第七讲 倍数问题

⾏测资料分析技巧：倍数问题 ⾏测作为公务员的考试科⺫之⼀，有些题型需要你充分发挥想象能⼒，这让许多考⽣很是摸不着头脑，下⾯由店铺⼩编为你精⼼准备了“⾏测资料分析技巧：倍数问题”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯！⾏测资料分析技巧：倍数问题 同学们对于资料分析中的倍数其实并不陌⽣，倍数问题出现在资料分析当中也是属于⽐较简单的题⺫，但是为什么有些同学还是会做错呢?其实都是粗⼼犯的错。

接下来，就由⼩编带着⼤家来回顾下倍数中的考点，对它们进⾏进⼀步的巩固。

对于A是B的多少倍和增⻓了多少倍(A⽐B多⼏倍)相信不少同学经常弄错： 例1.2016年，⼩新⽉薪1500元;2015年⼩新⽉薪500元; 问题1：2016年，⼩新⽉薪是2015年的多少倍? 【答案】：3倍。

解析：A是B的多少倍，列式A÷B，1500÷500=3倍，即2016年⽉薪是2015年的3倍。

问题2：2016年，⼩新⽉薪⽐2015年增⻓了多少倍?(等同于求2016年的同⽐增⻓率) 【答案】：2倍。

解析：增⻓了多少倍，为增⻓率的问法，当增⻓率⼤于100%时，常表述为增⻓多少倍。

既然是计算增⻓率，那么按照增⻓率的公式，(现期值-基期值)÷基期值，(1500-500)÷500=2，即2016年⼩新⽉薪⽐2015年增⻓了2倍(或增⻓了200%)。

记忆⽅式：A是B的多少倍，直接(A÷B);增⻓了多少倍，就是算增⻓率，先减再除(当然，也等于　)。

补充：A⽐B多多少倍，等同于增⻓了多少倍的问法，(A-B)÷B即可。

拓展：加1减1是什么意思? 已知2016年的⼯资⽐2015年增⻓了60%，求2016年⼯资是2015年的多少倍? 【答案】：1.6倍。

解析：A是B的多少倍，列式A÷B，即2016年的值÷2015年的值，即现期值÷基期值，也就等于(1+增⻓率)，所以2016年的⼯资是2015年的(1+60%)=1.6倍。

<倍数问题》的变式练习说课稿冯黎一、说教学内容：有倍数关系的几倍多几、几倍少几，求一倍数或求多倍数的综合练习。

二、说教学目标：1．掌握分析问题的方法，会找问题的关键句。

2．通过自主探索，知道求一倍数和多倍数问题的区别与联系。

3．会熟练的画线段图分析问题，逐步培养学生的数学抽象能力。

三、说教学的重、难点：1、学习的重点：画线段图分析问题，培养解决问题的能力。

2、学习的难点：找关键句、分析关键句，判断是求一倍数还是求多倍四、说教法学法课标指出：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。

教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。

学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。

为了体现课标这一理念，在教学中我注重教学与实际的联系, 以学生为主体，教师为主导，教材为依据，采用主体性、启发性教学方法，真正把学生当作主人，帮助学生把握重点，突破难点；在学法指导上，重视自主探索和合作交流，因为学生之间是有差异的，一些学生不一定对学习材料看得很仔细，理解得很全面，通过合作学习，可以充分发挥整体优势。

教师观察指导个别学生，做到学生自己能学的自己学，自己能做的自己做，较好把握了学生的认识活动的进程，培养了合作互动精神。

五、说教学过程本课的教学设计，是在新课程标准理念指导下，针对课题研究中我们子课题组研究的专题是“变式教学在问题解决习题训练中的应用研究”，根据本班学生实际情况进行设计的。

