔p ；②当f (x )＝0时，由q p ；③若α，β＝k π＋π2，k ∈Z 时，显然cos α＝cos β，但tan α≠tan β；④p ：A ∩B ＝A ⇔p ：A ⊆B ⇔q ：∁U A ⊇∁U B .故①④符合题意．探究点三 充要条件的证明例3 设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证：方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.解题导引 有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件”⇒“结论”是证明命题的充分性，由“结论”⇒“条件”是证明命题的必要性．证明要分两个环节：一是充分性；二是必要性．证明 (1)必要性：设方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根x 0，则x 20＋2ax 0＋b 2＝0，x 20＋2cx 0－b 2＝0，两式相减可得x 0＝b 2c －a，将此式代入x 20＋2ax 0＋b 2＝0， 可得b 2＋c 2＝a 2，故∠A ＝90°，(2)充分性：∵∠A ＝90°，∴b 2＋c 2＝a 2，b 2＝a 2－c 2.①将①代入方程x 2＋2ax ＋b 2＝0，可得x 2＋2ax ＋a 2－c 2＝0，即(x ＋a －c )(x ＋a ＋c )＝0.将①代入方程x 2＋2cx －b 2＝0，可得x 2＋2cx ＋c 2－a 2＝0，即(x ＋c －a )(x ＋c ＋a )＝0.故两方程有公共根x ＝－(a ＋c )．所以方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.变式迁移3 已知ab ≠0，求证：a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.证明 (1)必要性：∵a ＋b ＝1，∴a ＋b －1＝0.∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0.(2)充分性：∵a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0，即(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0.又ab ≠0，∴a ≠0且b ≠0.∵a 2－ab ＋b 2＝(a －b 2)2＋34b 2>0. ∴a ＋b －1＝0，即a ＋b ＝1.综上可知，当ab ≠0时，a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.转化与化归思想的应用 例 (12分)已知两个关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋4＝0和x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，且m ∈Z .求两方程的根都是整数的充要条件．【答题模板】解 ∵mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程，∴m ≠0. [2分] 另一方程为x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，两方程都要有实根，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝16(1－m )≥0，Δ2＝16m 2－4(4m 2－4m －5)≥0， 解得m ∈[－54，1]． [6分] ∵两根为整数，故和与积也为整数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4m ∈Z 4m ∈Z 4m 2－4m －5∈Z ，∴m 为4的约数， [8分]∴m ＝－1或1，当m ＝－1时，第一个方程x 2＋4x －4＝0的根为非整数，而当m ＝1时，两方程均为整数根，∴两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1. [12分]【突破思维障碍】本题涉及到参数问题，先用转化思想将生疏复杂的问题化归为简单、熟悉的问题解决，两方程有实根易想Δ≥0.求出m 的范围，要使两方程根都为整数可转化为它们的两根之和与两根之积都是整数．【易错点剖析】易忽略一元二次方程这个条件隐含着m ≠0，不易把方程的根都是整数转化为两根之和与两根之积都是整数．1．研究命题及其关系时，要分清命题的题设和结论，把命题写成“如果……，那么……”的形式，当一个命题有大前提时，必须保留大前提，只有互为逆否的命题才有相同的真假性．2．在解决充分条件、必要条件等问题时，要给出p 与q 是否可以相互推出的两次判断，同时还要弄清是p 对q 而言，还是q 对p 而言．还要分清否命题与命题的否定的区别．3．本节体现了转化与化归的数学思想．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2010·天津模拟)给出以下四个命题：①若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0；②若a >b ，则am 2>bm 2；③在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ；④在一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，若b 2－4ac <0，则方程有实数根．其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④答案 C解析 对命题①，其原命题和逆否命题为真，但逆命题和否命题为假；对命题②，其原命题和逆否命题为假，但逆命题和否命题为真；对命题③，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为真；对命题④，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为假．2．(2010·浙江)设0<x <π2，则“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 ∵0<x <π2，∴0<sin x <1. ∴x sin x <1⇒x sin 2x <1，而x sin 2x <1x sin x <1.故 选B.3．(2009·北京)“α＝π6＋2k π(k ∈Z )”是“cos 2α＝12”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由α＝π6＋2k π(k ∈Z )可得到cos 2α＝12. 