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3.3 线性定常连续系统的离散化

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现代控制理论总复习

现代控制理论总复习

2 1 2 1 3 1
1 0 0
0 3 2 0 1 0
1 3 0
0 0 1
第二章
一、基本概念 1）线性定常连续系统非齐次状态方程的解分为 零输入的状态转移和零状态的状态转移；系统的输 出响应由零输入响应和零状态响应两部分组成。
3. 可逆性
(t, t0 ) (t0 , t )
1
例 已知系统状态方程,试确定该系统在输入作用分别为单位脉 冲函数、单位阶跃输入及单位斜坡函数时的状态响应。
能观标准Ⅱ型
a0 x1 c0 a1 x2 c1 a2 x3 c2 u an 1 xn cn 1 x1 x 2 1 bn u xn 1 xn
p21 1 p2 p22 0 p23 0
3 p3 Ap3
p31 4 p 1 32 p33 1
1 0 1
2 p31 2 p32 3 p33
2 s 2 11s 6 W ( s) 3 s 8s 2 17 s 10
2）能观标准Ⅱ型
x1 0 x2 0 x3 10 y 6 11 1 0 17 x1 2 x2 x3 0 x1 0 1 x2 0 u 8 x3 1
能控标准Ⅰ型
x1 0 0 10 x1 6 x2 1 0 17 x2 11 u x3 0 1 8 x3 2 x1 y 0 0 1 x2 x3

现代控制理论智慧树知到课后章节答案2023年下长安大学

现代控制理论智慧树知到课后章节答案2023年下长安大学

现代控制理论智慧树知到课后章节答案2023年下长安大学长安大学绪论单元测试1.下列语句中，不正确的是（）。

A:现代控制理论是建立在状态空间法基础上的一种控制理论，是自动控制理论的一个主要组成部分，可以解决经典控制理论不能解决的所有控制难题。

B:现代控制理论比经典控制理论所能处理的控制问题要广泛得多，包括线性系统和非线性系统，定常系统和时变系统，单变量系统和多变量系统；C:20世纪50年代中期，空间技术的迅速发展迫切要求建立新的控制原理，以解决诸如把宇宙火箭和人造卫星用最少燃料或最短时间准确地发射到预定轨道一类的控制问题；D:在现代控制理论中，对控制系统的分析和设计主要是通过对系统的状态变量的描述来进行的，基本的方法是时间域方法；答案:现代控制理论是建立在状态空间法基础上的一种控制理论，是自动控制理论的一个主要组成部分，可以解决经典控制理论不能解决的所有控制难题。

2.通过测量输出量，产生一个与输出信号存在函数关系的信号的元件称为（）。

A:给定元件B:放大元件C:反馈元件D:比较元件答案:比较元件3.闭环控制系统的控制方式为（）。

A:按扰动信号控制B:按输入信号控制C:按偏差信号控制D:按反馈信号控制答案:按偏差信号控制4.经典控制理论描述系统的数学模型是由高阶线性常微分方程演变来的传递函数，适合分析和设计下列哪种系统（）A:非线性系统B:单输入单输出系统C:线性定常系统D:多输入多输出系统答案:单输入单输出系统;线性定常系统5.现代控制理论是建立在状态空间法基础上的一种控制理论，是自动控制理论的一个主要组成部分，比经典控制理论所能处理的控制问题要广泛得多，适合分析和设计下列哪种系统（）A:非线性系统B:线性时变系统C:多输入多输出系统D:线性定常系统答案:非线性系统;线性时变系统;多输入多输出系统;线性定常系统第一章测试1.系统状态空间实现中选取状态变量不是唯一的，其状态变量的个数是唯一的（）A:对 B:错答案:对2.多输入-多输出系统的U-Y 间的传递函数为（）A:错 B:对答案:对3.由一个状态空间模型可以确定多个传递函数。

