2019人教版中考数学总复习学案专题六圆的有关证明与计算

专题六 圆的有关证明与计算圆的切线的判定与性质【例1】 (2019·临夏州)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在BC 上，BD ＝DC ，过点D 作DE⊥AC，垂足为E ，⊙O 经过A ，B ，D 三点．(1)求证：AB 是⊙O 的直径；(2)判断DE 与⊙O 的位置关系，并加以证明；(3)若⊙O 的半径为3，∠BAC ＝60°，求DE 的长．分析：(1)连接AD ，证AD ⊥BC 可得；(2)连接OD ，利用中位线定理得到OD 与AC 平行，可证∠ODE 为直角，由OD 为半径，可证DE 与圆O 相切；(3)连接BF ，先证三角形ABC 为等边三角形，再求出BF 的长，由DE 为三角形CBF 中位线，即可求出DE 的长．解：(1)连接AD ，∵AB ＝AC ，BD ＝DC ，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°，∴AB 为圆O 的直径(2)DE 与圆O 相切，证明：连接OD ，∵O ，D 分别为AB ，BC 的中点，∴OD 为△ABC 的中位线，∴OD ∥AC ，∵DE ⊥AC ，∴DE ⊥OD ，∵OD 为圆的半径，∴DE 与圆O 相切(3)∵AB＝AC ，∠BAC ＝60°，∴△ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC ＝6，连接BF ，∵AB 为圆O 的直径，∴∠AFB ＝∠DEC＝90°，∴AF ＝CF ＝3，DE ∥BF ，∵D 为BC 的中点，∴E 为CF 的中点，即DE 为△BCF中位线，在Rt △ABF 中，AB ＝6，AF ＝3，根据勾股定理得BF ＝62－32＝33，则DE ＝12BF ＝332圆与相似【例2】 (2019·泸州)如图，△ABC 内接于⊙O，BD 为⊙O 的直径，BD 与AC 相交于点H ，AC 的延长线与过点B 的直线相交于点E ，且∠A＝∠EBC.(1)求证：BE 是⊙O 的切线；(2)已知CG∥EB，且CG 与BD ，BA 分别相交于点F ，G ，若BG·BA＝48，FG ＝2，DF ＝2BF ，求AH 的值．分析：(1)证∠EBD＝90°即可；(2)由△ABC∽△CBG 得BC BG ＝AB BC，可求出BC ，再由△BFC∽△BCD 得BC2＝BF·BD，可求出BF ，再求出CF ，CG ，GB ，通过计算发现CG ＝AG ，可证CH ＝CB ，即可求出AC.解：(1)连接CD ，∵BD 是直径，∴∠BCD ＝90°，即∠D＋∠CBD＝90°，∵∠A ＝∠D，∠A ＝∠EBC，∴∠CBD ＋∠EBC＝90°，∴BE ⊥BD ，∴BE 是⊙O 切线(2)∵CG∥EB，∴∠BCG ＝∠EBC，∴∠A ＝∠BCG，又∵∠CBG＝∠ABC，∴△ABC ∽△CBG ，∴BC BG ＝ABBC ，即BC 2＝BG·BA＝48，∴BC ＝43，∵CG ∥EB ，∴CF ⊥BD ，∴△BFC ∽△BCD ，∴BC 2＝BF·BD，∵DF ＝2BF ，∴BF ＝4，在Rt △BCF 中，CF ＝BC 2－FB 2＝42，∴CG ＝CF ＋FG ＝52，在Rt △BFG 中，BG ＝BF 2＋FG 2＝32，∵BG ·BA ＝48，∴BA ＝82，∴AG ＝52，∴CG ＝AG ，∴∠A ＝∠ACG＝∠BCG，∠CFH ＝∠CFB＝90°，∴∠CHF ＝∠CBF，∴CH ＝CB ＝43，∵△ABC ∽△CBG ，∴AC CG ＝BC BG ，∴AC ＝CB·CG BG ＝2033，∴AH ＝AC －CH＝8331．(2019·长沙)如图，四边形ABCD 内接于⊙O，对角线AC 为⊙O 的直径，过点C 作AC 的垂线交AD 的延长线于点E ，点F 为CE 的中点，连接DB ，DC ，DF.(1)求∠CDE 的度数；(2)求证：DF 是⊙O 的切线；(3)若AC ＝25DE ，求tan ∠ABD 的值．解：(1)∵对角线AC 为⊙O 的直径，∴∠ADC ＝90°，∴∠EDC ＝90° (2)连接DO ，∵∠EDC ＝90°，F 是EC 的中点，∴DF ＝FC ，∴∠FDC ＝∠FCD，∵OD ＝OC ，∴∠OCD ＝∠ODC，∵∠OCF ＝90°，∴∠ODF ＝∠ODC＋∠FDC＝∠OCD＋∠DCF＝∠OCF＝90°，∴DF 是⊙O 的切线(3)∵∠E＋∠DCE＝90°，∠DCA ＋∠DCE＝90°，∴∠DCA ＝∠E，又∵∠ADC＝∠CDE＝90°，∴△CDE∽△ADC ，∴DC AD ＝DE DC ，∴DC 2＝AD·DE.