04第四讲 构建数学理论的基本方法——公理化方法

公理化方法在高中数学教学中的意义和作用一、引言公理化方法是高中数学教学中的重要方法。

本篇论文在介绍公理化方法的基础上，着重阐述了公理化方法在高中数学教学中的意义和作用，以及如何应用。

二、公理化方法的简介1、公理化方法的概念和思想公理化方法是以若干个显然成立的或者通过简单证明能够成立的基本定理为基础，去解决问题的一种方法。

公理化方法的出发点就是一组原始概念和公理，因此如何去选择原始概念和设置公理是公理化的关键。

2、公理化方法的基本法则公理化方法的公理需满足下列几项要求：（1）公理需要是显然成立的，或者容易证明成立的。

（2）独立性：公理化的独立性是指公理系统中所有公理不能互相推出。

（3）全面性：要求公理要全面，能通过选择的这些公理解决所研究的数学方面的问题以高中数学的立体几何为例，在研究平面的问题中，建立了三个公理，这三个公理满足了上述的三项要求，每个公理都是显然成立的，都是独立的，并且通过这三个公理我们可以解决平面的所有问题。

三、公理化方法在中学数学教学上的意义和作用1、公理化方法对中学数学教学的启示（1）对数学教学内容的启示a强调已有知识经验在学习中的重要性教师应努力创设情境激活学生原有认知结构中与新知识学习有关的各种基础知识，让学生能在已经掌握的知识的基础上，进行思考新学习的内容，以保证学生学习的顺利进行。

b对数学教学内容呈现的思考为了提高学生的综合素质，近几年新课程改革轰轰烈烈地进行着，这也就促使我们思考这样一个问题：初等数学教学应该如何呈现数学教学内容呢？数学是培养学生逻辑思维能力的一种很有用的方法，而逻辑思维能力是公理化方法的一个主要特征，因此，对于中学数学内容的选取应综合各方面的因素，在学生可接受的前提下，以一种相对严谨的公理化方式，渐进地使学生了解公理化方法的思想内核，从而培养学生的逻辑思维，演绎推理能力。

（2）对教学过程中师生地位作用的启示公理化方法认为：学习是在已经掌握了的知识上进行思考。

公理化方法的发展及其对数学教育的启示公理化方法是现代数学发展的重要方法，它的出现使得数学能够更加清晰、系统、严谨地表达出来。

公理化方法不仅改变了数学的面貌，也对数学教育产生了深远影响。

本文主要从公理化方法的发展和它对数学教育的启示两个方面来探讨公理化方法的意义。

一、公理化方法的发展公理化方法的起源可以追溯到希腊数学家欧几里德。

他在《几何原本》中的公理化方法对现代数学的发展造成了深远的影响。

欧几里德的公理化方法是以一些自然显然的个人经验作为基础，进行逻辑推理，从而证明定理的正确性。

后来在十九世纪末，希尔伯特提出了公理化方法的新理念：从极端简单的、自明的判断开始，利用逻辑细节的证明过程建立起大量的数学理论。

公理化方法的本质是从基本事实着手，通过推演、证明和求解来得出定理和结论。

由于基本事实不会被证明或推导出来，其默认为真，需要从中推导所有其它是定理或推论。

由此，公理化方法不仅仅是逻辑方法，而且是一种需要语言和符号体系去完备表达的方法。

公理化方法要求对不同领域的知识进行分解、分类、梳理和整合，从而形成一个清晰、明确、有序的知识结构。

1. 培养系统化思维公理化方法鼓励学生系统化的思考方式。

在向学生介绍一个概念时，要从概念的定义入手，充分了解概念的意义和运用场景，引导学生弄清概念的基本性质或公理，然后尝试建立该概念与其它概念之间的联系，形成更加系统化的思维方式。

2. 增强创造思维公理化方法提倡对问题产生好奇心、提出假设并实现想法。

在数学教育中，教师应该更多地引导学生在学习过程中积极提问，用自己的思考去探索问题的本质，鼓励学生通过观察、实践、思考等多种方式交流沟通，并引导学生探索问题的深层原因和内在联系，最终做出合理的结论。