线性定常连续系统的离散化

线性定常连续系统的离散化
保持器为零阶的, 即加到系统输入端的输入信号u(t)在采样周 期内不变, 且等于前一采样时刻的瞬时值, 故有 u(t) u(kT) kT t (k1)T
线性定常连续系统的离散化(6/10)
线性定常连续系统状态空间模型的离散化, 实际上是指在采 样周期T下, 将状态空间模型 x Ax Bu y Cx Du 变换成离散系统的如下状态空间模型:
e 2T
H (T )
T
(t)dt B
0
T 1 0 0
0.5(1 e2tபைடு நூலகம்e2t
)dt
0 1
1 4
2T (1 e2T
2(1 e2T )
)
于是该连续系统的离散化状态方程为
1 (1 e2T )/2
T/2 (1 e2T )/4
x(k 1) 0
e 2T
x(k)
(1 e2T )/2
线性定常连续系统的离散化(7/10)
连续系统的状态方程的求解公式如下:
t
x(t) Φ(t t0 )x(t0 )
Φ(t τ
t0
)Bu(τ
)dτ
➢ 现在只考虑在采样时刻t kT和t (k1)T时刻之间的状 态响应, 即对于上式, 取t0 kT, t (k1)T, 于是
(k 1)T
x((k 1)T ) Φ(T )x(kT ) Φ[(k 1)T τ ]Bu(τ )dτ kT
线性定常连续系统的离散化(3/10)
下图所示为连续系统化为离散系统的系统框图
u(t) 保持器
连续系统 y(t)
x(t)
x(k) u(k)
数字 D/A 计算机 A/D
连续系统离散化的实现
采样 y(k)
线性定常连续系统的离散化(4/10)

现代控制理论3 第三章 线性系统的可控性和可观测性

现代控制理论3 第三章 线性系统的可控性和可观测性

A'
0
0
0
a0 a1 a2
0
0 可
0
0
B'
控 标
1
an1
0 1
准 形
AT=A’
BT=B’
0 0 0 1 0 0 A 0 1 0
a0
a1
C 0
0 1
0 0
a2
可观标准形
1 an1
结论：状态方程具有可观测标准形的系统一定可观测。
C 0 0
CA
0
0
V
CA2
3.2线性定常系统的可观测性
1．线性定常离散系统状态可观测性
(1) 离散系统可观测定义
x(k 1) Gx(k) Hu(k ) y(k) Cx(k) Du(k)
已知输入u(0)，…，u(n－1)的情况下，通过在
有限个采样周期内测量到的输出y(0)，y(1)，…， y(n-1)，能唯一地确定任意初始状态x(0)的n个分量， 则称系统是完全可观测的，简称系统可观测。
(2) 线性定常连续系统可控性判据
若线性定常连续系统的状态方程为
x Ax Bu
则该系统可控的充分必要条件为其可控性矩阵
Sc B AB
满秩，即 rankSc n
An1B
示例
(3) 可控标准形
结论：状态方程具有可控标准形的系统一定可控。
x1 0
x2
0
xn
1
0
xn a0
使上述方程组有解的充分必要条件是
Sc' Gn1H
GH H
满秩，且 rankSc' n
亦即 Sc H GH
Gn1H 且rankSc n
离散可控性例题

第三章 系统的运动与离散化

第三章 系统的运动与离散化

第三章系统的运动与离散化一、主要内容1.线性定常系统的自由运动1)线性定常系统自由运动的定义2)线性定常系统自由运动方程3)线性定常系统自由运动方程的解2.矩阵指数函数和状态转移矩阵1)矩阵指数函数的概念2)状态转移矩阵的概念、定义条件和性质3)矩阵指数函数（状态转移矩阵）的计算方法4)几个特殊的矩阵指数函数3.线性定常系统的受控运动1)线性定常系统受控运动的定义2)线性定常系统受控运动方程3)线性定常系统受控运动方程的解4.线性定常离散系统的状态空间描述及其状态方程的解1)线性定常离散系统状态空间表达式的建立2)线性定常离散系统状态方程求解5.线性连续系统离散化二、教学基本要求1、正确理解矩阵指数函数（状态转移矩阵）的概念、涵义和特点。

2、熟练掌握求解状态转移矩阵（矩阵指数函数）的不同方法。

3、熟练掌握求解线性定常系统的自由运动和受控运动的解，理解其解的涵义。

4、熟练掌握线性连续系统离散化方面的知识。

了解连续系统离散化的条件，熟练掌握将线性连续系统进行离散化的方法。

三、重点内容概要1.线性定常系统的自由运动线性定常系统自由运动 线性定常系统在没有控制作用时，即系统输入为零时，由初始条件引起的运动成为自由运动。

自由运动方程 线性定常齐次状态方程AX X= （3.1） 自由运动的解（零输入响应） 线性定常齐次状态方程AX X= 的解称为自由运动的解。

解：（1）若A 为标量，有axx= ，解方程得：adt x dx ax dtdx ax x=⇒=⇒=若初始时刻0t t =，则)(00)(ln t t a Cex C t t a x -=⇒+-=已知：00)(x t x =0000)(!)]([0x i t t a x ex i it t a ∑∞=--==∴（2）若A 为方阵，同理解：0)(0000!)]([)(X eX i t t A t X t t A i i-∞==-=∴∑若初始时刻t 时的状态给定为00)(X t X =，则自由运动方程的解：0)(0)(X et X t t A -=（3.2）其中)(0t t A e -为矩阵指数函数。

