数学公理化方法

中学几何公理体系_公理化方法与中学几何公理化方法与中学几何一、公理化方法的意义和作用所谓数学公理化方法，就是从尽可能少的无定义的原始概念(基本概念)和一组不证自明的命题(基本公理)出发，利用纯逻辑推理法则，把一r一J数学建立成为演绎系统的一种方法。

这里所说的基本概念，是不加定义的，是真正基本的，它不能用比其更简单、更原始的概念来确定它的含义，只能用描述的方法来确定其范围，如点、线、面等等。

公理是对基本概念间的相互关系和基本性质所做的一种I }}述和规定，不是随意可以选定的。

一个良好的公理系统，设置公理应当满足三个条件:相容性、独立性和完备性。

一般认为，公理化的历史发展，大致可分为三个阶段:公理化方法的产生、公理化方法的完善和公理化方法的形式化。

从其发展史去考察，公理化方法的作用，至少概括出如下三点:①这种方法具有分析、总结数学知识的作用。

②公理化方法把一门数学的基础分析得清清楚楚，这就有利于比较各门数学的实质性异同，并能促使和推动新理论的创立。

③数学公理化方法在科学方法论上有示范作用。

二、中学几何中的公理化方法中学几何教材大体上是按照下面的逻辑结构、采用演绎方式展开的基于学生的认识规律和接受能力等方面的考虑，各章节教材在具体展开时增添了便于理解教材的实例。

从总体上看，教材体现出公理化方法的基本思想，其结构框图如下:(见下页) 甚本元案和甚本圈形中学几何课本中提到:y,线、面或丁古干个点、线、面组合在一起，就成为几何图中学数学教材中的公理系统中学数学知识有一定的系统，原则上应按公理化思想方法展开.特别是平面几何、立体几何内容，应明确地列出公理组.在一般的中学数学教材中，大体_n是按照下面的逻辑结构，采用演绎方法展开的: 原始概念的描述) 定义的叙述公理的叙述命题定理--一推论公式各章节教材在具体展开时，为便于学生接受，一般都增添了便于理解教材内容的实例，采用如下的块状结构: 感性材料实例、背景设置公理、定义、概念引进并证明定理、公式从逻辑结构和具体内容看，总体上体现了公理化的基本思想，但就其公理系统而论，由于考虑到中学生接受能力和教材的精简，因而对公理独立性的要求不是那么严格，而且公理系统也不完备，有时还要借助于直观.例如，平面几何教材，从它的逻辑结构和具体内容看，基本上沿用了欧氏的不完善的公理系统.首先选定一批基本元素和一批关系(包括基本关系)作为基本概念，采用扩大公理体系，然后以此为出发点，用形式逻辑方法定.义有关概念，推导一系列定理，把有关的几何知识贯穿起来.其中公理之间是相容(不矛盾)的，但所选取的公理既过剩又不足，是不独立和不完备的.20世纪末我国的平面几何教材中共引进几何公理16条，等量公理5条，不等量公理6条。

公理化思想的例子初中1、加法交换律：两数相加交换加数的位置,和不变.2、加法结合律：三个数相加,先把前两个数相加,或先把后两个数相加,再同第三个数相加,和不变.3、乘法交换律：两数相乘,交换因数的位置,积不变.4、乘法结合律：三个数相乘,先把前两个数相乘,或先把后两个数相乘,再和第三个数相乘,它们的积不变.5、乘法分配律：两个数的和同一个数相乘,可以把两个加数分别同这个数相乘,再把两个积相加,结果不变.6、除法的性质：在除法里,被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数,商不变.O除以任何不是O的数都得O.简便乘法：被乘数、乘数末尾有O的乘法,可以先把O前面的相乘,零不参加运算,有几个零都落下,添在积的末尾.7、么叫等式?等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式.等式的基本性质：等式两边同时乘以（或除以）一个相同的数,等式仍然成立.8、什么叫方程式?答：含有未知数的等式叫方程式.9、分数：把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几分的数,叫做分数.10、分数的加减法则：同分母的分数相加减,只把分子相加减,分母不变.异分母的分数相加减,先通分,然后再加减.11、分数大小的比较：同分母的分数相比较,分子大的大,分子小的小.异分母的分数相比较,先通分然后再比较；若分子相同,分母大的反而小.12、分数乘整数,用分数的分子和整数相乘的积作分子,分母不变.13、分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作为分母.14、分数除以整数（0除外）,等于分数乘以这个整数的倒数.15、真分数：分子比分母小的分数叫做真分数.16、假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数.假分数大于或等于1.17、带分数：把假分数写成整数和真分数的形式,叫做带分数.18、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数（0除外）,分数的大小不变.19、一个数除以分数,等于这个数乘以分数的倒数.20、甲数除以乙数（0除外）,等于甲数乘以乙数的倒数.。

