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高等代数第三十讲

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大学高等代数课程教案讲义

大学高等代数课程教案讲义

一、课程名称：高等代数二、授课对象：大学本科生三、教学目标：1. 掌握线性空间、线性方程组、矩阵、行列式等基本概念；2. 理解线性变换、特征值、特征向量等线性代数的基本理论；3. 学会运用线性代数知识解决实际问题。

四、教学内容：1. 线性空间2. 线性方程组3. 矩阵4. 行列式5. 线性变换6. 特征值与特征向量五、教学重点：1. 线性空间、线性方程组、矩阵、行列式等基本概念；2. 线性变换、特征值、特征向量等线性代数的基本理论。

六、教学难点：1. 线性空间、线性方程组、矩阵、行列式等基本概念的深刻理解；2. 线性变换、特征值、特征向量等线性代数理论的灵活运用。

七、教学方法：1. 讲授法：系统讲解线性代数的基本概念和理论；2. 案例分析法：通过具体案例讲解线性代数的应用；3. 讨论法：引导学生积极参与课堂讨论，提高学生的思考能力；4. 练习题讲解法：针对课堂练习题进行讲解，帮助学生掌握解题方法。

八、教学过程：第一课时：线性空间1. 引入线性空间的概念，讲解线性空间的基本性质；2. 举例说明线性空间的实际应用；3. 学生课堂练习，巩固线性空间的基本概念。

第二课时：线性方程组1. 介绍线性方程组的求解方法，如高斯消元法；2. 讲解矩阵的秩与线性方程组的解的关系；3. 学生课堂练习，巩固线性方程组的求解方法。

第三课时：矩阵1. 介绍矩阵的基本运算，如矩阵乘法、转置等；2. 讲解矩阵的逆、伴随矩阵等概念；3. 学生课堂练习，巩固矩阵的基本运算。

第四课时：行列式1. 介绍行列式的概念，讲解行列式的性质；2. 讲解行列式的计算方法，如拉普拉斯展开法；3. 学生课堂练习，巩固行列式的计算方法。

第五课时：线性变换1. 介绍线性变换的概念，讲解线性变换的性质；2. 讲解线性变换的矩阵表示法；3. 学生课堂练习，巩固线性变换的概念和矩阵表示法。

第六课时：特征值与特征向量1. 介绍特征值与特征向量的概念，讲解特征值的性质；2. 讲解求解特征值与特征向量的方法；3. 学生课堂练习，巩固特征值与特征向量的求解方法。

