确定二次的函数的表达式

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已知三点确定二次函数的表达式

解法一: 设所求二次函数关系式为：y = ax2+bx+c.
又抛物线过点（1，0），（3，0），（2，-1），
依题意得: a+b+c=0
a 1
9a+3b+c = 0 解得 b 4
4a + 2b + c=-1
c3
∴所求的函数关系式为
y x2 。4x 3
解法二 ∵点（1，0）和（3，0）是抛物线与x轴的两个交点， ∴设二次函数关系式为：y=a(x-1)(x-3), 又抛物线过点（2，-1）， ∴ -1=a（2-1)（2-3）解得a 1
确定二次函数的关系式
①设设二次函数的关系式 ②代将相关数值代入关系式得到方程或
方程组 ③解解方程或方程组得出待定系数的值 ④写写出该二次函数的关系式
例1：已知抛物线图象上三个点的坐标（1，0），（3，0），（2，-1）求二次函数关系式。
例1：已知抛物线图象上三个点的坐标（1，0），（3，0），（2，-1），求二次函数关系式。
小结：
如何选择不同形式的二次函数的关系式？
1.一般式：y ax2 bx c(a 0)
（已知抛物线上三点或三对x、y的值，用一般式.）
2．顶点式： y a x h2 k(a 0)
（已知抛物线的顶点或对称轴或最值，用顶点式.）
3．交点式： y a(x x1)(x x2 )(a 0)
求c的值
∴设二次函数的关系式为y=a(x-1)2+2
∵图象经过点（3，-6）
∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的关系式为y=-2(x-1)2+2
即： y=-2x2+4x

已知三点确定二次函数解析式

例题3.已知二次函数与X轴交与（-1,0），（3，0），且与y轴交与（0,6）求二次函数解析式
• 解：设二次函数解析式为y=a(x-x1)(x-x2), 因为与X轴交与（-1,0），（3,0）则x1=-1,x2=3,所以可得： y=a(x+1)(x-3) 把点（0,6）代入得6=a(0+1)(0-3) 得a=-2 所以二次函数解析式为y=-2(x+1)(x-3) 即y=-2x2+4x+6
议一议一个二次函数的图象经过A(0,1),B(1,2),C(2,1)，你能确定这个二次函数的表达式吗？你有几种方法？与同伴进行交流。
做一做 1.已知二次函数的图象经过(0,2),(1,0)和(-2,3)，求这个二次函数的表达式。
2.已知二次函数的图像经过（2,0）（-3,0）和（4，6），求这个二次函数的表达式。
a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7
2
a=2 解这个方程组得：b=-3 c=5
∴抛物线的解析式是 y=2x2-3x+5 3 2 31 ∵y=2x -3x+5=2(x- ) + 4 8 3 3 31 ∴抛物线的对称轴是 x= ，顶点坐标是（，） 4 4 8
例1.已知:抛物线y=ax2+bx+c过点（2，1）、（1，-2 ）（0， 5）三点，求抛物线的解析式.
解：把（2，1）、（1，-2）、（0，5）分别代 2 入抛物线 y=ax +bx+c 得：
4a+2b+c=1 a+b+c=-2 c=5 a=2 解这个方程组得：b=-12 c=5
已知三点确定二次

确定二次函数的表达式(第1课时)课件

2.3.1 确定二次函数的
表达式（第1课时）
学习目标
1.掌握由两点确定二次函数的表达式。
2.掌握用顶点法确定二次函数表达式。
3.掌握用交点法确定二次函数表达式。
复习回顾
二次函数y=a(x-h)2+k的性质
图象特征
二次函数
y=a(x-h)2+k
开口方向
a>0
a<0
向上
向下
对称轴
顶点
直线x=h
(h,k)
1
4
1
，
4
∴这条抛物线的表达式为：y= (x-4)2-1.
归纳总结
归纳总结
顶点法求二次函数的方法
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.
其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-h)2+k；
②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
自主合作，探究新知
解： ∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的
交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).
(其中x1、x2为交点的横坐标.因此得
y=a(x+3)(x+1).
再把点（0，-3）代入上式得 a(0+3)(0+1)=-3，
解得a=-1，
∴所求的二次函数的表达式是
y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.
y
2
1
O
-4 -3 -2 -1-1
-2
-3
-4
-5
1 2 x

