2 复合函数偏导数的链式法则

多元多重复合函数的求导法则多元多重复合函数是多元函数中重要的一类函数，常用来描述多元关系，其中常用求导法则如下： 1. 链式法则：链式法则是求导最基本的法则，其定义为：若函数y=f(x)是关于变量x的函数，而z=F(y)是关于y的函数，则关于x的F(y)的导数由z的导数乘以y的导数的乘积来决定，即：∂z/∂x = (∂z/∂y) *(∂y/∂x) 2. 偏导数法则：偏导数法则认为多元函数是关于各独立变量变化而变化，即每个变量是由与它独立变量组成的函数组合而成。

这时，只要将函数分解为每个独立变量的函数，分别求出偏导数后，组合即可得到多元函数的极限导数。

3. 偏导数链式法则：偏导数链式法则是将链式法则与偏导数法则相结合而推出的求多元复合函数极限的法则，其定义为：若函数u=f(x,y,z)是三元函数，而v=F(u,z)是关于u，z的多元函数，则u的偏导数即得到v的偏导数，即：∂v ∂x = (∂v/∂u)(∂u/∂x) + (∂v/∂z)(∂z/∂x) 4.Derivative of a composite function：This rule states that for a function y = f(x) composed of two functions u = g(x) and v = h(x), then the derivative of y with respect to x is equal to the product of the derivatives of u and v with respect to x. This can be written as y'(x) = u'(x)·v'(x) 以上是多元多重复合函数常用的求到法则，而求多元复合函数极限的步骤可由偏导数链式法则推导而得。