公理化方法
公理化方法简介如下：
公理化方法公理化思想任何真正的科学都始于原理，以它们为基础，并由之而导出一切结果来随着假设演绎模型法的进一步发展，经济学日益走向公理化方法。

公理化是一种数学方法。

最早出现在二千多年前的欧几里德几何学中，当时认为“公理’(如两点之问可连一直线)是一种不需要证明的自明之理，而其他所谓“定理”(如三对应边相等的陌个三角形垒等)则是需要由公理出发来证明的,18世纪德国哲学家康德认为，欧几里德几何的公理是人们生来就有的先验知识，19世纪末，德国数学家希尔伯特在他的几何基础研究中系统地挺出r数学的公理化方法。

论公理化思想的发展历程、及学习数学史的感受13数学系625班41号刘晔摘要：公理化方法是近代数学公理化方法的一个典范, 它完善了欧氏几何, 使它建立在更加牢靠的基础上。

它使几何学的定理命题均按照逻辑演绎关系串联起来, 使用起来十分方便。

关键词：欧几里得几何,公理化，发展历程.公理化方法是自然科学, 特别是数学的重要逻辑演绎工具。

长期以来人们对公理化方法研究不止,存在不同的看法和争议,并由此而不断产生新的科学分支。

因此, 公理化方法研究总是充满生机的。

一、公理化思想的发展历史欧几里德于公元前300 年写了一本名著《几何原本》, 这是历史上第一次以公理化方法为工具的演绎数学。

由于受当时科学水平的限制, 他不可能把作为几何根基的基础整理得完美无缺, 因此在《原本》中的逻辑系统中显示出许多漏洞来。

欧几里德以后的许多数学家几乎都为改进欧氏公理体系做过努力。

另外, 人们对《原本》中的第五公设产生了如下二方面的怀疑：第五公设是否正确反映了空间性质？第五公设本身会是个定理吗？于是,人们又进行了三方面的探究：（1）用其他公设来推导第五公设（该条途径研究失败）；（2）换一个与第五公设等价而几何意义明显的命题作为公设；（3）换一个与第五公设相反的公设。

历史上的许多数学家企图从否定第五公设（包括等价命题）得出矛盾, 从而证明第五公设, 但经过长达二十个世纪的历代几何学家们的努力, 问题并未得到根本的解决,结果却导致了非欧几何的产生。

更令人欣喜的是, 十九世纪中叶, 人们在欧氏几何中找到非欧几何的模型, 这就是说, 欧氏几何无矛盾的话, 则非欧几何也无矛盾。

后来, 非欧几何被应用到天体物理和广义相对论中, 从而使非欧几何有了坚实的实践基础。

为了研究两种几何平行而不悖，以希尔伯特为代表的数学家们掀起了对几何逻辑基础的研究，希尔伯特在1899年发表了他的名著《几何基础》，第一次提出了简明、完整而严格的形式公理化方法而使《几何基础》成为现代公理化方法的里程碑。

