数学分析试卷A

通化师范学院考试试题参考答案及评分标准试卷代号（数学—001—A ） 考试科目：数学分析I考试专业：数学与应用数学、信息与计算科学 考试年级：大一 考试学期：秋季学期本参考答案共（3）页………………………………………………………………………………………………………一、填空题（每小题2分，共10分）1.0,1； 2．1； 3．dx x x x x )2cos 22sin 2(2+； 4．t a b cot -； 5．]23,(-∞或)23,(-∞. 二、单项选择题（每小题2分，共10分）1.C;2.A;3.D;4.B;5.D三、判断题 （每小题2分，共10分，在对的后面划∨，在错的后面划×）1. ∨；2. ∨；3. ×；4. ×；5. ∨四、计算题（每小题5分，共20分）1.求极限)122(lim n n n n ++-+∞→.解:)112(lim )122(lim n n n n n n n n n ++-+-+=++-+∞→∞→ .011lim 121lim =++-+++=∞→∞→n n n n n n （5分）2.求极限2132lim 31x x x x -→+∞+⎛⎫ ⎪-⎝⎭. 解:2132lim 31x x x x -→+∞+⎛⎫ ⎪-⎝⎭2311332332lim 13131x x x e x x --→+∞⎧⎫+⎪⎪⎡⎤⎛⎫=+⋅=⎨⎬ ⎪⎢⎥--⎣⎦⎝⎭⎪⎪⎩⎭. （5分）3.设,)2(sin x x y =其中0>x ,求y '.解:()())sin 2ln (cos )2(2ln sin sin 2ln sin 2ln sin xx x x x x x e e y x x x x x +⋅='⋅='='. （5分） 4.设x x x f sin )(3=,求)()2009(x f .解:令3)(,sin )(x x v x x u ==.由于)2sin()()(πn x x u n +=,)4(0)(,6)(,6)(,3)()('''''2'≥====n x v x v x x v x x v n . （1分） 应用莱布尼茨公式)2009(=n 得++++=)22008sin(3)22009sin()(1200923)2009(ππx C x x x x f )22006sin(6)22007sin(63200922009ππ+++x C x xC x x x x x x x sin 200720082009cos 200820093sin 20093cos 23⨯⨯-⨯⨯-⨯+=（4分）五、证明题（每小题10分,共50分）1.用“N -ε”定义证明11lim =+∞→n n n . 证明:对任给0>ε,要使 ε<+=-+1111n n n ， 只须11->εn .令11+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=εN ,（5分）则当N n >时有ε<-+11n n .因此11lim =+∞→n n n .（5分） 2.用“δε-”定义证明424lim 22=--→x x x . 证明:由于当2≠x 时,2424242-=-+=---x x x x ,（2分） 故对任意给定的0>ε,只要取εδ=,（4分）则当δ<-<20x 时有ε<---4242x x .这就证明了.424lim 22=--→x x x (4分) 3.根据柯西准则叙述lim ()x f x →+∞不存在的充要条件,并应用它证明lim cos x x →+∞不存在.证明:(1)设函数()f x 在()U +∞内有定义,则lim ()x f x →+∞不存在的充要条件是:存在某个 00ε>,对于任何正数0M >,总存在,()x x U '''∈+∞,有,x x M '''>,但是0)()(ε≥''-'x f x f .（4分）(2) 取012ε=,对任意正数0M >,取1][+=M n 及2x n π'=,22x n ππ''=+ ,则 ,x x M '''>,但0|()()||cos cos ||cos 2cos(2)|12f x f x x x n n πππε''''''-=-=-+=>. 所以,lim cos x x →+∞不存在.（6分） 4.证明:)0()(≠+=a b ax x f 在),(+∞-∞上一致连续.证明:任给0>ε,由于,)()(''''''x x a x f x f -=-故可选取a εδ=,（5分）则对任 何),(,'''+∞-∞∈x x ,只要δ<-'''x x ,就有ε<-)()('''x f x f .这就证得b ax x f +=)(在),(+∞-∞上一致连续.（5分）5.设)(x f 为],[b a 上二阶可导函数,0)()(==b f a f ,并存在一点),(b a c ∈使得0)(>c f .证明至少存在一点),(b a ∈ξ,使得0)(<''ξf .证明:因为)(x f 在],[b a 上二阶可导⇒)(x f 在],[],,[b c c a 上均二阶可导,由拉格朗日中值定理推得存在,,11c a <<ξξ使,0)()()(1>--='ac a f c f f ξ 存在,,22b c <<ξξ使.0)()()(2<--='c b c f b f f ξ（6分） 而)(x f '在),(],[21b a ⊂ξξ可导,同样推得.0)()()(1212<-'-'=''ξξξξξf f f （4分）。

