数理逻辑 Mathematical Logic

2.数理逻辑 Mathematical Logic2.1命题逻辑propositional logical2.1.1命题和命题联结词2.1.1.1命题statement：可以判断真假的陈述.(1) 地球是圆的。

p(2) 2+3=5. q(3) 你说英语吗？(4) 3-X=5.(5) 吃两片阿斯匹林！(6) 土星表面温度是华氏800度。

r(7) 明天会出太阳。

s可以用符号表示命题:p,q,r,s,t 分别表示命题（1）（2）（6）（7）。

2.1.1.2复合命题 compound statement:用逻辑连接词可以将若干命题联接成复合命题。

(1) 地球是圆的并且2+3=5. p∧q(2) 土星表面温度不是华氏800度。

~r(3) 因为地球是圆的，所以明天会出太阳。

p→s(4) 明天不会出太阳，除非2+3=5。

即，明天不会出太阳或2+3=5。

~s∨q（5）明天出太阳，只要2+3=5。

q→s(6) 明天出太阳，仅当2+3=5。

s→q2.1.1.3条件命题conditional statementsp→q implicationp 前提antecedent, hypothesis.q 结论consequent, conclusion.逆命题converse of the implicationq→p逆否命题contrapositive of the implication~q→~pp→q ⇔~q→~p2.1.1.4命题变元propositional variable可以代表任意以一个命题的变元符号p,q,r,s，…p1,p2,p3，…2.1.1.5逻辑连接词logical connectives否定negation ~ ~p合取 conjunction ∧ p∧q析取 disjunction ∨ p∨q蕴含implication → p→q等价equivalence, biconditional ↔ p↔q联结词的真值表truth tablep q ~p p∧q p∨q p→q p↔q0 0 1 0 0 1 10 1 1 0 1 1 01 0 0 0 1 0 01 1 0 1 1 1 12.1.2命题公式 propositional formulas2.1.2.1命题公式的递归定义（1）单个命题变元是命题公式。

清华紫皮数理逻辑-回复清华紫皮数理逻辑（Tsinghua Purple Book on Mathematical Logic）是清华大学出版社出版的一本经典教材，是国内数理逻辑领域的权威教材之一。

本文将以清华紫皮数理逻辑为主题，对其内容进行逐步回答解析。

清华紫皮数理逻辑是一本介绍数理逻辑的教科书，适合数学、计算机、哲学、语言学等专业的本科生和研究生学习。

该教材系统地介绍了命题逻辑、一阶谓词逻辑和模型论等基础概念与技巧，同时也涵盖了一些高阶逻辑、模态逻辑和递归论等扩展内容。

本文将回答以下四个问题，以帮助读者更好地理解清华紫皮数理逻辑：1. 清华紫皮数理逻辑的主要内容是什么？2. 清华紫皮数理逻辑的特点是什么？3. 清华紫皮数理逻辑适用于哪些专业领域？4. 如何有效地学习清华紫皮数理逻辑？【问题一】清华紫皮数理逻辑的主要内容是什么？清华紫皮数理逻辑主要涵盖了以下内容：1. 命题逻辑：介绍了命题、命题的真值赋值、命题逻辑中的运算、命题逻辑的推理规则等基础概念和技巧。

2. 一阶谓词逻辑：介绍了一阶逻辑中的基本概念，如公式、合式公式、有效推理等。

此外，还包括一阶逻辑中的量词、解释、模型等概念。

3. 模型论：介绍了模型的基本概念，如语言、结构、关系等。

通过模型论的学习，读者可以深入了解逻辑的数学基础和形式化表达能力。

4. 其他扩展内容：除了命题逻辑、一阶逻辑和模型论外，清华紫皮数理逻辑还涉及了一些高阶逻辑、模态逻辑和递归论等扩展内容，使读者对逻辑领域的前沿产生认识。

【问题二】清华紫皮数理逻辑的特点是什么？清华紫皮数理逻辑的特点如下：1. 全面而系统：清华紫皮数理逻辑全面而系统地介绍了数理逻辑的基础概念和技巧，从命题逻辑到一阶逻辑再到模型论，覆盖了数理逻辑的主要内容，能够帮助读者建立起逻辑推理的基本框架。

2. 深入浅出：教材采用了简洁明了的语言和直观的例子，旨在帮助读者理解抽象的逻辑概念。

作者在呈现逻辑理论的同时注重具体技巧和操作方法的介绍，使读者能够掌握实际问题的解决方法。

《数理逻辑》教学大纲一、课程基本信息课程编号：MATH1008课程名称：数理逻辑英文名称：MATHEMATICAL LOGIC课程学时：32 讲课学时：32 实验学时：0 上机学时：0 习题学时：0课程学分：2开课单位：计算机科学与技术学院授课对象：计算机科学与技术专业开课学期：2春先修课程：集合论与图论二、课程目标本课程是计算机大类的一门专业基础课。