由cos 2α＝12得2α＝2k π±π3(k ∈Z )． ∴α＝k π±π6(k ∈Z )． 所以cos 2α＝12不一定得到α＝π6＋2k π(k ∈Z )． 4．(2011·威海模拟)关于命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题，下列结论成立的是( )A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真答案 D解析 本题考查四种命题之间的关系及真假判断．对于原命题：“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题，但其逆命题：“若{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集非空时，可以有a >0，即抛物线的开口可以向上．因此否命题也是假命题．5．(2011·枣庄模拟)集合A ＝{x ||x |≤4，x ∈R }，B ＝{x |x <a }，则“A ⊆B ”是“a >5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 A ＝{x |－4≤x ≤4}，若A ⊆B ，则a >4，a >4a >5，但a >5⇒a >4.故选B.二、填空题(每小题4分，共12分)6．“x 1>0且x 2>0”是“x 1＋x 2>0且x 1x 2>0”的________条件．答案 充要7．(2011·惠州模拟)已知p ：(x －1)(y －2)＝0，q ：(x －1)2＋(y －2)2＝0，则p 是q 的 ____________条件．答案 必要不充分解析 由(x －1)(y －2)＝0得x ＝1或y ＝2，由(x －1)2＋(y －2)2 ＝0得x ＝1且y ＝2，所以由q 能推出p ，由p 推不出q, 所以填必要不充分条件．8．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________．答案 [3,8)解析 因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3；又因为p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，解得m <8.故实数m 的取值范围是3≤m <8.三、解答题(共38分)9．(12分)(2011·许昌月考)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．(1)若q <1，则方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根；(2)若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0；(3)若x 2＋y 2＝0，则x 、y 全为零．解 (1)逆命题：若方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根，则q <1，为假命题．否命题：若q ≥1，则方程x 2＋2x ＋q ＝0无实根，为假命题．逆否命题：若方程x 2＋2x ＋q ＝0无实根，则q ≥1，为真命题．(4分)(2)逆命题：若a ＝0或b ＝0，则ab ＝0，为真命题．否命题：若ab ≠0，则a ≠0且b ≠0，为真命题．逆否命题：若a ≠0且b ≠0，则ab ≠0，为真命题．(8分)(3)逆命题：若x 、y 全为零，则x 2＋y 2＝0，为真命题．否命题：若x 2＋y 2≠0，则x 、y 不全为零，为真命题．逆否命题：若x 、y 不全为零，则x 2＋y 2≠0，为真命题．(12分)10．(12分)设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0；q ：实数x 满足x 2－x －6≤0，或x 2＋2x －8>0，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求a 的取值范围．解 设A ＝{x |p }＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0}＝{x |3a <x <a ，a <0}，(2分)B ＝{x |q }＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0}＝{x |x 2－x －6≤0}∪{x |x 2＋2x －8>0} ＝{x |－2≤x ≤3}∪{x |x <－4或x >2}＝{x |x <－4或x ≥－2}．(4分)∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴綈q ⇒綈p ，且綈p 綈q .则{x |綈q }Ø{x |綈p }，(6分)而{x |綈q }＝∁R B ＝{x |－4≤x <－2}，{x |綈p }＝∁R A ＝{x |x ≤3a 或x ≥a ，a <0}，∴{x |－4≤x <－2}Ø{x |x ≤3a 或x ≥a ，a <0}，(10分)则⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ≥－2，a <0或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－4，a <0.(11分) 综上，可得－23≤a <0或x ≤－4.(12分)11．(14分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0，且p ≠1)，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.证明 充分性：当q ＝－1时，a 1＝S 1＝p ＋q ＝p －1.(2分)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)．当n ＝1时也成立．(4分)于是a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p (n ∈N *)， 即数列{a n }为等比数列．(6分)必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)．∵p ≠0，p ≠1，∴a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n 1(p －1)＝p .(10分) ∵{a n }为等比数列，∴a 2a 1＝a n ＋1a n ＝p ，即p (p －1)p ＋q＝p ， 即p －1＝p ＋q .∴q ＝－1.(13分)综上所述，q ＝－1是数列{a n }为等比数列的充要条件．(14分)。

