连续系统模型的离散化处理方法

第6章连续系统的离散化方法及近似解在连续系统中，我们经常需要将其离散化为离散系统以便于分析和求解。

离散化方法能够将连续系统的微分方程转化为差分方程，从而得到近似解。

本章将介绍连续系统的离散化方法及近似解的计算。

连续系统的离散化方法有许多种，常见的有Euler方法、Runge-Kutta方法和有限差分方法等。

其中，Euler方法是最简单和最基础的离散化方法，其基本思想是将连续时间轴划分为若干个小时间间隔，并用差分逼近连续系统的导数。

具体地，对于一阶常微分方程：\[\frac{{dy}}{{dt}} = f(y, t)\]可以使用Euler方法将其离散化为：\[y_{n+1} = y_n + h \cdot f(y_n, t_n)\]其中，\(y_n\)是时间点\(t_n\)的近似解，\(h\)是时间步长。

Runge-Kutta方法是一种更精确的离散化方法，其基本思想是利用多个中间步骤来更准确地逼近连续系统的导数。

常见的是四阶Runge-Kutta 方法，其公式为：\[y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6} \cdot (k_1 + 2k_2 + 2k_3 +k_4)\]其中\[k_1=f(y_n,t_n)\]\[k_2 = f(y_n + \frac{h}{2}k_1, t_n + \frac{h}{2})\]\[k_3 = f(y_n + \frac{h}{2}k_2, t_n + \frac{h}{2})\]\[k_4 = f(y_n + hk_3, t_n + h)\]这样可以得到更准确的近似解。

有限差分方法是一种常用的离散化方法，其基本思想是将连续的导数用差分逼近。

以二阶偏微分方程为例，该方程的一般形式为：\[\frac{{\partial^2u}}{{\partial x^2}} +\frac{{\partial^2u}}{{\partial y^2}} = f(x, y)\]可以使用中心差分公式将其离散化为：\[\frac{{u_{i+1,j} - 2u_{i,j} + u_{i-1,j}}}{{\Delta x^2}} + \frac{{u_{i,j+1} - 2u_{i,j} + u_{i,j-1}}}{{\Delta y^2}} =f_{i,j}\]其中，\(u_{i,j}\) 是近似解在网格点 \((i, j)\) 处的值，\(\Delta x\) 和 \(\Delta y\) 分别是网格在 \(x\) 和 \(y\) 方向的步长，\(f_{i,j}\) 是离散化后的右侧函数。

Tustin方法（也称为Bilinear变换或双线性变换）是一种用于将连续时间系统（模拟系统）离散化为离散时间系统的方法之一。

它是一种广泛使用的数值方法，尤其适用于将连续时间系统转换为数字控制系统。

Tustin方法的离散化步骤如下：1. 连续时间系统：首先，考虑一个具有传递函数H(s)的连续时间系统，其中s是复变量。

传递函数通常具有以下形式：H(s)=N(s) D(s)其中，N(s)和D(s)是多项式，表示系统的分子和分母。

2. 替换s：使用Tustin方法，我们将s替换为离散时间z上的特定映射。

Tustin方法使用双线性变换：s=2Tz−1 z+1其中，T是采样时间。

3. 替换H(s)：将s替换为上述表达式，得到离散时间系统的传递函数：H(z)=N(2Tz−1z+1) D(2Tz−1z+1)4. 优化H(z)：通常，为了方便分析和实现，可以对H(z)进行代数化简，例如通过因式分解或部分分数展开。

5. 数字实现：将H(z)转换为数字控制系统的形式，例如差分方程或脉冲响应。

示例：假设有一个连续时间系统的传递函数为：H(s)=s+1s2+3s+2采样时间T为 0.1 秒，应用Tustin方法：s=2Tz−1 z+1将其代入传递函数，进行代数化简，最终得到离散时间系统的传递函数。