设DE ＝x ，则AC ＝25x ，AC 2－AD 2＝DC 2＝AD·DE，即(25x)2－AD2＝AD·x，整理得AD 2＋AD·x－20x 2＝0，解得AD ＝4x 或AD ＝－5x(舍去)，则DC ＝（25x ）2－（4x ）2＝2x ，故tan ∠ABD ＝tan ∠ACD ＝AD DC ＝4x2x＝22．(2019·安顺)如图，在矩形ABCD 中，点O 在对角线AC 上，以OA 的长为半径的圆O 与AD ，AC 分别交于点E ，F ，且∠ACB＝∠DCE.(1)判断直线CE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；(2)若tan ∠ACB ＝22，BC ＝2，求⊙O 的半径．解：(1)直线CE 与⊙O 相切. 理由如下：∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ∥AD ，∴∠ACB ＝∠DAC，又∵∠ACB ＝∠DCE，∴∠DAC ＝∠DCE，连接OE ，有OA ＝OE ，则∠DAC＝∠AEO＝∠DCE.∵∠DCE＋∠DEC＝90°，∴∠AEO ＋∠DEC＝90°，∴∠OEC ＝90°，即OE⊥CE.又OE 是⊙O 的半径，∴直线CE 与⊙O 相切 (2)∵tan∠ACB ＝AB BC ＝22，BC ＝2，∴AB ＝BC·tan ∠ACB ＝2，∴AC ＝ 6.又∵∠ACB＝∠DCE，∴tan ∠DCE ＝tan∠ACB ＝22，∴DE ＝DC·tan ∠DCE ＝1.在Rt △CDE 中，CE ＝CD 2＋DE 2＝3，设⊙O 的半径为r ，则在Rt △COE 中，CO 2＝OE 2＋CE 2，即(6－r)2＝r 2＋3，解得r ＝641．(2019·百色)如图，已知AB 为⊙O 的直径，AC 为⊙O 的切线，OC 交⊙O 于点D ，BD 的延长线交AC 于点E.(1)求证：∠1＝∠CAD；(2)若AE ＝EC ＝2，求⊙O 的半径．解：(1)∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠ADO ＋∠BDO＝90°，∵AC 为⊙O 的切线，∴OA⊥AC，∴∠OAD ＋∠CAD＝90°，∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA，∵∠1＝∠BDO，∴∠1＝∠CAD(2)∵∠1＝∠CAD，∠C ＝∠C，∴△CAD ∽△CDE ，∴CD ∶CA ＝CE∶CD，∴CD 2＝CA·CE，∵AE ＝EC ＝2，∴AC ＝AE ＋EC ＝4，∴CD ＝22，设⊙O 的半径为x ，则OA ＝OD ＝x ，在Rt △AOC 中，OA 2＋AC 2＝OC 2，∴x2＋42＝(22＋x)2，解得x ＝2，∴⊙O 的半径为 22．(导学号 59042296)(2019·常德)如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，且BD ＝BC ，延长AD 到E ，且有∠EBD＝∠CAB.(1)求证：BE 是⊙O 的切线；(2)若BC ＝3，AC ＝5，求圆的直径AD 及切线BE 的长．解：(1)连接OB ，∵BD ＝BC ，∴∠CAB ＝∠BAD，∵∠EBD ＝∠CAB，∴∠BAD ＝∠EBD，∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ABD ＝90°，OA ＝OB ，∴∠BAD ＝∠ABO，∴∠EBD ＝∠ABO，∴∠OBE ＝∠EBD＋∠OBD＝∠ABO＋∠OBD ＝∠ABD＝90°，∵点B 在⊙O 上，∴BE 是⊙O 的切线(2)设圆的半径为R ，连接CD ，∵AD 为⊙O 的直径，∴∠ACD ＝90°，∵BC ＝BD ，∴OB ⊥CD ，∴OB ∥AC ，∵OA ＝OD ，∴OF ＝12AC ＝52，∵四边形ACBD 是圆内接四边形，∴∠BDE ＝∠ACB，∵∠DBE＝∠CAB，∴△DBE∽△CAB ，∴DB CA ＝DE CB ，∴35＝DE 3，∴DE ＝35，∵∠OBE ＝∠OFD＝90°，∴DF ∥BE ，∴OF OB ＝OD OE ，∴52R ＝RR ＋35，∵R ＞0，∴R ＝3，∴AB ＝AD 2－BD 2＝33，∵AC AB ＝BD BE ，∴BE ＝31153．(导学号 59042297)(2019·天门)如图，CD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为G ，OG ∶OC ＝3∶5，AB ＝8.