连续系统的离散化方法课件

连续系统的离散化方法课件

离散化方法的意义
精确性
离散化方法可以提供对连续系统的精 确近似，特别是在计算机仿真和数字 控制系统中。
可计算性
离散化方法可以将不可计算的分析转 化为可计算的形式，便于进行数值计 算和控制器设计。
离散化方法的应用场景
01
02
03
数字控制
在数字控制系统中，连续 系统的离散化是必要的步 骤，以便在数字计算机上 进行数值计算和控制。
小波基选择
常用的小波基包括Haar小波、Daubechies小波、Morlet 小波等。
误差分析
小波变换法的误差主要来自于变换误差和离散化误差。
05
离散化方法的评估与优化
评估离散化方法优劣的标准
01
02
03
04
精度
离散化方法是否能准确代表原 连续系统。
稳定性
离散化方法在一定参数变化范 围内是否能保持稳定。
状态空间模型
用状态变量和输入、输出变量描述连续系统的动态特性。
状态空间模型通常形式为：`x'(t) = Ax(t) + Bu(t)` 和 `y(t) = Cx(t) + Du(t)`，其中 `x(t)` 表 示系统状态，`u(t)` 表示系统输入，`y(t)` 表示系统输出，`A`, `B`, `C`, `D` 是系数矩阵。
化率。
通过求解 ODE，可以得到系统 在任意时刻的状态。
传递函数
表示连续系统在输入和输出之间的传递 特性。
传递函数通常形式为：`G(s) = Y(s) / U(s)`，其中 `Y(s)` 和 `U(s)` 分别是输 出和输入的拉普拉斯变换，`s` 是复变
量。
通过分析传递函数的零点、极点和增益 ，可以得到系统的稳定性和性能特性。

计算机仿真技术基础第4章 连续系统模型的离散化处理方法

计算机仿真技术基础第4章 连续系统模型的离散化处理方法

第四章 连续系统模型的离散化处理方法
第一节 第二节 第三节 替换法 离散相似法 根匹配法
４.1
替换法
传递函数是控制系统应用最广泛的模型描述 形式，连续系统为Ｓ域的传递函数G(S)，离散系 统为Ｚ域的脉冲传递函数Ｇ(Z)。
替换法的基本思想：对给定的连续系统模型 G(S) ，设法找到Ｓ域到Ｚ域的某种映射关系，将 Ｓ域的变量映射到Ｚ平面上，由此得到与连续系 统G(S)相对应的离散系统的脉冲传递函数Ｇ(Z)。 然后，再由Ｇ(Z)通过Ｚ反变换得到系统的时域离 散模型——差分方程，从而快速求解。
C C C D D C Z e T Z Y (Z ) A A A B B A U(Z ) Z e T
D C D C T Z e B A B A Z e T
Ｚ反变换得差分方程：
y(n 1) e
计算机仿真技术基础
第四章
连续系统模型 的离散化处理方法
第三章的数值积分方法较成熟，计算精度高, 但算法复杂，计算量大。在一些要求速度较高的 实时仿真或计算机控制系统中实现数字控制器算 法，就跟不上速度的要求，就需要一些快速计算 方法。 本章介绍对连续系统模型进行离散化处理， 得到一个“等效”的结构比较简单的离散化模型， 便于计算机求解，运行速度较快，又称为“快速 计算方法”。 连续系统模型的离散化方法主要有替换法、 离散相似法和根匹配法。
2 1 S
TS 2TS 1 TS 1 2e e 2 STS