真假命题判断的口诀
真假命题判断的口诀如下：
1、对于p且q形式的复合命题，同真则真。

2、对于p或q形式的复合命题，同假则假。

3、对于非p形式的复合命题，真假相反。

4、两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性。

5、两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。

6、原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假。

真假命题的概念如下：
真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题，叫做真命题。

假命题：如果题设成立，结论不成立，这样的命题都是错误的命题，叫做假命题。

§1.7四种命题一、四种命题：交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题。

同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题。

交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题。

把下列命题改写成“若a则b”的形式，并写出它的逆命题，否命题，逆否命题：①负数的平方是正数；原命题：若一个数是负数，则它的平方是正数。

真命题逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数。

假命题否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数。

假命题逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数。

真命题②在实数范围内，如果a b ＞，那么ac bc 22＞。

原 命 题：若a b ＞，则ac bc 22＞。

假命题逆 命 题：若ac bc 22＞，则a b ＞。

真命题否 命 题：若a b ≤，则ac bc 22≤。

真命题逆否命题：若ac bc 22≤，则a b ≤。

假命题规律：原命题与逆否命题的真值相同．．．．．．．．．．．．．；逆命题与否命题．．．．．．．的真值相同．．．．．。

二、四种命题间的关系：1、命题“若a b ＞，则a c b c ++＞”的逆否命题是（A ）若a b ＜，则a c b c ++＜（B ）若a b ≤，则a c b c ++≤（C ）若a c b c ++＜，则a b ＜（D ）若a c b c ++≤，则a b ≤2、给出下列四个命题：①若x y + 6，则x ¹2或y ¹4；②“若xy =1，则x ，y 互为倒数”的逆命题；③“四边相等的四边形是正方形”的否命题；④“梯形不是平行四边形”的逆否命题．其中的真命题是_____________（填写所有符合要求的序号）．3、若p的逆命题是r，r的否命题是s，则s是p的否命题的_____________________．注意：①互为逆否关系的两个命题真假性相同，即原命．．．题与逆否命题同真假．．．．．．．．．．，所以，这四．．．．．．．．．；否命题与逆命题同真假种命题中真命题的个数只可能是0或2或4．②对于否定形式的命题不方便判定其真假性，可以利用其逆否命题代替．路边苦李王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子，小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动，有人问王戎为什么？王戎回答说：“树在道边而多子,此必苦李。

命题及其关系、充分条件与必要条件【考点梳理】1．命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件(1)如果p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．(2)如果p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件．(3)如果p q ，且q p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．4．集合与充要条件设集合A ＝{x |x 满足条件p }，B ＝{x |x 满足条件q }，则有：(1)若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，若A ⊂≠B ，则p 是q 的充分不必要条件．(2)若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件，若B ⊂≠A ，则p 是q 的必要不充分条件．(3)若A ＝B ，则p 是q 的充要条件．【考点突破】考点一、四种命题的关系及其真假判断【例1】(1) 命题“若4πα=，则tan 1α=”的逆否命题是( ) A.若4πα≠，则tan 1α≠ B.若4πα=，则tan 1α≠C.若tan 1α≠，则4πα≠ D.若tan 1α≠，则4πα=(2) 给出下列命题：①“∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1≤0”的否定；②“若x 2＋x －6≥0，则x >2”的否命题；③命题“若x 2－5x ＋6＝0，则x ＝2”的逆否命题.其中真命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3 [答案] (1)C (2)C[解析] (1)命题“若p ，则q ”的逆否命题是“若⌝q ，则⌝p ”，显然⌝q ：tan 1α≠，⌝p ：4πα≠，所以该命题的逆否命题是“若tan 1α≠，则4πα≠”. (2) ①的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0”是真命题，①正确；②的否命题是“若x 2＋x －6<0，则x ≤2”，由x 2＋x －6<0，得－3<x <2，∴x ≤2成立，②正确；③由x 2－5x ＋6＝0，得x ＝2或x ＝3，原命题是假命题，因此可知逆否命题为假命题，③错误.综上可知，真命题是①，②.【类题通法】1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：(1)对于不是“若p ，则q ”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.2.判断命题真假的2种方法(1)直接判断：判断一个命题是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．(2)间接判断(等价转化)：由于原命题与其逆否命题为等价命题，如果原命题的真假不易直接判断，那么可以利用这种等价性间接地判断命题的真假．【对点训练】1. 命题“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”的否命题是( )A.若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋cB.若a ＋c ≤b ＋c ，则a ≤bC.若a ＋c >b ＋c ，则a >bD.若a >b ，则a ＋c ≤b ＋c[答案] A[解析] 将条件、结论都否定.命题“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”的否命题是“若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c ”.2. 原命题：设a ，b ，c ∈R ，若“a >b ”，则“ac 2>bc 2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有( )A.0个B.1个C.2个D.4个[答案] C[解析] 原命题：若c ＝0，则不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；逆命题为设a ，b ，c ∈R ，若“ac 2>bc 2”，则“a >b ”.由ac 2>bc 2知c 2>0，∴由不等式的基本性质得a >b ，∴逆命题为真，由等价命题同真同假知否命题也为真，∴真命题共有2个.考点二、充分条件与必要条件的判断【例2】(1) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≥－1，ln （－x ），x <－1，则“x ＝0”是“f (x )＝1”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 (2) 设x ∈R ，则“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] (1)B (2)B[解析] (1)若x ＝0，则f (0)＝e 0＝1；若f (x )＝1，则e x＝1或ln(－x )＝1，解得x ＝0或x ＝－e.故“x ＝0”是“f (x )＝1”的充分不必要条件.(2)由2－x ≥0，得x ≤2，由|x －1|≤1，得0≤x ≤2.∵0≤x ≤2⇒x ≤2，x ≤2⇒0≤x ≤2，故“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的必要而不充分条件．【类题通法】充分条件、必要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．【对点训练】1．已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 因为由“a ＝3”可以推出“A ⊆B ”，反过来，由A ⊆B 可以得到“a ＝3或a ＝2”，不一定推出“a ＝3”，所以“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件．2．已知a ，b 都是实数，那么“a >b ”是“ln a >ln b ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] 由ln a >ln b ⇒a >b >0⇒a >b ，故必要性成立.当a ＝1，b ＝0时，满足a >b ，但ln b 无意义，所以ln a >ln b 不成立，故充分性不成立.考点三、充分条件、必要条件的应用【例3】已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围．[解析] 由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}.∵x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－2，1＋m ≤10，1－m ≤1＋m ，∴0≤m ≤3.综上，可知0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件.【变式1】本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件？并说明理由.[解析] 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}.若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9， 这样的m 不存在.【变式2】本例条件不变，若⌝P 是⌝S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.[解析] 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}.∵⌝P 是⌝S 的必要不充分条件，∴P 是S 的充分不必要条件，∴P ⇒S 且S ⇒/ P .∴[－2，10]⊂≠[1－m ，1＋m ].∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10， ∴m ≥9，则m 的取值范围是[9，＋∞).【类题通法】充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．【对点训练】已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，且⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________．[答案] [9，＋∞)[解析] 法一：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10，∴⌝p 对应的集合为{x |x >10或x <－2}，设A ＝{x |x >10或x <－2}．由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，∴⌝q 对应的集合为{x |x >1＋m 或x <1－m ，m >0}，设B ＝{x |x >1＋m 或x <1－m ，m >0}．∵⌝p 是⌝q 的必要不充分条件， ∴B ⊂≠A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，解得m ≥9，∴实数m 的取值范围为[9，＋∞)．法二：∵⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件．即p 是q 的充分不必要条件，由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． ∴q 对应的集合为{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}， 设M ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}，又由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10，∴p 对应的集合为{x |－2≤x ≤10}，设N ＝{x |－2≤x ≤10}．由p 是q 的充分不必要条件知，N ⊂≠M ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，解得m ≥9. ∴实数m 的取值范围为[9，＋∞)．。

