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全国高中数学竞赛二试模拟训练题

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- 1 - 加试模拟训练题（2）

1、 设(1,2,3,4)ixi为正实数，满足

11212312341,5,14,30,xxxxxxxxxx

求1234111234Uxxxx的最大值．

2、设,,,,21aaak为两两各不相同的正整数,求证:

对任何正整数n,均有nknKkkka1121

- 2 - 3、 一个俱乐部中有3n＋1个人，每两个人可以玩网球、象棋或乒乓球，如果每个人都有n个人与他打网球，n个人与他下棋，n个人与他打乒乓球，证明俱乐部中有3个人，他们之间玩的游戏是三种俱全．

4．证明：若正整数ba,满足bbaa2232，则ba和122ba都是完全平方数。

- 3 - 加试模拟训练题（2）

1、 设(1,2,3,4)ixi为正实数，满足

11212312341,5,14,30,xxxxxxxxxx

求1234111234Uxxxx的最大值．

解：令

112123123412341,5,14,30,yxyxxyxxxyxxxx

则 0(1,2,3,4)iyi，

112123234341,4,9,16,xyxyyxyyxyy

于是 112223411114916234Uyyyyyyy

12341111102612410.yyyy

当 1121231234123410,50,140,300,yxyxxyxxxyxxxx即12341,4,9,16xxxx时，max10.U

2、设,,,,21aaak为两两各不相同的正整数,求证:

对任何正整数n,均有nknKkkka1121

证明: 设aaabbbnn,,,,,,2121是的从小到大的有序排列,即

bbbn21,因为bi是互不相同的正整数.则nbbbn,,2,121

又因为n222111132 - 4 - 所以由排序不等式得:

naaan22212 (乱序)

nbbbn22212 (倒序)

n1211

即 nknkkkka1121 成立.

3、 一个俱乐部中有3n＋1个人，每两个人可以玩网球、象棋或乒乓球，如果每个人都有n个人与他打网球，n个人与他下棋，n个人与他打乒乓球，证明俱乐部中有3个人，他们之间玩的游戏是三种俱全．

【证】 将人看作平面上的点，得到一个有3n＋1个点的图(假定任意三点都不在一直线上)，当两个人玩网球或象棋或乒乓球时，我们就在相应的两点之间连一条红线或黄线或蓝线，需要证明的是，一定存在一个三条边的颜色互不相同的三角形．

自一点引出的3n条线段中，如果某两条线段的颜色不同，就称它们构成一个“异色角”．考虑异色角的个数．由于自每一点引出n条红线，

角形中有3个异色角．这个三角形的三条边颜色互不相同，即相应的三个人之间玩的游戏是三种俱全．

4．证明：若正整数ba,满足bbaa2232，则ba和122ba都是完全平方数。

证法一：已知关系式即为bbaa2232222)()(2bbaba

（ba）（122ba）＝2b ①

若0ba（或者说ba,中有一个为0时），结论显然。

不妨设ba且0ab，令dba),(，则dbbdaa11,，1),(11ba

从而ba＝dba)(11，将其代入①得dbbada21112132 ② - 5 - 因为|dda212，所以|d)(11ba，从而d11ba；

而②式又可写成)(11ba2111)122(dbba；

因为dba),(且1),(11ba，所以1),(111bba)(11ba

所以)(11bad|，从而dba11。

所以11bad，所以ba＝211)(ddba，从而ba为完全平方数。

所以222)(122dbdbba也是完全平方数。

证法二：已知关系式即为bbaa2232222)()(2bbaba

（ba）（122ba）＝2b ①

论证的关键是证明正整数ba与122ba互素。

记d（ba，122ba）。若1d，则d有素因子p，从而由①知2|bp。因为p是素数，故bp|，结合)(|bap知ap|，从而由|p122ba得|p1，这是不可能的。故1d，从而由①推知正整数ba与122ba都是完全平方数。

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2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(2)

2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(2)

加试模拟训练题（2）

1、 设(1,2,3,4)ixi为正实数，满足

11212312341,5,14,30,xxxxxxxxxx

求1234111234Uxxxx的最大值．

2、设,,,,21aaak为两两各不相同的正整数,求证:

对任何正整数n,均有nknKkkka1121

3、 一个俱乐部中有3n＋1个人，每两个人可以玩网球、象棋或乒乓球，如果每个人都有n个人与他打网球，n个人与他下棋，n个人与他打乒乓球，证明俱乐部中有3个人，他们之间玩的游戏是三种俱全．

4．证明：若正整数ba,满足bbaa2232，则ba和122ba都是完全平方数。

加试模拟训练题（2）

1、 设(1,2,3,4)ixi为正实数，满足

11212312341,5,14,30,xxxxxxxxxx

求1234111234Uxxxx的最大值．

解：令

112123123412341,5,14,30,yxyxxyxxxyxxxx

则 0(1,2,3,4)iyi，

112123234341,4,9,16,xyxyyxyyxyy

于是 112223411114916234Uyyyyyyy

12341111102612410.yyyy

当 1121231234123410,50,140,300,yxyxxyxxxyxxxx即12341,4,9,16xxxx时，max10.U

2、设,,,,21aaak为两两各不相同的正整数,求证:

对任何正整数n,均有nknKkkka1121

证明: 设aaabbbnn,,,,,,2121是的从小到大的有序排列,即

2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(48)

2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(48)

加试模拟训练题（48）（附详细答案）

的面积相等；与点，证明四边形的外接圆于交，延长是垂足、，作，满足、边上有两点的在锐角如图ABCAMDNDABCAENMACFNABFMCAFBAEFEBCABC)(,,.1