1Z

1 2 1

1 3 2 S TS
2 ( Z 1) TZ
2 1 2 1 T Z ( Z 1) 1 Z 3 T

连续系统离散化方法

连续系统离散化方法
Z 变换法的特点是： ① D ( z ) 和 D ( s ) 有相同的单位脉冲响应序列； ②若 D ( s ) 稳定，则 D ( z ) 也稳定； ③ D ( z ) 存在着频率失真； ④该法特别适用于频率特性为锐截止型的连续滤波器的离散化。 它主要应用于连续控制器 D ( s ) 具有部分分式结构或能较容易地分解为并联结构，以及
5.2.1
连续系统离散化方法
1、反向差分变换法
对于给定的
D( s) =
U ( s) 1 = E (s) s
（5.1）
du (t ) = e(t ) ，用反向差分代替微分，得 其微分方程为 dt du (t ) u (k ) − u (k − 1) ≈ = e( k ) dt T
对（5.2）式两边取 Z 变换得： (1 − z )U ( z ) = TE ( z ) ，即
上式可以写成
1⎞ ⎛ ⎛1⎞ 2 ⎜σ − ⎟ + ω < ⎜ ⎟ 2⎠ ⎝ ⎝ 2⎠
2
2
由上式可以看出， s 平面的稳定域映射到 z 平面上以 σ = 1 / 2 ， ω = 0 为圆心， 1 / 2 为半 径的圆内，如图 5-3 所示。
jω
Im
ω =0
σ
Re
z =1
图 5-3 反向差分变换 s 平面与 z 平面的对应关系 反向差分变换方法的主要特点如下： ①变换计算简单； ②由图 5-3 看出， s 平面的左半平面映射到 z 平面的单位圆内部一个小圆内，因而，如果
⎛ z −1⎞ Re ⎜ ⎟<0 ⎝ T ⎠
令 z = σ + jω ，则上式可以写成
⎛ σ + jω − 1 ⎞ Re⎜ ⎟<0 T ⎝ ⎠
因为 T > 0 ，则有 σ − 1 < 0 即 σ < 1 ，如图 5-4 所示。

连续系统模型的离散化处理方法课件

连续系统模型的离散化处理方法课件
离散系统模型
离散系统模型是指系统的状态变化在时间上是离散的，即只在特定的时间点上 发生变化。其输入和输出信号也是离散的。这种模型通常用差分方程进行描述 。
离散化的定义及其必要性
离散化定义
离散化是将连续时间信号或系统转换为离散时间信号或系统 的过程。它涉及对连续信号的采样以及将微分方程转换为差 分方程。
数值积分法
数值积分法使用数值方法求解微分方程的解，并将连续时间微分方程转换为离散时间差分 方程。常用的数值积分法包括欧拉法、龙格-库塔法等。
z变换法
z变换法是一种在复平面上进行的离散化方法。它通过将连续时间信号的拉普拉斯变换转 换为z变换，将连续系统的传递函数转换为离散系统的传递函数。
02
常用的连续系统模型离散化方 法
03
提高精度的方法
为了提高离散系统的精度，可以采用更小的离散化步长， 使用更高阶的数值积分方法，或者采用自适应离散化技术 等。此外，还可以通过增加离散点的数量和优化插值方法 来实现更高精度的离散化。
效率问题
效率定义
离散化对效率的影响
提高效率的方法
效率问题涉及离散化过程的计算复杂 度和计算资源消耗。
改进型龙格-库塔法
针对经典四阶龙格-库塔法的不足进行 改进，如变步长龙格-库塔法等，以提 高数值解的精度和稳定性。
牛顿法
基本牛顿法
利用泰勒级数展开，将非线性方程线性化，通过迭代求解线性方程组来逼近非线 性方程的解。该方法收敛速度快，但初始值选取对结果影响较大。
牛顿-拉夫逊法
结合牛顿法和拉夫逊法的特点，通过迭代过程中修改雅可比矩阵，提高求解速度 和精度。该方法适用于大规模非线性系统的求解。
THANKS。
保持稳定性的方法
常用的保持稳定性的方法包括选择合适的离散化步长、使用稳定性更好 的数值积分方法等。此外，还可以通过引入阻尼项或者采用隐式离散化 方案来提高离散系统的稳定性。

连续系统离散化.ppt

连续系统离散化.ppt

n (T )u(kT)
已知控制系统框图如下图，求该系统的仿真模 型。
R+ e
1
y
s(s 2)
-
R + e e(kT)
1
y
H (s)
s(s 2)
-
1 2
e
1 x1
s
y
1
1 x2
2
s2
e R y
y x1 x2
1

x1 x2


0 0
0 2
连续系统的离散化
③ 在系统的输出端也加一只采样开关S2，它 应该与输入端的开关同步，则y(t)变成了 y(k)。
④ 对u(k)及y(k)分别取Z变换，可得U(z)及 Y(z)，而Y(z)/U(z)=G(z)，它就是与原系统 等价的离散模型。
⑤ 如果要获得可在数字计算机上进行计算的 差分方程，只要对G(z)取一次Z反变换就 行了。
1
s