四种命题之间的相互关系及真假判断教学目标：1.理解四种命题之间的相互关系.2.理解一个命题的真假与其它三个命题真假间的关系.3.培养学生逻辑推理能力.教学重点：四种命题的关系及真假判断方法.教学难点：理解命题间的关系.教学方法：讲、议、练结合教学.教具准备：投影片3张教学过程一、复习回顾师：什么叫做原命题的逆命题、否命题、逆否命题？生：（略）.师：本节将进一步研究四种命题之间的关系及它们的真假判断.二、讲授新课§1.7.2 四种命题之间的相互关系及真假判断.1.四种命题之间的相互关系(黑板上列出四个命题：也可用投影片1)师：请同学们讨论后回答下列问题：（1）哪些之间是互逆关系？（2）哪些之间是互否关系？（3）哪些之间是互为逆否关系？生（略）（学生回答时，教师在黑板上填出关系之图.）师：我们已明确了四种命题之间的相互关系，下面讨论：（板书）2.四种命题的真假之间的关系：例如（投影片2）原命题：“若a=0,则ab=0.”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.生：逆命题：若ab=0，则a=0；原命题：若a=0，则ab=0为真命题；逆命题：若ab=0，则a=0为假命题.师：原命题与逆命题的真假关系如何？生：原命题为真，它的逆命题不一定为真.师：它的否命题呢？生：它的否命题是：a≠0，则ab≠0为假命题.师：你认为原命题与它的否命题的真假关系如何？生：原命题为真，它的否命题不一定为真.师：它的逆否命题呢？生：它的逆否命题是：若ab≠0，则a≠0为真命题.师：原命题与它的逆否命题的真假关系如何？（学生充分讨论，例证后回答.）生：原命题为真，它的逆否命题一定为真.师：原命题的否命题与它的逆命题之间的真假关系如休？生：因原命题的否命题与它的逆命题之间是互为逆否关系，所以若原命题的否命题为真，则原命题的逆命题也一定为真.师：由上述讨论情况，请一学生归纳.（学生归纳时，师板书）生：1.原命题为真，它的逆命题不一定为真.2.原命题为真，它的否命题不一定为真.3.原命题为真，它的逆否命题一定为真.师：由上述归纳可知：两个互为逆否命题的真假是相同的，即两个互为逆否命题是等价命题.若判断一个命题的真假较困难时，可转化为判断其逆否命题的真假。

四种命题的相互关系
四种命题指原命题、逆命题、否命题和逆否命题，接下来给大家分享四种命题的相互关系，供参考。

四种命题的相互关系
四种命题的相互关系：原命题与逆命题互逆，否命题与原命题互否，原命题与逆否命题相互逆否，逆命题与否命题相互逆否，逆命题与逆否命题互否，逆否命题与否命题互逆。

四种命题的真假关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性。

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系(原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假)
命题的形式
1、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题。