自然数的公理化
自然数的公理化是通过皮亚诺公理（Peano axioms）来定义的。

皮亚诺公理是意大利数学家朱塞佩·皮亚诺（Giuseppe Peano）提出的关于自然数的五条公理系统。

这些公理是数学中用于定义自然数的基础，它们描述了自然数的基本性质和运算规则。

皮亚诺公理包括：
0是一个自然数：这条规定了自然数的起点，即自然数系包含0。

每个自然数a都有一个后继数a'：这意味着每个自然数都有一个唯一的“下一个”数，即它的后继。

0不是任何自然数的后继数：这确保了0作为自然数系的起始点是唯一的。

不同自然数的后继数不相同：如果a和b是两个不同的自然数，那么它们的后继数a'和b'也不相同。

如果一个性质适用于0，并且假设它适用于一个自然数，那么它也适用于该自然数的后继数，则该性质适用于所有自然数：这是数学归纳法的基础，它是证明涉及自然数的性质时非常重要的工具。

值得一提的是，皮亚诺公理为自然数的算术运算（如加法、乘法）提供了基础，并且在逻辑上构建了整个自然数的理论体系。

通过这些公理，我们可以定义加法、乘法等运算，并证明它们的性质，如交换律、结合律和分配律。

此外，皮亚诺公理还可以用来定义减法和除法运算。

总的来说，皮亚诺公理是现代数学中对自然数进行公理化描述的基础，它不仅为自然数的性质提供了清晰的描述，而且还为更高层次的数学理论，如实数、微积分等，提供了坚实的基础。