这就是Tustin方法的基本过程。

它是一种将连续时间系统转换为离散时间系统的常用方法，具有一定的数值稳定性和频率响应特性。

在数字控制系统设计中，经常使用这样的方法来进行系统离散化。

连续函数离散化 Prepared on 22 November 2020连续函数离散化替换法传递函数是控制系统应用最广泛的模型描述形式，连续系统为Ｓ域的传递函数G(S)，离散系统为Ｚ域的脉冲传递函数G(Z)。

替换法的基本思想：对给定的连续系统模型G(S)，设法找到Ｓ域到Ｚ域的某种映射关系，将Ｓ域的变量映射到Ｚ平面上，由此得到与连续系统G(S)相对应的离散系统的脉冲传递函数G(Z)。

然后，再由G(Z)通过Ｚ反变换得到系统的时域离散模型——差分方程，从而快速求解。

根据Ｚ变换理论，Ｓ域到Ｚ域的最基本的映射关系是：Ts e Z =或Z Ts ln 1= 其中Ｔ是采样周期若直接将这个映射关系代入G(S)得到G(Z)将会很复杂，不便于计算，实际应用中是利用Ｚ变换理论的基本映射关系进行简化处理，得到近似的离散模型。

简单替换法由幂级数展开式： +++++=!!212n x x x e nx取近似式：Ts e Z Ts +≈=1或：TZ s 1-= 用此式代入G(S)就得到G(Z)，这就是简单替换法，又称Euler 法。

例：二阶连续系统s s s U s Y s G 50400)()()(2+==，001.0=T 解：简单替换法TZ s 1-=代入G(s) 001.0=T 代入双线性替换法 取近似式：2121Ts Tse Z Ts -+==或)1()1(2+-=Z T Z s 用此式代入G(S)就得到G(Z)，这就是双线性替换法，又称Tustin 变换。