2019-2020本科数学系期末考试试题数学分析（一）（A 卷）本试卷共4道大题，满分100分．一、选择题（本大题10分，每小题2分）1. 设数列{}n x 单调增，{}n y 单调减，且0lim =−∞→n n n x y ，则（ A ）（A ）{}n x 、{}n y 均收敛 （B ）{}n x 收敛，{}n y 发散 （C ）{}n x 发散，{}n y 收敛 （D ）{}n x 、{}n y 均发散2. 设函数)(1)(3x x x f ϕ−=，其中)(x ϕ在1=x 处连续，则0)1(=ϕ是)(x f 在1=x 处可导的( A )（A ）充分必要条件 （B ）必要但非充分条件（C ）充分但非必要条件 （D ）既非充分也非必要条件 3. 设0()0f x '=是)(x f 在0x 取得极值的（ D ）（A ）充分条件； （B ）必要条件； （C ）充要条件； （D ）既非充分条件也非必要条件.4. 设()353−=x y ，下述结论正确的是（ A ）（A ）()0,3是曲线)(x f y =的拐点； （B ）3=x 是)(x f 的极值点； （C ）因为)3(f ''不存在，所以()0,3不是曲线)(x f y =的拐点；（D ）当3<x 时，曲线)(x f y =为凹的，当3>x 时，曲线)(x f y =为凸的.5. 设xe e xf xx1arctan 11)(11+−=，则0=x 是)(x f 的（ C ）（A ）连续点 （B ）第一类（非可去）间断点 （C ）可去间断点 （D ）第二类间断点6. 设)(x f y =且21)(0='x f ，则当0>∆x 时，在0x 处dy 是（ B ） (A) 与x ∆等价的无穷 (B) 与x ∆同阶但不等价的无穷小； (C) 比x ∆高阶的无穷 (D) 比x ∆低阶的无穷小 二、填空题（本大题10分，每小题2分）1. 若)(0x f '存在，则=−−→000)()(limx x x f x x xf x x 000()()f x x f x '−．2. 曲线21xy xe =的渐近线方程是 0x =．3. 设⎪⎩⎪⎨⎧==te y t e x ttcos 2sin ，则曲线上点(0,1)M 处的法线方程是12=+y x ．4. 设x x x f 2sin )(2=，则)2()20(πf = 19202π⋅ ．三、计算题（本大题35分，每小题5分）1.（5分）求极限20sin )1()cos 1(limx e x x x x −−→答案与评阅要点：由于 0→x 时，2~cos 12x x − ，22~sin x x ，x e x ~1−所以 21)(2lim sin )1()cos 1(lim 22020−=⋅−⋅=−−→→x x x x x e x x x x x2.（5分）求极限()tan 2lim sin xx x π→；答案与评阅要点： 令()tan sin xy x =,ln tan ln sin y x x =.22221cos ln sin sin lim ln lim lim cot csc x x x xx x y x x πππ→→→⋅==−2lim sin cos 0x x x π→=−⋅=，所以 原式=01e =. 3.（5分）求极限30sin (1)lim x x e x x x x→−+ 答案与评阅要点：2331()2!3!xx x e x o x =++++，33sin ()3!x x x o x =−+3333001()sin (1)16lim lim 6xx x x o x e x x x x x →→+−+== 4.（5分）计算不定积分33tan sec x xdx ⎰答案与评阅要点：⎰xdx x 33sec tan ⎰=x xd x sec sec tan 22⎰−=x xd x sec sec )1(sec 22.sec 31sec 5135C x x +−=5.（5分）计算不定积分⎰+−dx xx xx 5cos sin sin cos答案与评阅要点：⎰+−dx xx xx 5cos sin sin cos ⎰++=5cos sin )cos (sin x x x x d .)cos (sin 4554C x x ++=6.（5分）计算不定积分⎰−dxxx 224答案与评阅要点：设2sin ()22x t t ππ=−<<，则2cos .dx tdt =⎰−dx xx 224⎰=tdt t tcos 2cos 2sin 42dt t ⎰−=)2cos 1(2C t t +−=2sin 2 .4212arcsin22C x x x +−−=7.（5分）计算不定积分⎰xdx x ln 3答案与评阅要点：⎰xdxx ln 3⎰=)4(ln 4x xd ⎰−=dx x x x 3441ln 41.161ln 4144C x x x +−=四、证明题（本大题45分）1.