二次函数知识点

二次函数的知识点总结一、二次函数的定义二次函数是指一个形如 $y = ax^2 + bx + c$ 的函数，其中 $a$、$b$ 和 $c$ 是常数，且 $a \neq 0$。

在这个表达式中，$x$ 是自变量，$y$ 是因变量，$a$、$b$ 和 $c$ 是系数，其中 $a$ 称为二次项系数，$b$ 称为一次项系数，$c$ 称为常数项。

二、二次函数的性质1. 抛物线形状：二次函数的图像是一个向上或向下开口的抛物线。

2. 开口方向：当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上；当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下。

3. 对称轴：二次函数图像关于直线 $x = -\frac{b}{2a}$ 对称，这条直线称为抛物线的对称轴。

4. 顶点：抛物线的顶点坐标为 $\left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right)$。

5. 与 X 轴的交点：二次函数与 X 轴的交点称为根，可以通过解方程$ax^2 + bx + c = 0$ 来找到。

三、二次函数的图像1. 顶点式：$y = a(x - h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是顶点坐标。

2. 交点式：$y = a(x - x_1)(x - x_2)$，其中 $x_1$ 和 $x_2$ 是与 X 轴的交点坐标。

3. 标准式：$y = ax^2 + bx + c$。

四、求解二次方程1. 因式分解法：当能够找到两个数，它们的和等于 $b$，积等于$c$ 时，可以使用因式分解法。

2. 完全平方法：通过配方将二次方程转化为完全平方的形式。

3. 公式法：使用二次公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}$ 来求解。

五、二次函数的应用1. 物理运动：描述物体在重力作用下的自由落体运动和抛体运动。

2. 优化问题：在商业和工程中，用于寻找最大利润或最小成本。

3. 数据拟合：在统计学中，用于拟合数据点，找到最佳曲线。

二次函数的性质知识点二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在代数学和几何学中都有广泛应用。

了解二次函数的性质是理解和掌握这一概念的关键，下面将介绍二次函数的一些基本性质知识点。

1. 二次函数的定义二次函数是指形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。

二次函数的图像是一个抛物线，开口方向由a的正负决定。

2. 顶点二次函数的图像是一个抛物线，其中的最高点或最低点称为顶点。

二次函数的顶点坐标可通过公式x = -b/2a和y = f(-b/2a)求得。

3. 对称轴二次函数的图像关于一条垂直于x轴的直线对称，这条直线称为对称轴。

对称轴的方程可通过公式x = -b/2a求得。

4. 开口方向当二次函数的参数a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。

5. 零点和方程二次函数的零点是使得f(x) = 0的x值，可以通过解一元二次方程ax^2 + bx + c = 0来求得。

一元二次方程的解法可以使用因式分解、配方法、求根公式等方法。

6. 判别式对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，判别式D = b^2 - 4ac可以用来判断方程的根的情况：- 当D > 0时，方程有两个不相等的实根；- 当D = 0时，方程有两个相等的实根；- 当D < 0时，方程无实根，但有两个共轭复根。

7. 函数的增减性和极值点二次函数的增减性与a的正负有关。

当a > 0时，函数在对称轴左侧增大，右侧减小；当a < 0时，函数在对称轴左侧减小，右侧增大。

函数的极值点即为顶点。

8. 函数的图像与平移通过调整二次函数的参数，可以实现图像的平移。

参数a决定抛物线的开口方向，参数b决定了对称轴的位置，参数c则决定了抛物线的顶点位置。

9. 辅助线与焦点二次函数的图像与抛物线相关的辅助线包括准线、焦点和准线上的直径。

焦点的横坐标是对称轴上顶点的横坐标的一半，纵坐标可以根据参数a的值求得。

二次函数知识点梳理一、二次函数的定义二次函数是指一个变量的二次多项式函数，其一般形式为 f(x) =ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0。

二、二次函数的图像二次函数的图像是一个抛物线。

根据 a 的正负，抛物线开口向上或向下。

a > 0 时，抛物线开口向上；a < 0 时，抛物线开口向下。

三、顶点二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点。

顶点的坐标可以通过公式 (-b/2a, f(-b/2a)) 计算得出。

四、对称轴二次函数的对称轴是一条垂直线，其方程为 x = -b/2a。

对称轴将抛物线分为两部分，这两部分关于对称轴对称。

五、判别式二次函数的判别式是 b^2 - 4ac。

根据判别式的值，可以判断二次函数与 x 轴的交点情况：- 如果判别式 > 0，则有两个实数根。

- 如果判别式 = 0，则有一个实数根（重根）。

- 如果判别式 < 0，则没有实数根。

六、根的性质1. 根的和：如果α 和β 是二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的两个根，则α + β = -b/a。

2. 根的积：如果α 和β 是二次方程的两个根，则αβ = c/a。

七、因式分解某些二次函数可以因式分解为 (x - α)(x - β) = 0 的形式，其中α 和β 是函数的根。

八、配方法配方法是求解二次方程的一种方法，通过将二次函数转化为完全平方的形式，从而更容易找到方程的解。

九、二次函数的应用二次函数广泛应用于物理、工程、经济等领域，如描述物体的抛体运动、优化生产成本等。

十、二次不等式二次不等式是形如 ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0 的不等式。

解这类不等式通常需要考虑二次函数的图像和判别式。

十一、复合二次函数复合二次函数是指外层函数是二次函数，内层函数可以是任何实值函数的情况。

这类函数的性质更为复杂，需要结合内外层函数的特点进行分析。

二次函数的相关知识点总结一、二次函数的概念。

1. 定义。

- 一般地，形如y = ax^2+bx + c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数。

其中x是自变量，a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项。

- 例如y = 2x^2+3x - 1，这里a = 2，b=3，c=-1。

二、二次函数的图象。

1. 二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象是一条抛物线。

2. 抛物线的顶点坐标。

- 对于二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)，其顶点坐标公式为(-(b)/(2a),frac{4ac - b^2}{4a})。