高等代数教案

高等代数教案

全套高等代数教案第一章：高等代数概述1.1 高等代数的定义与意义理解高等代数的基本概念了解高等代数在数学及其它领域中的应用1.2 基本术语和符号学习常见的代数运算符掌握基本的代数表达式1.3 基本定理和性质学习线性方程组的解的存在性定理理解线性空间的基本性质第二章：矩阵和行列式2.1 矩阵的基本概念理解矩阵的定义和矩阵元素的意义学习矩阵的运算规则2.2 行列式的定义和性质理解行列式的概念掌握行列式的计算方法2.3 矩阵和行列式的应用学习矩阵在几何中的应用了解矩阵在概率论和统计中的应用第三章：线性方程组3.1 高斯消元法学习高斯消元法的原理和步骤掌握高斯消元法的应用3.2 矩阵的秩理解矩阵秩的概念学习矩阵秩的计算方法3.3 线性方程组的解的结构理解线性方程组解的存在性定理学习线性方程组解的方法第四章：特征值和特征向量4.1 特征值和特征向量的定义理解特征值和特征向量的概念学习特征值和特征向量的计算方法4.2 矩阵的对角化理解矩阵对角化的概念掌握矩阵对角化的方法4.3 特征值和特征向量的应用学习特征值和特征向量在几何中的应用了解特征值和特征向量在物理中的应用第五章：向量空间和线性变换5.1 向量空间的基本概念理解向量空间和子空间的概念学习向量空间的基和维数5.2 线性变换的基本概念理解线性变换的定义和性质学习线性变换的矩阵表示5.3 线性变换的应用学习线性变换在几何中的应用了解线性变换在信号处理中的应用第六章：特征多项式和最小多项式6.1 特征多项式的定义和性质理解特征多项式的概念学习特征多项式的计算方法6.2 最小多项式的定义和性质理解最小多项式的概念掌握最小多项式的计算方法6.3 特征多项式和最小多项式的应用学习特征多项式和最小多项式在矩阵对角化中的应用了解特征多项式和最小多项式在多项式环中的应用第七章：二次型7.1 二次型的定义和基本性质理解二次型的概念学习二次型的标准形和规范形7.2 惯性定理和二次型的分类理解惯性定理的概念学习二次型的分类方法7.3 二次型的应用学习二次型在几何中的应用了解二次型在优化问题中的应用第八章：线性微分方程组8.1 线性微分方程组的定义和性质理解线性微分方程组的概念学习线性微分方程组的解的结构8.2 常系数线性微分方程组的解法学习常系数线性微分方程组的解法掌握常系数线性微分方程组的通解8.3 线性微分方程组的应用学习线性微分方程组在物理学中的应用了解线性微分方程组在经济学中的应用第九章：特征值问题的数值解法9.1 特征值问题的数值解法概述了解特征值问题的数值解法的概念学习特征值问题的数值解法的方法9.2 幂法和反幂法学习幂法和反幂法的原理和步骤掌握幂法和反幂法的应用9.3 稀疏矩阵和迭代法理解稀疏矩阵的概念学习迭代法的原理和步骤第十章：高等代数的进一步研究10.1 向量丛和纤维丛理解向量丛和纤维丛的概念学习向量丛和纤维丛的分类方法10.2 群表示论的基本概念理解群表示论的概念学习群表示论的基本性质10.3 高等代数的其它研究领域了解高等代数在数学物理方程中的应用学习高等代数在和机器学习中的应用重点和难点解析重点环节一：矩阵的秩秩的概念是高等代数中的重要概念，理解秩的计算方法和秩的性质对于后续学习线性变换、矩阵对角化等高级内容至关重要。

张宇高数30讲笔记

张宇高数30讲笔记

张宇高数30讲笔记
张宇高数30讲是一套备受学生欢迎的高等数学教学视频，这里我将为你提供一些关于张宇高数30讲的笔记。

1. 张宇高数30讲的内容涵盖了高等数学的基础知识和重要概念，包括函数、极限、导数、微分、积分等。

这些知识是高等数学学习的基础，对于理解和掌握高等数学的其他分支如微积分、线性代数等都非常重要。

2. 在函数部分，张宇讲解了函数的定义、性质、图像和常见函数的特点。

他通过举例和图示的方式生动地解释了函数的概念，帮助学生建立起对函数的直观理解。

3. 极限是高等数学中的重要概念，张宇在讲解极限时注重深入浅出，通过一些典型的极限例题，帮助学生理解极限的概念和计算方法。

4. 在导数和微分部分，张宇详细介绍了导数的定义和性质，以及一些常见函数的导数计算方法。

他还讲解了微分的概念和应用，如泰勒展开等。

5. 积分是高等数学中的另一个重要概念，张宇在讲解积分时着
重讲解了定积分和不定积分的概念、性质和计算方法。

他通过一些
实例和练习题，帮助学生掌握积分的基本技巧。

6. 在整个教学过程中，张宇注重培养学生的解题思维和方法，
他强调理论与实践的结合，通过一些典型例题和考点分析，帮助学
生掌握解题的技巧和方法。

7. 张宇高数30讲的教学风格幽默风趣，讲解深入浅出，容易
理解。

他善于用生动的语言和具体的例子解释抽象的数学概念，帮
助学生建立起对数学的兴趣和信心。

总结起来，张宇高数30讲是一套内容丰富、讲解详细、教学风
格幽默的高等数学教学视频。

通过学习这套视频，学生可以全面掌
握高等数学的基础知识和解题技巧，为后续的学习打下坚实的基础。

高等代数讲义 (PDF经典版)