2.3 确定二次函数的表达式(1)

0)，B(3，0)两点，； (2) 若直线 AM′ 与此抛物线的另一个交点为 C ，求△ CAB 的面积；
(2)是否存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点Q，
使得四边形 APBQ 为正方形？若存在，求出此抛物线的表达式；若不存在，请说明理由．
第2章二次函数
2．3 确定二次函数的表达式
第1课时已知图象上的两点求表达式
二次函数表达式有哪几种表达方式？一般式：y=ax2+bx+c 顶点式：y=a(x-h)2+k 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) 如何求二次函数的表达式？已知二次函数图象上三个点的坐标，可用待定系数法求其表达式.
2 ．已知抛物线y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的图象如图所示，则该抛物线的 y＝2(x－1)2 ．表达式为：______________
3 ．如图，已知二次函数 y ＝ x2 ＋ bx ＋ c 的图象经过点(－1，0)，(1，－2)，当y随
x的增大而增大时，x的取值范围是 1 x> _________ ． 2
• 3．已知二次函数图象的对称轴为直线x ＝1，最低点到x轴的距离为2，且其图象经过点(0，3)，求此函数的关系式．
例2、已知二次函数y=ax2+c的图象经过（2,3）和（-1，-3），求这个二次函数的表达式。
1 ．抛物线 y ＝ 2x2 ＋ bx ＋ c 与 x 轴交于 ( － 1 ， 0) ，
例1、一名学生推铅球时，铅球行进的高度y与水平距离x之间的关系如图所示，其中（4，3）为图象的顶点，你能求出y 与x之间的关系吗？
1、已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为
2 ．已知二次函数的图象经过点 ( － 1 ， 3) ，且它的顶点是原点，那么这个二次函数的

二次函数的表达式

y随x的增大而增大的是( C )
2.（莆田·中考）某同学用描点法画
y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时，列出如下表格:
x y 0 3 1 0 2 2 3 0 4 3
经检查，发现只有一处数据计算错误，请你写出这个二次函数的解析式 y=x24x+3 .
3.（潼南·中考）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（4,0），∠AOC= 60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC 的两边分别交于点M,N（点M在点N的上方），若△OMN 的面积为S，直线l的运动时间为t 秒（0≤t≤4）,则能大致反映S与t的函数关系的图象是(
y=2x2-3x+5.
y 【例2】已知抛物线的顶点为
-1
(-1，-3),与y轴交点为
(0，-5),求抛物线的解析式. 解析：设所求的二次函数为y=a(x＋1)2-3, 由点( 0,-5 )在抛物线上得： a-3=-5, 得a=-2，故所求的抛物线解析式为y=－2(x＋1)2-3.
o
-3
x
【规律方法】1.求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数a, b, c的值，由已知条件（如二次函数图象
【例题】
【例1】已知一个二次函数的图象过（－1，10），（1， 4），（2，7）三点，求这个函数的解析式.
解析：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c，
a=2, a-b+c=10，由条件得： a+b+c=4，解方程组得： b=-3, c=5. 4a+2b+c=7，
因此，所求二次函数的解析式是：