- 例如，对于二次函数y=x^2-2x - 3，其中a = 1，b=-2，c=-3。

根据顶点坐标公式，-(b)/(2a)=-(-2)/(2×1)=1，frac{4ac - b^2}{4a}=frac{4×1×(-3)-(-2)^2}{4×1}=(-12 - 4)/(4)=-4，所以顶点坐标为(1,-4)。

3. 抛物线的对称轴。

- 对称轴方程为x =-(b)/(2a)。

4. 抛物线的开口方向。

- 当a>0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。

- 例如，y = 3x^2+2x - 1中a = 3>0，开口向上；y=-2x^2+5x+3中a=-2 < 0，开口向下。

三、二次函数的性质。

1. 增减性。

- 当a>0时，在对称轴x =-(b)/(2a)左侧，即x<-(b)/(2a)时，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，即x>-(b)/(2a)时，y随x的增大而增大。

- 当a < 0时，在对称轴x =-(b)/(2a)左侧，即x<-(b)/(2a)时，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，即x>-(b)/(2a)时，y随x的增大而减小。

2. 最值。

- 当a>0时，抛物线开口向上，函数有最小值，y_min=frac{4ac - b^2}{4a}，此时x =-(b)/(2a)。

一、二次函数的定义1.一般地，形如 2y ax bx c =++（a b c ，，为常数，0a ≠）的函数称为x 的二次函数，其中x 为自变量，y 为因变量，,,a b c 分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数.这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的性质1．二次函数2y ax =0a ≠（）的性质：（1） 抛物线2y ax =的顶点是坐标原点（0，0），对称轴是0x =（y 轴）. （2） 函数2y ax =的图像与a 的符号关系. ① 当0a >时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点； ② 当0a <时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点；2. 2y ax c =+的性质：3. 二次函数2y ax bx c =++0a ≠（）的相关性质若二次函数解析式为2y ax bx c =++（或2()y a x h k =-+）(0a ≠)，则： （1） 开口方向：00a a >⇔⎧⎨<⇔⎩向上向下， （2） 对称轴：2b x a=-（或x h =），（3） 顶点坐标：24(,)24b ac b aa--（或(,)h k ）（4） 最值：0a >时有最小值244ac b a -（或k ）（如图1）；a <时有最大值244ac b a-（或k ）（如图2）；图2（5）单调性：二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的变化情况（增减性） ① 如图1所示，当0a >时，对称轴左侧2b x a<-，y 随着x 的增大而减小，在对称轴的右侧2b x a<-，y 随x 的增大而增大；② 如图2所示，当0a >时，对称轴左侧2b x a<-， y 随着x 的增大而增大，在对称轴的右侧2b x a<-，y 随x 的增大而减小；（6）与坐标轴的交点：①与y 轴的交点：（0，C ）；②与x 轴的交点：使方程20ax bx c ++=（或2()0a x h k -+=）成立的x 值. 3. 二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.三、二次函数的图像与系数关系1. a 决定抛物线的开口方向：当0a >时⇔抛物线开口向上；当0a <时⇔抛物线开口向下a 决定抛物线的开口大小：a 越大，抛物线开口越小； a 越小，抛物线开口越大.注：几条抛物线的解析式中，若a 相等，则其形状相同，即若a 相等，则开口及形状相同，若a 互为相反数，则形状相同、开口相反. 2. b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.（对称轴为：2b x a=-）当0b =时，抛物线的对称轴为y 轴； 当,a b 同号时，对称轴在y 轴的左侧； 当,a b 异号时，对称轴在y 轴的右侧.3. c 的大小决定抛物线与y 轴交点的位置.（抛物线与y 轴的交点为()0c ，） 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为原点； 当0c >时，交点在y 轴的正半轴； 当0c <时，交点在y 轴的负半轴.二、二次函数的三种表达方式（1）一般式：()20y ax bx c a =++≠ （2）顶点式：()2y a x h k =-+()0a ≠（3）双根式（交点式）：()()()120y a x x x x a =--≠2.如何设点：⑴ 一次函数y ax b =+（0a ≠）图像上的任意点可设为()11x ax b +，.其中10x =时，该点为直线与y 轴交点.⑵ 二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）图像上的任意一点可设为()2111x ax bx c ++，.10x =时，该点为抛物线与y 轴交点，当12b x a=-时，该点为抛物线顶点．⑶ 点()11x y ，关于()00x x ，的对称点为()010122x x y y --，． 4.如何设解析式：① 已知任意3点坐标，可用一般式求解二次函数解析式；② 已知顶点坐标或对称轴时，可用顶点式求解二次函数解析式；③ 已知抛物线与x 的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式.④ 已知抛物线经过两点，且这两点的纵坐标相等时，可用对称点式求解函数解析式（交点式可视为对称点式的特例） 注：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.一、二次函数与一次函数的联系一次函数()0y kx n k =+≠的图像l 与二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像G 的交点，由方程组2y kx n y ax bx c=+⎧⎨=++⎩的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点； ③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.二、二次函数与方程、不等式的联系1.二次函数与一元二次方程的联系： 1.直线与抛物线的交点:（1）y 轴与抛物线2y ax bx c =++得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线x h =与抛物线2y ax bx c =++有且只有一个交点(h ,2ah bh c ++). （3）抛物线与x 轴的交点:二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点⇔0∆>⇔抛物线与x 轴相交； ②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0∆=⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0∆<⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是2ax bx c k ++=的两个实数根.（5）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线2y ax bx c =++与x 轴两交点为()()1200A x B x ，，，，由于1x 、2x 是方程20ax bx c ++=的两个根，故1212,b c x x x x aa +=-⋅=12AB x x =-====2.二次函数常用解题方法 ⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b，c 的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：3.二次函数与一元二次方程之根的分布（选讲）所谓一元二次方程，实质就是其相应二次函数的零点（图象与x 轴的交点问题，因此，二次方程的实根分布问题，即二次方程的实根在什么区间内的问题，借助于二次函数及其图象利用数形结合的方法来研究是非常有益的．设()()20f x ax bc c a =++≠的二实根为1x ，2x ，()12x x <，24b ac ∆=-，且()αβαβ<，是预先给定的两个实数．⑴ 当两根都在区间()αβ，内，方程系数所满足的充要条件：∵12x x αβ<<<，对应的二次函数()f x 的图象有下列两种情形：当0a >时的充要条件是：0∆>，2b aαβ<-<，()0f α>，()0f β>． 当0a <时的充要条件是：0∆>，2b aαβ<-<，()0f α<，()0f β<．两种情形合并后的充要条件是：()()0200ba f f αβαααβ⎫∆><-<⎪⎬⎪>>⎭，， ……①⑵ 当两根中有且仅有一根在区间(),αβ内，方程系数所满足的充要条件； ∵1x αβ<<或2x αβ<<，对应的函数()f x 的图象有下列四种情形：从四种情形得充要条件是： ()()0f f αβ⋅< ……②⑶ 当两根都不在区间[]αβ，内方程系数所满足的充要条件： 当两根分别在区间[]αβ，的两旁时； ∵12x x αβ<<<对应的函数()f x 的图象有下列两种情形：当0a >时的充要条件是：(0f α<0f β<当0a <时充要条件是：()0f α>，()0f β>． 两种情形合并后的充要条件是：()0f αα<，()0f αβ< ……③ 当两根分别在区间[,]αβ之外的同侧时：∵12x x αβ<<<或12x x αβ<<<，对应函数()f x 的图象有下列四种情形：当12x x α<<时的充要条件是：0∆>，2b a α-<，()0f αα> ……④当12x x β<<时的充要条件是：0∆>，2b aβ->，()0f αβ> ……⑤4区间根定理如果在区间()a b ，上有()()0f a f b ⋅<，则至少存在一个()x a b ∈，，使得()0f x =． 此定理即为区间根定理，又称作勘根定理，它在判断根的位置的时候会发挥巨大的威力．二次函数与三角形在直角坐标系中，已知三角形三个顶点的坐标，如果三角形的三条边中有一条边与坐标轴平行，可以直接运用三角形面积公式求解三角形面积.如果三角形的三条边与坐标轴都不平行，则通常有以下方法：1.如图，过三角形的某个顶点作与x 轴或y 轴的平行线，将原三角形分割成两个满足一条边与坐标轴平行的三角形，分别求出面积后相加．1122ABC ACD ADB C B ACE CEB A BS S S AD y y S S CE x x ∆∆∆∆∆=+=⋅-=+=⋅-其中D ,E 两点坐标可以通过BC 或AB 的直线方程以及A 或C 点坐标得到． 2.如图，首先计算三角形的外接矩形的面积，然后再减去矩形内其他各块面积．ABC DEBF DAC AEB CBF S S S S S ∆∆∆∆=---. 所涉及的各块面积都可以通过已知点之间的坐标差直接求得． 3.如图，通过三个梯形的组合，可求出三角形的面积.该方法不常用．()()()()()()111222ABCAD E B C FEBADF C ABA B BC BcCAS S S S x x y yxx y y x x y y∆=-++=-++-++-+4.如图，作三角形的高，运用三角形的面积公式求解四边形的面积．该方法不常用，如果三角形的一条边与0x y ±=平行，则可以快速求解．12ABC S h BC∆=⋅．。