主要研究人类思维规律，用数学的符号化、公理化、形式化方法来研究这些规律。

通过本课程的学习，使学生对形式化描述问题的方法、公理化方法及形式推理有清楚的理解，让学生掌握形式化公理系统的基本逻辑推理方法与技巧，提高学生的数学素质，为从事计算机理论及相关专业的工作打下坚实的理论基础。

通过讲授该课程，期望达到以下目标：课程目标1：使学生能够运用所学到的数理逻辑的知识去描述复杂工程问题中的知识表示问题。

课程目标2：培养学生使用恰当的数理逻辑的基本理论来描述复杂工程问题，并能够使用数理逻辑的基本理论进行推理求解。

课程目标3：培养学生的独立思考与创新能力，能够将人的思维过程用数理逻辑中的公式进行模拟和表示，培养学生的好奇心，激发学生的创新能力。

三、课程目标与毕业要求指标点对应关系四、课程目标与课程内容对应关系五、课程教学方法（1）从分析到证明：数理逻辑中对公式的证明往往很难下手，但学生对公式真假的判定是很有把握的。

在讲授的过程中，用公式真假的判定去向证明序列过度提供一些有效的方法。

使得学生对证明的构建有一个清析的把握和理解。

（2）思维逻辑：由于数理逻辑是用来模拟人的思维的，所以教学过程中一定要把抽象的理论和人的思维相结合，使得抽象的理论不在难以理解。

（3）强调公理化：数理逻辑的公理化特点在教学中的体现就是严格按照公理体系展开，使得学生在实践中也能学会使用严格的推理体系进行证明。

六、课程考核方法七、课程目标达成度评价方法八、主要教材与参考书教材：1．《数理逻辑引论》（修订版），李涛，哈尔滨工业大学出版，2016参考书：2.《计算机科学中的现代逻辑学》，王元元，科学出版社，20013.《数理逻辑引论》，孙希文，哈尔滨工业大学出版社，1991大纲撰写人：大纲审核人：。

数理逻辑总结数理逻辑总结一、概念数理逻辑（mathematical logic）是一门根据数学的思维模式和方法在表述语言和推理思维上进行分析和作用的逻辑学课程。

它是一门用来研究和分析与计算机科学有关的严谨思维和验证的逻辑学科。

数理逻辑从宏观意义上讲，是指用符号抽象的方法来描述，定义，表示和理解各种基础数学系统的知识，以及这些系统中定理的证明等。

二、历史数理逻辑（mathematical logic）由古典逻辑演化而来，它最早由古希腊的哲学家亚里士多德（Aristotle）创立，但是由于他的古典逻辑只涉及到了辩论中的质问和概括推理，并未涉及到像数学中的严谨性，所以不能科学地处理逻辑问题。

直到二十世纪中期，数理逻辑才发展到其现在的状态。

首先，德国数学家彼得拉多斯（Petr Lusitr）提出了系统性的作为符号逻辑学的主要著作被称为《符号逻辑学》。

随后，德国数学家卡尔·贝尔（Carl Brel）提出了一种新的逻辑秩序，用以把命题逻辑系统中的各个命题放置于命题结构之中，称为贝尔结构，他也提出了用来支持贝尔结构的证明系统。

在二十世纪五十年代，英国数学家霍华德·劳夫（Howard Lawford）引入了前言逻辑系统，并从多种角度改进了古典逻辑，使其变成一种非常完善的数学系统。

三、特点数理逻辑有它独特的特点，其一是抽象性。

数理逻辑采用抽象方法，把问题表达为一系列标准的符号，然后用逻辑证明的方法求解。

抽象的好处是可以把问题简化，可以有效地发现和解决复杂的问题。

其次，数理逻辑有其严谨性。

数理逻辑用符号语言来描述和表达问题，采用公理-定理的方法证明结果，使得结果更加准确可靠。

最后，它有其实用性。

数理逻辑可以被看作是一种被证明准确可靠的结构性思维规范，它可以用于描述，定义，表示，理解多种数学系统，以及证明系统中的定理，实际上也被广泛应用于计算机科学领域，极大地推动了计算机技术的发展。

四、应用数理逻辑在计算机科学中有着重要的应用。

数理逻辑（MathematicalLogic）数理逻辑(Mathematical logic)是用数学方法研究诸如推理的有效性、证明的真实性、数学的真理性和计算的可行性等这类现象中的逻辑问题的一门学问。