确定二次函数的表达式

【知识总结】1．抛物线c bx ax y ++=2，与x 轴的两个交点)0,(),0,(21x B x A ，则线段AB 的长为：aac b x x AB 4221-=-=． 2．二次函数解析式的三种形式：一般式：c bx ax y ++=2（c b a ,,为常数，0≠a ）交点式：()()21x x x x a y --=（0≠a ，21,x x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）顶点式：()k h x a y +-=2（k h a ,,为常数，0≠a ）3．抛物线c bx ax y ++=2与直线b kx y +=的交点的求法就是解方程组 ⎩⎨⎧+=++=bkx y c bx ax y 2的解y x ,的值分别作为交点的横纵坐标．4．已知抛物线c bx ax y ++=2，求其关于x 轴、y 轴、原点对称的抛物线的解析式．（1）抛物线c bx ax y ++=2关于x 轴对称的抛物线的解析式：c bx ax y ---=2（2）抛物线c bx ax y ++=2关于y 轴对称的抛物线的解析式：c bx ax y +-=2（3）抛物线c bx ax y ++=2关于原点对称的抛物线的解析式：c bx ax y -+-=25．c b a ,,符号的确定a 的符号：由开口方向决定：开口向上，0>a ；开口向下，0<a ． a 决定抛物线开口大小：a 越大开口越小，a 越小开口越大；a 相等则形状相同．b 的符号：b 与a 共同决定对称轴的位置，“左同右异”c 的符号：由抛物线与y 轴交点决定：交点在y 轴正半轴0>c ；交点在y 轴负半轴0<c ；抛物线过原点0=c ．且抛物线与y 轴交点坐标为（0，c ）6. 抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点个数由ac b 42-决定：⇔>-042ac b 抛物线与x 轴有两个交点；⇔=-042ac b 抛物线与x 轴有一个交点；⇔<-042ac b 抛物线与x 轴有无交点；例1、求解析式（1）二次函数的图象经过点（－3，2），（2，7），（0，－1），求其解析式．（2）已知抛物线的对称轴为直线x=－2，且经过点（－l ，－1），（－4，0）两点．求抛物线的解析式．（3）已知抛物线与 x 轴交于点（1，0）和(2，0)且过点 (3，4)，求抛物线的解析式．例2、已知抛物线y＝x2－2x－8，（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP 的面积．例3、已知二次函数2=-+，求分别满足下列条件的二次函数关系式365y x x（1）图像与抛物线2=-+关于x轴对称；365y x x（2）图像与抛物线2365=-+关于y轴对称；y x x（3）图像与抛物线2y x x=-+关于经过其顶点且平行于x轴的直线l对称。

确定二次函数的关系式.3确定二次函数的表达式

c 2
因此，所求的二次函数表达式是y=-3x2+4x+2
例2 已知三个点的坐标 P(1，-5)，Q（-1,3），M(2，-9) 是否有一个二次函数，它的图象经过这三个点？
解：设有二次函数y=ax²+bx+c，它的图象经过P,Q,M
三点，则得到关于a，b，c的三元一次方程组：
a b c 5, a b c 3, 4a 2b c 9.
归纳：若已知二次函数图象的顶点坐标和图象上的另外任意一点的坐标，可用顶点式求二次函数的表达式。
现学现用：
2、已知二次函数的顶点为A(1,-4)且过 B(3,0), 求二次函数解析式.
解：∵抛物线顶点为A(1,-4), ∴设抛物线解析式为y=a(x-1)2-4, 把点B（3，0）代入得0=4a-4, ∴a=1, ∴y=(x-1)2-4,即y=x2-2x-3
a 0 解得 b 4
c 1
因此，一次函数 y=- 4x-1 的图象经过P,Q,M三点.这说明没有一个这样的二次函数，它的图象经过P,Q,M三点.
归纳：
1、若已知二次函数图象上任意三个点的坐标，可用一般式求二次函数的表达式
2、例2表明：若给定共线三点的坐标，不能确定二次函数，而给定不共线三点的坐标，且它们的横坐标两两不等，则可以确定一个二次函数。
∴二次函数解析式为y=-x2+x+2
思考：除了上述方法外，你还能用其他的方法来求解吗？
课外拓展：二次函数的第3种表达式交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a ≠0),其中（x1 ,0）（ x2 ，0）
是二次函数图象与x轴的两个交点。当已知抛物线与x轴的两个交点或交点的横坐标时，通