二次函数的知识点总结一、基本概念1. 二次函数的定义二次函数是一种形式为f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c是实数且a≠0。

其中，a 控制抛物线的开口方向和大小，b控制抛物线在x轴方向的平移，c控制抛物线在y轴方向的平移。

2. 二次函数的图像二次函数的图像是一个称为抛物线的曲线。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

3. 二次函数的顶点和对称轴二次函数的图像在抛物线上的最高（或最低）点称为顶点，顶点的横坐标x=-b/2a，即抛物线的对称轴，纵坐标等于f(-b/2a)，即y的最小值或最大值。

4. 二次函数的零点二次函数在x轴上的交点称为零点，满足f(x)=0时的x值。

零点的判别式为Δ=b²-4ac，当Δ>0时，有两个不相等的实根；当Δ=0时，有两个相等的实根；当Δ<0时，无实根。

5. 二次函数的最值当a>0时，二次函数的最小值是顶点的纵坐标；当a<0时，二次函数的最大值是顶点的纵坐标。

二、解析式求解1. 一般形式二次函数的一般形式是f(x) = ax² + bx + c。

通过配方法、完全平方式或因式分解，可以将二次函数转化为标准形式或顶点形式来方便求解相关参数。

2. 标准形式将一般形式的二次函数转化为标准形式f(x) = a(x-h)²+k，其中(h,k)为顶点坐标，a为抛物线的开口方向和大小。

3. 顶点形式将一般形式的二次函数转化为顶点形式f(x) = a(x-p)(x-q)，其中(p,q)为零点的坐标。

4. 判别式通过二次函数的判别式Δ=b²-4ac，可以方便地判断二次函数的零点类型和数量。

三、图像解析1. 抛物线的开口方向二次函数的参数a的正负决定了抛物线的开口方向，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。