(10分)设函数()f x 在],[b a 上二阶可导，0)()(='='b f a f ．证明存在一点),(b a ∈ξ，使得)()()(4)(2a fb f a b f −−≥''ξ．答案与评阅要点：因为2()()()()()()2222a b a b f a bf f a f a a a ξ''+++'=+−+−1()2a b a ξ+<< 2()()()()()()2222a b a b f a bf f b f b b b ξ''+++'=+−+−2()2a b b ξ+<<（5分） 两式相减，因为0)()(='='b f a f ，得2211()()[()()]()08f b f a f f b a ξξ''''−+−−=，记12()max{(),()}f f f ξξξ''''''=，则2222112111()()()()()(()())()()()884f b f a f f b a f f b a f b a ξξξξξ''''''''''−=−−≤+−≤−即)()()(4)(2a fb f a b f −−≥''ξ，证明完毕．（5分）2.(10分)证明数列{}n x 收敛，其中11x =，113()2n n nx x x +=+，1,2,n =，并求lim n n x →∞．答案与评阅要点：1131()22n n n x x x +=+≥=，21313()022n n n n n n nx x x x x x x +−−=+−=≤，故有1n n x x +≤（5分）故{}n x 单调减有下界，从而lim n n x →∞存在设lim n n x A →∞=，在113()2n n nx x x +=+两边取极限得13()2A A A =+，从而A =5分）3.（15分）设函数()f x 定义在区间(,)a b 上：（1）（5分）用εδ−方法叙述()f x 在(,)a b 上一致连续的概念； （2）（5分）设01a <<，证明1()sin f x x=在(,1)a 上一致连续； （3）（5分）证明1()sinf x x=在(0,1)上非一致连续． 答案与评阅要点：（1）对0ε∀>，0δ∃>，对12,(,)x x a b ∀∈，只要12x x δ−<，就有12()()f x f x ε−<（5分）（2）对0ε∀>，取2a δε=，12,(,1)x x a ∀∈，只要12x x δ−<，12121212111111()()sinsin 2cos sin 22x x x x f x f x x x +−−=−= 121222121211x x x x x x x x a a δε−−≤−=<<=故1()sinf x x=在(,1)a 上一致连续．（5分） （1）在(0,1)内取2n x n π=，2(1)n x n π'=+，取012ε=，对0δ∀>，只要n 充分大总有2(1)n n x x n n δπ'−=<+，而1201()()sin sin 122n n f x f x ππε+−=−=>，故1()sinf x x=在(0,1)非一致连续．（5分） 4.（10分）(1)（5分）叙述函数极限lim ()x f x →+∞的归结原则，并应用它lim sin x x →+∞不存在． (2)（5分）叙述极限lim ()x f x →+∞存在的柯西收敛准则;并证明lim sin x x →+∞不存在.证明：(1)设()f x 在[,)a +∞有定义．lim ()x f x →+∞存在的充分必要条件是：对任意含于[,)a +∞,当lim n n x →∞=+∞时当lim n n x →∞=+∞时且趋于+∞的数列{}n x ，极限lim ()n n f x →∞存在且相等．取2,2,2n n x n x n πππ'''==+则lim lim 2,n n n x n π→∞→∞'==+∞lim lim(2),2n n n x n ππ→∞→∞''=+=+∞但lim ()lim sin(2)0,n n n f x n π→∞→∞'==lim ()limsin(2)1,2n n n f x n ππ→∞→∞''=+=lim ()lim (),n n n n f x f x →∞→∞'''≠故lim ()x f x →+∞不存在．（5分）(2)设函数()f x 在[,)a +∞有定义,则极限lim ()x f x →+∞存在的充要条件是:对于任何0,ε>存在正数0(),M M a >>当12,x x M >时有12|()()|.f x f x ε−<对于012ε=及任意正整数M,取122,2,2x M x M πππ=+=则有1,x M >2,x M >且有1201|()()|sin 2sin 21,22f x f x M M πππε⎛⎫−=+−=>= ⎪⎝⎭所以lim sin x x →+∞不存在.（5分）试题来源：微信公众号 学术之星。