公理法选取少数不加定义的原始概念（基本概念）和无条件承认的规定（公理）作为出发点，再加以严格的逻辑推理，将某一数学分支建成演绎系统的方法，叫数学系统的公理化方法，简称“公理法”．两千多年来，欧几里得的《几何原本》在传播几何知识方面做出了巨大的贡献，并一直被人们作为标准的教科书使用．《几何原本》的特点是建立了一个比较严密的几何体系，提出了几何学的“根据”和它的逻辑结构问题．但是，随着时间的推移，人们逐渐发现《几何原本》的体系还存在不少破绽和漏洞，例如使用一些未知的定义来解释另一个未知的定义，这样的定义既不能逻辑地确定几何名词和术语，也不能在逻辑推理中起作用；《几何原本》也使用了一些未曾定义的概念，如“连续”的概念就未定义而被使用．正是由于对《几何原本》在逻辑结构方面存在的破绽和漏洞的发现，推动了几何学的不断发展．1899年，德国数学家希尔伯特在他的《几何基础》一书中，首次用公理化的方法提出了一个比较完善的几何学的公理系统，即希尔伯特公理体系，克服了《几何原本》中的一些缺点．希尔伯特公理体系的主要思想包含：（1）把几何中的点、直线、平面等概念，作为不加定义的“原始”概念，叫基本对象．（2）给出几何元素的一些基本关系：结合关系、顺序关系、合同关系．（3）规定了五组公理，用它阐述基本对象的性质．希尔伯特还提出建立一个公理化体系的原则，即在一个公理体系中，取哪些为公理，应包含多少公理，必须考虑以下三点：第一，相容性，即各公理必须是互相不矛盾的，同存于一个体系中．第二，独立性，即每条公理都是各自独立的，不能由其他公理推出．第三，完备性，即体系中所包含的公理应足以推出本学科的任何命题．欧几里得的几何体系实际上是公理化体系的雏形，常称之为古典公理体系．公理化方法给几何学的研究带来了一个新的观点．在公理体系中，由于基本对象不加以定义，因此就不必考虑研究对象的直观形象，只要研究抽象的对象之间的关系、性质．凡符合公理体系的元素都可以作为这个几何体系的直观解释，或称几何学的模型．因此，几何学的研究对象更广泛，其含义也更抽象．20世纪以来，由于公理化方法在研究几何基础方面所取得的成就，促使公理化方法渗透到数学的其他分支，诸如代数、泛函、拓朴等比较抽象的数学分支的研究．公理化方法对近代数学的发展所产生的巨大影响，已成为举世公认的事实，公理化方法早已超过数学理论范围，进入其他自然科学的领域．如本世纪40年代波兰数学家巴拿赫完成了理论力学的公理化，物理学家还将相对论表述为公理体系等等．当然，公理化方法若不与实验方法相结合，不与科学方法相结合，也不会更好地解决和发现问题．公理法选取少数不加定义的原始概念（基本概念）和无条件承认的规定（公理）作为出发点，再加以严格的逻辑推理，将某一数学分支建成演绎系统的方法，叫数学系统的公理化方法，简称“公理法”．两千多年来，欧几里得的《几何原本》在传播几何知识方面做出了巨大的贡献，并一直被人们作为标准的教科书使用．《几何原本》的特点是建立了一个比较严密的几何体系，提出了几何学的“根据”和它的逻辑结构问题．但是，随着时间的推移，人们逐渐发现《几何原本》的体系还存在不少破绽和漏洞，例如使用一些未知的定义来解释另一个未知的定义，这样的定义既不能逻辑地确定几何名词和术语，也不能在逻辑推理中起作用；《几何原本》也使用了一些未曾定义的概念，如“连续”的概念就未定义而被使用．正是由于对《几何原本》在逻辑结构方面存在的破绽和漏洞的发现，推动了几何学的不断发展．1899年，德国数学家希尔伯特在他的《几何基础》一书中，首次用公理化的方法提出了一个比较完善的几何学的公理系统，即希尔伯特公理体系，克服了《几何原本》中的一些缺点．希尔伯特公理体系的主要思想包含：（1）把几何中的点、直线、平面等概念，作为不加定义的“原始”概念，叫基本对象．（2）给出几何元素的一些基本关系：结合关系、顺序关系、合同关系．（3）规定了五组公理，用它阐述基本对象的性质．希尔伯特还提出建立一个公理化体系的原则，即在一个公理体系中，取哪些为公理，应包含多少公理，必须考虑以下三点：第一，相容性，即各公理必须是互相不矛盾的，同存于一个体系中．第二，独立性，即每条公理都是各自独立的，不能由其他公理推出．第三，完备性，即体系中所包含的公理应足以推出本学科的任何命题．欧几里得的几何体系实际上是公理化体系的雏形，常称之为古典公理体系．公理化方法给几何学的研究带来了一个新的观点．在公理体系中，由于基本对象不加以定义，因此就不必考虑研究对象的直观形象，只要研究抽象的对象之间的关系、性质．凡符合公理体系的元素都可以作为这个几何体系的直观解释，或称几何学的模型．因此，几何学的研究对象更广泛，其含义也更抽象．20世纪以来，由于公理化方法在研究几何基础方面所取得的成就，促使公理化方法渗透到数学的其他分支，诸如代数、泛函、拓朴等比较抽象的数学分支的研究．公理化方法对近代数学的发展所产生的巨大影响，已成为举世公认的事实，公理化方法早已超过数学理论范围，进入其他自然科学的领域．如本世纪40年代波兰数学家巴拿赫完成了理论力学的公理化，物理学家还将相对论表述为公理体系等等．当然，公理化方法若不与实验方法相结合，不与科学方法相结合，也不会更好地解决和发现问题．。

数学的论证方法［作者：点击数：1678 更新时间：2003-11-15 ］数学的论证方法1、演绎法由已知普遍事物的成立推断某特殊事物也成立，即由一般性原理得到特殊性结论的推理方法叫做演绎法。