2. 抛物线的顶点、对称轴和最值通过二次函数的顶点坐标和对称轴方程，可以方便地求得抛物线的顶点和对称轴，并进而求得最小值或最大值。

2.已知二次函数 的图象如图所示, 有以下结论: ① ；② ；③ ；④ ；⑤ 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②B. ①③④C. ①②③⑤D. ①②③④⑤3.二次函数 的图象如图所示, 则下列关系式中错误的是（ ） A. a ＜0 B. c ＞0 C. ＞0 4、D. ＞0图12为二次函数 的图象, 给出下列说法:① ；②方程 的根为 ；③ ；④当 时, y 随x 值的增大而增大；⑤当 时, . 其中, 正确的说法有 ．（请写出所有正确说法的序号）5.已知=次函数y ＝ax +bx+c 的图象如图. 则下列5个代数式: ac, a+b+c, 4a －2b+c, 2a+b, 2a －b 中, 其值大于0的个数为（ ） A. 2B 3C 、4D 、5四、二次函数解析式的确定 例4.求二次函数解析式:（1）抛物线过（0, 2）, （1, 1）, （3, 5）；（2）顶点M （-1, 2）, 且过N （2, 1）；（3）已知抛物线过A （1, 0）和B （4, 0）两点, 交y 轴于C 点且BC ＝5, 求该二次函数的解析式。

（1） 练习: 根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式 当x=3时, y 最小值=－1, 且图象过（0, 7）图象过点（0, －2）（1, 2）且对称轴为直线x=图象经过（0, 1）（1, 0）（3, 0）五、二次函数与x 轴、y 轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）11 1 Oxy已知抛物线y＝x2-2x-8,（1）求证: 该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B, 且它的顶点为P, 求△ABP的面积。

2、1.二次函数y＝x2-2x-3图象与x轴交点之间的距离为如图所示, 二次函数y＝x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点, 交y 轴于点C,则△ABC的面积为( )A.6B.4C.3D.13.若二次函数y＝(m+5)x2+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方, 则m 的取值范围是六、直线与二次函数的问题例6 已知: 二次函数为y=x2－x+m, （1）写出它的图像的开口方向, 对称轴及顶点坐标；（2）m为何值时, 顶点在x轴上方, （3）若抛物线与y轴交于A, 过A作AB∥x轴交抛物线于另一点B, 当S△AOB=4时, 求此二次函数的解析式.1.抛物线y=x2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为。

二次函数知识点1．二次函数的定义： 一般式：y = （0a ≠）； 顶点式：2()y a =+（0a ≠）；交点式：()()y a x x =--（0a ≠，0∆≥）2．二次函数的图像和性质：（A ）抛物线()2y a x h k =-+有如下特征：1）对称轴是 ，顶点坐标是 ，开口方向：当0a >时，开口 ，0a <，开口 。

2）最值和增减性：当0a >时y 有最 值，当x = 时y 最小= ，当0a <时， y 有最 值，当x = 时，y 最大= 。

当a >0时，x h ≤时，y 随x 增大而 。

x h >时，y 随x 增大而 。

当a <0时， x h ≤时，y 随x 增大而 。

x h >时，y 随x 增大而 。

3）()y a x h k =-+2图象是由y ax =2的图象向 （0h >）或向 （0h <）平移h 个单位，再向 (0k >)或向 （0k <）平移k 个单位而得到的。

（B ）抛物线y ax bx c =++2的图象特征和性质：1）开口方向： 时，开口向上； 时，开口向下。

对称轴方程： 顶点坐标 ：（ ）2） 最值和增减性：当a >0时y 有最 值，当x b a=-2时，min y = 当a <0时y 有最 值，当x = 时，max y = 。

a >0时，当x b a≥-2时，y 随x 的增大而 。

2b x a <-时，y 随x 的增大而 。

a <0时，当x ≥ 时，y 随x 的增大而 。

x < 时，y 随x 的增大而 。

3）a 越大，开口越 。

与y 轴交点坐标 ，当0∆≥时，与x 轴的交点坐标为 ， 五点法画二次函数草图时，此五点是：顶点、与x 轴 、与y 轴 、与y 轴交点关于 的对称点。

4) 三个二次的关系： 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的解是二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象与 轴交点的横坐标。

二次函数知识点一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()00， y 轴0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a <向下()00，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()0c ， y 轴0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下()0c ，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ．a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()0h ， X=hx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ，X=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()h k ， X=hx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k ． 0a < 向下 ()h k ，X=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值k ．三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 22. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质七、 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -． 七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02b a -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02b a ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02b a-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离2214b acAB x x a-=-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ； 3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考：y=x 22y=2x 2y=x 2y=-2x 2y= -x 2y= -x 22y=2x 2-4y=2x 2+2y=2x 2y=3(x+4)2y=3(x-2)2y=3x 2y=-2(x+3)2y=-2(x-3)2y=-2x 2∆>抛物线与x 轴有两个交点 二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根∆=抛物线与x 轴只有一个交点 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根∆<抛物线与x 轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.y=2(x-4)2-3y=2(x-4)2y=2x 2十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如： 已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x，求这条抛物线的解析式。

二次函数的所有知识点二次函数是高中数学中重要的内容之一，它涉及到许多重要的知识点。

下面我将分享一些关于二次函数的重要知识点。

1. 二次函数的定义：二次函数是具有形式f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。

其中，a决定了二次函数的开口方向，正值会使函数开口向上，负值会使函数开口向下；b决定了二次函数的位置，正值会使函数向左移动，负值会使函数向右移动；c是二次函数的常数项，它决定了二次函数与y轴的交点。

2. 顶点和对称轴：二次函数的顶点是函数图像的最高点（如果开口向上）或最低点（如果开口向下），顶点的坐标可以通过公式x = -b/(2a)和y = f(-b/(2a))计算得到。

对称轴是过顶点且垂直于x轴的直线，它可以通过公式x = -b/(2a)获得。

3. 零点和因式分解：二次函数的零点是函数图像与x轴的交点，也就是方程f(x) = 0的解。

我们可以使用求根公式x = (-b ± √(b^2-4ac))/(2a)来求解二次函数的零点。

另外，二次函数也可以通过因式分解的方式求解零点，即将二次函数表示为两个一次函数的乘积形式。

4. 判别式与函数图像的性质：在求解二次函数的零点时，判别式D = b^2 - 4ac起到了重要的作用。

当判别式为正时，二次函数有两个不同的实根，图像与x轴有两个交点；当判别式为零时，二次函数有一个实根，图像与x轴有一个交点；当判别式为负时，二次函数没有实根，图像与x轴没有交点。