2、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的否命题。

3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆否命题。

§1.7.2 四种命题之间的相互关系及真假关系判断[教学目的]使学生掌握四种命题的相互关系及真假关系.[教学过程]一、复习引入⒈四种命题的形式是什么？答：原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若┐p则┐q；逆否命题：若┐q则┐p.⒉什么叫互逆命题？互否命题？互为逆否命题？答：如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题就叫做互逆命题；如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这样的两个命题就叫做互否命题；如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这样的两个命题就叫做互为逆否命题.⒊根据问题2，你能说出四种命题之间的相互关系和真假关系吗？这是今天我们要学习的主要内容.二、学习、讲解新课⒈四种命题的相互关系经过前面的学习，我们已经有了四种命题的概念，而且知道互逆命题、互否命题与互为逆否命题都是说两个命题的关系，若把其中一个命题叫做原命题时，另一个命题就叫做原命题的逆命题、否命题与逆否命题.因此，四种命题之间的相互关系，可用下图表示：⒉四种命题的真假关系一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：⑴原命题为真，它的逆命题不一定为真；例如，原命题“若a=0,则ab=0”是真命题，但它的逆命题“若ab=0，则a=0”是假命题.⑵原命题为真，它的否命题不一定为真；例如，原命题“若a=0,则ab=0”是真命题，但它的否命题“若a≠0，则ab≠0”是假命题.⑶原命题为真，它的逆否命题一定为真.例如，原命题“若a=0,则ab=0”是真命题，它的逆否命题“若ab≠0，则a≠0”是真命题.结论：两个互为逆否的命题同真或同假(如原命题和它的逆否命题，逆命题和否命题)，其余情况则不一定同真或同假（如原命题和逆命题，否命题和逆否命题等）.⒊巩固新课，反馈矫正例（P例2）设原命题是“当c>0时，若a>b，则ac>bc”，写出它的逆命32题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假.分析：“当c>0时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是a>b，结论是ac>bc.解：逆命题：当c>0时，若ac>bc，则a>b.它是真命题；否命题：当c>0时，若a≤b，则ac≤bc.它是真命题；逆否命题：当c>0时，若ac≤bc，则a≤b.它是真命题.练习：课本P练习：1，2.32答案：1.⑴正确；⑵正确.2.⑴逆命题：两个全等三角形的三边对应相等.逆命题为真；否命题：三边不对应相等的两个三角形不全等.否命题为真；逆否命题：两个不全等的三角形的三边不对应相等.逆否命题为真.⑵逆命题：若a+c>b+c,则a>b.逆命题为真.否命题：若a≤b,则a+c≤b+c.否命题为真.逆否命题：若a+c≤b+c，则a≤b.逆否命题为真.三、小结本节课我们主要学习了四种命题之间的相互关系和真假关系，两个互为逆否的命题同真或同假(如原命题和它的逆否命题，逆命题和否命题)，其余情况则不一定同真或同假（如原命题和逆命题，否命题和逆否命题）.四、布置作业内容，熟悉巩固有关概念和方法.(一)复习：课本P31-32(二)书面：课本P习题1.7：3，4.33-34答案：3.⑴真；⑵假；⑶真；⑷真.4.⑴逆命题：若a是无理数，则a+5是无理数.逆命题为真.否命题：若a+5不是无理数，则a不是无理数 .否命题为真 .逆否命题：若a不是无理数，则a+5不是无理数.逆否命题为真.⑵逆命题：若一个四边形的两条对角线相等，则它是矩形.逆命题为假.否命题：若一个四边形不是矩形，则它的两条对角线不相等 .否命题为假.逆否命题：若一个四边形的两条对角线不相等，则它不是矩形.逆否命题为真.(三)思考题：三个古希腊哲学家，由于争论和天气炎热感到疲倦了，于是在花园里的一棵大树下躺下来休息一会，结果都睡着了.这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额.三个人醒来以后，彼此看了看，都笑了起来.但这并没引起他们之中任何一个人的担心，因为每个人都以为是其他两人在互相取笑.这时其中有一个突然不笑了，因为他发觉自己的前额也给涂黑了.那么他是怎样觉察到的呢？你能想出来吗？反证法.(四)预习：课本P32-33。

命题真假的判断
邢美玲
我们知道可以判断真假的语句叫做命题。

命题有真有假，判断命题真假的方法有下面两种。

一. 正面判断命题的真假。

对于简单命题而言，可依据所学过的知识进行判断；对于复合命题而言，先判断简单命题的真假，再利用下面的真值表进行判断。

简言之，对于p 且q 形式的复合命题，同真那么真；对于p 或q 形式的复合命题，同假那么假；对于非p 形式的复合命题，真假相反。

p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 p 且q 真 假 假 假 p 或q 真 真 真 假 非p 假 假 真 真 非q 假
真
假
真
二. 利用四种命题之间的关系进行判断。

