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全国高中数学竞赛二试模拟训练题(91)(1)

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加试模拟训练题（91）

1．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB均是锐角，D是BC边上的内点，且AD平分∠BAC，过点D别离向两条直线AB、AC作垂线DP、DQ，其垂足是P、Q，两条直线CP与BQ相交与点K．求证：AK⊥BC；

证明：⑴ 作高AH．

那么由BDP∽BAH，BHPB=BABD，由CDQ∽CAH，CQHC=DCCA．

由AD平分∠BAC，DCBD=ACAB，由DP⊥AB，DQ⊥AC，AP=AQ．

∴ APPB·BHHC·CQQA=APQA·BHPB·CQHC=BABD·DCCA=DCBD·BACA=1，据Ceva定理，AH、BQ、CP交于一点，故AH过CP、BQ的交点K，

∴ AK与AH重合，即AK⊥BC．

2.若α、β、γ是x3-x-1=0的根，计算的值．

【题说】第二十八届(1996年)加拿大数学奥林匹克题1．

【解】设f(x)=x3-x-1＝(x-α)(x-β)(x-γ)

由多项式根与系数关系，有

α+β+γ＝0

αβ+βγ+γα=-1

αβγ=1 HKQPDCBA从而

其中分子 A=(1+α)(1-β)(1-γ)+(1+β)(1-α)(1-γ)+(1+γ)(1-α)(1-β)

=3-(α+β+γ)-(αβ+βγ+γα)+3αβγ=7

分母

B=(1-α)(1-β)(1-γ)=f(1)=-1

因此所求值为S=-7．

3.一个给定的凸五边形ABCDE，具有如下性质：五个三角形ABC、BCD、CDE、DEA、EAB中的每一个面积都等于1．证明：各个具有上述性质的五边形都有相同的面积，而且有无穷多不全等的如此的五边形．

【题说】 第一届(1972年)美国数学奥林匹克题5．

【证】 由S△ABE＝S△ABC，得AB∥CE，同理AE∥BD．因此ABFE为平行四边形，S△BEF＝S△ABE＝1．

设S△CDF＝x，那么S△BCF＝1－x， 即

到E，使S△BCD＝S△CDE＝1．作EA∥DF，BA∥CF．EA、BA相交于A，那么五边形ABCDE便知足所设条件，如此的五边形有无穷多个．

4.求知足等式2x2y2+y2=26x2+1201的一切正整数数组（x，y）．

【题说】1995年日本数学奥林匹克预选赛题8．

【解】由条件得

（2x2+1）（y2－13）=1188=22×33×11 从而2x2+1与y2－13均为22×32×11的因数．又2x2+1是奇数，故2x2+1为33×11=297的因数．由下表

可知，所求的正整数解为（4，7）和（7，5）．

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2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(2)

2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(2)

加试模拟训练题（2）

1、 设(1,2,3,4)ixi为正实数，满足

11212312341,5,14,30,xxxxxxxxxx

求1234111234Uxxxx的最大值．

2、设,,,,21aaak为两两各不相同的正整数,求证:

对任何正整数n,均有nknKkkka1121

3、 一个俱乐部中有3n＋1个人，每两个人可以玩网球、象棋或乒乓球，如果每个人都有n个人与他打网球，n个人与他下棋，n个人与他打乒乓球，证明俱乐部中有3个人，他们之间玩的游戏是三种俱全．

4．证明：若正整数ba,满足bbaa2232，则ba和122ba都是完全平方数。

加试模拟训练题（2）

1、 设(1,2,3,4)ixi为正实数，满足

11212312341,5,14,30,xxxxxxxxxx

求1234111234Uxxxx的最大值．

解：令

112123123412341,5,14,30,yxyxxyxxxyxxxx

则 0(1,2,3,4)iyi，

112123234341,4,9,16,xyxyyxyyxyy

于是 112223411114916234Uyyyyyyy

12341111102612410.yyyy

当 1121231234123410,50,140,300,yxyxxyxxxyxxxx即12341,4,9,16xxxx时，max10.U

2、设,,,,21aaak为两两各不相同的正整数,求证:

对任何正整数n,均有nknKkkka1121

证明: 设aaabbbnn,,,,,,2121是的从小到大的有序排列,即

2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(10)(附答案)

2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(10)(附答案)

加试模拟训练题（10）

1、已知凸四边形 ABCD， ,ABDC交于点 P， ,ADBC交于点Q，O为四边形 ABCD内一点，且有 BOPDOQ，证明 180AOBCOD。

2、已知),0(,,zyx，且1zyx，证明：274222xzzyyx成立的条件.