通过判别式可以判断二次函数的零点个数和函数图像的性质。

5. 最值与增减性：二次函数的最值可以通过顶点坐标得到，如果二次函数开口向上，则最小值为顶点的纵坐标；如果开口向下，则最大值为顶点的纵坐标。

关于函数的增减性，二次函数的增减性取决于a的正负性，当a > 0时，二次函数是上升的，当a < 0时，二次函数是下降的。

6. 对称性与轴对称图形：二次函数具有轴对称性，即关于对称轴对称。

二次函数知识点总结大全二次函数是高中数学中的重要内容之一，掌握了二次函数的相关知识，能够解决很多与实际问题相关的数学计算。

下面是二次函数的知识点总结。

一、基本概念1. 二次函数的定义：一个二次函数是指形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数，其中a、b、c为常数，且a表示二次项的系数。

2.二次函数的图像：二次函数的图像是一个开口朝上或朝下的抛物线。

3.二次函数的顶点：二次函数的图像的最高点或最低点称为顶点，记为(Vx,Vy)。

4.二次函数的轴对称性：二次函数的图像关于顶点所在的直线对称。

5.二次函数的零点：二次函数的图像与x轴交点的横坐标称为零点。

6.二次函数的平移：二次函数的图像在平面上的平移。

二、二次函数的图像1.抛物线开口的方向：当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。

2. 求顶点：对于形如y=ax²+bx+c的二次函数，顶点坐标为(Vx, Vy)，其中Vx=-b/2a，Vy=f(Vx)。

3.确定抛物线的图像：已知顶点和另一点，可以确定一个抛物线的图像。

4.求零点：二次函数的零点可以通过解一元二次方程求得。

三、二次函数的性质1. 平移性质：对于二次函数y=ax²+bx+c，平移后的函数是y=a(x-h)²+k，其中(h,k)为平移后的抛物线的顶点。

2.对称性质：二次函数的图像关于顶点对称。

3.零点性质：一个二次函数最多有两个零点，可以通过求解一元二次方程求得。

4.范围性质：对于抛物线开口朝上的二次函数，其值域为[y,+∞)；对于抛物线开口朝下的二次函数，其值域为(-∞,y]。

四、二次函数的解析式1. 标准型：形如y=ax²+bx+c的二次函数。

2.顶点式：形如y=a(x-h)²+k的二次函数。

3.概率型：形如y=a(x-p)(x-q)的二次函数。

五、二次函数的应用1.最值问题：二次函数的最值可以通过求顶点得到。

二次函数所有知识点二次函数是数学中非常重要的一个概念，在数学学习和实际应用中都有着广泛的用途。

接下来，咱们就一起详细地了解一下二次函数的各种知识点。

一、二次函数的定义一般地，如果形如 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a、b、c 是常数，a ≠ 0）的函数，那么就叫做二次函数。

其中，x 是自变量，a 叫做二次项系数，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项。

需要特别注意的是，二次项系数 a 不能为 0，如果 a ＝ 0，那么函数就变成了一次函数。

二、二次函数的图像二次函数的图像是一条抛物线。

当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上；当a ＜ 0 时，抛物线开口向下。

抛物线的对称轴是直线 x ＝ b ／（2a）。

顶点坐标为（b ／（2a），（4ac b²）／（4a））。

通过观察抛物线的对称轴和顶点坐标，可以了解抛物线的基本特征和变化趋势。

三、二次函数的性质1、单调性当 a ＞ 0 时，在对称轴左侧（即 x ＜ b ／（2a）），函数单调递减；在对称轴右侧（即 x ＞ b ／（2a）），函数单调递增。

当 a ＜ 0 时，情况则相反，在对称轴左侧，函数单调递增；在对称轴右侧，函数单调递减。

2、最值当 a ＞ 0 时，函数有最小值，且在顶点处取得，最小值为（4ac b²）／（4a）。

当 a ＜ 0 时，函数有最大值，同样在顶点处取得，最大值为（4acb²）／（4a）。

四、二次函数的表达式1、一般式：y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a ≠ 0）这是最常见的形式，通过给定 a、b、c 的值，可以确定函数的图像和性质。

2、顶点式：y ＝ a（x h）²＋ k（a ≠ 0）其中（h，k）是抛物线的顶点坐标。

这种形式可以直接看出顶点的位置。

3、交点式（两根式）：y ＝ a（x x₁）（x x₂）（a ≠ 0）其中 x₁和 x₂是抛物线与 x 轴交点的横坐标。

五、二次函数与一元二次方程的关系二次函数 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a ≠ 0）的图像与 x 轴的交点的横坐标，就是一元二次方程 ax²＋ bx ＋ c ＝ 0（a ≠ 0）的根。

