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2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(22)

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加试模拟训练题（22）（附详细答案）

1、已知M为ABC内一点，由M分别向,,BCCAAB作垂线，垂足分别为,,ABC。由 ,,ABC分别向,,BCCAAB作垂线，证明这三条垂线交于一点M。若ABC的外心为O，则,,MOM三点共线，且O是线段MM的中点。

2、若abcR、、，求证：888333111abcabcabc

3、25个人围一圆桌坐，每小时表决一次，回答为是或否．如果一个人第n次表决时，至少与一个相邻的人回答相同，即么他第n＋1次表决与第n次相同．如果第n次表决时，与两个相邻的人回答均不同，那么他第n＋1次表决与第n次不同．证明不论开始时大家怎样回答，从某一时间起，每个人的回答都不会改变．

4、求证方程243yxx无正整数解.

加试模拟训练题（22）

1、已知M为ABC内一点，由M分别向,,BCCAAB作垂线，垂足分别为,,ABC。由 ,,ABC分别向,,BCCAAB作垂线，证明这三条垂线交于一点M。若ABC的外心为O，则,,MOM三点共线，且O是线段MM的中点。

证明 法一 连MO，并延长至M，使得O是线段MM的中点。设AM的中点为O，则O为由,,,ACMB所确定的四边形的外接圆的圆心，因此OOBC。又因为AM∥OO，所以有AMBC。同理可得,BMCACMAB。

法二 分别延长,,MAMBMC至,,DEF，使得,,BCCAAB分别是,,MDMEMF的中垂线，所以AEAMAF，即A是MEF的外心。同理，,BC分别是,MDFMDE的外心。由于由 ,,ABC分别向,,BCCAAB作的垂线就是由 ,,ABC分别向,,EFFDDE作的垂线，因此也就是,,EFFDDE的中垂线，而,,EFFDDE的中垂线交于一点，且就是DEF的外心，即点M。又因为M是ABC与DEF的位似中心，且位似比为2，所以,,MOM三点共线，且O是线段MM的中点。

2、若abcR、、，求证：888333111abcabcabc 333333555555555222333333333333333222333222222333333111111111111cbabacaababcabcabcabcbccaabcaabbccababccbaabcabccababcabc证明：由不等式的单调性可知，因而根据不等式的单调性知，由排序不等式得又由不等式的单调性知，，根据排序原理根据555888333333333111abcabcabcbccaababc不等式的传递性可知

8888888888888888823388888888323888888883328888aabbbcccaabbbcccabcbbaaacccabcccaaabbbabc证明二：同理三个式子相加

88833388833311188111abcabcabcabcabcabc

3、25个人围一圆桌坐，每小时表决一次，回答为是或否．如果一个人第n次表决时，至少与一个相邻的人回答相同，即么他第n＋1次表决与第n次相同．如果第n次表决时，与两个相邻的人回答均不同，那么他第n＋1次表决与第n次不同．证明不论开始时大家怎样回答，从某一时间起，每个人的回答都不会改变．

【题说】第二十六届(1994年)加拿大数学奥林匹克题3．

【解】首先注意如果两个相邻的人第n次的回答相同，那么他们第n＋1次的回答也相同．因而在第n次回答后，都不会再改变．

令An为第n次回答时，至少与一个相邻的人回答相同的那些人的集合，则根据上面所说，

由于25为奇数，所以第一次回答时不可能每个人与相邻的人回答均不相同，即A1至少含两个人．

人第m次的回答也不同．这样y第m＋1次的回答应与他自己第m次的回答不同，即与x第m＋1次的回答相同，从而y∈Am＋1＝Am，矛盾！因此Am含全部25人．并且从第m次起，每个人的回答都不会改变．

4、求证方程243yxx无正整数解.

分析：两边都是未知数，很难把握其性质，但发现右式可以分解.