确定二次函数的表达式l

求解二次函数的最值
01
二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 的最值可以通过公式 $frac{b}{2a}$ 求得。
02
当 $a > 0$ 时，二次函数开口向上，有最小值 $fleft( frac{b}{2a} right) = c - frac{b^2}{4a}$；当 $a < 0$ 时，二次函数开口向下，有最大值 $fleft( -frac{b}{2a} right) = c - frac{b^2}{4a}$。
THANKS
感谢观看
02
计算图形的面积
对于某些特定的几何图形，如抛物线与直线或坐标轴所围成的区域，可
以通过对二次函数进行积分来计算其面积。
03
解决最优化问题
在几何问题中，经常需要找到某个量的最大值或最小值，如抛物线的顶
点或两个点之间的最短距离等，这些问题可以通过对二次函数求导并令
其等于零来解决。
在物理问题中的应用
描述物体的运动轨迹
02
确定二次函数表达式的方法
配方法
将二次函数的一般式化为顶点式
通过配方，可以将一般式 $y = ax^2 + bx + c$ 化为顶点式 $y = a(x - h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是函数的顶点坐标。
确定顶点坐标和开口方向
由顶点式可以直接读出顶点坐标 $(h, k)$ 和开口方向（由 $a$ 的正负决定）。
开口向上，负系数开口向下。
02
根据题目条件，判断二次项系数的正负，从而确定抛
物线的开口方向。
03
若题目未给出二次项系数的正负，则需要通过其他条
件进行判断，例如顶点坐标、与坐标轴的交点等。

确定二次函数的表达式a已知图象上两点求表达式

又抛物线经过x轴上的点_(1_0_,0_),
代入可求出a=_－_112_,
因此该抛物线表达式为
3
•
y=－112(x－4)2＋3
4
•
随堂练习
1.已知二次函数的顶点是 (-1,1),且经过点(1,-3),求这个二次函数的表达式.
-(-1)
解：设函数表达y式 a为 (x1)2 1 将（1，- 3）代入函数表达式得： 4a13解a得 1
链接中考（备用）
1.已知二次函数图象的顶点坐标是(2,3),且经过点(-1,0), 求这个二次函数的表达式.
解:根据顶点(2,3),设y=a(x-2)2+3 又∵图象过点(-1,0) ∴(-1-2)2 a + 3 = 0 解得a= - 1/3
∴这个函数表达式为y=- 1/3 (x-2)2 + 3 一般形式为 y = - 1/3 x2 + 4/3 x + 5/3
a= 2
解这个方程组,得 c=-15 ∴所求一次函数表达式为:y=22x2-1- 5
做一做
已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标
为1,且经过点(2,5)和(-2,13),求这个二次
函数的表达式.
解:∵图象与y轴交点纵坐标为1,即c=1,
∴设y=ax²+bx+1
将点(2,5)和(-2,13)分别代入二次函数
1.一个字母系数 + 两个点
2.
解决,您能体会到求二次函数表达式采用的一般方法是什么? 待定系数法步骤: 设-列-解-答
(1)设二次函数的表达式； (根据条件可设一般式或顶点式) (2)根据图象或已知条件列方程(或方程组); (3)解方程(或方程组),求出待定系数； (4)答:写出二次函数的表达式.