其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统。

数理逻辑是数学基础的一个不可缺少的组成部分。

数理逻辑的研究范围是逻辑中可被数学模式化的部分。

以前称为符号逻辑（相对于哲学逻辑），又称元数学，后者的使用现已局限于证明论的某些方面。

历史背景“数理逻辑”的名称由皮亚诺首先给出，又称为符号逻辑。

数理逻辑在本质上依然是亚里士多德的逻辑学，但从记号学的观点来讲，它是用抽象代数来记述的。

某些哲学倾向浓厚的数学家对用符号或代数方法来处理形式逻辑作过一些尝试，比如说莱布尼兹和朗伯（Johann Heinrich Lambert）；但他们的工作鲜为人知，后继无人。

直到19世纪中叶，乔治·布尔和其后的奥古斯都·德·摩根才提出了一种处理逻辑问题的系统性的数学方法（当然不是定量性的）。

亚里士多德以来的传统逻辑得到改革和完成，由此也得到了研究数学基本概念的合适工具。

虽然这并不意味着1900年至1925年间的有关数学基础的争论已有了定论，但这“新”逻辑在很大程度上澄清了有关数学的哲学问题。

在整个20世纪里，逻辑中的大量工作已经集中于逻辑系统的形式化以及在研究逻辑系统的完全性和协调性的问题上。

本身这种逻辑系统的形式化的研究就是采用数学逻辑的方法.传统的逻辑研究（参见逻辑论题列表）较偏重于“论证的形式”，而当代数理逻辑的态度也许可以被总结为对于内容的组合研究。

它同时包括“语法”（例如，从一形式语言把一个文字串传送给一编译器程序，从而转写为机器指令）和“语义”（在模型论中构造特定模型或全部模型的集合）。

数理逻辑的重要著作有戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege）的《概念文字》（Begriffsschrift）、伯特兰·罗素的《数学原理》（Principia Mathematica）等。

课程名称：数理逻辑（英文名称：Mathematical Logic）一、课程目的、任务：学习数理逻辑的基本理论，为进一步学习现代西方哲学和逻辑哲学打下基础。

二、课程内容：介绍数理逻辑的基础知识，包括：命题演算和狭谓词演算的构成，定理的推演，范式，语义解释，公理系统的三种一致性和三种完全性，公理的独立性，命题演算和狭谓词演算的一致性和完全性定理，以及判定问题。

三、教学方式、实践环节的特色：注重基本概念和基本方法的讲解，通过课堂教学和课外作业，使学生较扎实地掌握数理逻辑的基础知识。

四、教材及参考书目：教材：王宪钧著《数理逻辑引论》，北京大学出版社，1998年版。

参考书目：彭漪涟主编《逻辑学导论》，华东师范大学出版社，2000年版。

五、考核方式与评价结构比例：平时成绩占40％，按照每次课后布置的课外作业来评定。

期末闭卷考试，考试成绩占60％。

六、讲授大纲：（两级目录）序言第一篇命题逻辑第一章真值联结词真值函项重言式第一节复合命题复合命题的真假第二节真值联结词真值形式第三节五个基本真值联结词第四节命题形式第五节真值表方法第六节真值函项重言的真值函项重言式第七节推理的形式结构第八节简化的真值表方法正确推理形式的判定第九节重言的等值式第二章命题演算命题逻辑的公理化和形式化第一节公理系统和形式系统第二节命题演算的出发点第三节定理的推演第四节证明的简化关于证明的语法规则第五节定理的推演（续）第六节求否定规则对偶规则第三章范式完全性一致性公理的独立性第一节范式第二节优范式第三节范式的作用第四节命题演算的一致性和完全性第五节公理的独立性第四章不同的命题逻辑古典命题逻辑的不同的公理化第一节各种符号体系第二节不同的重言式系统第三节多值逻辑第四节模态逻辑第二篇狭谓词逻辑第一章狭谓词逻辑里的形式结构普遍有效性和可满足性第一节谓词、变项和量词第二节狭谓词逻辑的命题形式和公式第三节普遍有效性和可满足性第二章狭谓词演算第一节狭谓词逻辑的出发点第二节定理的推演语法规则基本置换定理第三章演绎定理范式第一节演绎定理第二节范式前束范式 —前束范式第四章判定问题一致性和完全性第一节判定问题第二节一致性第三节完全性。