首先，求出函数中每个变量的偏导数，然后分别乘以各自的函数值，最后将结果进行相乘组合计算即可得到多元复合函数的极限值。

复合函数求导（链式法则）（建议阅读原文）预备知识微分若有两个一元函数 f(x) 和 g(x)，我们可以把 g 的函数值作为 f 的自变量，得到一个新的函数称为f(x) 和 g(x) 的复合函数，记为 f[g(x)]．如果我们已知两个函数 f(x) 和 g(x) 的导函数 f'(x) 和 g'(x)，那么我们可以通过以下公式求复合函数 f[g(x)] 的导数．\begin{align}&f[g(x)]' = f'[g(x)]g'(x)&(1)\\\end{align}对于多个函数的复合函数，我们也有类似的公式，例如\begin{align}&f[g(h(x))]' =f'[g(h(x))]g'[h(x)]h'(x)&(2)\\\end{align}例1 基本初等函数的复合函数求导我们已经知道基本初等函数的导数的导函数，下面对它们的一些常见的复合函数进行求导． \sin^2 x 可以看作幂函数 f(x) = x^2 和 g(x) =\sin x 的复合函数，已知 f'(x) = 2x， g'(x) = \cos x，代入式 1 得\begin{align}&(\sin^2 x)' = 2\sin x \cosx&(3)\\\end{align}几何理解为了方便表示，我们把 g 的函数值和 f 的自变量记为 u，把 f 的函数值记为 y．图 1：可以将 \sin^2 x 看做 f(u) = u^2 和 g(x) = \sin x 的复合函数我们可以用类似图 1 的图像来直观地理解复合函数．先画出y = f(u) 和 u = g(x) 的图像，并将 g(u) 的图像逆时针旋转90° 使得两图的 u 轴对齐．这样对于任何定义域中的自变量 x，我们只需要先在 g(x) 的图中画出 u 的位置，再对应到 f(u) 的图像中求出 y 的位置即可．现在我们要讨论的问题是，若已知两函数的导函数 f'(x) 和 g'(u)（假设它们在定义域内处处可导）如何求复合函数 f[g(x)] 的导数．对于给定的 x，我们先来看当 x 增加 \Delta x 时 y 的增量 \Delta y 的大小．我们可以使用与图 1 类似的方法画出图 2 ，然后只需要令 \Delta x \to 0，就可以根据定义求出复合函数的导数\begin{align}&f[g(x)]' =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} f[g(x)] =\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Deltax}&(4)\\\end{align}图 2：用图 1 中的方法求出任意 \Delta x 对应的 \Delta y在这个过程中，我们在得到 \Delta y 之前先得到了 u 的增量 \Delta u．当 \Delta x 较小时有微分近似（式2 ）\begin{align}&\Delta {u} \approx g'(x) \Delta{x}\qquad \Delta{y} \approx f'(u)\Delta{u}&(5)\\\end{align}当 \Delta x \to 0 时对应的微分关系（式 1 ）为\begin{align}&\,\mathrm{d}{u} = g'(x) \,\mathrm{d}{x} \qquad \,\mathrm{d}{y} = f'(u)\,\mathrm{d}{u}&(6)\\\end{align}将上式中的左边代入右边得 \begin{align}&\,\mathrm{d}{y} = f'(u) g'(x) \,\mathrm{d}{x} = f'[g(x)]g'(x)\,\mathrm{d}{x}&(7)\\\end{align}而复合函数的微分是 \begin{align}&\,\mathrm{d}{y} =f[g(x)]' \,\mathrm{d}{x}&(8)\\\end{align}对比以上两式（微分和导数的关系）得\begin{align}&f[g(x)]' = f'[g(x)]g'(x)&(9)\\\end{align}这就是复合函数的求导公式．在上面的例子中\begin{align}&g(x) = \sin x \qquad g'(x) = \cos x\qquad f(u) = u^2 \qquad f'(u) = 2u\qquad&(10)\\\end{align}代入上式得\begin{align}&\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \sin^2 x = 2\sin x \cos x&(11)\\\end{align}复合函数的求导公式也叫链式法则，原因是我们可以把以上推导过程用导数的另外一种符号表示如下．\begin{align}&\,\mathrm{d}{y} =\frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{u}} \,\mathrm{d}{u} = \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{u}}\frac{\mathrm{d}{u}}{\mathrm{d}{x}}\,\mathrm{d}{x}&(12)\\\end{align}得 \begin{align}&\frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}} = \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{u}}\frac{\mathrm{d}{u}}{\mathrm{d}{x}}&(13)\\\end{align}这种书写方式让人不禁想把 \mathrm{d}{y}/\mathrm{d}{x} 看做是 \,\mathrm{d}{y} 和 \,\mathrm{d}{x} 相除，这样的符号分割是错误的，尤其是在以后学习高阶导数和偏导数时．多重复合函数要对多重复合函数如 f[g(h(x))] 求导，可以先对 g[h(x)] 求导得 g'[h(x)]h'(x) 再得到\begin{align}&f[g(h(x))]' =f'[g(h(x))]g'[h(x)]h'(x)&(14)\\\end{align}令 v = h(x)，用微分符号可以表示为\begin{align}&\frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}} =\frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{u}}\frac{\mathrm{d}{u}}{\mathrm{d}{v}}\frac{\mathrm{d}{v}}{\mathrm{d}{x}}&(15)\\\end{align}任意多重的复合函数求导同理可得．例2 对函数求导\begin{align}&\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}&(16)\\\end{alig n}首先令 f(x) = 1/\sqrt{x} 再令 g(x) = x^2+a^2，上式等于 f[g(x)]．由基本初等函数的导数， \begin{align}&f'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{x^3}} \qquad g'(x) =2x&(17)\\\end{align}代入式 9 ，得\begin{align}&\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}}\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} = f'[g(x)] g'(x) = -\frac{x}{\sqrt{(x^2+a^2)^3}}&(18)\\\end{align}一种较灵活的情况是，当三个变量只有一个自由度1时，任何一个变量都可以看做任何另外两个变量的函数2，这时可以根据需要灵活运用链式法则，如例 3 ．例3 加速运动公式假设质点做一维运动，位移，速度和加速度分别记为 x(t)， v(t) = \mathrm{d}{x}/\mathrm{d}{t}，a(t) = \mathrm{d}{v}/\mathrm{d}{t}，但若把速度 v 看做复合函数 v[x(t)]，根据链式法则有\begin{align}&a = \frac{\mathrm{d}{v}}{\mathrm{d}{t}} = \frac{\mathrm{d}{v}}{\mathrm{d}{x}}\frac{\mathrm{d}{x}}{\mathrm{d}{t}} =\frac{\mathrm{d}{v}}{\mathrm{d}{x}} v&(19)\\\end{align}写成微分表达式，有 a \,\mathrm{d}{x} = v\,\mathrm{d}{v}．注意到 \,\mathrm{d}\left(v^2 \right) = 2v \,\mathrm{d}{v}，代入得\begin{align}&\,\mathrm{d}\left(v^2 \right) = 2a\,\mathrm{d}{x}&(20)\\\end{align}若质点做匀加速运动，该式的物理意义是在任何一段微小时间内，速度平方的增量正比于这段时间内的位移增量．在一段时间 [t_1,t_2] 内把这些增量累加起来，就得到高中熟悉的运动学公式 \begin{align}&v_2^2-v_1^2 = 2a(x_2-x_1)&(21)\\\end{align}其中 x_1,v_1 和 x_1,v_1 分别是 t_1,t_2 时刻的位置和速度．1. 即任何一个变量值确定后，另外两个变量也随之确定2.姑且假设不会出现一个自变量对应两个函数值的情况。

