倒格子

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倒格子空间

K h CA，K h CB K h 晶面ABC。
3.倒格矢 K h 和面间距的关系晶面ABC为晶面族中最靠近原点的晶面。
d h1h2h3 a1 K h h1 K h h1 K h 2 Kh
O
a1 h1 b1 h2 b2 h2 b3

a
期，方向为晶面族法向方向，把P平移，得出一个新点阵。则这个新的格子称为原来晶格的倒格子。而把原来的晶格称为正格子。
2.倒格子基矢和正格子基矢之间的关系正格子基矢：a1、a2、a3；倒格子基矢：b1、b2、b3 ;
晶面族：a1a2、a2 a3、a3 a1的面间距分别为d 3、d1、d 2 ;
后，能自身重合，则称u为n度(或n次)旋转对称轴。
(2)对称轴表示方式
①熊夫利(Schoenflies notation)符号表示 C1、C2、C3、C4、C6。 ②国际符号(International notation)表示 1、 2 、 3、 4 、 6。
4.对称轴度数符号表示
度数 n
2
3
4
2 a 2 a3 a1 2 a2 a3 1 a2 b3 ，b2 ，b1 。 (5)倒格子的物理意义 ①倒格子中的一个点代表了晶格中的一族晶面。 ②正格子单位为米，表示位置空间；倒格子单位为米-1，表示状态空间。
h1、h2、h3 整数。
2.倒格子基矢和正格子基矢的关系倒格子基矢和正格子基矢具有正交性。即 i j 2 ai b j 2 ij i j 0 2 a3 a1 2 a1 b2 a1 a1 a3 a1 0 2 2 a2 a3 2 a1 b1 a1 a1 a2 a3 2 3.倒格矢和正格矢的关系 K h Rl l1a1 l2 a2 l3 a3 h1b1 h2 b2 h3 b3

倒格子的量纲与长度单位

倒格子的量纲与长度单位
倒格子是一种用于描述晶格结构的坐标系统。

它是通过将晶格中的点转换为倒空间中的向量来定义的。

倒格子的量纲与长度单位取决于晶体的结构和晶格常数。

在立方晶系中，倒格子常数的单位为倒安培（A^-1）或倒纳米
（nm^-1）。

在其他晶系中，倒格子常数的单位可能会有所不同。

长度单位用于量化倒格子中向量的大小。

通常使用的单位包括：
1. 倒安培（A^-1）：它是倒格子常数的标准单位，也可以用
于描述倒格子向量的大小。

2. 倒纳米（nm^-1）：与倒安培类似，用于描述倒格子向量的
大小，特别适用于纳米尺度的晶体结构。

3. 倒摄氏度（1/C）：在X射线衍射实验中，倒摄氏度常用于
表示倒格子向量的大小。

它是由单位晶胞长度和散射角度的正弦值之比计算得出的。

总而言之，倒格子的量纲与长度单位取决于晶体结构和晶格常数，在不同的情况下可能会有所不同。

常用的单位包括倒安培、倒纳米和倒摄氏度。

1-2倒格子空间

1
4.正格子和倒格子互为正倒格子

证明FCC和ＢＣＣ互为倒易点阵
• 证明过程： • BCC点阵为：
a a ( i j k ) 2 a b (i j k ) 2 a c (i j k ) 2
• 其倒易点阵为
a2 2 2b c 4 (i j k ) (i j k ) 2 ( j k ) a* V a a3 2 a2 2 2c a 2 4 b* (i j k ) (i j k ) (i k ) 3 V a a 2 a2 2 2a b 4 (i j k ) (i j k ) 2 (i j ) c* V a a3 2
a
C
3
a3
h3
Kh
a2 h2 a1 h1
B
a2
A
a1
正格子基矢：a1、a2、a3；原胞体积：倒格子基矢：b1、b2、b3 ; 原胞体积：倒格子的倒格子的基矢：b1 、b2 、b3 ;
2 2 2 2 b ＝ b2 b3 a3 a1 a1 a2 3 8 1 a3 a1 a1 a2 a3 a1 a1 a2 a3 a1 a2 a1 a3 a1 a1 a2 a1 1 b1＝ a1 a1
注意：1200 必满足2400 ； 900必满足2700。但是， 2400不满足1200 ； 2700不满足900
3.n度旋转对称轴(rotation about an axis)
(1) 定义 —— 晶体绕某一固定轴 u 旋转角度 2π/n 以 n只能取1，2，3，4，6。