高等代数讲义 (PDF经典版)

第一学期第一次课第一章 代数学的经典课题§1 若干准备知识1.1.1 代数系统的概念一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，则称这样的一个体系为一个代数系统。

1.1.2 数域的定义定义（数域）设K 是某些复数所组成的集合。

如果K 中至少包含两个不同的复数，且K 对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对K 内任意两个数a 、b （a 可以等于b ），必有b a K a b K K b ab ∈≠∈/0时，，且当，∈±为一个数域。

，则称K 例1.1 典型的数域举例： 复数域C ；实数域R ；有理数域Q ；Gauss 数域：Q (i) = {i |∈Q }，其中i =b a +b a ,1−。

命题 任意数域K 都包括有理数域Q 。

证明 设K 为任意一个数域。

由定义可知，存在一个元素0≠∈a K a ，且。

于是K aaK a a ∈=∈−=10，。

进而Z ,∈∀m 0>K m ∈+……++=111。

最后，Z ，∈∀n m ,0>K n m ∈，K nmn m ∈−=−0。

这就证明了Q ⊆K 。

证毕。

1.1.3 集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念定义(集合的交、并、差) 设是集合，与S A B 的公共元素所组成的集合成为与A B 的交集，记作B A ∩；把和B 中的元素合并在一起组成的集合成为与A A B 的并集，记做B A ∪；从集合中去掉属于A B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为与B 的差集，记做。

A B A \定义（集合的映射） 设、A B 为集合。

如果存在法则，使得中任意元素在法则下对应f A a f B 中唯一确定的元素（记做），则称是到)(a f f A B 的一个映射，记为).(,:a f a B A f a →如果B b a f ∈=)(，则称为在下的像，a 称为在下的原像。

的所有元素在下的像构成的b a f b f A f B 的子集称为A 在下的像，记做，即f )A (f {}A a f A f ∈a =|)()(。

高等代数教案

高等代数教案

高等代数教案 The pony was revised in January 2021
高等代数
教案
秦文钊
一、章（节、目）授课计划第页
二、课时教学内容第页
二、课时教学内容第页
一、章（节、目）授课计划第页
二、课时教学内容第页
一、章（节、目）授课计划第页
二、课时教学内容第页
二、课时教学内容第页
二、课时教学内容第页
一、章（节、目）授课计划第页
二、课时教学内容第页
二、课时教学内容第页
一、章（节、目）授课计划第页
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一、章（节、目）授课计划第页
二、课时教学内容第页
二、课时教学内容第页
a的代数余子式.称为元素
ij
二、课时教学内容第页
二、课时教学内容第页
一、章（节、目）授课计划第页
二、课时教学内容第页
二、课时教学内容第页
一、章（节、目）授课计划第页
二、课时教学内容第页
二、课时教学内容第页。