如下表：
要牢记原命题与逆否命题，逆命题与否命题符合同真同假的关系。

如果判断某一命题真假困难时，只要判断其逆否命题的真假就可以了。

例1. 判断命题“假设m>0，那么x x m 20+-=有实根〞的逆否命题的真假。

解法1：该命题的逆否命题是：“假设x x m 20+-=无实根，那么m ≤0。

〞 由x x m 20+-=无实根，得∆=+<140m 解得m m <-
⇒≤1
4
0 故原命题的逆否命题是真命题。

解法2：因m>0时，∆=+>140m 所以x x m 20+-=有实根
这说明原命题是真命题，它的逆否命题也是真命题。

例2. 假设p、q是两个简单命题，且“p或q〞的否认是真命题，那么有〔〕A. p真q真 B. p假q真
C. p真q假
D. p假q假
解：因“p或q〞的否认是真命题
所以“p或q〞是假命题，可得p假q假。

应选D。

四种命题之间的相互关系及真假判断●教学目标(一)教学知识点1.四种命题之间的相互关系．2.一个命题的真假与其他三个命题真假之间的关系.3.互为逆否命题的等价性.(二)能力训练要求1.理解四种命题之间的相互关系.2.理解一个命题的真假及其他三个命题真假之间的关系.3.理解和掌握互为逆否命题的等价性.4.培养学生的逻辑推理能力.(三)德育渗透目标1.使学生认识到在日常生活，学习和工作中，基本的逻辑知识及推理能力是认识问题、分析问题不可缺少的工具．2.进一步提高和培养学生的逻辑思想能力．●教学重点1.四种命题之间的关系.2.四种命题的真假判断方法.3.互为逆否命题的等价性.●教学难点1.理解四种命题间的关系.2.互为逆否命题的等价性在判断命题真假时的应用．●教学方法讲、议、练结合教学法.在上节学生掌握四种命题的概念的基础上，通过实例的讨论、归纳出四种命题之间的相互关系，并利用四种命题形式上的相对性，由学生讨论回答出：把其中任何一个命题看作原命题时，和它构成“互逆”“互否”“互为逆否”关系的另一个命题，使学生灵活掌握四种命题之间关系，以突破四种命题真假关系的难点．●教具准备多媒体课件或投影片3张第一张：(记作§1．7．2 A)第二张：(记作§1．7．2 B)原命题“若a＝0，则ab＝0，”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．第三张：(记作§1．7．2 C)［例2］设原命题是：“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc．”写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假．●教学过程Ⅰ.复习回顾［师］什么叫做原命题的逆命题、否命题、逆否命题?［生］若原命题是“若p则q”则它的逆命题是“若q则p”，否命题是“若┐p则┐q”，逆否命题是“若┐q则┐p．”［师］回答正确，本节将进一步研究四种命题之间的关系及它们的真假判断．Ⅱ.讲授新课§1．7．2 四种命题之间的相互关系及真假判断1.四种命题之间的相互关系：(师用多媒体课件或投影片§1．7．2 A投影出四个命题)［师］请同学们讨论后回答下列问题：(1)哪些之间是互逆关系?(2)哪些之间是互否关系?(3)哪些之间是互为逆否关系?［生］原命题和逆命题、否命题和逆否命题之间是互逆关系．原命题和否命题、逆命题和逆否命题之间是互否关系．原命题和逆否命题、逆命题和否命题之间是互为逆否关系．(在学生回答时，教师同时在多媒体课件或投影片中投影出命题之间的相互关系．)［师］我们已明确了四种命题之间的关系，下面继续研究讨论：(板书)2.四种命题的真假之间的关系：［师］请看例题：(投影片§1．7．2 B)原命题：“若a＝0，则ab＝0”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．［生］逆命题是：“若ab＝0，则a＝0．”原命题“若a＝0则ab＝0”为真命题；逆命题：“若ab＝0则a＝0”为假命题．［师］原命题与逆命题的真假关系如何?生甲：由上例可知：原命题为真，它的逆命题一定为假．生乙：上述结论不一定成立.真假关系应是：原命题为真，它的逆命题不一定为真.［师］第二位回答正确.那么它的否命题呢?［生］它的否命题是“若a≠0，则ab≠0”为假命题.［师］你认为原命题与它的否命题的真假关系如何?［生］原命题为真，它的否命题不一定为真.［师］正确.它的逆否命题呢?［生］它的逆否命题是：“若ab≠0，则a≠0”，为真命题．［师］原命题与它的逆否命题的真假关系如何?(由学生充分讨论，例证后回答)［生］原命题为真，它的逆否命题一定为真．［师］请同学考虑原命题的否命题与它的逆命题之间的真假关系如何?［生］因原命题的否命题与它的逆命题之间是互为逆否关系，所以若原命题的否命题为真则原命题的逆命题也一定为真．［师］由上述讨论情况，请一学生归纳：(生归纳时，师板书)［生］(1)原命题为真，它的逆命题不一定为真.(2)原命题为真，它的否命题不一定为真.(3)原命题为真，它的逆否命题一定为真.［师］归纳正确.由上述归纳可知：两个互为逆否命题的真假是相同的，即两个互为逆否命题是等价命题.请同学们理解并熟记之.若判断一个命题的真假较困难时，可转化为判断其逆 否命题的真假.下面看例题：(师应强调分析：“c ＞0”是大前提，写其他命题时应保留，原命题的条件是“a ＞b ”，结论是“ac ＞bc ”．)［生］逆命题：“当c ＞0时，若ac ＞bc ，则a ＞c ．”逆命题为真．否命题：“当c ＞0时，若a ≤b ，则ac ≤bc ”，否命题为真.逆否命题：“当c ＞0时，若ac ≤bc ，则a ≤b ”，逆否命题为真.［师］回答正确.请看练习题.Ⅲ．课堂练习课本P32 1、2(略)(学生回答后，教师加以评述)．Ⅳ.课时小结［师］本节重点讨论研究了四种命题之间的关系及真假判断，即：1.四种命题之间的关系：(投影片§1．7．2 A)2.四种命题的真假关系：⎪⎩⎪⎨⎧逆否命题一定为真否命题不一定为真逆命题不一定为真原命题为真Ⅴ.课后作业(一)书面作业：课本P33 3、4题．(二)1.预习内容：课本P32～P332.预习提纲：(1)什么叫做反证法?(2)反证法证明命题的一般步骤是什么?●板书设计§1．7．2 四种命题之间的相互关系及真假判断1.四种命题之间的相互关系.2.四种命题的真假之间的关系.小结：(略)。