倒格子讲解

中文名称：倒格子英文名称：Reciprocal lattice术语来源：固体物理学倒格子，亦称倒易格子(点阵)，它在固体物理学中，特别是在晶格动力学理论、晶体电子论以及晶体衍射方面有着较为广泛的应用。

1定义假定晶格点阵基矢a1、a2、a3（1、2、3表示 a 的下标，粗体字表示a1 是矢量，以下类同）定义一个空间点阵，我们称之为正点阵或正格子，若定义b1 = 2 π ( a2× a3) /νb2 = 2 π ( a3× a1) /νb3 = 2 π ( a1× a2) /ν其中 v = a1· ( a2× a3 ) 为正点阵原胞的体积，新的点阵的基矢b1、b2、b3是不共面的，因而由b1、b2、b3也可以构成一个新的点阵，我们称之为倒格子，而b1、b2、b3 称为倒格子基矢。

2性质1. 倒格子的一个矢量是和晶格原胞中一组晶面相对应的，它的方向是该晶面的法线方向，而它的大小则为该晶面族面间距倒数的2π倍。

2. 由倒格子的定义，不难得到下面的关系a i ·b j = 2 πδij3. 设倒格子与正点阵（格子）中的位置矢量分别为G = αb1+ βb2 + γb3R = ηa1 + θa2 + λa3 (α,η,β,θ,γ,λ皆为整数)不难证明G·R = 2π ( αη + βθ +γλ ) = 2π n，其中n为整数。

4. 设倒格子原胞体积为ψ，正格子原胞体积为 v ，根据倒格子基矢的定义，并利用矢量乘法运算知识，则可得到ψ v = ( 2 π )^3.5. 正格子晶面族(αβγ)与倒格子矢量G = αb1+ βb2 + γb3 正交（具体的内容及证明过程，请参考文献[1]）3倒格子引入的意义这里简单的说一点，如上面的性质1，倒格子中的一个基矢对应于正格子中的一族晶面，也就是说，晶格中的一族晶面可以转化为倒格子中的一个点，这在处理晶格的问题上有很大的意义。

倒格子

e
即
i G ( l1 a1 l 2 a 2 l 3 a3 )
1
(m为整数)；
G ( l1 a1 l 2 a2 l3 a3 ) 2m
或者
G R 2m( m为整数)
所以，同一个物理量在正格子空间中的表述与在倒格子空间中的表述之间遵守傅里叶变换关系。
小
结
每个晶格都有两个点阵（或两套格子）同它联系着，即正格子和倒格子（或晶体点阵和倒易点阵），二者互易(例如体心立方与面心立方互为倒格子)，这两个点阵都是由三个基矢所定义的空间无穷多个周期性排列的点阵所构成，且两种格子空间中长度的量纲互为倒数；对于给定的正格子，基矢 a1 , a2 , a3 的选择是不唯一的，相应的倒格子基矢的选择也是 b1 , b2 , b3 不唯一的，但对应的倒格子却是唯一确定的；同一物理量在正格子中的表述和在倒格子中的表述之间遵守傅里叶变换；
位置矢量
R l1 a1 l 2 a2 l3 a3
G n1 b1 n2 b2 n3 b3
正格子空间
倒格子空间
简称“倒格矢” (Reciprocal lattice vector)
2.2 倒格子与正格子基矢间关系
a i 和b j 之间存在如下关系：
2 ( i j ) i,j=1,2,3 ai b j 0( i j )
§1-4 倒格子 (Reciprocal lattice)
主要内容
1、倒格子定义
2、倒格子与正格子的关系
3、倒格子与傅立叶变换
为何要引入“倒格子”概念？
倒格子概念是理解晶格X射线衍射、处理晶格振动和固体电子论等有关问题的有力工具。倒