演绎推理的前提和结论之间有着必然的联系，其特殊性的结论包含在一般性原理之中。

因此，只要推理的前提正确，推理符合逻辑，那么所得的结论就一定正确。

因此，演绎推理可以做为数学中严格证明的工具。

中学数学教材基本是以演绎推理作为主要推理形式，运用最普遍的是“三段论”式的结构，它由两个前提（分别称之为大前提、小前提）和一个结论构成。

大前提是具有一般性的原理，如已知的公理、定理、定义、性质等；小前提是包含在大前提所指事物的特殊事物，如命题中给出的已知条件；结论是根据两个前提推出的判断。

其模式为：大前提：一切A都是B（或A具有性质B），小前提：C是A（或C在A内），结论:C是B（或C具有性质B）。

2、分析法与综合法分析法与综合法是在中学数学中广泛应用的逻辑方法，在科学认识论中占有重要的地位。

分析法与综合法是思维方向相反的两种思考方法。

对此，法国数学家笛卡尔（Descartes）在其著作《逻辑学》一书中，列举了一个生动形象的例子：“我和查理大帝是否有血缘关系呢？可以用两种方法回答这个问题。

一是在家谱里从后往前查，即从我查到查理大帝；二是在家谱里从前往后查，即从查理大帝查到我。

假如我们两个人的名字在同一个家谱上，那么我们就有血缘关系。

”在这个例子里，前一种方法是指分析法，后一种方法便是指综合法。

3、公理化方法数学公理化方法，就是从尽可能少的原始概念（基本概念）和尽可能少的一组不加证明的原始命题（基本公理、公设）出发，应用严格的逻辅推理推导出其余的命题和定理，使某一数学分支成为演绎系统的一种方法。

由于它的出发点是一组基本概念和基本公理，因此如何引进公理和基本概念是运用公理化方法的关键，也是这种方法的基本内容。

基本概念是一些不加定义的原始概念，它们必须是真正基本的，无法用更原始、更基本的概念去定义。

数学公理化方法在研究数学中的重要作用1数学公理化方法概述1.1数学公理化方法的内涵纯形式公理化方法的特征是具有高度的形式化和抽象化，系统的基本概念、基本关系用抽象的符号表示，命题由符号组成的公式表示，命题的证明用一个公式串表达。

一个符号化的形式系统只有在解释之后才有意义。

同时，作为一个符号化的形式系统，可以用来提供简洁精确的形式化语言；提供数量分析及计算的方法；提供逻辑推理的工具。

公理化方法的具体形态有三种：实体性公理化方法、形式公理化方法和纯形式公理化方法，用它们建构起来的理论体系分别为《几何原本》、《几何基础》和ZFC公理系统。

1.2公理化方法的基本思想数学是撇开现实世界的具体内容来研究其量性特征形式与关系的。

其结果只有经过证明才可信，而数学证明采用的是逻辑推理方法，根据逻辑推理的规则，每步推理都要有个大前提，我们不难想象到，最初的那个大前提是不可能再由另外的大前提导出的，既是说，我们的逆推过程总有个“尽头”，同样，概念需要定义，新概念由前此概念定义，必也出现这样的情况最原始的概念无法定义。

因此，我们要想建立一门科学的严格的理论体系，只能采取如下方法：让该门学科的某些概念以及与之有关的某些关系作为不加定义的原始概念与公设或公理，而以后的全部概念及其性质要求均由原始概念与公设或公理经过精确定义与逻辑推理的方法演绎出来，这种从尽可能少的一组原始概念和公设或公理出发，运用逻辑推理原则，建立科学体系的方法叫做公理化方法。

2数学公理化方法的逻辑特征2.1协调性无矛盾性要求在一个公理系统中，公理之间不能自相矛盾，由公理系推出的结果也不能矛盾，即不能同时推出命题A与其否定命题，显然，这是对公理系统的最基本的要求。

如何证明给定的公理系统的无矛盾性呢？若想通过“由这一公理系作出全部可能的推论并指出其中没有矛盾”来证明是不可能的。

2.2独立性独立性要求在一个公理系统中，被选定的公理组中任何一个公理都不能由其他公理推出。

公理化方法的发展及其对数学教育的启示【摘要】数学问题解决的方法由来已久，公元前三世纪古希腊的《几何原本》在几何问题解决中形成了对数学体系建立影响巨大的公理化方法。