四种命题之间的相互关系及真假判断教学目标：1.理解四种命题之间的相互关系.2.理解一个命题的真假与其它三个命题真假间的关系.3.培养学生逻辑推理能力.教学重点：四种命题的关系及真假判断方法.教学难点：理解命题间的关系.教学方法：讲、议、练结合教学.教具准备：投影片3张教学过程一、复习回顾师：什么叫做原命题的逆命题、否命题、逆否命题？生：〔略〕.师：本节将进一步研究四种命题之间的关系及它们的真假判断.二、讲授新课§1.7.2 四种命题之间的相互关系及真假判断.1.四种命题之间的相互关系(黑板上列出四个命题：也可用投影片1)师：请同学们讨论后回答以下问题：〔1〕哪些之间是互逆关系？〔2〕哪些之间是互否关系？〔3〕哪些之间是互为逆否关系？生〔略〕〔学生回答时，教师在黑板上填出关系之图.〕师：我们已明确了四种命题之间的相互关系，下面讨论：〔板书〕2.四种命题的真假之间的关系：例如〔投影片2〕原命题：“假设a=0,那么ab=0.〞写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.生：逆命题：假设ab=0，那么a=0；原命题：假设a=0，那么ab=0为真命题；逆命题：假设ab=0，那么a=0为假命题.师：原命题与逆命题的真假关系如何？生：原命题为真，它的逆命题不一定为真.师：它的否命题呢？生：它的否命题是：a≠0，那么ab≠0为假命题.师：你认为原命题与它的否命题的真假关系如何？生：原命题为真，它的否命题不一定为真.师：它的逆否命题呢？生：它的逆否命题是：假设ab≠0，那么a≠0为真命题.师：原命题与它的逆否命题的真假关系如何？〔学生充分讨论，例证后回答.〕生：原命题为真，它的逆否命题一定为真.师：原命题的否命题与它的逆命题之间的真假关系如休？生：因原命题的否命题与它的逆命题之间是互为逆否关系，所以假设原命题的否命题为真，那么原命题的逆命题也一定为真.师：由上述讨论情况，请一学生归纳.〔学生归纳时，师板书〕生：1.原命题为真，它的逆命题不一定为真.2.原命题为真，它的否命题不一定为真.3.原命题为真，它的逆否命题一定为真.师：由上述归纳可知：两个互为逆否命题的真假是相同的，即两个互为逆否命题是等价命题.假设判断一个命题的真假较困难时，可转化为判断其逆否命题的真假。