从实施情况来看，整堂课学生情绪高涨、兴趣盎然。

在教学中，教师一改往日应用题教学的枯燥、抽象之面貌，而是借用学生已有的知识经验和生活实际，有效地理解了倍数问题的数量关系和实用价值。

1、本课从实际生活情景引入，让学生产生疑问，从而引出倍数问题，进行很好的铺垫。

从谈话开始，设计了一个师生互报年龄的话题引出一个简单的倍数问题，然后问学生：这道题属于什么类型问题？倍数问题要抓的关键句是什么句？含倍句中的关键字是什么？一倍数在哪儿藏着？谁的年龄是一倍数，谁的年龄是多倍数？最后看问题问的是多倍数还是一倍数？该用乘法还是除法计算？通过设计这样一连串的问题的提问，帮学生理清了分析倍数问题的过程。

倍数问题总结知识点软件一、倍数的概念1.1 倍数的定义在数学中，若一个数能够被另一个数整除，那么这个数就是另一个数的倍数。

例如，6是3的倍数，因为6能够被3整除，而12是6的倍数，因为12能够被6整除。

1.2 倍数的性质（1）任何数都是它自身的倍数，即n是n的倍数；（2）0是任何数的倍数，因为任何数乘以0都等于0；（3）一个数的倍数包含它本身和它的所有整数倍数；（4）如果a是b的倍数，那么a也是-b的倍数，反之亦然。

1.3 最小公倍数若a和b是两个整数，且它们的公共倍数中最小的一个是c，那么c就是a和b的最小公倍数。

例如，6和8的公倍数有24、48、72等，其中24是最小的公倍数。

二、倍数问题的解题方法在解决倍数问题时，我们可以采用以下几种解题方法：2.1 分解因数法分解因数法是解决倍数问题的常用方法之一。

例如，计算24和36的最小公倍数，我们可以先分解因数，得到24=2²×3，36=2²×3²，然后取两者中每个质因数的最高次幂相乘，即2²×3²=72，所以24和36的最小公倍数是72。

2.2 同步走法同步走法是解决倍数问题的另一种方法，常用于解决两个数的最小公倍数。

例如，计算24和36的最小公倍数，我们可以用同步走法进行计算。

首先，我们将两个数的倍数横向排列，然后进行递增排列，直到出现相同的数。

24的倍数有24、48、72、96等，36的倍数有36、72、108等，从中我们可以找到它们的最小公倍数是72。

2.3 最大公约数和最小公倍数的关系最大公约数和最小公倍数是两个重要的相关概念。

在解决倍数问题时，我们可以利用最大公约数和最小公倍数的关系来快速求得最小公倍数。

根据最大公约数和最小公倍数的性质，我们有以下结论：若a和b的最大公约数是d，最小公倍数是m，那么m=a×b/d。

2.4 递推法递推法是解决倍数问题的一种有效方法。

第七讲和倍问题智慧屋我们把已知几个数的和以及它们之间的倍数关系，求这几个数各是多少的题目称为和倍问题。

解答和倍问题时，我们要确定一个数为标准，一般是比较小的那个数，假定它为一倍（一份），再根据其他几个数与较小数的倍数关系，确定这几个数是较小数的几倍，然后用除法求出较小数，再算出其他各数。