二元复合函数求偏导二元复合函数求偏导是高等数学中的一个重要概念，它在微积分、统计学和金融学等领域中都有广泛应用。

本文将介绍二元复合函数求偏导的定义、求法以及应用。

一、定义二元复合函数指的是由两个变量组成的函数，例如f(x,y)=g(u,v)，其中u=u(x,y)和v=v(x,y)是关于x和y的函数。

对于这样的函数，我们可以通过求偏导来研究它们的性质。

二、求法对于一个二元复合函数f(x,y)=g(u,v)，我们可以通过链式法则来求它的偏导数。

具体来说，如果我们想求f关于x的偏导数，那么可以按照以下步骤进行：1. 求出u关于x的偏导数：u_x = ∂u/∂x2. 求出v关于x的偏导数：v_x = ∂v/∂x3. 将上述结果代入g中得到g_x = ∂g/∂u * u_x + ∂g/∂v * v_x4. 最后将g_x代入f中得到f_x = g_x同理，我们也可以求出f关于y的偏导数：1. 求出u关于y的偏导数：u_y = ∂u/∂y2. 求出v关于y的偏导数：v_y = ∂v/∂y3. 将上述结果代入g中得到g_y = ∂g/∂u * u_y + ∂g/∂v * v_y4. 最后将g_y代入f中得到f_y = g_y需要注意的是，这里的符号“∂”表示偏导数，而不是普通的导数。

三、应用二元复合函数求偏导在实际应用中有很多用处。

例如，在金融学中，我们可以通过求偏导来研究不同投资方案之间的收益率差异。

在微积分中，我们可以通过求偏导来研究曲面的切线和法线。

在统计学中，我们可以通过求偏导来估计参数值和预测未来趋势。

总之，二元复合函数求偏导是一个非常重要的概念，在数学和实际应用中都有广泛应用。

掌握这个概念对于提高数学素养和解决实际问题都有很大帮助。

复合函数链式法则 -回复复合函数是指由两个或多个函数组合而成的新函数，其中一个函数作为另一个函数的输入。

例如 f(x) = sin(x^2)，g(x) = e^x，那么 h(x) = f(g(x)) = sin((e^x)^2) 就是一个复合函数。

复合函数的求导需要使用链式法则。

链式法则是一种用于求解复合函数导数的规则，它有着广泛的应用性，在微积分中占有重要的地位。

本文将对复合函数链式法则进行详细的讲解。

1. 链式法则的原理我们需要明确什么是链式法则。

假设 y = f(u) 和 u = g(x) 都是可导函数，那么复合函数 y = f(g(x)) 也是可导的。

链式法则公式如下：dy dy du———— = ————× ————dx du dx对于函数 y = f(u)，其导数为 dy/du；函数 u = g(x)，其导数为 du/dx。

链式法则的含义是：对于复合函数 y = f(g(x))，其导数可以通过分别计算内层函数 g(x) 和外层函数 f(u) 的导数，再将两个导数相乘得到。

接下来，我们来看一些具体的例子，来帮助我们理解链式法则的应用。

例子1： y = (x^2+1)^3 的导数对于这个函数，我们可以将其看作由两个函数 f(u) 和 u(x) 组成：f(u) = u^3，u(x) = x^2+1。

根据链式法则，其导数可以如下计算：将 u(x) 带入，得到：∂u/∂x = 2x，∂f/∂u = 3u^2，∂y/∂u = 3(u^2+1)^2。

将这些值代入公式，得到：y = (x^2+1)^3 的导数为dy/dx = 6(x^2+1)^2 × x / (x^2+1)。

化简后得到：链式法则在微积分中的应用不仅仅局限于求导，还可以应用于一些其他的问题，比如求解微分方程和曲线积分等。

在求解微分方程的过程中，有些方程难以直接求解，常常需要进行变量代换来简化问题。

链式法则可以帮助我们进行有效的变量代换，以求得更简单的微分方程。

222020年第 5 期下复合函数求导中链式法则的新型理解李安玭一、复合函数的求导公式定理[1] 如果()u g x =在点x 可导，而()y f u =在点()u g x =可导，那么复合函数[()]y f g x =在点x 可导，且其导数为:()()dyf ug x dx′′=⋅或dy dy du dx du dx =⋅.这是一元复合函数的求导公式，即链式求导法则。