北师版九年级数学下册_2.3确定二次函数的表达式

抛物线于点 H，则 yH＝－530×72＋6＝ 3.06>3.所以其中的一侧行车道能并排
行驶宽 2 m、高 3 m 的三辆卡车．
课堂小结
确定二次函数的表达式
确定二次函数的表达式
一般式顶点式交点式
关键已知条件的呈现方式
知2－练
感悟新知
知2－练
(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2 m 的隔离带)，其中的一侧行车道能否并排行驶宽2 m、高3 m 的三辆卡车(卡车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.
感悟新知
解：能. 理由如下：
知2－练
如图所示，设 DE 是隔离带的宽，EG 是三辆卡车的宽
度和，则点 G 的坐标是(7，0)．过点 G 作 HG⊥AB，交
4-1. 一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图所示)，拱高6 m，跨度是20 m，相邻两支柱间的距离均为5 m.
感悟新知
知2－练
(1)将抛物线放在直角坐标系中，并根据所给数据求出抛物线的函数表达式. 解：(答案不唯一)将抛物线放在如图所示的直角坐标系中，根据已知条件，知A，B，C三点的坐标分别是(－10，0)，(10， 0)，(0，6)．
1
标－2∵为x)－分3+517别(.－x722＜为+172(01xx，4)2+.－则∴2xxl当=，)=Ax－0D=)，+7722D(Cx时12+4+，C－2Bxlx+=有，1(4最－－=－大177 值72xx22+(+，x22－x最x ))72大+，)(值+1(x432，－5 .
2
感悟新知
知2－练
得5a＝5，解得a＝1，
∴y＝x(x－4)＝x2－4x，

【精选推荐】二次函数(确定二次函数的表达式)

∴二次函数的表达式为y=a(x-1)2+2, 将点(0,1)代入y=a(x-1)2+2, 得a=-1. ∴二次函数的表达式为y=-(x-1)2+2,即y=-x2+2x+1.
解法3:设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,将点(0,1),(1,2)和(2,1)分别代
入y=ax2+bx+c,
得 1 c，
因为只有一个系数a是未知
的,所以只需要知道图象上
一个点的坐标即可.
(2)形如y=a(x-h)2和
y=ax2+k的二次函数,有两个
系数是未知的,所以需要知
解:∵(4,3)是抛物线的顶点坐标,∴设二次
函数表达式为y=a(x-4)2+3,
把点(10,0)代入y=a(x-4)2+3,解得a= 1 , 12
因此铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)
2=3x2-6x+1.故选B.
2. 二次函数的图象如图所示,则它的解析式正确的是( D )
A.y=2x2-4x
B.y=-x(x-2)
C.y=-(x-1)2+2
D.y=-2x2+4x
解析:根据图象得:抛物线的顶点坐标为 (1,2),设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+2,将 (2,0)代入解析式,得0=a+2,解得a=-2,则抛物线解析式为y=-2(x-1)2+2=-2x2+4x.故选D.
第二章二次函数
学习新知
检测反馈
学习新知
生活中有很多类似抛物线形状的建筑物,如果你是设计师,你能设计出这些建筑物吗?
初步探究确定二次函数表达式所需要的条件

二次函数的三种表示方式

二次函数的三种表示方式1．二次函数的一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2．二次函数的顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有ax2＋bx＋c＝0．①并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac存在下列关系：（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立．（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立．（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则Δ＜0也成立．于是，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以x 1＋x2＝，x1x2＝，即＝－(x1＋x2)，＝x1x2．所以，y＝ax2＋bx＋c＝a( )= a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]＝a(x－x1) (x－x2)．由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)．这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3．二次函数的交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．。

2.3确定二次函数的表达式

想一想
确定二次函数的表达式需要几个条件？与同伴交流.
二次函数有如下三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）
（2）顶点式：y=a(x-h)2+k (a≠0）
（3）两根式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0）
例1 已知二次函数y=ax2+c的图象经过点（2， 3）和（-1，-3），求这个二次函数的表达式.
2 已知二次函数y=ax +bx+c图象
上的三个点，可以确定这个二次函数的表达式吗？
Hale Waihona Puke 例2 已知二次函数的图象经过（-1，10），（1，4），（2，7）三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标. 解：设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c. 将三点（-1，10），（1，4），（2，7）的坐标分别代入表达式，得
2.3确定二次函数的表达式
学习方法报数学周刊
内容回顾
二次函数的意义
用描点法画出二次函数的图象
从图象上认识二次函数的性质
确定二次函数的顶点、开口方向和对称轴
解决简单的实际问题
定义：一般地，形如 y=ax² +bx+c (a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数.
一名学生推铅球，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系如图所示，你能求出y与x之间的关系式吗？
所以这个二次函数的表达式为y=2x2-2x+1.
想一想
在什么情况下，已知二次函数图象上两点的坐标就可以确定它的表达式？二次函数y=ax2+bx+c可化为： y=a（x-h)2+k, 顶点是（h,k).如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式. 已知二次函数y=ax2+bx+c中一项系数，再知道图象上两的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式.