例1、二（1）班和二（2）班共为“希望工程”捐书120本。

（1）班捐的本数是（2）班的2倍，两个班各捐书多少本？画图：同步演练1五、六年级的同学们共植树180棵，已知六年级植树的棵数是五年级2倍。

每个年级各植树多少棵？例2、王老师和李老师共有100元钱，如果再给王老师20元钱，那么李老师的钱数就正好是王老师的2倍。

王老师原来有多少元钱？同步演练2 两个仓库共存粮83吨，第二个仓库如果再存入7吨，就正好是第一个仓库的2倍。

两个仓库原来各存粮多少吨？例3 有两堆棋子，每一堆有67个，第二堆有53个。

从第二堆拿出多少个给第一堆，就能使第一堆的棋子是第二堆的5倍？同步演练3甲、乙两仓库原来各存粮40吨、50吨。

要使乙仓库的粮食是甲仓库的2倍，必须从甲仓库运出多少吨给乙仓库？例4、将被除数个位的0去掉后，被除数与除数相等。

已知被除数与除数的和是66，被除数和除数各是多少？同步演练4被除数除以除数等于9，且被除数和除数的和是90.被除数和除数各是多少？形成平台：1、光明小学买来足球和篮球共30个，已知买来的足球的个数比篮球的2倍还多3个，学校买来足球和篮球各多少个？2、甲、乙、丙三个数的和是270，甲数是乙数的2倍，乙数是丙数的3倍。

甲、乙、丙三个数各是多少？家庭作业：1、王明和张华共有42本练习本，王明比张华的3倍少2本。

两人各有练习本多少本？哈佛思维训练：哈林捡球哈林是一名乒乓球爱好者。

一天，她在打乒乓球的时候，不小心把球掉进球场的一个小洞里。

这是一个老鼠洞，这个洞太深了，她够不到，而且由于洞到了中间就拐弯了，所以即便用木棍也无法把球拿出来。

第七讲数论综合之高难度因数与倍数问题模块一、因数与倍数的综合问题例1．对于正整数a 、b ，[a ，b ]表示最小公倍数，(a ，b )表示最大公约数，求解下列关于未知数m ，n 的方程：[,]55 (,)[,](,)70 m n m n m n m n m n m n ⎧++=⎪⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎪⎩①②③。

解：设m =ap ，n =bp ，a ，b 互质，则[m ，n ]=abp ，(a ，b )=p ，则5570ab ap bp abp p ++=⎧⎨-=⎩，由p ×(ab −1)=70，所以p |70，70=2×5×7，若p =2，则ab =36，a ≠b ，得a =12，b =3，代入①式矛盾，舍去；若p =7，则ab =11，a ≠b ，得a =11，b =1，代入①式矛盾，舍去；若p =5，则ab =15，a ≠b ，得a =5，b =3，于是m =25，n =15，[m ，n ]=75，(m ，n )=5，所以原方程的解是2515m n =⎧⎨=⎩。

例2．n 为非零自然数，a =8n +7，b =5n +6，且最大公约数(a ，b )=d >1，求d 的值。

解：用辗转相除的方法，(8n +7，5n +6)=(3n +1，5n +6)=(3n +1，2n +5)=(n −4，2n +5)=(n −4，n +9)=(13，n +9)， 所以(a ，b )=13.例3．M n 为1、2、3、……、n 的最小公倍数，对于样的正整数n ，M n −1=M n 。

解：如果n 是一个合数，且n 不是某一整数的k 次方，则M n −1=M n 。

因为n 是一个合数，所以n =a ×b ，a ，b 都小于n ，且a 、b 互质，于是a <n −1，b <n −1，所以a |M n −1，b |M n −1，于是(a ×b )|M n −1，所以M n −1=M n 。