链式法则是隐函数、反函数以及参数方程式函数求导法的基础，对于微积分后续内容的学习有着至关重要的作用。

另一方面，链式法则的关键在于如何选取中间变量，复合函数特别是多元复合函数中间变量及自变量的复杂性，使得复合函数的求导法又成为高等数学课程的难点之一。

二、复合函数求导中常见的问题一元复合函数求导是求导运算中的基础，能够熟练地对一元复合函数进行求导，是学习二元甚至多元复合函数的偏导数以及积分等重要知识点的前提。

然而，学生在对一元复合函数进行求导时经常出现以下几种类型的问题：（一）是求导不全比如：2(sin 3)2sin 3cos3,x x x ′= 这类问题源于对基本初等函数的概念理解不透彻，导致复合函数拆分不到位。

（二）是复合运算概念模糊比如：将2sin x x 看成是由2x 与sin x 复合的函数，对其进行错误拆分，错误地运用链式法则进行计算：22(sin )()(sin )2cos x x x x x x ′′′==，出现这类问题的根本原因是没有真正理解复合运算的概念，同时没能将复合运算与混合复合函数求导是高等数学与微积分教学中的重难点，而对于复合函数的拆分与链式法则的理解是求导的关键所在，复合函数求导是高等数学与微积分中重要模块之一，它与其他模块的知识紧密联系、不可分割。

但也因此，许多学生因为没能掌握好复合函数求导的技巧与方法，导致后面的学习非常吃力，难以理解积分、多元复合函数的偏导数和高阶混合偏导数等知识点。

而对于复合函数求导，关键的是要掌握对复合函数的拆分方法，这也是对链式法则的理解与运用。

链式法则求导口诀
链式法则求导口诀是微积分中重要的一种求导方法，从它的口诀已可看出，它让许多繁琐的求导过程变得简单而又明确。

首先，需要从链式法则的基本概念开始讲起，链式法则是一种“经典”求导口诀，它用于求解复合函数的偏导数。

它的基本原理是，如果函数f由函数g和h的复合组成，即f（x）= g（h（x）），那么偏导数的计算步骤如下：
其中f表示f的一次偏导数，g表示g的一次偏导数，h表示h 的一次偏导数。

从上面的计算步骤可以得出，求任意复合函数的偏导数，都可以使用链式法则将其化简为f’(h(x)) h’(x)，这就是链式法则的求导口诀。

其次，要说明链式法则求导口诀的使用方法和技巧。

首先，在求导口诀的应用过程中，要特别注意每一步的求导操作，不让其中任何一个环节出错。

其次，在使用链式法则时，在求导之前，要注意复合函数的特性，即当特定函数的特点不太清楚的时候，应先求出复合函数的倒数，然后将其带入公式即可，这样可以大大简化求导的步骤。

最后，要说明链式法则求导口诀在实际中的应用。

首先，它可以用于求解无穷次偏导数，扩大函数求导的方式。

其次，它还可以解决复合函数求导问题，使得求导的步骤更加规范，准确。

最后，它可以用于研究某个特殊变量变化时，复合函数变化的规律，从而给出结论。

总之，链式法则求导口诀是一种非常有用的求导方法，它可以帮助我们轻松解决微积分中复合函数求导难题，并且还有助于我们理解
复合函数变化的规律。

链式求导法则公式
链式求导法则也称为链式法则，它是微积分中求复合函数导数的基本方法。

在应用链式法则时，需要遵循以下步骤：
1. 确定复合函数的中间变量，并表示出复合函数的表达式。

2. 对复合函数的中间变量进行求导，得到导数表达式。

3. 将导数表达式代入复合函数的原始表达式中，并对复合函数的原始表达式进行求导。

4. 在求导过程中，需要将复合函数的中间变量替换为其导数表达式，并进行相应的运算。

5. 最后，得到复合函数的导数。

一元函数的链式法则可以用以下公式表示：
(uv)' = u'v + uv'
其中，u 和 u' 分别表示函数 u 和其导数，v 和 v' 分别表示函数 v 和其导数。

对于多元函数的链式法则，可以类似地表示为：
(u/v)' = (u'/v) + (u/v')
其中，u 和 u' 分别表示函数 u 和其偏导数，v 和 v' 分别表示函数 v 和其偏导数。

链式法则在求复合函数的导数时非常有用，它可以大大简化计算过程。