《中学几何研究》第1讲--几何学的公理化思想方法讲解

中学几何公理体系_公理化方法与中学几何公理化方法与中学几何一、公理化方法的意义和作用所谓数学公理化方法，就是从尽可能少的无定义的原始概念(基本概念)和一组不证自明的命题(基本公理)出发，利用纯逻辑推理法则，把一r一J数学建立成为演绎系统的一种方法。

这里所说的基本概念，是不加定义的，是真正基本的，它不能用比其更简单、更原始的概念来确定它的含义，只能用描述的方法来确定其范围，如点、线、面等等。

公理是对基本概念间的相互关系和基本性质所做的一种I }}述和规定，不是随意可以选定的。

一个良好的公理系统，设置公理应当满足三个条件:相容性、独立性和完备性。

一般认为，公理化的历史发展，大致可分为三个阶段:公理化方法的产生、公理化方法的完善和公理化方法的形式化。

从其发展史去考察，公理化方法的作用，至少概括出如下三点:①这种方法具有分析、总结数学知识的作用。

②公理化方法把一门数学的基础分析得清清楚楚，这就有利于比较各门数学的实质性异同，并能促使和推动新理论的创立。

③数学公理化方法在科学方法论上有示范作用。

二、中学几何中的公理化方法中学几何教材大体上是按照下面的逻辑结构、采用演绎方式展开的基于学生的认识规律和接受能力等方面的考虑，各章节教材在具体展开时增添了便于理解教材的实例。

从总体上看，教材体现出公理化方法的基本思想，其结构框图如下:(见下页) 甚本元案和甚本圈形中学几何课本中提到:y,线、面或丁古干个点、线、面组合在一起，就成为几何图中学数学教材中的公理系统中学数学知识有一定的系统，原则上应按公理化思想方法展开.特别是平面几何、立体几何内容，应明确地列出公理组.在一般的中学数学教材中，大体_n是按照下面的逻辑结构，采用演绎方法展开的: 原始概念的描述) 定义的叙述公理的叙述命题定理--一推论公式各章节教材在具体展开时，为便于学生接受，一般都增添了便于理解教材内容的实例，采用如下的块状结构: 感性材料实例、背景设置公理、定义、概念引进并证明定理、公式从逻辑结构和具体内容看，总体上体现了公理化的基本思想，但就其公理系统而论，由于考虑到中学生接受能力和教材的精简，因而对公理独立性的要求不是那么严格，而且公理系统也不完备，有时还要借助于直观.例如，平面几何教材，从它的逻辑结构和具体内容看，基本上沿用了欧氏的不完善的公理系统.首先选定一批基本元素和一批关系(包括基本关系)作为基本概念，采用扩大公理体系，然后以此为出发点，用形式逻辑方法定.义有关概念，推导一系列定理，把有关的几何知识贯穿起来.其中公理之间是相容(不矛盾)的，但所选取的公理既过剩又不足，是不独立和不完备的.20世纪末我国的平面几何教材中共引进几何公理16条，等量公理5条，不等量公理6条。

简述欧几里德《几何原本》与公理化思想摘要：古希腊大数学家欧几里得是与他的巨著——《几何原本》一起名垂千古的。

该巨著产生的历史背景、主要内容以及所包含的公理化思想促进了几何学的发展，对数学的发展也有着重大的影响。

关键词：欧几里得；几何原本；公理化思想一、欧几里得“几何无王者之道”，说出这句话的人正是古希腊数学家欧几里得(公元前330~公元前275)，他是古希腊最负盛名、最有影响的数学家之一，他也是亚历山大里亚学派的成员。

他是论证几何的集大成者，关于他的生平我们了解的甚少，根据有限的记载推断，欧几里得早年就学于雅典，在公元前300年左右，应托勒密王的邀请到亚历山大城教学。

他写过不少数学、天文、光学和音乐方面的著作，现存的有《原本》(Elements)、《数据》(Data)、《论剖分》(On Divisions)、《现象》(Phenomena)、《光学》(Optic)和《镜面反射》(Catoptrical)等，在这些著作当中，最著名的莫过于《原本》了，根据早期的翻译, 我们也称之为《几何原本》。