命题的四种形式及关系1. 什么是命题？在逻辑学中，命题是一个陈述句，它可以被判断为真或假。

命题是逻辑推理的基本单位，通过对命题的分析和组合，我们可以进行有效的推理和论证。

2. 命题的四种形式2.1 简单命题简单命题是最基本的命题形式，它不能再被分解为更小的命题。

简单命题通常用一个字母或一个词来表示，例如：P、Q、R等。

简单命题可以是真（True）或假（False）。

例如，“太阳从东方升起”这个陈述就是一个简单命题，它可以被判断为真。

2.2 复合命题复合命题由多个简单命题通过逻辑运算符连接而成。

常见的逻辑运算符有：•否定（Negation）：表示取反关系，用符号”¬“表示。

•合取（Conjunction）：表示与关系，用符号”∧“表示。

•析取（Disjunction）：表示或关系，用符号”∨“表示。

•条件（Implication）：表示蕴含关系，用符号”→“表示。

•双条件（Biconditional）：表示等价关系，用符号”↔“表示。

例如，命题”P并且Q”可以表示为P∧Q，命题”P或者Q”可以表示为P∨Q。

2.3 合取范式合取范式是一种复合命题的标准形式，它由多个简单命题的合取构成。

合取范式通常用括号和逻辑运算符来表示。

例如，命题”(P∨Q)并且(¬R)“就是一个合取范式。

在合取范式中，每个简单命题都是一个子命题，并通过逻辑运算符连接起来。

2.4 析取范式析取范式是另一种复合命题的标准形式，它由多个简单命题的析取构成。

析取范式通常用括号和逻辑运算符来表示。

例如，命题”(P∧¬Q)或者R”就是一个析取范式。

在析取范式中，每个简单命题都是一个子命题，并通过逻辑运算符连接起来。

3. 命题的关系3.1 等价关系两个命题被称为等价关系，如果它们具有相同的真值表。

换句话说，两个等价的命题在所有情况下都具有相同的真假值。

等价关系可以用双条件符号”↔“来表示。

例如，命题”P并且Q”和命题”Q并且P”是等价命题，可以表示为P∧Q ↔ Q∧P。

四种命题的形式•概念命题：可以判断真假的语句叫做命题，命题通常用陈述句表示真命题：正确的命题叫做真命题假命题：错误的命题叫做假命题在数学中，常见的命题由条件和结论两部分组成（如：如果三角形的三条边相等，那么这两个三角形全等）命题的证明：1、要确定一个命题是假命题，只要举出一个满足命题条件，而不满足命题结论的例子就可以了，这在数学中称为举反例2、确定一个命题是真命题，就必须做出证明，证明若满足命题条件就一定能推出命题的结论一般来说，如果命题α成立可以推出命题β也成立，那么久说由α可以推出β，并用记号“α=>β”表示，读作“α推出β”，换言之，α=>β表示以α为条件，β为结论的命题是真命题；同理，α≠＞β表示以α为条件，β为结论的命题是一个假命题等价命题：如果A 、B 是两个命题，A=>B ，B=>A ，那么A 、B 叫做等价命题，记作A<=>B 。

称A 与B 等价四种命题：（参见下图）若把一个已知命题定义为原命题（由条件和结论组成）把原命题的条件和结论交换，所得到的命题叫做原命题的逆命题把原命题的条件和结论都换成它们的否定形式，所得到的命题是原命题的否命题 （且α的否命题记为 ）把原命题的结论的否定作条件，把条件的否定作结论，所得到的命题是原命题的逆否命题 （值得注意的是，否命题和逆命题也互为逆否命题）四种命题之间的相互关系：（参见上图）一般来说，原命题与逆否命题是同真或同假的，即，原命题与逆否问题是等价命题 （当我们证明某个命题有困难时，就可尝试用证明它的逆否命题来代替证明原命题） Eg.结合初中证明：已知BD 、CE 分别是△ABC 的∠B 、∠C 的角平分线，BD ≠CE 。

求证：AB ≠AC四种命题的真假常用结论：1．原命题为真，它的逆命题不一定为真。

例如：原命题为真：逆命题为假2．原命题为真，它的否命题不一定为真。

例如：原命题为真：否命题为假：3．原命题为真，它的逆否命题一定为真。

s和p外延关系的四种命题的真假情况表
摘要：
1.S 和P 外延关系的四种命题
2.真假情况表的概述
3.四种命题的真假判断
4.总结
正文：
在数理逻辑中，S 和P 外延关系的四种命题是一种基本的逻辑关系，这四种命题分别是：所有S 是P，所有S 不是P，有些S 是P，有些S 不是P。

这四种命题的真假情况，可以通过真假情况表来进行判断。

一、所有S 是P
如果所有的S 都是P，那么这个命题是真的。

例如，“所有狗都是动物”，只要所有的狗都是动物，那么这个命题就是真的。

二、所有S 不是P
如果所有的S 都不是P，那么这个命题是真的。

例如，“所有猫不是狗”，只要所有的猫都不是狗，那么这个命题就是真的。

三、有些S 是P
如果有些S 是P，那么这个命题是真的。

例如，“有些动物是猫”，只要有些动物是猫，那么这个命题就是真的。

四、有些S 不是P
如果有些S 不是P，那么这个命题是真的。

例如，“有些鸟不是动
物”，只要有些鸟不是动物，那么这个命题就是真的。

以上就是S 和P 外延关系的四种命题的真假情况表，通过这个表格，我们可以清晰地了解到这四种命题的真假判断。