(1)求⊙O 的半径；(2)点E 为圆上一点，∠ECD ＝15°，将CE ︵沿弦CE 翻折，交CD 于点F ，求图中阴影部分的面积．解：(1)连接AO ，∵CD 为⊙O 的直径，AB ⊥CD ，AB ＝8，∴AG ＝4，∵OG ∶OC ＝3∶5，∴设⊙O 的半径为5k ，则OG ＝3k ，∴(3k)2＋42＝(5k)2，解得k ＝1或k ＝－1(舍去)，∴5k ＝5，即⊙O 的半径是5(2)将阴影部分沿CE 翻折，点F 的对应点为M ，∵∠ECD ＝15°，由对称性可知，∠DCM ＝30°，S 阴影＝S 弓形CBM ，连接OM ，则∠MOD＝60°，∴∠MOC ＝120°，过点M 作MN⊥CD 于点N ，∴MN ＝MO·sin60°＝5×32＝532，∴S 阴影＝S 扇形OMC －S △OMC ＝120×π×52360－12×5×532＝25π3－2534，即图中阴影部分的面积是25π3－25344．(导学号 59042298)(2019·包头)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝CB ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，点E 是AB 边上一点(点E 不与点A ，B 重合)，DE 的延长线交⊙O 于点G ，DF ⊥DG ，且交BC 于点F.(1)求证：AE ＝BF ；(2)连接GB ，EF ，求证：GB∥EF； (3)若AE ＝1，EB ＝2，求DG 的长．解：(1)连接BD ，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，∴∠A ＝∠C＝45°，∵AB 为圆O 的直径，∴∠ADB ＝90°，即BD⊥AC ，∴AD ＝DC ＝BD ＝12AC ，∠CBD ＝∠C＝45°，∴∠A ＝∠FBD，∵DF ⊥DG ，∴∠FDG ＝90°，∴∠FDB ＋∠BDG＝90°，又∵∠EDA＋∠BDG＝90°，∴∠EDA ＝∠FDB，可证△AED≌△BFD(ASA)，∴AE ＝BF(2)连接EF ，BG ，∵△AED ≌△BFD ，∴DE ＝DF ，∵∠EDF ＝90°，∴△EDF 是等腰直角三角形，∴∠DEF ＝45°，∵∠G ＝∠A＝45°，∴∠G ＝∠DEF，∴GB ∥EF(3)∵AE＝BF ，AE ＝1，∴BF ＝1，在Rt △EBF 中，∠EBF ＝90°，∴根据勾股定理得EF 2＝EB 2＋BF 2，∵EB ＝2，BF ＝1，∴EF ＝22＋12＝5，∵△DEF 为等腰直角三角形，∠EDF ＝90°，∴cos ∠DEF ＝DE EF ＝22，∵EF ＝5，∴DE ＝5×22＝102，∵∠G ＝∠A，∠GEB ＝∠AED ，∴△GEB ∽△AED ，∴GE AE ＝EB ED，即G E·ED ＝AE·EB，∴102·GE＝2，∴GE ＝2105，则GD ＝GE ＋ED ＝910102019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，在5×5的方格纸中将图①中的图形N 平移到如图②所示的位置，那么下列平移正确的是A ．先向下移动1格，再向左移动1格B ．先向下移动1格，再向左移动2格C ．先向下移动2格，再向左移动1格D ．先向下移动2格，再向左移动2格2．下列运算正确的是（ ） A.236a a a ⋅=B.336a a a +=C.22a a -=-D.326()a a -=3．若直线y=kx+k+1经过点(m ，n+3)和(m+1，2n －1)，且0<k ＜2，则n 的取值范围是（ ） A ．3<n ＜5B ．4<n ＜6C ．5<n ＜7D ．6<n ＜84．在同一平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx ﹣2k 和二次函数y ＝﹣kx 2+2x ﹣4（k 是常数且k≠0）的图象可能是（ ）A. B.C. D.5．某圆锥的主视图是一个边长为3cm 的等边三角形，那么这个圆锥的侧面积是（ ） A.4.5πcm 2B.3cm 2C.4πcm 2D.3πcm 26．如果30x y -=，那么代数式()2222x yx y x xy y+⋅--+的值为（ ） A ．27-B ．27C ．72-D ．727．如图所示的几何体是一个圆锥，下面有关它的三视图的结论中，正确的是（ ）A ．主视图是中心对称图形B ．左视图是中心对称图形C ．俯视图既是中心对称图形又是轴对称图形D ．主视图既是中心对称图形又是轴对称图形8．给出下列4个命题：①对顶角相等；②同位角相等；③在同一个圆中，同一条弦所对的圆周角都相等；④圆的内接四边形对角互补．其中，真命题为 （ ） A ．