《数学分析Ⅰ》试卷（A ）一、是非题（共30分，每题3分）1．无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量。

（ ）2．设E 是有界数集，{}.sup E x x ∈=β 若,'ββ< 则'β不是E 的上界。

（ ）3．设()x f 在0x 连续且(),00>x f 则存在()δ,0x O ，其内()0>x f 。

（ ） 4．{}n x 是无穷大量的充要条件是{}n x 无界。

（ ）5．当∞→n 时，,n e ,10n ()100ln n 中趋于无穷的速度最快的是ne 。

（ ）6．若()x f 在()b a ,内可微，则它在()b a ,内连续。

（ ）7．若()x f 在[]b a ,可微， ()b a x ,0∈是()x f 的极值点，则()0'0=x f 。

（ ） 8．若()x f 在()δ,0x O 内单调有界，则()x f x x 0lim →存在。

（ ）9．若()x f 在X 上有有界导函数，则它在X 上一致连续。

（ ）10.闭区间集合[]{}n n b a ,满足：,11n n n n b b a a ≤<≤++ ,,2,1 =n 则n n a ∞→lim 和 n n b ∞→lim 都存在。

（ ）二、填空题（共15分，每小题3分）11．若+∆=∆x A y ，其中A 不依赖于,x ∆ 则称()x f y =在x 点可微。

12.()()12-=x x x f 的不可导点为 。

13.=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n 22212111lim 。

14.=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++→xxxx x e e e sin 13203lim 。

15.x sin 在0=x 的泰勒公式是 。

三、计算题（共15分，每小题3分） 16.()(),22x v x u y += 求'y 。

17.,1arcsin 2x y -= 求'y 。

18. 设,sin cos ⎩⎨⎧==te y t e x tt 求dx dy。

数学分析期末试题A答案doc2024年数学分析期末试题A及答案一、选择题1、以下哪个函数在 x = 0 处连续？ A. $f(x) = x^2$ B. $f(x) = \frac{1}{x}$ C. $f(x) = sin x$ D. $f(x) = e^x$ 答案：D解析：在 x = 0 处，只有选项 D 中的函数 e^x 是连续的。

因此，答案为 D。

2、设 $f(x) = x^2$，则 $f(3x - 2) =$ __________。

A. $x^2$ B. $(3x - 2)^2$ C. $(3x - 2)^3$ D. $(3x - 2)^2 + 1$ 答案：B解析：将 $x$ 替换为 $3x - 2$，得 $f(3x - 2) = (3x - 2)^2$。

因此，答案为 B。

3、下列等式中，错误的是： A. $\int_{0}^{1}x^2dx =\frac{1}{3}x^3|{0}^{1}$ B. $\int{0}^{\pi}\sin xdx = \cosx|{0}^{\pi}$ C. $\int{0}^{2\pi}\sin xdx = 0$ D.$\int_{0}^{1}(2x + 1)dx = (x^2 + x)|_{0}^{1}$ 答案：A解析：等式两边取极限，只有 A 选项等式两边不相等，因此 A 选项是错误的。

4、下列哪个导数是常数函数？ A. $y = x^3$ B. $y = \sin x$ C. $y = e^x$ D. $y = log_a(x)$ 答案：C解析：常数函数的导数为零。

在选项中，只有 C 中的函数 e^x 的导数为常数函数，其导数为 $e^x$。

因此，答案为 C。

高一生物期末考试试题及答案doc高一生物期末考试试题及答案doc高一生物期末考试是一次重要的学业水平测试，旨在考察学生在本学期学习生物课程的效果。

以下是本次考试的部分试题及其答案，供大家参考。

一、选择题1、下列哪一种生物不是由细胞构成的？ A. 细菌 B. 植物 C. 动物D. 病毒答案：D2、哪一个器官属于消化系统？ A. 口腔 B. 食道 C. 胃 D. 大肠答案：C3、在光合作用中，哪一个物质是植物从空气中吸收的？ A. 氧气 B. 二氧化碳 C. 葡萄糖 D. 水答案：B二、填空题1、病毒是一种生物，但它不能 _______ 和保持生命活动，必须_______ 在细胞内。

