全国高中数学竞赛二试模拟训练题(52).doc
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加试模拟训练题(52)
1. 过等腰△川％底边成'上一点夕引PM// CA交AB于阪 引PN//BA交 M于也作点夕关于枷 的对称点.试证：P'点在△，质外接圆上.
2. 设实数x、y、z满足条件yz+zx+xy=T,求x2+5y2+8z2的最小值和最大值.
3. 桌面上放有1989枚硬币，其中有的正面朝上，其余的正面朝下.今有1989人按下述方法
依次翻转硬币，第一人翻转其中的一枚，第二人翻转其中的二枚，…，第k人翻转其中的k 枚，最后第1989人将所有硬币全部翻转.证明：
1. 不论硬币最初正反面的分布情况如何，他们总可采取适当步骤，使得1989人都进行过翻 币手续后，恰将所有硬币朝同一方向.
2. 硬币最后的统一朝向与具体翻币方案无关(只依赖于初始分布).P'
4. 求所有正整数m, n满足m2 - n整除m + n2 ,并且n~ - m整除n + m~.
加试模拟训练题(52)
1,过等腰△宛T底边网上一点夕引PM//CA交AB等引PN//BA交花于也作点夕关于洌
的对称点々.试证：P'点在外接圆上.
(杭州大学《中学数学竞赛习题》)
分析：山已知可得妒'NP' =NP
=NC,故点彤是欧的外心，点
NMP AC的外心.有
A BP' ABAC, 2 2
ZPP' (=- APN(=- ABAC. 2 2
:WBP OABP'氏ZP' PGZBAC.
从而，P'点与4 B, C共圆、即月在外接圆上.
由于夕，夕平分/胪，G显然还有
P B-.P' OBP-.PC.
2.设实数x、y、z满足条件yz+zx+xy=T,求x2+5y2+8z2的最小值和最大值.
【题说】1992年英国数学奥林匹克题4.
【解】由于(y-2z) 2+ (x+2y 十 2z) 2^0
所以 x2+5y2+8z2^-4 (xy+yz+zx) =4
3 11
= —* y = -—* r = +5y‘ 4-&a =4,所以+5y，-I-Sr3 £ £ 4
的最小值为4.
另一方虱令M=0. B M
7 x2+5y2+8z2>x2
当y-0时，函数x2+5y2+8z2的值可趋于无穷大.
3. 桌面上放有1989枚硬币，其中有的正面朝上，其余的正面朝下.今有1989人按下述方法
依次翻转硬币，第一人翻转其中的一枚，第二人翻转其中的二枚，…，第k人翻转其中的k 枚，最后第1989人将所有硬币全部翻转.证明：
1. 不论硬币最初正反面的分布情况如何，他们总可采取适当步骤，使得1989人都进行过翻 币手续后，恰将所有硬币朝同一方向.
2. 硬币最后的统一朝向与具体翻币方案无关(只依赖于初始分布).
【题说】1989年南昌市赛二试题3.
【证】1. 1989可换成任一奇数n.对n用数学归纳法.
当n=l时，结论显然成立.假设在n = 2k— 1时结论成立，当n = 2k+l时，分两种情况讨论.
(1) 如果这2k+l枚硬币不全同向，其中必有一枚正面朝上的(记为正)和一枚正面朝下的(记 为负)，将它们标上记号.让前2k—1人对其余2k—1枚硬币进行翻币手续，依假设可翻成同 向，设为正.第2k人翻动2k个正向币，使得所有2k+l枚硬币都成负向.最后第2k+l人 将所有硬币翻成正向.
(2) 如果这2k+l枚硬币方向都相同.将这2k+l枚硬币排成一圈，让第一人翻转其中一枚， 第二人按顺时针方向翻转后续的二枚，第三人接着翻转后续的三枚，…，如此下去，当2k+l 人全部翻转之后，由于1 + 2 + •••+(2k+l) = (k+l) • (2k+l),所以，每枚硬币都翻动了 k + 1次，因而也同向.
2.假设结论不真，则存在1989枚硬币的某种初始状态T及两种翻法A、B.由状态T开始， 按方法A可翻成全正，而按方法B可翻成全反.
由全正状态出发，按方法A的逆步骤翻回T状态，再按B方法翻成全反.这样每枚硬币都改 变了方向，从而每枚硬币翻动了奇数次，硬币总数1989为奇数.故由全正状态到全反状态总 共翻转了奇数次.校车必处心光觉，
爰雪淬对道已传
另一方面，在由全正状态到全反状态的过程中，每个人均翻转了偶数枚，因此总共翻转了偶 数次，矛盾.从而结论成立.
4. 求所有正整数m, n满足m之一 〃整除m + zz?,并且〃2 一山整除n + m2.
分析 由对称性，我们不妨设n>m,并估计n的大体范围。
解 不妨设 n>m 则(m +1)2 -m = (m + l) + m2 显然 n2 -m > n + m2.对于 n>m +1成立。因此，n>m +1时，满足条件的整数m, n不存在，我们只要考虑n = m与 n = m + l.