对称轴公式二次函数表达式

对称轴公式二次函数表达式
对称轴公式是用来确定二次函数的对称轴的一种方法。

二次函数的一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，x为自变量，y为因变量。

对称轴公式的形式为x = -b/2a。

它给出了二次函数的对称轴的x坐标。

具体解释如下：
1. 获取二次函数的系数：根据给定的二次函数表达式，确定a、b、c 的值。

2. 计算对称轴的x坐标：将b和a带入对称轴公式x = -b/2a中，进行计算。

3. 解释对称轴的意义：对称轴是二次函数图像的一条垂直线，将二次函数图像分为两个完全对称的部分。

对称轴的x坐标表示图像左右对称的中心点。

在对称轴上的任意一点，其对应的y值与它的对称点的y值相等。

需要注意的是，对称轴公式适用于所有二次函数，无论其开口向上还是向下。

它是一种简单而有效的方法来确定二次函数图像的对称轴位
置。

确定二次函数表达式(已知三个条件)

确定二次函数的表达解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达方式.
上时，ON=t，MN= 3t，所以S= 3 t2（0≤t≤2）；当点M在AB上时，MN的
2
值不变为 2 3，所以S= 3t（2≤t≤4），故选C.
你学到哪些二次函数表达式的求法？（1）已知图象上三点的坐标或给定x与y的三对对应值，通常选择一般式. （2）已知图象的顶点坐标,对称轴和最值,通常选择顶点式. （3）已知图象与x轴的交点坐标,通常选择交点式.
【跟踪训练】
（西安·中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过
A（-1，0），B（3，0），C（0，-1）三点.
求该抛物线的表达式.
y
【解析】设该抛物线的表达式为y=ax2+bx+c,
根据题意，得
a b c 0, 9a 3b c 0, c 1.
a

1 3
【例题】
【例1】已知一个二次函数的图象过（－1，10），（1， 4），（2，7）三点，求这个函数的表达式.
解析：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c，
a-b+c=10，
a=2,
由条件得： a+b+c=4，解方程组得： b=-3,
4a+2b+c=7，
c=5.
因此，所求二次函数的表达式是
y=2x2-3x+5.
3 确定二次函数的表达式
1.会用待定系数法确定二次函数的表达式. 2.会求简单的实际问题中的二次函数表达式.
二次函数表达式有哪几种表达方式？一般式：y=ax2+bx+c 顶点式：y=a(x-h)2+k 交点式：y=a(x-x1)(x-x2)

2.6确定二次函数的表达式

向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
增减性最值
当x=h时,最小值为k.
当x=h时,最大值为k.
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值根据图形填表：抛物线
y=ax2+bx+c(a>0)
练习
3.写出一个图象经过原点的二次函数的表达式
y=x2 .
评注:图象经过原点的二次函数的表达式是 y=ax2和y=ax2+bx(a≠0)
4.顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）的抛物线的解析式为。
练习
5.抛物线y=－x2－2x＋m，若其顶点在轴上，则 m= -1 .
6.已知二次函数y=3(x－1)2+4，当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小?
鲁教版九上·§2.6
2.5确定二次函数的表达式
复习内容
二次函数的意义
确定二次函数的表达式
用描点法画出二次函数的图象
从图象上认识二次函数的性质