①②④B ．①③④C ．①④D ．①②③④9．在平面直角坐标系xOy 中，已知点M ，N 的坐标分别为（-1，2），（2，1），若抛物线y=ax 2-x+2（a ＜0）与线段MN 有一个交点，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤-B ．10a -<<C ．1a <-D ．10a -≤<10．下列正比例函数中，y 随x 的值增大而增大的是（ ）A.y ＝﹣2014xB.y ﹣1）xC.y ＝（﹣π﹣3）xD.y ＝（1﹣π2）x11．方程kx 2﹣2x ﹣1＝0有实数根，则k 的取值范围是（ ） A.k≠0且k≥﹣1B.k≥﹣1C.k≠0且k≤﹣1D.k≠0或k≥﹣112．测试五位学生的“一分钟跳绳”成绩，得到五个各不相同的数据，在统计时出现了一处错误：将最高成绩写得更高了，则计算结果不受影响的是（ ） A ．中位数 B ．平均数C ．方差D ．极差二、填空题13．矩形的面积是240m ，设它的一边长为x （单位：m ），则矩形的另一边长y （单位：m ）与x 的函数关系是__________．14．圆内一条弦与直径相交成30°的角，且分直径1cm 和5cm 两段，则这条弦的长为_____． 15．在矩形ABCD 中，再增加条件_____（只需填一个）可使矩形ABCD 成为正方形．16．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 的中点，若CD=5，则EF 的长为________．17．如图，在正方形ABCD 中，AB ＝4，分别以B 、C 为圆心，AB 长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为______．18．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，BC = 3，AC = 4，点D 为边AB 上一点．将△BCD 沿直线CD 翻折，点B 落在点E 处，联结AE ．如果AE // CD ，那么BE =________．三、解答题19．下面是“已知斜边作一个直角三角形”的尺规作图过程． 已知：线段AB ．求作：一个直角三角形ABC ，使线段AB 为斜边．作法：如图， ①过A 任意作一条射线l ； ②在射线l 上任取两点D ，E ；③分别以点D ，E 为圆心，DB ，EB 长为半径作弧，两弧相交于点P ； ④作射线BP 交射线l 于点 C ． 所以△ABC 就是所求作的直角三角形．思考：(1)按上述方法，以线段AB 为斜边还可以作 个直角三角形； (2)这些直角三角形的直角顶点C 所形成的图形是 ，理由是 ．20．如图，已知Rt △ABC ，∠C ＝90°，D 为BC 的中点，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点E ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若AE ：EB ＝1：2，BC ＝12，求AE 的长．21．计算：212sin 6032-︒++（）22．某中学围绕“哈尔滨市周边五大名山,即:香炉山、凤凰山、金龙山、帽儿山、二龙山,你最喜欢那一座山?(每名学生必选且只选一座山)的问题在全校范围内随机抽取了部分学生进行问卷调查,根据调查结果绘制了如图的不完整的统计图:(1)求本次调查的样本容量；(2)求本次调查中,最喜欢凤凰山的学生人数,并补全条形统计图；(3)若该中学共有学生1200人,请你估计该中学最喜欢香炉山的学生约有多少人？23111)2sin452cos302018-︒︒⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭24．某商场销售一种小商品,每件进货价为190元.调查发现,当销售价为210元时,平均每天能销售8件；当销售价每降低2元时,平均每天就能多销售4件.设每件小商品降价x元,平均每天销售y件.（1）直接写出y与x之间的函数关系式(不必写出x的取值范围)；（2）商场要想使这种小商品平均每天的销售利润达到280元,求每件小商品的销售价应定为多少元? （3）设每天的销售总利润为w元,求w与x之间的函数关系式；每件商品降价多少元时，每天的总利润最大?最大利润是多少?25．计算：11 20192-⎛⎫⎪⎝⎭．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题13．40 yx =1415．AB=BC 16．517．4 3π18．245（或4.8）三、解答题19．