假设〃 =m,贝 〃整除〃之+乃。若〃>3 贝0 〉3〃 => 2(〃2 一〃)〉+〃 显然
n2 -n < n2 -^-n o所以n>3 ,乃2 一〃不整除:.n = 2与〃 =3且易知成立。
假设〃 =m + 1,我们求-m-1整除+ 3m +1.的m.若m > 6 ,贝U
m(m一5) >3n 2(m2 - m-1) >m2 + 3m + 1. X m2 -m-1 < m2 + 3m +1 .所以
m2 -m-1不整除秫2 + 3m +1.则对于m = 1,2,3,4,5逐一验证得：m = l或m = 2.
综上所述,解为(m,n) = (2,2), (3,3), (1,2), (2,1), (3,2), (2,3). 分享一些学习的名言，让学习充实我们的生活：
1 >在学习中，在劳动中，在科学中，在为人民的忘我服务中，你可以找到自己的幸福。 --- 捷连斯基
2、读书是学习，使用也是学习，而且是更重要的学习。一毛泽东
3、人不光是靠他生来就拥有一切，而是靠他从学习中所得到的一切来造就自己。一歌德
4、 正确的道路是这样：吸取你的前辈所做的•切，然后再往前走。——列夫•托尔斯泰
5、 夫学须志也，才须学也。非学无以广才，非志无以成学。——诸葛亮
6、 科学研究好象钻木板，有人喜欢钻薄的；而我喜欢钻厚的。——爱因斯坦
7、 学习必须与实干相结合。一泰戈尔
8、 学而肘习之，不亦说乎？一孔壬
9、 鸟欲高飞先振翅，人求上进先读书。——李苦禅
10、 求学的三个条件是：多观察、多吃苦、多研究。——加菲劳
11、 知识有如人体血液一样的宝贵。人缺少了血液，身体就要衰弱，人缺少了知识，头脑就要枯竭。—— 高士其 12、 与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来
13、 情况是在不断的变化，要使自己的思想适应新的情况，就得学习。——毛泽东
14、 科学的自负比起无知的自负来还只能算是谦虚。——斯宾塞
15、 少年读书，如隙中窥月；中年读书，如庭中望月；老年读书，如台上玩月。皆以阅历之深浅，为所
得之深浅耳。——张潮
16、 青年是学习智慧的时期，中年是付诸实践的时期。——卢梭
17、 读书百遍，其义自见。——《三国志》
18、 读书志在圣贤，为官心存君国。——朱用纯
19、 德可以分为两种：一种是智慧的德，另一种是行为的德，前者是从学习中得来的，后者是从实践中
得来的。——亚里士多德
20、 虚假的学问比无知更糟糕。无知好比一块空地，可以耕耘和播种；虚假的学问就象一块长满杂草的
荒地，儿乎无法把草拔尽。——康因
21、 人的天才只是火花，要想使它成熊熊火焰，哪就只有学习！学习。——高尔基
22、 书到用H寸方恨少，事非经过不知难。——陆游
23、 书籍是朋友，虽然没有热情，但是非常忠实——雨果
24、 任何-个人，都要必须养成自学的习惯，即使是今天在学校的学生，也要养成自学的习惯，因为退
早总要离开学校的！自学，就是一种独立学习，独立思考的能力。行路，还是要靠行路人自己。——华罗庚
25、 学习从来无捷径，循序渐进登高峰。——高永祚
26、 活着就要学习，学习不是为了活着。——培根
27、 立志宜思真品格，读书须尽苦功夫。——阮元
28、 读书是易事，思索是难事，但两者缺一，便全无用处。——富兰克林
29、 经常不断地学习，你就什么都知道。你知道得越多，你就越有力量。一高尔基
30、 学习要有三心，一信心，二决心，三恒心。——陈景润
31、 兴于《诗》，立于礼，成于乐。——孔子
32、 书本上的知识而外，尚须从生活的人生中获得知识。——茅盾
33、 不读书的人，思想就会停止。——狄德罗
34、知识是引导人生到光明与真实境界的灯烛，愚暗是达到光明与真实境界的障碍，也就是人生发展的
障碍。——李大钊
35、 “先生不应该专教书，他的责任是教人做人；学生不应该专读书，他的责任是学习人生之道。——
陶行知
36、 天赋如同自然花木，要用学习来修剪。——培根
37、 如果学生在学校里学习的结果是使自己什么也不会创造，那他的一生永远是模仿和抄袭。——列夫•托 尔斯泰 38、 读书不要贪多，而是要多加思索，这样的读书使我获益不少。——卢梭
39、 求学将以致用；读书先在虚心。——《对联集锦》
40、 如果把生活比喻为创作的意境，那么阅读就像阳光。——池莉
41、 路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原
42、 读不在三更五鼓，功只怕…曝十寒。——郭沫若
43、钉子有两个好处：一个是挤劲，一个是钻劲。我们在学习上要提倡这种''钉子"精神，善于挤和钻。
——gw
44、 我学习了一生，现在我还在学习，而将来，只要我还有精力，我还要学习下去。——别林斯基
45、 学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
46、 人生最宝贵的是生命，人生最需要的是学习，人生最愉快的是工作，人生最重要的是友谊。——斯
大林
47、 学习外语并不难，学习外语就像交朋友一样，朋友是越交越熟的，天天见面，朋友之间就亲密无间
了。 --- 高士其
48、 古今来许多世家，无非积德。天地间第…人品，还是读书。——《格言联璧》
49、 学习有两忌，自高和白狭。——书摘
50、旧书不厌白回读，熟读精思子自知。——蛭