确定二次函数的顶点、开口方向和对称轴
解决简单的实际问题
定义：一般地，形如 y=ax² +bx+c (a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数.
1 市时间x(单位:天)的关系是y2= (x-150)2+100．如 200
图3-16所示．
典型例题
(1)写出y1与x之间的关系式；＝＝＝
＝－ +
(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大?
解：
－

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确定二次的函数的表达式知识点1 用一般式确定二次函数表达式1.已知抛物线上的三点坐标，可以设函数解析式为)0(2≠++=a c bx ax y ，代入后得到一个三元一次方程，解之即可得到c b a ,,的值，从而求出函数解析式，这种解析式叫一般式.2.用待定系数法确定二次函数表达式的一般步骤：步骤一：设含有待定系数的二次函数表达式y =ax 2+bx +c (a ≠0)；步骤二：将题设中满足二次函数图象的点代入所设表达式，得到关于待定系数a 、b 、c 的方程组；步骤三：解这个方程组，得到待定系数a 、b 、c 的值；步骤四：将待定系数的值代入表达式，得到所求函数表达式.例1.已知二次函数的图象经过点(0,3)，(−3,0)，(2,−5)，且与x 轴交于A 、B 两点。

(1)试确定此二次函数的解析式； (2)求出抛物线的顶点C 的坐标；(3)判断点P (−2,3)是否在这个二次函数的图象上?如果在，请求出△P AB 的面积；如果不在，试说明理由。

例2.抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过(0，0)，(12，0)，(6，3)三点，则此抛物线的表达式是 .知识点2 用顶点式确定二次函数表达式已知二次函数的顶点坐标为（h ,k ）的话，可以设成顶点式：y =a (x -h )2+k （a 、h 、k 为常数且a ≠0）然后再找一点带入二次函数的顶点式，即可求得a 的值，最后回代到顶点式即可（提示：最后一般要把二次函数的解析式化成一般式）。

例1.已知抛物线y =ax 2+bx +c 的图象顶点为(−2,3)，且过(−1,5)，则抛物线的表达式为______. 例2.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x =2时，y 有最大值4，且过(1，2)点，此抛物线的表达式为 .例3.有一个二次函数，当x ＜-1时，y 随x 的增大而增大；当x ＞-1时，y 随x 的增大而减小；且当x =-1时，y =3，它的图象经过点（2，0），请用顶点式求这个二次函数的表达式.例4.由表格中的信息可知，若设y ＝ax 2＋bx ＋c ,则下列y 与x 之间的函数表达式正确的（）A . y ＝x 2－x ＋4B . y ＝x 2－x ＋6 C . y ＝x 2＋x ＋4 D . y ＝x 2＋x ＋6例5. 已知函数抛物线的顶点坐标为(-3，-2)，且过点(1，6)，求此抛物线的解析式。

知识点3 用交点式确定二次函数表达式如果知道抛物线与x 轴的两个交点坐标分别为A （x 1,0）和B （x 2,0）两点，这时可以设二次函数的解析式是))((21x x x x a y --=，这种形式，我们称为二次函数的交点式。

设出交点式后，只需再找出二次函数图象上的一点，把它带入二次函数的交点式，解方程即可求得a 的值，最后回代到交点式即可（提示：最后一般要把二次函数的解析式化成一般式）。

例1.抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过(-3，0)，(1，0)两点，与y 轴的交点为(0，4)，则该抛物线的表达式为．例2.抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴的两个交点为（-1，0），（3，0），其形状与抛物线y =-2x 2相同，则y =ax 2+bx +c 的函数表达式为_______________.例3.已知二次函数y =x 2+bx +c 的图象经过点A （-1，0），B （1，-2），该图象与x 轴的另一个交点为C ，则AC 长为_______.例4.已知二次函数y ＝2316x bx c -++的图象经过A （0，3），B （－4，92-）两点．（1）求b ，c 的值；（2）二次函数y ＝2316x bx c -++的图象与x 轴是否存在公共点？若有求公共点的坐标；若没有，请说明理由．二次的函数的应用利用二次函数求图形的最大面积销售中的最大利润二次函数中的实际应用综合知识点1 利用二次函数求图形的最大面积1.矩形的一边长为l m ，则另一边长为?矩形的面积S 怎样表示?2. 本题中有几个变量?分别是?S 是l 的函数吗?l 的取值范围是什么?3. 利用什么知识来确定l 是多少时S 的值最大？4.不规则图形的面积如何求:割补法、铅垂线法、等积法等。