(1)无数；(2)以AB为直径的圆(点A、B除外)；直径所对的圆周角为直角．【解析】【分析】（1）由于过点A可作无数条射线，利用作法可得到无数个直角三角形；（2）利用圆周角定理可判断这些直角三角形的直角顶点C所形成的图形．【详解】(1)以线段AB为斜边还可以作无数个直角三角形；(2)这些直角三角形的直角顶点C所形成的图形是以AB为直径的圆(点A、B除外)，理由是直径所对的圆周角为直角；故答案为无数；以AB为直径的圆(点A、B除外)；直径所对的圆周角为直角．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．20．（1）详见解析；（2）AE=【解析】【分析】（1）连接OE、EC，根据已知条件易证∠1+∠3＝∠2+∠4=90°，即可得∠OED＝90°，所以DE是⊙O的切线；（2）证明△BEC∽△BCA，根据相似三角形的性质可得BE BCBC BA=，即BC2＝BE•BA，设AE＝x，则BE＝2x，BA＝3x，代入可得122＝2x•3x，解得x＝，即可得AE＝．【详解】（1）证明：连接OE、EC，∵AC是⊙O的直径，∴∠AEC＝∠BEC＝90°，∵D为BC的中点，∴ED＝DC＝BD，∴∠1＝∠2，∵OE＝OC，∴∠3＝∠4，∴∠1+∠3＝∠2+∠4，即∠OED＝∠ACB，∵∠ACB＝90°，∴∠OED＝90°，∴DE 是⊙O 的切线；（2）由（1）知：∠BEC ＝90°，∵在Rt △BEC 与Rt △BCA 中，∠B ＝∠B ，∠BEC ＝∠BCA ， ∴△BEC ∽△BCA ， ∴BE BCBC BA= ， ∴BC 2＝BE•BA，∵AE ：EB ＝1：2，设AE ＝x ，则BE ＝2x ，BA ＝3x ， ∵BC ＝12， ∴122＝2x•3x，解得：x ＝，即AE ＝． 【点睛】本题考查了切线的判定及相似三角形的判定与性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键． 21．7 【解析】 【分析】先算锐角三角函数、负指数幂、绝对值，再算加减运算. 【详解】解：212sin 60324372-︒++=++-=（） 【点睛】考核知识点：含有特殊锐角三角函数值的运算.22．（1）本次抽样调查共抽取了80名学生；（2）本次调查中,有20名学生最想参加动漫社团.补全条形统计图见解析；（3）由样本估计总体得该中学最喜欢香炉山的学生约有360名. 【解析】 【分析】（1）根据帽儿山的人数除以占的百分比可得到总人数 （2）求出凤凰山的人数是80-24-8-20-12=16,再画即可 （3）先列出算式,再求出可, 【详解】（1）2025÷％=80（名）∴本次抽样调查共抽取了80名学生.（2）80－24－8－20－12=16（名）∴本次调查中,有20名学生最想参加动漫社团.补全条形统计图（3）1200×2480=360（名） x 由样本估计总体得该中学最喜欢香炉山的学生约有360名.【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图,总体、个体、样本、样本容量,用样本估计总体等知识点,两图结合是解题的关键23．2019【解析】【分析】原式第一项利用绝对值的性质化简，第二项依据零指数幂运算，第三项和第四项利用特殊角的三角函数计算，最后一项依据负整数指数幂运算，即可求解.【详解】122201822+⨯-⨯+12018=2019 【点睛】此题考查了实数的混合运算和特殊角的三角函数值，掌握实数混合运算的顺序和相应法则是解答此题的关键.24．（1）28y x =+；（2）当每件小商品的销售价定为200元或204元时，平均每天的销售利润可达到280元；（3）每件小商品降价8元时，每天的总利润最大，最大利润为288元.【解析】【分析】（1）根据销售单价是210元时平均每天销售量是8件，而销售价每降低2元，平均每天就可以多售出4件，即可得出关系式；（2）利用每件商品利润×销量=总利润，得出关系式求出即可；（3）由题意得出：w=（210-190-x ）（8+2x ）进而得出二次函数的最值即可得出答案.【详解】解：⑴y 与x 之间的函数关系式为28y x =+.⑵由题意可得:(28)(210190)280x x +--=.整理得216600x x -+=.解得12x 6,x 10==.2106204-=（元），21010200-=（元） 答:当每件小商品的销售价定为200元或204元时，平均每天的销售利润可达到280元.⑶由题意可得，2w (2x 8)(210190x)2(x 8)288=+--=-+∵20a =-<，抛物线开口向下，当8x =时，有最大值，最大值为288.答:每件小商品降价8元时，每天的总利润最大，最大利润为288元.