06 固体物理 1.4.1 倒格子

1 3
CB OB OC

a2
h2

a3
h3
0
a1/h1
B a2 a2/h2 A
a1
a a Gh1h2 h3 CA (h1b1 h2b 2 h3b 3 ) ( 1 3 ) 2 2 0 h1 h3 同理： Gh1h2h3 CB 0，
i j i j
2 c a1 (a 2 a3 )
由此，可以直接定义倒格子基矢为：
相应的倒格子基矢为：
a2 a3 2 (a2 a3 ) b1 2 a1 (a2 a3 )
a3 a1 2 (a3 a1 ) b2 2 a1 (a2 a3 )
所以有
( r ) 在傅氏 F (K h ) 是物理量 Rl 是正格矢，空间的表示形式 K h应是 Rl 的倒格矢
e
iK h Rl
1
即：物理量在正格子中表示和在倒格子中表示满足傅氏变换关系；正空间周期性物理量的傅氏空间就是其倒空间；正格子和倒格子互为傅氏变换。
ai b j 2ij 确定，则以上条件成立。
K h Rl (h1b1 h2b2 h3b3 ) (l1a1 l2a2 l3a3 ) 2 (h1l1 h2l2 h3l3 ) 2
li , hi 都是整数，也应是整数， eiKh Rl ei 2 1
2可以证明，Fra bibliotek* (2 )3 /，即，* (2 )3
* (2 )3 /，即，* (2 )3
2、倒格子的倒格子是原布拉菲格子
c2， c3 ，可以证明 ci ai , i 1,2,3 按倒格子基矢定义构造基矢 c1， 2 (b 2 b3 ) 2 即令：c1 * b 2 b3 b1 b 2 b3 (2 ) 2 b 2 b3 (a3 a1 ) (a1 a 2 ) 利用 A B C B( A C) C( A B) 2 ( A B) C ( B C) A (C A) B (2 ) 2 (2 ) 2 a1 a1 2 Rl，Kh所代表点的集合 2 2 (2 ) 2 (b 2 b3 ) 都是布拉菲格子，且 a1 c1 * b1 b 2 b3 互为正倒格子。事实上在

倒格子

倒格子（倒易点阵）倒格子（倒易点阵）
倒格子的定义：倒格子的定义：
• 在固体物理学中：实际观测无法直接测量在固体物理学中：正点阵，正点阵，倒格子的引入能够更好的描述很多晶体问题，多晶体问题，更适于处理声子与电子的晶格动量。格动量。 • 在X射线或电子衍射技术中：一种新的点阵，射线或电子衍射技术中：射线或电子衍射技术中一种新的点阵，该点阵的每一个结点都对应着正点阵中的一个晶面，不仅反映该晶面的取向，一个晶面，不仅反映该晶面的取向，还反映着晶面间距。映着晶面间距。
b1 =
2
(a ×a ) a ⋅ (a ×a ) 1 (a ×a ) b = a ⋅ (a ×a )
1
2 2 3 1 3 3 1
b3 =
(a ×a ) a ⋅ (a ×a )
1
1 1 2 3 2
2
3
1
确定倒格矢的方法：对于一切整数 h,k,l,作出作出 ( hb1 + k b 2 + l b3),这些向这些向量的终点就是倒格子的节点。子的节点。
倒格子（倒易点阵）的基本性质：倒格子（倒易点阵）的基本性质：
• 正点阵与倒易点阵的同名基矢的点积为，不同正点阵与倒易点阵的同名基矢的点积为1，名基矢的点积为零；名基矢的点积为零； • 正点阵晶胞的体积与倒易点阵晶胞的体积成倒数关系；关系； • 正点阵的基矢与倒易点阵的基矢互为倒易；正点阵的基矢与倒易点阵的基矢互为倒易； h • 任意倒易矢量（ b1 + kb2 + lb3 ）垂直于正点阵中的任意倒易矢量（（hkl）面；） • 倒易矢量的模等于正点阵中晶面间距的倒数。倒易矢量的模等于正点阵中晶面间距的倒数。
• 任何一个晶体结构都有两个格子：一个是任何一个晶体结构都有两个格子：正格子空间(位置空间位置空间)，正格子空间位置空间，另一个为倒格子空状态空间)。间(状态空间。二者互为倒格子，通过傅里状态空间二者互为倒格子，叶变换。叶变换。晶格振动及晶体中电子的运动都是在倒格子空间中的描述。是在倒格子空间中的描述。