学习资料收集于网络，仅供参考2007-2008学年第一学期期末数学分析（1）考试试题（A 卷）参考答案及评分标准、判断题（本题共 10小题，每小题2分，共20分）1. X2. X3. V4. X5. V6.、填空题（本题共 8小题，每空2分，共20分） 1.f (n 1)(. )+ ------ ( (x -x o )n* ,:介于 x 与x o 之间. (n 1)!三、计算题（本题共 5小题，第1—4小题每题5分，第5小题10分，共30分）3.(6)1. 设y = x e ,试求y .解基本初等函数导数公式，有(x 3) =3x 2,(x 3) =6x,(x 3) =6,(x 3)(k)=0, k =4,5,6, (e x 严=e x ,k =1,2,111,6,应用莱布尼兹公式（n =6）得(6)3 x2 xxxy x e 6 3x e 15 6xe 20 6e32x=(x 18x 90x 120)e .2. 4 co sx2- s x2e 2叫23. e x f( f( e)) f(x e ) 4. 6 (x - 1) 5. -In二.6. 0, 17. y =x , y - -xx 7. V 8. x 9. V 10. xf (n) (Kn)nf(x)=f(x o ) f(x o )(x -x o )中^r (x -x o )8.学习资料收集于网络，仅供参考x = a（t -sint）,2.试求由摆线方程《所确定白^函数y=f（x）的二阶导数.y = a（1 - cost）学习资料收集于网络，仅供参考dy (a(1 - cost)) dx (a(t-sint))sint x t ------ 二 cot 一，1 - cost 2…t1 2t 2I cotcsc _dy 2 2 22 一 _ .一dx (a(t-sint)) a(1 -cost) 1 4 t——csc - ....................... .......4a 23.试求f (x) =ln(1 +x 2)到x 6项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式 解因为2 3. x x 3ln(1+x)=x ———+—+o(x ),.......2 3所以f(x) =ln(1 +x 2)到x 6项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式为4622x x 6ln(1 x )= x -——一■ o(x ).2 34. 试求极限 解通分后连续使用两次洛必达法则，得 x e - x -1xx(e -1)x e -1 e x(x 1)-1 xelim - ---- x 山 e x(x - 2)3分2分3分2分-- 3 2 5.试求函数y ^2x -9x +12x|在［-1,3］上的最值和极值解 32y 二|2x -9x 12x|一 2_ 一二|x(2x -9x 12) |I x(2x 2 -9x 12), -1 < x < 0,一 2x(2x -9x 12), 0 二 x <3,在闭区间［-1,3］上连续，故必存在最大最小值.-6x 2 18x-12, 6x 2 -18x 12 -6(x-1)(x-2), 6(x-1)(x-2),令y' = 0,得稳定点为x=1,2.又因 匚(0) =—12, f ；(0) =12,故y 在x = 0处不可导.列表如下所以x = 0和x = 2为极小值点，极小值分别为 f (0) = 0和f (2) = 4 , x = 1为极大值点f(1)= 5.又在端点处有f (-1) = 23 , f (3) = 9,所以函数在x = 0处取最小值0,在x = -1处取最大值................................ 2分四、 证明题(本题共3小题，每小题10分，共30分).21 .证明不等式e x>1 +x+— (x>0) 22、一人vx一证令 f (x) =e 一一 -x -1 , x >0, 2f (x) = e x- x -1, x 0 f (x) -e x-1 0 , x 0,且 f(0) = f (0) =0,............................. 3 分当x A0时有f "(x) >0,所以f'(x)严格递增， 又f (x)在x=0处连续，所以f (x) > f (0) =0, x >0, ................................ 3 分-1 < x :二 0, 0 x <极大值为23.所以f(x)严格递增，又f(x)在x = 0处连续，所以f (x) > f (0) =0, x>0, ................................ 3 分x x2即e >1+x + ——,x >0. ............................. 1 分22.设f为(血，十a)上的连续函数，对所有x, f (x) >0 ,且lim f (x) = lim f (x) =0 ,证明f (x)必x ；：：x :.能取到最大值.证由题设f(0)>0,取8=*0■，由lim f(x) = lim f (x) = 0，m X >0,当| x |A X 时，2 x『二xf(x)<S<f(0). ................................ 4 分又f在［-X , X ］上连续，由闭区间上连续函数的最大、最小值定理知，f在［-X, X］能取到最大值................................ 4分且此最大值为f在(—叫+如)上的最大值. .................................. 2分3.若函数f(x)在［0,1］上二阶可导，且f(0)=0, f(1) = 1, f'(0)= f'(1) = 0,则存在c^(0,1)使得|f (c)|_2.证法一：v x w (0,1),把f (x)在0, 1两点处分别进行泰勒展开到二阶余项，有f ( J 2f (x) =f(0) f (0)(x-0) ^^x ,f , 0； 1 <x- <1,f(x) =f(1) f (1)(x-1) -4^(x-1)2,2!上两式相减，有f ( 1) f ( 2)(x-1)2.记| f ”(c)尸max{| f 7 -1) |,| f 'J) |},则有1《|f (c)|［x2 (x-1)2］1\|f (c)|,即存在cw(0,1)使得| f *(c)住2.证法二：在［0,1］上对f(x)应用拉格朗日中值定理有f (D = f ⑴—f (0) =1 , 0 ＜1 .当0 时，在［0,可上对f '(x)应用拉格朗日中值定理有1 .1 = f 注)—f (0) = f “(c)L =| f “(c)|=f “(c) =不之2, 2(0,与二(0,1)................................. 3分当白＜匚＜1时，在［匕1］上对f'(x)应用拉格朗日中值定理有11 = f ( ) - f (1) = f (c)( -1),=|f(c)|=—— 2, c ( ,1) (0,1).1 -................................ 2分综上证明知存在cW(0,1)使彳#|f”(c)户2. ................................ 2分。