二次函数知识点（第一讲）、二次函数概念:1. 二次函数的概念：一般地，形如y=aχ2∙bx ∙c （ a , b , C是常数，a =O ）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a = 0 ,而b ,c可以为零•二次函数的定义域是全体实数.2. 二次函数y =aχ2∙bx C的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量X的二次式，X的最高次数是2 .⑵a ,b ,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，C是常数项.二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：y =aχ2的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. y =aχ2 C的性质：（上加下减）23. y =a (x —h )的性质：(左加右减)a 的符号 开口方向顶点坐 标 对称 轴性质a >0向上(h ,0) X=hx>h 时，y 随X 的增大而增大；Xeh 时，y 随X 的增大而减小；X = h 时，y 有最小值0 .a cθ向下(h ,0) X=hx>h 时，y 随X 的增大而减小；XVh 时，y 随X 的增大而增大；X = h 时，y 有最大值0 .24. y=a(x —h)+k 的性质:a 的符号 开口方向顶点坐 标 对称 轴性质a >0向上(h, k ) X=hx>h 时，y 随X 的增大而增大；XCh 时，y 随X 的增大而减小；x=h 时，y 有最小值k .a v0向下 (h, k ) X=hXAh 时，y 随X 的增大而减小；XVh 时，y 随X 的增大而增大；X = h 时，y 有最大值k .三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 y =a X -∙h j 亠k ，确定其顶点坐标 h , k ； ⑵ 保持抛物线y =aχ2的形状不变，将其顶点平移到h ，k 处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上 h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减, 上加下减”.y=ax 2* y=ax 2+k向上(k>0)【或下(k<0)] y=a (x-h)2向右(h>0)【或左(h<0)] 平移|k|个单位y=a(x-h)2+k向上(k>0)【或向下(k<0)】平移Ikl 个单位向上(k>0)【或下(k<0)]平移|k 个单位向右(h>0)【或左(h<0)] 平移Kl 个单位向右(h>0)【或左(*0)] 平移Ikl 个单位平移∣k ∣个单位方法二：⑴y = ax 2 bx c 沿y 轴平移：向上(下)平移 m 个单位，y = ax 2 ∙ bx ∙ c 变成2 卜 2y = ax bx C m (或 y = ax bx c - m )⑵y =ax 2 ∙ bx C 沿轴平移：向左(右)平移 m 个单位，y = ax 2 bx C 变成2 卜 2y = a(x m) b(x m) c (或 y = a(x _ m) b(x _ m) c )四、二次函数y =a X _h i 亠k 与y =aχ2 bx c 的比较2从解析式上看，y =a X _h ］亠k 与y =aχ2 ∙ bx C 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到五、二次函数y =aχ2 bx c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y =aχ2 bx C 化为顶点式y=a(x-h)2 ∙k ，确定其开口方 向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图 •一般我们选取的五点为： 顶点、与y 轴的交点O, c 、以及O,c 关于对称轴对称的点 2h ，C 、与X 轴的交点x 1, 0，X 2，O (若与X 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点)画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 X 轴的交点，与y 轴的交点•六、二次函数y =ax 2 bx c 的性质随X 的增大而增大；当 ^-―时，y 随X 的增大而减小；当X b 时,2a2a七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式： y =ax bx c ( a , b , C 为常数，a =O )；2.顶点式： y =a(x-h) k ( a , h , k 为常数，a =O )；3.两根式： y =a(x -x ι)(x -X 2) ( a =O , X i , X 2是抛物线与X 轴两交点的横坐标)前者，即y =a,其中Ta24ac — b 4a1.当a O 时，抛物线开口向上，对称轴为X b,顶点坐标为2ab 4ac-b 2— ，2a 4a当X 时，y 随X 的增大而减小；当X^ 时,2a2a最小值4ac "2 .4ay随X 的增大而增大；当X=E 时，y 有2.当a ：：：0时，抛物线开口向下, X =-b,顶点坐标为( b 4ac-b 2•当X ：：」时,I ■—, 2a2a 4a2ay 有最大值4ac - b 2 4a对称轴为 y注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式， 但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与X 轴有交点，即b 2_4ac_o 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数 解析式的这三种形式可以互化•八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数y =aχ2 ∙ bx ∙ c 中，a 作为二次项系数，显然 a 厂0 .⑴当a 0时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大； ⑵ 当a ：：：0时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大. 总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向， a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小.2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴. ⑴在a 0的前提下，当b 0时，一卫：：：0 ,即抛物线的对称轴在 y 轴左侧;2a当b =0时，一丄=0 ,即抛物线的对称轴就是 y 轴；2a当b <0时，—b .0,即抛物线对称轴在 y 轴的右侧.2a⑵ 在a <0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b 0时，—卫∙0 ,即抛物线的对称轴在 y 轴右侧；2a当b =0时，—b =O ,即抛物线的对称轴就是 y 轴；2a当b <0时，一P ：：： 0 ,即抛物线对称轴在 y 轴的左侧.2a总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置.Kab 的符号的判定：对称轴X —在y 轴左边则ab • 0,在y 轴的右侧则ab ：：： 0 ,概括的说就2a是“左同右异” 总结： 3. 常数项C总结起来，C 决定了抛物线与y 轴交点的位置.总之，只要a, b , C 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法•用待定系数法求二次函数的解析式必 须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便•一般来说，有如下几种情况：⑴当C 0时，抛物线与 y 轴的交点在X 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正; ⑵当C =0时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0 ; ⑶当C <0时，抛物线与 y 轴的交点在X 轴下方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负.1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与X轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于X轴对称y = aX ∙ bx关于X轴对称后，得到的解析式是y - -aχ2 -bx -C ;2 2y=ax-h］亠k关于X轴对称后，得到的解析式是y - -a X -h k ;2. 关于y轴对称^aX bx关于y轴对称后，得到的解析式是y =aχ2 -bx ∙ c ;2 2y=ax-h「k关于y轴对称后，得到的解析式是y = a X^i ^k ;3. 关于原点对称y = ax2 bx C关于原点对称后，得到的解析式是y =-aχ2∙ bx-c ;2 2y = a X- h ■关于原点对称后，得到的解析式是y - -a X ∙ h k ;4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）y=aX ∙ bx关汙顶点对称后，得到的解析式是y»bx c 卫;2a2y =a x-h k关于顶点对称后，得到的解析式是2y = -a X - h j 亠k •5. 关于点m, n对称2 2y =a X -h i亠k关于点m , n 对称后，得到的解析式是y = -a x ■ h —2m i亠2n —k根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变•求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.十、二次函数与一元二次方程:1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与X轴交点情况）：一元二次方程ax2 bx C 0是二次函数y=aχ2 bx G当函数值y =O时的特殊情况• 图象与X轴的交点个数：①当厶-b2 -4ac 0时，图象与X轴交于两点Axl，0 , B X2 , 0 （X^-X2），其中的X i，X2是一元次方程ax2 bx C =0 a十0的两根.这两点间的距离②当=0时，图象与X轴只有一个交点；③当.—：：0时，图象与X轴没有交点•1'当a 0时，图象落在X轴的上方，无论X为任何实数，都有y ∙0 ;2'当a ：：：0时，图象落在X轴的下方，无论X为任何实数，都有y：：：0 .2.抛物线y =aχ2 bx C的图象与y轴一定相交，交点坐标为（0，C）;3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与X轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数y =aχ2∙ bx ∙ c中a，b，C的符号，或由二次函数中a，b，C的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与X轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2 bx C（^--=0）本身就是所含字母X的二次函数；下面以a 0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：Δ>0抛物线与X轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根A =0抛物线与X轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根A <0抛物线与X轴无交占二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.AB = X2 - X i I =b 4ac二次函数考查重点与常见题型1. 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如:已知以X为自变量的二次函数y = (m「2)x2∙ m2「m「2的图像经过原点，则m的值是___________2 .综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数y =kx ∙ b的图像在第一、二、三象限内，那么函数3. 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：5已知一条抛物线经过(0,3) , (4,6)两点，对称轴为X ,求这条抛物线的解析式。