解: 43xx,02(mod3)x或.若0(mod3)x，有22(1)(1)3xyxxx，显然

2,1,13xxxx两两互质，所以21xx是完全平方数，而222(1)1xxxx

知是不可能的.若2(mod3)x，则321()3xyx，而31(,)13xx，故x为完全平方数，这与2(mod3)x矛盾.

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2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(2)

2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(2)

加试模拟训练题（2）

1、 设(1,2,3,4)ixi为正实数，满足

11212312341,5,14,30,xxxxxxxxxx

求1234111234Uxxxx的最大值．

2、设,,,,21aaak为两两各不相同的正整数,求证:

对任何正整数n,均有nknKkkka1121

3、 一个俱乐部中有3n＋1个人，每两个人可以玩网球、象棋或乒乓球，如果每个人都有n个人与他打网球，n个人与他下棋，n个人与他打乒乓球，证明俱乐部中有3个人，他们之间玩的游戏是三种俱全．

4．证明：若正整数ba,满足bbaa2232，则ba和122ba都是完全平方数。

加试模拟训练题（2）

1、 设(1,2,3,4)ixi为正实数，满足

11212312341,5,14,30,xxxxxxxxxx

求1234111234Uxxxx的最大值．

解：令

112123123412341,5,14,30,yxyxxyxxxyxxxx

则 0(1,2,3,4)iyi，

112123234341,4,9,16,xyxyyxyyxyy

于是 112223411114916234Uyyyyyyy

12341111102612410.yyyy

当 1121231234123410,50,140,300,yxyxxyxxxyxxxx即12341,4,9,16xxxx时，max10.U

2、设,,,,21aaak为两两各不相同的正整数,求证:

对任何正整数n,均有nknKkkka1121

证明: 设aaabbbnn,,,,,,2121是的从小到大的有序排列,即

2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(54)

2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(54)

加试模拟训练题（54）（附详细答案）

1．AD，BE，CF是△ABC的三条中线，P是任意一点.证明：在△PAD，△PBE，△PCF中，其中一个面积等于另外两个面积的和.

2. 若0≤a，b，c≤1，证明：

AA'FF'GEE'D'C'PCBD3. 在黑板上写下从1到1988的所有自然数．对这些数依次反复施行运算A和B：先是A后是B，接着再是A，然后再是B，如此继续下去．运算A是从每个写在黑板上的数减去同一个自然数(对不同次的运算A，减数可以不相同)．运算B是抹去黑板上写着的两个数，然后写下它们的和数．运算A和B如此顺次施行，直至某次运算B后，黑板上只留下一个数，并且它是非负的，问这个数是多少？

4.设a，b，c是正整数，且 )()1(),1(22baccccab 证明：a，b中有一个数等于c，另一个数等于12cc。

加试模拟训练题（54）

1．AD，BE，CF是△ABC的三条中线，P是任意一点.证明：在△PAD，△PBE，△PCF中，其中一个面积等于另外两个面积的和.

分析：设G为△ABC重心，直线PG与AB

，BC相交.从A，C，D，E，F分别

作该直线的垂线，垂足为A′，C′，

D′，E′，F′.

易证AA′=2DD′，CC′=2FF′，2EE′=AA′+CC′，

∴EE′=DD′+FF′.

有S△PGE=S△PGD+S△PGF.

两边各扩大3倍，有S△PBE=S△PAD+S△PCF.