【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的实际应用.25．1【解析】【分析】直接利用负指数幂的性质、零指数幂的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案．【详解】原式＝1﹣2+2＝1．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．下列事件是随机事件的是（ ）A ．人长生不老B ．明天就是5月1日C ．一个星期有七天D ．2020年奥运会中国队将获得45枚金牌2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．3B ．C ．D ．3．如图，▱ABCD 中，∠B ＝70°，BC ＝6，以AD 为直径的⊙O 交CD 于点E ，则DE 的长为（ ）A ．13πB ．23πC ．76πD ．43π 4．从 2，-1，2这三数中任取两个不同的数相乘，积为正数的概率是（ ）A. B. C. D.5．小明的生日礼盒如图所示，它的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，正方形ABCD 中，6AB =，G 是BC 的中点.将ABG ∆沿AG 对折至AFG ∆，延长GF 交DC 于点E ，连接AE 、CF ，则下列结论正确的有（ ）个.（1）2DE = （2）45EAG ∠=︒（3）EAG ∆的面积是18 （4）cos 5FCG ∠=A ．4B ．3C ．2D ．17．如图，在△ABC 中，BD 、CE 是高，点G 、F 分别是BC 、DE 的中点，则下列结论中错误的是（ ）A ．GE ＝GDB ．GF ⊥DEC ．∠DGE ＝60°D ．GF 平分∠DGE8．一组数据2，3，8，6，x 的唯一众数是x ，其中x 是不等式组26070x x ->⎧⎨-<⎩的解，则这组数据的中位数是（ ）A ．3B ．5C ．6D ．89．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象过点(－1,0)，其对称轴为1x =，下列结论：①0abc >；②20a b +=；③420a b c ++<；④此二次函数的最大值是a b c ++，其中结论正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．②④D ．①③④10．如图，DE ∥MN ，Rt △ABC 的直角顶点C 在DE 上，顶点B 在MN 上，且BC 平分∠ABM ，若∠A ＝58°，则∠BCE 的度数为（ ）A ．29°B ．32°C ．58°D ．64°11．如图，正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM 2=，N 是AC 上一动点，则DN MN +的最小值为( )A．6 B．8 C．10 D．1212．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是( )A．B．C．D．二、填空题13．如图，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝15，E是CD上的点，将△ADE沿折痕AE折叠，使点D落在BC边上点F处，点P是线段CB延长线上的动点，连接PA，若△PAF是等腰三角形，则PB的长为____．14．婷婷在发现一个门环的示意图如图所示．图中以正六边形ABCDEF的对角线AC的中点O为圆心，OB为半径作⊙O，AQ切⊙O于点P，并交DE于点Q，若AQ＝，则该圆的半径为_____cm．15．如图，在半径为4的⊙O中，弦AB∥OC，∠BOC＝30°，则AB的长为_____．16．已知一组数据﹣1，4，2，﹣2，x的众数是2，那么这组数据的中位数是_____．17．某不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式的解集是___________．18．如果抛物线y=ax2﹣2ax+c与x轴的一个交点为（5，0），那么与x轴的另一个交点的坐标是_____.三、解答题19．某学校准备购买A、B两种型号篮球，询问了甲、乙两间学校了解这两款篮球的价格，下表是甲、乙两间学校购买A、B两种型号篮球的情况：(1)求A、B两种型号的篮球的销售单价；(2)若该学校准备用不多于1000元的金额购买这两种型号的篮球共20个，且A种型号的篮球数量小于B 种型号的篮球，问A种型号的篮球采购多少个？20．