当时雅典就是古希腊文明的中心。

浓郁的文化气氛深深地感染了欧几里得，当他还是个十几岁的少年时，就迫不及待地想进入“柏拉图学园”学习。

“柏拉图学园”是柏拉图40岁时创办的一所以讲授数学为主要内容的学校。

在学园里，师生之间的教学完全通过对话的形式进行，因此要求学生具有高度的抽象思维能力。

数学，尤其是几何学，所涉及对象就是普遍而抽象的东西。

它们同生活中的实物有关，但是又不来自于这些具体的事物，因此学习几何被认为是寻求真理的最有效的途径.柏拉图甚至声称：“上帝就是几何学家。

”遂一观点不仅成为学园的主导思想，而且也为越来越多的希腊民众所接受。

人们都逐渐地喜欢上了数学，欧几里德也不例外。

他在有幸进入学园之后，便全身心地沉潜在数学王国里。

他潜心求索，以继承柏拉图的学术为奋斗目标，除此之外，他哪儿也不去，什么也不干，熬夜翻阅和研究了柏拉图的所有著作和手稿，可以说，连柏拉图的亲传弟子也没有谁能像他那样熟悉柏拉图的学术思想、数学理论。

中学几何公理定理推导过程一、定义与基本概念几何学是研究空间形状、大小和位置关系的数学分支。

在中学阶段，我们主要学习了几何学中的一些基本概念，如点、线、面、角等。

这些基本概念是几何学的基础，对于后续定理的证明和应用至关重要。

二、图形性质在几何学中，图形的性质是描述图形特征的重要依据。

例如，三角形有三条边和三个角，平行四边形对边平行且相等，圆的半径处处相等等等。

了解这些图形的性质是理解和证明几何定理的基础。

三、定理证明几何定理的证明是几何学中的重要内容。

在中学阶段，我们学习了一些基本的几何定理，如勾股定理、三角形的内角和定理等。

这些定理的证明过程需要我们运用前面的基本概念和图形性质，通过逻辑推理和演绎推理的方式进行。

在证明过程中，需要注意定理的条件和结论，并运用合适的证明方法。

四、推论应用几何定理的推论是指从定理的证明过程中推导出的新结论或应用。

例如，勾股定理的推论包括直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，以及直角三角形的斜边中线等于斜边的一半等。

这些推论可以应用于实际问题的解决中，例如测量高度、计算距离等。

因此，理解和掌握几何定理的推论对于实际应用具有重要意义。

五、习题训练习题训练是巩固和加深几何知识理解的重要手段。

通过大量的习题训练，我们可以更好地掌握几何定理的证明和应用，提高自己的逻辑思维和解决问题的能力。

在解题过程中，需要注意审题和分析，选择合适的证明方法和推论应用。

六、知识拓展除了中学教材中介绍的几何知识外，还有许多其他有趣的几何定理和性质。

例如，欧拉公式、麦比乌斯带等。

通过学习这些知识，我们可以拓宽自己的数学视野，培养数学思维和创造力。

七、归纳总结归纳总结是学习几何知识的最后一步。

通过归纳总结，我们可以将所学知识进行梳理和整合，形成完整的知识体系。

同时，归纳总结也可以帮助我们发现自己的不足和问题，从而针对性地进行巩固和提高。

公理化方法和中学几何公理体系12数学陈婷12220620摘要：数学公理化方法是研究数学的重要思想方法，它对于近代数学和其他自然科学的发展有过巨大作用和深远影响，它很大程度上推动了数学的发展。

而数学的教育更多的是方法和思想的教育，公理化方法在教学教育上有着举足轻重的地位。

本文将从几何发展简史、公理化方法的意义与作用等方面探究公理化方法对中学几何公理体系的影响。

关键词：公理化方法；几何学；发展史；中学几何；教学启示正文：一、几何学发展简史几何学是一门研究『空间』与『移动』的学问.这里的『空间』指的是正统的『几何空间』, 包括各种具体或抽象的几何图形,甚至是整个宇宙空间的几何构造;而『移动』则是这些几何空间的表现,例如:平移,旋转, 对称,波动等等.因此,几何学可说是真实世界与抽象世界的舞台与演员的演出.而数学家Descartes (笛卡儿, 1596 1650)曾说:『人类心智与生俱来有完美,空间,时间和运动等观念.』不论是实际生活上为了丈量与计算的需要,或是对於宇宙空间的好奇与探索,亦或是对於『美』的追求,自从人类开始生活在地球上,几何概念的演进便未曾停歇.而几何学的发展,也使人类开始真正认识我们所生存的宇宙空间。