文章深入考察公理化方法产生和发展的历史脉络并指出公理化方法在数学教育中的作用和应遵循的原则。

【关键词】公理化方法；数学教育；启示一、公理化方法的发展公理化方法是从数学（主要是几何学）和逻辑学的发展中产生的，其历史发展可分为如下几个阶段。

（一）欧几里得《几何原本》与公理化方法古希腊哲学家和逻辑学家亚里士多德是历史上“第一个伟大的公理化方法理论家”。

但他没有实际用过公理化方法推出定理，构造一个理论化知识体系。

在数学发展史上，第一个成功地应用了公理化方法，并改造了亚里士多德创立的公理化方法的是古希腊数学家欧几里得，这充分体现在他那13卷的鸿篇巨著——《几何原本》里。

该书把亚里士多德创立的公理化方法应用于数学，特别是几何学，从5条公设、5条公理和23个定义出发，推出了467条定理，整理、总结和发展了希腊古典时期的大量数学知识，其内容和形式对于几何学本身以及数学逻辑基础的发展产生了巨大影响。

欧几里得的《几何原本》具有封闭的几何理论演绎体系、抽象化的数学内容等特点，是实质性公理化阶段形成的重要标志。

（二）非欧几何及其对公理化的发展自《几何原本》问世后，历代数学家都企图消除“平行公设”这个“几何原理中的家丑”（达朗贝尔语）。

从希腊时代到1800年间，他们的研究途径大致有两条：一是用更为自明的命题来代替平行公设，二是试图从欧氏几何的其他几条公设和公理推出平行公设。

如果能办到这一点，平行公设将成为定理，它也，就无可怀疑了。

循着第一条途径走的数学家们曾提出或隐含地假定作为欧氏几何的平行公设的替代公设有很多，但并不比欧氏几何中的平行公设好接受，因为它们或者同样复杂，或者假定了绝不是“自明的”几何性质。

沿着第二条途径走的数学家们，试图从其他几条公设和公理推出欧氏几何中平行公设，都无一例外地失败了。

公理化方法的特征及功能数学家欧几里得以亚里士多德的演绎逻辑为工具总结了人类长期以来所积累的大量几何知识，于公元前300年完成了他的名著《几何原本》，它是演绎逻辑与几何相结合的产物。

因此它的出现使演绎逻辑第一次成功的应用于数学。

欧几里得的《几何原本》是有史以来用公理思想建立起来的第一门演绎数学，后来成为公理化方法的初级阶段，既然是初级阶段，就少不了后来人的应用和发展。

它不仅作为基础为后来人的研究打下基础，也激发了许多杰出数学家的研究几何演绎与公理化的热情。

希尔伯特在1899年出版的名著《几何基础》就是在之后的研究热潮中的重要成果的突出代表。

他在《几何基础》中放弃了欧几里得《几何原本》中公理的直观显然性把那些在对空间直观进行逻辑分析时无关重要的内容加以摒弃，着眼于对象间的联系，强调了逻辑推理，首次提出了一个简明、完整、逻辑严谨的形式公理系统。