数学分析1 期末考试试卷（A 卷）一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分）1、设 82lim =⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→xx a x a x ， 则 =a 。

2、设函数)2(1)(--=x x e x f x ，则函数的第一类间断点是 ，第二类间断点是 。

3、设)1ln(2x x y ++=，则=dy 。

4、设)(x f 是连续函数，且dt t f x x f )(2)(10⎰+=，则=)(x f 。

5、xdx arctan 1⎰= 。

二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分）1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞→n n n y x ，则下列断言正确的是（ ）。

（A ）若n x 发散，则n y 必发散。

（B ）若n x 无界，则n y 必无界。

（C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小。

（D ）若nx 1为无穷小，则n y 必为无穷小。

2、设函数x x x f =)(，则)0(f '为（ ）。

（A ） 1。

（B ）不存在。

（C ） 0。

（D ） -1。

3、若),()()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则)(x f 在),0(+∞内有（ ）。

（A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。

（B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。

（C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。

（D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。

4、设)(x f 是连续函数，且⎰-=dt t f x F x e x)()(，则)(x F '等于（ ）。

（A ）())(x f e f e x x ----。

南昌航空工业学院2006—2007学年第一学期期末考试课程名称：数学分析（1）A 卷参考答案及评分标准 一、计算下列极限：（每小题5分，共20分）1.1132lim()2n nnn →∞+解：1111322lim n()322lim ()x x x x x xx l xe→∞+→∞+=1132ln 21lim x x x xe⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭+→∞=()1111322lim exp 3ln32ln 22x x x x x →∞+⎧⎫⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭+=分由归结原则11322lim ()n n n n →∞+= --------5分2.ln sin 5lim ln sin 3x xx +→解： 原式5cos5/sin 5lim 3sin 3/cos3x x xx x +∞∞→= ---------3分05sin 5lim 3sin 3x x x +→=001= ---------5分3. 21lim(2)[]12x x x →-=-解： 2x >当时知11(2)(2)[]12x x x --<-≤-，则21lim (2)[]12x x x +→-=-；2x <当时知1(2)[]1(2)2x x x ≤-<---1，则21lim(2)[]12x x x -→-=-.----4分 故21l i m (2)[]12x x x →-=-. --------5分4. 1lim1ln xx x x x x →--+解： 原式011(1ln )lim1x x x x x x →-+=-+1(1ln )lim 1x x x x x x x x →-+=- --------3分()21lim 1(1ln )(1ln )x x x x x x x x x x →=--+-+-2= ---------5分二、求下列导数：（每小题5分，共20分）1. 