3. 增强良好的学习习惯公理化方法讲究严谨的逻辑和语言表达能力。

这使得学生不能掉以轻心，在学习中遵循逻辑严谨的思维方式，加强语言表达的训练，提高学习技巧和策略。

并在学习过程中树立“勤奋、挑战自我、创新、严谨”的良好学习习惯，更多地获得自信和成功。

公理法选取少数不加定义的原始概念（基本概念）和无条件承认的规定（公理）作为出发点，再加以严格的逻辑推理，将某一数学分支建成演绎系统的方法，叫数学系统的公理化方法，简称“公理法”．两千多年来，欧几里得的《几何原本》在传播几何知识方面做出了巨大的贡献，并一直被人们作为标准的教科书使用．《几何原本》的特点是建立了一个比较严密的几何体系，提出了几何学的“根据”和它的逻辑结构问题．但是，随着时间的推移，人们逐渐发现《几何原本》的体系还存在不少破绽和漏洞，例如使用一些未知的定义来解释另一个未知的定义，这样的定义既不能逻辑地确定几何名词和术语，也不能在逻辑推理中起作用；《几何原本》也使用了一些未曾定义的概念，如“连续”的概念就未定义而被使用．正是由于对《几何原本》在逻辑结构方面存在的破绽和漏洞的发现，推动了几何学的不断发展．1899年，德国数学家希尔伯特在他的《几何基础》一书中，首次用公理化的方法提出了一个比较完善的几何学的公理系统，即希尔伯特公理体系，克服了《几何原本》中的一些缺点．希尔伯特公理体系的主要思想包含：（1）把几何中的点、直线、平面等概念，作为不加定义的“原始”概念，叫基本对象．（2）给出几何元素的一些基本关系：结合关系、顺序关系、合同关系．（3）规定了五组公理，用它阐述基本对象的性质．希尔伯特还提出建立一个公理化体系的原则，即在一个公理体系中，取哪些为公理，应包含多少公理，必须考虑以下三点：第一，相容性，即各公理必须是互相不矛盾的，同存于一个体系中．第二，独立性，即每条公理都是各自独立的，不能由其他公理推出．第三，完备性，即体系中所包含的公理应足以推出本学科的任何命题．欧几里得的几何体系实际上是公理化体系的雏形，常称之为古典公理体系．公理化方法给几何学的研究带来了一个新的观点．在公理体系中，由于基本对象不加以定义，因此就不必考虑研究对象的直观形象，只要研究抽象的对象之间的关系、性质．凡符合公理体系的元素都可以作为这个几何体系的直观解释，或称几何学的模型．因此，几何学的研究对象更广泛，其含义也更抽象．20世纪以来，由于公理化方法在研究几何基础方面所取得的成就，促使公理化方法渗透到数学的其他分支，诸如代数、泛函、拓朴等比较抽象的数学分支的研究．公理化方法对近代数学的发展所产生的巨大影响，已成为举世公认的事实，公理化方法早已超过数学理论范围，进入其他自然科学的领域．如本世纪40年代波兰数学家巴拿赫完成了理论力学的公理化，物理学家还将相对论表述为公理体系等等．当然，公理化方法若不与实验方法相结合，不与科学方法相结合，也不会更好地解决和发现问题．公理法选取少数不加定义的原始概念（基本概念）和无条件承认的规定（公理）作为出发点，再加以严格的逻辑推理，将某一数学分支建成演绎系统的方法，叫数学系统的公理化方法，简称“公理法”．两千多年来，欧几里得的《几何原本》在传播几何知识方面做出了巨大的贡献，并一直被人们作为标准的教科书使用．《几何原本》的特点是建立了一个比较严密的几何体系，提出了几何学的“根据”和它的逻辑结构问题．但是，随着时间的推移，人们逐渐发现《几何原本》的体系还存在不少破绽和漏洞，例如使用一些未知的定义来解释另一个未知的定义，这样的定义既不能逻辑地确定几何名词和术语，也不能在逻辑推理中起作用；《几何原本》也使用了一些未曾定义的概念，如“连续”的概念就未定义而被使用．正是由于对《几何原本》在逻辑结构方面存在的破绽和漏洞的发现，推动了几何学的不断发展．1899年，德国数学家希尔伯特在他的《几何基础》一书中，首次用公理化的方法提出了一个比较完善的几何学的公理系统，即希尔伯特公理体系，克服了《几何原本》中的一些缺点．希尔伯特公理体系的主要思想包含：（1）把几何中的点、直线、平面等概念，作为不加定义的“原始”概念，叫基本对象．（2）给出几何元素的一些基本关系：结合关系、顺序关系、合同关系．（3）规定了五组公理，用它阐述基本对象的性质．希尔伯特还提出建立一个公理化体系的原则，即在一个公理体系中，取哪些为公理，应包含多少公理，必须考虑以下三点：第一，相容性，即各公理必须是互相不矛盾的，同存于一个体系中．第二，独立性，即每条公理都是各自独立的，不能由其他公理推出．第三，完备性，即体系中所包含的公理应足以推出本学科的任何命题．欧几里得的几何体系实际上是公理化体系的雏形，常称之为古典公理体系．公理化方法给几何学的研究带来了一个新的观点．在公理体系中，由于基本对象不加以定义，因此就不必考虑研究对象的直观形象，只要研究抽象的对象之间的关系、性质．凡符合公理体系的元素都可以作为这个几何体系的直观解释，或称几何学的模型．因此，几何学的研究对象更广泛，其含义也更抽象．20世纪以来，由于公理化方法在研究几何基础方面所取得的成就，促使公理化方法渗透到数学的其他分支，诸如代数、泛函、拓朴等比较抽象的数学分支的研究．公理化方法对近代数学的发展所产生的巨大影响，已成为举世公认的事实，公理化方法早已超过数学理论范围，进入其他自然科学的领域．如本世纪40年代波兰数学家巴拿赫完成了理论力学的公理化，物理学家还将相对论表述为公理体系等等．当然，公理化方法若不与实验方法相结合，不与科学方法相结合，也不会更好地解决和发现问题．。