2. 若0≤a，b，c≤1，证明：

【题说】第九届（1980年）美国数学奥林匹克题5．结论可以推广到n个数的情形．

【证】令

因为 （1－b）（1－c）（1+b+c）≤（1－b）（1－c）（1+b）（1+c）

=（1－b2）（1－c2）≤1（当a、b、c轮换时均成立）因此δ≥0．

3. 在黑板上写下从1到1988的所有自然数．对这些数依次反复施行运算A和B：先是A后是B，接着再是A，然后再是B，如此继续下去．运算A是从每个写在黑板上的数减去同一个自然数(对不同次的运算A，减数可以不相同)．运算B是抹去黑板上写着的两个数，然后写下它们的和数．运算A和B如此顺次施行，直至某次运算B后，黑板上只留下一个数，并且它是非负的，问这个数是多少？

2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(55)

2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(55)

加试模拟训练题（55）（附详细答案）

1.，交于点和，直线交于点、、为外心，三条高中，如图，MABEDHCFBEADOABC

;)2(;,)1(MNOHDEOCDFOBNACFD。求证：交于点和

2. 证明：若a、b、c为三角形三边的长，且a+b+c=1，则

3.在黑板上有1，2，…，1987这些数．作这样的变换：将黑板上的数擦去一些，并添加上被擦去的数的和被7除所得的余数．经过若干次变换后，黑板上的数只有二个，一个是987，求另一个数．

4. 设a,b为正整数，且4ab-1︱(4a2-1)2 求证:a=b（2007年IMO试题）

加试模拟训练题（55）

1.，交于点和，直线交于点、、为外心，三条高中，如图，MABEDHCFBEADOABC

;)2(;,)1(MNOHDEOCDFOBNACFD。求证：交于点和

2. 证明：若a、b、c为三角形三边的长，且a+b+c=1，则

【题说】第二十三届（1989年）全苏数学奥林匹克九年级题2．1990年意大利数学奥林匹克题4． MNOHNHNOMHMOOMONMHNHODOMCDCMDEOCODONBDBNDFOBACBACDBDBCDAAHABNHNBNABEAHACMHMCMACFDEOCDFOBBACBOCOBCBACBDFFDCA2222222222222222222222222222,)2(90)180(21)1(得：由同理又四点共圆；、、、证：

所以

3.在黑板上有1，2，…，1987这些数．作这样的变换：将黑板上的数擦去一些，并添加上被擦去的数的和被7除所得的余数．经过若干次变换后，黑板上的数只有二个，一个是987，求另一个数．

【题说】第十三届(1987年)全俄数学奥林匹克九年级题5(理论部分)．

2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(10)(附答案)

2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(10)(附答案)

加试模拟训练题（10）

1、已知凸四边形 ABCD， ,ABDC交于点 P， ,ADBC交于点Q，O为四边形 ABCD内一点，且有 BOPDOQ，证明 180AOBCOD。

2、已知),0(,,zyx，且1zyx，证明：274222xzzyyx成立的条件.

3．圆周上有800个点，依顺时针方向标号为1,2,…,800它们将圆周分成800个间隙.今选定某一点染成红色，然后按如下规则，逐次染红其余的一些点：若第k号点染成了红色，则可依顺时针方向转过k个间隙，将所到达的点染成红色，试求圆周上最多可以得到多少个红点？

4．求不定方程21533654321xxxxxx的正整数解的组数．

加试模拟训练题（10）

1、已知凸四边形 ABCD， ,ABDC交于点 P， ,ADBC交于点Q，O为四边形 ABCD内一点，且有 BOPDOQ，证明 180AOBCOD。

证明 设 BOPDOQ，则sinsin ,sinsinAODQDAQOQDODOQDOA，从而有sinsinAODAQODOAQD。类似地，有sinsinAOBAPOBOABP，因此有sinsinAODAQODBPAOBAPOBQD。同理，由sinsin ,sinsinCODBOQBQQCOQBOBOQBOC，可得sinsin,sinsinCODBOCQCOBPCODBOQOCBQDOPOCPD，因此有sinsinCODQCOBPDBOCPCODQB。设 AC与 PQ交于点L，由梅涅劳斯定理，1,1AQDPCLCQBPALQDPCLAQBPALC，于是有sinsin1sinsinAODCODAOBBOC。积化和差并化简后得cos2=cos2AODCODAOBBOC，于是可得AODCODAOBBOC（其中另一种情况不存在），从而有