从此，公理化方法不仅是数学中一个重要方法，而且已经被其他学科领域所采用。

以下介绍希尔伯特在《几何基础》中对于几何的应用提出的公理化方法，以及上面所提到在其他领域中应用的几个例子，总结公理化方法在教学中的启示。

几何学公理化方法结合公理：Ⅰ1对于任意两个不同的点A、B，存在着直线a通过每个点A、B．Ⅰ2对于任意两个不同的点A、B，至多存在着一条直线通过每个点A、B．Ⅰ3在每条直线上至少有两个点；至少存在着三个点不在一条直线上．Ⅰ4对于不在一条直线上的任意三个点A、B、C，存在着平面α通过每个点A、B、C．在每个平面上至少有一个点．Ⅰ5对于不在一条直线上的任意三个点A、B、C，至多有一个平面通过每个点A、B、C．Ⅰ6如果直线a上的两个点A、B在平面α上，那么直线a上的每个点都在平面α上．Ⅰ7如果两个平面α、β有公共点A，那么至少还有另一公共点B．Ⅰ8至少存在着四个点不在一个平面上．顺序公理：Ⅱ1如果点B在点A和点C之间，那么A、B、C是一条直线上的不同的三点，且B也在C、A之间．Ⅱ2对于任意两点A和B，直线AB上至少有一点C，使得B在A、C之间．Ⅱ3在一条直线上的任意三点中，至多有一点在其余两点之间．Ⅱ4设A、B、C是不在一条直线上的三个点；直线a在平面ABC上但不通过A、B、C中任一点；如果a通过线段AB的一个内点，（①线段AB的内点即A、B之间的点．）那么a也必通过AC或BC的一个内点(巴士(Pasch，1843—1930)公理)．合同公理：Ⅲ1如果A、B是直线a上两点，A′是直线a或另一条直线a′上的一点，那么在a或a′上点A′的某一侧必有且只有一点B′，使得A′B′≡AB．又，AB≡BA．Ⅲ2如果两线段都合同于第三线段，这两线段也合同．Ⅲ3设AB、BC是直线a上的两线段且无公共的内点；A′B′、B′C′是a或另一直线a′上的两线段，也无公共的内点．如果AB≡A′B′，BC≡B′C′，那么AC≡A′C′．Ⅲ4设平面α上给定∠(h，k)，在α或另一平面α′上给定直线a′和a′所确定的某一侧，如果h′是α′上以点O′为端点的射线，那么必有且只有一条以O′为端点的射线k′存在，使得∠(h′，k′)≡∠(h，k)．Ⅲ5设A、B、C是不在一条直线上的三点，A′、B′、C′也是不在一条直线上的三点，如果AB≡A′B′，AC≡A′C′，∠BAC≡∠B′A′C′，那么∠ABC≡∠A′B′C′，∠ACB≡∠A′C′B′．平行公理：过定直线外一点，至多有一条直线与该直线平行连续公理：Ⅴ1如果AB和CD是任意两线段，那么以A为端点的射线AB上，必有这样的有限个点A1，A2，…，An，使得线段AA1，A1A2，…，An-1An都和线段CD合同，而且B在An-1和An之间(阿基米德公理)．Ⅴ2一直线上的点集在保持公理Ⅰ1，Ⅰ2，Ⅱ，Ⅲ1，Ⅴ1的条件下，不可能再行扩充．注1．有些《几何基础》书中，常以康托(Cantor，1845—1918)公理代替上述的Ⅴ2：“一条直线上如果有线段的无穷序列A1B1，A2B2，A3B3，…，其中每一线段都在前一线段的内部，且对于任何线段PQ总有一个n存在，使得AnBn<PQ，那么在这直线上必有且只有一点X落在A1B1，A2B2，A3B3，…的内部．”注2．也有的书中，用与V1，V2等价的戴德金(Dedekind，1831—1916)公理作为连续公理：“如果线段AB及其内部的所有点能分为有下列性质的两类：(1)每点恰属一类；A属于第一类，B属于第二类；(2)第一类中异于A的每个点在A和第二类点之间．那么，必有一点C，使A、C间的点都属于第一类，而C、B间的点都属于第二类．”各个领域的应用应用公理化设计，进行可用于在轨组装飞行器总体设计的步骤为：1) 了解组装服务的需求：根据任务的实施环境、任务类型及任务特点，获取“5WlH”（why、what、where、when、who、how）等需求信息；2) 定义满足这些需求所需解决的问题：将任务需求转化；3) 通过综合分析产生或选择解决方案，将由组装服务需求转化而成的功能需求和设计参数进行“之”字型展开，根据独立公理调整FR 或DP，使得二者层级上各层次的射矩阵为对角阵或三角阵。