高等代数知识点总结课件

高等代数知识点总结课件

行列式的展开定理
• 总结词：行列式的展开定理是行列式计算的核心，它提供了计算行列式 值的有效方法。
• 详细描述：行列式的展开定理指出，一个$n$阶行列式等于它的主对角线上的元素的乘积与其它元素乘积的代数和的相 反数。具体来说，对于一个$n$阶行列式$|\begin{matrix} a{11} & a{12} & \cdots & a{1n} \ a{21} & a{22} & \cdots & a{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a{n1} & a{n2} & \cdots & a{nn} \end{matrix}|$，其值等于 $a{11}A{11} + a{21}A{21} + \cdots + a{n1}A{n1}$，其中$A{ii}$表示去掉第$i$行和第$i$列后得到的$(n-1)$阶行列 式的值。
04
线性函数与双线性函数
线性函数的定义与性质
线性函数的定义
线性函数是数学中的一种函数，其图 像为一条直线。在高等代数中，线性 函数是指满足 f(ax+by)=af(x)+bf(y) 的函数。
线性函数的性质
线性函数具有一些重要的性质，如加 法性质、数乘性质、零元素性质和负 元素性质等。这些性质在解决实际问 题中具有广泛的应用。
欧几里得空间与酉空间
欧几里得空间
欧几里得空间是一个几何空间，它满足 欧几里得几何的公理。在欧几里得空间 中，向量的长度和角度都可以用实数表 示。
VS
酉空间
酉空间是一种特殊的线性空间，它满足酉 几何的公理。在酉空间中，向量的长度和 角度都可以用复数表示。酉空间在量子力 学、信号处理等领域有广泛应用。

高等代数(绪论)讲解PPT课件


开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，
也就是说，秦九韶那时候就得到了高次方程的一般
解法。
17
2020年9月28日
在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由 有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式—— Cardan公式。
在数学史上，三次方程的根的公式应归功于从 1496到1526年在意大利的波伦亚（Bologna）大学当教 授的Scipione del Ferro.他发现的精确年代并不知道， 但是我们知道在1541年前不久，意大利数学家塔塔里 亚(Niccolo Tartaglia)或许已知道有del Ferro的解但又 独自地发现了它。
序结构: 集合上的顺序关系,----如: 数的大小, 个子的高矮等 → 序代数, 格论等;
拓扑结构: 集合上连续性等----如: 曲线与直线 的关系 →数学分析,点集拓扑,代数拓扑等
三大结构的相互重叠, 组合构成各个不同 的数学分支,构成现代数学这座高楼大厦.
10
2020年9月28日
数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100多 个主要分支学科的庞大的“共和国”。
2020年9月28日
高等代数
1
任课教师
汪仲文，教授，博士，硕士研究生导师，数统学院副院长， 喀什师范学院首届“教学名师” 。
本科，1994年毕业于喀什师范学院数学系
硕士，2006年毕业于新疆大学数学与系统科学学院
博士， 2010年毕业于南开大学数学科学学院
办公地点：3号楼210室 办公电话：2891005 电子信箱：
12
2020年9月28日
二、代数发展简史
“代数”一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家、
天文学家阿尔•花拉子米（约780－850，唐朝）一本著

高等代数(全部)

定义3 n阶实矩阵 A 满足 A'A=E，则称 A 为正交矩阵。
定理3 在欧氏空间V中，标准正交基到标准正交基的过渡矩阵 是正交矩阵。反之，若第一组是标准正交基，过渡矩阵是正
交矩阵，则第二组基也是标准正交基。
欧氏空间
§2 标准正交基
定理4 设A=(aij)是n阶实矩阵，则下列几个结论等价： (1) A是正交矩阵，即 A'A=E； (2) AA'=E； (3) A的列向量组是标准正交向量组； (4) A的行向量组是标准正交向量组； (5) A-1=A。
则子空间V1 L ( 1 , 2 , , m ) 与 V 2 L ( 1 , 2 , , m ) 同构。
欧氏空间
§4 正交变换
§4 正交变换
一、正交变换的定义与性质
定义1 设 A 是欧氏空间 V 中的线性变换，如果它保持向量的
内积不变，即对 , V , 都有
( 向量，A=(aij)为n阶实矩阵。证明： , ) A 为Rn的内积
的充要条件是A为正定矩阵。
欧氏空间
§1 欧氏空间的定义和性质
内积的简单性质
性质1 ( 0 , ) 0
性质2 ( , ) ( , ) ( , )
性质3 ( , k ) k ( , ) 性质4 1 , 2 , , n , 1 , 2 , , n V
3) 设V为n维欧氏空间，正交变换 A 有特征值1，且属于特征 值1的特征子空间V1的维数为n-1，则 A 为镜面反射。 例5 1) 设 , 是欧氏空间V中的两个不同的单位向量，证明： 存在一个镜面反射 A 使得 A 2) 证明：n维欧氏空间V中任一正交变换都可以表示为一系列