T (3z 1) 2z(z 1)
常用环节的离散相似模型
它所对应的差分方程为
yk 1

yk

3 2 Tuk

T 2
uk 1
采用三角形保持器：
G(z)

Z

eTs T

1

e s
Ts
2
1
s

T (z 1) 2(z 1)
常用环节的离散相似模型

eaT
yk

k a
(1 eaT
)uk
常用环节的离散相似模型
三角形保持器：
G(z)

Z

eTs T

第6章 连续系统的离散化方法及近似解

第6章 连续系统的离散化方法及近似解

K - 2M 0
EI 2 39.4784 Al 4
解得
EI 3 68.9944 Al 4
正则特征向量
a (1) 0.5742 2 0 Al 0.0048
T
a (2)
0 2 (3) 1 a Al 0
0
l
设梁上分别受到分布力f(x,t)和 x xd 处的集中力F(x,t)
当梁上有虚位移
l 0
w( x, t ) i qi 外力虚功为
i 1
n
W f ( x, t ) F (t ) ( x xd ) w( x, t )dx
l f ( x, t )i ( x)dx F (t )i ( xd ) qi 0 i 1 n
得到原来问题的模态向量
3 x ( x) sin 0.0681sin 2l 2l
(1)
x
(2) ( x) 0.1955sin
x
2l
sin
3 x 2l
例：等截面简支梁中部有集中质量，并受有集中力 设集中质量 M a 等于梁的质量
集中力的变化的频率
50 EI / Al 4
Kij EI ( x)i( x) j ( x)dx
0
得
3 0 2 Al M 0 1 0 2 2 0 3
1 0 0 EI K 0 16 0 2l 3 0 0 81
4
代入本征方程
EI 1 5.6825 Al 4
T
0.5199 2 0 Al 0.7746
T
求梁的响应时，将位移写作假设模态的线性组合

大工现代控制工程简答题

大工现代控制工程简答题

现代控制工程期末复习简单题汇总（大工版本）1.1线性定常系统和线性时变系统的区别何在？答：线性系统的状态空间模型为： x =Ax+Bu y=Cx+Du 线性定常系统和线性时变系统的区别在于：对于线性定常系统，上述状态空间模型中的系数矩阵A ，B ，C 和D 中的各分量均为常数，而对线性时变系统，其系数矩阵A ，B ，C 和D 中有时变的元素。

线性定常系统在物理上代表结构和参数都不随时间变化的一类系统，而线性时变系统的参数则随时间的变化而变化。

1.2现代控制理论中的状态空间模型与经典控制理论中的传递函数有什么区别？答：传递函数模型与状态空间模型的主要区别如下：传递函数模型（经典控制理论）状态空间模型（现代控制理论）仅适用于线性定常系统 适用于线性、非线性和时变系统用于系统的外部描述 用于系统的内部描述基于频域分析 基于时域分析1.3对于同一个系统，状态变量的选择是否惟一？答：对于同一个系统，状态变量的选择不是惟一的，状态变量的不同选择导致不同的状态空间模型。

1.4已知系统的状态空间模型为x =Ax+Bu ，y=Cx ，写出该系统的特征多项式和传递函数矩阵。

答：系统的特征多项式为I det s A -（），传递函数为1G(s)=C(sI-A)B - 1.5一个传递函数的状态空间实现是否惟一？由状态空间模型导出的传递函数是否惟一？答：一个传递函数的状态空间实现不惟一；而由状态空间模型导出的传递函数是惟一的。

第二章2.1试叙述处理齐次状态方程求解问题的基本思路？答：求解齐次状态方程的解至少有两种方法。

一种是从标量其次微分方程的解推广得到，通过引进矩阵指数函数，导出其次状态方程的解。

另一种是采用拉普拉斯变换的方法。

2.2状态转移矩阵的意义是什么？列举状态转移矩阵的基本性质。

答：状态转移矩阵0A(t=t )e 的意义是：它决定了系统状态从初始状态转移到下一个状态的规律，即初始状态X 在矩阵0A(t=t )e 的作用下，他t 0刻的初始状x0经过时间t-t0，后转移到了t 时刻的状态x （t ）。