倍数问题主要包括和倍、差倍、和差问题三大类和差倍问题：已知两个数的和、差、倍三个量中的两个，求这两个数分别是差倍问题。

重点学习如何利用线段图表示数量关系。

学会分析较为隐藏的和差倍问题，进一步掌握画线段图的方法，学会利用不变量进行分析的方法。

处理多个量的和差倍问题时，注意选取合适的单位“1”。

同时要求学会用方程解决简单的应用题。

一、和倍问题（1）和倍例1、纺织厂有职工480人，其中女职工人数是男职工人数的3倍。

请问：男、女职工各多少人？例2、一个长方形，周长是300厘米，长是宽的2倍，求这个长方形的面积。

例3、甲班和乙班一共有60人。

如果从甲班调6个人到乙班，那么甲班的人数就是乙班人数的2倍。

求甲、乙两班原来的人数。

例4、动物园有5座猴山，其中3座住着金丝猴，2座住着猕猴。

这5座猴山上猴子的数量分别为：10、15、30、35、70。

已知金丝猴的总数是猕猴的3倍，问：哪两座山上住着猕猴？（2）和倍多例5、甲、乙两堆货物共有160件，已知甲堆货物比乙堆的3倍还多40件。

甲、乙两堆各有多少件货物？例6、两个自然数相除，商是4，余数是1。

如果被除数、除数、商及余数的和是56，那么被除数等于多少？（3）和倍少例7、书架上放着一些童话小说和科幻小说，一共有47本。

童话小说的数量比科幻小说数量的4倍少3本，书架上放着多少本科幻小说？（4）和倍综合例8、三堆糖果共有105颗，其中第一堆糖果的数量是第二堆的3倍，而第三堆糖果的数量又比第二堆的2倍少3颗。

第三堆糖果有多少颗？例9、甲、乙、丙三个粮仓一共存有109吨粮食。

其中甲粮仓的粮食总量比乙粮仓的3倍多1吨，而乙粮仓的粮食总量则是丙粮仓的2倍。

甲粮仓比丙粮仓多存粮多少吨？例10、550是甲、乙、丙、丁4个数的和。

如果甲数加上2，乙数减少2，丙数除以2以后，则4个数相等。

求4个数各是多少？二、差倍问题（1）差倍例11、小陈为找工作准备了中、英文两份简历，中文简历的字数是英文简历字数的3倍，而且中文简历比英文简历多220个字。

倍数问题引言在数学中，倍数问题是指在给定一组数中，寻找满足某个特定倍数的数的问题。

这种类型的问题在数学中非常常见，而且在生活中也有很多具体的应用。

通过了解倍数问题的基本概念和解题方法，我们可以更好地理解数学中的倍数概念，并能够应用到实际问题中。

倍数的定义一个数如果能被另一个数整除，那么被除数就是倍数。

例如，如果我们考虑一个数x和一个数y，并且y能整除x，那么x就是y的倍数。

具体地说，如果存在一个整数k，使得x = y * k，我们就可以说x是y的倍数。

计算倍数的方法判断一个数是否是另一个数的倍数，可以通过以下方法进行计算：1.求余数法：将被判断的数除以给定的数，如果余数为0，则说明这个数是给定数的倍数。

2.整除法：将被判断的数除以给定的数，如果能够整除，即商为整数，则说明这个数是给定数的倍数。

例如，判断12是否是3的倍数，我们可以进行如下计算：1.用12除以3，得到余数为0，所以12是3的倍数。

2.用12除以3，得到商为4，为整数，所以12是3的倍数。

寻找倍数的问题倍数问题不仅可以用来判断一个数是否是另一个数的倍数，还可以用来寻找一组数中满足特定倍数的数。

寻找某个数的倍数如果我们想要寻找一组数中满足特定倍数的数，可以通过以下方法进行计算：1.遍历一组数，判断每一个数是否满足倍数条件。

2.将满足倍数条件的数输出或者保存。

例如，我们要寻找1至100中满足是3的倍数的数，可以进行如下计算：1.遍历1至100中的每一个数。

2.判断每一个数是否是3的倍数，如果是，则输出或保存这个数。

寻找最小公倍数最小公倍数是指一组数中能够被所有数整除的最小正整数。

如果我们想要寻找一组数的最小公倍数，可以通过以下方法进行计算：1.列出给定一组数的所有倍数。

2.找出所有倍数中的最小数。

例如，我们要寻找1、2和3的最小公倍数，可以进行如下计算：1.列出1、2和3的所有倍数：1, 2, 3, 4, 5, 6, …2.找出所有倍数中的最小数，即最小公倍数。