高等代数知识点总结

线性无关：对于向量组1,...,r下列条件等价 • 1,...,r线性无关
• 当c1,...,cr不全为0时，必有c11+...+crr0 • 当c11+...+crr＝0时，必有c1＝...＝cr＝0 • 1,...,r的秩数等于r • (1,...,r)是列满秩矩阵
28
极大无关组与秩数：
1. 1,...,rS是S的一个极大无关组当且仅当 ① 1,...,r线性无关 ② S的每个向量都可由1,...,r线性表示
22
两种常用方法
1.分块矩阵的初等变换和Schur公式
• 把初等变换和初等矩阵的思想用到分块矩阵 • Schur公式 设A可逆
I
CA1
O I
A C
B D
A O
B
D CA1B
A C
B D
I O
A1B
A
I B
O
D CA1B
I
CA1
O I
A C
B D
I O
按第k行 第k列展开
Laplace定理
|aij| = ak1Ak1+…+aknAkn = a1kA1k+…+ankAnk
| A | j1
jk
式
A
i1 j1
ik jk
代余式
A
i1 j1
ik
jk
aj1Ak1+…+ajnAkn = a1jA1k+…+anjAnk =jk|aij|
分块三角矩阵的行列式
对称多项式基本定理 每个对称多项式，都可唯一
地表示成初等对称多项式的多项式
10
运算
行列式