§5.3 使用RMI方法的条件从前述各例，我们可以归纳出正确使用RMI方法的条件。

（1）映射ϕ须是两类数学对象之间的一一对应关系；（2）所采用的映射ϕ须是可定映的，即目标映象能通过确定的有限多个数学手续从映象关系结构系统中寻求出来；ϕ必须具有能行性，即通过目标映象能将目标原象的某种（3）相对的逆映射（反演）-1需要的性态经过有限步骤确定下来。

以上几点也从另一角度说明，RMI方法并非是处处适应的万能法则。

正确有效地应用RMI方法的关键显然在于引进合乎要求的映射，这就要求使用者在如下方面去努力：一是理解原象关系结构系统的能力；二是抽象分析的能力；三是运用数学手段的能力；四是掌握常用的方法与变换的能力；五是寻求反演公式与手段的能力。

ϕ的可定映射ϕ，谁数学史的发展表明，谁能巧妙地引进非常有效且具有能行性反演-1就对数学的发展作出贡献。

反之，正因数学自身的发展（特别是它的现代发展），不断产生了一些新的重要的映射工具，也就为RMI方法的运用展示了更广阔的前景。

129第六章数学公理化方法数学公理化方法是一种演绎的方法，当一个理论体系达到充分发展，需要以演绎的形式来表达它的基本范畴之间，原理、原则之间的关系，形成逐渐演进和发展时，公理化方法是最为有力的手段。

可以说，它对各门数学分支学科都产生着巨大的影响，即使在数学教育中，也起着重要的作用。

§6.1数学公理化方法的意义所谓公理化方法就是从尽可能少的不加定义的原始概念和不加证明的原始命题（公理、公社）出发，按照逻辑规则推到出其他命题，建立起一个演绎系统的方法。