2. 证明：对于正数a、b、c，下述不等式成立：

a3+b3+c3+3abc≥ab（a+b）+bc（b+c）+ac（a+c） （1）

3.圆周上有若干黑色和白色的棋子，两人按下面的规则作游戏：甲取走所有与白子相邻(只需有一侧相邻)的黑子，然后，乙取走所有与黑子相邻的白子．这样进行下去，直至剩下的棋子全部同色．

1．如果开始有40枚棋子，是否有可能在每人取两次之后，只剩下一枚棋子？

2．如果开始有1000枚棋子，问最少经过多少步才能只剩下一枚棋子？

4. 试证：1．如果正整数n使方程x3－3xy2+y3=n有一组整数解（x，y），那么这个方程至少有三

组整数解；

（2）当n=2891时，上述方程无整数解．

从而x、y不能都被3整除，如果x、y中恰有一个被3整除，用（y－x，－x）或（－y，x－y）代替（x，y）．因此可以假定x、y都不被3整除，从而

x3≡±1，y3≡±1，－3xy2≡±3（mod9）

（2）不能成立，这表明当n=2891时，（1）无解．

加试模拟训练题（48）

的面积相等；与点，证明四边形的外接圆于交，延长是垂足、，作，满足、边上有两点的在锐角如图ABCAMDNDABCAENMACFNABFMCAFBAEFEBCABC)(,,.1AMDNABCAMDNABCAMDNSSSMNADBACAFADBACACABSMNABCAFAFBACMNNFMAAFAFADACABADACABAFABDAFCADBACFDABCAFMNADSADMNCAFAFNBAEAMNAFNAMNNFMAACFNABFMBDMN21sin21sin21sinsin,2190四点的圆的直径、、、是过又即：四点共圆、、、，、证明：如图，连结

2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(10)(附答案)

2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(10)(附答案)

加试模拟训练题（10）

1、已知凸四边形 ABCD， ,ABDC交于点 P， ,ADBC交于点Q，O为四边形 ABCD内一点，且有 BOPDOQ，证明 180AOBCOD。

2、已知),0(,,zyx，且1zyx，证明：274222xzzyyx成立的条件.

3．圆周上有800个点，依顺时针方向标号为1,2,…,800它们将圆周分成800个间隙.今选定某一点染成红色，然后按如下规则，逐次染红其余的一些点：若第k号点染成了红色，则可依顺时针方向转过k个间隙，将所到达的点染成红色，试求圆周上最多可以得到多少个红点？

4．求不定方程21533654321xxxxxx的正整数解的组数．

加试模拟训练题（10）

1、已知凸四边形 ABCD， ,ABDC交于点 P， ,ADBC交于点Q，O为四边形 ABCD内一点，且有 BOPDOQ，证明 180AOBCOD。

证明 设 BOPDOQ，则sinsin ,sinsinAODQDAQOQDODOQDOA，从而有sinsinAODAQODOAQD。类似地，有sinsinAOBAPOBOABP，因此有sinsinAODAQODBPAOBAPOBQD。同理，由sinsin ,sinsinCODBOQBQQCOQBOBOQBOC，可得sinsin,sinsinCODBOCQCOBPCODBOQOCBQDOPOCPD，因此有sinsinCODQCOBPDBOCPCODQB。设 AC与 PQ交于点L，由梅涅劳斯定理，1,1AQDPCLCQBPALQDPCLAQBPALC，于是有sinsin1sinsinAODCODAOBBOC。积化和差并化简后得cos2=cos2AODCODAOBBOC，于是可得AODCODAOBBOC（其中另一种情况不存在），从而有

2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(55)

2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(55)

加试模拟训练题（55）（附详细答案）

1.，交于点和，直线交于点、、为外心，三条高中，如图，MABEDHCFBEADOABC

;)2(;,)1(MNOHDEOCDFOBNACFD。求证：交于点和

2. 证明：若a、b、c为三角形三边的长，且a+b+c=1，则

3.在黑板上有1，2，…，1987这些数．作这样的变换：将黑板上的数擦去一些，并添加上被擦去的数的和被7除所得的余数．经过若干次变换后，黑板上的数只有二个，一个是987，求另一个数．

4. 设a,b为正整数，且4ab-1︱(4a2-1)2 求证:a=b（2007年IMO试题）

加试模拟训练题（55）

1.，交于点和，直线交于点、、为外心，三条高中，如图，MABEDHCFBEADOABC

;)2(;,)1(MNOHDEOCDFOBNACFD。求证：交于点和

2. 证明：若a、b、c为三角形三边的长，且a+b+c=1，则

【题说】第二十三届（1989年）全苏数学奥林匹克九年级题2．1990年意大利数学奥林匹克题4． MNOHNHNOMHMOOMONMHNHODOMCDCMDEOCODONBDBNDFOBACBACDBDBCDAAHABNHNBNABEAHACMHMCMACFDEOCDFOBBACBOCOBCBACBDFFDCA2222222222222222222222222222,)2(90)180(21)1(得：由同理又四点共圆；、、、证：

所以

3.在黑板上有1，2，…，1987这些数．作这样的变换：将黑板上的数擦去一些，并添加上被擦去的数的和被7除所得的余数．经过若干次变换后，黑板上的数只有二个，一个是987，求另一个数．

【题说】第十三届(1987年)全俄数学奥林匹克九年级题5(理论部分)．