数学高等代数第五版精品PPT课件

如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作 a A ；或
者说A包含a，记作A∋a 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 a A； 或者说A不包含a，记作
例如，设A是一切偶数所成的集合，那么4∈A，
而3 A.
一个集合可能只含有有限多个元素，这样的集合叫 做有限集合. 如，前十个正整数的集合；一个学校的
集合 a1, a2 ,, an 表示成：a1,a2 ,,an . 前五个正
整数的集合就可以记作 1,2,3,4,5 .
枚举仅用来表示有限集合.
拟枚举: 自然数的集合可以记作 1,2,3,4,5....n..... , 拟枚举
可以用来表示能够排列出来的的集合, 像自 然数、整数…
概括原则: 如果一个集A是由一切具有某一性质的元
算术给予我们一个用之不竭的、充满有趣真理的宝库。 --高斯（Gauss,1777-1855）
数可以说成是统治整个量的世界，而算术的四则可以 被认为是作为数学家的完全的装备。 --麦斯韦(James Clark Maxwell 1831-1879)
1.1 集合
内容分布
1.1.1 集合的描述性定义 1.1.2 集合的表示方法 1.1.3 集合的包含和相等 1.1.4 集合的运算及其性质
反证之明，设若xxA(AB B)C，( A那 C么) x，那A且么 xxBACB 或，于是
者x x A且A 至C少. 但属于B BB与CC，中C的之B一 C. 若，x所以B 不，论那哪么一因
种为情x形都A 有，所x 以A，xBACB，；所同以样，若 x C ， 则 x A CA.不B论哪A一 C种 情A形都B有 Cx (A B) (A C) .
例如，A={1，2，3，4}，B={2，3，4，5}，则
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i =1 j =1 i =1
n
n
n
15
定理 19：设 A, B 是两个 Hermite 矩阵 , 且 A 正定 , 则存在可逆复方阵 P , 使得 P T AP = I ,
T
P T BP = diag ( c1 , c2 , ⋯ , cn ).
T
证： A 正定， ∃ 复可逆 T , 使得 T AT = I , ∵ 此时 , T BT 仍为 Hermite 阵 ,∴ ∃ 酉阵 U , 使得 U T ( T T BT )U = diag ( c1 , c 2 , ⋯ , c n )
取 于是
−1
1 2 U = i 2
i 2 1 2
, U −1 = U
T
1 2 = −i 2
( β ,α ) (α , β ) λ = − 取 λ = − , , (α , α ) (α , α ) ( α , β )( β , α ) 则有 − + ( β , β ) ≥ 0, (α , α )
∴ (α , β ) (α , β ) ≤ (α , α )( β , β ).
17
1 i , B = 0 i ， exp .1 .设 A = − i 0 − i 1 试将 Hermite 阵 A, B 同时酉对角化 .
于是, 对任α ∈V , 设 α = ∑ xiηi
n n
i =1 n
∗
∗
∗
有
n j =1
(στα, α ) = (στ ∑ xiηi , ∑ x jη j ) = ( ∑ xi λi µiηi , ∑ x jη j )
i =1 j =1 i =1
n
= ∑ xi ∑ x j λi µi (ηi ,η j ) = ∑ xi xi λi µi > 0.
11
法 2： λ1 = 1，λ 2 = x2 = (
1+ i 3 2
− 1+ i 3 2
, λ3 =
1− i 3 2
− 1− i 3 2 T
解得相应的特征向量为 ,1,1) ;
T
x1 = (1,1,0 ) ; ,1,1) ,
−1 − i 2 3
T
x3 = (
令 P = ( x1 , x 2 , x 3 ), 则有 P
∀α = x1ε1 + x2ε2 +⋯+ xnεn, σ(α) =σ(x1ε1 + x2ε2 +⋯+ xnεn ) = x1ε1 +⋯+ xn−1εn−1 − xnεn = x1ε1 + x2ε2 +⋯+ xnεn − 2xnεn =α − 2(α,εn )εn 故σ 是镜面反射 .
6
P222 6.用 (α i , α j ) = a ij , 不 能 设 特 殊 的 α .
15.证 − 1为特征值，即要证 A + I = 0 为特征值， A+ I = A+ A A = I + A A = − A+ I
T T
∴ A+ I = 0
7
12.
Байду номын сангаас
设 α , β ∈ V , 且 α = β ， 试证必有正交变换 σ ， 使 σα = β
α β 若 α = β ≠ 0， 记 ε1 = ， η1 = ， α β 由 ε 1 ,η1分 别 扩 充 成 V 的 两 组 标 准 正 交 基