第四章连续系统的离散化方法

第四章连续系统的离散化方法

将 K1 K 2 代入式
f f x1 x0 a1hf (t0 , x0 ) a2 h[ f (t0 , x0 ) b1h b2 hK1 ] t t t0 x x x0
a1 a2 1, a2b1 1 1 , a2b2 2 2
比较各项系数得
待定系数个数超过方程个数，必须先设定一个系数，然后即可求得其 参数。一般有以下几种取法： 1、 a1 0, a2 1, b1 b2
1
K 2 变化，而是取两者平均值 K h x1 x0 hK x0 ( K1 K 2 ) 2 h x1 x0 ( f 0 f1 ) 2
f
f0 f1
K1 K 2 2
求得校正点，即：
。
0
t0
t1
t
四阶龙格－库塔法的计算公式为：
K1 f (tk , xk )
h xk 1 xk ( K1 2 K 2 2 K 3 K 4 ) 6
x1 x0 hf (t0 , x0 )
其一般公式为
xk 1 xk hf (tk , xk )
f1
f
f0
c
0
t0
t1
t
h2 h3 (2) h k ( k 1) Rn f (t0 , x0 ) f (t0 , x0 ) f (t0 , x0 ) 称为截断误差 2! 3! k! 例4－1 用欧拉法求下述微分方程的数值解。
h h K 2 f (tk , xk K1 ) 2 2 h h K3 f (tk , xk K 2 ) 2 2 K 4 f (tk h, xk hK 3 )
X AX BU
对于用状态方程表示的高阶线性系统 Y CX

大工现代控制工程简答题

大工现代控制工程简答题

现代控制工程期末复习简单题汇总(大工版本)1.1线性定常系统和线性时变系统的区别何在？答：线性系统的状态空间模型为：X=Ax+Bu y=Cx+D线性定常系统和线性时变系统的区别在于：对于线性定常系统，上述状态空间模型中的系数矩阵A, B, C 和D中的各分量均为常数，而对线性时变系统，其系数矩阵A，B，C和D中有时变的元素。

线性定常系统在物理上代表结构和参数都不随时间变化的一类系统，而线性时变系统的参数则随时间的变化而变化。

1.2现代控制理论中的状态空间模型与经典控制理论中的传递函数有什么区别？答：传递函数模型与状态空间模型的主要区别如下：传递函数模型(经典控制理论)状态空间模型(现代控制理论)仅适用于线性定常系统适用于线性、非线性和时变系统用于系统的外部描述用于系统的内部描述基于频域分析基于时域分析1.3对于同一个系统，状态变量的选择是否惟一？答：对于同一个系统，状态变量的选择不是惟一的，状态变量的不同选择导致不同的状态空间模型。

1.4已知系统的状态空间模型为X =Ax+Bu y=Cx，写出该系统的特征多项式和传递函数矩阵。

答：系统的特征多项式为det(sl-A)，传递函数为G(s)二C(sl-A)1.5 一个传递函数的状态空间实现是否惟一？由状态空间模型导出的传递函数是否惟一？答：一个传递函数的状态空间实现不惟一；而由状态空间模型导出的传递函数是惟一的。

第二章2.1试叙述处理齐次状态方程求解问题的基本思路？答：求解齐次状态方程的解至少有两种方法。

一种是从标量其次微分方程的解推广得到，通过引进矩阵指数函数，导出其次状态方程的解。

另一种是采用拉普拉斯变换的方法。

2.2状态转移矩阵的意义是什么？列举状态转移矩阵的基本性质。

答：状态转移矩阵e A(t=t0)的意义是：它决定了系统状态从初始状态转移到下个状态的规律，即初始状态X在矩阵e A(t=t0)的作用下，他t o刻的初始状xO经过时间t-to，后转移到了t时刻的状态x (t )。

连续时间系统状态方程的离散化

连续时间系统状态方程的离散化


x1[(k x2[(k
1)T 1)T
] ]

1 0
1
ek ek


x1(kT x2 (kT
) )

1 0
1
ek ek

u1(kT u2 (kT
) )
（2）用递推法求离散方程的近似解： 取k＝0，1，2…T＝0.2秒，并代入输入函数和初始条件可得近似解：
1 4
(2T e2T 1 (1 e2T )
1)
2