数学发展的历史有力地表明公理化方法在数学方法中有着重要的意义。

我们可以归纳出如下几点：1．总结性：恩格斯说：“数学上的所谓公理，是数学需要用作自己出发点的少数思想上的规定。

”这种方法将数学知识的概念、命题的形式进行了分析和总结，凡是得了公理化结构形式的数学，均可在已形成的逻辑关联中去使用。

【高中数学】数学的公理化十九世纪末到二十世纪初，数学已发展成为一门庞大的学科，经典的数学部门已经建立起完整的体系：数论、代数学、几何学、数学分析。

数学家开始探访一些基础的问题，例如什么是数？什么是曲线？什么是积分？什么是函数？……另外，怎样处理这些概念和体系也是问题。

有两种经典方法。

一种是旧的公理化方法，但非欧洲几何学的发展和各种几何学的发展暴露了它的许多缺陷；另一种是构造法或生成法，它往往有局限性，许多问题无法通过构造来解决。

特别是，许多涉及无穷大的问题往往依赖于逻辑、反证据，甚至直觉。

然而，什么是可靠的，什么是不可靠的，不经分析就无法确定。

对于基础概念的分析研究产生了一系列新领域―抽象代数学、拓扑学、泛函分析、测度论、积分论。

而在方法上的完善，则是新公理化方法的建立，这是希尔伯特在1899年首先在《几何学基础》中做出的。

初等几何公理化十九世纪八十年代，非欧几何学得到了普遍承认之后，开始了对于几何学基础的探讨。

当时已经非常清楚，欧几里得体系的毛病很多：首先，欧几里得几何学原始定义中的点、线、面等不是定义；其次，欧几里得几何学运用许多直观的概念，如“介于……之间”等没有严格的定义；另外，对于公理系统的独立性、无矛盾性、完备性没有证明。

1九世纪80年代，德国数学家巴斯提出了一套公理体系和序公理等重要概念。

然而，他的体系中有些公理是不必要的，有些公理是不必要的，所以他的公理体系并不完善。

此外，他没有系统的公理化思想。

他的目的是通过引入理想元素，将度量几何纳入射影几何。

十九世纪八十年代末期起，皮亚诺和他的学生们也进行了一系列的研究。

皮亚诺的公理系统有局限性；他的学生皮埃利的“作为演绎系统的几何学”(1899)，由于基本概念太少(只有“点”和“运动”)而把必要的定义和公理弄得极为复杂，以致整个系统的逻辑关系极为混乱。

希尔伯特几何基础的出版标志着数学公理化新时代的到来。

希尔伯特的公理系统是所有公理化的模型。

公理化方法的特征及功能数学家欧几里得以亚里士多德的演绎逻辑为工具总结了人类长期以来所积累的大量几何知识，于公元前300年完成了他的名著《几何原本》，它是演绎逻辑与几何相结合的产物。

因此它的出现使演绎逻辑第一次成功的应用于数学。

欧几里得的《几何原本》是有史以来用公理思想建立起来的第一门演绎数学，后来成为公理化方法的初级阶段，既然是初级阶段，就少不了后来人的应用和发展。

它不仅作为基础为后来人的研究打下基础，也激发了许多杰出数学家的研究几何演绎与公理化的热情。

希尔伯特在1899年出版的名著《几何基础》就是在之后的研究热潮中的重要成果的突出代表。

他在《几何基础》中放弃了欧几里得《几何原本》中公理的直观显然性把那些在对空间直观进行逻辑分析时无关重要的内容加以摒弃，着眼于对象间的联系，强调了逻辑推理，首次提出了一个简明、完整、逻辑严谨的形式公理系统。