在史学中，几何学的确立和统一经历了二千多年，数百位数学家做出了不懈的努力。

一）欧氏几何的创始公认的几何学的确立源自公元300 多年前，希腊数学家欧几里得著作《原本》。

欧几里得在《原本》中创造性地用公理法对当时所了解的数学知识作了总结。

全书共有13 卷，包括5 条公理，5 条公设，119 个定义和465 条命题。

这些公设和公理及基本定义成为《原本》的推理的基础。

欧几里得的《原本》是数学史上的一座里程碑，在数学中确立了推理的范式。

他的思想被称作“公理化思想”。

欧几里德几何自诞生两千多年来，因其论证的严密性而被誉为完美无瑕。

但到了19世纪，由于非欧几何的创立，大大提高了公理化方法，数学的严格性标准大为提高，从而欧几里德几何的逻辑缺陷逐渐暴漏出来了，具体将有以下几点：1、在欧式几何中用了重合法来证明全等：在重合法中，首先使用了运动的概念，这样就定性了欧氏几何属于经验综合知识，他与人的经验有关，不属于纯粹知识。

几何原本公理化方法
几何是数学的一个重要分支，其由于其特殊的抽象性，最初大部分是以图形记叙的。

然而，20世纪早期，几何被开发出了一套证明性论证方法——公理化几何。

公理化几何指的是采用一组特定的、完全一致的公理以及定义从而陈述几何命题。

这套公
理通常被认为的坚实的，无需证明的事实，它们定义了空间的基本属性及欧几里得几何的
基本概念，如点，线段等。

它们有助于建立对几何形状的概念，把一组基本概念扩展成一
组相关的复杂定理，从而建立几何的结构。

一个完全公理化的几何系统具有许多特点。

首先，基于这些公理，一组相关的定理可以完
全从演绎，这将确保每个定理都是正确的。

其次，这些公理可以帮助我们正确地理解几何
形状，而不用猜想和图形实践。

最后，公理化几何系统也有一个良好的结构，即它可以被
逐级推导出定理，这有助于更好地理解和记忆定理。

此外，公理化几何对数学的发展也有很大的影响，例如建立了欧几里得几何的基础，并激
发了泛几何的发展；其原理也给出一种新的逻辑论证方法，从而推动了数学方法的重大发展。