(4)xx
1[(k 2[(k

1)T] 1)T]

G(T)xx12
(kT) (kT)

H(kT)U(kT)
说明：（1）当T选定后（如T＝0.5秒）G(t)和 H(t)都是确定的系数矩阵
(2)离散化后得状态方程，可按递推法或 Z变换法求出解
k 1
x(k) (k)x(0) (k j 1)Hu( j)
j 1
二、线性时变系统状态方程的离散化 －－按导数定义近似求出，也称近似计算方法
假设T很小T≤0.1Tmin（最小时间常数），精度要 求不高时，可用差商代替微商。

1 0
T 1
t

x1(kT x2 (kT
) )

0 T
u(kT
)
u(kT ) r(kT ) x1(kT )
系统离散状态方程（T＝0.1）
可见T较小时，
x1[(k x2[(k
1)T ] 1)T ]

0.9 0.1
0.1 0.9

1.37 0.63
递推求下去
x1(0.6) x2 (0.6)

(2002)《线性系统理论》考试大纲(只适用航天学院)

(2002)《线性系统理论》考试大纲(只适用航天学院)

（2002）《线性系统理论》考试大纲（只适用航天学院）
考试内容：
1.状态空间描述的概念、坐标变换、状态空间描述与输入输出描述之间的转换方法、传递函数矩阵、并联串联组合系统。

2.线性定常系统的运动分析、状态转移矩阵与脉冲响应矩阵、连续系统的离散化
3.线性系统的能控性和能观性概念、秩判据，对偶原理，能控规范性和能观规范型，线性系统的结构分解
4.实现的概念，最小实现的性质，最小实现的步骤和方法
5.内部稳定与外部稳定性，李雅普诺夫稳定性原理，线性系统的稳定性判据，非线性系统线性化的有关稳定性结论
6.SISO系统的极点配置，MIMO系统的单位秩极点配置，全维和降维状态观测器的设计，分离定理；
7.Robust控制器设计的思想、结构图、伺服补偿器的设计
8.多项是矩阵和有理分式矩阵的概念和性质，Simith标准型和McMillan标准型的求法，确定传递函数矩阵的零极点；
9.多变量系统频域法基础，包括基于正乃奎斯特盘踞和逆乃奎斯特判据的对变量频域设计方法和步骤。

参考书目：
1.阙志宏等，线性系统理论，西北工业大学出版社。

2.郑大中编，线性系统理论，清华大学出版社，1992.3
3.周凤岐等，现代控制理论及应用，电子科技大学出版社，1999.10
4.也可根据以上考试大纲选用其他参考书。