二次函数知识点总结第一篇：二次函数基础知识一、什么是二次函数二次函数是具有一般式y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数，且a不为0。

二、二次函数的图像1.开口向上的二次函数当a>0时，函数图像开口向上，其中x=-b/2a为函数的对称轴，抛物线的最低点为（x,-Δ/4a），其中Δ=b²-4ac为判别式。

2.开口向下的二次函数当a<0时，函数图像开口向下，其中x=-b/2a为函数的对称轴，抛物线的最高点为（x,-Δ/4a），其中Δ=b²-4ac为判别式。

三、二次函数的性质1.对于一般形式的二次函数y=ax²+bx+c，a称为二次项系数，b称为一次项系数，c称为常数项。

2.二次函数的图像为抛物线，对称轴方程为x=-b/2a。

3.当a>0时，二次函数抛物线开口向上，当a<0时，二次函数抛物线开口向下。

4.当a≠0时，二次函数与x轴最多有一个交点。

5.二次函数的解析式y=ax²+bx+c与顶点式y=a(x-p)²+q之间的关系为y=a(x-p)²+q=ax²-2apx+ap²+q，所以q=c+ap²，p=-b/2a。

6.当a>0时，二次函数的取值范围为[y（x）>= Δ/4a](其中x为实数)；当a<0时，二次函数的取值范围为[y(x)<=Δ/4a](其中x为实数)，其中Δ=b²-4ac为判别式。

四、二次函数的应用1.利用二次函数模型求最值问题。

2.用二次函数解决物理运动中的问题，如自由落体、抛体等。

3.用二次函数理解和解决概率问题，如正态分布等。

4.用二次函数解决经济问题、金融问题等。

以上就是二次函数的基础知识，通过学习这些知识可以帮助我们更好地理解和应用二次函数。

接下来，我们将深入了解二次函数的相关内容。

第二篇：二次函数进阶知识一、变形1.左右平移：y=a(x-h)²+k，其中（h，k）为顶点坐标，顶点向左平移h个单位，向右平移-h个单位。

二次函数所有知识点二次函数是一种二次方程的形式，可以表示为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a不等于0。

它是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个基础概念。

下面将介绍二次函数的所有知识点，包括定义、图像、性质、解析式、求解、应用等方面。

一、定义和图像：1. 二次函数的定义：二次函数是形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是常数，且a不等于0。

2.二次函数的图像：二次函数的图像是一条抛物线，开口的方向由a 的正负决定，开口向上对应a大于0，开口向下对应a小于0。

抛物线的顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，其中f(x)为二次函数的解析式。

二、性质和变换：1. 零点和根：对于二次函数y = ax^2 + bx + c，其零点即为使得函数值等于0的x值，可以用求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)来求出。

2.对称轴：二次函数的对称轴为过顶点的直线，其方程为x=-b/2a。

3.对称性：二次函数关于对称轴有轴对称性，即函数值的符号关系和x关于对称轴的关系相同。

4.极值和最值：对于开口向上的二次函数，其顶点是最小值点，对于开口向下的二次函数，其顶点是最大值点。

5.平移和伸缩：二次函数可以通过平移和伸缩变换得到，平移可以改变顶点的位置，伸缩可以改变开口的大小。

6.切线和法线：二次函数的切线是与抛物线仅有一个交点的直线，法线是与切线垂直的直线，通过切点可求出切线和法线的斜率。

三、解析式和方程：1. 一般式和顶点式：二次函数的解析式可以有多种表示方法，常见的有一般式和顶点式。

一般式为y = ax^2 + bx + c，顶点式为y = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为顶点的坐标。