22log 237y x x =--， 求dydx解： 243ln 2(237)dy x dx x x -=⋅-- --------5分2.2216x y x x +=--，求)(n y 解： 由735(3)5(2)y x x =+-+ ---------3分 所以()1173(1)!5(3)5(2)n n n n y n x x ++⎛⎫=-+ ⎪-+⎝⎭ ---------5分3. tan 2t x t t y =+⎧⎨=⎩, 求22dx yd解： 2/2l n 2/s e c 1td y d y d t d x d x d t t ==+ --------3分221/d y dy dy dx dt dx dx dt ⎛⎫= ⎪⎝⎭=22122(sec 1)(ln 2)2ln 2sec tan 2t t t t t ++---------5分4.30()0(,)x e x f x ax b x a b ⎧>=⎨+≤⎩为常数，)0(f '存在，求)(x f 的导数. 解： '(0)f 存在知()f x 在x=0连续得300(0)lim()lim 1xx x f ax b e -+→→=+==故1b =又''(0)(0)f f -+=(0)f '=得 30lim 33xx a e +→== -------3分故33,0()3,0x e x f x x ⎧>=⎨≤⎩ . ------5分三、设0()f x ''存在,试证: 00020()()2()limh f x h f x h f x h →++--=)(0x f ''.（8分）证明： 由0''(),f x 存在则0'()()f x f x x x =和在连续，于是左式000'()'()lim2h f x h f x h h →+--= -------4分=000000'()'()'()'()1lim lim 2h h f x h f x f x f x h h h →→+---⎛⎫+ ⎪⎝⎭ -------6分 0''()f x ==右式. 证毕 -------8分四、设0)(,),0(,],0[=a f a a f 且内可导在上连续在,证明:存在一点),0(a ∈ξ,使 ()'()0f f ξξξ+=.(7分)证明：()()F x xf x =令，则()[0,](0,)F x a a 在连续，在内可导，而(0)()0F F a == 由罗尔定理,知(0,),'()0.a F ξξ∈=存在使得证毕. ------7分五、求函数1)(23+--=x x x x f 的极值点,曲线的拐点及单调与凹凸区间.(15分)解：易知x ∈ ，'()(31)(1)f x x x =+-，''()21f x x =-（3）.()0f x '=1211,3x x ==-()0f x ''=13x =由上表得：()y f x =的单增区间：(,],[1,)3-∞-+∞；单减区间：[,1]3-；极大值：132()327f -=；极小值：(1)0f =； 凹区间：1[,)3+∞；凸区间：1(,]3-∞；拐点：116(,)327. --------15分六、1.什么是区间套?试叙述区间套定理；2.试叙述数列极限Cauchy(柯西)收敛准则. （每小题5分，共10分）解： 1. 闭区间列n n {[a ,b ]}具有如下性质：11()[,][,],1,2,;n n n n i a b a b n ++⊂= ()lim()0n n n ii b a →∞-=则称n n {[a ,b ]}为闭区间套，简称区间套. -----3分区间套定理：n n 若{[a ,b ]}是一个闭区间套，则存在唯一的实数ξ，使得 ξ[,]1,2,,n n a b n ∈= ， ,1,2,.n n a b n ξ≤≤= 即2.{}n a 数列收敛的充要条件是： 0,N ε+∀∃∈> ，使当,n m N >时，有 .n m a a ε-<七、 试叙述：(每小题5分，共20分)1.f 在某区间I 上连续的定义；2.f 在某区间I 上一致连续的定义；3.f 在某区间I 上非一致连续的定义；4.并利用定义证明:2)(x x f =在(,)-∞+∞上非一致连续.解：1.,f I 设在上有定义0,x I ∈对任意00lim ()().x x f x f x →=若f I 则称在上连续.----5分2.,f I 设在上有定义,0,()0εδδε∀>∃=>对∀对','',x x I ∈,'''x x δ-<当时有(')('').f x f x ε-< ----10分 3.,f I 设在上有定义00,ε∃>0,δ∀>对,',''x x I ∃∈''',x x δ-<虽但0(')('').f x f x ε-≥ -----15分4.102,ε=取0,δ∀>对1142',,''x x δδδδ=+=+取 ---18分 虽'''x x δ-<，但321442(')('').()f x f x δδδ-=+> 所以,f ∞+∞（x ）在(-)上非一致连续. --20分。