倒格子

C
r r → → → a a CB = OB − OC = 2 − 3 h2 h3 r r r r r r → a1 a3 QGh ⋅CA =(h1b1 + h2 b2 + h3 b3 )⋅( − )= 0 h1 h3 r r r r r r → a 2 a3 Gh ⋅ CB = (h1b1 + h2 b2 + h3b3 ) ⋅ ( − ) = 0 h2 h3 r r ∴ Gh ⊥晶面ABC 即Gh 于晶面族 h1, , h2 , h3 )正交
r r r 1.6[求 b1 , b2 , b3
再算]
144
C 三点如图 r r → a → a 1 2 OA = OB = h1 h2 r r → → → a a CA = OA− OC = 1 − 3 h1 h3
r → a 3 OC = h3
r G
B O A
r a2 r a1
2π 4.晶面族 ( h1 , h2 , h3 ) 的面间距 d h1 ,h2 ,h3 = r Gh → r 证明仍用上图 d h1 ,h2 ,h3即为 OA 在Gh 上的投影长度 r r r r r → G a1 h1b1 + h2 b2 + h3b3 2π h d h1 ,h2 ,h3 = OA⋅ r = ⋅ = r r h1 Gh Gh Gh 综合性质 3.4.知晶面族 r Gh = 2π d h1 ,h2 ,h3 取倒格点 P
且 OA⋅ G h = 2π
→
r
r h1 , h2 , h3 对应一倒格矢 Gh ⊥ 该晶面并且有 → r 使 OP = Gh 亦可说晶面族 h1 , h2 , h3 与 P 点对应特殊的倒格矢分别对应三个正格子基矢晶面

倒格子与布里渊区

波动的允许频率范围。
布里渊区的形状和大小取决于晶体的对称性和周期性，它反映了
晶体中电子行为的特征。
布里渊区对于理解固体材料的电子结构和光学性质具有重要意义，例如光的吸收、反射和折射等。
倒格子与布里渊区在固体物理中的应用
通过倒格子空间和布里渊区的理论分析，可以预测和解释固体材料的各种物理性质，如导电性、光学性质、磁学性质等。
倒格子与布里渊区的理论分析还为实验物理学家提供了理解和设计新型固体材料的有力工具。
这些理论工具在材料科学、电子工程和光子学等领域有着广泛的应用，对于新材料的发现和性能优化具有指导意义。
倒格子与布里渊区的未来发
05
展
倒格子与布里渊区理论的进一步研究
深入研究倒格子与布里渊区的数学模型和物理机制，提高理论预测的精度和可靠性。
布里渊区是晶体中波矢的定向平移对称性所对应的倒空间中的区域。
详细描述
布里渊区是晶体中波矢的定向平移对称性所对应的倒空间中的区域，它反映了晶体中波矢的周期性和对称性。在倒空间中，布里渊区是一个封闭的区域，其形状和大小取决于晶体的对称性和周期性。
布里渊区的性质
总结词
布里渊区的性质包括对称性、边界形状和大小、与倒格子的关系等。
倒格子与布里渊区的物理意义
01 倒格子描述了晶体中电子波函数的周期性，而布里渊区则描述了电子在波矢空间中的行为。
02 倒格子和布里渊区在物理中具有重要意义，它们是理解晶体中电子行为的关键。
02 倒格子和布里渊区的物理意义在于它们提供了描述晶体中电子行为的几何框架。
倒格子与布里渊区在物理中的应用
正格子与倒格子的关系
正格子与倒格子之间存在特定的关系，即正格子的波矢 k和倒格子的波矢K之间满足K=2π/a−k，其中a是正格子的晶格常数。

ssp-03－倒格子-2014

a1
2
i j 2
简单六角的正格子空间的基矢为：
a2
3a i a j 22
它的倒格子空间的基矢为：
a3 ck
b1
2 i 2
3a a
j
b2
2 i 2
3a a
j
2
b3 c k
这仍然是简单六角的基矢，因此简单六角晶格的倒格子为简单六角格子。
第三讲_倒格子 —— 晶体结构
第三讲_倒格子 —— 晶体结构
这恰好是体心立方的基矢，因此面心立方晶格的倒格子为体心立方格子。倒格子的晶格常数为4/a
面心立方晶格的第一布里渊区是一个截角八面体
思考题：金属Ag的的晶格常数为a，问第三布里渊区的体积
第三讲_倒格子 —— 晶体结构
例题3.5 简单六角结构的第一布里渊区
3a a
第三讲_倒格子 —— 晶体结构
典型晶格的倒格子、布里渊区和高对称点
例题3.2 简单立方的第一布里渊区
a1 ai 简单立方正格子空间的基矢为： a2 aj
a3 ak
它的倒格子空间的基矢为：
第三讲_倒格子 —— 晶体结构
b1
2
a
i
b2
2
a
j
2
b3 a k
简单立方的倒格子还是简单立方，倒格子的格常数是2/ a，它的
第三讲_倒格子 —— 晶体结构
例题3.3 体心立方的第一布里渊区
体心立方正格子空间的基矢为：
a1
a (i 2
j
k)
a2
a (i 2
j
k)
a3
a 2
(i
j
k)
它的倒格子空间的基矢为：b1

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