总而言之，公理化几何是一门独特而有益的数学课程，它提供了一种更为精确、坚实的几
何描述，对数学教育有着重要的指导意义。

初中几何证明的所有公理和定理几何是研究空间形状和大小关系的一门学科，它依赖于一系列公理和定理来构建其理论体系。

下面是初中几何中一些常用的公理和定理，涵盖了线段、角、三角形、四边形和圆等几何概念。

公理1：通过任意两点，可以画一条唯一的直线。

公理2：一条由两点确定的线段可以延长成一条无限长的直线。

公理3：给定一条线段和一点，可以画出与这条线段等长的线段。

公理4：所有直角都相等。

公理5：如果两直线与第三条直线各自交于一个相同的角，则这两条直线是平行的。

公理6：如果两直线分别与第三条直线各自交于两个同位角相等的角，则这两条直线是平行的。

定理1：三角形内两角之和等于180度。

定理2：等腰三角形的两底角相等。

定理3：等边三角形的三个内角均为60度。

定理4：全等三角形的对应的边和对应角均相等。

定理5：直角三角形中，斜边的平方等于两直角边平方和。

定理6：三角形的任一边大于另外两边之差，小于另一两边之和。

定理7：三角形两边之和大于第三边。

定理8：平行线上的对应角相等。

定理9：同位角互补。

定理10：同位角相等。

定理11：平行线截断同位线段成比例线段。

定理12：平行线截断角成等角。

定理13：如果两条直线被一条平行线截断，那么所得的内错角相等，同时所得的外错角也相等。

定理14：在一个给定圆上，取一点和另一点之间的每一对弦都是有相同长度的。

定理15：在一个给定圆上，两端在圆上，而与圆上一点相交的弦不等长。

定理16：在一个给定圆上，通过圆心的每一条弦都是直径。

定理17：在一个给定圆上，圆心角的度数是所对的弧所经过的圆心角的度数的两倍。

定理18：四边形的内角和等于360度。

定理19：矩形的两对边相等且两对角为直角。

定理20：平行四边形的对边相等且两对角分别相等。

定理21：菱形的四条边相等，且对角线相互平分。

定理22：四边形两对相对边的和相等。

这仅仅是初中几何中的一小部分公理和定理，通过这些公理和定理，我们可以建立起几何学中的基础知识和理论体系。

中学数学教材教法：初等几何研究数学是一门基础学科，提供了学习其它学科的基础知识，是全体学生的核心学科之一。

初等几何学是中学数学的一个重要组成部分，它涉及几何图形的基本概念及其关系。

在中学数学课程中，掌握初等几何的基本知识对学生的学习有很大的帮助。

本文从几何概念的基本概念，几何图形的几何性质，几何图形的关系，几何图形的应用，有趣问题等几个方面，阐述几何学在中学数学课程中的教学方法和实践活动。

首先，掌握几何概念的基本概念是初等几何学的基础，包括直线与直线的关系，如直线的概念、斜率、距离等；平面与平面的关系，如平面的概念、平面的面积、角度大小等；曲面与曲面的关系，如曲面的概念、曲线的长度、圆特殊曲线等。

学生在学习中必须掌握几何概念的基本概念，并能够正确使用。

其次，了解几何图形的几何性质是学习几何学的重要内容，其中包括直线性质、圆形性质、三角形性质、曲线性质等。

学生在学习中，要掌握直线、圆、三角形等几何图形的各种几何性质，学会正确使用。

第三，了解几何图形的关系是几何学的重要内容，包括几何图形与其他图形之间的相互关系，如两条直线之间的关系，两个平面之间的关系，两个曲面之间的关系等等。

学生在学习中，应该学会正确运用这些关系，学会分析和推理。

第四，了解几何图形的应用是几何学的重要内容，包括几何图形在实际应用中的作用，如地图测量、空间定位、图形绘制等。

学生在学习中，要了解几何图形在实际应用中的作用，学会利用几何图形解决实际问题。

最后，培养学生学习几何学的兴趣，使学生在学习几何学的过程中实现自主学习和乐趣。

为此，教师可从回答有趣问题、解决应用问题等方面激发学生学习几何学的兴趣，培养学生的探究精神和良好的学习习惯。

综上所述，教学目标是培养学生掌握几何学的基本概念，掌握几何图形的几何性质，正确运用几何关系，掌握几何图形在实际生活中的应用，激发学生学习几何学的兴趣，培养学生的探究精神和良好的学习习惯。

基于以上目标，可以采取如下教学策略：采用以学生为中心的教学理念，创设良好的学习氛围，引导学生利用书本、课堂活动、实验活动等方式自主学习；针对不同类型的学生，安排不同的学习任务，让学生在学习中感受到乐趣；采用启发式、讨论式、研究式等多种教学方法，激发学生的学习兴趣，培养学生的探究精神。

初中几何定义、公理和定理公理（不需证明）1、线段公理：两点之间，线段最短。

2、直线公理：过两点有且只有一条直线。

3、平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行4、垂直性质：经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直5、两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;6、两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;7、两边和夹角对应相等的两个三角形全等; （SAS）8、两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; （ASA）9、三边对应相等的两个三角形全等; （SSS）10、全等三角形的对应边相等,对应角相等.以下对初中阶段所学的公理、定理进行分类：一、直线与角1、两点之间，线段最短。

2、经过两点有一条直线，并且只有一条直线。

3、中点的定义：把一条线段分成两条相等的线段的点，叫做这条线段的中点。

4、角的定义：①由两条有公共端点的射线组成的图形。

②由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形。

5、互余：两个角的和等于90º，互补：两个角的和等于180 º。

6、同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等。

7、对顶角相等二、平行与垂直1、经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。

2、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

3、平行线的定义：在同一平面内永不相交的两条直线。

3、经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。

4、平行线的判定：（1）同位角相等，两直线平行；（2）内错角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行；（4）垂直于同一条直线的两条的直线互相平行.（5）（推论）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行5、平行线的性质：（1）两直线平行，同位角相等。