已知x1、x2是一元二次方程（a-6）x2+2ax+a=0的两个实数根．（1）求实数a的取值范围；（2）若x1、x2满足x1x2-x1=4+ x2，求实数a的值．21．已知点E、F分别是▱ABCD的边BC、AD的中点．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若BC＝10，∠BAC＝90°，求▱AECF的周长．22．如图，在等边三角形ABC中，点D为BC边上的一点，点D关于直线AB的对称点为点E，连接AD、DE，在AD上取点F，使得∠EFD=60°，射线EF与AC交于点G．（1）设∠BAD=α，求∠AGE的度数（用含α的代数式表示）；（2）用等式表示线段CG与BD之间的数量关系，并证明．23．先化简，再求值：(x﹣1+ 331xx-+)÷21x xx-+，其中x的值是从-2＜x＜3的整数值中选取．24．在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED ＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF．求证：（1）△ABF≌△DAE；（2）DE＝BF+EF．25．先化简，再求值221212121--⎛⎫-+÷+ ⎪+++⎝⎭m m m m m m ，其中m 是使得一次函数y ＝（m ﹣3）x+m+1不经过第三象限的整数值．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．6或9或12.5．14．3+1516．217．x>-218．（﹣3，0）.三、解答题19．(1)A 种型号的篮球的销售单价为26元/个，B 种型号的篮球的销售单价为68元/个；(2)A 种型号的篮球采购9个．【解析】【分析】（1）设A 种型号的篮球的销售单价为x 元/个，B 种型号的篮球的销售单价为y 元/个，根据总价=单价×数量结合甲、乙两校购买篮球所花费用及购买数量，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买m 个A 种型号的篮球，则购买（20-m ）个B 种型号的篮球，根据A 种型号的篮球数量小于B 种型号的篮球及购买总费用不多于1000元，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围，再结合m 为整数即可求出结论．【详解】(1)设A 种型号的篮球的销售单价为x 元/个，B 种型号的篮球的销售单价为y 元/个，根据题意得：3862254402x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：2668x y =⎧⎨=⎩． 答：A 种型号的篮球的销售单价为26元/个，B 种型号的篮球的销售单价为68元/个．(2)设购买m 个A 种型号的篮球，则购买(20﹣m)个B 种型号的篮球，根据题意得：202668(20)1000m m m m <-⎧⎨+-⎩…， 解得：607≤m＜10． 又∵m 为整数，∴m ＝9．答：A 种型号的篮球采购9个．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．20．（1）a≥0且a≠6；（2）a=24．【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义计算；（2）根据一元二次方程根与系数的关系列出方程，解方程即可．【详解】（1）∵一元二次方程（a-6）x 2+2ax+a=0有两个实数根，∴（2a ）2-4（a-6）×a≥0，a-6≠0，解得，a≥0且a≠6；（2）∵x 1、x 2是一元二次方程（a-6）x 2+2ax+a=0的两个实数根，∴x 1+x 2=26a a -， x 1•x 2=6a a -， ∵x 1x 2-x 1=4+x 2， ∴x 1x 2=4+x 2+x 1，即6a a -=4+26a a -， 解得，a=24．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=－b a ，x 1x 2=c a，反过来也成立． 21．（1）证明见解析；（2）20.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定和性质即可得到结论；（2）根据直角三角形的性质得到AE=CE=12BC=5，推出四边形AECF是菱形，于是得到结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵点E、F分别是▱ABCD的边BC、AD的中点，∴AF=12AD，CE＝12BC，∴AF＝CE，AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形；（2）∵BC＝10，∠BAC＝90°，E是BC的中点．