2.平方完成和配方法：求解二次方程可以使用平方完成、配方法和求根公式等方法。

平方完成是将一般式转化成顶点式的过程，配方法是将一般式变形成可用求根公式求解的形式。

二次函数必备知识点
二次函数是一个非常重要的数学概念，其定义是形如y=ax²+bx+c（其中a, b, c为常数，且a≠0）的函数。

以下是二次函数的一些必备知识点：
1. 顶点和对称轴：二次函数的顶点可以通过公式法或配方法找到。

公式法是将二次函数的一般式化为顶点式，从而得到顶点的坐标和对称轴的方程。

配方法是先将二次函数的一般式化为完全平方的形式，从而得到顶点的坐标和对称轴的方程。

2. 开口方向和开口大小：二次函数的开口方向由系数a决定，a>0时，开口方向向上；a<0时，开口方向向下。

而a的绝对值决定开口大小，a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。

3. 最值：对于开口向上的二次函数，其最小值出现在顶点处；对于开口向下的二次函数，其最大值出现在顶点处。

4. 二次函数与一元二次方程的关系：一元二次方程的根是使二次函数值为0的x的值。

因此，一元二次方程的解与二次函数的零点有关。

5. 应用题：在实际问题中，经常会涉及到求最值、判断规则、建立模型等问题，这些问题都可以通过二次函数来解决。

例如，在物理中，加速度、速度和位移之间的关系可以用二次函数表示；在经济中，成本、收入和利润之间的关系也可以用二次函数表示。

以上是二次函数的一些必备知识点，掌握这些知识点可以帮助我们更好地理解和应用二次函数。

二次函数知识点1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数2ax y =的性质(1)抛物线2ax y =）（0≠a 的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.(2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线.4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，. 5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 决定抛物线的开口方向： 当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴(或重合)的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. (2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用(1)a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.(2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线ab x 2-=,故： ①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab (即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧； ③0<ab (即a 、b 异号)时,对称轴在y 轴右侧.(3)c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点(0，c )： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab .11.用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.(2)顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. (3)交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=.12.直线与抛物线的交点(1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(c ,0)(2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).(3)抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程 02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点(顶点在x 轴上)⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切；③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离.(4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.(5)一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组⎩⎨⎧++=+=cbx ax y n kx y 2的解的数目来确定： ①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.(6)抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故 a c x x a b x x =⋅-=+2121, ()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=444222122122121 13．二次函数与一元二次方程的关系：(1)一元二次方程c bx ax y ++=2就是二次函数c bx ax y ++=2当函数y 的值为0时的情况．(2)二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当0=y 时自变量x 的值，即一元二次方程02=++c bx ax 的根．(3)当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有两个交点时，则一元二次方程c bx ax y ++=2有两个不相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴没有交点时，则一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根14.二次函数的应用：(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值；(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系； 运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．15.解决实际问题时的基本思路：(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量；(3)用函数表达式表示出它们之间的关系；(4)利用二次函数的有关性质进行求解；(5)检验结果的合理性，对问题加以拓展等．。

二次函数知识点总结二次函数是高中数学中的一个重要内容，其知识点涉及函数的定义、性质、图象、解析式、应用等。

下面是对二次函数知识点的总结。

一、函数的定义和基本性质：二次函数是形如y=ax^2+bx+c（a≠0）的函数，其中a、b、c 为实数，a称为二次函数的系数。

①定义域：二次函数的定义域是任意实数集R。

②值域：对于二次函数y=ax^2+bx+c，当a>0时，函数的值域是[0,+∞)，当a<0时，函数的值域是(-∞，0]，当a=0时，函数的值域是{c}。

③对称轴：二次函数的对称轴是垂直于x轴的直线x=-b/2a。

④顶点：二次函数的顶点是对称轴上的点(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)=ax^2+bx+c。

⑤开口方向：当a>0时，二次函数开口向上；当a<0时，二次函数开口向下。

二、图象和性质：①图象特点：二次函数在平面直角坐标系内的图象是一个抛物线。

②定点：二次函数开口向上时，顶点是最小点；二次函数开口向下时，顶点是最大点。

③与坐标轴的交点：二次函数与x轴的交点叫做零点，是方程ax^2+bx+c=0的解；与y轴的交点是函数的常数项c。

④单调性：二次函数的单调性受其系数a的符号影响。

当a>0时，二次函数在对称轴两侧递增；当a<0时，二次函数在对称轴两侧递减。

⑤零点与解析式：对于二次函数y=ax^2+bx+c，其零点可以通过求解方程ax^2+bx+c=0得到，其中的判别式Δ=b^2-4ac可以判断二次方程的解的情况。

三、解析式和变形：①标准形式：二次函数的标准形式是y=ax^2+bx+c。

②顶点式：二次函数的顶点式是y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点坐标。

③因式分解式：当二次函数可因式分解时，可以表示成y=a(x-p)(x-q)的形式。

四、一些常见问题和解法：①如何确定二次函数的开口方向和顶点：若a>0，则开口向上，顶点为抛物线的最小值；若a<0，则开口向下，顶点为抛物线的最大值。

二次函数知识点一、二次函数的定义。

二次函数是一种特殊的多项式函数，其一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a不等于0。

二次函数的图像是一个抛物线，开口方向由a的正负决定，当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。

二、二次函数的图像特点。

1. 抛物线的开口方向由二次项的系数a决定，a大于0时开口向上，a小于0时开口向下。

2. 抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

3. 抛物线的对称轴方程为x = -b/2a。

4. 抛物线的轴与y轴的交点为(0, c)。

5. 当a大于0时，抛物线在顶点处取得最小值；当a小于0时，抛物线在顶点处取得最大值。

6. 当a等于0时，函数变成一次函数，其图像为一条直线。

三、二次函数的性质。

1. 对称性，二次函数的图像关于其对称轴对称。

2. 单调性，当a大于0时，二次函数在对称轴左侧单调递减，在对称轴右侧单调递增；当a小于0时，二次函数在对称轴左侧单调递增，在对称轴右侧单调递减。

3. 零点，二次函数的零点即为方程f(x) = 0的解，其判别式Δ = b^2 4ac决定了二次函数的零点个数和位置。

4. 最值，当a大于0时，二次函数在对称轴上取得最小值；当a小于0时，二次函数在对称轴上取得最大值。

5. 范围，当a大于0时，二次函数的值域为[f(-b/2a), +∞)；当a小于0时，二次函数的值域为(-∞, f(-b/2a)]。

四、二次函数的应用。

1. 物理学，二次函数可以描述抛体运动的轨迹。

2. 经济学，二次函数可以描述成本、收益、利润等经济指标随产量变化的关系。

3. 工程学，二次函数可以描述建筑物、桥梁等结构的受力情况。

4. 生活中，二次函数可以描述物体的运动轨迹、声音的传播等现象。

五、解二次函数的方法。

1. 因式分解法，当二次函数可以因式分解为两个一次因式的乘积时，可以通过因式分解的方法求解。

2. 公式法，利用二次函数的根的求解公式x = (-b±√Δ)/2a求解二次函数的零点。