（2）两直线平行，内错角相等。

（3）两直线平行，同旁内角互补。

（4）平行线间的距离处处相等三、角平分线、垂直平分线、图形的变化（轴对称、平称、旋转）1、角平分线的定义：①从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫这个角的平分线。

中学几何教学中数学思想方法的渗透与运用1 引言数学在众多学科中具有至关重要的地位，能够培养学生思维能力和创新能力，灵活大脑，开拓思路，贯穿于学生整个学习生涯，对学生的发展有着重要作用。

中学数学学习较为基础，但是相对于小学数学又有一定难度，教师在教学中渗透、运用数学思想，能够帮助学生更好地学习数学，使学生形成数学思维，提高思维能力，为以后的学习奠定坚实的基础。

2 中学数学思想方法概述数学素质的核心是数学思维，而数学思想方法是培养数学思维的重要手段。

数学思想方法主要包括代换、类比、分析、综合等[1]。

在几何教学中运用，能够起到指导学生解决问题的作用，并能够引导学生对数学知识进行深入理解，促进学生思维发展，建立良好的数学观念，是现代数学教学中广泛运用的教学手段。

3 中学数学思想方法在几何教学中的渗透方式3.1化隐为显中学数学思想方法具有抽象性的特征，因此，在几何教学中，教师要以几何中的相关知识为载体，将隐藏在几何知识中的数学思想方法化隐为显，使学生能够对数学思想方法进行具体理解，实现几何教学中数学思想方法的渗透。

3.2循序渐进数学思想方法的形成难，主要是因为数学知识相对于其他学科难度较高，难以理解。

学生学习数学思想的方法的过程一般要经过三个阶段，分别是模仿形成、初步应用和自觉应用。

因此，数学思想的渗透需要有一个循序渐进的过程，使学生更加容易掌握和理解。

3.3建立知识结构体系数学思想方法的学习跟其他知识学习一样，需要通过构建一定的知识结构，将与数学思想相关联的数学知识系统的联系在一起，形成具体结构体系。

清晰明了的知识结构体系能够帮助学生更好地理解数学思想方法，提升教师教学质量。

3.4发挥学生主观能动性数学思想的渗透不仅是为了提高学生的学习效果，更重要的是使学生在潜移默化中形成数学思维，得到综合素质的提高。

数学思想方法以几何教学活动为载体，离开教学活动，数学思想方法也就无从谈起。

因此，教师要鼓励学生积极参与到教学活动中，充分发挥学生的主观能动性，激发学生兴趣，引导学生学习数学思想方法，养成独立思考问题、解决问题的习惯，提高学习质量，形成数学思维。

例谈初一《几何》第一章中的数学思想方法
数学是一门多面性的学科，它由记号、定义、定理、公理、演绎等构成，而且还有一种传统的数学方法和思想，这正是初一《几何》这门课程中最值得学习，也是最实用的东西。

在几何课程中，学生将学习几何中的观念、原理与定理，也将接触到数学的基本思想方法，以及在解决实际问题时它的应用。

比如在第一章的数学思想方法，首先学生要学习的就是
几何定理，几何定理是数学的基础，学习它们有助于推导出一些其他的定理，并有助于解
决其他一些实际的问题。

另外，学习《几何》的第一章数学思想方法还有图形绘制，它是围绕着几何定理而发展起
来的，可以有助于理解几何数学和深入了解数学思想方法，从而掌握理论知识，并熟悉数
学中的技巧和方法，从而更好地掌握知识。

最后，在学习这一章的时候，学生还要学习推理的思想方法，包括思维抽象能力的培养，
解决问题的步骤分析，以及得出正确答案的原则等。

这些思想方法在解决数学问题中，尤
其是几何问题中都是十分重要的，能够使学生更加完善地运用数学思维去解决学习和生活
中的一些实际问题。

总之，数学思想方法是初一《几何》课程中最具价值，最实用的部分，其中包含着传统思想与精妙方法，它们对于几何和其他数学学科都有着重要的作用，是掌握数学的第一步。