3．圆周上有800个点，依顺时针方向标号为1,2,…,800它们将圆周分成800个间隙.今选定某一点染成红色，然后按如下规则，逐次染红其余的一些点：若第k号点染成了红色，则可依顺时针方向转过k个间隙，将所到达的点染成红色，试求圆周上最多可以得到多少个红点？

4．求不定方程21533654321xxxxxx的正整数解的组数．

加试模拟训练题（10）

1、已知凸四边形 ABCD， ,ABDC交于点 P， ,ADBC交于点Q，O为四边形 ABCD内一点，且有 BOPDOQ，证明 180AOBCOD。

证明 设 BOPDOQ，则sinsin ,sinsinAODQDAQOQDODOQDOA，从而有sinsinAODAQODOAQD。类似地，有sinsinAOBAPOBOABP，因此有sinsinAODAQODBPAOBAPOBQD。同理，由sinsin ,sinsinCODBOQBQQCOQBOBOQBOC，可得sinsin,sinsinCODBOCQCOBPCODBOQOCBQDOPOCPD，因此有sinsinCODQCOBPDBOCPCODQB。设 AC与 PQ交于点L，由梅涅劳斯定理，1,1AQDPCLCQBPALQDPCLAQBPALC，于是有sinsin1sinsinAODCODAOBBOC。积化和差并化简后得cos2=cos2AODCODAOBBOC，于是可得AODCODAOBBOC（其中另一种情况不存在），从而有

全国高中数学联赛模拟卷（1）（一试+二试_附详细解答）

全国高中数学联赛模拟卷（1）（一试+二试_附详细解答）

全国⾼中数学联赛模拟卷（1）（⼀试+⼆试_附详细解

答）

全国⾼中数学联赛模拟卷(1)

⼀试

⼀、填空题（本⼤题共8⼩题，每⼩题8分，共64分）12

29x <+的解集为 ． 2．过正⽅体外接球球⼼的截⾯截正⽅体所得图形可能为______________. ①三⾓形 ②正⽅形 ③梯形 ④五边形 ⑤六边形3．直线2kx y -=

||1x =-有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是__ _______.

4．复数z ，使32

2z z z

+=，则z 的所有可能值为 _____ ____．

5．所有的满⾜条件1

1a

b

a b a b a

b a b ---=?++的正整数对(,)a b 的个数为 ．

6．设,,a b c 为⽅程3120x k x k --=的根（121k k +≠），则

111111a b c

a b c

+++++=--- __. 7．将号码分别为1、2、…、9的九个⼩球放⼊⼀个袋中，这些⼩球仅号码不同，其余完全相同. 甲从袋中摸出⼀个球，其号码为a ，放回后，⼄从此袋中再摸出⼀个球，其号码为b . 则使不等式 0102>+-b a 成⽴的事件发⽣的概率等于 ．8．已知A , B , C 为△ABC 三内⾓, 向量)2

sin 3,2(cos

B

A B A +-=α,2||=α.如果当C 最⼤时,存在动点M , 使得|||,||,|成等差数列, 最⼤值是__ ___.

⼆、解答题（本⼤题共3⼩题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）9．对正整数2n ≥，记1

11

12n n k k n a n k --==

-∑，求数列{a n }中的最⼤值．

10．给定正实数k ，圆⼼为(b a ，)的圆⾄少与抛物线2kx y =有三个公共点，⼀个是原点(0, 0)，另两个点在直线b kx y +=上，求b a ，的值（⽤k 表⽰）． 11．已知函数,72sin 3|)cos ||sin (|)(--+=x x x a x f 其中a 为实数，求所有的数对(a , n )(n ∈N *),

全国高中数学竞赛二试模拟训练题(30)

全国高中数学竞赛二试模拟训练题(30)

- 1 - 加试模拟训练题（30）

1、 设ABCDEF是凸六边形，满足AB＝BC＝CD，

DE＝EF＝FA，∠BCD＝∠EFA＝60º．设G和H是这六边形内部的两点，使得∠AGB＝∠DHE∠120º

试证：AG＋GB＋GH＋DH＋HE≥CF．

2. 设,,0Nna求证nnaaaaaann11123242

- 2 - 3、 设有两个完全相同的齿轮A、B，B被平放在一个水平面上，A放在B上面并使两者完全重合(从而两者在水平面上的投影完全重合)，然后任意去掉四对重合的齿．如果两齿轮各有14个齿，试问：能否将齿轮A绕两齿轮的公共轴旋转一个适当的位置，使得两齿轮在水平面上的投影合为一个完整齿轮的投影？如果两齿轮各原有13个齿，又是怎样呢？请证明你的论断．

4．求出最小正整数n，使其恰有144个不同的正因数，且其中有10个连续整数.

加试模拟训练题（30） - 3 - 1、 设ABCDEF是凸六边形，满足AB＝BC＝CD，

DE＝EF＝FA，∠BCD＝∠EFA＝60º．设G和H是这六边形内部的两点，使得∠AGB＝∠DHE∠120º

试证：AG＋GB＋GH＋DH＋HE≥CF．

【题说】 第三十六届(1995年)国际数学奥林匹克题 5．

【证】 连BD，AE．由于BC＝CD，∠BCD＝60º，所以BD＝BC＝AB．同样AE＝ED．

连 BE，则 A、D关于 BE对称．设 G、H关于 BE的对称点分别为G'、H'．则△BG'D与△BGA关于BE对称，所以∠BG'D＝∠BGA＝120º，G'在正三角形BCD的外接圆上．

熟知

CG'＝DG'＋G'B＝AG＋GB

同理

HF＝AH'＋H'E＝DH＋HE

因此

AG＋GB＋GH＋DH＋HE＝CG'＋G'H'＋H'F≥CF

2. 设,,0Nna求证nnaaaaaann11123242

证明 设数列}{na的通项公式为