∴AE＝CE＝12BC＝5，∴四边形AECF是菱形，∴▱AECF的周长＝4×5＝20．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质和菱形的判定，关键是掌握平行四边形对边相等，对角相等；邻边相等的平行四边形是菱形．22．（1）60°+α；（2）CG=2BD，证明见解析.【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理可得结论；（2）作辅助线，构建全等三角形，证明四边形EBPG是平行四边形，得BE=PG，再证明△ABD≌△BCP（AAS），可得结论．【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，∵∠BAD=α，∴∠FAG=60°-α，∵∠AFG=∠EFD=60°，∴∠AGE=180°-60°-（60°-α）=60°+α；（2）CG=2BD，理由是：如图，连接BE，过B作BP∥EG，交AC于P，则∠BPC=∠EGP，∵点D关于直线AB的对称点为点E，∴∠ABE=∠ABD=60°，∵∠C=60°，∴∠EBD+∠C=180°，∴EB∥GP，∴四边形EBPG是平行四边形，∴BE=PG，∵∠DFG+∠C=120°+60°=180°，∴∠FGC+∠FDC=180°，∴∠ADB=∠BGP=∠BPC，∵AB=BC，∠ABD=∠C=60°，∴△ABD≌△BCP（AAS），∴BD=PC=BE=PG，∴CG=2BD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，对称的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．23．x2x-， x=2时，原式=0.【解析】【分析】先算括号里的，然后算除法化简分式，最后将中不等式-1≤x＜2.5的整数解代入求值．【详解】(x﹣1+ 331xx-+)÷21x xx-+=23211(1) x x xx x x-++⨯+-=(1)(2)11(1) x x xx x x--+⨯+-=2 xx --1≤x＜2.5的整数解为-1，0，1，2，∵分母x≠0，x+1≠0，x-1≠0，∴x≠0且x≠1，且x≠-1，∴x=2当x=2时，原式=220 2-=．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．24．（1）见解析；（2）见解析．【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得到AB=AD，AD∥BC，由平行线的性质得到∠BPA=∠DAE，等量代换得到∠BAF=∠ADE，求得∠ABF=∠DAE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到AE=BF，DE=AF，根据线段的和差即可得到结论【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AD∥BC，∴∠BPA＝∠DAE，∵∠ABC＝∠AED，∴∠BAF＝∠ADE，∵∠ABF＝∠BPF，∠BPA＝∠DAE，∴∠ABF＝∠DAE，∵AB＝DA，∴△ABF≌△DAE（ASA）；（2）∵△ABF≌△DAE，∴AE＝BF，DE＝AF，∵AF＝AE+EF＝BF+EF，∴DE＝BF+EF．【点睛】此题考查菱形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，解题关键在于利用全等三角形的性质求解25．2或0或﹣4【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出不等式组的解集，找出解集中的整数解确定出m的值，代入计算即可求出值．【详解】解：原式＝222m(m2)m2m(m2)(m1)22m m2 m1(n1)m1m2---+-=+=-⋅+=--+ +++-，∵m是使得一次函数y＝（m﹣3）x+m+1不经过第三象限的整数，∴m﹣3＜0①，m+1≥0②由①得：m＜3；由②得：m≥﹣1，∴不等式组的解集为﹣1≤m＜3，即整数解为m＝﹣1，0，1，2，则原式的值为：2或0或﹣4．【点睛】此题考查了分式的化简求值，一次函数的性质以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．。