小学倍数问题知识点总结一、倍数的定义和性质1. 倍数的定义：如果一个数 a 能够被另一个数 b 整除，那么 a 就是 b 的倍数，b 就是 a 的约数。

例如，6 是 3 的倍数，因为 6 能被 3 整除。

2. 倍数的性质：（1）0 是任何数的倍数，因为任何数都能被 0 整除。

（2）一个数的倍数包括它自己和1，因为任何数都能被 1 整除，而自己也能被自己整除。

（3）一个数的倍数总是包括它的约数，因为一个数的约数能整除它，那么这个约数的倍数也能整除它。

二、倍数的计算1. 判断一个数是不是另一个数的倍数：如果一个数 a 能被另一个数 b 整除（即 a ÷ b 余数为 0），那么 a 就是 b 的倍数。

2. 判断一个数是不是某个数的倍数：可以通过列举这个数的倍数，看看这个数能不能被其中的一个数整除。

3. 求一个数的倍数：一个数的倍数可以通过这个数乘以一个数得到，例如 3 的倍数可以写为 3，6，9，12，15，18，21，24，27……4. 判断一个数是不是某几个数的公倍数：可以通过列举这几个数的倍数，看看这个数能不能被其中的一个数整除。

5. 求几个数的公倍数：可以通过计算这几个数的倍数，找到它们的公共倍数。

三、倍数的应用1. 约束数值大小：在计算中，可以通过找到某个数的倍数来降低计算时的数值大小，方便计算。

2. 解决问题：在解决实际问题中，可以通过找到几个数的公倍数来解决问题，例如两个工人分别用两个不同的时间周期工作，可以通过找到他们的公倍数来确定他们何时可以同时休息。

3. 确定周期性事件：对于一些周期性事件，可以通过找到它的倍数来确定它将会发生的时间点，例如月亮的周期性现象或者一些物体的轨迹周期性变化等。

四、倍数的扩展1. 最大公约数和最小公倍数：最大公约数就是两个整数公共约数中最大的一个，最小公倍数就是两个整数公共倍数中最小的一个，这两个概念与倍数密切相关。

2. 分数的化简与比较大小：化简分数就是将分数的分子和分母同时除以它们的最大公约数，比较分数的大小也要用到最小公倍数的概念。

第七讲和差倍问题在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要。

——康扥尔【知识对对碰】【和倍问题】基本概念：已知几个数的和与这几个数之间的倍数关系求这几个数的应用题。

基本公式: 和÷（倍数+1）＝较小数（一倍数）较小数×倍数＝较大数或：和－较小数＝较大数。

【差倍问题】基本概念：已知几个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。

基本公式: 差÷（倍数－1）＝较小的数较小的数×倍数＝较大的数基本思路：解答倍数问题，必须先确定一个数（通常选用较小的数）作为标准数，即1倍数，再根据其它几个数与这个1倍数的关系，确定“和”相当于这样的几倍，最后用除法求出1倍数。

关键问题：找到1倍量。

温馨提示：为了弄清两种量彼此间的关系，常采用画线段图的方法来表示几种量间的关系。

【名题典中典】【例1】甲班和乙班共有图书160本，甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？思路导航：设乙班的图书本数为1倍量，那么甲班图书是3倍量，甲班和乙班图书本数的和是4倍量。

即4份的数量是160本，求出1份的数量也就求出了乙班的图书本数。

160÷（3＋1）=40（本）……乙 40×3=120（本）……甲【我能行】1、被除数与除数和为320，商是7。

被除数和除数各是多少？2、甲乙两个数的和是2002，甲数的小数点向右移动一位就和乙一样大，甲乙两数各是多少？【例2】学校食堂里运来大米和面粉共1450千克，其中大米比面粉重量的3倍少150千克，求运来大米和面粉各多少千克？思路导航：假如大米增加150千克，就恰好是面粉的3倍。

使大米增加150千克，那么大米和面粉的总重量也增加150千克，这样，面粉是1倍量，大米是3倍量，总重量是（3+1）= 4倍，是1450+150=1600千克，用除法便可以求解。

①面粉：（1450+150）÷（3+1）= 400 （千克）②大米：1450-400= 1050 （千克）答：运来大米1050 千克，运来面粉 400 千克。