例1.如图，利用一面长为34米的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏）．设矩形ABCD的边AD长为x米，AB长为y 米，矩形的面积为S平方米，且x＜y．（1）若所用铁栅栏的长为40米，求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）在（1）的条件下，求S与x的函数关系式，并求出怎样围才能使矩形场地的面积为192平方米？知识点2 销售中的最大利润复习回顾一下商品销售中的各个相关量以及它们之间的数量关系利润＝售价－进价＝进价×利润率利润率＝售价进价进价×100%＝利润进价×100%打折销售中的售价＝标价（定价）×打折数×0.1售价＝成本＋利润＝成本×（1＋利润率）利息＝本金×利率例1.某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出400千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．（1）当每千克涨价为多少元时，每天的盈利最多？最多是多少？（2）若商场只要求保证每天的盈利为4420元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价为多少元？例2.东坡商贸公司购进某种水果的成本为20元/kg ，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p (元/kg )与时间t （天）之间的函数关系式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+≤≤+=)4825(4821-)241(3041为整数，为整数，t t t t t t p ，且其日销售量y (kg )与时间t （天）的关系如下表：时间t （天） 1 3 6 10 20 30 … 日销售量y (kg )1181141081008040…（1）已知y 与t 之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少？（2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？例3.某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售那么半月内可售出400件，根据销售经验，推广销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件。

(1)销售单价提高多少元，可获利4480元。

例4.某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某产品种蜜柚．到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销量y (千克)与销售单价x (元/千克)之间的函数关系如图所示．（1）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？随堂练习题1．（2015河北唐山）如图，是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x 轴一交点为A （3，0），则由图象可知，不等式ax 2+bx+c ＜0的解集是．2．（2015福建莆田升学）用一根长为32cm 的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是 cm 2．3．（2015江苏常熟期末）正方体的表面积S(cm 2)与正方体的棱长a(cm)之间的函数关系式为．6、（2017·丽水）将函数y=x 2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A （1,4）的方法是（）A 、向左平移1个单位B 、向右平移3个单位C 、向上平移3个单位D 、向下平移1个单位7.（2015·湖南省益阳市）若抛物线y =（x ﹣m ）2+（m +1）的顶点在第一象限，则m 的取值范围为（）A ． m ＞1B ． m ＞0C ． m ＞﹣1D ． ﹣1＜m ＜08．(2015•江苏苏州)若二次函数y =x 2＋bx 的图像的对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程x 2＋bx =5的解为A ．120,4x x ==B ．121,5x x ==C ．121,5x x ==-D ．121,5x x =-=9．（2015•广东梅州,）对于二次函数y =﹣x 2+2x ．有下列四个结论：①它的对称轴是直线x =1；②设y 1=﹣x 12+2x 1，y 2=﹣x 22+2x 2，则当x 2＞x 1时，有y 2＞y 1；③它的图象与x 轴的两个交点是（0，0）和（2，0）；④当0＜x＜2时，y＞0．其中正确的结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．410．（2015•四川广安）如图，抛物线y=ax2+bx+c（c≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），且顶点在第四象限，设P=a+b+c，则P的取值范围是（）A．﹣3＜P＜﹣1 B．﹣6＜P＜0 C．﹣3＜P＜0 D．﹣6＜P＜﹣311.（2015•广东梅州,）九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：售价（元/件）100 110 120 130 …月销量（件）200 180 160 140 …已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元．（1）请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是元；②月销量是件；（直接写出结果）（2）设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？。