相当于数值积分法中的梯形法，有较好的性能。

例：二阶连续系统ss s U s Y s G 50400)()()(2+==，001.0=T 用双线性替换法建立差分方程。

解：双线性替换：)1()1(2+-=z T z s 代入G(s) 001.0=T 代入域离散相似法离散相似法将连续系统模型处理成与之等效的离散模型的一种方法。

设计一个离散系统模型，使其中的信息流与给定的连续系统中的信息流相似。

连续系统离散化方法连续系统离散化方法是一种常用的数值计算方法，它将连续系统转化为离散系统，从而使得计算机可以进行处理。

本文将从离散化方法的定义、应用、实现以及优缺点等方面进行介绍。

一、离散化方法的定义离散化方法是指将连续系统转化为离散系统的过程。

在计算机中，所有的数值都是离散的，而实际上很多系统是连续的，比如电路、机械系统、化学反应等等。

离散化方法就是将这些连续系统转化为可以在计算机中处理的离散系统。

离散化方法可以通过采样和量化来实现。

二、离散化方法的应用离散化方法在很多领域都有应用，比如电路设计、控制系统设计、信号处理等等。

在电路设计中，离散化方法可以将连续电路转化为数字电路，从而实现数字信号的处理。

在控制系统设计中，离散化方法可以将连续控制器转化为数字控制器，从而实现数字化自动控制。

在信号处理中，离散化方法可以将连续信号转化为数字信号，从而实现对信号的数字处理。

三、离散化方法的实现离散化方法的实现可以通过采样和量化来实现。

采样是指对连续信号进行离散化，将其转化为一系列的采样值。

量化是指对采样值进行离散化，将其转化为一系列的离散数值。

采样和量化的具体实现方式包括正弦采样、脉冲采样、最大值采样、平均值采样等等。

量化的具体实现方式包括线性量化、对数量化、非线性量化等等。

四、离散化方法的优缺点离散化方法的优点是可以将连续系统转化为离散系统，从而可以在计算机中进行处理。

离散系统具有稳定性、可控性、可观性等优点。

离散化方法的缺点是会引入误差，因为离散化过程中会丢失一些信息。

此外，离散化方法需要选取适当的采样周期和量化精度，否则会影响系统的性能。

离散化方法是一种常用的数值计算方法，它将连续系统转化为离散系统，从而使得计算机可以进行处理。

离散化方法的应用广泛，包括电路设计、控制系统设计、信号处理等等。

离散化方法的实现可以通过采样和量化来实现。

离散化方法既有优点，又有缺点，需要在具体应用中对其进行合理的选择和设计。

7.1.4 LTI 连续系统的离散化随着数字技术的发展，大量控制过程采用计算机来实施。

当用数字计算机求解LTI 连续系统的状态方程，或直接在系统中采用数字计算机进行在线控制时，都需要将连续系统的数学模型离散化。

离散化的任务就是导出能在采样时刻上与连续系统状态等价的离散状态方程和等价的测量方程。

一般采样是等间隔的，即采样时刻为(1,2,3)t kT k == ；而且是理想开关加零阶保持器，即认为控制作用只在采样时刻发生变化，在相邻的两个采样点kT 和(1)k T +之间，控制作用保持不变，()(),(1)u t u kT kT t k T =≤<+。

已知被控对象的状态方程为()()()()()()t t u t y t t u t =+=+ xAx B Cx D （7-15）对方程（7-15）求解，得0()()0()()()o t t t t t t e t e u d τττ--=+⎰A A x x B （7-16）其中0t 是初始时刻，设0t kT =，(1)t k T =+，代入式（7-16），得：(1)[(1)][(1)]()[]()k TT k T kT k T e kT e d u kT ττ++-+=+⎰A A x x B （7-17）令t T k =-+τ)1(，又因假定系统是时不变系统，A 、B 矩阵和时间无关，所以式（7-17）可改写成：0[(1)]()()()()()()()TT t k T e kT e dt u kT T kT T u kT +=+=+⎰A A x x B G x H （7-18） 其中，()T T e =A G ，0()T t T e dt =⎰A H B 。

输出为：()()()y kT kT u kT =+Cx D （7-19）由拉普拉斯变换法可得：11()()[()]T t T t T T e t L s --=====-A G G I A （7-20）[例7.3] 设LTI 连续系统为： 1122010021x x u x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 系统离散化的计算过程如下：1||(2)02s s s s s --==++I A1211()0(2)s s s s s -+⎡⎤-=⎢⎥+⎣⎦I A 2121111(1)(2)21002T T t T e s s s L e s --=⎡⎤⎡⎤⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥+⎣⎦G22002211111(1)2442110022T t T T t t T T T e e e dt dt e e ----⎡⎤+-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰A 222211111102442441111102222T T T T TT e T e e e ----⎡⎤⎡⎤+-+-⎢⎥⎢⎥⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥-+-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦H故离散化状态方程为： 22112222111()(1)()1(1)22()2(1)()10(1)2T T T T e T x k x k e u k x k x k e e ----⎡⎤-⎡⎤+⎢⎥+-⎡⎤⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎣⎦⎢⎥⎣⎦假使采样周期为1s ，即1=T ，则上述状态方程可写为：1122(1)()10.4320.284()(2)00.135()0.432x k x k u k x k x k +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦从连续状态空间方程求取离散系统状态空间方程可以用MATLAB 中的如下命令：[G H]=c2d(A,B,T)，式中，T 是离散控制系统的采样周期，单位是秒。