从此，公理化方法不仅是数学中一个重要方法，而且已经被其他学科领域所采用。

以下介绍希尔伯特在《几何基础》中对于几何的应用提出的公理化方法，以及上面所提到在其他领域中应用的几个例子，总结公理化方法在教学中的启示。

几何学公理化方法结合公理：Ⅰ1对于任意两个不同的点A、B，存在着直线a通过每个点A、B．Ⅰ2对于任意两个不同的点A、B，至多存在着一条直线通过每个点A、B．Ⅰ3在每条直线上至少有两个点；至少存在着三个点不在一条直线上．Ⅰ4对于不在一条直线上的任意三个点A、B、C，存在着平面α通过每个点A、B、C．在每个平面上至少有一个点．Ⅰ5对于不在一条直线上的任意三个点A、B、C，至多有一个平面通过每个点A、B、C．Ⅰ6如果直线a上的两个点A、B在平面α上，那么直线a上的每个点都在平面α上．Ⅰ7如果两个平面α、β有公共点A，那么至少还有另一公共点B．Ⅰ8至少存在着四个点不在一个平面上．顺序公理：Ⅱ1如果点B在点A和点C之间，那么A、B、C是一条直线上的不同的三点，且B也在C、A之间．Ⅱ2对于任意两点A和B，直线AB上至少有一点C，使得B在A、C之间．Ⅱ3在一条直线上的任意三点中，至多有一点在其余两点之间．Ⅱ4设A、B、C是不在一条直线上的三个点；直线a在平面ABC上但不通过A、B、C中任一点；如果a通过线段AB的一个内点，（①线段AB的内点即A、B之间的点．）那么a也必通过AC或BC的一个内点(巴士(Pasch，1843—1930)公理)．合同公理：Ⅲ1如果A、B是直线a上两点，A′是直线a或另一条直线a′上的一点，那么在a或a′上点A′的某一侧必有且只有一点B′，使得A′B′≡AB．又，AB≡BA．Ⅲ2如果两线段都合同于第三线段，这两线段也合同．Ⅲ3设AB、BC是直线a上的两线段且无公共的内点；A′B′、B′C′是a或另一直线a′上的两线段，也无公共的内点．如果AB≡A′B′，BC≡B′C′，那么AC≡A′C′．Ⅲ4设平面α上给定∠(h，k)，在α或另一平面α′上给定直线a′和a′所确定的某一侧，如果h′是α′上以点O′为端点的射线，那么必有且只有一条以O′为端点的射线k′存在，使得∠(h′，k′)≡∠(h，k)．Ⅲ5设A、B、C是不在一条直线上的三点，A′、B′、C′也是不在一条直线上的三点，如果AB≡A′B′，AC≡A′C′，∠BAC≡∠B′A′C′，那么∠ABC≡∠A′B′C′，∠ACB≡∠A′C′B′．平行公理：过定直线外一点，至多有一条直线与该直线平行连续公理：Ⅴ1如果AB和CD是任意两线段，那么以A为端点的射线AB上，必有这样的有限个点A1，A2，…，An，使得线段AA1，A1A2，…，An-1An都和线段CD合同，而且B在An-1和An之间(阿基米德公理)．Ⅴ2一直线上的点集在保持公理Ⅰ1，Ⅰ2，Ⅱ，Ⅲ1，Ⅴ1的条件下，不可能再行扩充．注1．有些《几何基础》书中，常以康托(Cantor，1845—1918)公理代替上述的Ⅴ2：“一条直线上如果有线段的无穷序列A1B1，A2B2，A3B3，…，其中每一线段都在前一线段的内部，且对于任何线段PQ总有一个n存在，使得AnBn<PQ，那么在这直线上必有且只有一点X落在A1B1，A2B2，A3B3，…的内部．”注2．也有的书中，用与V1，V2等价的戴德金(Dedekind，1831—1916)公理作为连续公理：“如果线段AB及其内部的所有点能分为有下列性质的两类：(1)每点恰属一类；A属于第一类，B属于第二类；(2)第一类中异于A的每个点在A和第二类点之间．那么，必有一点C，使A、C间的点都属于第一类，而C、B间的点都属于第二类．”各个领域的应用应用公理化设计，进行可用于在轨组装飞行器总体设计的步骤为：1) 了解组装服务的需求：根据任务的实施环境、任务类型及任务特点，获取“5WlH”（why、what、where、when、who、how）等需求信息；2) 定义满足这些需求所需解决的问题：将任务需求转化；3) 通过综合分析产生或选择解决方案，将由组装服务需求转化而成的功能需求和设计参数进行“之”字型展开，根据独立公理调整FR 或DP，使得二者层级上各层次的射矩阵为对角阵或三角阵。