线性定常连续系统状态方程的解ppt课件

线性定常连续系统状态方程的解ppt课件

资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
引入能描述系统状态转移特性的状态转移矩阵 如下： (t-0)=eA(t-0)
(t-0t)eA(tt0)
因此，有如下关系式
x(t)=(t)x0=(t-t0)x(t0)
重点!
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
2.1 线性定常连续系统状态方程的解
求解状态方程是进行动态系统分析与综合的基 础，是进行定量分析的主要方法。
状态方程求解理论是建立在状态空间上， 以矩阵代数运算来描述的定系数常微分 方程解理论。 而后基于矩阵代数运算的状态方程解理 论引入了状态转移矩阵这一基本概念。
为此，设其解为t的向量幂级数，即
x(t)=b0+b1t+b2t2+…+bktk+…
式中，bk(k=1，2，...)为待定级数展开系数向量。
将所设解代入该向量状态方程x’=Ax，可得
b1+2b2t+3b3t2 +…+kbktk-1+…=A(b0+b1t+b2t2 +…+bktk+…)
如果所设解是方程的真实解，则对任意t，上式 均成立。因此，使t有相同幂次项的各项系数相 等，即可求得
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
本章主要工作
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y(k)
连续系统离散化的实现
线性定常连续系统的离散化(4/10)
线性连续系统的时间离散化问题的数学实质, 就是在一定的 采样方式和保持方式下, 由系统的连续状态空间模型来导出 等价的离散状态空间模型, 并建立起两者的各系数矩阵之间 的关系式 为使连续系统的离散化过程是一个等价变换过程,必须满足如 下条件和假设 在离散化之后, 系统在各采样时刻的状态变量、输入变量 和输出变量的值保持不变。
( k 1)T
Φ[( k 1)T τ ]Bu(τ )dτ
kT
考虑到u(t)在采样周期内保持不变的假定,所以有
x(( k 1)T ) Φ(T )x(kT )
( k 1)T
Φ[( k 1)T τ ]dτ Bu(kT )
kT
线性定常连续系统的离散化(8/10)
对上式作变量代换, 令t (k1)T, 则上式可记为
1 s 2 L s ( s 2) 0
1
1 s
0.5 1 0.5 1 0.5(1 e 2t ) 1 s2 L s s 2t 1 e 0 0 s2
பைடு நூலகம்
线性定常连续系统的离散化(10/10)
对于这种系统, 其状态变量、输入变量和输出变量既 有连续时间型的模拟量, 又有离散时间型的离散量, 如连续被控对象的采样控制系统就属于这种情况
线性定常连续系统的离散化(2/10)
对于第二种情况的系统, 其状态方程既有一阶微分方程组 又有一阶差分方程组 为了能对这种系统运用离散系统的分析方法和设计 方法, 要求整个系统统一用离散状态方程来描述 由此, 提出了连续系统的离散化问题
Ch.3 线性系统的时域分析
线性定常连续系统的离散化(1/10)
3.3 线性定常连续系统的离散化
离散系统的工作状态可以分为以下两种情况:
整个系统工作于单一的离散状态 对于这种系统, 其状态变量、输入变量和输出变量全 部是离散量, 如现在的全数字化设备、计算机集成制 造系统等 系统工作在连续和离散两种状态的混合状态
根据计算式有
1 0.5(1 e 2T ) G (T ) (T ) 2T e 0 H (T ) (t )dt B
0 T T
0
1 0.5(1 e 2t ) dt 2t e 0
2T 0 1 2T (1 e ) 1 4 2(1 e 2T )
保持器为零阶的, 即加到系统输入端的输入信号u(t)在采 样周期内不变, 且等于前一采样时刻的瞬时值, 故有 u(t) u(kT) kT t (k1)T
线性定常连续系统的离散化(5/10)
采样周期T的选择满足香农(Shannon)采样定理, 即 采样频率2/T大于2倍的连续信号x(k)的上限频率 满足上述条件和假设, 即可推导出连续系统的离散化的状态 空间模型
线性定常连续系统的离散化(6/10)
线性定常连续系统状态空间模型的离散化, 实际上是指在采 样周期T下, 将状态空间模型
x Ax Bu y Cx Du
变换成离散系统的如下状态空间模型:
x(( k 1)T ) G (T )x(kT ) H (T )u(kT ) y (kT ) C (T )x(kT ) D(T )u(kT )
x((k 1)T ) Φ(T )x(kT ) Φ(t )dt Bu(kT )
0 T
于是有
G(T) (T) eAT
T (t )dt B T e At dt B H (T ) Φ 0 0
上两式即为离散化法的计算式
线性定常连续系统的离散化(9/10)
由于离散化主要是对描述系统动态特性的状态方程而言, 输出方程为静态的代数方程, 其离散化后应保持不变, 即 C(T) C D(T) D 离散化主要针对连续系统状态方程(A, B)如何通过采样 周期T, 变换成离散系统状态方程(G, H)
线性定常连续系统的离散化(7/10)
连续系统的状态方程的求解公式如下:
在计算机仿真、计算机辅助设计中利用数字计算机 分析求解连续系统的状态方程, 或者进行计算机控制 时, 都会遇到离散化问题
线性定常连续系统的离散化(3/10)
下图所示为连续系统化为离散系统的系统框图
连续系统
u(t) x(t) 保持器 u(k) D/A x(k) 采样 y(t)
数字 A/D 计算机
例3-7 试用离散化方法写出下列连续系统的离散化系统的状 态方程:
0 x 0 1 0 x u 2 1
解 首先求出连续系统的状态转移矩阵:
s 1 Φ(t ) L [(sI A) ] L 0 s 2
1 1 1 1
x(t ) Φ(t t0 )x(t0 ) Φ(t τ ) Bu(τ )dτ
t0 t
现在只考虑在采样时刻t kT和t (k1)T时刻之间的状 态响应, 即对于上式, 取t0 kT, t (k1)T, 于是
x(( k 1)T ) Φ(T )x(kT )
于是该连续系统的离散化状态方程为
1 (1 e 2T ) / 2 T/ 2 (1 e 2T ) / 4 x(k 1) x( k ) u( k ) 2T 2T e 0 (1 e ) / 2