连续系统离散化方法一、概述连续系统离散化方法是一种将连续系统转化为离散系统的方法，常用于控制系统的设计和分析。

该方法可以将一个无限维度的连续系统转化为有限维度的离散系统，使得控制器设计和分析变得更加简单和可行。

二、连续系统模型在开始进行连续系统离散化的过程中，需要先建立一个连续系统模型。

通常情况下，这个模型可以由微分方程或者差分方程来表示。

三、离散化方法1. 时域离散化方法时域离散化方法是最基本的离散化方法之一。

它通过将时间轴上的信号进行采样，从而将一个连续时间信号转换为一个离散时间信号。

这个过程中需要确定采样周期以及采样点数目等参数。

2. 频域离散化方法频域离散化方法是一种利用傅里叶变换将一个连续时间信号转换为一个频域信号，然后再对该频域信号进行采样得到一个离散时间信号的方法。

这个过程中需要确定采样频率以及采样点数目等参数。

3. 模拟器法模拟器法是一种将连续系统转化为离散系统的方法。

这个方法的核心思想是利用一个数字模拟器来模拟连续系统的行为，从而得到一个离散时间信号。

4. 差分方程法差分方程法是一种将连续系统转化为离散系统的方法。

这个方法的核心思想是利用微分方程在离散时间点上进行近似，从而得到一个差分方程。

四、误差分析在进行离散化过程中，会产生一定的误差。

因此，需要对误差进行分析和评估，以确保离散化后的结果与原始连续系统相近。

五、应用实例1. 机械控制系统机械控制系统中通常需要对连续时间信号进行采样和处理。

通过使用离散化方法，可以将连续信号转换为数字信号，并且可以在数字域上进行控制器设计和分析。

2. 电力电子控制系统电力电子控制系统中通常需要对高频信号进行处理。

通过使用频域离散化方法，可以将高频信号转换为数字信号，并且可以在数字域上进行控制器设计和分析。

六、总结连续系统离散化方法是一种将连续系统转化为离散系统的方法。

通过使用不同的离散化方法，可以将连续时间信号转换为数字信号，并且可以在数字域上进行控制器设计和分析。

连续函数离散化1.1替换法传递函数是控制系统应用最广泛的模型描述形式，连续系统为Ｓ域的传递函数G(S)，离散系统为Ｚ域的脉冲传递函数G(Z)。

替换法的基本思想：对给定的连续系统模型G(S) ，设法找到Ｓ域到Ｚ域的某种映射关系，将Ｓ域的变量映射到Ｚ平面上，由此得到与连续系统G(S)相对应的离散系统的脉冲传递函数G(Z)。

然后，再由G(Z)通过Ｚ反变换得到系统的时域离散模型——差分方程，从而快速求解。

G(S) G(Z) 差分方程根据Ｚ变换理论，Ｓ域到Ｚ域的最基本的映射关系是：Ts e Z =或Z Ts ln 1=其中Ｔ是采样周期若直接将这个映射关系代入G(S)得到G(Z)将会很复杂，不便于计算，实际应用中是利用Ｚ变换理论的基本映射关系进行简化处理，得到近似的离散模型。

1.1.1 简单替换法由幂级数展开式： +++++=!!212n x x x e nx+++++==!)(!2)(12n Ts Ts Ts e Z nTs取近似式：Ts e Z Ts +≈=1 或：TZ s 1-=用此式代入G(S)就得到G(Z)，这就是简单替换法，又称Euler 法。

例：二阶连续系统ss s U s Y s G 50400)()()(2+==，001.0=T 解：简单替换法TZ s 1-=代入G(s) )()(501)250(400)1(50)1(400)(2222z U z Y T z T z T T z T z z G =-+-+=-+-=)(400)()501()()250()(22z U T z Y T z zY T z Y z =-+-+⇒ )(400)()501()()250()(2221z U z T z Y z T z Y z T z Y ---=-+-+⇒ )2(400)2()501()1()250()(2-+------=⇒k u T k y T k y T k y001.0=T 代入)2(104.0)2(95.0)1(95.1)(3--⋅+---=k u k y k y k y 1.1.2 双线性替换法+-++-+-+++++===---!)2/(!2)2/(21!)2/(!2)2/(21222/2/)2(2k Ts Ts Ts k Ts Ts Ts ee e e k kTs Ts Ts Ts Ts 取近似式：2121Ts Ts e Z Ts -+==或)1()1(2+-=Z T Z s 用此式代入G(S)就得到G(Z)，这就是双线性替换法，又称Tustin 变换。