解：PA (λ ) = λ (λ − 2), PB ( λ ) = ( λ + 1)( λ − 1), 对 A, 有λ1 = 0, λ2 = 2, 求出相应的特征向量 : 1 i 1 1 i , 1; 2 2
对 B, 有µ1 = 1, µ2 = −1, 求出相应的特征向量 : 1 i 1 1 1 , i ; 18 2 2
T
13
法 2 . ∵ A, B 正定 , ∴ ∃ 可逆阵 P , Q A = P P,
T
使
T T −1
B = Q Q,
T
则 AB = P PQ Q = P PQ QP ( P ) ,
T T T T
∴ AB 与 PQ QP 相似,
T T
而 PQ QP = (QP ) QP 为正定矩阵,
T T T T
注意B相似于对角阵,故
1 B＝
3 2
2 2 3
8 3 6 4
5 4 7 9 5
故 <α1 > 是σ 的一维不变子空间； < α1 ,α 2 > 是σ 的二维不变子空间； < α1 ,α 2 ,α3 > 是σ 的三维不变子空间； < α1 ,α 2 ,α 3 ,α 4 > 是σ 的四维不变子空间； < α1 ,α 2 ,α 3 ,α 4 ,α 5 > 是σ 的5维不变子空间。
1−i 3 2 3 −1+i 3 ， 2 3 1 310
−1+2i 3 −3i T 6 U2 A2U2 = , −1−i 3 0 1 −1 2 2 6 1 0 1 1 = 2 6 令U = U 1 0 U 2 1+i 3
1 2 2 2 1 2 A＝ 2 2 1 5 2 5
< α5 > < α 4 ,α 5 > < α1 ,α 2 ,α 3 >
< α1 ,α 2 ,α 3 ,α5 > < α1 ,α 2 ,α 3 ,α 4 ,α5 >
3
σα1 = α1 , σα 2 = 3α1 + 2α 2 σα 3 = 2α1 + 2α 2 + 3α 3 σα 4=⋯⋯⋯
证： 若 α
= β =0， 显然任意正交变换均可 。 显然任意正交变换均可。
ε 1 , ε 2 ,⋯ , ε n 与 η1 ,η 2 ,⋯ ,η n 对 ∀ α ∈ V , 记 α = x1ε 1 + x2ε 2 + ⋯ + xnε n
σα D x1η 1 + x 2η 2 + ⋯ + x nη n
4
14. proof : (1) 对∀α , β ∈V 有 σ (α + β ) = (α + β ) − 2(η,α + β )η = α + β − 2(η,α )η − 2(η, β )η = σα + σβ , σ (kα ) = kα − 2(η, kα )η = k[α − 2(η,α )η ] = kσα. ∴σ 是线性变换 . 又 (σα , σβ ) = (α − 2(η ,α )η , β − 2(η , β )η ) = (α , β ) ∴σ 是一个正交变换.
T
−1
AP = diag (1,
−1
−1 + i 2
3
,
).
又 ∵ P = QR ,∴ (QR )
−1
AQR = D
Q AQ = RDR 为上三角阵 . 此方法要对 P 的列进行 Schmite 正交化 .
12
14 .设 A, B是正定 Hermite 阵, 若 AB 是 Hermite 阵, 证明 AB 正定.
是线性变换， 则σ 是线性变换， 且σ (ε i ) = ηi i = 1,⋯, n 把标准正交基变成标准正交基， 又 σ 把标准正交基变成标准正交基 ， ∴ σ 是正交变换 ， 且 σ (α ) = β 是正交变换，
8
作业讲评: 0 1 − 2 P248 12 .设 A = 1 0 − 1 , 试求一个酉阵 U , 使得 1 − 1 0 U T AU 为上三角阵 . 3 解： PA ( λ ) = λ − 1 = 0 ,∴ λ1 = 1, ∵
对 λ1 = 1, 解得模为 1的特征向量 x1 = 将其扩充为一组标准正 交基 x 2 =
1 2
1 2
(1
1 0) ,
T T
(1 取U1 = ( x1, x2 , x3 ),则U1是酉阵 x3 = (0 .
−3 2 −1 2
− 1 0) , 0 1) ,
T
1 0 T U1 AU1 = 0 −1 0 2
⊥ ε (3)取V1 的一组标准正交基 1,⋯, ε n−1, 则∵V1 是σ的 不变子空间∴取ε n ∈V1⊥ , 则有σεn = λε n , ,
∵σ的实特征值为± 1, 而σ 恰有n − 1个属于λ = 1的 线性无关的特征向量∴ λ = −1 , ∴σ 在基ε1,⋯, ε n−1, ε n下的矩阵为 = diag{1,⋯,1,−1}. A
, 0
−1 对 A2 = 2
−1 2
09
解得属于λ2 =
y1 = −
−1+ 3i 2
的特征向量 y1 = −
(
1 3
1+ 3i 6
),
T
将其扩充为标准正交基
(
1 1+ 3i 3 6
) ,y =(
T 2
1− 3i 6
1 3
)
T
令U2 = ( y1, y2 ), , 则U2是酉阵 .
0
6
则有 −1 1 0 1 0 T −1 U1 AU1 U AU = 0 U 0 U 2 2 −3 0 −1 1 2 1 0 1 0 0 − 1 −1 = 0 U 2 2 0 U 2 2 0 0 − −3 1 −3i 2 3 6 − 3i 0 −1+2i 3 = 6 −1−i 3 0 0 2