数理逻辑教程数理逻辑是一门复杂而又有趣的学科，它既是哲学又是数学，属于学术思想和数学分析的独特组合。

近几十年来，数理逻辑得到了广泛的应用，它不仅用于哲学论文的写作，而且用于计算机编程，特别是程序设计。

本文将为您介绍数理逻辑的基本概念，以及其如何帮助您更好地理解和使用它。

一、数理逻辑的定义数理逻辑（Mathematical Logic）是一门研究逻辑的学科，它结合了哲学中的逻辑思维和数学中的形式化系统。

它的目的是将哲学中的概念与数学中的精确性结合起来，以更好地理解和使用逻辑推理。

数理逻辑的基本概念是逻辑推理，它是通过分析一系列前提，以推出一系列结论的方法。

二、数理逻辑的历史数理逻辑的发展可以追溯到古希腊时期。

当时，古希腊哲学家们，如柏拉图和亚里士多德，通过推理和论证来解释世界上发生的事情。

在中世纪，哲学家和数学家们继续研究逻辑，他们发现逻辑推理可以用来证明或否定一个命题的真实性。

到19世纪，英国数学家约翰·华生等人开始将逻辑与数学结合起来，形成了现代数理逻辑学。

三、数理逻辑的基本概念数理逻辑是一门复杂的学科，它涉及到许多基本概念，如定理、公理、演绎法、归纳法等。

其中，定理是一种用逻辑推理证明的命题，是一个被推论出来的结论；公理是构成定理的基本命题，也就是前提；演绎法是一种从公理中推断出结论的方法，也就是由具体到抽象的过程；而归纳法则是由一般性的结论推断出具体的命题的方法，也就是由抽象到具体的过程。

四、数理逻辑的应用数理逻辑的应用非常广泛，既可以用于哲学论文的写作，也可以用于程序设计。

例如，在程序设计中，数理逻辑可以用来帮助程序员更好地理解和使用程序控制和程序语言。

此外，数理逻辑还可以用于语言学、认知科学、计算机科学等领域，可以帮助我们更好地理解和使用这些学科。

五、数理逻辑的学习学习数理逻辑也许是一个挑战，因为它涉及到许多复杂的概念。

但要学习数理逻辑，首先要熟悉它的基本概念，如定理、公理、演绎法、归纳法等。

几个逻辑相关的英语单词逻辑 logic数理逻辑 mathematical logic模型论 model theory集合论 set theory递归论 recursion theory证明论 proof theory非标准分析 nonstandard analysis反推数学 reverse mathematics元数学 metamathematics二阶算术的子系统 subsystems of the second-order arithmetic 直觉主义 intuitionism构造性数学 constructive mathematics语言 language元语言 metalanguage元定理 metatheorem公理 axiom定理 theorem命题 proposition命题演算 propositional calculus 谓词演算 predicate calculus合取 conjunction析取 disjunction非,否定 negation量词 quantifier全称量词 universal quantifier 存在量词 existential quantifier 关系 relation函数 function常量 constant变元,变量 variable项 term公式 formula原子公式 atomic formula句子,命题 sentence永真命题 tautology前束标准型 prenex normal form 理论 theory可满足的 satisfiable和谐性,相容性 consistency句法 syntax语义 semantics可靠性定理 soundness theorem完备性定理 completeness theorem 紧致性定理 compactness theorem可公理化 axiomatizable有限可公理化 finitely axiomatizable 同构 isomorphism同态 homomorphism初等等价 elementary equivalent 初等嵌入 elementary embedding 初等子模型 elementary submodel 初等扩张 elementary extension图象 diagram正图象 positive diagram初等图象 elementary diagram模型 model可数模型 countable model不可数模型 uncountable model原子模型 atomic model素模型 prime model齐性模型 homogeneous model万有模型 universal model饱和模型 saturated model特殊模型 special model递归饱和模型 recursively saturated model 布尔值模型 boolean-valued model格值模型 lattice-valued model超滤 ultrafilter超积 ultraproduct超幂 ultrapower模型完备 model complete子模型完备 submodel complete量词消去 quantifier elimination稳定性理论 stable theory集,集合 set子集 subset幂集 power set空集 empty set有限集 finite set无限集 infinite set可数集 countable set不可数集 uncountable set 有限集 finite set无限集 infinite set序数 ordinal极限序数 limit ordinal后继序数 successor ordinal 基数 cardinal大基数 large cardinal可测基数 measurable cardinal正则基数 regular cardinal奇异基数 singular cardinal不可达基数 inaccessible力迫法 forcing连续统假设 Continuum Hypothesis 选择公理 Axiom of Choice决定性公理 Axiom of Determinacy 归纳法 induction超限归纳法 transfinite induction 超限递归 transfinite recursion递归 recursion原始递归 primitive recursive递归函数 recursive function递归可枚举 recursively enumerable递归可判定 recursively decidable 递归不可分 recursively inseparable 递归集 recursive set算术集 arithmetical set解析集 analytic set单纯集 simple set创造集 creative set多一归约 many-one reducible一一归约 one-one reducible图灵归约 Turing reducible不可解度 degree of unsolvability 图灵度 Turing degree一阶逻辑 first-order logic二阶逻辑 second-order logic高阶逻辑 higher-order logic非古典逻辑 non-classical logic 无穷逻辑 infinitary logic古典逻辑 classical logic直觉主义逻辑 intuitionistic logic 模态逻辑 modal logic多值逻辑 many-valued logic。